Potências simbólicas e suas interações

(1)

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE

DEPARTAMENTO DE MATEM ´

ATICA

Potˆ

encias simb´

olicas e suas intera¸

c˜

oes

Disserta¸cão apresentada ao Departamento de Matemática da Universidade Federal de Sergipe, como parte dos requi-sitos para obten¸cão do t´ıtulo de Mestre em Matemática.

Diego Cardoso dos Santos

Orientador: Zaqueu Alves Ramos

(2)

Sum´

ario

1 Potˆencias ordin´arias de um ideal 9

1.1 Propriedades elementares . . . 9

1.2 Algebra de Rees (ordin´´ aria) . . . 10

1.3 Primos associados de R/Ir _{. . . .} ₁₂

2 Potências simbólicas de um ideal 19 2.1 A defini¸cão . . . 19

2.2 Potências simbólicas e a tor¸cão do anel graduado associado . . . 20

2.3 A ´algebra de Rees simb´olica . . . 22

2.4 O exemplo de Rees . . . 22

2.5 Alguns exemplos de ´algebras de Rees simb´olicas finitamente geradas . 28 2.5.1 Ideais Monomiais . . . 29

2.5.2 Ideais determinantais . . . 29

2.6 Interse¸c˜oes completas conjuntistas . . . 31

3 Potˆencias simb´olicas e operadores diferenciais 33 3.1 Operadores diferenciais . . . 34

3.2 Ideais primitivos e potˆencias simb´olicas . . . 38

3.3 Ideais primitivos e o teorema de Zariski-Nagata . . . 43

3.4 C´alculo efetivo . . . 45

4 Ideais secantes e potˆencias simb´olicas 49 4.1 Generalidades sobre ideais secantes . . . 49

4.2 A generaliza¸c˜ao de Sullivant para o resultado de Catalano . . . 51

(3)

5 Apˆendice A 59

5.1 Decomposi¸c˜ao prim´aria . . . 59

5.2 O teorema do ideal principal de Krull . . . 62

5.2.1 Conjunto de geradores de um m´odulo . . . 62

5.2.2 Altura de um ideal . . . 64

5.2.3 Rela¸c˜ao entre n´umero de geradores e altura de um ideal . . . . 64

5.3 Sistemas de parˆametros e sequˆencias regulares . . . 67

6 Apˆendice B 68 6.1 Algebras Graduadas´ . . . 68

6.2 Base de Grobner . . . 70

6.2.1 Ordena¸c˜ao Lexicogr´afica . . . 72

6.2.2 Ordena¸c˜ao lexicogr´afica graduada . . . 74

6.2.3 Ordena¸c˜ao Lexicogr´afica Graduada Reversa . . . 74

(4)

Resumo

A no¸cão de potência simbólica remonta a W. Krull, que a usou na prova do célebre teorema do ideal principal, este um marco crucial na curta história da álgebra comutativa. Mais adiante, O. Zariski, M. Nagata, D. Rees e outros mostraram como esta no¸cão puramente algébrica tem importante significado em geometria algébrica. Neste trabalho estudaremos as potências simbólicas evidenciando algumas de suas propriedades mais fundamentais e suas conexões com aspectos variados da geometria algébrica e álgebra comutativa.

Palavras Chave: Potências Simbólicas, Álgebra de Rees, Ideias Secantes, Ideais Primitivos.

(5)

Abstract

The notion of symbolic power dates back to W. Krull, who used it in the proof of the famous theorem of principal ideal, this a crucial milestone in the short history of commutative algebra. Later, O. Zariski, M. Nagata, D. Rees and others have shown how this purely algebraic notion has important significance in algebraic geometry. In this paper we study the symbolic powers showing some of its most fundamen-tal properties and their connections with various aspects of algebraic geometry and commutative algebra.

(6)

Lista de s´ımbolos

S´ımbolo Descri¸c˜ao

AssR(M ) conjunto dos primos associados de um R-m´odulo M

MinR(M ) conjunto dos primos m´ınimos de um R-m´odulo M

Spec (R) conjunto dos ideais primos do anel R

Sing(R) conjunto dos ideais primos P de R, tais que RP n˜ao ´e anel regular

V(I) conjunto dos ideais primos P de R, tais que I ⊂ P Z(I) lugar dos zeros de I

S−1R anel de fra¸c˜oes de R com respeito ao conjunto multiplicativo S RP localiza¸c˜ao de R em P

In _n-´_{esima potˆ}_{encia ordin´}_{aria de I}

I(n) _n-´_{esima potˆ}_{encia simb´}_{olica de I}

I{n} n-´esimo ideal secante de I

It(ϕ) ideal gerado pelos menores de ordem t da matriz ϕ

alt(I) altura de um ideal I `(I) spread anal´ıtico de I prof_R(I) profundidade de R em I

dim(R) dimens˜ao de Krull de um anel R rank(ϕ) posto da matriz ϕ

RR(I) ´algebra de Rees de um ideal I ⊂ R

Rs

R(I) ´algebra de Rees simb´olica de um ideal I ⊂ R

gr_I(R) anel graduado associado de um ideal I ⊂ R FI(R) fibra especial do ideal I

ZR(M ) conjunto dos divisores de zero de um R-m´odulo M

HomR(M, N ) R-m´odulo dos R-homomorfismos de M em N

Derk(R, M ) m´odulo das deriva¸c˜oes sobre k de R em M

(7)

Introdu¸

c˜

ao

Um dos resultados mais fundamentais na teoria da dimensão dos anéis comutativos (e Noetherianos) é sem dúvida o teorema do ideal principal de Krull. É justamente na prova deste resultado basilar para a álgebra comutativa que a no¸cão de potência simbólica é utilizada pela primeira vez. Doravante, O. Zariski, M. Nagata, D. Rees e outros mostraram como esse conceito puramente algébrico tem importante significado geométrico.

Originalmente definidas para ideais primos, com o decorrer dos anos, as potências simbólicas passaram a ser consideradas para ideais arbitrários. Como a história mos-tra, são objetos verdadeiramente intrigantes, em virtude da complexidade inerente a sua natureza e da diversidade de situa¸cões em que elas se fazem presentes.

Como acontece tipicamente com os temas matemáticos mais avan¸cados e/ou es-pecializados, a quantidade de referências para uma leitura inicial sobre potências simbólicas é demasiadamente rara. Nesse trabalho temos o objetivo de dar in´ıcio a uma referência que possa reunir resultados sobre as potências simbólicas que encontram-se espalhados na literatura.

Na sequˆencia, explicamos resumidamente a filosofia de cada cap´ıtulo.

O primeiro cap´ıtulo é dedicado a uma breve apresenta¸cão de propriedades e cons-tru¸cões subjacentes às potências ordinárias tais como: filtra¸cão, álgebras de Rees, anel graduado associado e fibra especial. Os principais resultados dessa parte estão contidos na última se¸cão, onde fazemos um estudo mais detalhado da sequência dos primos associados {Ass (R/In_)}

n∈N.

No segundo cap´ıtulo apresentamos finalmente as potências simbólicas, definindo-as como a parte da decomposi¸cão primária das potências ordinárias correspondente aos primos m´ınimos. Em seguida, mostramos como essa defini¸cão se apresenta em termos de anéis de fra¸cões. Revelamos também como a tor¸cão do anel graduado associado pode ser medida em termos da compara¸cão entre as potências ordinárias e simbólicas. Discutimos a conexão existente entre o décimo quarto problema de

(8)

Hilbert e a finitude da gera¸cão da álgebra de Rees simbólica e listamos algumas classes de ideais bem estruturados em que a gera¸cão dessa álgebra é bem comportada. Encerramos o cap´ıtulo com o resultado de Cowsik, o qual permite relacionar a álgebra de Rees simbólica com a propriedade de interse¸cão completa conjuntista.

No terceiro cap´ıtulo estudamos as potências simbólicas à luz dos operadores di-ferenciais. Nessa parte seguimos de perto a referência [12]. Os principais resultados deste cap´ıtulo são o Teorema 3.3.3, uma espécie de Teorema de Zariski-Nagata para k-´

algebras afins, e o Teorema 3.4.1, o qual explica como as potˆencias simb´olicas podem ser calculadas efetivamente de modo iterado.

Por fim, no quarto e último cap´ıtulo exploramos as rela¸cões envolvendo as potências simbólicas e os ideais secantes. Estas rela¸cões foram percebidas pioneiramente por M. Catalano em [7]. Em seguida, Seth Sullivant generalizou o que fora observado por M. Catalano e, mesclando as identidades envolvendo potências simbólicas e ideais secantes com a ferramenta de base de Grobner, conseguiu estabelecer uma estratégia bastante interessante para calcular potências simbólicas de diversos ideais importantes as custas dos ideais secantes.

(9)

Cap´ıtulo 1

Potˆ

encias ordin´

arias de um ideal

Como sabemos, a busca por uma generaliza¸cão da propriedade de fatora¸cão única conduziu Dedekind a inven¸cão da no¸cão de ideal, bem como das opera¸cões elementa-res que podem ser realizadas sobre estes. Entre tais opera¸cões, temos a de produto de ideais. Assim, dado um ideal I, mediante o produto de ideais podemos criar a sequência das potências ordinárias {In_}

n∈N. Nesse cap´ıtulo fazemos um breve estudo

sobre as potências ordinárias e algumas constru¸cões subjacentes. A fim de evitar repeti¸cões enfadonhas, mencionamos de uma vez por todas que o anel base em todo esse trabalho será comutativo com identidade e Noetheriano.

1.1 Propriedades elementares

Seja I um ideal de um anel R. Existem várias maneiras de estudar o par (R, I) associando-lhe, sistematicamente, constru¸cões auxiliares. Nessa perspectiva, temos as chamadas potências ordinárias de I. De fato, dados I1, I2, . . . , Ir ideais em um anel

R, definimos o produto desses r ideais, denotado I1 · I2· · · Ir, como sendo o ideal de

R gerado por todos os elementos f1· f2· · · fr tais que fi ∈ Ii para cada 1 ≤ i ≤ r. ´E

imediato observar que I1· I2· · · Ir = Iσ(1)· Iσ(2)· · · Iσ(r), para qualquer permuta¸c˜ao σ

dos ´ındices, e que I1· I2· · · Ir ⊂ I1∩ I2∩ · · · ∩ Ir. Para cada r ≥ 1, definimos a r-´esima

potˆencia ordin´aria de I, denotada Ir_{, como sendo o produto I · · · I (r fatores).}

Observa¸cão 1.1.1. A 0-ésima potência ordinária de I é definida como sendo o próprio anel R.

