Férmions de Majorana na cadeia de Kitaev

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Universidade Federal Fluminense

Centro de Estudos Gerais

Instituto de F´ısica

Gradua¸

c˜

ao em F´ısica

Andr´e Carlos Pe¸canha Lima

F´ermions de Majorana na cadeia de Kitaev

Niter´

oi-RJ

2018

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ANDR ´E CARLOS PE ¸CANHA LIMA

F ´ERMIONS DE MAJORANA NA CADEIA DE KITAEV

Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao Programa de Gradua¸cão em F´ısica do Instituto de F´ısica da Universidade Federal Fluminense, como requisito parcial para obten¸cão do grau de Bacharel em F´ısica.

Orientador: Prof. Dr. MARCOS SERGIO FIGUEIRA DA SILVA

Niter´oi-RJ 2018

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Ficha catalográfica automática - SDC/BIF Gerada com informações fornecidas pelo autor

Bibliotecário responsável: Mario Henrique de Oliveira Castro - CRB7/6155 P364f Peçanha lima, André Carlos

Férmions de Majorana na cadeia de Kitaev / André Carlos Peçanha lima ; Marcos Sérgio Figueira Da Silva, orientador. Niterói, 2018.

38 f. : il.

Trabalho de Conclusão de Curso (Graduação em Física)-Universidade Federal Fluminense, Instituto de Física, Niterói, 2018.

1. Férmions de Majorana. 2. Cadeia de Kitaev. 3.

Propriedades termoelétricas. 4. Coeficientes de transporte. 5. Produção intelectual. I. Da Silva, Marcos Sérgio

Figueira, orientador. II. Universidade Federal Fluminense. Instituto de Física. III. Título.

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-v

Este trabalho é dedicado à minha noiva Gabriela Fer-nandes da Silva, ao meu avô Juraci de Souza Lima, em memória de minha avó Marlene Pe¸canha Lima e a todos que de alguma forma contribuiram em minha jornada.

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Agradecimentos

Agrade¸co primeiramente a Deus pela oportunidade de ser o primeiro em minha fam´ılia a se formar em uma faculdade pública e chegar ao final da mesma com saúde, a minha mãe Márcia Cristina Pe¸canha Lima, ao meu Pai Mauro Neves Machado, ao meu irmão Arthur Henrique Lima Machado, ao meu avô, pai e mestre Juraci de Souza Lima, a minha querida avó Marlene Pe¸canha Lima que infelizmente não se encontra mais presente entre nós, a minha noiva e futura esposa Gabriela Fernandes da Silva por todo apoio dispensado a mim, em especial para minha mãe que me teve muito nova e que por maiores que tenham sido as dificuldades conseguiu me indicar o caminho certo e a minha noiva por sempre estar ao meu lado durante todo este árduo percurso. Após esses 5 anos de curso quando olho pra trás e vejo todos os obstáculos pelos quais passei, me vejo como um homem mais forte e determinado a alcan¸car seus objetivos, quando entrei neste curso não fazia idéia se iria terminar, tendo em vista que toda minha educa¸cão básica (ensino fundamental e médio ) foi feita em colégios públicos, também não tinha muito claro o que queria para o meu futuro. Hoje, ao lembrar da minha infância, vejo a importância de todas as longas conversas que tive com meu avô a respeito dos aspectos do nosso universo, das vezes em que saia de casa de manhã e chegava apenas de noite, do dia em que me vi obrigado a trabalhar para que eu pudesse permanecer na faculdade, das noites mal dormidas e das horas e horas de viagem da minha residencia até a faculdade, vejo que não me arrependo de nada, na faculdade tive a oportunidade de ver quão forte posso ser e quanto minha familia esta ao meu lado. Não poderia deixar de fazer uma men¸cão aos ensinamentos passados pelo meu orientador Marcos Sergio Figueira, que muito contribuiu para melhorar minha percep¸cão do mundo não somente no aspecto f´ısico que é do nosso interesse como pesquisador e futuro pesquisador no meu caso como no aspecto moral. Agrade¸co aos tantos amigos que fiz durante todo esse trajeto, pelas ajudas em listas de exerc´ıcios, trabalhos e pesquisas, em especial ao Marcos Benicio, Matheus Curado, Roger e ao professor Lucas Sigaud pelos momentos vividos em aula, restaurante e corredores. Infelizmente não é possivel listar todas as pessoas que de alguma forma me ajudaram ao longo desses anos, são incontáveis e a todas elas eu ofere¸co o meu muito obrigado.

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RESUMO

O presente trabalho é resultado de uma inicia¸cão cient´ıfica (IC) que teve in´ıcio no primeiro semestre de 2018 com o professor Marcos Sergio Figueira. O tema do trabalho é o estudo das propriedades termoelétricas dos fermions de Majorana em uma cadeia de Kitaev. A proposta de existência dos férmions de Majorana derivou de um trabalho teórico de Majorana que procurou solu¸cões reais da equa¸cão de Dirac e que chegou ao resultado de que essas solu¸cões só seriam poss´ıveis de existirem se as part´ıculas associadas fossem suas próprias anti-part´ıculas. Na primeira parte desse trabalho, é apresentado uma revisão da proposta de Majorana, assim como do “toy model” que foi intuido por Kitaev para a realiza¸cão experimental dessas excita¸cões, demonstrando então sua possibilidade teórica.

O foco do trabalho é o cálculo das propriedades termoelétricas de um sistema formado por um ponto quântico acoplado a um terminal quente e a outro frio, sendo que esse ponto quântico também está acoplado a uma cadeia de Kitaev. Se resolve o Hamiltoniano de Kitaev e se analisa a transi¸cão topológica existente no modelo. O Hamiltoniano de Kitaev é resolvido a partir do método da equa¸cão de movimento (EOM) para as fun¸cões de Green e as propriedades termoelétricas são calculadas a partir de uma teoria de resposta linear, onde são obtidos os coeficientes termoelétricos Na fase topológica surgem férmions de Majorana nas bordas da cadeia e se calculam as propriedades termoelétricas geradas por esses férmions, e se apresentam resultados para o cálculo das condutividades elétrica e térmica, da potência termoelétrica, lei de Wiedemann-Franz (obtida experimentalmente para os metais, que é definida como a razão entre a condutância térmica e a condutância elétrica multiplicada pela temperatura, e que resulta em uma constante para os metais) e a figura termoelétrica de mérito adimensional, que fornece uma medida da eficiência de um material converter energia térmica em energia elétrica.

Palavras chave: Férmions de Majorana, Cadeia de Kitaev, Propriedades termoelétricas, Coe-ficientes de transporte, Fun¸cões de Green.

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ABSTRACT

The present work is the result of a scientific initiation (CI) that began in the first half of 2018 with Professor Marcos Sergio Figueira. The theme of the work is the study of the thermoelectric properties of Majorana fermions in a Kitaev chain. The proposal for the existence of Majorana fermions derived from a theoretical work by Majorana which sought real solutions to the Dirac equation and came to the conclusion that such solutions would only be possible to exist if the associated particles were their own antiparticles. In the first part of this work, a review of Majorana’s proposal is presented, as well as of the toy model that was intuited by Kitaev for the experimental realization of these excitations, demonstrating its theoretical possibility.

The focus of the work is the calculation of the thermoelectric properties of a system formed by a quantum dot coupled to a hot terminal and a cold one, this quantum dot being also coupled to a Kitaev chain. We solve the Kitaev Hamiltonian and analyze the topological transition in the model. The Kitaev Hamiltonian is solved from the equation of motion (EOM) method for the Green functions and the thermoelectric properties are calculated from a linear response theory, where the thermoelectric coefficients. In the topological phase, fermions of Majorana appear at the edges of the chain and the thermoelectric properties generated by these fermions are calculated and results are presented for the calculation of the electrical and thermal conductivity, thermoelectric power, Wiedemann-Franz law (ob-tained experimentally for metals, which is defined as the ratio between the thermal conductance and the electrical conductance multiplied by the temperature, and which results in a constant for metals) and the dimensionless thermoelectric figure of merit, which provides a measure of the efficiency of a material to convert thermal energy into electrical energy.

Keywords: Majorana Fermions, Kitaev Chain, Thermoelectric Properties, Transport Coeffici-ents, Green Functions.

