xsenxtgxxxsen  cos.cos1 .cos  senxtgxxxsen

COLÉGIO PEDRO II - UNIDADE SÃO CRISTÓVÃO III 1ª SÉRIE – MATEMÁTICA II – PROFº WALTER TADEU

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IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS - GABARITO 1) Simplifique as expressões ao máximo.

a) senx x sen x

x sen

3 2

2

cos

.  b)

x x sen x

x xsen x

cos cos

cos cos

2 3

2



 c)

x sen x x

sen

x sen x tg

4 2

2

2 2

cos

. 



Solução. Utilizando a fatoração e relações trigonométricas, temos:

a) ^{senx . cos sen x x  sen x  senx}  ^{cos sen x x  sen x}  ^{ senx sen   x 1  senx}

2 2

2 2 3

2 2

.

b)  

   

  ^{x x x}

x x x x

sen x x

x sen x x

x sen x

x xsen

x

^{2 3} ₂

2 2

2 2

3

2

cos cos cos 1

cos cos cos cos

cos 1 cos cos

cos

cos

cos   



 



 .

c)   ^{ }

 

 

x x tg x sen x sen x x sen x

sen x

x sen x sen

x sen

x x x

sen x

sen x

x sen x x

sen x

sen x x sen

x x sen x sen x

sen x x sen

x sen x tg

2 2

2 2

2 4 2

2 2 2

2 2

2 2

2 2

2 2 2

2 2

2

2 2

2

4 2

2

2 2

cos . 1

cos cos

cos cos 1 1

cos . cos cos

cos cos

.

















 



 



.

2) (UFBA) As expressões

x sen x

x

E

₄

tg

₄

4

1

cos

1



  e

E

_{2 4}

x cos

 1 são equivalentes. Justifique.

Solução. Para a verificação, desenvolve-se E

1

até que obter a igual em E

2

. Utilizando a fatoração, temos:

4 2 4

4 4

4 4

4 4

4 4 4

4 4

4 4

4 4

4

1

cos

1 cos

. 1 cos

cos cos

cos cos cos

1 cos cos

1 E

x x

sen x x

x sen x x

sen x

x x sen x x

sen x

x x sen x

sen x

x

E tg  



 





 



 

 

3) Verifique as identidades trigonométricas.

a) senx

tgx x

x

sen 

. cos

2

b)   

 ^{x x}  ^{tg x x}  ^x

sen

7

2 2

3 2

. cos sec

cos

.  c)  x   x  ^{sen x x}

x

g . cos

cos . sec cos

cot

3

5

2



d)  ^sen

²

^{x x} 

³

^{tgx sen}

⁵

^{x x}

2

cos

. cos

1 

 e)  

 ^{cos sec}

⁵

^{cot x}  ^.  ^{cos g x x}   ^{1 1 cos}

²

^x  ^{cos senx x}

2







Solução. Utilizando a fatoração desenvolvemos o 1º membro até encontrar a expressão do 2º membro.

a) senx

senx x sen x

senx x

x sen tgx

x x

sen

²



²



²



cos . . cos

cos

b)

  

            ^x

x sen x x x

sen x

x sen

x x

sen x

x sen x

x x

sen x

tg x

x x

sen

7

2 3 4

2

4 2

3 2

2 2 2

3 2

2 2

3 2

cos cos . cos . cos

cos .

. cos cos

1

cos . .

sec cos

.  

 

 



 

 

 



 



 



 

c)       ^{x sen x x}

x sen x sen

x x x

sen x sen

x x

x x

g . cos

. cos cos cos

1 . cos cos

. sec cos

cot

⁵ ₃

2 2

5 2 2

5

2

 

 

 



 

d)       ^{sen x}

x x

sen x x sen x

x sen

x sen x

x senx sen

x sen x

x senx sen

x sen tgx

x x sen

5 7

2 7

2

6 2

2 3 2 2 3

2

cos cos

. cos cos

cos . . .

cos

1     



e)

 

       

           

    ^x

senx senx

x x sen x x

sen

x sen x x x

sen x x

x x

x x

x g

cos cos 1 cos

1 .

1

cos . sec cos

1 cos

. sec cos

sec cos cos

1 cos . sec cos

1 cot

2 3

2 3

2 5

2 2

5 2



 

 



 

 

 



 





 



4) (FUVEST) Na figura a seguir, a reta r passa pelo ponto T = (0,1) e é paralela ao eixo OX. A semi-reta Ot forma um ângulo  com o semi-eixo OX  0 º    90 º  e intercepta a circunferência trigonométrica e a reta r nos pontos A e B, respectivamente. Marque a opção que calcula a área do triângulo TAB, em função de  .

a) 

 cos . 2 1  sen

b)



 sen

sen . 2 1 

c) 

 tg sen . 2 1 

d) 

 g sen cot . 2 1 

e)



 sec . 2 1  sen

Solução. A fórmula da área do triângulo é dada por

2 altura

A  base  . Observe na figura a identificação dos elementos da fórmula. O raio da circunferência vale 1. A altura vale a diferença entre o raio e o seno do ângulo assinalado. Isto é, h  1  sen  . A base é por definição a cotangente do ângulo. Substituindo na

fórmula, temos:



 

 



tg sen sen

sen tg A g

. 2

) 1

( 2

) 1

1 ( 2

) 1

( )

(cot  



 



 





 

  .