Na proposi¸cão abaixo listamos algumas propriedades das potências ordinárias que são facilmente verificadas

(10)

Proposi¸c˜ao 1.1.2. Seja I e J ideais de um anel R. Ent˜ao:

(a) Se I é gerado por f1, . . . , fm então Ir é gerado pelos elementos f1i1· · · fmim tais

que i1+ . . . + im = r.

(b) Se I ⊂ J ent˜ao Ir ⊂ Jr _{para qualquer r ≥ 0.}

(c) A sequˆencia {Ir_}

r≥0 ´e decrescente, ou seja, se s ≥ r ent˜ao Is ⊂ Ir.

(d) Para cada r, s ≥ 0, Is_Ir _{= I}s+r_.

Observa¸cão 1.1.3. Entender o crescimento dos ideais Ir (ou alternativamente, dos quocientes R/Ir) realmente permite obter informa¸cões do par (R, I). Como um pri-meiro exemplo, citamos a fun¸cão de Hilbert-Samuel (ver por exemplo [22, Se¸cão 13]). Dados um anel local (R, m) e um ideal m-primário I, a fun¸cão de Hilbert-Samuel associa a cada r ∈ N o comprimento de R/Ir_{. Assintoticamente, existe um polinˆ}_omio

p com coeficientes racionais tal que a fun¸cão de Hilbert-Samuel coincide com a fun¸cão polinomial definida por p. A partir desse polinômio p, invariantes numéricos impor-tantes para estudar o par (R, I) são obtidos. Por exemplo, o grau desse polinômio é igual a d = dim R e seu coeficiente l´ıder multiplicado por d! traduz informa¸cões de I e R. De fato, ele é um invariante denominado de multiplicidade de I sob R (chamado simplesmente multiplicidade de R quando I = m).

Observa¸c˜ao 1.1.4. Uma fam´ılia de ideais {Ir}r∈N de um anel R ´e chamada uma

filtra¸c˜ao descendente de ideais de R se: (i) R = I0 ⊇ I1 ⊇ . . . ⊇ In ⊇ . . . ; (ii)

Ir · Is ⊂ Ir+s para cada r, s ∈ N. Assim, os itens (c) e (d) da Proposi¸c˜ao 1.1.2

estabelecem que a fam´ılia das potˆencias ordin´arias {Ir_}

r≥0 ´e um exemplo de filtra¸c˜ao

descendente de ideias de R. A filtra¸c˜ao {Ir_}

r≥0 é conhecida como filtra¸cão I–ádica.

1.2 Algebra de Rees (ordin´

´

aria)

Uma maneira útil de reunir todas as potências ordinárias de um ideal I em um ´

unico objeto é através do seguinte R-módulo M

r≥0

Irtr = R + It + I2t2+ · · · ⊂ R[t] (1.1) Mediante as propriedades (b) e (c) listadas na Proposi¸cão 1.1.2, podemos definir sobre esse R-módulo uma multiplica¸cão, por meio da distributividade, que lhe confere

(11)

estrutura natural de R-´_{algebra N-graduada (consultar a Se¸cão 6.1 do Apêndice para} no¸cões relativas a álgebras graduadas). A R-álgebra assim obtida é chamada de ´

algebra de Rees de I e a denotamos por RR(I). Se f1, . . . , fm ∈ R ´e um conjunto de

geradores do ideal I ent˜ao temos facilmente

RR(I) = R[f1t, . . . , fmt], (1.2)

ou seja, RR(I) ´e uma R-´algebra finitamente gerada.

A dimensão de Krull da álgebra de Rees é estabelecida pelo seguinte teorema

Teorema 1.2.1. Seja R um anel cuja dimensão de Krull é finita. Se I é um ideal de R então: dim(RR(I)) =     

dim R + 1, se I 6⊂ P para algum ideal primo P com dim(R/P ) = dim R.

dim R, caso contr´ario.

(1.3)

Prova. Ver [20, Theorem 5.1.4 ].

Do ponto de vista algébrico, a álgebra de Rees de um ideal captura um grande número de informa¸cões sobre como o ideal I se situa no anel R e como suas potências variam. No tocante a geometria algébrica, um exemplo em que a álgebra de Rees faz-se importante é o problema de resolu¸cão de singularidades. Tal problema questiona quando uma dada variedade algébrica X admite uma aplica¸cão birracional π : eX → X com eX sendo uma variedade suave. Este problema para corpos em caracter´ıstica zero foi respondido por H. Hironaka em [17] e afirma que de fato uma tal variedade eX pode ser tomada como um blow-up. A conexão entre a álgebra de Rees e o problema de resolu¸cão de singularidades é realizada através do blow-up, uma vez que seu anel de coordenadas é justamente uma álgebra de Rees.

Observa¸cão 1.2.2. A no¸cão de álgebra de Rees também pode ser feita de modo mais geral para uma filtra¸cão arbitrária F = {In}n∈N de ideais em um anel R.

Natural-mente, ela ´e definida por

RR(F) =

M

r∈N

Irtr

onde a multiplica¸cão é definida por distributividade levando em considera¸cão as pro-priedades que caracterizam uma filtra¸cão.

(12)

Um objeto importante associado a álgebra de Rees de I é o chamado anel graduado associado, denotado gr_I(R). Sua defini¸cão é dada pela seguinte igualdade:

gr_I(R) := RR(I)/IRR(I) = R/I ⊕ I/I2⊕ I2/I3⊕ · · · (1.4)

Na situa¸cão em que (R, m) é um anel local, ou graduado standard sobre um corpo com ideal irrelevante m, então também podemos considerar a R/m-álgebra denominada fibra especial de I, a qual denotamos por FI(R). Sua defini¸cão é dada

por

FI(R) := RR(I)/mRR(I) (1.5)

Defini¸cão 1.2.3. Seja (R, m) um anel local e I ⊂ m um ideal de R. A dimensão da fibra especial FI(R) é chamada spread anal´ıtico de I e o denotamos por `(I).

Observa¸cão 1.2.4. A defini¸cão de spread anal´ıtico também é realizada para o caso em que (R, m) é anel graduado standard sobre um corpo com ideal irrelevante m e I ´

e um ideal homogˆeneo.

No caso em que R = k[x1, . . . , xn] ´e um anel de polinˆomios com coeficientes sobre

um corpo k (algebricamente fechado) e f1, . . . , fm são polinômios homogêneos de

mesmo grau d, ent˜ao podemos definir o que chamamos de uma aplica¸c˜ao racional

F : Pn−1 99K Pm−1, (x1 : . . . : xn) 7→ (f1(x1, . . . , xn) : . . . : fm(x1, . . . , xn)).

Observamos que esta aplica¸c˜ao F est´_{a definida apenas no aberto P}n−1_{−V (f}

1, . . . , fm).

O fecho da imagem dessa aplica¸cão é uma variedade W e seu anel de coordenadas é isomorfo a fibra especial FI(R), onde I = (f1, . . . , fm).

1.3 Primos associados de R/I

r

Naturalmente, uma vez definida a r-ésima potência ordinária Ir, podemos questi-onar como propriedades ou caracter´ısticas de I relacionam-se com as de Ir. Por exem-plo, na Proposi¸cão 1.1.2(a) vimos como uma cole¸cão de geradores de Ir é obtida a partir de geradores de I. Nesse sentido, dedicamos esta se¸cão a comparar informa¸cões referentes as decomposi¸cões primárias de I e Ir_{. Abaixo, as nota¸c˜}_{oes Min}

(13)

AssR(R/I) significar˜ao, respectivamente, os conjuntos dos primos m´ınimos e

asso-ciados do ideal I (maiores detalhes sobre esses conjuntos podem ser encontrados na Se¸c˜ao 5.1 do Apˆendice A).

Proposi¸c˜ao 1.3.1. Seja I um ideal de um anel R. Ent˜ao, MinR(R/I) = MinR(R/Ir).

Prova. Inicialmente mostraremos a inclus˜ao MinR(R/Ir) ⊆ MinR(R/I). Para isso,

suponhamos Q ∈ MinR(R/Ir). Assim Ir ⊆ Q, logo I ⊆ Q, pois Q ´e primo. Como

Ir _{⊆ I e Q ´e primo m´ınimo de I}r_{, conclu´ımos que Q ´}_{e primo m´ınimo de I. Logo,}

temos a inclus˜ao desejada.

Agora mostraremos a inclus˜ao contr´aria, ou seja, MinR(R/I) ⊆ MinR(R/Ir).

Con-sidere P ∈ MinR(R/I). Como Ir⊆ I, temos Ir⊆ P. Suponhamos que P n˜ao seja um

primo m´ınimo de Ir, ou seja, existe um primo Q tal que Ir _{⊆ Q P. Como I}r ⊆ Q, segue que I ⊆ Q, pois Q ´_{e primo. Sabendo que Q P, ter´ıamos I ⊆ Q P, que ´e} uma contradi¸c˜ao.

A pergunta óbvia que sucede a Proposi¸cão 1.3.1 é:

Quest˜ao 1.3.2. Qual a compara¸c˜ao entre os conjuntos AssR(R/I) e AssR(R/Ir) ?

Claramente, se I não possui primos imersos (e.g., se I é radical) então segue da Proposi¸cão 1.3.1 a inclusão Ass (R/I) ⊂ Ass (R/Ir_{). Todavia, em uma situa¸c˜}_{ao mais}

geral tal inclusão pode não ocorrer. Abaixo listamos uma série de exemplos exibindo diversas possibilidades que podem acontecer.

Exemplo 1.3.3. Seja m um ideal maximal em um anel R. Afirmamos que AssR(R/m) =

AssR(R/mr) para cada r ≥ 1. Para verificar essa afirma¸c˜ao, devemos mostrar que

AssR(R/mr) = {m}. Para isso, veremos que mr ´e prim´ario e que

√

mr _{= m. De fato,}

temos mr _{⊂ m. Assim,} √_mr _⊂√_m_{= m. Por outro lado, dado a ∈ m temos a}r _{∈ m}r_.

Mas isso implica em a ∈√mr_{. Logo, segue a igualdade}√_mr _{= m. Agora mostraremos}

que mr é primário. Suponhamos que ab ∈ mr e b /∈ m. Então, pela maximalidade de m, segue que m + (b) = R. Assim, para algum c ∈ m e α ∈ R temos c + bα = 1. Como c ∈ m = √mr_{, c}k _{∈ m}r _{para algum k ≥ 1. Logo 1 = 1}k _{= (c + bα)}k _{= c}k_{+ sb para}

algum s ∈ R. Multiplicando ambos os lados por a, obtemos a = ack_{+ abs ∈ m}r_.