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LIST OF FIGURES

1 Curvas cheias (azuis) representam a cadeia linear “tight-binding” na ausência de supercon-dutividade, cuja rela¸cão de dispersão é dada pela Eq. 8. Curvas tracejadas (vermelhas) representam a cadeia de Kitaev fora da fase topológica: (∆ = 0.4t 6= µ), podemos notar a transi¸cão da fase trivial para a fase topológica em µ = −1, 0, Vale notar que utilizamos ∆ = 0.4t pois do contrario, se ∆ = 0 então perderiamos o efeito. . . 5

2 Curvas cheias(azuis) representam a cadeia linear “tight-binding” na ausência de supercon-dutividade, cuja rela¸cão de dispersão é dada pela Eq. 8. Curvas tracejadas (vermelhas) representam a cadeia de Kitaev fora da fase topológica: (∆ = 0.4t 6= µ), aqui de maneira análoga Fig. 1, podemos observar que há uma mudan¸ca de fase no sistema, no entanto com a diferen¸ca que a transi¸cão topológica ocorre em µ = t o que mostra que a f´ısica das duas transi¸cões são distintas. Na Fig. 1 a banda está completamente vazia e o potencial qu´ımico se encontra no fundo da banda enquanto que no presente gráfico a banda esta completamente cheia estando o potencial qu´ımico no topo da banda. . . 6

3 Fase topologicamente trivial; os f´ermions de Majorana ocupam o mesmo s´ıtio de maneira a reproduzir os resultados para a cadeia eletrˆonica “tight-binding”. . . 8

4 Fase topológica, férmions de Majorana do s´ıtio j se emparelham com os do s´ıtio j+1 pos-sibilitando o surgimento de férmions de Majorana nas bordas da cadeia. . . 8

5 Curvas cheias (azuis) representam a cadeia linear “tight-binding” na ausência de supercon-dutividade, cuja rela¸cão de dispersão é dada pela Eq. 8. Curvas tracejadas (vermelhas) representam a cadeia de Kitaev na fase topológica: (∆ = t 6= 0) para valores de µ’s nega-tivos. A fase topológica ocorre para valores de m < |t|, para m = |t| ocorre a transi¸cão da fase topológica para a fase trivial (que ocorre para m > |t|). . . 10

6 Curvas cheias (azuis) representam a cadeia linear “tight-binding” na ausência de supercon-dutividade, cuja rela¸cão de dispersão é dada pela Eq. 8. Curvas tracejadas (vermelhas) representam a cadeias de Kitaev na fase topológica: (∆ = t 6= 0) para valores de µ’s posi-tivos. A fase topológica ocorre para valores de m < |t|, para m = |t| ocorre a transi¸cão da fase topológica para a fase trivial que ocorre para m > |t|. . . 11

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7 Figura 1. (a) O esbo¸co da geometria considerada nesse trabalho [1]. Cadeia de Kitaev topológica em forma de U com um par de férmions de Majorana ηA e ηB nas suas extre-midades que também está em contato com um QD conectado a dois reservatórios de calor metálicos: um quente (vermelho,esquerda) e outro frio (azul,direita). O acoplamento do QD para os férmions de Majorana é assimétrico e é caracterizado pelos elementos da ma-triz de tunelamento λAe λB, enquanto o acoplamento do QD com os eletrodos metálicos é simétrico e é caracterizado pelo elemento da matriz de tunelamento V. A energia 2denota o acoplamento entre dois férmions de Majorana. b) Configura¸cão auxiliar equivalente (d´ı-mero de Kitaev) resultante do mapeamento do arranjo inicial no sistema com um férmion não local residente em QD2. Denotamos por t o elemento de matriz de transferência de elétrons entre os QDs 1 e 2, ∆ é a energia de liga¸cão do par de Cooper formado pelos elétrons nos dois QDs 1 e 2. . . 12 8 Condutâncias eletrica e térmica do sistema correspondente a fase topológica, t = ∆ = 4Γ

em fun¸cão do n´ıvel de energia 1do QD1, para várias amplitudes de acoplamento 2, entre os férmions de Majorana localizados nas extremidades da cadeia de Kitaev. (a) Condutˆ an-cia elétrica G em unidades do quantum de condutância Go = e2/h, como fun¸cão do n´ıvel de energia ε1 do QD1, para vários valores do acoplamento entre os férmions de Majorana ε2, localizados nas extremidades da cadeia. (b) Condutância térmica normalizada pela temperatura κ/T , em unidades de Go e do número de Lorenz Lo= π

2 3 (

kB e )

2_{. Para ambos} os casos a ressonância na energia de Fermi ε1 = 0, ocorre para altos valôres de ε2. Para ε2 = 0 se observa um platô de magnitude Go/2, para a condutância elétrica e um platô de magnitude GoLo/2 para a condutividade térmica normalizada pela temperatura, que corresponde a assinatura dos férmions de Majorana tanto no transporte de eletricidade quanto de calor. . . 19 9 a)Termo potência S, em unidades da constante de Boltzman pela carga elétrica KB/e,

correspondente a fase topológica, t = ∆ = 4Γ. b) Desvio da condi¸cão topológica t = ∆ = 4Γ leva ao deslocamento das curvas da termo-potência. . . 20 10 a) Lei de Wiedemann-Franz W F e a figura termoelétrica de mérito adimensional ZT ,

correspondente a fase topológica, t = ∆ = 4Γ. . . 21 11 a) Sem a presen¸ca do campo magnético , b) Com a presen¸ca do campo magnético . . . 23 12 a) bandas de energia sob um campo magnético forte hz na dire¸cão de z resultando no

alinhamento dos spins. b) inclina¸cão gradual dos spins nas bandas com respeito ao aumento do campo magnético aplicado . . . 24 13 arranjo para realiza¸cão da cadeia em 1D do tipo p . . . 24

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CONTENTS

Resumo vii

Abstract viii

List of Figures ix

I. Introdu¸c˜ao 1

II. A cadeia de Kitaev 4

II.1. Hamiltoniano de Kitaev em fun¸c˜ao dos operadores dos f´ermions de Majorana 6

II.2. Fase topol´ogica 9

III. Transporte de calor e carga em um sistema com f´ermions de Majorana 11

IV. Propriedades termoel´etricas e coeficientes de transporte 17

V. Resultados e Discuss˜ao 19

VI. F´ermions de Majorana no mundo real 23

VII. Conclus˜oes 25

A. Método da equa¸cão de movimento (EOM) para o cálculo das fun¸cões de Green 26

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I. INTRODU ¸C ˜AO

Em 1937 analisando a equa¸cão de Dirac que é definida pela equa¸cão:

i~γµ∂µψ − mcψ = 0, (1)

onde usamos a conven¸cão de Einstein para expressar as derivadas, m a massa de repouso, c a velocidade da luz, ψ a fun¸cão de onda, µ é o ´ındice que contempla todas as coordenadas (espaciais e temporal), onde µ = 0, 1, 2, 3 e γµ são matrizes 2x2, que são sub-matrizes oriundas da matriz de Pauli e da matriz identidade dadas por [2]:

γ0=   I2 0 0 −I2  , γ1=   0 σx −σx 0  , γ2=   0 σy −σy 0  , γ1=   0 σz −σz 0  . (2)

Onde γµ _{respeita a seguinte regra de comuta¸}_c˜_ao:

[γµ, γα] = 2ηµαI4, (3)

sendo I2e I4matrizes identidade.

O f´ısico Ettore Majorana se fez uma pergunta: existem solu¸cões reais para a equa¸cão de Dirac? Majorana concluiu que isso somente seria poss´ıvel se existissem particulas que fossem iguais as suas anti-part´ıculas. A estas part´ıculas foi dado o nome de férmions de Majorana, em homenagem ao f´ısico que as intuiu. Embora o resultado seja interessante, a evidência experimental de sua existência é necessária, uma vez que apenas modelos que são capazes de descrever resultados experimentais e ou prever novos resultados é que são relevantes para a f´ısica. Este problema permaneceu como uma curiosidade durante 64 anos até que Kitaev propôs um “toy model” que se realizado experimentalmente poderia levar a princ´ıpio `

a deteçcão dos férmions de Majorana [3]. Este modelo consiste em um sistema linear composto por uma cadeia de átomos, onde todos estão com seus spins apontando em uma única dire¸cão. O modelo é descrito por três parâmetros: Os elétrons podem pular de um sitio para o outro por meio de uma energia de “hopping” t, o modelo também inclui um emparelhamento supercondutor ∆ com simetria “p” entre os elétrons, que deve ser do tipo tripleto , uma vez que todos os spins apontam em um único sentido, além disso, a ocupa¸cão eletrônica da cadeia é controlada pelo potencial qu´ımico µ.

Modos de Majorana são quasi-part´ıculas que representam suas próprias anti-quasipart´ıculas [4], o que significa que devem ser descritos por uma superposi¸cão equivalente de estados de elétrons e buracos. Este fato torna natural a procura destes modos em sistemas supercondutores, onde as fun¸cões de onda das quasipart´ıculas possuem componentes de part´ıcula e buraco como graus de liberdade igualmente relevantes. A forma mais comum de acoplamento em supercondutores é do tipo onda-s, onde os pares de Cooper são formados de pares de elétrons num estado singleto (proje¸cões de spin opostas). Entretanto, modos de Majorana isolados podem ser produzidos em superf´ıcies de supercondutores de onda-p, nos quais a fun¸cão de onda possui momento angular total J = 1, o que significa que os pares de Cooper

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2 são formados por elétrons num estado tripleto. Esta forma de acoplamento foi prevista para o estado fundamental do supercondutor Sr2RuO4, [5] porém é altamente sens´ıvel à desordem e, portanto, nunca foi observada experimentalmente [4]. Felizmente, um trabalho devido a Fu e Kane [6] mostrou que o pareamento tipo px± ipy pode ocorrer em estados de borda em isolantes topológicos quando postos em contato com um supercondutor comum de onda-s, dando origem ao fenômeno de supercondutividade induzida por efeito de proximidade.

