Problemas de Álgebra Linear

(1)

Problemas de ´

Algebra Linear

Cursos: MEBiol e MEBiom

1o Semestre 2018/2019

Prof. Paulo Pinto

http://www.math.tecnico.ulisboa.pt/∼ppinto/

Conte´

udo

1 Sistemas de equa¸c˜oes lineares e ´algebra matricial (2 aulas) 1

1.1 Algebra de matrizes´ . . . 1

1.2 Matrizes invert´ıveis . . . 1

1.3 Sistemas lineares e elimina¸c˜ao de Gauss . . . 3

2 Determinantes (1 aula) 5 2.1 Opera¸c˜oes elementares e determinantes. F´ormula de Laplace. Cofactores . . . 5

3 Espa¸cos lineares (3 aulas) 7 3.1 Subespa¸cos lineares . . . 7

3.2 Vectores geradores. Independˆencia linear . . . 8

3.3 Bases e dimens˜ao de espa¸cos lineares . . . 9

3.4 Coordenadas de um vector numa base . . . 10

4 Valores próprios e vectores próprios (1 aula) 11 4.1 Matrizes diagonalizáveis . . . 12

5 Transforma¸cões lineares (21₂ aulas) 13 5.1 Representa¸cão matricial de transforma¸cões lineares . . . 13

5.2 Transforma¸c˜oes lineares injectivas/sobrejectivas. Equa¸c˜oes lineares . . . 14

5.3 Valores e vectores pr´oprios de transforma¸c˜oes lineares . . . 16

6 Produtos internos (21₂ aulas) 17 6.1 Ortogonaliza¸c˜ao de Gram-Schmidt . . . 18

6.2 Complementos e projeçcões ortogonais; equa¸cões cartesianas de planos e rectas . . . 18

6.3 Diagonaliza¸c˜ao ortogonal/unit´aria . . . 20

7 Algumas Aplica¸c˜oes (1 aula) 20 7.1 Formas quadr´aticas . . . 20

7.2 M´ınimos quadradros . . . 21

7.3 Equa¸c˜oes diferenciais ordin´arias . . . 22

7.4 Rota¸cões, reflexões, projeccões, contra¸cões, compressões, deslizamentos . . . 22

(2)

1 Sistemas de equa¸

c˜

oes lineares e ´

algebra matricial

(2 aulas)

1.1 Algebra de matrizes´

1.1 Escreva a matriz A = [aij]i,j=1,··· ,4 definida por

(a) aij =      1 se i = j, −1 se j = i + 1, 0 caso contr´ario.

(b) aij = j2 (c) aij = (

−a_ji para todo i, j j para j > i.

1.2 Verifique se a matriz A = [aij] ∈ M2×2(R) definida por aij = 3i + 2j ´e sim´etica.

1.3 Sejam A = " 1 π −1 2 3 √3 # , B = " −1 2 3 3 2 −1 # , C =h 1 2 i, D = " π 3 # . (a) Calcule, se poss´ıvel, A + B, 2A, CD, AB, AC, DC, CB e AD.

(b) Calcule, se poss´ıvel, AT, ATB, DTCT, CTC, CCT e (CCT)T. 1.4 (a) Seja A = " 1 1 −1 −1 # . Calcule A2.

(b) Para cada real θ, seja Aθ= "

cos(θ) −sen(θ) sen(θ) cos(θ)

#

. Calcule (Aθ)ncom n ∈ N.

1.5 (a) Encontre matrizes A e B do tipo 2 × 2 tais que AB 6= BA. Ser´a que (A + B)2 = A2+ 2AB + B2? (b) Prove que (A + B)2= A2+ 2AB + B2 se e s´o se AB = BA.

(c) Prove que dadas duas matrizes quadradas A e B tais que AB = B e BA = A ent˜ao temos A2 = A. 1.6 Seja A ∈ M2×2(R). Prove que se tr(AAT) = 0 ent˜ao A = 0.

1.7 Seja A ∈ M2×2(R) tal que A " 0 2 # = " 1 1 # e A " 3 4 # = " 7 8 # . Calcule A " 0 3 2 4 # e A " 0 −3 4 −4 # . 1.8 Seja A=    1 1 1 1 1 1 1 1 1  

e para cada k1, k2 ∈ R seja x=    1 1 1   + k1    −1 1 0   + k2    −1 0 1   . Calcule Ax.

1.9 Sejam u, v ∈ Mn×1(R) e a ∈ R tais que uTv = [a]. Para a 6= −1 sejam A = I + uvT e B = I −_1+a1 uvT. Calcule AB e BA e verifique que tr(uvT) = a.

1.2 Matrizes invert´ıveis 1.10 Sejam A =    0 0 π 2 3 1 1 1 0   e U =    1 1 0 0 1 1 0 0 1   .

a) Verifique se pode obter U a partir de A usando opera¸c˜oes elementares.

b) Justifique que A ´e invert´ıvel e escreva A como produto de matrizes elementares. c) Calcule a inversa de A, usando b).

1.11 Considere a matriz A =    1 0 0 −5 0 1 0 −2 0   .

a) Encontre matrizes elementares E1, E2 e E3 tais que E3E2E1A = I. b) Escreva A−1 como produto de matrizes elementares.

(3)

1 Sistemas de equa¸c˜oes lineares e ´algebra matricial (2 aulas) 2 1.12 Seja A = " 1 0 0 0 1 0 #

. Verifique que existe uma matriz B ∈ M3×2(R) tal que AB = I, mas que n˜ao existe nenhuma matriz C tal que CA = I.

