FUV2009-3-Aula9

Prof. Dr. Reinaldo Luiz Cavasso Filho

Centro de Ciências Naturais e Humanas

Universidade Federal do ABC

Aula 9 –

Aula 9 –

03/10/2009

03/10/2009

Revisão

Revisão

1.

1. Funções e Funções InversasFunções e Funções Inversas 2.

2. Funções Exp e LogFunções Exp e Log 3.

3. Funções Trig e TrigFunções Trig e Trig-1-1

4.

4. Limites no ponto Limites no ponto aa 5.

5. Limites no InfinitoLimites no Infinito

6. Continuidade

6. Continuidade

7. Derivada

7. Derivada

8. Regra da Cadeia e Funções Inversas

8. Regra da Cadeia e Funções Inversas

9. Derivada de Funções Exp. e Log, Trig e Trig

9. Derivada de Funções Exp. e Log, Trig e Trig-1-1 10. Derivadas de Ordem Superior e

10. Derivadas de Ordem Superior e

1

x

2

x

3

x

4

x

Domínio Contradomínio Imagem

)

(

x

₁

f

)

(

x

₂

f

)

(

x

₃

f

)

(

x

₄

f

x

f (x)

FUNÇÃO

: Cada ponto no domínio está ASSOCIADO a um ÚNICO ponto na imagem!

1

x

2

x

3

x

Esta associação É uma FUNÇÃO

x

y

GRAFICAMENTE

x

y

Esta associação

NÃO É uma FUNÇÃO

)

(x

f

y



FUNÇÃO INJETORA 1

x

2

x

3

x

Domínio Contradomínio Imagem 1

y

2

y

3

y

1

x

2

x

3

x

1

y

2

y

3

y

NÃO é FUNÇÃO INJETORA

FUNÇÃO SOBREJETORA 1

x

2

x

3

x

Domínio Contradomínio = Imagem 1

y

2

y

4

y

NÃO é FUNÇÃO SOBREJETORA

FUNÇÃO

SOBREJETORA Não sobra ninguém no Contradomínio 1

x

2

x

3

x

1

y

2

y

3

y

4

x

FUNÇÃO BIJETORA 1

x

2

x

3

x

Domínio Contradomínio = Imagem 1

y

2

y

3

y

NÃO é FUNÇÃO BIJETORA

FUNÇÃO BIJETORA Injetora e Sobrejetora ao mesmo tempo 1

x

2

x

3

x

1

y

2

y

3

y

OPERAÇÕES COM FUNÇÕES

)

(

)

(

)

)(

(

f



g

x



f

x



g

x

)

(

)

(

)

)(

(

f



g

x



f

x



g

x

)

(

)

(

)

)(

(

f



g

x



f

x



g

x

)

(

/

)

(

)

)(

/

(

f

g

x



f

x

g

x

O domínio da nova função é a intersecção dos domínios de f e g.

No caso de f / g , exclui-se do domínio os pontos onde g(x) = 0.

FUNÇÕES COMPOSTAS



(

)



)

)(

(

f

_

g

x



f

g

x

Exemplo: 2

)

(

x

x

f



1

)

(

x

 x



g

2

))

(

(

))

(

(

)

)(

(

f

_

g

x



f

g

x



g

x

2

)

1

(

))

(

(

g

x

 x



f

FUNÇÕES INVERSAS

A idéia central é resolver a equação

y=f(x)

para x

como uma função de y, ou seja,

x = g(y)

.

x

y

D

R

f(x)

g(y)

domínio de f(x) e imagem de g(y) imagem de f(x) e domínio de g(y)

Exemplo:

1

)

(



3





f

x

x

y

x



g

(

y

)



3

y



1

DEFINIÇÃO: Se as funções f e g satisfazem as duas

condições:

- g(f(x))=x para todo x no domínio de f

- f(g(y))=y para todo y no domínio de g

3

)

(

_

3

_



f

x

x

y

x



g

(

y

)



3

y



1

NOTAÇÃO:

3 1

₍

₎

_

_

₁



_x

_x

f

NOTAÇÃO:

a função e sua inversa

podem também ser escritas como:

1

x

y



3



_x



3

_y



₁

1

x

f(x)



3



e

3 1

₍

_x

₎

_x

₁

f







caso se queira ambas as funções

com a mesma variável

independente

.

)

(

1

)

(

1

x

f

x

f





-6 -4 -2 0 2 4 6 -6 -4 -2 0 2 4 6 f -1 (x)=2x-2 y=x y x f(x)=x/2+1



f

x



x

f

1

(

)



Função Exponencial x

a

x

f

(

)



0 1 2 3 4 0 2 4 6 8 10 12 14 16

y

x

f (x)=2

x Domínio: Imagem:

)

,

(





)

,

0

(



Propriedades das Funções Exponenciais

( a > 0

e

b > 0 )

y x y x

_a

_a

a



 y x y x

a

a

a

_



   

_a

x y

_

_a

y x

_

_a

x.y

 

x x x

_b

_ab

a



x x x

b

a

b

a















Função Exponencial Natural

x

e

x

f

(

)



...