Algum tempo depois, Y. Oreg et al. [7] sugeriram uma simplifica¸cão do problema, utilizando fios semicondutores unidimensionais. Cabe notar que existem também propostas de cria¸cão de modos de Majorana em vórtices de isolantes topológicos dopados [8] , na interface entre um ferromagneto e um supercondutor depositado em um isolante topológico bidimensional [9] , em gases de átomos frios [10], e ainda outros sistemas.

No presente trabalho iremos abordar muitos aspectos associados a topologia tais como: isolantes topológicos, fase topológica, transi¸cões de fase e alguns outros. Sendo necessário definirmos o que seriam alguns destes têrmos para uma melhor compreensão das futuras análises que serão feitas.

• Topologia: é um ramo da matemática que estuda os espa¸cos topológicos, considerada uma extensão da geometria. Duas superf´ıcies têm a mesma topologia se é possivel transformar uma na outra conti-nuamente (sem rasgar ou colar). Em geral, a topologia estuda se os objetos podem ser transformados continuamente um no outro. Na f´ısica da materia condensada, podemos perguntar se os Hamilto-nianos de dois sistemas quânticos podem ser transformados continuamente um no outro através da varia¸cão de um parâmetro f´ısico, como por exemplo correla¸cão eletrônica, hibridiza¸cão,etc.

• Isolantes topológicos: são materiais eletrônicos que possuem um gap de energia nos estados de vo-lume bulk (espectro de energia associado ao vovo-lume do sistema), como um isolante usual, entretanto, possuem estados de borda que permitem a condu¸cão de corrente, enquanto o volume permanece isolante.

• Fase topológica: O Hamiltoniano de um sistema f´ısico é caracterizado por grupo de simetria e o sistema f´ısico sofre uma transi¸cão de fase clássica quando há uma quebra na simetria do Hamilto-niano, usualmente as transi¸cões de fase são bem descritas por meio da teoria de Landau [11], que associa a varia¸cão de um parâmetro de ordem que se anula na transi¸cão. Agora as transi¸cões de fase topológicas não se enquadram na teoria de Landau e são caracterizadas pelos números de Chern [2] que assumem diferentes valores quando por meio da varia¸cão de algum parâmetro cruzamos essa transi¸cão.

Apesar de até hoje os férmions de Majorana não terem sido detectados, com o advento do trabalho de Kitaev, come¸cou uma busca por sistemas de matéria condensada que poderiam exibir os férmions de Majorana, não como part´ıculas elementares, mas sim como excita¸cões análogas aos fônons, magnons, etc. Para realizar experimentalmente a configura¸cão que permite a deteçcão dos Fermions de Majo-rana, Y. Oreg et al. fizeram uma proposta para a realiza¸cão experimental dos férmions de Majorana em sistemas de matéria condensada composta dos seguintes três passos [7]:

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• Um material que exiba uma forte intera¸cão spin-órbita intr´ınseca e Rashba para constituir o fio quântico.

• Um campo magnético externo que é usado para induzir uma polariza¸cão de spin do nanofio [quebra de degenerescencia] e controlar a largura do gap.

• Um supercondutor do tipo “s” servindo de substrato para gerar um supercondutor de emparelha-mento “p”. Esta configura¸c˜ao ´e representada na figura 1.

Particularmente, férmions de Majorana emergem como excita¸cões de quasipart´ıculas caracteriza-das por modos de energia zero que aparecem nas borcaracteriza-das do fio unidimensional de Kitaev. O modelo de Kitaev é usado para descrever os fenômenos emergentes da supercondutividade topológica de onda “p” que pode ocorrer com elétrons de spin polarizados. O interesse em se provar a existência de tais part´ıculas não se atém apenas aos interesses da f´ısica da matéria condensada, na astrof´ısica se acredita que uma das part´ıculas candidatas a constituir a massa escura que compõe 25% do nosso universo seriam férmions de Majorana. Como podemos ver este é um problema em aberto de amplo interesse. Neste trabalho faremos um estudo teórico do modelo de Kitaev, bem como suas poss´ıveis realiza¸cões experimentais e calcularemos a condutância elétrica da cadeia de Kitaev.

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4

II. A CADEIA DE KITAEV

No cap´ıtulo anterior introduzimos o conceito dos férmions de Majorana na matéria condensada agora discutiremos em detalhes o “toy model” proposto por Kitaev, que é constituido por uma cadeia unidimensional descrita pelo Hamiltoniano

H = −µ N X x=1 c†_xcx− 1 2 N −1 X x=1

(tc†_xcx+1+ ∆eiφcxcx+1+ tc†x+1cx+ ∆e−iφc†x+1c †

x), (4)

em termos dos operadores fermiônicos de cria¸cão e aniquila¸cão c† e c, onde µ é o potencial qu´ımico, t é a integral de transferência de elétrons entre s´ıtios vizinhos da cadeia (“hopping”), ∆ é o “gap” supercondutor com simetria “p” e φ é fase do parâmetro de ordem supercondutor ∆, que emparelha elétrons com spins no mesmo sentido, ou seja, aqui devemos ter um emparelhamento tipo “p”.

Vamos agora nos preocupar em encontrar uma maneira de deduzir a existência de modos de majorana a partir do espectro de energias associado aos s´ıtios internos da cadeia (bulk ). Primeiramente, vamos eliminar as bordas do sistema considerando uma cadeia infinita e impor condi¸cões de contorno periódicas (todas as bandas de energia na primeira zona de Brillouin), com isto, o sistema possui simetria translacional |ni → |n + 1i , uma vez que os parâmetros t, µ e ∆ não dependem dos s´ıtios. Prosseguiremos com o estudo e aplicaremos uma transformada de Fourier para que possamos obter as bandas no espa¸co do vetor de onda ~k; cj = 1 √ 2π X k eikxj_c k, (5) c†_j =√1 2π X k e−ikxj_c† k, (6)

onde xj = ja e a = 1 ´e o parˆametro de rede, podemos agora expressar o Hamiltoniano dado pela Eq. 4 como; H = 1 2 X k (kc†_kck− kc−kc†−k+ ∆kc−kck+ ∆∗kc † kc † −k) + 1 2 X k k, (7) onde k= −µ − tcos(k), (8)

é a energia cinética e ∆k = −i∆eiφsink é o potencial de pareamento transformado. Usando então uma nota¸cão matricial podemos expressar a equa¸cão 4

H =P k c†_k c−k   k ∆∗k ∆k −k     ck c†_−k  . (9)

Ou em termos dos operadores das quasipart´ıculas

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como H =X k Ebulk(k)a†kak (11) com Ebulk= ± q 2 k+ |∆k|2. (12)

Figura 1. Curvas cheias (azuis) representam a cadeia linear “tight-binding” na ausência de supercondutividade, cuja rela¸cão de dispersão é dada pela Eq. 8. Curvas tracejadas (vermelhas) representam a cadeia de Kitaev fora da fase topológica: (∆ = 0.4t 6= µ), podemos notar a transi¸cão da fase trivial para a fase topológica em µ = −1, 0, Vale notar que utilizamos ∆ = 0.4t pois do contrario, se ∆ = 0 então perderiamos o efeito.

Nas figuras 1 e 2, as curvas cheias (azuis) representam a cadeia linear “tight-binding” que ´e uma aproxima¸c˜ao para uma cadeia unidimensional com N s´ıtios onde assumimos H = K +PN

i=1Vi onde K é a energia cinética e Vi são as energias locais que por simplicidade consideramos zero. A rela¸cão de dispersão da cadeia “tight-binding” é dada pela Eq. 8 e as curvas tracejadas(vermelhas) representam a cadeia de Kitaev fora da fase topológica: (∆ = 0.4t 6= µ), cuja rela¸cão de dispersão é dada pela Eq. 30. Nos gráficos acima mostramos a evolu¸cão do sistema a medida que o sistema não tem nenhuma part´ıcula µ < −t (gráfico (a)) e o preenchimento tem in´ıcio quando µ = −t (gráfico (b)) e atinge seu valor máximo

(17)

6

Figura 2. Curvas cheias(azuis) representam a cadeia linear “tight-binding” na ausência de supercondutividade, cuja rela¸cão de dispersão é dada pela Eq. 8. Curvas tracejadas (vermelhas) representam a cadeia de Kitaev fora da fase topológica: (∆ = 0.4t 6= µ), aqui de maneira análoga Fig. 1, podemos observar que há uma mudan¸ca de fase no sistema, no entanto com a diferen¸ca que a transi¸cão topológica ocorre em µ = t o que mostra que a f´ısica das duas transi¸cões são distintas. Na Fig. 1 a banda está completamente vazia e o potencial qu´ımico se encontra no fundo da banda enquanto que no presente gráfico a banda esta completamente cheia estando o potencial qu´ımico no topo da banda.

quando µ = t (gráfico (f)). Em (b) quando µ = −t, o gap se fecha em k = 0 e em (f) quando µ = t o gap se fecha para k = ±π, sendo ∆k uma fun¸cão ´ımpar de k, não há emparelhamento Cooper em k = 0 e k = ±π, a f´ısica do sistema é diferente nos dois casos. Em (c),(d) e (e), a medida em que aumentamos o potencial qu´ımico de forma que |µ| < t, o potencial de emparelhamento ∆k abre um gap para qualquer valor de k nesse intervalo. Em (g) e (h) o sistema está sempre com um gap independente do valor de ∆k assemelhando-se ao caso visto em (a).