1.13 Sejam a, b, c, d n´umeros reais. Prove que " a b c d #−1 = _ad−cb1 " d −b −c a # sempre que ad − cb 6= 0.

1.14 (a) Sejam A, B, C matrizes n × n, tais que A e B s˜ao invert´ıveis. Resolva a seguinte equa¸c˜ao matricial em X: AXB = C.

(b) Determine, caso existam, todas as matrizes A do tipo 2 × 2 tais que I − "

0 1 2 2

#

A = −2A.

(c) Determine, caso existam, todas as matrizes A do tipo 3 × 3 tais que    1 1 2 0 1 −1 0 0 2   A − 2A = 3I.

(d) Determine, caso existam, todas as matrizes A do tipo 3 × 3 tais que    1 1 2 0 1 −1 0 0 1   A − 2A = 3I.

1.15 a) Determine a matriz A ∈ M2×2(R) tal que 2I − ((3A−1)T)−1 −1 = " 4 3 7 5 # .

b) Seja A tal que (7A)−1 = "

3 4 2 3

#

. Calcule A.

1.16 (Matrizes nilpotentes) Seja A ∈ Mn×n(R) tal que Ak= 0 para algum k ∈ N, k 6= 1. Prove que

(I − A)−1= I + A + A2+ · · · + Ak−1. 1.17 Seja A =    10 7 4 −17 −12 −7 4 3 2   .

(a) Verifique que A3 é a matriz nula. Prove que A não é invert´ıvel. (b) Calcule (I + A + A2)(I − A).

1.18 Quando poss´ıvel, inverta as seguintes matrizes:

A = " 1 1 1 2 # , B = " 1 1 1 1 # , C =    0 1 1 1 0 1 1 1 0   , D =    3 5 0 −1 −2 −2 1 2 1   , E = " cos(θ) − sin(θ) sin(θ) cos(θ) #

1.19 (a) Dadas A, B matrizes do tipo n × n invert´ıveis tais que A + B é invert´ıvel, prove que A−1+ B−1 também é invert´ıvel e

(A−1+ B−1)−1 = A(A + B)−1B.

(b) Seja A = [aij] uma matriz invert´ıvel e B = [bij] a inversa de A. Mostre que, para cada k 6= 0, a matriz [ki−jaij] ´e invert´ıvel e a sua inversa ´e [ki−jbij].

(4)

1.20 Considere a cifra de Hill cuja matriz de codifica¸cão é A =    1 0 −2 0 1 0 1 0 −1   . (a) Determine a matriz de descodifica¸cão.

(b) Encontre a mensagem inicial se −13, 12, −6, −31, 2, −13, −23, 0, −11, −1, 14, 4, 1, 18, 1 for a mensagem cifrada.

(c) Verifique se existe alguma matriz de codifica¸c˜ao B do tipo 2 × 2 que determine a mensagem inicial encontrado em (b), usando a mesma mensagem cifrada de (b).

1.3 Sistemas lineares e elimina¸c˜ao de Gauss

1.21 Quais das seguintes equa¸cões são equa¸cões lineares em x, y e z?

(a) x + π2y +√2z = 0, (b) x + y + z = 1, (c) x−1+ y + z = 0, (d) xy + z = 0.

1.22 Decida quais dos seguintes pontos (0, 0, 0, 0), (1, −1, 0, 0), (1, −1, 0, π), (0, −1, 1, 3), (0, −1, 0, 3) perten-cem ao conjunto solu¸c˜ao do sistema linear seguinte, nas inc´ognitas (x, y, z, w):

(

x + y + 2z = 0 −x − 2y − z = 1.

1.23 Determine a intersec¸c˜ao entre as rectas y + x = 1 e y − 2x = 1₂.

1.24 A conversão entre graus Celsius, C, e graus Fahrenheit, F , é governada pela equa¸cão linear:

F = 9₅C + 32. Determine a único valor da temperatura cuja conversão não altera o seu valor (isto é quando F = C).

1.25 Determine valores para x, y, z e w de modo a que nas reaçcões qu´ımicas seguintes os elementos qu´ımicos envolventes ocorram em iguais quantidades em cada lado da respectiva equa¸cão (isto é, equilibre as equa¸cões qu´ımicas):

(a) xC3H8+ yO2 → zCO2+ wH2O (b) xCH4+ yO2 → zCO2+ wH2O

1.26 Resolva cada um dos sistemas de equa¸cões lineares, utilizando o método de Elimina¸cão de Gauss (aplicado à matriz aumentada):

(a)      x + y + 2z = 8 −x − 2y + 3z = 1 3x − 7y + 4z = 10, (b)      3x + 2y = 1 6x + 4y = 0 9x + 6y = 1, (c) ( x + y + z + w = 1 2x + 2y + 2z + 3w = 1, (d)      2x + 8y + 6z = 20 4x + 2y − 2z = −2 3x − y + z = 11, (e)      2x + 8y + 6z = 20 4x + 2y − 2z = −2 −6x + 4y + 10z = 24, (f )      y + z = 2 3y + 3z = 6 y + x + y = 0.

1.27 Interprete geometricamente cada conjunto solu¸c˜ao obtido no Problema 1.26.

1.28 Usando opera¸c˜oes elementares, transforme a matriz A =    1 2 0 3 5 −1 −2 2 5 7 2 4 4 6 10   numa matriz U em escada por linhas. Indique car(A) e identifique matrizes elementares E1, E2, E3 tais que E3E2E1A = U .

1.29 Para cada parâmetro real α, considere o sistema de equa¸cões lineares cuja matriz aumentada é dado

por    1 4 2 10 2 7 2 20 1 5 α 10   .

(a) Discuta em termos de α a existência ou não de solu¸cão do sistema de equa¸cões lineares anterior. (b) Para α = 4, determine o conjunto solu¸cão do sistema de equa¸cões lineares correspondente.

