Matemática
9ª série
Capítulo Equações 2º grau
Problemas de 2º grau
Antonio Abrantes
Matemática 9º ano 2
Apresentação
Este é um trabalho com alguns temas em matemática que constam
da base currricular do Colégio Pedro II para o 9º ano. A ideia do
trabalho é oferecer um suporte adicional para os alunos poderem
manter seus estudos em matemática durante a pandemia.
O material é apresentado online na plataforma Google Meet duas
vezes por semana (https://meet.google.com/qmx-npai-mjp). Uma
apresentação resumida (não a versão online mas uma versão
offline) fica guardada no youtube
(
https://www.youtube.com/playlist?list=PLaw9P95vuAiOxF2jBH3
QvqbfGOwWGLlfT
). Os alunos dispoe também de um aplicativo
chamado QuizMath (ios, Android) onde podem realizar testes.
A preparação das aulas é feita
com base em livros didáticos do
nono ano e vídeos do youtube em
espacial os canais:
Aula Paraná:
https://www.youtube.com/watch?v=q7DBB
m6jYkU&list=PLnGI1S4-A8rseNIFHodv1TOhCU9qcojp6
Portal da Matemática OBMEP
https://www.youtube.com/watch?v=C0lKIg wc5nw&list=PL7RjLI0hJPfAx3HzRmhspfmH kN9LOZ7UpToda a Matemática
https://www.youtube.com/c/GustavoViegas curso/playlistsMatemática 9º ano 3
Aula 8 – Problemas de
2º grau
Análise das raízes de segundo grau
Se:
delta > 0 temos raízes reais e diferentes,
delta = 0 temos raízes reais e iguais
delta < 0 as raízes não pertencem ao conjutno dos reais
Determine o valor de n para que a equação x
2– 5x + n = 0 tenha duas raízes
reais e iguais
Resposta: precisamos garantir delta = 0
delta = (-5)
2– 4(1)(n) = 0 logo 4n = 25, n = 25/4
Determine o valor de m na equação 3x
2– 5x + 2m = 0 para que não existam
raízes reais
Resposta: precisamos garantir delta < 0
delta = (-5)
2– 4(3)(2m) < 0 logo 25 – 24m < 0 ou 25 < 24m logo 24m > 25
Matemática 9º ano 4
Incógnita no radicando
Qual a solução da equação ?
Elevando ao quadrado temos
x + 7 = (x-5)
2x + 7 = x
2– 10x + 25
x
2– 10x - x + 25 – 7 = 0
x
2– 11x + 18 = 0
delta = (-11)
2– 4(1)(18) = 121 – 72 = 49
x = ( -(-11) ± 7 )/2
x = 9
x = 2
Elevando ao quadrado temos
X + raiz (2x-3) = 9
Raiz(2x-3) = (9-x)
Elevando ao quadrado novamente
2x-3 = (9-x)
22x-3 = 81 -18x + x
2x
2-20x + 84 = 0
delta = (-20)
2– 4(1)(84) = 400 – 336 = 64
x = (20 ± 8)/2
x = 14
x = 6
Matemática 9º ano 5
Raiz (x-1) = (x-3)
Elevando ao quadrado
x-1 = (x-3)
2x-1 = x
2-6x + 9
x
2-7x +10 = 0
delta = (-7)
2– 4(1)(10) = 49 – 40 = 9
x = (7 ± 3)/2
x = 5
x = 2 (ao substituir este valor em x a equação dá raiz de negativo !!)