II.1. Hamiltoniano de Kitaev em fun¸c˜ao dos operadores dos f´ermions de Majorana

Neste cap´ıtulo definiremos dois novos operadores associados aos f´ermions de Majorana com o intuito de analisarmos os dois poss´ıveis casos limites da Kitaev. No cap´ıtulo anterior discutimos sobre

(18)

o hamiltoniano que define a Cadeia de Kitaev, algumas das suas propriedades f´ısicas como as mudan¸cas que ocorrem a medida em que as bandas de energia são ocupadas e o significado de tais mudan¸cas no sistema. Para compreender o comportamento da cadeia devemos primeiro definir os dois operadores que descrevem os férmions de Majorana, que são rotulados com os sub´ındices A e B: γA,j e γB,j, onde estes dois operadores pertencem ao mesmo s´ıtio que é representado pelo subindice j. Definimos os operadores γA,i e γB,j através de suas rela¸cões com os operadores fermiônicos usuais:

f = 1₂(γA+ iγB), (13)

f†= 1₂(γA− iγB). (14)

Precisamos agora relacionar os operadores dados pelas rela¸cões acima com os operadores de cria¸cão e aniquila¸cão de férmions que definem o hamiltoniano de Kitaev cj e c†j. Fermions de Majorana são “part´ıculas” neutras de spin 1/2, que como mencionamos anteriormente tem como suas anti-part´ıculas elas mesmas. Substituindo essas equa¸cões nas rela¸cões de comuta¸cão para férmions:

[f, f†]+= 1, (15)

[f, f ]+= 0 (16)

teremos

[γα,i, γ_α†0

,j]+= 2δα,α0δi,j. (17)

Sendo α = A, B ,desta forma podemos relaciona-los com os operadores de cria¸cão e aniquila¸cão que descrevem o comportamento dos eletrons no sistema, rela¸cão dada por :

cj =e −iφ₂

2 (γA,j+ iγB,j), (18)

c†_j =eiφ2

2 (γA,j− iγB,j). (19)

Utilizamos então as equa¸cões dadas na Eq. 4 do hamiltoniano e fazendo algumas manipula¸cões algébricas, obtemos então o hamiltoniano de Kitaev em fun¸cão dos operadores dos férmions de Majorana:

H = −µ 2 N X j=1 (1 + iγB,jγA,j) − i 4 N −1 X j=1 [(t + ∆)(γB,jγA,j+1) − (t − ∆)(γA,jγB,j+1)]. (20)

Podemos agora analisar alguns casos limites. O hamiltoniano de Kitaev possui três parâmetros reais: o potencial qu´ımico µ, o hopping entre s´ıtios e o pareamento supercondutor ∆. O regime com estados de borda é obtido quando ∆ = t e µ = 0, enquanto o regime totalmente trivial composto apenas de fermions comuns é obtido quando ∆ = t = 0 e µ 6= 0.

Caso trivial:

Nesse caso temos que µ 6= 0 e t = ∆ = 0.

H = −µ 2 N X j=1 (1 + iγB,jγA,j), (21)

(19)

8 devemos observar que o emparelhamento entre os férmions de Majorana A e B ocorre sempre no mesmo s´ıtio da cadeia. O espectro de energia sempre tem um “gap”, pois teremos um custo de uma energia finita µ para adicionar um elétron sem spin à cadeia. A Fig. 3 ilustra como seriam estas intera¸cões.

Figura 3. Fase topologicamente trivial; os f´ermions de Majorana ocupam o mesmo s´ıtio de maneira a reproduzir os resultados para a cadeia eletrˆonica “tight-binding”.

Caso topol´

ogico:

Neste caso temos que µ = 0 e t = ∆ 6= 0:

H = i 2 N −1 X j=1 (tγB,jγA,j+1). (22)

No caso anterior vimos que o Hamiltoniano de Kitaev contemplava apenas o emparelhamento entre os férmions no mesmo s´ıtio. Para este caso podemos ver que é o contrário, o hamiltoniano define a intera¸cão entre férmions de s´ıtios vizinhos. como podemos ver na figura 4.

Figura 4. Fase topológica, férmions de Majorana do s´ıtio j se emparelham com os do s´ıtio j+1 possibilitando o surgimento de férmions de Majorana nas bordas da cadeia.

Para adquirir um melhor entendimento do hamiltoniano de Kitaev no limite topológico, Eq. 22, é conveniente definir novos operadores de cria¸cão e aniquila¸cão fermiônicos

dj =1₂(γA,j+1+ iγB,j), (23)

d†_j =1₂(γA,j+1− iγB,j), (24)

de forma que podemos expressar os operadores de Majorana γA,j+1 e γB, j em termos de operadores fermiˆonicos

γA,j+1= dj+ d†j, (25)

(20)

assim temos que: H = t 2 N −1 X j=1 (dj− d†j)(dj+ d†j), (27)

que pode ser colocado na forma

H = t N −1 X j=1 (d†_jdj+ 1 2), (28)

que é diagonal na base dos operadores dj, além disso no estado fundamental todos os estados estão desocupados. O sistema sempre tem um “gap”, pois para se adicionar um elétron ao sistema existe um custo energético t. Notemos que o hamiltoniano não incorpora toda a cadeia de tamanho N, tendo tamanho N-1. De fato podemos notar que os férmions de Majorana das extremidades γA,1 e γB,N não estão inclusos no hamiltoniano, e para levar em conta estes estados faltantes vamos construir um operador fermiônico extra

f =1

2(γA,1+ iγB,N), (29)

que está associado a um estado de custo energético nulo (estado este relacionado com o fato do somatório não contemplar todos os termos da cadeia de tamanho N) e que esta duplamente degenerado. O estado fermiônico representado pelo operador f é altamente não local pois é formado pelos férmions de Majorana localizados nas extremidades da cadeia.

II.2. Fase topol´ogica

Nessa subse¸cão vamos estudar a prote¸cão topológica dos estados de borda. Vamos estudar a persistência dos modos de Majorana frente à desvios das condi¸cões iniciais, em particular vamos estudar o que acontece na fase topológica quando variamos o potencial qu´ımico. Anteriormente estavamos tomando ∆ = 0.4t isto é ∆ 6= t, agora vamos considerar o caso em que ∆ = t = 1 e saimos da condi¸cão topológica, que corresponde a µ = 0. Os gráficos a seguir mostram a evolu¸cão do sistema com a varia¸cão do potencial qu´ımico, ou seja como a cadeia de Kitaev se comporta a medida que aumentamos a ocupa¸cão eletrônica dos estados variando o potencial qu´ımico.

Ebulk= ± p

m2_{+ |∆}

k|2. (30)

onde m2= (tcos(k) + µ)2

O parâmetro m é importante para caracterizar o sistema, note que seu sinal indica se µ é maior ou menor que −t, o que essencialmente informa em que regime o sistema se encontra: se m < 0, então o sistema se encontra na fase topológica, isto é, naquele regime em que existem estados de borda, se m > 0, dizemos que o sistema está na fase trivial, o que corresponde ao regime sem estados de borda. Quando m = 0, o hamiltoniano possui dois autoestados com energias E = ±∆k, estes são autoestados também de

(21)

10 τy, e portanto são superposi¸cões equivalentes de elétrons e buracos. De fato, estes estados representam modos de Majorana se movendo para a esquerda (E = −∆k) e para a direita (E = ∆k). As part´ıculas neste estado estão livres para se propagarem, já que o bulk não possui gap agora.

Figura 5. Curvas cheias (azuis) representam a cadeia linear “tight-binding” na ausência de supercondutividade, cuja rela¸cão de dispersão é dada pela Eq. 8. Curvas tracejadas (vermelhas) representam a cadeia de Kitaev na fase topológica: (∆ = t 6= 0) para valores de µ’s negativos. A fase topológica ocorre para valores de m < |t|, para m = |t| ocorre a transi¸cão da fase topológica para a fase trivial (que ocorre para m > |t|).