(5)

1.30 Discuta, em fun¸cão do parâmetros α e β, a solu¸cão de cada sistema linear cuja matriz aumentada é:

(a)    α 1 1 1 1 α 1 1 1 1 α 1    (b)    α 0 β 2 α α 4 4 0 α 2 β   

1.31 Considere o sistema Ax = b cuja matriz matriz aumentada ´e    1 2 −α 1 2 −1 −1 β 9 −2 1 −1   .

(a) Calcule as caracter´ısticas de A e da matriz aumentada [A|b] em fun¸cão dos parâmetros α e β. (b) Discuta o tipo de solu¸cão do sistema em fun¸cão dos parâmetros α e β.

1.32 Indique a caracter´ıstica de cada uma das seguintes matrizes. Quais ´e que est˜ao em escada de linhas?

(a)    1 1 1 1 1 1 1 1 1    (b)    1 0 0 0 1 0 0 0 1    (c)    1 0 0 0 1 0 0 0 0    (d)    0 1 0 0 0 1 0 0 0    (e)    0 1 0 0 0 1 0 0 1    (f)    3 1 −1 0 0 0 0 0 1   (g)    3 1 −1 0 0 1 0 0 0    (h)    0 0 0 0 0 0    (i) " 0 0 0 0 0 0 # (j)    0 0 1    (k) h 0 0 1 i

1.33 Determine o conjunto solu¸cão de cada sistema homogéneo Au = 0 associado a cada matriz A do Problema 1.26, indicando o número de variáveis livres.

1.34 Sendo A uma matriz quadrada e b uma matriz coluna não nula, decida o valor lógica de cada uma das seguintes afirma¸cões:

(a) Seja x1 solu¸cão do sistema Ax = b e y1 solu¸cão do sistema homogéneo associado Ay = 0, então x1− y1 é solu¸cão de Ax = b.

(b) Se x1 e x2 são duas solu¸cões de Ax = b, então x1− x2 é solu¸cão de Ax = b. (c) Se x1 e x2 são duas solu¸cões de Ax = b, então x1− x2 é solu¸cão de Ax = 0. (d) Se A é invert´ıvel, então x = 0 é a única solu¸cão de Ax = 0.

1.35 Seja A uma matriz tal que (1, 2, 3) e (3, 2, 1) sejam solu¸c˜oes do sistema Ax = [1 1 1]T. Encontre outra solu¸c˜ao do mesmo sistema linear, distinta das anteriores.

1.36 Sejam Aα = "_α ₋₁ ₀ 1 α 1 0 0 α # , x = "_x 1 x2 x3 # , b = "₁ 1 1 #

onde α ∈ C ´e um parˆametro complexo. Considere a

seguinte lista de afirma¸c˜oes:

I) Existe um ´unico valor de α para o qual car(Aα) 6= 3.

II) O sistema homog´eneo Aαx = 0 ´e poss´ıvel para qualquer valor de α.

III) O sistema Aαx = b ´e poss´ıvel para qualquer valor de α.

IV) O sistema Aαx = b ´e determinado para infinitos valores de α.

A lista completa de afirma¸c˜oes correctas ´e

(6)

2 Determinantes (1 aula) 5

1.37 Para cada α ∈ R seja Aα=    1 −α α 2 1 −2 0 0 2 + α   .

a) Determine a caracter´ıstica de Aα em fun¸cão do parâmetro α e diga quais são os valores de α para os quais Aα é invert´ıvel.

b) Determine a inversa de A0 (α = 0).

c) Determine a solu¸c˜ao de sistema A0 x = [1 − 1 1]T.

1.38 Determine um sistema linear de equa¸c˜oes cujo conjunto solu¸c˜ao seja dado por S: (a) S = {(1 + t, 1 − t) : t ∈ R}; (b) S = {(1, 0, 1)};

(c) S = {(t, 2t, 1) : t ∈ R}; (d) S = {(t, s, t + s) : t, s ∈ R}; (e) S = ∅.

2 Determinantes

(1 aula)

2.1 Opera¸c˜oes elementares e determinantes. F´ormula de Laplace. Cofactores

2.1 Seja A =    a b c d e f g h i  

 tal que det(A) = −5. Calcule

(a) det(3A) (b) det(A−1) (c) det(−2A−1) (d) det((−2A)−1) (e) det(A3) (f) det    a g d b h e c i f   .

2.2 Mostre que det    b + c a + c a + b a b c 1 1 1  

 = 0 para quaisquer a, b, c ∈ R. Ser´a que A ´e invert´ıvel para algum a, b, c ∈ R?

2.3 Para que valores de k a matriz A ´e invert´ıvel?

(a) A =    1 2 4 3 1 6 k 3 2    (b) A = " k − 2 −2 −2 k − 2 # .

2.4 Calcular os determinantes das matrizes

A =    1 π −1 0 2 0 3 4 5   , B =      1 −2 3 0 1 0 0 −1 0 −3 1 4 0 2 −1 0      , C =        0 5 1 0 2 0 3 2 1 −1 1 0 2 0 0 −1 0 3 2 1 −1 3 2 1 −1        , D =        5 4 3 2 1 2 4 4 2 1 3 4 4 2 1 7 4 5 3 1 5 2 5 1 1        . 2.5 Seja A =      0 0 −1 1 1 0 3 −3 −2 1 −2 2 0 −2 1 0     

. Prove que det(A6− A5_{) = 3.}

2.6 Seja A ∈ Mn×n(R) tal que AAT = I. (a) Prove que det(A) = ±1.

(7)

2 Determinantes (1 aula) 6 2.7 Seja A =    1 −2 3 6 7 −1 −3 1 4   .

(a) Calcule det(A) e justifique que A ´e invert´ıvel. (b) Determina a entrada (1,3) da matriz inversa A−1.