Exemplo 1.3.4. Consideremos R = k[x, y, z] e I = (xy, xz, yz). A decomposi¸cão primária de I é

(14)

Assim, pelo Teorema 5.1.11, AssR(R/I) = {(x, y), (x, z), (y, z)}. Por outro lado, uma

decomposi¸cão primária de I2 é:

I2 = (x2, y2, z2) ∩ (x2, y2, xy) ∩ (x2, z2, xz) ∩ (y2, z2, yz). (1.7) Assim, tamb´em pelo Teorema 5.1.11, AssR(R/I2) = {(x, y), (x, z), (y, z), (x, y, z)}.

Exemplo 1.3.5. Seja P o n´ucleo do homomorfismo de an´eis

ϕ : k[x, y, z] k[t3, t4, t5] (x 7→ t3, y 7→ t4, z 7→ t5).

Afirmamos que P = (g1, g2, g3), onde g1 := x3− yz, g2 := y2− xz e g3 := z2− x2y. A

inclusão (g1, g2, g3) ⊂ P é trivial. Para a inclusão contrária, consideremos f (x, y, z) ∈

P. Temos

f (x, y, z) = g2· q(x, y, z) + a(x, z)y + b(x, z) (1.8)

≡ a(x, z)y + b(x, z) mod (g1, g2, g3) (1.9)

Por outro lado, levando em considera¸c˜ao que z3_{− x}5 _{∈ (g}

1, g2, g3), temos:

a(x, z)y = [(z3− x5_)q

1(x, z) + a1(x)z2+ b1(x)z + c1(x)]y (1.10)

≡ a1(x)z2y + b1(x)zy + c1(x)y mod (g1, g2, g3) (1.11)

≡ a1(x)x3z + b1(x)x3 + c1(x)y mod (g1, g2, g3) (1.12) e b(x, z) = (z3 − x5_)q 2(x, z) + a2(x)z2+ b2(x)z + c2(x) (1.13) ≡ a2(x)z2+ b2(x)z + c2(x) mod (g1, g2, g3) (1.14) ≡ a2(x)x2y + b2(x)z + c2(x) mod (g1, g2, g3) (1.15) De (1.9), (1.12) e (1.15) segue que

f (x, y, z) ≡ u(x) + v(x)y + w(x)z mod (g1, g2, g3), (1.16)

onde u(x) := b1(x)x3 + c2(x), v(x) := c1(x) + a2(x)x2 e w(x) := a1(x)x3 + b2(x).

(15)

u(t3) + v(t3)t4+ w(t3)t5 = 0 (1.17) Notemos que cada monômio não nulo em uma parcela dessa última igualdade deve ser anulado por algum monômio em uma das outras duas parcelas. Mas isso não pode acontecer pois os graus dos monômios não nulos que podem surgir nessas parcelas são da forma 3n1, 3n2 + 1 e 3n3 + 2. Logo, u(x), v(x), w(x) são nulos. Portanto

f (x, y, z) ∈ (g1, g2, g3) e da´ı conclu´ımos a igualdade desejada.

Agora mostraremos que Ass (R/P2_{) 6= {P } = Ass (R/P ). Para isso, consideremos}

as seguintes rela¸c˜oes: g1 − x3 = −yz, g2 + xz = y2 e g3 + x2y = z2. Segue destas

igualdades que (g1 − x3)2 − (g2 + xz)(g3 + x2y) = 0. Logo, g21 − g2g3 = x · h com

h = 2g1x2− x5+ g2xy + g3z + x2yz. Temos que h /∈ P2 pois o monˆomio x5 n˜ao pode

ser gerado por uma combina¸c˜ao dos geradores de P2 _{= (g}2

1, g22, g23, g1g2, g1g3, g2g3), j´a

que a menor potˆencia nos monˆomios dos geradores de P2 _{que s´}_{o depende de x ´}_{e 6.}

Dessa forma conclu´ımos que x ´e um divisor de zero n˜ao nulo de R/P2_{. Logo, pela}

Proposi¸c˜ao 5.1.9 (c), segue que x deve pertencer a algum primo associado de R/P2_.

Como, x /∈ P ent˜ao deve existir um outro primo associado de P2 _al´_{em de P. Portanto,}

temos o desejado.

Através dos exemplos acima percebemos que a sequência {AssR(R/In)}n∈N não

´

e, necessariamente, constante. Assim, a questão que surge é entender como esta sequência pode variar. O que veremos a partir de agora é uma sucessão de resultados que explicam o comportamento assintótico da sequência {AssR(R/In)}n∈N.

Lema 1.3.6. Seja R =

∞

M

n=0

Rn anel Noetheriano homogˆeneo graduado standard (o

termo graduado standard significa que R ´e gerado como R0-´algebra pelos elementos

de R1, ou seja, R = R0[R1]). Ent˜ao os graus dos elementos diferentes de 0 de 0 : R1

s˜ao limitados por uma cota superior.

Prova. Precisamos provar que existe um ` tal que (0 : R1) ∩ Rn = 0 para cada

n ≥ `. Temos 0 : R1 = (a1, a2, . . . , as) onde a1, a2, . . . , as s˜ao elementos homogˆeneos.

Definamos ` = 1 + max{deg ai}. Seja x = P riai ∈ Rn onde n ≥ `. Ent˜ao podemos

assumir que cada ri é homogêneo e portanto deg ri ≥ 1. Como o anel é graduado

standard, cada elemento homogˆeneo de grau maior ou igual a 1 est´a em (R1), logo

(16)

∞

M

n=0

Rn um anel Noetheriano graduado. Sejam I ideal

ho-mogêneo e a um elemento homogêneo. Suponhamos que (I : a) ∩ S = ∅ para um sub-conjunto S multiplicativamente fechado de R0. Então existe um elemento homogêneo

b tal que (I : ab) ´e primo e (I : ab) ∩ S = ∅.

Prova. O conjunto {(I : ab0) | (I : ab0) ∩ S = ∅} contém um elemento maximal, digamos I : ab. Mostraremos que I : ab é primo. Sejam x, y elementos homogêneos de R tais que x, y /∈ I : ab mas abxy ∈ I. Da´ı x ∈ (I : aby)\(I : ab). Consequentemente I : aby contém um elemento s ∈ S. Assim, abys ∈ I, o que resulta em y ∈ (I : abs). Novamente, existe um t ∈ S ∩ (I : abs). Portanto st ∈ (I : ab) ∩ S que é uma contradi¸cão.

∞

M

n=0

Rn anel Noetheriano homogˆeneo graduado standard.

Ent˜ao existe um m tal que AssR0(Rn) = AssR0(Rm) para cada n ≥ m.

Prova. Seja P ∈

∞

[

k=0

AssR0(Rk). Ent˜ao P = (0 :R0 c) para algum elemento

ho-mogˆeneo c ∈ R. Ent˜ao P = (0 :R c) ∩ R0. Pelo Lema 1.3.7, existe um elemento

homogˆeneo d ∈ R tal que P∗ = (0 : cd) ´e um ideal primo em R e P = P∗∩ R0. Como

Ass (R) ´e um conjunto finito,

∞

[

k=0

AssR0(Rk) ´e tamb´em um conjunto finito. Pelo

Lema 1.3.6, existe um inteiro positivo ` tal que (0 : R1) ∩ Rn = 0 para cada n ≥ `.

Se P ∈ AssR0Rn, P = (0 :R0 c) para algum c ∈ Rn. Como n ≥ `, P = (0 :R0 cR1)

(pois a ∈ (0 :R0 cR1) se, e somente se, acR1 = 0; mas, ac ∈ Rn e (0 : R1) ∩ Rn = 0,

logo ac = 0). Mas P = (0 : cR1) =

\

ri∈R1

(0 : cri). Como P ´e ideal primo segue que

P = (0 : cR1) = (0 : crj) para algum rj ∈ R1. Como cR1 ⊂ Rn+1, temos crj ∈ Rn+1,

da´ı P ∈ AssR0(Rn+1). Uma vez que

∞

[

k=0

AssR0(Rk) ´e finito, segue o resultado.

Finalmente, temos a descri¸cão do comportamento assintótico da sequência {AssR(R/In)}n∈N.

Teorema 1.3.9. (M. Brodmann, [3]) Se I é um ideal em um anel R então as sequências {AssR(In/In+1)}n∈N e {AssR(R/In)}n∈N estabilizam.

Prova. Aplicando o Lema 1.3.8 ao anel graduado associado gr_I(R) = R/I ⊕ I/I2⊕ I2_/I3_{⊕ . . .}

(17)

conclu´ımos que existe m tal que AssR/I(In−1/In) = AssR/I(Im−1/Im) para cada n ≥

m. Como AssR(Ir/Ir+1) = {P | P/I ∈ AssR/I(Ir/Ir+1)} para cada inteiro positivo r,

tamb´em segue que AssR(In−1/In) = AssR(Im−1/Im).

Agora mostraremos que a sequˆencia AssR(R/In) tamb´em estabiliza. Usando a

Proposi¸c˜ao 5.1.9 (d) na sequˆencia exata

0 → In/In+1→ R/In+1_{→ R/I}n_{→ 0} _(1.18)

conclu´ımos que AssR(R/In+1) ⊂ AssR(R/In)∪AssR(In/In+1). Mas, AssR(In/In+1) =

AssR(In−1/In) ⊂ AssR(R/In) para n suficientemente grande. Logo, AssR(R/In+1) ⊂

AssR(R/In) para n suficientemente grande. Usando novamente a Proposi¸c˜ao 5.1.9

(b) temos que AssR(R/In) ´e finito. Dessa forma, obtemos uma sequˆencia decrescente

com valores em um conjunto finito, portanto AssR(R/Im+1) = AssR(R/Im) para m

suficientemente grande.

Como consequˆencia do teorema acima podemos entender como os m´odulos R/In

comportam-se assintoticamente quanto a profundidade.

Teorema 1.3.10. (M. Brodmann, [4]) Seja (R, m) um anel local e I um ideal de R. Ent˜ao o valor de prof_m(R/In_{) torna-se constante para valores de n suficientemente}

grande. Prova. Definamos h(I) = lim n→∞inf{profm(R/I m ) | m ≥ n}

Provaremos o resultado desejado aplicando indu¸c˜ao sobre h(I). Se h(I) = 0 ent˜ao existe uma quantidade infinita de n tais que m ∈ Ass (R/In). Desse modo, pelo Teorema 1.3.9, m ∈ Ass (R/In_{) para cada n suficientemente grande.} _Portanto,

prof_m(R/In_{) = 0 para cada n suficientemente grande.}

Agora suponhamos h(I) > 0. Ent˜ao, para n suficientemente grande, existe x em m que n˜ao pertence a [

P ∈Ass (R/In₎

P. Considere o anel local (R, m), onde R = R/(x) e m = m/(x), e I = (x, I)/(x). Temos prof_m(R/In) = prof_m(R/In) − 1 para cada n suficientemente grande. Em particular, h(I) = h(I) − 1. Utilizando a hip´otese de indu¸c˜ao temos que o valor de prof_m(R/In) estabiliza assintoticamente. Em particular, o valor de prof_m(R/In_{) tamb´}_{em estabiliza assintoticamente.}

(18)

O valor constante assumido pela sequˆencia prof_m(R/In_{) assintoticamente ´}_e

cha-mado de profundidade limite de I.