Observa-se na Fig. 6 que a medida que o potencial qu´ımico decresce negativamente, o gap diminui no meio da zona de Brillouin e se fecha para µ = −t. Para µ < −t o sistema passa para a fase trivial e a banda de condu¸c˜ao esta totalmente desocupada.

Observa-se na Fig. 5 que a medida que o potencial qu´ımico aumenta positivamente, o gap diminui e se fecha na borda da zona de Brillouin. Para µ > t o sistema passa para a fase trivial e a banda esta totalmente ocupada.

(22)

Figura 6. Curvas cheias (azuis) representam a cadeia linear “tight-binding” na ausência de supercondutividade, cuja rela¸cão de dispersão é dada pela Eq. 8. Curvas tracejadas (vermelhas) representam a cadeias de Kitaev na fase topológica: (∆ = t 6= 0) para valores de µ’s positivos. A fase topológica ocorre para valores de m < |t|, para m = |t| ocorre a transi¸cão da fase topológica para a fase trivial que ocorre para m > |t|.

III. TRANSPORTE DE CALOR E CARGA EM UM SISTEMA COM F ´ERMIONS DE MAJORANA

Nos cap´ıtulos iniciais desse trabalho apresentamos a cadeia de Kitaev e discutimos suas proprie-dades topológicas. Agora estamos em condi¸cões de dar um passo adiante e definir um sistema composto de pontos quânticos e da cadeia de Kitaev de modo a calcular suas propriedades termoelétricas. Para isso vamos seguir o trabalho de L. S. Rico et al. [1], que se constitui em um eficiente caminho para o desenvolvimento de uma aplica¸cão realista dos férmions de Majorana, além de permitir um primeiro contato com técnicas avan¸cadas de pesquisa como o método da equa¸cão de movimento (EOM) para o cálculo das fun¸cões de Green e a teoria de resposta linear para o cálculo de propriedades de transporte.

O modelo considera um ponto quˆantico (QD = “quantum dot”) conectado a dois reservatorios de calor, um quente e outro frio, provocando uma diferen¸ca de potencial, e por fim conectado a uma cadeia de Kitaev [1], como mostra a figura 7.

Existe uma forte analogia entre os pontos quânticos e os átomos naturais. A carga e a energia estão quantizadas e podem ser escolhidas ou alteradas de forma bastante controlável. Desta forma, se

(23)

12 torna muito interessante o estudo de propriedades de transporte nesse tipo de sistema, permitindo a observa¸cão e o estudo de diversos efeitos quânticos, tais como o efeito Fano, que aparece quando existe um processo de interferência quântica em um sistema composto de um espectro cont´ınuo degenerado e um n´ıvel de energia discreto, e o efeito Kondo [12].

Figura 7. Figura 1. (a) O esbo¸co da geometria considerada nesse trabalho [1]. Cadeia de Kitaev topológica em forma de U com um par de férmions de Majorana ηA e ηB nas suas extremidades que também está em

contato com um QD conectado a dois reservatórios de calor metálicos: um quente (vermelho,esquerda) e outro frio (azul,direita). O acoplamento do QD para os férmions de Majorana é assimétrico e é caracterizado pelos elementos da matriz de tunelamento λA e λB, enquanto o acoplamento do QD com os eletrodos metálicos é

sim´etrico e ´e caracterizado pelo elemento da matriz de tunelamento V. A energia 2 denota o acoplamento entre

dois férmions de Majorana. b) Configura¸cão auxiliar equivalente (d´ımero de Kitaev) resultante do mapeamento do arranjo inicial no sistema com um férmion não local residente em QD2. Denotamos por t o elemento de matriz

de transferência de elétrons entre os QDs 1 e 2, ∆ é a energia de liga¸cão do par de Cooper formado pelos elétrons nos dois QDs 1 e 2.

Para o tratamento te´orico do arranjo proposto na Fig. 7a, usaremos o Hamiltoniano proposto por Liu e Baranger [13]

H =X αk _αkc†_αkcαk+ 1d†1d1+ V X αk c†_αkd1+ H.c. + λA(d1− d†1)ηA+ λB(d1+ d†1)ηB+ iε2ηAηB, (31)

onde o primeiro termo representa os elétrons de condu¸cão nos contatos da cadeia com o QD , enquanto o segundo termo representa a energia local do QD, aqui suposto um n´ıvel de energia 1, sem correla¸cão

(24)

eletrônica, e o terceiro termo dá conta dos portadores que fluem do reservatório quente para o frio através do QD, enquanto os últimos três termos correspondem a um hamiltoniano efetivo derivado inicialmente por Liu e Baranger [13] e que dá conta dos processos de hopping e supercondutividade dos férmions de Majorana. Agora é interessante transformar esse hamiltoniano para uma base de férmions onde podemos aplicar as técnicas usuais de transporte, para isso podemos então, sem perda de generalidade definir novas quantidades:

λA=t+∆√₂ , λB = ∆ − t

√

2 , (32)

de forma que ηA = η†A , ηB = η†B e introduzindo um termo auxiliar referente a um f´ermion n˜ao local d2= √1₂(ηA+ iηB) e d†2= √1₂(ηA− iηB) dessa maneira teremos que:

H =X k εkc†αkcαk+ε1d†1d1+V X k c†_αkd1+H.c.+ t + ∆ √ 2 (d1−d † 1)ηA+ i(∆ − t) √ 2 (d1+d † 1)ηB+iε2ηAηB, (33)

podemos ent˜ao evidenciar os termos com td1 , ∆d1, td†1 e ∆d †

1assim podemos escrever:

H = H0+ t d1 √ 2(ηA− iηB) − t d†₁ √ 2(ηA + iηB) + ∆ d1 √ 2(ηA+ iηB) − ∆ d†₁ √ 2(ηA− iηB) + iηAηBε2, (34) e substituindo d2e d†2teremos que:

H = H0+ (td†1d2+ ∆d†2d † 1+ td

†

2d1+ ∆d1d2) + iηAηBε2, (35)

agora expressamos ηA e ηB em fun¸c˜ao de d2 e d†2 , logo ηA = d2_√+d†2

2 e iηB = d2_√−d†2

2 com isso o tˆermo iεηAηB se torna ε₂2 dessa forma teremos que:

H =X αk εkc†αkcαk+ V X αk (c†_αkd1+ d†1cαk) + X j εjd†jdj+ (td†1d2+ ∆d†2d † 1+ td † 2d1+ ∆d1d2) + ε2 2. (36) A partir daqui utilizaremos as equa¸cão de movimento de Heisenberg e as fun¸cões de Green para calcular a equa¸cão que descreve o comportamento do sistema [14], para isto, devemos definir a fun¸cão de Green. Para mais detalhes consulte o Apêndice A.

Gσ_ij(w) = hhcσi, c†σjiiw. (37)

E a equa¸c˜ao de movimento de Heisenberg ´e definida por:

wGσij(w) = h[cσi, c†σj]+i + hh[cσi, H]−, c†σjiiw. (38) Substituindo 36 em 38 podemos calcular o comutador

(25)

14 whhd1, d†1ii = h[d1, d†1]+i + hh[d1, H]−, d†1ii, (39) [d1, H]−= [d1, εkc†αkcαk]−+ [d1, V c†αkd1]−+ [d1, V d†1cαk]−+ [d1, εjd†jdj]−+ [d1, td†1d2]−+ [d1, ∆d†2d † 1]−+ [d1, td†2d1]−+ [d1, ∆d1d2]−, (40)

e usando as rela¸c˜oes de comuta¸c˜ao:

[A, BC]− = [A, B]+C − B[A, C]+, (41)

[A, BC]−= [A, B]−C + B[A, C]−, (42)

[AB, C]−= [A, C]−B + A[B, C]−, (43)

[AB, C]−= A[B, C]+− [A, C]+B. (44)

A equa¸c˜ao 40 se torna [d1, H]− = [d1, d†1]+V cαk+ [d1, d†j]+εjdj+ [d1, d†1]+td2+ ∆d†2[d1, d†1]+. (45) Mas [d1, d†j]+= δ1j, (46) e [d1, H]+= V cαk+ ε1d1+ td2+ ∆d†2. (47) Assim teremos que

whhd1, d†1ii = 1 + V hhcαk, d†1ii + ε1hhd1, d†1ii + thhd2, d†1ii + ∆hhd † 2, d † 1ii, (48) ou (w − ε1)Gd1d1 = 1 + V Gcαkd1+ tGd2d1+ ∆Gd†₂d1. (49) Precisamos agora calcular hhcαk, d†1ii , hhd2, d†1ii e hhd

† 2, d

†

1ii utilizando a equa¸c˜ao de Heisenberg

whhcαk, d†1ii = h[cαk, d†1]+i + hh[cαk, H]−, d†1ii, (50)

[cαk, H]−= [cαk, εkc†αkcαk]−+ [cαk, V c†αkd1]−, (51)

