SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL Ministério da Educação

SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL

Ministério da Educação

Universidade Federal do Rio Grande

Universidade Aberta do Brasil

Administração – Bacharelado

Matemática para Ciências Sociais Aplicadas I

Rodrigo Barbosa Soares

4. Geometria Analítica:

4.1. Introdução:

A Geometria Analítica é uma parte da Matemática que, através de processos particulares, estabelece as relações existentes entre a Álgebra e a Geometria (esta última já era do conhecimento dos gregos, há mais de dois mil anos). Desse modo, uma reta, uma circunferência ou uma figura geométrica qualquer podem ter suas propriedades estudadas através de métodos algébricos. Os estudos iniciais da Geometria Analítica se deram no século XVII.

Dois franceses, Pierre de Fermat (1601-1665) e René Descartes (1596-1650), curiosamente, ambos graduados em Direito, nenhum deles matemático profissional, são os responsáveis por esse grande avanço científico. A contribuição de Fermat à geometria analítica encontra-se num pequeno texto intitulado Introdução aos

Lugares Planos e Sólidos (Ad locos planos et sólidos isagoge) e data do ano 1636,

mas que só foi publicado em 1679, postumamente, junto com sua obra completa. Para muitos historiadores, tal manuscrito representa o marco zero da Geometria Analítica.

A Geometria Analítica de Descartes apareceu em 1637, no apêndice intitulado La Géometrie do seu Discurso do Método. Este livro e os seus princípios filosóficos criaram as fundações para o Cálculo, que foi mais tarde introduzido independentemente por Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz. Todo o seu trabalho consistia em partir de um problema geométrico, traduzi-lo para uma linguagem de equação algébrica, simplificando ao máximo, e resolvê-lo geometricamente. Sua obra La Géometrie se caracteriza, então, por uma completa aplicação da Álgebra à Geometria e da Geometria à Álgebra. Nessa obra, Descartes defende o método matemático como modelo para a aquisição de conhecimentos em todos os campos.

4.2. Distância entre dois pontos na reta orientada:

Entre os pontos de uma reta e os números reais, existe uma correspondência biunívoca, isto é, a cada ponto da reta corresponde um único número real e vice-versa. Considerando uma reta horizontal x, orientada da esquerda para a direita (chamada de reta orientada ou eixo), o ponto fica determinado através de um número real chamado de coordenada (nesse caso abscissa) desse ponto.

Observando a reta a seguir, podemos dizer que a distância entre os pontos A e B, de coordenada a e b, respectivamente , é dada por

d ( A,B)=∣b−a∣

onde o númzero real

d ( A,B)

é também chamado de comprimento do segmento

AB

. Dois pontos distintos do eixo situados à mesma distância da origem (0) são denominados simétricos em relação à origem.

Exemplo 1:

Dados os pontos A, B e C das coordenadas -4, 2 e 6, respectivamente, calcular:

a) a distância entre A e B;

d ( A,B)=∣2−(−4 )∣=∣2+4∣=6

b) o comprimento do segmento

BC

.

d ( B,C)=∣6−2∣=∣4∣=4

.

4.3. Sistema cartesiano ortogonal:

O plano cartesiano ortogonal é constituído por dois eixos x e y perpendiculares entre si que se cruzam na origem. O eixo horizontal é o eixo das abscissas (eixo OX) e o eixo vertical é o eixo das ordenadas (eixo OY). O ponto 0, intersecção dos eixos, é chamado de origem. Associando a cada um dos eixos o conjunto de todos os números reais, obtém-se o plano cartesiano ortogonal. Os dois eixos dividem o plano em quatro regiões, chamadas de quadrantes. A identificação dos quadrantes é feita no sentido anti-horário.

Estabelecido o sistema, podemos identificar qualquer ponto do plano cartesiano por meio de um par ordenado de números reais. Seja P um ponto do plano cartesiano: suas coordenadas são “a” e “b”, onde “a” é a abscissa e “b” a ordenada, conforme mostra a figura abaixo.