a resposta portanto é x=5
Soma e produto das raízes
A equação de segundo grau em sua forma canônica (padrão) assume a
forma:
x
2– Sx + P = 0
onde S é a soma das raízes
e P é o produto das raízes
Determinar o valor de k na equação kx
2– 22x + 20 = 0 para que a soma
das raízes seja 11/3
X1 + x2 = 11/3
Colocando a equação na forma canônica:
kx
2– 22x + 20 = 0
x
2– (22/k)x + 20/k = 0
a soma das raízes é portanto 22/k
logo 22/k = 11/3
11k = 66
K = 6
Matemática 9º ano 6
Determine o valor de p na equação px
2– 5x + (p-5) = 0 para que o produto
das raízes seja 1/6
Colocando a equação na forma canônica:
px
2– 5x + (p-5) = 0
x
2– (5/p)x + (p-5)/p = 0
o produto das raízes será
(p-5)/p = 1/6
6(p-5) = p
6p – 30 = p
5p = 30
P = 6
Calcule o valor de k na equação x
2– 12x + k = 0 para que uma das raízes
seja o dobro da outra
Temos duas raízes x1 e x2 sendo que x2 = 2.x1
A soma das raízes será x1 + x2 = x1 + 2x1 = 3x1
Esta soma de raízes é igual a 12, logo
3x1 = 12
X1 = 4
E portanto x2 = 2(4) = 8
O produto das raízes será (4)(8) = 32
Logo k precisa admitir o valor 32
Dada uma equação cujas raízes são 3 e -8 qual a equação do segundo grau
correspondente ?
Soma das raízes: 3 – 8 = -5
Produto das raízes: 3.(-8) = -24
Substituindo x
2– Sx + P = 0
Temos
x
2–(-5)x + (-24) = 0
Matemática 9º ano 7
Equações fracionárias
Resolva a equação
Questões de concurso
[UCS-RS] Se uma das raízes da equação 2x2 – 3px + 40 = 0 é 8 então qual o valor de p ?
Resposta: substituindo o valor x=8 2(8)2 – 3p(8) + 40 = 0
128 – 24p + 40 = 0 168 = 24p
P = 7
[UNIFOR-CE] Uma das soluções da equação (2x2 + x)/11 = 2x + 1 é um número inteiro
múltiplo de: (a) 2 (b) 3 (c) 5 (d) 7 (e) 11 Solução: 2x2 + x = 22x + 11 2x2 -21x – 11 = 0 Delta = (-21)2 – 4(2)(-11) = 441 + 88 = 529
Matemática 9º ano 8
X = (21 ± 23) / 4
X=11 esta é a solução letra (E) X=-1/2
[FUVEST- SP] Sejam x1 e x2 a raízes da equação 10x2 + 33x – 9 = 0
O número inteiro mais próximo do número 5.x1.x2 + 2.(x1 + x2) é (a) -33
(b) -10 (c) -7 (d) 10 (e) 33
Solução: colocando na forma canônica 10x2 + 33x – 9 = 0
x2 + 33x/10 – 9/10 = 0
a soma das raízes é -33/10 o produto das raízes é -9/10
portanto 5.(-9/10) + 2(-33/10) = -45/10 -66/10 = -111/10 logo resposta (b)
[PUC – MG] O quociente da divisão de 72 por um número negativo é o dobro desse número. A metade desse número vale
(a) -3 (b) -4 (c) -5 (d) -6 (e) -7
Resposta: 72/x = 2x logo 2x2 = 72 ou seja x2 = 36 então x = -6 a metade será -3 resposta (A)
[Vunesp] Se aumentarmos em 3cm o lado de um quadrado sua área aumentará 27 cm2. A partir desses dados, podemos dizer que o lado do quadrado mede quanto ?
Resposta: Área do quadrado = x2 = A
Portanto (x+3)2 = x2 + 27
x2 + 6x + 9 -x2 – 27 = 0
6x – 18 =0 6x = 18 X = 3
[FGV] Se a soma das raízes da equação kx2 + 3x – 4 = 0 é 10 então podemos afirmar que o
produto das raízes vale quanto ?
Resposta: colocando na forma canônica kx2 + 3x – 4 = 0
x2 + 3x/k – 4/k = 0
a soma das raízes = -3/k = 10 logo k = -3/10 o produto das raízes será -4/k = -4.(-10/3) = 40/3
Matemática 9º ano 9
Conectando com a história
Em 1629 foi publicado o livro de Alfred Girad Invention nouvelle em
l´algèbre em que apresenta as relações de Girard sobre a relação da soma e
produto das raízes com os coeficiente de uma equação de segundo grau.