71828

.

2

1

1

lim













 



  x x

x

e

0 25 50 75 100 0,0 0,3 0,6 0,9 1,2 1,5 1,8 2,1 2,4 2,7 3,0

y

x

x

x



_







  1

1

Função Logarítmica

x

x

f

(

)



log

_a

x

y



log

_a quer dizer que

a

y



x

Ou seja, o log_a

x

é o número que elevado a

a

resulta em

x

Só isso!!!

Função Logarítmo Natural

x

x

x

f

(

)



log

_e



ln

x

x

f

1

(

)

_

log

_a

A inversa da função exponencial

_f

₍

_x

₎



_a

x é a função logarítmica

Propriedades Básicas

das Funções Inversas

a

x

e log

a

x

x

a

logax



x

a

x a



log

x

e

lnx



x

e

x



ln

PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS

Para qualquer numero real x>0 e y>0.

1 – PROPRIEDADE DO PRODUTO

y

x

xy

_{a a} a

log

log

log





2 – PROPRIEDADE DO QUOCIENTE

y

x

y

x

a a a

log

log

log





3 – PROPRIEDADE DA POTENCIAÇÃO

x

y

x

y _a a

log

log



4 – PROPRIEDADE DO RECÍPROCO

x

x

a a

log

1

log





x

a

b

c

x

x

a

b

x

tg

c

b

x

c

a

x

cos

sen

sen

cos









Funções Trigonométricas

Funções Trigonométricas Inversas



cos 

x

1

x





sen

x

arcsen





 é o arco cujo seno dá

x

Só isso!!!

x

x

f

(

)



sen

y

y

g

x

x

y

arcsen

)

(

sen







x

x

f

1

(

)

_

arcsen

As funções trigonométricas básicas não possuem inversa !!!

Entretanto

Entretanto, em cada caso pode-se restringir o domínio

Descreve o comportamento de f(x) quando x tende a

a

)

(

lim

f

x

a x

O uso básico do conceito de limite é descrever como uma função se comporta quando a variável independente tende a um dado valor.

A partir da figura abaixo e da tabela ao lado, fica evidente que os valores de f(x) ficam cada vez mais próximos de 3 à medida que x estiver cada vez mais próximo de 2, por qualquer um dos lados (esquerdo ou direito).

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0 1 2 3 4 5 6 7 x f( x) 1 ) (x x2 x f x f(x) 1.0 1.000000 1.5 1.750000 1.9 2.710000 1.95 2.852500 1.99 2.9770100 1.995 2.985025 1.999 2.997001 2 2.001 3.003001 2.005 3.015025 2.01 3.030100 2.05 3.152500 2.1 3.310000 2.5 4.750000 3.0 7.000000 aproximando pelo lado esquerdo aproximando pelo

Limites Laterais

Quando x aproxima-se de 0 pelo lado direito, os valores de f(x) tendem a 1 (na verdade, os

valores de f(x) são exatamente iguais a 1 para todos esses valores de x),

Quando x tende a 0 pela esquerda, os valores

x y 1 -1 0

x

x

x

f

(

)





















0

1

0

1

x

x

Considere a função:

Limites Laterais

Diz-se, então, que

“o limite de f(x)=|x|/x é 1 quando x tende a zero pela direita”

e que

“o limite de f(x)=|x|/x é -1 quando x tende a zero pela esquerda”

1

lim

0



 

x

x

x

1

lim

0





 

x

x

x

Com esta notação, o índice superior “+” indica um limite à direita e o índice superior “–” indica um limite à esquerda.

Fala-se, então, em limites laterais.

x y

1

-1 0

L

x

f

a

x

(

)



lim

se e somente se

lim

f

(

x

)

L

lim

f

(

x

)

a x a

x 





 

Às vezes, um ou ambos os limites laterais podem não existir e isto implica que o limite bilateral não existe.

EXEMPLO 3 2 1 a x y 3 ) ( lim_  a f x x xlima f (x) 1 y=f(x)

os limites laterais existem quando x tende a a, mas não são iguais, portanto,

o limite bilateral não existe. O limite bilateral de uma função existe em um ponto a se e somente se existirem os limites laterais naquele ponto e se estes tiverem o mesmo valor, isto é:

Às vezes os limites lateral ou bilateral não existem porque os valores da função crescem ou decrescem indefinidamente.