3

0

a

b

A

B

x

-2

-1

1

2

Todo par ordenado (a,b) de números reais fica associado a um único ponto P do plano. A linha reta que divide ao meio os quadrantes ímpares é chamada de bissetriz dos quadrantes ímpares e a que divide os quadrantes pares é a bissetriz dos quadrantes pares.

Observações:

Os pontos pertencentes ao eixo das abscissas possuem ordenadas nulas, isto é, suas coordenadas são (a,0).

Os pontos pertencentes ao eixo das ordenadas possuem abscissas nulas, isto é, suas coordenadas são (0,b).

Os pontos pertencentes à bissetriz do 10 _{e 3}0 _{quadrantes têm coordenadas} iguais. Por exemplo (2,2) e (-2.-2).

Os pontos pertencentes à bissetriz do 20 _{e 4}0 _{quadrantes têm coordenadas} simétricas, por exemplo (-2,2) e (2.-2).

4.4. Distância entre dois pontos no plano cartesiano:

4

y eixo das ordenadas x eixo das abscissas 10 quadrant e 40 quadrant e 20 quadrant e 30 quadrant e

b

P(a,b)

a

0

Dados os pontos

A ( x

_A

,y

_A

)

e

B ( x

_B

,y

_B

)

, e sendo

d

AB

=d ( A,B )

a distância entre eles, conforme mostra a figura. Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo ABC, obtemos:

(

d

_AB

)

2

=(

AC )

2

₊₍

_CB)

2

(

d

_AB

)

2

=(

x

_B

−

x

_A

)

2

+(

y

_B

−

y

_A

)

2

Logo, a distância entre os pontos A e B é dada por:

d

_AB

=d ( A,B )=

√

(

x

_B

−

x

_A

)

2

+(

y

_B

−

y

_A

)

2 .

No gráfico acima,

Δx=x

_B

−

x

_A é a variação horizontal sofrida pela reta que une os pontos A e B e

Δy=y

_B

−

y

_A é a variação vertical.

Δx

e

Δy

são os incrementos das coordenadas de A para B.

Exemplo 2:

Sabe-se que o ponto P(a,2) é equidistante dos pontos A(3,1) e B(2,4). Calcular a abscissa “a” do ponto P.

Se P é equidistante (mesma distância) de A e B, devemos ter

d ( P,A )=d (P,B )

,

1

)

a

3

(

)

2

1

(

)

a

3

(

)

A

,

P

(

d

=

−

2

+

−

2

=

−

2

+

d ( P,B)=

√

(

2−a )

2

+(

4−2)

2

=

√

(

2−a )

2

+

4

. Assim:

√

(

3−a)

2

₊

₁₌

_√

_{(2−a )}

2

₊₄

(

3−a )

2

+

1=(2−a )

2

+

4

9−6a +a

2

+

1=4−4a +a

₂

+

4

−6a +4a=4 +4−9−1

−2a=−2

2a=2

a=1

5

∆

x

∆

y

x

y

AB

d

C

A

B

0

y

_A

y

_B

x

_A

x

_B

Exemplo 3:

O triângulo ABC tem vértices A(1,1), B(5,1) e C(1,5). Calcular o seu perímetro e verificar que o triângulo é retângulo e isósceles.

Solução: A figura ao lado mostra a identificação dos pontos no plano cartesiano.