[cαk, H]− = εkcαk+ V d1, (52)

whhcαk, d†1ii = εkhhcαk, d†1ii + V hhd1, d†1ii, (53)

(26)

Gcαkd1 = 1 (w − εk) (V Gd1d1). (55) Temos que Gcαkd1 = X αk V (w − εk) Gd1d1, (56)

que substituindo na equa¸c˜ao 49 resulta em

(w − ε1)Gd1d1= 1 + Σα,k(w)Gd1d1+ tGd2d1+ ∆Gd†₂d1, (57) onde Σα,k(w) = V2 X 1 w − k , (58) ou (w − ε1− Σ(w))Gd1d1 = 1 + tGd2d1+ ∆Gd†₂d1. (59) Agora vamos calcular hhd2, d†1ii;

whhd2, d†1ii = h[d2, d†1]+i + hh[d2, H]−, d†1ii, (60) [d2, H]−= [d2, εjd†jdj]−+ [d2, td†2d1]−+ [d2, ∆d†2d † 1]−, (61) [d2, H]− = ε2d2− td1+ ∆d†1. (62) whhd2, d†1ii = ε2hhd2, d†1ii − thhd1, d†1ii + ∆hhd † 1, d † 1ii, (63) (w − ε2)Gd2d1 = −tGd1d1+ ∆Gd†₁d1, (64) Gd2d1 = 1 (w − ε2) (−tGd1d1+ ∆Gd†₁d1). (65) Calculando hhd†₂, d†₁ii; whhd†₂, d†₁ii = h[d†₂, d†₁]+i + hh[d†2, H]−, d†1ii, (66) [d†₂, H]−= [d†2, εjd†jdj]−+ [d†2, td † 1d2]−+ [d†2, ∆d1d2]−, (67) [d†₂, H]−= −ε2d†2+ td † 1− ∆d1. (68) whhd†₂, d†₁ii = −ε2hhd†2, d † 1ii + thhd † 1, d † 1ii − ∆hhd1, d†1ii, (69) (w + ε2)Gd†₂d1 = tGd†1d1− ∆Gd1d1, (70) G_d† 2d1 = 1 (w + ε2) (tG_d† 1d1− ∆Gd1d1). (71)

Basta agora calcular hhd†₁, d†₁ii para encontramos a solu¸c˜ao da equa¸c˜ao de movimento. Calculando hhd†₁, d†₁ii ;

(27)

16 whhd†₁, d†₁ii = h[d†₁, d†₁]+i + hh[d†1, H]−, d†1ii, (72) [d†₁, H]−= −[d†1, V c † αk] − [d † 1, εjd†jdj]−+ [d†1, td † 2d1]−+ [d†1, ∆d1d2]−, (73) [d†₂, H]−= −V c†αk− ε1d † 1+ td † 2+ ∆d2. (74) whhd†₁, d†₁ii = −V hhc_αk† , d1ii − ε1hhd†1, d † 1ii + thhd † 2, d † 1ii + ∆hhd2, d†1ii, (75) wG_d† 1d † 1 = −V G_c† αkd1− ε1Gd†1,d † 1 + tG_d† 2d † 1 + ∆G_d 2d†1 . (76) Calculamos agora G_c† αkd1: wG_c† αkd1= h[c † αk, d † 1]i + hh[c † αk, H], d † 1ii, (77) wG_c† αkd1 = −εkGc†αkd1− V Gd†1d1, (78) G_c† αkd1 = −V (w + εk) G_d† 1d1. (79)

Agora que temos G_d†

1d1 , Gd†2d1 e Gd2d1 podemos finalmente resolver a equa¸c˜ao

wG_d† 1d1= V2 (w + ε1) G_d† 1d1− ε1Gd†1d1+ t2 (w + ε2) G_d† 1d1− ∆t (w + ε2) Gd1d1− ∆t (w − ε2) Gd1d1+ ∆2 (w − ε2) G_d† 1d1, (w − ε1− Σ(w))G_d† 1d1 = w(t2_{+ ∆}2_{) + ε} 2(∆2− t2) (w2_{− ε}2 2) G_d† 1d1− 2∆tw (w2_{− ε}2 2) Gd1d1, (80) (w − ε1− Σ(w) − K−)Gd†₁d1= − 2∆tw (w2_{− ε}2 2) Gd1d1, (81)

onde chegamos a equa¸c˜ao

G_d† 1d1= − 2∆tKM F s (w − ε1− Σ(w) − K−) Gd1d1. (82) onde K± = w(t 2_+∆2_)±ε 2(∆2−t2) (w2_−ε2 2) e KM F s = _(w2w_−ε2 2)

e podemos ent˜ao definir G_d†

1d1 em fun¸c˜ao de Gd1d1: G_d† 1d1 = −2∆tK Gd1d1. (83) Substituindo em Gd1d1 temos : Gd1d1= 1 w−ε1−Σ(w)−ΣM F s. (84)

Onde a auto-energia ΣM F s = K++ (2t∆)2KKM F s e descreve a hibridiza¸cão entre os MFs e o QD. Assim, com a com a fun¸cão de Green finalmente poderemos prosseguir demonstrando como calcular os coeficientes termoelétricos [1].

(28)

IV. PROPRIEDADES TERMOEL ´ETRICAS E COEFICIENTES DE TRANSPORTE

Para calcular o transporte termoelétrico através do ponto quântico, na condi¸cão de estado esta-cionário, aplicamos uma pequena diferen¸ca de potencial externa ∆V = VL− VRe uma pequena diferen¸ca de temperatura ∆T = TL− TRentre os terminais da esquerda (L) e da direita (R). Na teoria da resposta linear, a corrente Jαpode fluir através do sistema sob a a¸cão de gradientes de temperatura ~∇T ou campos elétricos ~E = − ~∇V . Como no sistema aqui estudado, o potencial qu´ımico (µ) é fixo, as contribui¸cões dos gradientes de potencial qu´ımico se anulam ( ~∇µ = 0). A corrente de carga Je e a corrente de calor JQ que fluem através do sistema são dadas por [15]

Je= e2Lo(−∆V ) + e TL1(−∆T ), (85) JQ= eL1(−∆V ) + 1 TL2(−∆T ), (86)

onde e denota a magnitude da carga elétrica e Lo(T ), L1(T ) e L2(T ) são os coeficientes de transporte. A condutância elétrica G é medida em condi¸cões isotérmicas ∆T = 0. A partir da Eq. 85 teremos

Je= e2Lo(−∆V ), (87)

e da defini¸cão de condutância elétrica [16] G(T ) = − lim

∆V →0Je/∆V |∆T =0= e 2

Lo(T ). (88)

A contribui¸cão eletrônica para a condutância térmica κ é geralmente medida colocando a amostra em um circuito elétrico aberto, de tal forma que Je= 0. Da Eq. 85

(−∆V ) = 1 eT

L1 Lo

(∆T ). (89)

Substituindo a Eq. 89 na Eq. 86 obtemos

JQ= 1 T L2− L2₁ Lo (−∆T ), (90)

e da defini¸cão de condutância térmica[16]

κ(T ) = − lim ∆T →0JQ/∆T |Je=0= 1 T L2(T ) − L2 1(T ) Lo(T ) . (91)

Para simplificar, não consideramos a contribui¸cão dos fônons para a condutância térmica. Ge-ralmente, há efeitos de intera¸cão entre correntes elétricas e térmicas. A termo potência (efeito Seebeck) é definido pela rela¸cão [16]

S = lim ∆T →0∆V /∆T |Je=0= −1 eT L1(T ) Lo(T ) . (92)

(29)

18 Podemos também investigar a viola¸cão da lei de Wiedemann-Franz, onde esta define que a razão entre as condutâncias térmica e elétrica é uma constante para metais, sendo esta constante chamada de constante de Lorentz, dada por:

W F = 1 T(

K

G), (93)

em unidades do número de Lorentz L0 = (π2/3)(kB/e)2 e o correspondente comportamento da figura termoelétrica de mérito adimensional [17]

ZT = S 2_GT

K . (94)

Para calcular os coeficientes de transporte Lo, L1 e L2, seguimos o artigo de Dong e X. L. Lei [18], que derivou a corrente de part´ıculas e fórmulas de fluxo térmico, através de um QD com intera¸cões eletrônicas conectado a dois reservatórios de calor, um quente e outro frio, através da formula¸cão das fun¸cões de Green de não-equil´ıbrio de Keldysh. Os coeficientes de transporte elétrico e termoelétrico foram obtidos na presen¸ca do potencial qu´ımico e gradientes de temperatura com a rela¸cão Onsager no regime linear automaticamente satisfeita. Os coeficientes de transporte consistentes com as fórmulas gerais termoelétricas derivados anteriormente são dadas por