2.8 Seja A =      4 3 2 1 2 3 1 1 2 2 2 1 1 2 3 1     

. Justifique que A ´e invert´ıvel e calcule a entrada (4, 2) de A−1.

2.9 Seja Aα=      −1 α 0 −1 α −1 −α 0 0 0 1 1 −1 α 0 −α      , com α ∈ R.

(a) Calcule det(Aα) e determine os valores de α para os quais Aα´e invert´ıvel. (b) Para cada n ∈ N, calcule det(An0 + An+20 ), onde A0 ´e a matriz Aα para α = 0.

(c) Considerando os valores de α para os quais Aα ´e invert´ıvel, calcule a entrada (3, 1) da matriz A−1α .

2.10 Seja A =    0 0 1 0 2 2 1 2 3  

. Calcule det −2A

−1_AT_det(A−2_)I.

2.11 Resolva os seguintes sistemas de equa¸c˜oes lineares usando a regra de Cramer.

(a) ( 7x − 2y = 3 3x + y = 5 (b)      x − 3y + z = 4 2x − y = −2 4x − 3z = −2 2.12 Seja A = "_a _b _c a 1 2 b 2 4 #

. Sabendo que det(A) = 5, considere a seguinte lista de afirma¸c˜oes:

I) det "_a ₁ ₂ a b c 4b 8 16 # = −20. II) 2a 6= b. III) det(−3A) = −135.

A) I B) II C) I e II e III D) I e II 2.13 Seja A =    3 2 1 −1 1 2 2 0 3 4 4 0 3 1 0 0  

. Considere a seguinte lista de afirma¸c˜oes:

I) A matriz A ´e n˜ao invert´ıvel.

II) A entrada (1,4) da matriz inversa de A ´e igual a 0.

III) A matriz 1₃A2 ´e invert´ıvel.

(8)

3 Espa¸cos lineares (3 aulas) 7

2.14 Seja A, B matrizes n × n invert´ıveis. (a) Prove que adj(adj(A))=|A|n−2A. (b) Prove que adj(AB) =adj(B)adj(A).

3 Espa¸

cos lineares

(3 aulas)

3.1 Subespa¸cos lineares

3.1 Diga, justificando, quais dos seguintes conjuntos são espa¸cos lineares (considere as opera¸cões usuais de adi¸cão de vectores e multiplica¸cão por escalares):

(a) {(0, 0)}, (b) {(x, y) ∈ R2: x − 2y = 0}, (c) {(x, y) ∈ R2 : x + y = π}, (d) {(x, y) ∈ R2_{: ax + by = k}.} (e) {(x, y) : x ∈ N0, y ∈ R}, (f) {(x, y) ∈ R2 : x2+ y2≤ π}, (g) {(x, y) ∈ R2 : y ≥ 0}, (h) {(x, y) ∈ R2: xy ≥ 0}.

3.2 Considere o espa¸co linear V = R3 com as opera¸c˜oes usuais. Diga, justificando, quais dos seguintes subconjuntos de R3 s˜ao subespa¸cos lineares de V :

(a) {(x, y, z) ∈ R3: z = 1}, (b) {(x, y, z) ∈ R3 : xy = 0},

(c) {(x, y, z) ∈ R3: x + y + 2z = 0, x − y = 0}, (d) {(x, y, z) ∈ R3 _{: x + y + z = 0, −x + y + 3z = 0}.}

3.3 Considere o conjunto F = {(x, y, z, w) ∈ R4: x + y + z + w = 0, x − z + w = 0, x − w = 0}.

(a) Quais os vectores u1, u2 e u3 pertencem a F , onde u1 = (0, 0, 0, 0), u2 = (1, −4, 2, 1) e u3 = (1, 4, 2, 1), (b) Prove que F ´e um subespa¸co de R4.

3.4 (a) Seja A uma matriz real n × m. Prove que V = {(x1, · · · , xm) ∈ Rm : A    x1 x2 . . . xm   =    0 0 . . . 0   } ´e um subespa¸co linear de Rm_.

(b) Use (a) para resolver o Problema 3.3 (b). 3.5 Sejam A, B ∈ M2×2(R).

(a) Prove que N (B) ⊆ N (AB).

(b) Se A fˆor invert´ıvel, ent˜ao prove que N (B) = N (AB).

3.6 Considere V o espa¸co linear das fun¸cões reais de variável real t. Diga, justificando, quais dos seguintes subconjuntos de V são subespa¸cos lineares de V :

(a) {f ∈ V : f (t) = f (−t)}, (b) {f ∈ V : f cont´ınua},

(c) {f :∈ V : f diferenciável e f0(t) = f (t)} onde f0 designa a derivada de f , (d) {f ∈ V : f é 3 vezes diferenciável e f000(t) − f00(t) + πf0(t) = 0, ∀t} (e) {p ∈ V : p polinómino},

(f) Pn:= {p(t) =Pni=0αiti: grau(p) ≤ n} onde n ´e fixo, (g) {p ∈ Pn: grau(p) = n},

(9)

3.7 Considere o espa¸co linear V = Mn×n(R) das matrizes n × n. Diga, justificando, quais dos seguintes subconjuntos de V s˜ao subespa¸cos lineares de V :

(a) {matrizes triagulares superiores}, (b) {X ∈ V : X ´e invert´ıvel},

(c) {X ∈ V : T r(X) = 0},

(d) {X ∈ V : XT = X} onde XT designa a transposta da matriz X, (e) {X ∈ M2×2(R) : AX = XA}, onde A =

"

0 1

−1 0 #

.