Cálculo das medidas dos lados do triângulo:

d

_AB

=

√

(5−1 )

2

+(1−1)

2

=

√

16=4

d

_AC

=

√

(

1−1 )

2

+(

5−1)

2

=

√

16=4

d

_BC

=

√

(

1−5 )

2

+(

5−1 )

2

=

√

16+16=4

√

2

Cálculo do perímetro do triângulo:

p=d

_AB

+d

_AC

+d

_BC

=

8+4

√

2

Como

d

_AC

=d

_AB

=

4

o triângulo é isósceles. Aplicando o teorema de Pitágoras, vem:

(

d

_AB

)

2

+

₍

d

_AC

)

2

=

₍

d

_BC

)

2

⇒

4

2

+

4

2

=

(

4

√

2

)

2

⇒

32=(16) (2)⇒ 32=32

, logo, o triângulo é retângulo. (Verifica o teorema de Pitágoras)

Exercícios:

Calcule a distância entre os pontos

_A

e

B

nos seguintes casos: a)

A

(

0

,

3

)

e

B

(

5

,

0

)

_R

_:

₃₄

b)

A (2,5 )

e

B (−1,1 )

R :5

c)

A (3,4 )

e

B (−2,−3 )

_{R :}

_√

₇₄

d)

A

(

2

3

,1

)

e

B

(

−2,

3

2

)

R :

√

265

6

4.5. Ponto médio de um segmento:

6

B

C

A

1 1 5 5 x y

O ponto médio M localizado entre A e B (aquele que divide o segmento AB

ao meio) tem coordenadas

_M

(

x

A

+x

B

2

,

y

_A

+y

_B

2

)

.

Exemplo 4:

Os vértices de um triângulo são os pontos A(0,4), B(2,-6) e C(-4,2). Calcular os comprimentos das medianas do triângulo.

Cálculo dos pontos médios:

M1⇒ ponto médio de

BC

M

₁

(

2−4

2

,

−6+2

2

)

⇒

M

1

(−1,−2 )

M2⇒ ponto médio de

AC

M

₂

(

0−4

2

,

4+2

2

)

⇒

M

1

(−2,3 )

M3⇒ ponto médio de

AB

M

₃

(

0+2

2

,

4−6

2

)

⇒

M

1

(1,−1 )

, Cálculo dos comprimentos das medianas:

Comprimento da mediana

AM

₁ sendo A(0,4) e M1 (-1,-2)

d ( A,M

₁

)=

√

(−1−0)

2

_{+(−2+(−4 ))}

2

₌

_√

₁₊₃₆₌

_√

₃₇

Comprimento da mediana

BM

₂ sendo B(2,-6) e M2 (-2,3)

d ( B,M

₂

)=

√

(−2+(−2 ))

2

₊₍

_{3+6 )}

2

₌

_√

₁₆₊₈₁₌

_√

₉₇

Comprimento da mediana

CM

₃ sendo C(-4,2) e M1 (1,-1)

7

M

₁

M

₂

M

₃

B

A

C

d (C,M

₃

)=

√

(

1+4 )

2

_+(−1−2)

2

₌

_√

₂₅₊₉₌

_√

₃₄

4.6. Condição de alinhamento de três pontos:

Três pontos A(xA,yA), B(xB,yB) e C(xC,yC) estão alinhados se, e somente se, o determinante

∣

x

_A

y

_A

1

x

_B

y

_B

1

x

_C

y

_C

1

∣=0

Dessa forma, pela figura acima, verificamos que os triângulos ABD e BCE são semelhantes. Então:

AD

BE

=

DB

EC

⇒

x

_B

−

x

A

x

_C

−

x

B

=

y

B

−

y

A

y

_C

−

y

B ou

(

x

_B

−

x

_A

)(

y

_C

−

y

_B

)−(

x

_C

−

x

_B

)(

y

_B

−

y

_A

)=0

_{, que após efetuarmos os produtos}

x

_A

y

_B

+x

_C

y

_A

+x

_B

y

_C

−

x

_A

y

_C

−

x

_C

y

_B

−

x

_B

y

_A

=0

_{verificamos o determinante acima.}

Esse mesmo determinante serve para calcular a área de um triângulo de vértices A, B e C (pontos não alinhados).

Área do Δ=

1

2

∣

x

A

y

A

1

x

_B

y

_B

1

x

_C

y

_C

1

∣

_. Exemplo 5:

Verificar se os pontos

A (1,2)

,

B (2,3)

e

C( 4,5)

estão alinhados.

