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Matemática. Capítulo Equações 2º grau Problemas de 2º grau. Antonio Abrantes. 9ª série

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Academic year: 2021

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Texto

(1)

Matemática

9ª série

Capítulo Equações 2º grau

Problemas de 2º grau

Antonio Abrantes

(2)

Matemática 9º ano 2

Apresentação

Este é um trabalho com alguns temas em matemática que constam

da base currricular do Colégio Pedro II para o 9º ano. A ideia do

trabalho é oferecer um suporte adicional para os alunos poderem

manter seus estudos em matemática durante a pandemia.

O material é apresentado online na plataforma Google Meet duas

vezes por semana (https://meet.google.com/qmx-npai-mjp). Uma

apresentação resumida (não a versão online mas uma versão

offline) fica guardada no youtube

(

https://www.youtube.com/playlist?list=PLaw9P95vuAiOxF2jBH3

QvqbfGOwWGLlfT

). Os alunos dispoe também de um aplicativo

chamado QuizMath (ios, Android) onde podem realizar testes.

A preparação das aulas é feita

com base em livros didáticos do

nono ano e vídeos do youtube em

espacial os canais:

Aula Paraná:

https://www.youtube.com/watch?v=q7DBB

m6jYkU&list=PLnGI1S4-A8rseNIFHodv1TOhCU9qcojp6

Portal da Matemática OBMEP

https://www.youtube.com/watch?v=C0lKIg wc5nw&list=PL7RjLI0hJPfAx3HzRmhspfmH kN9LOZ7Up

Toda a Matemática

https://www.youtube.com/c/GustavoViegas curso/playlists

(3)

Matemática 9º ano 3

Aula 8 – Problemas de

2º grau

Análise das raízes de segundo grau

Se:

delta > 0 temos raízes reais e diferentes,

delta = 0 temos raízes reais e iguais

delta < 0 as raízes não pertencem ao conjutno dos reais

Determine o valor de n para que a equação x

2

– 5x + n = 0 tenha duas raízes

reais e iguais

Resposta: precisamos garantir delta = 0

delta = (-5)

2

– 4(1)(n) = 0 logo 4n = 25, n = 25/4

Determine o valor de m na equação 3x

2

– 5x + 2m = 0 para que não existam

raízes reais

Resposta: precisamos garantir delta < 0

delta = (-5)

2

– 4(3)(2m) < 0 logo 25 – 24m < 0 ou 25 < 24m logo 24m > 25

(4)

Matemática 9º ano 4

Incógnita no radicando

Qual a solução da equação ?

Elevando ao quadrado temos

x + 7 = (x-5)

2

x + 7 = x

2

– 10x + 25

x

2

– 10x - x + 25 – 7 = 0

x

2

– 11x + 18 = 0

delta = (-11)

2

– 4(1)(18) = 121 – 72 = 49

x = ( -(-11) ± 7 )/2

x = 9

x = 2

Elevando ao quadrado temos

X + raiz (2x-3) = 9

Raiz(2x-3) = (9-x)

Elevando ao quadrado novamente

2x-3 = (9-x)

2

2x-3 = 81 -18x + x

2

x

2

-20x + 84 = 0

delta = (-20)

2

– 4(1)(84) = 400 – 336 = 64

x = (20 ± 8)/2

x = 14

x = 6

(5)

Matemática 9º ano 5

Raiz (x-1) = (x-3)

Elevando ao quadrado

x-1 = (x-3)

2

x-1 = x

2

-6x + 9

x

2

-7x +10 = 0

delta = (-7)

2

– 4(1)(10) = 49 – 40 = 9

x = (7 ± 3)/2

x = 5

x = 2 (ao substituir este valor em x a equação dá raiz de negativo !!)

a resposta portanto é x=5

Soma e produto das raízes

A equação de segundo grau em sua forma canônica (padrão) assume a

forma:

x

2

– Sx + P = 0

onde S é a soma das raízes

e P é o produto das raízes

Determinar o valor de k na equação kx

2

– 22x + 20 = 0 para que a soma

das raízes seja 11/3

X1 + x2 = 11/3

Colocando a equação na forma canônica:

kx

2

– 22x + 20 = 0

x

2

– (22/k)x + 20/k = 0

a soma das raízes é portanto 22/k

logo 22/k = 11/3

11k = 66

K = 6

(6)