3.2 Vectores geradores. Independˆencia linear

3.8 Considere em R2 o conjunto de vectores S = {(1, 1), (−1, −1)}. (a) Mostre que o vector (3, 3) é combina¸cão linear de vectores de S. (b) Mostre que o vector (0, 1) não é combina¸cão linear de vectores de S.

3.9 No espa¸co linear R3 considere os vectores v1 = (1, 2, 1), v2 = (1, 0, 2) e v3 = (1, 1, 0). Mostre que os seguintes vectores s˜ao combina¸c˜oes lineares de v1, v2 e v3:

(a) v = (3, 3, 3) (b) v = (2, 1, 5) (c) v = (−1, 2, 0).

3.10 Determine o valor de k para o qual o vector v = (1, −2, k) ∈ R3 _´_{e combina¸c˜}_{ao linear dos vectores} v1= (3, 0, −2) e v2 = (2, −1, −5).

3.11 Decida quais dos seguintes conjuntos geram R3: (a) {(1, 1, 1), (1, 0, 1)}.

(b) {(1, 1, 1), (1, 0, 1), (0, 0, 1)}.

(c) {(1, 1, 1), (1, 0, 1), (0, 0, 1), (2, 1, 3)}.

3.12 Considere, no espa¸co linear P2 dos polin´omios de grau menor ou igual a 2, os vectores p1(t) = 2 + t + 2t2, p2(t) = −2t + t2, p3(t) = 2 − 5t + 5t2 e p4(t) = −2 − 3t − t2. O vector p(t) = 2 + t + t2 pertence `

a expans˜ao linear L({p1, p2, p3, p4})? Verifique se p1, p2, p3 e p4 geram P2?

3.13 Considere A1= " 1 1 1 1 # , A2= " 0 −1 1 1 # , A3= " 0 0 1 1 # e A4= " 0 0 0 1 # no espa¸co linear V =M2×2(R).

Prove que S={A1, A2, A3, A4} gera V . Escreva "

1 0 3 4

#

como combina¸c˜ao linear de matrizes de S.

3.14 Quais dos seguintes conjuntos de vectores s˜ao linearmente independentes: Em R2: (a) {(0, 0)}, (b) {(1, 1)}, (c) {(1, 1), (2, 2)}, (d) {(1, 1), (1, 2)}, Em R3: (e) {(2, −1, 4), (3, 6, 2), (2, 10, −4)}, (f) {(6, 0, −1), (1, 1, 4)}, Em R4: (g) {(4, 4, 0, 0), (0, 0, 6, 6), (−5, 0, 5, 5)}.

3.15 Determine o ´unico valor de a que torna os seguintes vectores linearmente dependentes: v1= (1, 0, 0, 2), v2 = (1, 0, 1, 0), v3 = (2, 0, 1, a).

3.16 Quais dos seguintes conjuntos de vectores s˜ao linearente independentes:

Em P3: (a) {2 − t, 1 + t}, (b) {1 + t, 1 + t2, 1 + t + t2}, (c) {1 + t + t3, 1 − t − t2+ t3, t2}, (d) {1, t, t2, t3}, No espa¸co das fun¸c˜oes reais de vari´avel real: (e) {cos2(t), sin2(t), 2}, (f) {t, cos(t)},

Em M2×2(R): (g) {A1 = " 1 1 1 1 # , A2 = " 0 −1 1 1 # , A3 = " 0 0 1 1 # , A4= " 0 0 0 1 # }.

(10)

3.3 Bases e dimens˜ao de espa¸cos lineares

3.17 Indique uma base e a respectiva dimens˜ao para cada espa¸co linear: (a) {(x, y) ∈ R2 : x + y = 0} (b) {(x, y, z) ∈ R3 : x + y = 0}

(c) {(x, y, z) ∈ R3: x + y + z = 0, x − y = 0} (d) {(x, y, z, w) ∈ R4: x + y + z = 0, x − y = 0, y + w = 0}.

3.18 Determine uma base e a dimens˜ao para o subespa¸co linear V de R3 gerado por u1 = (1, 2, 1), u2 = (2, 4, 3), u3= (3, 6, 4), u4 = (−1, −2, −1), i.e. V = L({u1, u2, u3, u4}). Verifique se V = {(x, y, z) ∈ R3 : 2x − y = 0}. 3.19 Seja A =      1 5 9 2 6 10 3 7 11 4 8 12     

. Determine a dimens˜ao dos seguintes espa¸cos lineares, indicando uma base

em cada caso:

(a) N´ucleo de A (b) Espa¸co linhas de A (c) Espa¸co colunas de A.

3.20 Encontre a caracter´ıstica, bases para o n´ucleo, espa¸co das linhas e das colunas de cada matriz:

" 1 5 9 2 6 10 # , " 1 −4 3 −12 # , " 0 0 0 0 0 0 # ,    1 5 2 6 3 7         1 2 −1 2 4 3 0 0 −2 4 8 12      .

Para cada matriz A verifique que: dim N (A)+ car(A)= n´umero de colunas de A.

3.21 Seja A =    1 0 1 0 1 1 1 −1 0   . (a) Determine uma base para N (A).

(b) Determine uma base de R3 que inclua duas colunas de A. (c) Determine uma base para L (A) ∩ C (A).

3.22 Encontre bases e respectivas dimens˜oes para os seguintes espa¸cos lineares: (a) V = {p ∈ P3: p(1) = 0}; (b) V = {p ∈ P2: p(0) = p(1) = 0}; (c) V = { " a b c d # ∈ M_2×2_{(R) : a + 2b = 0};} (d) {A ∈ M2×2(R) : A = AT}; (e) {A ∈ M2×2(R) : A " 0 −1 1 1 # = " 0 −1 1 1 # A}. 3.23 Sejam V1 = L({(1, 1, 1), (1, 2, 2)}) e V2 = {(x, y, z) ∈ R3: 3x − y − z = 0}.