Solução: Os pontos

A

,

B

e

C

estão alinhados se, e somente se:

0

1

5

4

1

3

2

1

2

1

=

, resolvendo o determinante encontramos

3+8+10−12−5−4=0

então,

A

,

B

e

C

estão alinhados.

8

D C B A

x

_A

x

_B

x

_C

y

_C

y

_B

y

_A E

Exemplo 6:

Determinar m ∈ ℜ para que os pontos

A (3,1)

,

B (m,m)

e

C(1, m+1)

sejam vértices de um triângulo.

Solução: Se

A

,

B

e

C

são vértices de um triângulo, então não devem ser alinhados, ou seja:

∣

3

1

1

m

m

1

1 (m+1 ) 1

∣≠0

_{, resolvendo o determinante obtemos:}

3m+1+m (m+1)−m−3(m+1)−m≠0 ⇒ m

2

−

m−2≠0 ⇒

{

m≠2

_e

m≠−1

}

4.7. Retas no plano cartesiano:

4.7.1. Equação geral da reta que passa por dois pontos:

A equação geral de uma reta pode ser determinada, a partir da condição de alinhamento de 3 pontos. Dada uma reta r, sendo

A ( x

A

,y

A

)

e

B ( x

_B

,y

_B

)

pontos conhecidos e

P( x,y )

um ponto genérico. Se

A

,

B

e

P

estão alinhados, podemos escrever:

0

)

y

x

y

x

(

y

)

x

x

(

x

)

y

y

(

0

y

x

y

x

y

x

1

y

x

1

y

x

1

y

x

0

1

y

x

1

y

x

1

y

x

A B B A A B B A B B A A B B A A B B A A

=

−

+

−

+

−

=

⇒

=

fazendo

(

y

A

−

y

B

)

=a

,

(

x

A

−

x

B

)

=b

e

(

x

A

y

B

−

x

B

y

A

)

=c

,

com a e b não simultaneamente nulos, temos:

ax+by+c=0

a equação geral da reta.

Exemplo 7:

Determinar a equação geral da reta r que passa por

A (1,3 )

e

B (2,4 )

.

Solução: considerando o ponto

P( x,y )

da reta, temos:

∣

x

y

1

1 3

1

2 4

1

∣=0 ⇒∣

x

1 3

y

1

1

2 4

1

∣

x

y

1 3

2 4

=0

3x+2y +4−6=0⇒ x− y+2=0

Para a determinação de uma reta, é fundamental sabermos o que é inclinação, coeficiente angular da reta e o coeficiente linear da reta.

4.7.2. Inclinação e coeficiente angular de uma reta:

Dados dois pontos

P( x

1

,y

1

)

e

Q( x

2

,y

2

)

com

x

1

≠

x

2 , o coeficiente angular m da

reta que passa por esses pontos é o número real

m=

y

2

−

y

1

x

₂

−

x

₁ . O coeficiente angular ou

declividade expressa o valor da tangente do ângulo α que a reta faz com o eixo das abscissas. Se o ângulo está no primeiro quadrante, o sinal do coeficiente angular é positivo (mesmo sinal da tangente) e se o ângulo está no segundo quadrante, o sinal do coeficiente angular é negativo.

Então, podemos dizer que

m=

y

2

−

y

1

x

₂

−

x

₁

=tan( α )

.

A inclinação da reta r é a medida do ângulo α. Podemos, também, dizer que um coeficiente angular se calcula como a variação na vertical por unidade de variação horizontal. Assim,

Δy=y

₁

−

y

₂ é a variação vertical de P a Q,

Δx=x

₁

−

x

₂ é a variação horizontal de P a Q e o coeficiente angular definimos como sendo

m=Δy / Δx

.