5) (UA-AM) A expressão   x  x 

x

x cos sec . 1 cos cos

1 . sec cos

1  

 é igual a:

a) 2 senx b) 2 cos x c) 2 cos sec x d) ^{2 tgx} e) 2 sec x Solução. Desenvolvendo e escrevendo a cossecante em função do seno, temos:

       

   

 

       

 

   

 x  senx senx ^x

senx x x

senx

x

x senx

x x

x sen x

senx

x x

x sen x

senx

x x

sen

senx x x

senx senx

x senx

x x x x

x

sec cos 1 2

. 2 2 cos

1 cos 1 2 cos

1 cos 2 2

cos 1

cos cos

2 1 cos

1

cos cos

2 1 cos

1 cos 1

cos 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos 1 1 . sec cos cos

1 . sec cos

1

2 2

2 2 2

2

 



 



 

 

 



 

 





 







 





 

 

 

 

 





 

6) (UF-PA) Qual das expressões abaixo é idêntica a

senx gx

x sen

. cot

1 

²

?

a) senx b) cos x c) tgx d) cos sec x e) ^{cot gx} Solução. Utilizando as relações trigonométricas, temos:

x x x senx senx

x x senx

gx x

sen cos

cos cos cos .

cos .

cot

1

^{2 2}



²



 

 



 



7) (UA-AM) Para todo x  IR , tal que senx  cos x , a expressão

x senx

x x

sen

cos cos

³

3



 é idêntica a:

a) tgx b) sen

²

x  cos

²

x c) 1 d) 1  senx . cos x e)  senx  cos x 

²

Solução. A fatoração a ser utilizada será do tipo: ^a

³

^{ b}

³

^{ ( a  b ).}  ^a

²

^{ ab  b}

²



    _{sen x senx x x senx x}

x senx

x x

senx x sen x senx x

senx

x x

sen cos cos 1 cos

cos

cos cos

cos cos

cos

3 2 2 2 2

3

    







 





8) (UFOP-MG) Se

n x n 1

cos 

 , então

1 cot

1

2 2



 x g

x

tg é igual a:

a)  ^{2 n n   1}  ¹

²

b) 2

₂

1 n n 

c)  ^{n n   1 1} 

²

d)  

1 2

1

²



 n

n e)  

1 2

1

²



 n n Solução. Aplicando as relações trigonométricas e substituindo ao final, temos:

i) 2 2

2 2 2

2 2

2 2

1 2 1 2 1 1

cos 1 1

cos

1 cos

n n n

n n n n x n

x sen n

x n x x

sen     

 

 



  







 

 



 





ii)    

²

 

²

2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

2 2

2

1 1 2 . 1

1 2 1

1 2 . cos

cos 1 1

cos 1 sec

cos sec 1

cot 1



 



 













 



n n n

n n

n n

n n n x x x sen x sen x

sen x x

x x

g x tg

9) (UFRJ) Sejam O = (0,0) , P = (5,2) e P' (2,5) . Girando em torno de O, no sentido trigonométrico (anti-horário), o segmento OP de certo ângulo q, o ponto P transforma-se no ponto P’. Determine cos q _.

Solução. A figura ilustra a situação. Calculando as medidas, temos:

i) OP  OP '  2

²

 5

²

 29

ii) PP '  3

²

 3

²

 18

Aplicando a Lei dos Cossenos no triângulo OPP’, temos:

  

  

 

  ^{29 2}   ^{40 29 29 20}

2 58 cos 18

cos . 29 2 58 18

cos 29 . 29 2 29 29 18

cos ' . 2 '

'

^{2 2 2}

 

 



 

















q

q

q q OP OP OP

OP PP

10) Mostre, exibindo um contra-exemplo, que a igualdade senx

senx

x 2

cos   não é uma identidade.

Solução. Basta escolher arcos conhecidos ou qualquer outro de verificação imediata.

2 1 1 3 2 1

2 1 2 6 2

2 1 3 2 1 2

3 6 cos 6

cos 6

 



 



 



 

 



 



 





















sen senx

sen senx

x x

Conclusão. Se não valeu para este arco, não é uma identidade trigonométrica.