Vale notar que com os resultados acima M. Brodmann obt´em em [3] uma nova prova para a celebrada desigualdade de Burch.

Teorema 1.3.11 (Desigualdade de Burch). Seja I um ideal de um anel local (R, m). Ent˜ao,

`(I) ≤ d − inf

n {profm(R/I

n_)} _(1.19)

onde d = dim R e `(I) significa o spread anal´ıtico de I.

A prova dada por M. Brodmann para esse resultado é um pouco mais longa e técnica do que as anteriores. Por esse motivo, não a reproduzimos nesse trabalho.

(19)

Cap´ıtulo 2

Potˆ

encias simb´

olicas de um ideal

A meta desse cap´ıtulo é apresentar o objeto central dessa disserta¸cão, ou seja, as potências simbólicas, bem como as diversas constru¸cões e resultados, de caráter preliminar, que estão relacionados a esta importante no¸cão.

2.1 A defini¸

c˜

ao

A principal no¸c˜ao desse trabalho pode ser definida da seguinte maneira

Defini¸cão 2.1.1. Seja I um ideal de um anel R. Para cada inteiro n ≥ 0, a n-ésima potência simbólica de I, denotada por I(n), é a interse¸cão de todas as componentes P -primárias de In tais que P ∈ MinR(R/I).

Uma maneira equivalente de definir a n-ésima potência simbólica de um ideal via anel de fra¸cões é dada pela seguinte proposi¸cão

Proposi¸c˜ao 2.1.2. Seja I um ideal em um anel R. Ent˜ao

I(n)= S−1In∩ R (2.1) onde S ´e o complementar em R da uni˜ao de todos os primos m´ınimos de I.

Prova. Seja In = Q1 ∩ · · · ∩ Qm ∩ Qm+1 ∩ · · · ∩ Qn uma decomposi¸c˜ao prim´aria

de In _{onde Q}

j, para 1 ≤ j ≤ m, s˜ao as componentes prim´arias correspondentes aos

primos m´ınimos Pj de In e Qi, para m + 1 ≤ i ≤ n, s˜ao as componentes prim´arias

correspondentes aos primos imersos Pi de In. Desse modo,

(20)

Pelo Lema da esquiva, temos Pi ∩ S 6= ∅ para cada m + 1 ≤ i ≤ n. Desse modo,

S−1Pi = S−1R para cada m + 1 ≤ i ≤ n. Logo, S−1In = S−1Q1 ∩ · · · ∩ S−1Qm.

Portanto,

S−1In∩ R = S−1Q1∩ · · · ∩ S−1Qm∩ R = Q1 ∩ · · · ∩ Qm = I(n) (2.3)

como desejado.

Observa¸cão 2.1.3. Em algumas referências é comum definir a n-ésima potência simbólica de um ideal I em um anel R considerando S como o complementar em R da união de todos os primos associados de R/I. Obviamente, se I possui somente primos m´ınimos – por exemplo, quando I é radical – então estas duas defini¸cões coincidem.

2.2 Potˆ

encias simb´

olicas e a tor¸

c˜

ao do anel

gradu-ado associgradu-ado

´

E imediato da defini¸cão de potência simbólica que In _{⊂ I}(n) _{para cada n ≥ 0 e}

que I(1) _{= I se, e somente se, Ass}

R(R/I) = MinR(R/I). Para uma quantidade vasta

de ideais as inclus˜oes In _{⊂ I}(n) _s˜_{ao de fato pr´}_{oprias (ver Exemplos 1.3.4 e 1.3.5).}

Uma questão bastante discutida na teoria das potências simbólicas é sobre exemplos de classes de ideais em que In _{= I}(n) _{para cada n ∈ N (ver, por exemplo, [18], [33,}

Theorem 5.9], [2, Theorem 3.5] e [35]).

Defini¸cão 2.2.1. Um ideal I em um anel R é dito normalmente livre de tor¸cão se I(n)_{= I}n _{para cada n ≥ 1.}

A propriedade de um ideal ser normalmente livre de tor¸cão pode ser lida em seu anel graduado associado. Para explicarmos como esta leitura é realizada é conveniente relembrarmos algumas defini¸cões. Recordamos que um elemento v de um R-módulo M é dito elemento de tor¸cão de M se ele é anulado por algum elemento R-regular. O conjunto de todos os elementos de tor¸cão de M é um R-submódulo de M chamado R-submódulo de tor¸cão de M, o qual denotamos por τR(M ). O módulo M é dito livre

de tor¸c˜ao se τR(M ) = {0}.

(21)

τR/I(In−1/In) = (I(n)∩ In−1)/In (2.4) e τR/I(grI(R)) = M r≥0 (I(n)∩ In−1)/In (2.5) Prova. Come¸camos observando que, como I n˜ao tem primos imersos, ent˜ao

S = R \ [

P ∈Min(R/I)

P

´

e justamente o conjunto dos elementos de R que s˜ao R/I-regulares (ver, por exemplo, Proposi¸c˜ao 5.1.9 (c)). Assim, dado b ∈ In−1 _{temos as seguintes equivalˆ}_{encias ´}_obvias

(i) b + In ∈ τR/I(In−1/In).

(ii) ab + In = 0 + In para algum a ∈ R que ´e R/I-regular. (iii) ab + In _{= 0 + I}n _{para algum a ∈ S.}

(iv) ab ∈ In _{para algum a ∈ S.}

(v) b ∈ I(n)_.

(vi) b + In ∈ (I(n)_{∩ I}n−1_)/In_.

Portanto, dessas equivalências segue a primeira igualdade. A igualdade (2.5) é consequência imediata da (2.4).

Por esta proposi¸cão segue que conhecer as potências simbólicas de um ideal sem primos imersos significa conhecer a R/I-tor¸cão do anel graduado associado de I. Em particular, dizer se um ideal é normalmente livre de tor¸cão resulta em mostrar que o anel graduado associado de I é livre de tor¸cão.

Corolário 2.2.3. Se I é um ideal primo de um anel R gerado por uma sequência regular então I é normalmente livre de tor¸cão.

Prova. Por [5, Theorem 1.1.8], se I é um ideal gerado por uma sequência regular x1, . . . , xn, então grI(R) é isomorfo ao anel de polinômios R/I[y1, . . . , yn]. Como anéis

(22)

2.3 A ´

algebra de Rees simb´

olica

Em paralelo às propriedades das potências ordinárias listadas na Proposi¸cão 1.1.2 temos:

Proposi¸cão 2.3.1. Seja I um ideal em um anel R. Então: (a) Se 0 ≤ m ≤ n então I(n)_{⊂ I}(m)_.

(b) Para cada m, n ≥ 0, I(n)_{· I}(m) _{⊂ I}(m+n)_.

Em particular, a fam´ılia {I(r)_}

r≥0 ´e uma filtra¸c˜ao descendente de ideais de R.

Prova. De f´acil verifica¸c˜ao.

Como comentado na Observa¸cão 1.2.2, dada uma filtra¸cão de ideais podemos considerar a álgebra de Rees dessa filtra¸cão. Desse modo, faz sentido pensarmos na ´

algebra de Rees associada a filtra¸c˜ao {I(r)_}

r≥0, a qual denotamos por RR(I) ⊂ RsR(I)

e denominamos de álgebra de Rees simbólica. Claramente, temos as seguintes inclusões de R-álgebras graduadas

RR(I) ⊂ RsR(I) ⊂ R[t]. (2.6)

Em oposi¸cão às potências ordinárias, as simbólicas são definidas de tal modo que os elementos dos conjuntos Ass (R/I(n)) ficam bem determinados uma vez que conhe¸camos os elementos de Min (R/I). Todavia, isso custa um pre¸co que é repercu-tido no tocante a determina¸cão de geradores para o ideal I(n) _{ou da ´}_{algebra de Rees}

simbólica (por exemplo, a álgebra de Rees pode não ser finitamente gerada). De fato, estes são problemas bastante dif´ıceis no estudo das potências simbólicas.

2.4 O exemplo de Rees

Em 1900, no Congresso Internacional de Matemática em Paris, Hilbert propôs uma lista de vinte e três problemas (ver [16]). O décimo quarto problema dessa lista pode ser formulado da seguinte maneira:

Problema 2.4.1 (D´ecimo Quarto Problema de Hilbert). Seja k um corpo e x1, . . . , xn elementos algebricamente independentes sobre k. Suponha L um

sub-corpo de k(x1, . . . , xn) contendo k que ´e finitamente gerado como k-´algebra. O anel

(23)

Em um artigo de 1930, [36], O. Zariski propõe uma generaliza¸cão para o décimo quarto problema de Hilbert. Antes de enunciarmos esta generaliza¸cão convém relem-brar algumas no¸cões sobre normalidade.

Seja R ⊂ S uma inclusão de anéis. Um elemento x ∈ S é dito integral sobre R se existe um inteiro positivo n e elementos r1, . . . , rn ∈ R tais que

xn+ r1xn−1+ r2xn−2+ . . . + rn−1x + rn = 0 (2.7)

Chamamos essa equa¸cão de uma equa¸cão de dependência integral de x sobre R. Pode ser verificado que o conjunto dos elementos de S que são integrais sobre R é um subanel de S que contém R. Chamamos este subanel de S de fecho integral de R em S. O anel R é integralmente fechado em S se seu fecho integral em S é o próprio R. Se R é um anel que é integralmente fechado em seu anel total de fra¸cões (ou seja, o anel de fra¸cões de R com respeito ao conjunto multiplicativo R \ Z(R)) então dizemos que R é anel normal.

Exemplo 2.4.2. Todo dom´ınio fatorial é normal. Para verificar essa afirma¸cão, suponhamos f /g um elemento do corpo de fra¸cões de R que seja integral sobre R. Como R é dom´ınio fatorial, podemos supor mdc(f, g) = 1. Consideremos

(f /g)n+ r1(f /g)n−1+ r2(f /g)n−2+ . . . + rn−1(f /g) + rn = 0 (2.8)

uma equa¸c˜ao de dependˆencia integral de f /g. Multiplicando-a por gn obtemos fn= −g · (r1 · fn−1+ r2gfn−2+ . . . + rn−1gn−2f + rngn−1). (2.9)

Como mdc(f, g) = 1, conclu´ımos desse última igualdade que g = 1. Portanto, temos de fato que R é dom´ınio normal. Notemos, em particular, que os anéis de polinômios com coeficientes em um corpo são dom´ınios normais.

