Funções Exponenciais, Inversas,Simetria

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Funções Exponenciais, Inversas,Simetria

Kuruvilla Joseph Abraham (abraham@fmrp.usp.br)

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Plano da Aula

• Funções exponencial e logaritmos naturais

• Funções Inversas

• Simetria

• Exercícios

Referências

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Crescimento de Função Exponencial I

Aula Anterior: A função exponencial y = bx é uma função

crescente caso b > 1 é decrescente caso b < 1. Caso b > 1 cresce mais rápido do que a função linear.

Função linear não pode incluir um termo como x2

sendo uma função linear.

A função exponencial cresce mais rápido do que uma

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Crescimento de Função Exponencial II

x y

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Crescimento de Função Exponencial II

1 2 3 4 x y 4 8 12 16 y = 2x _{y = x}2

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Função Exponencial Natural I

Para qualquer valor de b , para x = 0 y = f (x ) = bx =1.

Pensamos em uma linha reta que toca o gráfico

da função y = f (x ) = bx somente no ponto (0, 1).

A equação geral que descreve uma linha reta é y = mx + b. m descreve a inclinação da linha.

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Função Exponencial Natural II

x y

1

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Função Exponencial Natural III

Para um dado valor de b na equação y = bx tem um

valor específico de m na equação y = mx + b tais que

y = mx + b toca a curva y = bx somente no ponto (0, 1)

b (curva) m (linha reta)

2 0, 693

2,4 0,875

2,6 0, 955

2,7 0,993

2,9 1,0647

Para b = 2, 718282 m ≈ 1. O valor 2, 718282 denomina-se e.

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Logaritmos Naturais I

Aula Anterior:

Se y = bx =⇒ logby = x

A base para o logaritmo é b. No caso que b = e o logaritmo é chamado logaritmo natural.

loge x = ln x . Propriedades Importantes

• ln x = y ⇔ ey =x

• ln ex =x elnx =x caso x > 0

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Logaritmos Naturais II

A função ln x é uma função crescente.

Mas cresce muito devegar em comparação com

funções como√x . x √x lnx razão 9 3 2,197225 1,36536 16 4 2,77259 1,4427 25 5 3,21888 1,55334 100 10 4,60517 2,17147 900 30 6,28024 4,41021 10000 100 9,21034 10,85736

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Logaritmos Naturais III

x y

20

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Logaritmos Naturais IV

Como encontrar o valor do logaritmo em qualquer base ? Para todo número positivo (b 6= 1 !!)

logbx =

lnx lnb Se x > b logbx > 1 ou < 1 ?

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Funções Inversas I

Definição: Uma função f é chamada função injetora se ele nunca assume o mesmo valor duas vezes

f (x1) 6=f ((x2) ⇔x16= x2

A função f (x ) = x2é uma função injetora ?

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Funções Inversas II

Seja f uma função injetora com domínio A e imagem B

Então a sua função inversa f−1tem domínio B e imagem A

e é definida por

f−1(y ) = x ⇔ f (x ) = y para todo y em B

Por exemplo no caso y = f (x ) = x3a função inversa

é dado por f−1(x ) = x1/3. Para qualquer número real a

a31/3

=a. Para qualqer função f com inversa f−1

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Funções Inversas III

Encontre a função inversa f (x ) = x3+2

y = x3₊_{2 =⇒ x}3_{= (y − 2) =⇒ x =}_{py − 2}3

Trocar x por y para obter y =√3

x − 2

f−1(x ) =√3x − 2 f (f−1(x )) = x ???

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Funções Compostas I

Dados duas funções f e g a função composta (f ◦ g) é definida por

(f ◦ g)(x ) = f (g(x )) Também chamada composição de f e g

No caso de função inversa g é igual f−1

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Funções Compostas II

Se f (x ) = x2 e g(x ) = (x − 3)

f ◦ g = ? e g ◦ f = ?

(f ◦ g)(x ) = f (g(x )) = f (x − 3) = (x − 3)2 (g ◦ f )(x ) = g(f (x )) = g(x2) =x2− 3 f ◦ g 6= g ◦ f nesse caso, e tipicamente não. f ◦ f = ? x4

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Funções Compostas III

Se f (x ) =√x e g(x ) =p(2 − x) encontre a função e domínio •f ◦ g _{p(2 − x)}4 _{Domínio −∞ < x ≤ 2 (−∞, 2]} •g ◦ f p2 −√x Domínio 0 ≤ x ≤ 4 [0, 4] •g ◦ g q 2 −p(2 − x) Domínio −2 ≤ x ≤ 2 [−2, 2] •f ◦ f x1/4 Domínio 0 ≤ x < ∞ [0, ∞)

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Simetria I

Se f (x ) = f (−x ) para todo número x em seu domínio então f é chamda função par .

f (x ) = x(2n) n inteiro positivo é um função par

Se f (x ) = −f (−x ) para todo número x em seu domínio então f é chamda função ímpar .

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Simetria II

•f (x) = x2_{é uma função par}

•f (x) = 1

x2 é uma função par

•f (x) = (x − x3₎ _{é uma função ímpar}

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Simetria III

x y

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Simetria IV

x y

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Simetria V

x y y = _x12 y = 1 x2 tem inversa ?

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Simetria VI

x y

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Exercícios I

Se f (x ) = ln x e g(x ) = (x2− 9) encontre as funções • f ◦ g ln (x2_{− 9)} _{Domínio | x |> 3 | x |< ∞} • g ◦ f (lnx )2− 9 Domínio x > 0 x < ∞ 0 < x < ∞ • f ◦ f ln(lnx ) Domínio x > 1 x < ∞ (1, ∞) • g ◦ g (x2_{− 9)}2_{− 9} _{Domínio (−∞, ∞)}

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Exercícios II

Encontre uma fórmula para a função inversa

•f (x) = x3_{− 3 x}2₊_{3 x − 1} _{y = x}1/3₊₁

•f (x) = ln (x + 3) y = ex− 3

•f (x) = 210x

y = log₁₀log₂ x

Encontre o valor exata de cada expressão •e− ln 2 1/2

•eln(lne3) 3

• ln x + ln 1_x