0

o

<α<90

o

₉₀

o

_<α<180

o

_{α= 90}

o

Uma reta que é ascendente, quando x aumenta, tem coeficiente angular m positivo

(

0

o

<α<90

o

)

. Se a reta é descendente, à medida que x aumenta, então, seu coeficiente angular é negativo

(

90

o

_<α<180

o

₎

_{. Uma reta horizontal tem coeficiente angular zero, pois} todos os seus pontos têm a mesma ordenada, tornando

Δy= 0

. Uma reta horizontal é uma

reta paralela ao eixo das abscissas. Se

_{α= 90}

o a reta r é uma reta vertical, ou seja, é paralela ao eixo das ordenadas. Assim,

Δx= 0

e a razão

m=Δy / Δx

é indefinida. Retas

verticais não têm coeficiente angular.

Então:

m=tgα=

y

2

−

y

1

x

₂

−

x

₁

=

Δy

Δx

é o coeficiente angular ou a declividade da reta r.

4.7.3. Coeficiente linear de uma reta:

É a ordenada (altura) n do ponto (0,n), onde a reta corta o eixo das ordenadas.

1

x

y

Coeficien te linear

n

Exemplo 8 :

Em que ponto a reta

3x+2y−6=0

intercepta o eixo y?

Fazemos

x=0

na equação

3(0 )+2y−6=0

e obtemos o valor de

y=3

que é o coeficiente linear da reta, ou dividindo por 2 a equação

3x+2y−6=0

,

temos

y=−

3

2

x+ 3

, onde

−

3

2

é o coeficiente angular da reta e

3

o

coeficiente linear.

4.7.4. Reta vertical e reta horizontal:

Se a reta é vertical, ela não possui coeficiente linear nem angular e é indicada por

x=a

. Por outro lado, se a reta é horizontal, seu coeficiente angular é nulo e o coeficiente linear é a equação da própria reta,

y=b

.

4.8. Estudo da equação da reta:

4.8.1. Equação da reta que passa por um ponto P(x,y) e de

coeficiente angular (ou declividade) m:

Uma reta fica perfeitamente determinada se conhecemos um ponto, que pertença à mesma, e seu coeficiente angular. Seja a reta r que passa por

P( x

₁

,y

₁

)

e tem coeficiente angular m. Tomamos um ponto

Q

qualquer de r

(

P≠Q)

, então podemos escrever:

x

x

y

y

Reta Vertical x=

a

Reta Horizontal y=

b

1

m=

y− y

1

x−x

₁

⇒

y − y

1

=m( x−x

1

)

Exemplo 9:

Determinar a equação geral da reta r que passa por P(3,-1) e tem coeficiente angular m=tg 45º_.

Se m=tg 45°⇒ m=1 . Sendo P(3,-1) ⇒ x1 = 3 e y1=-1, logo a equação geral da reta é

y−(−1)=1( x−3 )⇒ y+1 =x−3 ⇒ x− y −4=0

Exemplo 10:

Quando o preço por unidade de um produto (x) vale R$ 16,00, então, 42 unidades são vendidas por mês; quando o preço por unidade vale R$ 24,00, são vendidas 38 unidades por mês. Admita que o gráfico da quantidade (y) em função de x seja formado por pontos de uma reta.

a) Esboce o gráfico y = f(x); b) Obtenha a expressão de y em função de x; c) Se o preço por unidade for R$ 26,00, qual será a quantidade vendida?

Solução:

a) a reta passa pelos pontos A(16,42) e B(24,38), marcando os pontos no plano cartesiano temos: B A 40 30 20 10 10 20 30 _X(reais) y(unidades)

1

b) para obtermos a expressão de y em função de x (equação da reta), podemos calcular a equação geral da reta que passa por dois pontos, ou calcularmos o coeficiente angular e determinar a equação da reta que passa por um ponto e tem coeficiente m.