Um critério bastante útil para decidir sobre a normalidade de um anel é

Teorema 2.4.3 (Caracteriza¸cão de Serre). Um anel R é normal se, e somente se, as seguintes condi¸cões são verificadas:

(a) Para cada ideal primo P de R de altura no m´aximo 1, RP ´e anel regular.

(b) Para cada ideal primo P de R o ideal PP cont´em uma sequˆencia regular de

(24)

Prova. Ver [20, Chapter 4, Section 4.5].

As defini¸cões de anel regular e de sequência regular mencionadas acima podem ser encontradas na Se¸cão 5.3 do Apêndice A.

Exemplo 2.4.4. O polinˆomio f (x, y, z) = x3_{+ y}3_{+ z}3 _{∈ R := C[x, y, z] ´e irredut´ıvel}

(para concluir essa afirma¸c˜ao, podemos escrevˆe-lo na forma f (x, y, z) = x3 _{+ (y +}

z)(y2_−yz+z2_{) e utilizar o crit´}_{erio de Eisenstein com o elemento primo y+z). Tamb´}_em

temos que R/(f ) ´e um anel de Cohen–Macaulay, pois ´e o quociente de um anel de Cohen–Macaulay1 _{por um elemento regular. Logo, qualquer ideal primo de P ´}_{e tal}

que o PP cont´em uma sequˆencia regular de comprimento pelo menos min{2, alt(P )}.

Por outro lado, ∂f_∂x,∂f_∂y,∂f_∂z= (x2, y2, z2). Logo, o ideal jacobiano ∂f_∂x,∂f_∂y,∂f_∂z/(f ) tem codimensão 2 em R/(f ). Desse modo, pelo Critério Jacobiano 3.3.2, R/(f ) é regular localmente nos primos P de R/(f ) de altura no máximo 1. Portanto, pela caracteriza¸cão de Serre segue que R/(f ) é dom´ınio normal.

Agora podemos enunciar a generaliza¸c˜ao dada por O. Zariski

Problema 2.4.5 (Problema de Zariski). Seja k um corpo e k[a1, . . . , an] um

dom´ınio normal afim. Seja L um subcorpo de k(a1, . . . , an) contendo k que ´e

fini-tamente gerado como k-´algebra. O anel k[a1, . . . , an] ∩ L ´e finitamente gerado sobre

k?

Claramente, uma resposta positiva ao problema de Zariski implicaria, em par-ticular, na veracidade do problema de Hilbert. Ainda em [36], Zariski provou que se o grau de transcendência de L sobre k é menor ou igual a dois então a resposta para seu problema é de fato positiva. Todavia, em [28], D. Rees exibiu um pri-meiro contra-exemplo para o problema de Zariski. É nesse artigo que a conexão com potências simbólicas é estabelecida pela primeira vez. Para darmos uma breve ideia da estratégia de Rees, consideremos R o anel de coordenadas de uma curva plana projetiva não singular C sobre o corpo dos complexos. Suponha P ⊂ R o ideal de um ponto da curva C. Rees considera L como sendo o corpo de fra¸cões de RR(P )[t−1].

Enfim, ele mostra que a resposta para o problema de Zariski será verdade para este L e cada dom´ınio normal k[a1, . . . , an] cujo corpo de fra¸cões contém L se, e somente

se, a ´algebra de Rees simb´olica Rs

R(P ) ´e finitamente gerada.

1_{Remetemos o leitor para a Se¸}_c˜_{ao 5.3 do Apˆ}_{endice A para maiores informa¸}_c˜_{oes sobre a defini¸}_c˜_ao

(25)

Na sequência mostraremos alguns resultados que culminarão no exemplo de álgebra de Rees simbólica não finitamente gerada apresentado por Rees.

Proposi¸cão 2.4.6. Seja (R, m) um anel local e P um ideal primo de R. Se a álgebra de Rees simbólica Rs

R(P ) ´e Noetheriana, ent˜ao existe k ≥ 1 tal que P(k)n = P(kn)

para cada n ≥ 1.

Prova. Notemos que a inclus˜ao P(k)n ⊆ P(kn) _{segue de forma direta pela}

Pro-posi¸cão 2.3.1 (b). Assim, resta provar a inclusão contrária. Para isso, consideremos o seguinte ideal de Rs R(P ) : I := ∞ M n=1 P(n)tn. Como Rs

R(P ) ´e Noetheriano, I = (f1tr1, f2tr2, . . . , fstrs), onde fi ∈ P(ri) para 1 ≤ i ≤

s. Sejam r := mmc(r1, . . . , rs) e k := rs. Mostraremos que P(k)n ⊇ P(kn) para cada

n ≥ 1. Supondo m ≥ 1, qualquer elemento de P(m) é uma combina¸cão R-linear de monômios da forma fu1

1 · · · fsus onde u1r1 + u2r2 + · · · + usrs = m. Se m ≥ k = rs,

ent˜ao algum uiri ≥ r. Considere v = r/ri. Ent˜ao

fu1 1 · · · f us s = (f u1 1 · · · f ui−v i · · · f us s )f v i.

O primeiro fator na express˜ao acima pertence a P(m−r) _pois

u1r1+ · · · + (ui− v)ri+ · · · + usrs = m − r

e o segundo pertence a P(r) _{pois r}

iv = r. Assim P(m) ⊆ P(m−r) · P(r) para m ≥ k.

Isto implica que para qualquer inteiro positivo l P(k+rl) ⊆ P(k)_{· P}(rl)_.

Da´ı, para l = s temos P(2k) _{⊆ P}2(k)_{. Agora considerando l = s(n − 1) para qualquer}

n ≥ 1 e usando indu¸c˜ao, conclu´ımos que P(nk)_{⊆ P}(k)n _{para cada n ≥ 1.}

Para podermos fazer a demonstra¸cão do exemplo de Rees necessitamos de mais uma no¸cão: a de ideal integralmente fechado. Abaixo fazemos um resumo sobre esse conceito (para maiores informa¸cões recomendamos o excelente livro de Craig Huneke e Irena Swanson [20]).

(26)

Seja I um ideal de um anel R. Um elemento s ∈ R ´e dito integral sobre I se existe um inteiro positivo n e elementos ai ∈ Ii, 1 ≤ i ≤ n, tais que

sn+ a1sn−1+ a2sn−2+ · · · + an−1s + an = 0 (2.10)

Tal equa¸cão é chamada uma equa¸cão de dependência integral de s sobre I. O conjunto de todos os elementos de R que são integrais sobre I é um ideal, chamado fecho integral de I e denotado por ¯I. Se I = ¯I dizemos que I é ideal integralmente fechado. Um ideal J tal que I ⊂ J é dito integral sobre I se J ⊂ ¯I. Se para cada inteiro positivo r, Ir_´_{e integralmente fechado, ent˜}_{ao dizemos que I ´}_{e um ideal normal.}

O exemplo de ideal integralmente fechado mencionado na proposi¸c˜ao que segue ser´a ´

util para a prova do principal resultado dessa se¸c˜ao

Proposi¸cão 2.4.7. Seja R um dom´ınio normal e f ∈ R \ {0}. Então o ideal principal I = (f ) é integralmente fechado.

Prova. Seja s ∈ ¯I. Então temos uma equa¸cão de dependência integral da forma

sn+ b1f sn−1+ b2f2sn−2+ · · · + bn−1fn−1s + bnfn = 0 (2.11)

com bi ∈ R para cada 1 ≤ i ≤ n. Dividindo os dois lados dessa igualdade por fn

obtemos s f n + b1 s f n−1 + b2 s f n−2 + · · · + bn−1 s f + bn = 0. (2.12)

que é uma equa¸cão de dependência integral de s

f sobre R. Assim, como R ´e dom´ınio normal, s

f deve pertencer a R. Logo, existe a ∈ R tal que s = af. Portanto, I = ¯I como quer´ıamos.

Dados ideais J ⊂ I de um anel R, dizemos que J é uma redu¸cão de I se J In = In+1 para algum n ≥ 0. Em particular, se J é uma redu¸cão de um ideal I temos In+1 _{⊂ J}

para algum n ≥ 0. Logo, I e uma redu¸cão J de I possuem o mesmo radical. As no¸cões de fecho integral e de redu¸cão são ligadas pelo seguinte resultado Proposi¸cão 2.4.8. Sejam J ⊂ I ideais. Então J é uma redu¸cão de I se, e somente se, I ⊂ J .

(27)

Naturalmente, um ideal I tem ele próprio como redu¸cão. Todavia, o tipo de redu¸cão verdadeiramente interessante são as minimais. Uma redu¸cão J de I é dita redu¸cão minimal de I se não existe redu¸cão de I que esteja contida propriamente em J. Dada uma redu¸cão J de I, definimos o número de redu¸cão de J em I, denotado redJ(I), por

redJ(I) = min{n | J In= In+1}. (2.13)

O número de redu¸cão de I é dado por

red(I) = min{redJ(I) | J ⊂ I ´e redu¸c˜ao minimal de I}. (2.14)

Teorema 2.4.9 (Northcott–Rees). Seja (R, m) um anel local e I um ideal de R. Então, qualquer redu¸cão de I contém uma redu¸cão minimal de I. Além disso, se o corpo de res´ıduos R/m é infinito, então cada redu¸cão minimal de I tem número m´ınimo de geradores igual a `(I), onde `(I) denota o spread anal´ıtico de I.

Podemos agora enunciar o principal resultado dessa se¸c˜ao.

Teorema 2.4.10. Seja (R, m) um dom´ınio local e normal de dimensão 2. Suponhamos P um ideal primo de R de altura 1 tal que nenhuma potência simbólica de P é principal. Então a álgebra simbólica de P não é finitamente gerada sobre R.

Prova. Suponhamos que Rs

R(P ) seja finitamente gerada sobre R. Ent˜ao, pela

Pro-posi¸c˜ao 2.4.6 existe inteiro positivo k tal que P(nk) _{= (P}(k)₎n_{. Definamos I = P}(k)_.