Matemática 9º ano 6

Determine o valor de p na equação px

2

– 5x + (p-5) = 0 para que o produto

das raízes seja 1/6

Colocando a equação na forma canônica:

px

2

– 5x + (p-5) = 0

x

2

– (5/p)x + (p-5)/p = 0

o produto das raízes será

(p-5)/p = 1/6

6(p-5) = p

6p – 30 = p

5p = 30

P = 6

Calcule o valor de k na equação x

2

– 12x + k = 0 para que uma das raízes

seja o dobro da outra

Temos duas raízes x1 e x2 sendo que x2 = 2.x1

A soma das raízes será x1 + x2 = x1 + 2x1 = 3x1

Esta soma de raízes é igual a 12, logo

3x1 = 12

X1 = 4

E portanto x2 = 2(4) = 8

O produto das raízes será (4)(8) = 32

Logo k precisa admitir o valor 32

Dada uma equação cujas raízes são 3 e -8 qual a equação do segundo grau

correspondente ?

Soma das raízes: 3 – 8 = -5

Produto das raízes: 3.(-8) = -24

Substituindo x

2

– Sx + P = 0

Temos

x

2

–(-5)x + (-24) = 0

(7)

Matemática 9º ano 7

Equações fracionárias

Resolva a equação

Questões de concurso

[UCS-RS] Se uma das raízes da equação 2x2 – 3px + 40 = 0 é 8 então qual o valor de p ?

Resposta: substituindo o valor x=8 2(8)2 – 3p(8) + 40 = 0

128 – 24p + 40 = 0 168 = 24p

P = 7

[UNIFOR-CE] Uma das soluções da equação (2x2 + x)/11 = 2x + 1 é um número inteiro

múltiplo de: (a) 2 (b) 3 (c) 5 (d) 7 (e) 11 Solução: 2x2 + x = 22x + 11 2x2 -21x – 11 = 0 Delta = (-21)2 – 4(2)(-11) = 441 + 88 = 529

(8)

Matemática 9º ano 8

X = (21 ± 23) / 4

X=11 esta é a solução letra (E) X=-1/2

[FUVEST- SP] Sejam x1 e x2 a raízes da equação 10x2 + 33x – 9 = 0

O número inteiro mais próximo do número 5.x1.x2 + 2.(x1 + x2) é (a) -33

(b) -10 (c) -7 (d) 10 (e) 33

Solução: colocando na forma canônica 10x2 + 33x – 9 = 0

x2 + 33x/10 – 9/10 = 0

a soma das raízes é -33/10 o produto das raízes é -9/10

portanto 5.(-9/10) + 2(-33/10) = -45/10 -66/10 = -111/10 logo resposta (b)

[PUC – MG] O quociente da divisão de 72 por um número negativo é o dobro desse número. A metade desse número vale

(a) -3 (b) -4 (c) -5 (d) -6 (e) -7

Resposta: 72/x = 2x logo 2x2 = 72 ou seja x2 = 36 então x = -6 a metade será -3 resposta (A)

[Vunesp] Se aumentarmos em 3cm o lado de um quadrado sua área aumentará 27 cm2. A partir desses dados, podemos dizer que o lado do quadrado mede quanto ?

Resposta: Área do quadrado = x2 = A

Portanto (x+3)2 = x2 + 27

x2 + 6x + 9 -x2 – 27 = 0

6x – 18 =0 6x = 18 X = 3

[FGV] Se a soma das raízes da equação kx2 + 3x – 4 = 0 é 10 então podemos afirmar que o

produto das raízes vale quanto ?

Resposta: colocando na forma canônica kx2 + 3x – 4 = 0

x2 + 3x/k – 4/k = 0

a soma das raízes = -3/k = 10 logo k = -3/10 o produto das raízes será -4/k = -4.(-10/3) = 40/3

(9)

Matemática 9º ano 9

Conectando com a história

Em 1629 foi publicado o livro de Alfred Girad Invention nouvelle em

l´algèbre em que apresenta as relações de Girard sobre a relação da soma e

produto das raízes com os coeficiente de uma equação de segundo grau.