(a) Determine uma equa¸c˜ao ax + by + cz = 0 tal que V1 = {(x, y, z) ∈ R3 : ax + by + cz = 0}. (b) Determine dois vectores v1, v2 tais que V2 = L({v1, v2}).

3.24 Sejam V1 = L({(1, 1, 1), (1, 2, 2)}) e V2 = L({(0, 1, −1), (1, 1, 2)}). (a) Calcule dim(V1∩ V2) e dim(V1+ V2).

(11)

3.25 Determine as dimens˜oes de E ∩ F e E + F :

(a) E = L({(1, 1, −1, −1), (1, 1, 1, 1), (1, 1, 2, 2)}) e F = L({(1, 0, 0, 1), (0, 1, 1, 1), (1, 1, 0, 1)}); (b) E = {(x, y, z, w) ∈ R4: x + y + z = 0} e F = ({(x, y, z, w) ∈ R4 : x + w = 0, y + w = 0}; (c) E = L({1 + t + t2, 1 + t2}) e F = L({3 + 2t + 3t2_{}) em P}

2.

3.26 Determine uma base para V1∩ V2, onde

V1 = {p(t) ∈ P2: p(−1) = 2p(0) − p(1)} e V2= L({−1 + t, 1 − t2}).

3.27 Determine uma base para R4 que inclua os vectores (1, −1, −1, 1) e (−1, 0, 0, 1).

3.28 Considere o seguinte subespa¸co de R4: U = {(x, y, z, w) ∈ R4 : x + y + z + w = 0}. (a) Determine uma base para U .

(b) Determine uma base para U que inclua os vectores (1, −1, −1, 1) e (−1, 0, 0, 1).

3.29 Seja V = {(x, y, z) ∈ R3: x − z = 0}. Considere a seguinte lista de afirma¸c˜oes:

I) O conjunto {(1, 0, 1), (0, 2, 0)} ´e uma base de V .

II) dim(V ) = 2 e {(1, 0, −1), (0, 1, 0)} forma uma base de V .

III) V = N (A) onde A = "

1 0 1

0 1 0

# .

IV) V = N (A) onde A = "

1 0 −1

3 0 −3

# .

A) I e III B) II e III C) I e IV D) II e IV

3.4 Coordenadas de um vector numa base

3.30 (a) Seja Bc = {(1, 0), (0, 1)} e B = {(1, 1), (−1, 0)} duas bases de R2.

(a) Encontre as coordenadas vBc do vector v = (3, 4) na base Bc, assim como as coordenadas vB do mesmo vector na base B.

(b) Determine a matriz mudan¸ca de base SBc→B da base can´onica para a base B. (c) Use a matriz mudan¸ca de base apropriada e determine vB a partir de vBc. (d) Determine o vector w = (a, b) de tal forma que wB = (1, 1).

3.31 Considere V = L({v1, v2, v3}) onde v1 = (1, 1, 1, 1), v2 = (0, 1, 1, −1) e v3 = (1, 2, 2, 0). (a) Encontre uma base para V e indique a respectiva dimens˜ao.

(b) Quais s˜ao as coordenadas do vector v = (2, 4, 4, 0) na base ordenada de (a)?

3.32 Encontre as coordenadas do vector v = (1, 2, −3) numa base do espa¸co linear E = {(x, y, z) ∈ R3 : x + y + z = 0} `a sua escolha.

3.33 Seja B = {v1, v2} a base do subespa¸co linear W de R3, onde v1 = (1, 1, 1) e v2 = (1, 0, 1). Considere a seguinte lista de afirma¸c˜oes:

I) (1, 2, 1) ∈ W .

(12)

4 Valores pr´oprios e vectores pr´oprios (1 aula) 11

III) As coordenadas vB do vector v = (2, 3, 2) na base B s˜ao vB= (2, 1).

IV) Se vB = (3, −1) s˜ao as coordenadas de v na base B, ent˜ao v = (2, 3, 2).

A) I e IV B) II e III C) I, II e IV D) I, III e IV

3.34 Considere em R2 as bases ordenadas B1 e B2 em que B1= {(1, −1), (0, 1)}. Seja

SB1→B2 =

"

1 −1

0 1

#

a matriz de mudan¸ca da base B1 para a base B2. Determine as coordenadas do vector (1, 1) em B2.

3.35 (a) Prove que A1= " 1 1 1 1 # , A2= " 0 −1 1 1 # , A3= " 0 0 1 1 # e A4= " 0 0 0 1 #

constituem uma base para o espa¸co linear V = M2×2(R).

(b) Determine a matriz mudan¸ca de base S da base can´onica de M2×2(R) para a base {A1, A2, A3, A4}. (c) Encontre as coordenadas de A =

" a b c d

#

na base can´onica de M2×2(R) e na base {A1, A2, A3, A4}.

3.36 Sejam A, B ∈ Mn×m(R).Prove que L(A+B) ⊆ L(A)+L(B). Ser´a que em geral L(A+B)=L(A)+L(B)?

3.37 Seja A matriz real 3 × 3 qualquer, n˜ao nula, tal que A2 = 0. Prove que car(A) = 1.

4 Valores pr´

oprios e vectores pr´

oprios

(1 aula)

4.1 Seja A = "

1 2 2 1

#

. Considere ainda os vectores v1 = (0, 0), v2 = (2, 1), v3 = (−1, 1), v4 = (2, 3) e v5= (2, 2). Identifique os que são vectores próprios de A, indicando os valores próprios associados.