Pelo Teorema 1.2.1 temos que a dimensão de Krull da álgebra de Rees S := RR(I) é

igual a 3. Seja x, y ∈ R um sistema de parâmetros de R. Afirmamos que existe uma sequência regular de comprimento 2 sob cada potência simbólica J = P(h)_{. Para ver}

isso podemos iniciar a sequência com x. Considere J/xJ. Se não pudermos escolher um segundo termo, então m deve ser um primo associado de J/xJ, e podemos esco-lher v ∈ J − xJ tal que vm ⊂ xJ. Assim, em particular, yv ∈ xR. Como y, x é uma sequência regular em R segue que v = xu com u ∈ R − J. Logo, xum ⊂ xJ e da´ı que um ⊂ J. Como os elementos de m − J são regulares módulo J, temos que u ∈ J, uma contradi¸cão. Assim, cada sistema de parâmetros em R é uma sequência regular sob J. Logo, J é um módulo de Cohen–Macaulay.

Assim, se a álgebra de Rees simbólica é finitamente gerada, x, y é uma sequência regular sobre cada P(n)_{, e desse modo x, y ´}_{e uma sequˆ}_{encia regular em S. Logo,}

(28)

quocientar por (x, y) decresce a dimensão do anel S exatamente duas unidades. Como o radical do ideal (x, y) é o ideal maximal de R, vemos que R/m⊗RS tem dimensão 1.

Isso mostra que o spread anal´ıtico de I é 1. Pelo Teorema 2.4.9, I contém uma redu¸cão J que é um ideal principal. Dessa forma, pela Proposi¸cão 2.4.8, J ⊂ I ⊂ J . Pela Proposi¸cão 2.4.7, os ideais principais são integralmente fechados. Assim, I é principal. Mas isso contradiz o fato que nenhuma potência simbólica de P é principal.

A questão natural que podemos fazer é qual seria o exemplo de anel que satisfaz as hipóteses do teorema acima. O exemplo que Rees considera é uma curva el´ıtica cúbica não singular do plano projetivo tal como a do Exemplo 2.4.4, ou seja, C = Z(x3₊

y3 _{+ z}3_{) ⊂ P}2_{. Como pode ser visto em [14, Theorem 4.16], o anel de coordenadas}

desta curva contém um ideal primo P de codimensão 1 cuja a ordem no grupo de classes de divisores é infinito. Assim, se existisse uma potência simbólica P(n) que fosse principal, digamos P(n)= (f, x3+y3+z3)/(x3+y3+z3), então a curva C0 = Z(f ) intersectaria a curva C somente no ponto determinado por P com multiplicidade n. Isso então acarretaria que nP é um divisor principal (de fato, nP seria div(f )). Logo, a ordem de P no grupo de classes de divisores seria finita, o que é uma contradi¸cão2_.

Observa¸cão 2.4.11. A resposta definitiva para o problema de Hilbert foi dada por Masayoshi Nagata no ano de 1958, em [26]. De fato, ele mostrou que a resposta era negativa. Seu contra-exemplo nesse artigo foi uma extensão L de k com grau de transcendência 13. Um ano depois, em [27], Nagata apresentou outro contra-exemplo onde o grau de transcendência de L sobre k é 4.

2.5 Alguns exemplos de ´

algebras de Rees simb´

olicas

finitamente geradas

Apesar de existirem exemplos de ideais em que a álgebra de Rees simbólica não é finitamente gerada, como visto na se¸cão anterior, há uma diversidade de ideais bem estruturados onde a álgebra de Rees é finitamente gerada. Nessa se¸cão nos ocupamos em listar alguns desses ideais.

(29)

2.5.1 Ideais Monomiais

Um monômio em um anel de polinômios R = k[x1, . . . , xn] é um polinômio da

forma xα₁ · · · xαn

n . Um ideal que admite um conjunto de monˆomios como geradores ´e

chamado ideal monomial. Os ideais monomiais são relativamente bem compreendi-dos em virtude da simplicidade de seus geradores e da possibilidade de enxergá-los também à luz de certas estruturas combinatórias subjacentes.

Teorema 2.5.1. (Herzog-Hibi-Trung, [15, Theorem]). Seja I ⊂ R := k[x1, . . . , xn]

um ideal monomial. Então a álgebra de Rees simbólica de I é finitamente gerada sobre R.

Vale observar que o teorema de Herzog-Hibi-Trung é um pouco mais geral que o enunciado acima. De fato, o resultado deles é para uma no¸cão mais geral de potência simbólica, onde a clássica, que tratamos nesse trabalho, é apenas um exemplo parti-cular.

2.5.2 Ideais determinantais

Seja R um anel e ϕ uma matriz de ordem m × n com entradas em R. Seja u um inteiro tal que 0 ≤ u ≤ min{m, n}. O ideal gerado por todos os menores de ordem u de ϕ ´e denotado por Iu(ϕ).

Seja R o anel de polinˆomios em m · n vari´aveis k[xij | 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n],

com k um anel. Chamaremos X = (xij) de matriz gen´erica de ordem m × n. Os

ideais Iu(X) são substancialmente bem entendidos ([6] é uma excelente referência

sobre tais ideais). Algumas propriedades fundamentais destes ideais s˜ao sumarizadas pela seguinte proposi¸c˜ao

Proposi¸c˜ao 2.5.2. Nas nota¸c˜oes acima: (a) alt(Iu(X)) = (m − u + 1) · (n − u + 1)

(b) R/Iu(X) ´e Cohen-Macaulay.

(c) R/Iu(X) ´e dom´ınio de integridade.

(d) Sing(R/Iu(X)) = V(Iu−1(X)/Iu(X))

(30)

Prova. Ver [6].

Observa¸cão 2.5.3. Observamos que se k é um corpo, I2(X) é justamente o ideal de

defini¸c˜ao da variedade de Segre P

n−1,m−1 ⊂ P

nm−1 _{(ver [14] para maiores detalhes}

sobre estas variedades).

A gera¸cão das potências simbólicas dos ideais Iu(X) é estabelecida pelo seguinte

resultado

Teorema 2.5.4 (De Concini–Eisenbud–Procesi, [9, Theorem 7.1(ii)]). Seja k um dom´ınio de integridade. Considere ` = min{m, n}. Ent˜ao, para cada 1 ≤ u ≤ `,

Iu(X)(r) =

X

Iu(X)ruIu+1(X)ru+1· · · I`(X)r` (2.15)

onde o somatório se estende sobre todas as sequências de inteiros não negativos ru, . . . , r` com ru+ 2ru+1+ · · · + (` − u + 1)r` ≥ r.

Como consequência imediata da igualdade (2.15) podemos explicitar os geradores das álgebras de Rees simbólica dos ideais Iu(X) da seguinte maneira

Corolário 2.5.5. Nas hipóteses e nota¸cões do teorema anterior temos: Rs

R(Iu(X)) = R[Iu(X)t, Iu+1(X)t2, . . . , I`(X)t`−u+1] (2.16)

Seja R = k[x1, . . . , xn] com k sendo um corpo. Dados 1 ≤ c ≤ n − 1 e 1 ≤ u ≤

bn−1 c c. A matriz Hn,c,u=          x1 x2 x3 . . . xn−(u−1)c x1+c x2+c x3+c . . . xn−uc x1+2c x2+2c x3+2c . . . xn−(u+1)c .. . ... ... ... ... x1+(u−1)c x2+(u−1)c x3+(u−1)c . . . xn

         (2.17) ´

e chamada uma matriz de Hankel generalizada (no caso c = 1 dizemos simplesmente matriz de Hankel).

Definamos m := bn+1_c+1c. Para cada 1 ≤ u ≤ m, consideremos Iu := Iu(Hn,c,u)

(observamos que a maneira que m foi definido implica que a quantidade de linhas de Hn,c,u ´e menor que a quantidade de colunas).

(31)

Teorema 2.5.6 (L. D. Nam, [25, Theorem 3.16]). Seja k um corpo. Ent˜ao I_u(r)=XIru u I ru+1 u+1 · · · I rm m (2.18)

onde o somatório se estende sobre todas as sequências de inteiros não negativos ru, . . . , rm com ru+ 2ru+1+ . . . + (m − u + 1)rm = r.

Observa¸cão 2.5.7. Para c = 1 o Teorema 2.5.6 fora demonstrado inicialmente por Aldo Conca em [8]. A prova de Aldo Conca é baseada nas ferramentas oriundas de uma no¸cão denominada de álgebras com lei de retifica¸cão. Já a prova de L. D. Nam ´

e inspirada nas rela¸cões existentes entre potências simbólicas e ideias secantes (tais rela¸cões serão tratadas no Cap´ıtulo 4).

2.6 Interse¸

c˜

oes completas conjuntistas

Seja I um ideal de um anel Noetheriano R. O posto aritm´etico de I com respeito a R ´e o inteiro

ara(I) := min n

m | existem f1, . . . , fm ∈ R tais que

√

I =p(f1, . . . , fm)

o

(2.19) Observa¸cão 2.6.1. Suponhamos R um anel de polinômios em n variáveis com coe-ficientes sobre um corpo k. Notemos que o número ara(I) nos dá o número m´ınimo de equa¸cões necessárias para determinar V(I) = {P ∈ Spec (R) | I ⊂ P } ⊂ R. Aler-tamos para o fato que ara(I) não fornece, em geral, o número m´ınimo de polinômios cujo lugar de zeros é o mesmo lugar de zeros de I, o qual denotamos por Z(I). Por exemplo, se I = (f1, . . . , fm) ⊂ R[x1, . . . , xn], então

Z(I) = Z(f₁2 + · · · + f_m2).

Contudo, ara(I) pode ser maior que 1, como no caso em que fi = xi para 1 ≤ i ≤ n.

Notamos pelo teorema do ideal principal de Krull a seguinte rela¸c˜ao:

alt(I) ≤ ara(I) (2.20) Defini¸cão 2.6.2. Seja I um ideal de um anel Noetheriano R. Dizemos que I é uma interse¸cão completa conjuntista se alt(I) = ara(I).

(32)

Teorema 2.6.3 (R. C. Cowsik, [10]). Seja (R, m) um anel local de dimens˜ao d com corpo de res´ıduos infinito. Seja P um ideal primo de R tal que P 6= m. Se Rs

R(P ) ´e finitamente gerada sobre R ent˜ao existem f1, f2. . . , fd−1 ∈ P tais que

P =p(f1, f2, . . . , fd−1) (em particular, ara(P ) ≤ d − 1).

Prova. Como Rs

R(P ) é finitamente gerada, pela Proposi¸cão 2.4.6 segue a existência

de um inteiro positivo k tal que P(k)n_{= P}(kn) _{para cada n ≥ 1. Desse modo, supondo}

I = P(k)_{, temos prof}

m(R/In) ≥ 1 para cada inteiro positivo n ≥ 1. Assim, pela

Desigualdade de Burch (ver Teorema 1.3.11), `(I) ≤ d − 1. Pelo Teorema 2.4.9 segue a existˆencia de um redu¸c˜ao J de I com d − 1 elementos. Como o radical de √J = √

I = P, segue o desejado.