À medida que x fica cada vez mais próximo de 0 à direita, os valores de f(x) são positivos e crescem indefinidamente;

Quando x aproxima-se de 0 pela esquerda, os valores de f(x) são negativos e decrescem indefinidamente. x x 1/x 1/x 0 x y EXEMPLO

Considere o comportamento da função f(x)=1/x quando x tende a 0.

    x x 1 lim 0     x x 1 lim 0

PROPRIEDADES DO LIMITE

Se L, M, c e k são números reais e

M

x

g

L

x

f

c x c x





 

)

(

lim

)

(

lim

1 – REGRAS DA SOMA

M

L

x

g

x

f

c x

(

(

)



(

))





lim

2 – REGRAS DA DIFERENÇA

M

L

x

g

x

f

c x

(

(

)



(

))





lim

3 – REGRAS DO PRODUTO

M

L

x

g

x

f

c x

(

(

).

(

))

.

lim





4 – REGRAS DA MULTIPLICAÇÃO POR UMA CONSTANTE

L

k

x

f

k

c x

(

.

(

))

.

lim





5 – REGRAS DO QUOCIENTE

0

)

(

)

(

lim







M

com

M

L

x

g

x

f

c x 6 – REGRAS DA POTENCIAÇÃO s r s r c x

f

x

L

/ /

))

(

(

lim





se r e s são inteiros e s é diferente de 0, então

DEFINIÇÃO

1. Dizemos que f(x) possui o limite L quando x tende ao infinito e

escrevemos

L

x

f

x

lim



(

)



se, à medida que x se distancia da origem no sentido positivo f(x) fica cada vez mais próximo de L.

2. Analogamente, se os valores de f(x) ficam cada vez mais próximos

de um número L, à medida que x decresce sem limitação, escrevemos:

L

x

f

(

)



lim

O símbolo para infinito () não representa nenhum número real.

Usamos  para descrever o comportamento de uma função quando

ASSÍNTOTAS HORIZONTAIS: Interpretação geométrica do limite no infinito x y y=L

f(x)

x y y=L

f(x)

A reta

y=L

é uma assíntota horizontal do gráfico de f.

L

x

f

Os limites no infinito, no entanto, podem também não existir.

Na seção anterior viu-se que o limite no infinito pode existir (e ser igual a um número L.).

Uma possibilidade é os valores de f(x) crescerem ou decrescerem sem limitação quando ou .x   x  





  2

lim x

x





  2

lim x

x -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 0 20 40 60 80 100 y x f (x) = x2

Outra possibilidade para a não existência do

limite no infinito

é o gráfico da função oscilar





 

x

e

x x

lim

0

ln

lim



 

x

x

x

1

sen

lim

0





x

x

x

1

1

lim

0







x

e

x x

1

)

1

ln(

lim

0







x

x

x

Funções Racionais

Um polinômio comporta-se como o seu termo de maior grau quando x   ou x   m m n n x m m n n x

d

x

x

c

x

d

x

d

d

x

c

x

c

c

   















lim

...

...

lim

1 0 1 0

Alguns Limites Notáveis

n n x n n x

lim



c

0



c

1

x



...



c

x



lim



c

x

O gráfico da função

f (x)

tem uma “quebra” ou buraco no ponto

x = c

quando: x y c

)

(c

f

não é definido x y c

)

(

lim

f

x

c x não existe x y c

)

(

)

(

lim

f

x

f

c

c x



Uma função

f (x)

é contínua em um ponto c se:

)

(c

f

está definido

)

(

lim

f

x

c x existe

)

(

)

(

lim

f

x

f

c

c x



x y

y=f(x)

a b

mas não é contínua no ponto extremo à esquerda porque:

)

(

)

(

lim

f

x

f

a

a x



 

Essa função contínua no ponto extremo à direita do intervalo [a,b] porque:

)

(

)

(

lim

f

x

f

b

b x 



Em geral, diz-se que uma função é contínua à esquerda no ponto c se

)

(

)

(

lim

f

x

f

c

c x



 

e é contínua à direita no ponto c se

)

(

)

(

lim

f

x

f

c

c x



 

Uma função f é dita contínua em um intervalo fechado [a,b], se as seguintes condições são satisfeitas:

(i) f é contínua em (a,b).

(ii) f é contínua à direita em a. (iii) f é contínua à esquerda em b.