Primeiro, vamos determinar a equação geral da reta que passa por A e B, por meio de determinante:

∣

x

y

1

16 42 1

24 38 1

∣

x

y

16 42

24 38

=

0⇒ 42 x+24 y+608−1008−38 x−16 y= 0⇒

4x +8y−400=0 ⇒(÷4 )⇒ x+2y−100=0

, que é a equação geral da reta que passa por A e B. Isolando y, obtemos a expressão de y em função da variável x,

y=−

x

2

+50

.

A outra maneira é calcularmos

m=

38−42

24−16

=−

1

2

, pegando o ponto A(16,42),

a equação da reta é

y−42=−

1

2

(

x−16 )⇒ y=−

1

2

x+50

, o que verifica o esboço do

gráfico. No gráfico, verificamos que o coeficiente angular da reta é negativo, pois o ângulo formado pela reta com o eixo dos x é >90°.

c) Se o preço(x) for R$ 26,00, então,

y=−

1

2

(

26 )+50=37

unidades.

Exemplo 11:

(ANPAD) A figura abaixo mostra um paralelogramo de vértices

A

,

B

,

C

e

D

. Sabe-se que o lado

AB

é paralelo a

CD

. Determine a equação da reta suporte do lado

CD

. Solução: A reta que une os pontos

C

e

D

tem a mesma inclinação da reta que une os pontos

A

e

B

, então

m=

4−1

2−1

=3

é o

coeficiente angular da reta

CD

, que passa por

C(5,2 )

. A equação da reta suporte do lado

CD

é

y−2=3( x−5 )⇒ y=3x−13

1

B(1,1)

D

C(5,2)

A (2, 4)

4.8.2. Equação reduzida da reta:

Partindo da equação

y− y

₁

=m ( x−x

₁

)

, onde

m=

y− y

1

x−x

₁ , e considerando que

P( x

₁

,y

₁

)

é igual a

P(0, n)

, então,

y−n=mx

, ou seja,

y=mx+n

é a equação reduzida de reta.

Ainda, partindo da equação geral da reta

ax+by+c=0

, isolando y, temos:

by=−ax−c ⇒ y=−

a

b

x−

c

b

, fazendo

−

a

b

=m

e

−

c

b

=n

, obtemos a equação da reta na forma reduzida

y=−

a

b

x −

c

b

=mx+n

Exemplo 12

:

Calcular os coeficientes angulares (m) e lineares (n) das retas:

r :2x+ 3y−5=0

s :3y−4x=0

Solução:

m

_r

=−

a

b

⇒

m

r

=−

2

3

n

r

=−

c

b

=

5

3

m

_s

=−

a

b

⇒

m

s

=

4

3

n

s

=−

c

b

=

0

a equação reduzida é:

r : y=−

2

3

x+

5

3

s : y=

4

3

x

1

Coeficiente angular da reta Coeficiente linear da reta x y n

Exemplo 13:

(FGV-SP) Quando uma família tem uma renda mensal de R$ 3.000,00, ela consome R$ 2.800,00 por mês; quando a renda é de R$ 5.000,00, ela consome R$ 4.200,00.

a) Chamando de X a renda mensal e de C o consumo, obtenha C em função de X, sabendo-se que o gráfico de C em função de X é uma reta.

P(3000,2800) e Q(5000,4200), a reta que passa pelos pontos P e Q é:

∣

x

y

1

3000 2800 1

5000 4200 1

∣

x

y

3000 2800

5000 4200

=

0⇒ 2800 x+ 5000 y+12600000−14000000−

4200 x−3000 y= 0⇒ 2000 y−1400 x−1400000=0 ⇒ y=

7

10

x+700

Assim, o custo é dado pela equação:

C( x )=

7

10

x+700

b) Chama-se poupança mensal da família (P) a renda mensal, menos o correspondente consumo. Obtenha P em função de X.