Uma consequˆencia imediata do teorema acima ´e:

Corolário 2.6.4. Seja (R, m) um anel local de dimensão d com corpo de res´ıduos infinito. Seja P um ideal primo de R tal que P 6= m. Se dim(R/P ) = 1 então P é uma interse¸cão completa conjuntista.

(33)

Cap´ıtulo 3

Potˆ

encias simb´

olicas e operadores

diferenciais

O primeiro resultado estabelecendo conexões entre as potências simbólicas e os operadores diferenciais é o chamado teorema de Zariski-Nagata.

Teorema 3.0.5 (Zariski-Nagata). Seja k um corpo de caracter´ıstica zero e algebrica-mente fechado. Se I ´e um ideal radical do anel de polinˆomios R = k[x1, . . . , xn] = k[x],

ent˜ao I(r) = ( f ∈ R |∂ |a|_f ∂xa ∈ I para cada a ∈ N n_{com |a| =} n X i=1 ai ≤ r − 1 ) . (3.1)

Notamos que se I é o ideal de defini¸cão de uma variedade afim X então podemos concluir do teorema de Zariski-Nagata que I(r)é o ideal dos polinômios que se anulam com ordem superior a r em cada ponto de X, ou seja,

I(r) = \

p∈X

mr_p (3.2)

onde mp denota o ideal maximal correspondente ao ponto p. A prova do teorema de

Zariski-Nagata pode ser encontrada em [11, Section 3.9].

Na perspectiva de [12], apresentaremos nesse cap´ıtulo outras rela¸cões envolvendo as potências simbólicas e os operadores diferenciais. Como consequência do entendi-mento das potências simbólicas via os operadores diferenciais, finalizaremos o cap´ıtulo com um resultado que explica como calcular efetivamente as potências simbólicas de ideais radicais em anéis de polinômios sobre corpos de caracter´ıstica zero.

(34)

3.1 Operadores diferenciais

Sejam k um anel, R uma k-´algebra e M um R-m´odulo.

Defini¸cão 3.1.1. Um homorfismo de k-módulos D ∈ Homk(R, M ) é dito uma

de-riva¸c˜ao sobre k de R em M se satisfaz a regra de Leibniz

D(f g) = f D(g) + gD(f ) (3.3) para cada f, g ∈ R.

Escreveremos Derk(R, M ) para denotar o conjunto de todas as deriva¸c˜oes sobre

k de R em M. No caso especial em que M = R, utilizaremos a nota¸cão simplifi-cada Derk(R) em vez de Derk(R, R). É de fácil verifica¸cão que Derk(R, M ) é um

R-subm´odulo de Homk(R, M ).

Exemplo 3.1.2. Consideremos R = k[x1, . . . , xn]. Como ´e bem conhecido, os

opera-dores de derivadas parciais ∂ ∂xi

: R → R, 1 ≤ i ≤ n, s˜ao deriva¸c˜oes sobre k de R em R. Agora, consideremos δ ∈ Derk(R). Definindo eδ ∈ Homk(R, R) por

e δ = δ(x1) ∂ ∂x1 + · · · + δ(xn) ∂ ∂xn , (3.4)

temos eδ ∈ Derk(R). Por outro lado, δ(xi) = eδ(xi) para cada 1 ≤ i ≤ n. Logo, δ = eδ.

Portanto, Derk(R) = R ∂ ∂x1 + · · · + R ∂ ∂xn . (3.5) ´

E tamb´em imediato observar que ∂ ∂x1 , . . . , ∂ ∂xn ´

e um conjunto linearmente inde-pendente do R-módulo Derk(R), ou seja, Derk(R) é um R-módulo livre com base

∂ ∂x1 , . . . , ∂ ∂xn .

Observa¸cão 3.1.3. Uma das conjecturas mais celebradas em álgebra comutativa diz respeito aos módulos de deriva¸cões. Esta é a chamada conjectura de Zariski-Lipman. Precisamente, ela prediz que se k é um corpo de caracter´ıstica zero e R é um k-álgebra finitamente gerada tal que Derk(R)P é RP-módulo livre para cada ideal primo P de

R então o anel R é regular. Para maiores detalhes sobre a história e os avan¸cos realizados sobre essa conjectura sugerimos as referências [18], [21], [29].

(35)

Temos a seguinte no¸c˜ao central

Defini¸c˜ao 3.1.4. Sejam f ∈ R e D ∈ Homk(R, M ). O comutador de f e D ´e a

aplica¸c˜ao [f, D] : R → M definida por

[f, D](g) = D(f g) − f D(g) (3.6) para cada g ∈ R.

Observa¸c˜ao 3.1.5. Sejam α ∈ R e D, D0 ∈ Homk(R, M ). Para cada g ∈ R temos

[f, αD + D0](g) = (αD + D0)(f g) + f (αD + D0)(g)

= α(D(f g) + f D(g)) + (D0(f g) + f D0(g)) = α[f, D](g) + [f, D0](g)

= (α[f, D] + [f, D0])(g).

Logo, [f, αD + D0] = α[f, D] + [f, D0]. Portanto, para cada f ∈ R a aplica¸c˜ao [f, −] : Homk(R, M ) → Homk(R, M )

´

e um homomorfismo de R-m´odulos.

Dado x ∈ M, podemos considerar o k-homomorfismo de R em M que envia f ∈ R em f x. Doravante, abusaremos da nota¸c˜ao e representaremos esse homomorfismo por x.

Proposi¸c˜ao 3.1.6. Um homomorfismo D ∈ Homk(R, M ) satisfaz a igualdade

[f, [g, D]] = 0 (3.7) quaisquer que sejam f, g ∈ R se, e somente se, D = D + x para algum D ∈ Derk(R, M ) e algum x ∈ M.

Prova. Primeiramente, mostraremos que se D = D + x ent˜ao [f, [g, D]] = 0. De fato,

[f, [g, D + x]](h) = [g, D + x](f h) − f [g, D + x](h)

= (D + x)(g(f h)) − g(D + x)(f h) − f (D + x)(gh) + f g(D + x)(h) = 0

(36)

onde essa ´ultima igualdade segue do fato que D ∈ Derk(R, M ) e x ∈ M.

Agora, mostraremos a implica¸cão contrária. Defina x = D(1) e D = D − D(1). Para concluir o desejado é suficiente mostrar que D é uma deriva¸cão. Para isso, considere f, g ∈ R. Segue da hipótese que [f, [g, D]](1) = 0. Assim,

[g, D](f · 1) − f · [g, D](1) = 0 que implica em

D(gf ) − g · D(f ) − f D(g) + f gD(1) = 0, ou, equivalentemente, em

D(gf ) + f gD(1) = g · D(f ) + f D(g),

Somando −2f gD(1) a ambos os membros de dessa igualdade vem

(D − D(1))(f g) = g(D − D(1))(f ) + f (D − D(1))(g) ou seja,

D(f g) = gD(f ) + f D(g).

Defini¸c˜ao 3.1.7. Um homomorfismo D ∈ Homk(R, M ) ´e dito um operador

diferen-cial sobre k de R em M de ordem ≤ r se

[a0, [a1, . . . [ar, D] . . .]] = 0 (3.8)

Denotamos o conjunto dos operadores diferenciais sobre k de R em M de ordem ≤ r por Diff(r)_k (R, M ). Se M = R, utilizamos a nota¸c˜ao simplificada Diff(r)_k (R) em vez de Diff(r)_k (R, R).

Observa¸cão 3.1.8. Seja D ∈ Homk(R, M ). É imediato da defini¸cão acima que

D ∈ Diff(r)_k (R, M ) se, e somente se, [a, D] ∈ Diff(r−1)_k (R, M ) para cada a ∈ R. Assim, usando essa equivalência de forma indutiva juntamente com a Observa¸cão 3.1.5 con-clu´ımos que Diff(r)_k (R, M ) é R-módulo para cada r. Temos assim, a seguinte cadeia ascendente de R-módulos:

(37)

Para cada inteiro não negativo r definimos o seguinte R-submódulo de Diff(r)_k (R, M ) Der(r)_k (R, M ) = {D ∈ Diff(r)_k (R, M ) | D(1) = 0} (3.10) Observamos que cada D ∈ Diff(r)_k (R, M ) pode ser escrito de forma única como

D = D + x

onde x := D(1) ∈ M e D := D − D(1) ∈ Der(r)_k (R, M ). Logo,

Diff(r)_k (R, M ) = M ⊕ Der(r)_k (R, M ) (3.11) O R-módulo Der(r)_k (R, M ) é chamado módulo das k-deriva¸cões de ordem ≤ r. Se M = R, então escrevemos simplesmente Der(r)_k (R) em vez de Der(r)_k (R, R) Observe pela Proposi¸cão 3.1.6 que Der(1)_k (R, M ) = Derk(R, M ).

Observa¸c˜ao 3.1.9. Sejam D ∈ Diff(r)_k (R) e D0 ∈ Diff(s)_k (R). Um c´alculo direto nos mostra que, para qualquer a ∈ R,

[a, D ◦ D0] = D ◦ [D0, a] + [D, a] ◦ D + [D, D0(a)] + D(a) ◦ D0+ D0(a) ◦ D (3.12) Com essa identidade e a observa¸cão que ∆ ∈ Diff(r)_k (R, M ) se, e somente se, [a, ∆] ∈ Diff(r−1)_k (R, M ), segue por indu¸cão que D ◦ D0 ∈ Diff(r+s)_k (R). Desse modo, segue que o R-módulo

Dk(R) :=

[

r∈N

Diff(r)_k (R) (3.13) equipado com a opera¸cão de composi¸cão é uma R-álgebra. No caso particular em que R = k[x1, . . . , xn] é um anel de polinômios com coeficientes em um corpo k temos que

Dk(R) ´e gerado como R-´algebra pelos operadores

∂ ∂x1

, . . . , ∂ ∂xn

.

Defini¸cão 3.1.10. Seja I um ideal de um anel R. O r-ésimo idealizador diferencial de I é

I(r)I = {δ ∈ Diff (r)

k (R) | δ(I) ⊂ I} (3.14)

´

E de fácil verifica¸c˜_{ao que I}(r)_I é um R-submódulo de Diff(r)(R). Para r = 0, Diff(r)_{(R) = R. Assim, I}(0)_I = R.

(38)

Como Diff(r)(R) = R ⊕ Der(r)(R), ent˜ao I(r)I = R ⊕ cI (r) I , (3.15) onde c I(r)I = {δ ∈ Der (r)_{(R) | δ(I) ⊂ I}.} _(3.16)

Este último módulo é chamado a parte essencial do idealizador diferencial. Denota-remos I(1)I simplesmente por II.