Sabemos que na equação de segundo grau

ax

2

+ bx + c = 0

são as seguintes raízes:

x = (-b + raiz (delta))/2a

x = (-b - raiz (delta))/2a

A soma das raízes será

S = (-b + raiz (delta))/2a + (-b - raiz (delta))/2a

S = -2b/2a = -b/a

na forma canônica teremos:

x

2

+ (b/a)x + (c/a) = 0

portanto a soma S das raízes pode ser colocada da seguinte forma:

x

2

-Sx + (c/a) = 0

o produto das raízes será

P = (-b + raiz (delta))/2a . (-b - raiz (delta))/2ª

Sabemos que (p+q)(p-q) = p

2

– q

2

Logo

P = ((-b)

2

- delta)/4a

2

= (b

2

– (b

2

– 4ac))/4a

2

= (b

2

– b

2

+ 4ac)/4a

2

= 4ac/4a

2

= c/a

Portanto o produto P das raízes pode ser colocado da seguinte forma:

x

2

-Sx + P = 0

(10)

Matemática 9º ano 10

Questões (Aula 8):

1) Dada a equação 2x2 + 3x + p = 0 determine o valor de p para que as

raízes sejam reais e iguais

2) Dada a equação 2x2 + 3x + p = 0 determine o valor de p para que uma

das raízes seja zero

3) Para qual valor de k a equação 2x2 + 4x + 5k = 0 tem raízes reais e

diferentes ?

4) Qual o valor de p na equação x2 – (p+5)x + 36 = 0 para que as raízes

sejam reais e iguais ?

5) Considere a equação 9x2 + 12x + 2m = 0 calcule para que valore de m a

equação não admite raízes reais ?

6) Se m e n são raízes da equação x2 – 9x + 20 = 0 determine o valor da

expressão mn(m+n)

7) Determine o valor de m na equação 4x2 – (m-2)x + 3 = 0 para que a

soma das raízes seja 3/4

8) Calcule o valor de m na equação (m+10)x2 + 21x + 5 = 0 para que a soma

das raízes seja -7/6

9) Calcule o valor de p na equação x2 – 8x + 2p = 0 para que uma das raízes

seja o triplo da outra

(11)

Matemática 9º ano 11

(12)

Matemática 9º ano 12

Respostas Aula 8

1) 2x2 + 3x + p = 0

Delta = (3)2 – 4(2)(p) = 0 logo 9 = 8p então p = 9/8

2) 2x2 + 3x + p = 0 Se x =0 é raiz então 2(0) + 3(0) + p = 0 logo p=0 3) 2x2 + 4x + 5k = 0 Delta = (4)2 – 4(2)(5k) > 0 16 – 40k > 0 16 > 40k 40k < 16 k < 16/40 k < 2/5 4) x2 – (p+5)x + 36 = 0 delta = (-(p+5))2 – 4(1)(36) = 0 p2 + 10p + 25 – 144 = 0 p2 + 10p - 119 = 0 p = ((-10) +- raiz (102 – 4(1)(-119)))/2 p = (-10 +- raiz(100+476))/2 p = (-10 +- raiz(576))/2 p = (-10 +- 24)/2 p = -17 p = 7

produto das raízes = -119 soma das raízes = -10 confere 5) 9x2 + 12x + 2m = 0 Delta = 122 – 4(9)(2m) = 144 – 72m < 0 Logo 144 < 72m ou 72m > 144 então m > 2 6) x2 – 9x + 20 = 0 x2 – Sx + P = 0

logo soma das raízes = 9 produto das raízes = 20 então

mn(m+n) = 20.9 = 180 7) 4x2 – (m-2)x + 3 = 0

x2 – ((m-2)/4)x + 3/4 = 0

Soma das raízes = (m-2)/4 = ¾ logo m-2=3 então m=5 8) (m+10)x2 + 21x + 5 = 0

x2 + (21/(m+10))x + 5/(m+10) = 0

a soma das raízes será -21/(m+10) = -7/6 logo 21/7 = (m+10)/6 então m+10 = 18 logo m=8 9) x2 – 8x + 2p = 0

raizes x e 3x a soma será 4x logo 4x = 8 e x=2, portanto a outra raiz será 6 o porduto das raizes será x.3x = (2). (6) = 12 então 2p = 12 logo p=6 10) x2 – Sx + P = 0

(13)

Matemática 9º ano 13

soma das raízes: 2 + 3/5 = 10/5 + 3/5 = 13/5 produto das raízes: 2.3/5 = 6/5

logo

x2 – 13/5. x + 6/5 = 0

Referências

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