Ln(T ) = 2 h Z −∂nF(T ) ∂ω ωnT (ω)dω, (95)

onde h ´e a constante de Planck, onde Γ = 2πV2P

kδ(ε−εk) o parâmetro de Anderson e nF a distribui¸cão de Fermi-Dirac, lembrando que nF = _eβ(ε−µ)1 +1 a quantidade T é a transmitância através do ponto quântico definida como:

T = −ΓIm(Gd1d1). (96)

´

E importante observar também que no regime de baixas temperaturas, substituindo Gd1d1, dada pela Eq. 84 na equa¸cão de Ln e expandindo em série de Sommerfeld obtemos a expressão anal´ıtica para os coeficientes termoelétricos:

G G0 = K G0L0T ≈ T |_ε=0, (97) S ≈ eL0T 1 T dT dε _ε=0 , (98) onde T = ˜Γ 2 [ε − ε1− K+− (2t∆KMFs)2(ε+ε1−K−) (ε+ε1−K−)2+Γ2 ] 2_{+ ˜}_Γ2, (99) com ˜ Γ = [1 + (2t∆KMFs) 2 (ε + ε1− K−)2+ Γ2 ]Γ. (100)

(30)

V. RESULTADOS E DISCUSS ˜AO -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 ε₁/Γ 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 G/G o ε₂=0.0001Γ ε₂=0.005Γ ε₂=0.01Γ ε₂=0.1Γ ε₂=0.5Γ t=∆=4.0Γ T=0.0001Γ Fase topológica Filtro de eletricidade -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 ε₁/Γ 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 κ /T(G o L o ) ε₂=0.0001Γ ε₂=0.005Γ ε₂=0.01Γ ε₂=0.1Γ ε₂=0.5Γ Filtro de calor Fase topológica t=∆=4.0Γ T=0.0001Γ

Figura 8. Condutâncias eletrica e térmica do sistema correspondente a fase topológica, t = ∆ = 4Γ em fun¸cão do n´ıvel de energia 1do QD1, para várias amplitudes de acoplamento 2, entre os férmions de Majorana localizados

nas extremidades da cadeia de Kitaev. (a) Condutância elétrica G em unidades do quantum de condutância Go = e2/h, como fun¸cão do n´ıvel de energia ε1 do QD1, para vários valores do acoplamento entre os férmions

de Majorana ε2, localizados nas extremidades da cadeia. (b) Condutˆancia t´ermica normalizada pela temperatura

κ/T , em unidades de Goe do n´umero de Lorenz Lo=π 2 3 (

kB e )

2

. Para ambos os casos a ressonância na energia de Fermi ε1= 0, ocorre para altos valôres de ε2. Para ε2 = 0 se observa um platô de magnitude Go/2, para a

con-dutância elétrica e um platô de magnitude GoLo/2 para a condutividade térmica normalizada pela temperatura,

que corresponde a assinatura dos f´ermions de Majorana tanto no transporte de eletricidade quanto de calor.

Na Fig. 8 representamos a condutância elétrica e a condutância térmica normalizada pela tem-peratura do sistema correspondente à fase topológica, t = ∆ = 4Γ. Consideramos o regime de baixas temperaturas T = 0.0001∆, em fun¸cão do n´ıvel de energia 1 do QD1, para várias amplitudes de acopla-mento 2, entre os férmions de Majorana localizados nas extremidades da cadeia de Kitaev. Observe que se os férmions de Majorana estão completamente isolados um do outro (2= 0), a condutância elétrica e a condutância térmica normalizada pela temperatura κ/T exibem um platô de magnitude igual a Go/2 e GoLo/2, respectivamente, qualquer que seja o valor de 1. O modo zero do férmion de Majorana fica fixo no n´ıvel de Fermi dos condutores metálicos, mas dentro da estrutura eletrônica do QD1. Com o aumento

(31)

20 do acoplamento entre a cadeia de Kitaev e o QD, o estado de Majorana “vaza” e como resultado, surge um pico na energia de Fermi ε1= 0, de magnitude Go para a condutância elétrica e de magnitude GoLo para a condutância térmica normalizada pela temperatura e recuperamos os resultados usuais dos esta-dos eletrônicos para ambas as condutâncias. O efeito é devido ao “vazamento” dos férmions de Majorana (corresponde a uma medida do entrela¸camento das fun¸cões de onda dos Majoranas que estão localizados nas pontas do nanofio. Quanto menor for a cadeia maior sera o vazamento e quanto maior for a cadeia maior sera a prote¸cão topológica dos Majoranas.) para o QD [19]. O sistema funciona como um filtro de carga e de calor tal como indicado na figura 8.

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 ε₁/Γ -2 -1 0 1 2 S(K B /e) ε₂=0.0001Γ ε₂=0.01Γ ε₂=0.03Γ ε₂=0.1Γ ε₂=0.5Γ

Transporte por buracos

Fase topológica t=∆=4.0Γ

T=0.0001Γ Transporte por elétrons

-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 ε₁/Γ -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 S(K B /e) t==3.95Γ t==4.0Γ t==4.05Γ

Transporte por buracos

Controle dos buracos

ε₂=0.03∆

T=0.0001Γ Transporte por elétrons

∆=4.0Γ

Controle dos elétrons

Figura 9. a)Termo potˆencia S, em unidades da constante de Boltzman pela carga el´etrica KB/e, correspondente

a fase topológica, t = ∆ = 4Γ. b) Desvio da condi¸cão topológica t = ∆ = 4Γ leva ao deslocamento das curvas da termo-potência.

Na Fig. 9a representamos a termo potência S, em unidades da constante de Boltzman pela carga elétrica KB/e, correspondente a fase topológica, t = ∆ = 4Γ. Consideramos o regime de baixas tempera-turas T = 0.0001Γ, em fun¸cão do n´ıvel de energia do QD 1, para várias amplitudes de acoplamento 2, entre os férmions de Majorana localizados nas estremidades da cadeia de Kitaev. Para 2= 0, a termo potência se anula, nesse regime os férmions de Majorana localizados nas bordas da cadeia de Kitaev não se enxergam, porém a medida que aumentamos o acoplamento entre esses férmions, aumentando o valor do 2, devido ao efeito do vazamento dos férmions de Majorana [19], esses come¸cam a contribuir e a termo

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potência atinge o valor maximo em tôrno de 2 = 0.03Γ. Continuando a aumentar o parâmetro 2, a termo potência come¸ca a diminuir e novamente se anula no regime onde não existem mais férmions de Majorana nas bordas da cadeia de Kitaev.

A possibilidade de sintonizar as condutâncias elétricas e térmicas tal como analisado na Fig. 7 abre caminho para também sintonizar a potência termoelétrica S. Isso é demonstrado na Fig. 9b, onde consideramos o caso onde 2 = 0.03Γ e retiramos ligeiramente o sistema da condi¸cão topológica. Para t = ∆ a termo potência se anula no n´ıvel de Fermi (1= 0); agora se t > ∆, teremos no n´ıvel de Fermi uma termo potência positiva e a configura¸cão se comporta como um sintonizador de buracos; agora se t < ∆, teremos no n´ıvel de Fermi uma termo potência negativa e a configura¸cão se comporta como um sintonizador de elétrons.

-50 0 50 ε₁/Γ 0 1 2 3 4 WF/(L o ) ε₂=0.0001Γ ε₂=0.01Γ ε₂=0.005Γ ε₂=0.001Γ ε₂=0.03Γ ε₂=0.5Γ Fase topológica T=0.0001Γ t=∆=4.0Γ -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 ε₁/Γ 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 ZT ε₂=0.0001Γ ε₂=0.005Γ ε₂=0.01Γ ε₂=0.03Γ ε₂=0.1Γ ε₂=0.5Γ Fase topológica T=0.0001Γ t=∆=4.0Γ

Figura 10. a) Lei de Wiedemann-Franz W F e a figura termoelétrica de mérito adimensional ZT , correspondente a fase topológica, t = ∆ = 4Γ.

Na Fig. 10a representamos a lei de Wiedemann-Franz W F e a figura termoelétrica de mérito adimensional ZT , correspondente a fase topológica, t = ∆ = 4Γ. Consideramos o regime de baixas tem-peraturas T = 0.0001∆, em fun¸cão do n´ıvel de energia do QD 1, para várias amplitudes de acoplamento 2, entre os férmions de Majorana localizados nas estremidades da cadeia de Kitaev. Fig. 10a ilustra a viola¸cão da lei de WF e o comportamento de ZT ,respectivamente. Note que ZT não alcan¸ca amplitudes

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22 pronunciadas, ou seja, ZT < 1. Esses resultados apresentam um comportamento similar ao da termo potência, analisado na Fig. 9. Para 2= 0, os férmions de Majorana localizados nas bordas da cadeia de Kitaev não se enxergam, o sistema satisfaz a lei de Wiedemann-Franz e como consequência o ZT ' 0, similar aos valores obtidos para o ZT nos metais. Entretanto, a medida que aumentamos o valor do 2, devido ao efeito do vazamento dos férmions de Majorana [19], esses come¸cam a contribuir e a lei de WF não é mais satisfeita e atinge os maiores desvios da unidade em torno de 2= 0.005Γ; ZT também come¸ca a crescer, mas atinge seu valor máximo em torno de 2= 0.03Γ, continuando a aumentar o parâmetro 2, a lei de WF retorna novamente ao seu valor unitário e o ZT torna-se novamente desprez´ıvel no regime onde não existem mais férmions de Majorana nas bordas da cadeia de Kitaev.