Para um dado r ≥ 0, consideraremos (II)r ⊂ I(r)_I como sendo o subm´odulo gerado

por todas as combina¸c˜oes R-lineares de composi¸c˜_{oes de t elementos de I}I, para t ≤ r.

Para um elemento f ∈ R fixado, os conjuntos

(II)r(f ) := {δ(f ) | δ ∈ (II)r} (3.17) e I(r)I (f ) := {δ(f ) | δ ∈ I (r) I } (3.18) s˜_{ao ideais de R. Claramente, (I}I)r(f ) ⊂ I (r) I (f ).

3.2 Ideais primitivos e potˆ

encias simb´

olicas

Defini¸cão 3.2.1. Sejam I e J ideais de um anel R e r ≥ 0 um inteiro. (i) O r-ésimo ideal primitivo de J (relativo a I) é:

I (r)

I

J := {f ∈ J | I(r)I (f ) ⊂ J }. (3.19)

(ii) O r-´esimo ideal primitivo iterado de J relativo a I ´e: Z (r)

I

J := {f ∈ J | IrI(f ) ⊂ J }. (3.20)

As seguintes rela¸c˜oes s˜ao imediatas: I (r) I J ⊂ Z (r) I J e I (0) I J = Z (0) I J = J.

(39)

Proposi¸c˜ao 3.2.2. Sejam I ⊂ J ideais de um anel R. Ent˜ao, Z (r) I J = {f ∈ J | II(f ) ⊂ Z (r−1) I J }. Em particular, R(r) I J = R I R(r−1) I J .

Prova. Definamos, iteradamente, para r ≥ 0, Z (r−1→r) I J := ( f ∈ J | II(f ) ⊂ Z (r−2→r−1) I J )

com a condi¸c˜ao inicial R_I(−1→0)J := J.

Mostraremos que R_I(r)J = R_I(r−1→r)J, para cada r ≥ 0. Isso facilmente resulta na conclusão do teorema. Para provar esta igualdade argumentaremos por indu¸cão. Para r = 0 a conclusão é imediata. Assim, suponhamos indutivamente que R_I(s)J = R(s−1→s)

I J para s ≤ r − 1. Mostraremos a inclus˜ao

R(r)

I J ⊂

R(r−1→r)

I J, sendo a

oposta inteiramente semelhante. Assim, considere f ∈ R(r)

I J e δ ∈ II(f ) arbitr´ario.

Desejamos mostrar que δ(f ) ∈ R_I(r−1)J, i.e., que (δ1· · · δt)(δ(f )) ∈ J para cada

δ1, . . . , δt∈ II(f ) e para cada t ≤ r − 1. Contudo, (δ1· · · δt)(δ(f )) = (δ1· · · δtδ)(f ) ∈ J

pois f ∈R_I(r) e porque temos uma composi¸cão de t + 1 ≤ r deriva¸cões de ordem 1. Observa¸cão 3.2.3. É fácil ver que em ambas versões do ideal primitivo, podemos repor as respectivas formas do idealizador diferencial por suas partes essenciais sem afetar o resultado. Esse ponto técnico frequentemente simplifica argumentos de uma prova.

No resultado abaixo veremos como as potˆencias simb´olicas relacionam-se com os ideias primitivos iterados

Proposi¸cão 3.2.4. Sejam I ⊂ J ideais de uma k-álgebra R. Então (i) Para cada r ≥ 0, o anulador do R-módulo R_I(r)J/R_I(r+1)J contém J.

(ii) Se J não contém primos associados imersos então Ass (R/J ) = Ass (R/R(r)

I J )

para cada r ≥ 0.

(iii) Se J não contém primos associados imerso, então, para cada r ≥ 0, J(r+1) ⊂ ^

J(r+1) _⊂R(r)

I J, onde ^J(r+1) denota a imagem inversa em R de (J/I)

(r+1) _{⊂ R/I.}

(40)

(iv) A fam´ılia {R_J(r)J }r≥0 ´e uma filtra¸c˜ao multiplicativa descendente.

Prova. (i) Faremos a prova dessa asser¸c˜ao aplicando indu¸c˜ao sobre r. Para r = 0, devemos mostrar que J2 _⊂ R

IJ. Como veremos essa parte estar´a inclu´ıda na etapa

geral da recurs˜ao. Assim, considere f ∈ R(r)

I J e g ∈ J. Dado δ ∈ II, temos δ(gf ) =

δ(g)f + gδ(f ). O primeiro somando do lado direito dessa igualdade pertence a R_I(r)J (pois f pertence). Como δ(f ) ∈R_I(r−1)J por hipótese, o segundo somando pertence a JR_I(r−1)J. O último está contido emR_I(r)J pela hipótese indutiva. Assim, mostramos que δ(gf ) ∈R_I(r)J ; logo gf ∈R_I(r+1)J, como desejado.

(ii) Pela parte (i) e indu¸c˜ao sobre r, temos Jr+1 _⊂R(r)

I J (⊂ J ) para cada r ≥ 0.

Desse modo, R_I(r)J e J tem o mesmo radical para cada r ≥ 0. Por outro lado, segue imediatamente pela defini¸c˜ao que, para qualquer dois ideais J1, J2 contendo

I, R_I(r)(J1 ∩ J2) =

R(r)

I J1 ∩

R(r)

I J2. Como J n˜ao tem primos imersos por hip´otese,

podemos reduzir ao caso em que J é ideal primário. Digamos, Ass (R/J ) = {P }. Pela sequência exata

0 → J/ Z (r) I J → R/ Z (r) I J → R/J → 0

temos Ass (R/R_I(r)J ) ⊂ Ass (J/R_I(r)J ) ∪ Ass (R/J ). Dessa forma, ´e suficiente mostrar que J/R(r)

I J ´e P -prim´ario. Para isso, suponha que Q ∈ Spec(R) seja um primo

associado, digamos, Q = (0 :R x) para algum x ∈ J \

R(r)

I J. ´E suficiente mostrar

que Q ⊂ P. Dado a ∈ Q, temos ax ∈ R_I(r)J. Por defini¸c˜_{ao, para qualquer ξ ∈ (I}I)r,

ξ(ax) ≡ aξ(x) ≡ 0 mod J. Se a /∈ P, devemos ter ξ(x) ∈ J. Mas ent˜ao x ∈ R_I(r)J, levando a uma contradi¸c˜ao.

(iii) A inclus˜ao J(r+1) _{⊂ ^}_J(r+1) _{segue trivialmente pela defini¸c˜}_{ao de potˆ}_encias

simbólicas. Para provar a segunda inclusão utilizaremos indu¸cão sobre r. O resultado ´

e trivial para r = 0. Agora consideremos f ∈ ^J(r+1)_{. Pela Proposition 3.2.2 devemos}

mostrar que δ(f ) ∈ R_I(r−1)_{J para cada δ ∈ I}I. Por defini¸cão de potência simbólica,

existe x ∈ R \ Z((R/I)/(J/I)) = R \ Z(R/J ) tal que xf ∈ Jr+1 + I. Pela parte (i), Jr+1 ⊂ R(r)

I J , ent˜ao xf ∈

R(r)

I J. Da´ı segue que δ(x)f + xδ(f ) = δ(xf ) ∈

R(r−1)

I J.

Mas f ∈ ^J(r+1) _{⊂ g}_J(r)_{. Pela hip´}_{otese indutiva, g}_J(r) _⊂ R(r−1)

I J. Ent˜ao tamb´em temos

xδ(f ) ∈ R(r−1)

I J. Pelo que foi suposto sobre x e pela parte (ii) devemos ter δ(f ) ∈

R(r−1)

I J, como quer´ıamos mostrar.

Para a outra senten¸ca, notemos que os primos associados de J/I originam-se dos de J ; logo J/I tamb´em n˜ao tem primos associados. Nesse caso, Ass (J/I) =

(41)

Ass ((J/I)(r+1)_{) para qualquer r ≥ 1 pela defini¸c˜}_{ao de potˆ}_{encias simb´}_{olicas. Como}

os primos associados de ^J(r+1) _s˜_{ao as imagens inversa dos de (J/I)}(r+1)_{, a afirma¸c˜}_ao

segue.

(iv) Por defini¸cão, a sequência é uma filtra¸cão descendente. Para ver que ela é multiplicativa, considere ri ≥ 0 e fi ∈

R(ri)

I J (i = 1 ou 2). Aplicaremos indu¸c˜ao sobre

a soma r1+ r2. O resultado ´e trivial se r1+ r2 = 0. Assim, suponhamos r1+ r2 ≥ 1.

Dado δ ∈ II temos: δ(f1f2) = δ(f1)f2+ f1δ(f2) ∈ Z (r1−1) I J · Z (r2) I J + Z (r1) I J · Z (r2−1) I J ⊂ Z (r1+r2−1) I J

onde a última inclusão segue da hipótese indutiva. O resultado desejado segue agora da Proposi¸cão 3.2.2.

Observa¸cão 3.2.5. Se R é anel de polinômios sobre um corpo algebricamente fechado e de caracter´ıstica zero e J ⊂ R é um ideal radical, então, pelo teorema de Zariski-Nagata, considerando I = (0), temos que as inclusões na Proposi¸cão 3.2.4(iii) são igualdades, ou seja,

J(r+1) = ^J(r+1) ₌

Z (r)

0

J, (3.21)

O lema a seguir explica como o idealizador se comporta diante da decomposi¸cão primária e da forma¸cão de anel de fra¸cões

Lema 3.2.6. Seja R uma k-´algebra de tipo finito sobre um anel k. Suponhamos I ⊂ J ideais de R sem primos imersos.

(a) Se I = Q1∩ · · · ∩ Qr é decomposi¸cão primária de I, então II = IQ1 ∩ · · · ∩ IQr.

(b) Se S ⊂ R um conjunto multiplicativo, ent˜ao S−1_II ' IS−1_I e S−1Ib_I ' [I_S−1_I.

(c) Se S ⊂ R um conjunto multiplicativo, ent˜ao S−1(R_I(r)J ) 'R_S(r)−1_IS

−1_{J para cada}

r ≥ 0.

Prova. (a) Para cada 1 ≤ i ≤ r, denotaremos o primo correspondente a componente prim´aria Qi por Pi.

Consideremos δ ∈ IQ1 ∩ · · · ∩ IQr. Ent˜ao, dado f ∈ Q1 ∩ · · · ∩ Qr = I temos

δ(f ) ∈ Q1∩ · · · ∩ Qr = I. Logo, δ ∈ II e isso conclui a inclus˜ao