4.2 Determine os valores pr´oprios de uma matriz 2 × 2 cujo tra¸co seja igual a 5 e cujo determinante seja igual a 6.

4.3 Determine os valores de a e b tais que (1, 1) é um vector próprio de A = " 1 1 a b # e que λ = 0 é um valor próprio de A.

4.4 Para cada uma das seguintes matrizes, encontre os valores pr´oprios e bases para os espa¸cos pr´oprios correspondentes: (a) " 3 0 8 −1 # , (b) " 10 −9 4 −2 # (c) " 0 3 4 0 # (d) " 3 0 0 4 # (e) " 0 0 0 0 # (f)    4 0 1 −2 1 0 −2 0 1    (g)    2 0 1 0 2 0 1 0 2    (h)    5 0 1 1 1 0 −7 1 0    (i)      0 0 2 0 1 0 1 0 0 1 −2 0 0 0 0 1      .

(13)

4 Valores pr´oprios e vectores pr´oprios (1 aula) 12

4.1 Matrizes diagonaliz´aveis

4.5 Justifique que    2 2 −2 5 1 −3 1 5 −3  

não é diagonalizável, sabendo que −λ

3 _´_{e o seu polin´}_{omio caracter´ıstico.}

4.6 Seja A = " 1 2 0 3 # .

(a) Determine o polin´omio caracter´ıstico de A.

(b) Determine os espa¸co pr´oprios e indique as respectivas dimens˜oes.

(c) Prove que A ´e diagonaliz´avel, indicando uma matriz P e uma matriz diagonal D tais que D = P AP−1. (d) Calcule A9. 4.7 Considere as matrizes A =    0 0 0 0 0 1 10 −4 4    B =    1 1 1 1 1 1 1 1 1   .

(a) Determine os valores e vectores próprios de A e de B. (b) Diga, justificando, se A ou Bé diagonalizável.

(c) Indique um base de R3 formada por vectores pr’oprioes de B.

Encontre uma matriz diagonal D e uma matriz invert´ıvel P tais que D = P BP−1.

4.8 Considere, para cada parˆametro real α, a matriz Aα e o vector vα definidos por:

Aα =      α 0 0 α 1 0 0 1 2 0 0 2 3 0 0 3      , vα=      α 1 2 3      .

(a) Determine o escalar λ ∈ R, em fun¸c˜ao do parˆametro, tal que Aαvα= λvα.

(b) Discuta as dimensões do N (Aα) e do espa¸co C(Aα) gerado pelas colunas de Aα, em fun¸cão de α. (c) Determine, em fun¸cão de α, bases para N (Aα) e C(Aα).

(d) Determine, em fun¸cão de α, os valores próprios de Aα. (e) Identifique os valores de α para os quais Aαé diagonalizável.

4.9 Determine a matriz A tal que u1 = (1, −1, 0), u2 = (1, 1, 1) e u3= (2, −1, −1) são vectores próprios de A, cujos valores próprios associados são 0, 3 e 0, respectivamente.

4.10 (a) Seja A uma matriz n × n invert´ıvel, λ um valor próprio de A e v um vector próprio associado ao valor próprio λ. Prove que então λ−1 é valor próprio da matriz inversa A−1. Indique um vector próprio associado a este valor próprio.

(b) Se v é um vector próprio comum às matrizes A e B, então prove que v é um vector próprio de AB.

4.11 Uma matriz R ∈ Mn×n(R) diz-se de rota¸c˜ao se R for ortogonal (R−1 = RT) e det(R) = 1. Prove que para n ´ımpar, existe um vector n˜ao nulo u tal que Ru = u.

(b) Para n = 2, prove que existe um real θ tal que R = "

cos(θ) −sen(θ) sen(θ) cos(θ)

# .

(14)

5 Transforma¸c˜oes lineares (21₂ aulas) 13

5 Transforma¸

c˜

oes lineares

(2

1₂

aulas)

5.1 Considere as fun¸c˜oes P : R3 → R2 _{e T : R}3 _{→ R}3 _{definidas como se segue:}

P ((x, y, z)) = (x + y, x + y + 2z), T ((x, y, z)) = (x + y, x + y + 2z, 2x + 2y + 4z),

e os vectores u = (1, 2, 3) e v = (−1, 0, 1).

(a) Calcule P (u), P (v), P (u + v), P (u) + P (v), P (3u) e 3P (u). (b) Calcule T (u), T (v), T (u + v), T (u) + T (v), T (3u) e 3T (u).

5.2 Considere a transforma¸c˜ao linear T : P2 → P2 tal que T (p)(t) = p0(t) + p(t) e considere os polin´omios p1(t) = 1, p2(t) = t, p3(t) = t2 e p4 = 1 + 2t + 3t2.

Calcule T (p1), T (p2), T (p3), T (p4) e T (p1+ 2p2+ 3p3).

5.3 Determine quais das seguintes transforma¸c˜oes s˜ao lineares: Em Rn: (a) T : R2 → R2_{, T (x, y) = (x, y)} (b) T : R2 → R2_{, T (x, y) = (x + 1, y)} (c) T : R2 _{→ R}2_{, T (x, y) = (2x, y}2₎ (d) T : R3 → R3_{, T (x, y, z) = (x + 2y + z, y − 3z, 0)} (e) T : R2 → R3_{, T (x, y) = (x, 2x + 3y, x + y)} (f) T : R2 _{→ R}3_{, T (x, y) = (x, 2x + 3y, 1)}

Em Pn na var´avel t e onde p0 designa a derivada de p: (g) T : P2→ P2, T (p(t)) = tp0(t) + p(t) (h) T : P2→ P3, T (p(t)) = t2p0(t) + p(t + 1) (i) T : P2 → P2, T (p(t)) = p(t + 1) + p(t − 1) (j) T : P2→ P3, T (p(t)) = p(−1) + p(0) + p(1) (l) T : P3 → P2, T (p(t)) = p(0)p0(t) Em Mn×n(R): (m) T : M2×2(R) → M2×2(R), T " a b c d # = " b + 2c 0 3c + a d − a # (n) T : Mn×n(R) → Mn×n(R), T (X) = X + XT

(o) T : Mn×n(R) → Mn×n(R), T (X) = SX onde S ´e uma matriz fixa

(p) T : P2→ M2×2(R), T (p) = " p(−1) p(0) p(0) p(1) # .