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VI. F ´ERMIONS DE MAJORANA NO MUNDO REAL

Nos cap´ıtulos iniciais nos concentramos em idealizar uma forma de obter os férmions de Majorana, e discutimos a respeito de algumas propriedades fundamentais do sistema para que seja poss´ıvel a deteçcão dos MFs, podemos agora discutir a respeito da realiza¸cão experimental dos MFs.

Como já discutimos na introdu¸cão do trabalho, para realizar experimentalmente a configura¸cão que permite a deteçcão dos férmions de Majorana, Y. Oreg et al. fizeram uma proposta que seria considerar três fatores[7]:

• Um material que exibe uma forte intera¸cão spin-órbita intr´ınseca e Rashba para constituir o fio quântico 11a.

• Um campo magnético externo que é usado para resolver uma polariza¸cão de spin do nanofio (quebra de degenerescencia) e controlar a largura do gap 12.

• Um supercondutor do tipo “s” servindo de substrato para gerar um emparelhamento “p” 13. Para a realiza¸cão experimental da cadeia de Kitaev é necessario que o nanofio seja composto por um material com intera¸cão spin-órbita forte para que haja uma quebra de degenerescência de spin, ainda assim a degenerescência não é quebrada completamente, uma vez que as curvas do gráfico 11a ainda se cruzam em um ponto para kx= 0, sendo então necessário a aplica¸cão de um campo magnético externo, para via efeito Zeeman levantar a degenerescência completamente, tal como indicado na Fig. 11b.

Para uma melhor compreens˜ao da proposta do experimento analisemos os gr´aficos a seguir .

Figura 11. a) Sem a presen¸ca do campo magn´etico , b) Com a presen¸ca do campo magn´etico

Note que na ausência de campo magnético ainda existe degenerescência, a medida que aumenta-mos o campo magnético quebramos a degenerescência e controlamos a largura do gap, aumentando mais

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24 o campo magnético, obtemos o alinhamento dos spins na mesma dire¸cão tal como indicado na Fig. 12. Colocamos então este aparato sobre um supercondutor do tipo “s” e por efeito de proximidade geramos um emparelhamento tipo “p” na interface entre o supercondutor e o nanofio e desse modo, realizamos experimentalmente a cadeia de Kitaev.

Figura 12. a) bandas de energia sob um campo magn´etico forte hz na dire¸c˜ao de z resultando no alinhamento dos

spins. b) inclina¸c˜ao gradual dos spins nas bandas com respeito ao aumento do campo magn´etico aplicado

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Neste trabalho come¸camos discutindo os férmions de Majorana no contexto do “toy model” idea-lizado por Alexei Kitaev [3]. Trabalhamos com o Hamiltoniano de Kitaev e estudamos as solu¸cões desse modelo e a transi¸cão de fase topológica que gera férmions de Majorana na borda da cadeia. A seguir in-troduzimos um “set up” composto de um quantum dot conectado a dois reservatórios de calor: um quente e outro frio e conectamos a esse QD, uma cadeia de Kitaev. Calculamos as propriedades térmo-elétricas desse sistema: condutividades elétrica e térmica, termo potência, lei de Wiedemann-Franz e figura ter-moelétrica de mérito adimensional. Resolvemos o Hamiltoniano pelo método da equa¸cão de movimento e apresentamos resultados das propriedades termo elétricas. O trabalho apresenta uma perspectiva de novos desenvolvimentos que poderiam ser o tratamento mais realista dos contatos metálicos que poderiam ser descritos por uma nanofita zigzag metálica, além disso podemos ainda incluir a correla¸cão eletrônica no QD, introduzindo a f´ısica do efeito Kondo. Esses novos desdobramentos poderão se constituir num poss´ıvel projeto de Mestrado.

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26

Apêndice A: Método da equa¸cão de movimento (EOM) para o cálculo das fun¸cões de Green

Os operadores Â(t) satisfazem a equa¸cão de movimento na representa¸cão de Heisenberg:

idA

dt = A(t)H − HA(t), (A1)

temos por defini¸cão que a fun¸cão de Green retardada é dada por : Gr(t, t0) ≡ hh Â(t);B(tˆ0)iir=

1 iΘ(t − t

0_{)h[ ˆ}_{A(t), ˆ}_B(t0_)]i T,

onde na representa¸c˜ao de Heisenberg os operadores s˜ao definidos por: A(t) = ei ˆHtAeˆ −i ˆHt,

e T é o operador de ordenamento temporal 83 . As médias térmicas < · · · >, são calculadas no ensemble grand-canônico:

hψiT ≡ 1 ΞT re

−β( ˆH−µ ˆN )_ψ, _(A2)

sendo Ξ a grande fun¸cão de parti¸cão. De forma que o Hamiltoniano vem subtraido do operador número de part´ıculas ˆN e µ é o potencial qu´ımico:

ˆ

H ≡ ˆH − µ ˆN .

Devemos observar que na representa¸cão de Heisenberg a dependência temporal esta nos opera-dores, contrariamente a representa¸cão de Schrodinger onde o a representa¸cão temporal está nos estados quânticos (fun¸cões de onda em primeira quantiza¸cão). Além disso, as rela¸cões de comuta¸cão podem ser escritas como: [ Â, ˆB] ≡ Â ˆB − η ˆB Â, com η =    +1, B.E. −1, F.D. Derivando em rela¸cão ao tempo a Eq. A2 teremos que:

id dtGr(t, t 0_{) = δ(t − t}0_{)h[ ˆ}_{A(t), ˆ}_B(t0_)]i T + Θ(t − t0)h[ d dt ˆ A(t); ˆB(t0)]iT id dth[ Â(t), ˆB(t 0_)]i r= δ(t − t0)h[ Â(t), ˆB(t0)]iT+ h[ d dt ˆ A(t); ˆB(t0)]iT id dth[ Â(t), ˆB(t 0_)]i

r= δ(t − t0)h[ Â(t), ˆB(t)]iT + h[ Â(t) ˆH − ˆH Â(t); ˆB(t0)]iT = δ(t − t0)h[ Â(0), ˆB(0)]iT + h[ Â(t) ˆH − ˆH Â(t); ˆB(t0)]ir, chegamos a equa¸cão:

id

dth[ ˆA(t), ˆB(t 0_)]i

r= δ(t − t0)h[ Â(t), ˆB(t)]iT + h[ Â(t) ˆH − ˆH Â(t)i]; ˆB(t0)]ir

efetuando a transformada de Fourier chegamos a Eq. de movimento:

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[1] L. S. Ricco, F. A. Dessotti, I. A. Shelykh, M. S. Figueira, and A. C. Seridonio, Scientific Reports 8, 2790 (2018).

[2] D. M. d. Souza, . 43 (2018).

[3] A. Y. Kitaev, Physics-Uspekhi 44, 131 (2001).

[4] M. Kjaergaard, K. W¨olms, and K. Flensberg, Phys. Rev. B 85, 020503 (2012). [5] S. Das Sarma, C. Nayak, and S. Tewari, Phys. Rev. B 73, 220502 (2006). [6] L. Fu and C. L. Kane, Phys. Rev. Lett. 100, 096407 (2008).

[7] Y. Oreg, G. Refael, and F. von Oppen, Phys. Rev. Lett. 105, 177002 (2010).

[8] P. Hosur, P. Ghaemi, R. S. K. Mong, and A. Vishwanath, Phys. Rev. Lett. 107, 097001 (2011). [9] J. Nilsson, A. R. Akhmerov, and C. W. J. Beenakker, Phys. Rev. Lett. 101, 120403 (2008). [10] V. Gurarie, L. Radzihovsky, and A. V. Andreev, Phys. Rev. Lett. 94, 230403 (2005). [11] H. M. d. Faria, . 64 (2017).

[12] D. Goldhaber-Gordon, H. Shtrikman, D. Mahalu, D. Abusch-Magder, U. Meirav, and M. A. Kastner, Nature 391, 156 EP (1998).

[13] D. E. Liu and H. U. Baranger, Phys. Rev. B 84, 201308 (2011). [14] H. N. Nazareno, 153 (2010), 1437043.

[15] G. D. Mahan, Livro 1003 (1981), 1437043.

[16] T. A. Costi and V. Zlati´c, Phys. Rev. B 81, 235127 (2010).

[17] D. Nemir and J. Beck, Journal of Electronic Materials 39, 1897 (2010).

[18] B. Dong and X. L. Lei, Journal of Physics: Condensed Matter 14, 11747 (2002).