TEOREMA DO VALOR INTERMEDIÁRIO

Se f for contínua em um intervalo fechado [a,b] e k é um número qualquer entre f(a) e f(b), inclusive, então há no mínimo um

número x no intervalo [a,b] tal que f(x) = k.

y

a

_x

b

f(a) f(b)

x y

y = f(x)

(a,b)

y = f

-1

(x)

(b,a)

y = x

Se uma função

f

for contínua e tiver uma inversa, então

f

-1 _{é também contínua.}

x₀ x₁ f(x₀) f(x₁) P Q y=f(x) f(x₁) - f(x₀) x₁ - x₀ reta secante x y 0 1 0 1 sec

)

(

)

(

x

x

x

f

x

f

m







Inclinação da Reta Secante:

x₀ x₁ f(x₀) f(x₁) P Q y=f(x) f(x₁) - f(x₀) x₁ - x₀ reta secante x y reta tangente 0 1 0 1 sec

)

(

)

(

x

x

x

f

x

f

m







Inclinação da Reta Secante:

0 1 0 1

)

(

)

(

lim

0 1

x

x

x

f

x

f

m

x x tg

_







Inclinação da Reta Tangente:

Taxa de Variação Instantânea !!!

A equação da reta tangente a curva é determinada pelo ponto de intersecção (x₀, y₀) e pela sua inclinação m_tg

A função

f ’

definida pela fórmula:

é chamada de derivada de

f

em relação a x.

O domínio de f’ consiste de todo x para o qual o limite existe.

h

x

f

h

x

f

x

f

h

)

(

)

(

lim

)

(

'

0









O processo de encontrar a derivada é chamado de

diferenciação.

Quando a variável independente for x, a operação de diferenciação é denotada por:



f

(x

)



dx

d

0

]

[

c



dx

d

 

_x

n

_

_nx

n1

dx

d



(

)





f

(

x

)



dx

d

c

x

cf

dx

d





(

)

(

)





(

)





g

(

x

)



dx

d

x

f

dx

d

x

g

x

f

dx

d

_

_

_



(

)

(

)



(

)



(

)



(

)



f

(

x

)



dx

d

x

g

x

g

dx

d

x

f

x

g

x

f

dx

d

















2

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

x

g

x

g

dx

d

x

f

x

f

dx

d

x

g

x

g

x

f

dx

d

















Propriedades

c

e

n

sendo constantes:

REGRA DA CADEIA

REGRA DA CADEIA

dx

du

du

dy

dx

dy

_

_

Considerando a função composta y = f (g(x))

Reescrevendo g(x) como u, temos que

y = f (u)

 

_dx

du

nu

u

dx

d

_{n n}





1

 

dx

du

u

2

1

u

dx

d





Derivada da Função Inversa

Derivada da Função Inversa

Conhecendo

f ´(x)

, a derivada da inversa de

f (x)

é dada por:



_{  }

)

(

´

1

)

(

₁ 1

x

f

f

x

f

dx

d

 

_





dx

du

b

u

u

dx

d

b

ln

1

log



 

dx

du

u

u

dx

d

1

ln



 

x

x

dx

d

1

ln



 

_e

x

_e

x

dx

d



_dx

d

 

e

u



e

u

du

_dx

 

a

a

a

dx

d

_{x x}

ln



 

dx

du

a

a

a

dx

d

_{u u}

ln







_x

dx

x

d

cos

sen

_





_x

dx

x

d

sen

cos

_

_

 

_x dx x d tg _{ sec}2





_x dx x

d cotg _{ cossec}2





_{x x} dx x d tg sec sec _





_{x x} dx x d g cot sec cos sec cos _{ }





dx du u u dx d 2 1 1 1 sen   





dx du u u dx d 2 1 1 1 cos    

 

dx du u u dx d 2 1 1 1 tg   





dx du u u dx d 2 1 1 1 cotg    





dx du u u u dx d 1 1 sec 2 1   





dx du u u u dx d 1 1 cossec 2 1     NOTAÇÃO

Se a derivada de uma função

f

,

f ´(x)

, for uma função diferenciável, então a derivada de

f ´

será denotada

f ´´

, sendo chamada de

derivada segunda de

f

.

Da mesma forma, e à medida que se tiver diferenciabilidade, pode-se continuar o processo de diferenciar derivadas e

obter assim as derivadas terceira, quarta, quinta,... de

f

.



(

)



)

´(

f

x

dx

d

x

f



_´´(

₎



_f

_´(

_x

₎



dx

d

x

f





´(

)





(

)



)

´´(

₂ 2

x

f

dx

d

x

f

dx

d

x

f







´´(

)





(

)



)

´´´(

₃ 3

x

f

dx

d

x

f

dx

d

x

f







´´´(

)





(

)



)

(

₄ 4 ) 4 (

_f

_x

dx

d

x

f

dx

d

x

f







(

)



)

(

) (

_f

_x

dx

d

x

f

_n n n

_

Derivada n-ésima de

f (x)

Funções Implícitas:

y

definido implicitamente numa equação envolvendo

x

e

y

Para encontrar :

dx

dy

1) Derivar ambos os lados da equação em relação a

x

, considerando

y

como uma função de

x

.

2) Reunir os termos que contenham

dx

dy

dx

dy