Sabemos que na equação de segundo grau
ax
2+ bx + c = 0
são as seguintes raízes:
x = (-b + raiz (delta))/2a
x = (-b - raiz (delta))/2a
A soma das raízes será
S = (-b + raiz (delta))/2a + (-b - raiz (delta))/2a
S = -2b/2a = -b/a
na forma canônica teremos:
x
2+ (b/a)x + (c/a) = 0
portanto a soma S das raízes pode ser colocada da seguinte forma:
x
2-Sx + (c/a) = 0
o produto das raízes será
P = (-b + raiz (delta))/2a . (-b - raiz (delta))/2ª
Sabemos que (p+q)(p-q) = p
2– q
2Logo
P = ((-b)
2- delta)/4a
2= (b
2– (b
2– 4ac))/4a
2= (b
2– b
2+ 4ac)/4a
2= 4ac/4a
2= c/a
Portanto o produto P das raízes pode ser colocado da seguinte forma:
x
2-Sx + P = 0
Matemática 9º ano 10
Questões (Aula 8):
1) Dada a equação 2x2 + 3x + p = 0 determine o valor de p para que as
raízes sejam reais e iguais
2) Dada a equação 2x2 + 3x + p = 0 determine o valor de p para que uma
das raízes seja zero
3) Para qual valor de k a equação 2x2 + 4x + 5k = 0 tem raízes reais e
diferentes ?
4) Qual o valor de p na equação x2 – (p+5)x + 36 = 0 para que as raízes
sejam reais e iguais ?
5) Considere a equação 9x2 + 12x + 2m = 0 calcule para que valore de m a
equação não admite raízes reais ?
6) Se m e n são raízes da equação x2 – 9x + 20 = 0 determine o valor da
expressão mn(m+n)
7) Determine o valor de m na equação 4x2 – (m-2)x + 3 = 0 para que a
soma das raízes seja 3/4
8) Calcule o valor de m na equação (m+10)x2 + 21x + 5 = 0 para que a soma
das raízes seja -7/6
9) Calcule o valor de p na equação x2 – 8x + 2p = 0 para que uma das raízes
seja o triplo da outra
Matemática 9º ano 11
Matemática 9º ano 12
Respostas Aula 8
1) 2x2 + 3x + p = 0
Delta = (3)2 – 4(2)(p) = 0 logo 9 = 8p então p = 9/8
2) 2x2 + 3x + p = 0 Se x =0 é raiz então 2(0) + 3(0) + p = 0 logo p=0 3) 2x2 + 4x + 5k = 0 Delta = (4)2 – 4(2)(5k) > 0 16 – 40k > 0 16 > 40k 40k < 16 k < 16/40 k < 2/5 4) x2 – (p+5)x + 36 = 0 delta = (-(p+5))2 – 4(1)(36) = 0 p2 + 10p + 25 – 144 = 0 p2 + 10p - 119 = 0 p = ((-10) +- raiz (102 – 4(1)(-119)))/2 p = (-10 +- raiz(100+476))/2 p = (-10 +- raiz(576))/2 p = (-10 +- 24)/2 p = -17 p = 7
produto das raízes = -119 soma das raízes = -10 confere 5) 9x2 + 12x + 2m = 0 Delta = 122 – 4(9)(2m) = 144 – 72m < 0 Logo 144 < 72m ou 72m > 144 então m > 2 6) x2 – 9x + 20 = 0 x2 – Sx + P = 0
logo soma das raízes = 9 produto das raízes = 20 então
mn(m+n) = 20.9 = 180 7) 4x2 – (m-2)x + 3 = 0
x2 – ((m-2)/4)x + 3/4 = 0
Soma das raízes = (m-2)/4 = ¾ logo m-2=3 então m=5 8) (m+10)x2 + 21x + 5 = 0
x2 + (21/(m+10))x + 5/(m+10) = 0
a soma das raízes será -21/(m+10) = -7/6 logo 21/7 = (m+10)/6 então m+10 = 18 logo m=8 9) x2 – 8x + 2p = 0
raizes x e 3x a soma será 4x logo 4x = 8 e x=2, portanto a outra raiz será 6 o porduto das raizes será x.3x = (2). (6) = 12 então 2p = 12 logo p=6 10) x2 – Sx + P = 0
Matemática 9º ano 13
soma das raízes: 2 + 3/5 = 10/5 + 3/5 = 13/5 produto das raízes: 2.3/5 = 6/5
logo
x2 – 13/5. x + 6/5 = 0