Poupança 1= Renda(X)- Consumo(y)=3000-2800=200 e Poupança 2 =5000-4200=800, então, temos os pontos A(3000,200) e B(5000,800), onde passa a reta:

∣

x

y

1

3000 200 1

5000 800 1

∣

x

y

3000 200

5000 800

=0 ⇒ 200 x+ 5000 y+2400000−1000000

−3000 x−800 y= 0 ⇒ 4200 y −2800 x−1400000=0 ⇒ y=

2

3

x+

1000

3

Logo:

P( x )=

2

3

x+

1000

3

4.8.3. Equação segmentária da reta:

Consideremos a equação da reta que intercepta o eixo x no ponto

A ( p ,0)

e o eixo y no ponto

B (0, q)

, com

_p≠0

e

_q≠0

.

1

A(p,0) B(0,q) x y

O coeficiente angular dessa reta é

m=

q−0

0− p

=−

q

p

E sua equação:

y−0=−

q

p

(

x− p)⇒ py+qx=pq

, dividindo ambos os membros por

pq

obtemos:

y

q

+

x

p

=1

, que é denominada equação segmentária da reta. Exemplo 14:

Construa a curva de demanda dada por

Q= 3000−50 P

Solução: A demanda de um determinado bem é a quantidade desse bem que os consumidores pretendem adquirir num certo intervalo de tempo. No presente caso, a curva de demanda é uma reta. Normalmente, quanto menor o preço, maior a quantidade demandada, o que se traduz no fato de termos uma reta descendente, ou seja, uma reta com coeficiente angular negativo. Então, se dividirmos a equação acima por 3.000, teremos a equação segmentária da reta:

Q

3000

+

P

60

=1

, onde

(

0,3000)

é a intersecção da reta com o eixo das ordenadas e

(

60,0)

é a interseção da reta com o eixo das abscissas. Conhecendo esses, podemos construir a curva de demanda, unindo os dois pontos no plano cartesiano.

Uma outra maneira de descobrir os pontos de intersecção da reta com os eixos coordenados:

Sendo a equação da reta

Q= 3000−50 P

, fazendo

_{Q= 0}

, encontramos o ponto onde a reta corta o eixo das abscissas,

0=3000−50 P⇒ P=

3000

50

=

60

e

fazendo

P=0

, encontramos o ponto onde a reta corta o eixo das ordenadas,

Q=3000−50(0 )⇒ Q=3000

.

1

Q 60 3000

P

50

3000

Q

=

−

P

Exemplo 15:

A função demanda D, de certo produto é definida por,

D= 160−2p

, sendo

p

o preço, em unidades monetárias, pelo qual o produto é vendido. Qual o valor da demanda máxima?

Solução: Como a reta é descendente, coeficiente angular negativo, o valor da demanda máxima coincide com o ponto de intersecção da reta com o eixo das ordenadas, ou seja, o coeficiente linear da reta. Logo,

D

_máx

=160

4.9. Posições relativas de duas retas no plano

cartesiano:

Considerando as retas

r1 : y=m

₁

x+n

₁ e

r2 : y=m

₂

x+n

₂ de inclinações

α

₁ e

α

_{2 , respectivamente, podem ocorrer os seguintes casos:}

4.9.1.

(

α

₁

=α

₂

)

:

Se

(

α

₁

=α

₂

) ⇒

tgα

₁

=tgα

₂

⇔

m

₁

=m

₂ , ou seja, as duas retas têm o mesmo coeficiente angular. Nesse caso, as retas são paralelas (r1 // r2) ou coincidentes (r1 ≡ r2). Retas paralelas formam ângulos iguais com o eixo x.

Se

(

α

₁

=90

o

)

os coeficientes angulares das retas r1 e r2 não estão definidos.

1

r

1

r

2

r

₂

r

₂

r

₁

r

₁ 2 1 2 1

n

n

m

m

≠

=

2 1 2 1

n

n

m

m

≠

=

4.9.2.

(

α

₁

≠

α

₂

)

:

a) Se

(

α

₁

≠

α

₂

≠90

o

)

as retas são ditas concorrentes. Estas retas se interceptam num ponto P (a,b), cujas coordenadas devem satisfazer, simultaneamente, as equações das duas retas. Assim, obtemos as coordenadas do ponto P resolvendo o sistema formado pelas equações das duas retas

b) As retas são perpendiculares, quando o ângulo formado entre elas for igual a 90°.

Então, duas retas são perpendiculares se, e somente se, o produto de seus coeficientes angulares for -1. Sendo que α é o ângulo formado pela reta r1 e o eixo x e θ o ângulo formado pela reta r2 e o eixo x. Então, pelo teorema do ângulo externo

α=

π

2

+θ

, isso implica em:

tgα=tg

(

π

2

+θ

)

⇔

tgα=

sen

(

π

2

+θ

)

cos

(

π

2

+θ

)

=

−cosθ

senθ

⇔

tgα=−cot gθ⇔ tgα=−

1

tgθ

tgα . tgθ=−1 ⇔m

r₁

m

r₂

=−1

m

_r 1

=−

1

m

_r 2 condição de perpendicularismo. Resumindo:

m

_r 1

=m

r2 e

n

r1

≠

n

r2

⇒

r

1

e r

2 são paralelas.

m

_r1

=m

_r2 e

n

_r1

=n

_r2

⇒

r

₁

e r

₂ são coincidentes.

m

_r1

≠

m

_r2

⇒

r

₁

e r

₂ são concorrentes.

m

r₁

=−

1

m

_r 2

⇒

r

₁

e r

₂ são perpendiculares.

1

r 1 r 2

Exemplo 16:

Obter a equação da reta r que passa por

P(−3,5)

e é paralela à reta

s : 3x +y−1=0

.

Solução:

m

_s

=−

a

b

⇒

m

s

=−

3

1

=−3

, se

r // s ⇒m

s

=m

r

=−3

, como

P∈ r

, então,

x

₁

=−3

e

y

1

=5

. Substituindo esses valores em

y− y

1

=m ( x−x

1

)

, vem:

y−5=−3( x+3 )⇒ r:3x +y+ 4=0

Exemplo 17:

Determinar a equação da reta r, que passa por

A (−2,2)

e é perpendicular a

s : x+3y−5=0

.

Solução:

Como

m

_s

=−

a

b

=−

1

3

e s⊥ r, então,

m

r

=3

(inverso de ms, com o sinal trocado). Então, a equação da reta r é:

y−2=3( x+2 )⇒ r :3x− y+ 8=0

.

Exemplo 18:

Coordenadas dos pontos de intersecção de retas:

Determinar os pontos de intersecção das retas

r :2x+y−4=0 e s : x− y+1=0

. O ponto de intersecção de duas retas, r e s, é solução do sistema formado pelas equações dessas retas, então temos:

{

2x +y=4

x− y=−1

}

⇒

resolvendo pelo método da adição, vem:

{

2x +y=4

x− y=−1

}

⇒

3x=3⇒ x=1

substituindo esse valor em

x− y=−1

, temos:

1− y=−1 ⇒ y= 2

. Logo:

P(1,2)

4.10. Distância entre ponto e reta no plano

cartesiano:

Dados um ponto P(x1,y1) e uma reta

r :ax+by+c=0

, a distância entre eles

d

_Pr é dada por:

d

_Pr

=

∣

ax

1

+by

1

+c∣

√

a

2

+b

2 Exemplo 19:

Calcular a distância do ponto

P(−1,2)

à reta

r : x−2y+1=0

.

Temos:

{

P (−1,2 )=P( x

1

,y

1

)

a=1, b=−2 c= 1 (r )

}

Assim:

d

_Pr

=

∣1(−1)+(−2 )(2)+1∣

√

1

2

₊₍₋₂₎

2

=

4

√

5

=

4

√

5

5

4.11. Referências Bibliograficas:

BONJORNO, Giovanni. Matemática Fundamental

VENTURI, Jacir. Álgebra Vetorial e Geometria Analítica.

<http://www.somatematica.com.br/historia/analitica.php>