5.4 Considere a transforma¸c˜ao linear T : R2 → R2 _{tal que T (1, 1) = (3, 3) e T (1, −1) = (1, −1). Calcule} T (1, 0) e T (0, 1) e determine a express˜ao geral T (x, y).

5.1 Representa¸c˜ao matricial de transforma¸c˜oes lineares

5.5 Considere a transforma¸c˜ao linear T : R2 _{→ R}2 _{tal que T (x, y) = (2x − y, −x + 3y). Em cada al´ınea,} determine a representa¸c˜ao matricial M (T ; B, B) na base ordenada B = {v1, v2}:

(a) v1 = (1, 0), v2= (0, 1) (b) v1= (2, 0), v2= (0, 2) (c) v1 = (0, 1), v2 = (1, 0) (d) v1= (1, 1), v2= (1, −1).

(15)

5.6 Considere a transforma¸c˜ao linear T : R3→ R3 _{tal que T (x, y, z) = (x + y, x + z, z + y). Em cada al´ınea,} determine a representa¸c˜ao matricial M (T ; B, B) na base ordenada B = {v1, v2, v3}:

(a) v1 = (1, 0, 0), v2= (0, 1, 0), v3= (0, 0, 1) (b) v1= (0, 3, 0), v2= (0, 0, 3), v3= (3, 0, 0) (c) v1 = (1, 0, 0), v2 = (1, 1, 0), v3 = (1, 1, 1)

5.7 Considere a transforma¸c˜ao linear T : R3 → R2 _{tal que T (x, y, z) = (2x + y, z + 3y). Em cada al´ınea,} determine a representa¸c˜ao matricial M (T ; B1, B2) nas bases ordenadas B1= {v1, v2, v3} no espa¸co de par-tida e B2 = {w1, w2} no espa¸co de chegada:

(a) v1 = (1, 0, 0), v2= (0, 1, 0), v3= (0, 0, 1), w1 = (1, 0), w2= (0, 1). (b) v1= (1, 0, 0), v2= (1, 1, 0), v3= (1, 1, 1), w1 = (1, 0), w2= (0, 1). (c) v1 = (1, 0, 0), v2 = (1, 1, 0), v3 = (1, 1, 1), w1= (1, 1), w2 = (0, 1)

5.8 Seja T : R2 → R2_{a transforma¸}_c˜_{ao linear que na base can´}_{onica ´}_{e representada pela matriz A =} "

1 2 2 1

# . Calcule mediante uma matriz mudan¸ca de base apropriada:

(a) A representa¸c˜ao matricial de T na base v1= (3, 0), v2 = (0, 3). (b) A representa¸c˜ao matricial de T na base v1 = (1, 1), v2 = (1, 2).

5.9 Seja T : R2 → R2 _{a transforma¸}_c˜_{ao linear que na base B = {(1, 1), (1, 2)} ´}_{e representada pela matriz} A = " 3 2 1 2 # . Calcule T (x, y).

5.2 Transforma¸c˜oes lineares injectivas/sobrejectivas. Equa¸c˜oes lineares

5.10 Seja T : R3 → R3 _{a transforma¸}_c˜_{ao linear definida como se segue:} T ((x, y, z)) = (x, y + 2z, y + 2z)

(a) Calcule T ((1, 1, 1)) e T ((1, −3, 3)) e verifique se T ´e injectiva.

(b) Verifique que não existe um vector u tal que T (u) = (0, 0, 1). Conclua que T não é sobrejectiva.

5.11 Seja T : R3 → R2 _{a transforma¸c˜}_{ao linear definida por}

T (x, y, z) = (x + y, x + y − z).

(a) Calcule a matriz que representa T nas bases can´onicas.

(b) Calcule uma base para o núcleo de T . A transforma¸cão é injectiva? (c) Calcule uma base para a imagem de T . Será T sobrejectiva?

(d) Resolva a equa¸c˜ao linear T (x, y, z) = (1, 1).

(e) Existe algum (a, b) ∈ R2 tal que a equa¸c˜ao T (x, y, z) = (a, b) seja imposs´ıvel? (f) Existe algum (a, b) ∈ R2 tal que a equa¸c˜ao T (x, y, z) = (a, b) seja indeterminada?

5.12 Seja T : R3 → R4 _{a transforma¸}_c˜_{ao linear definida por T (x, y, z) = (x + 2y, x − y, x, x − z).} (a) Represente T matricialmente nas bases can´onicas.

(b) Ser´a T sobrejectiva ou injectiva?

(16)

5.13 Seja T : R3 → R3 _{a transforma¸}_c˜_{ao linear definida por}

T (x, y, z) = (x + y + z, 2x + 2y + 2z, −x − y − z).

(a) Encontre a representa¸cão matricial de T numa base de R3 à sua escolha. (b) Justifique que T não é injectiva, nem sobrejectiva.

(c) Resolva, em R3, a equa¸c˜ao linear T (x, y, z) = (3, 3, 3).

5.14 Considere a transforma¸c˜ao linear T : R3 → R4 _{tal que a sua representa¸}_c˜_{ao matricial nas bases} ordenadas B1 = {(1, 2, 0), (3, 2, 1), (2, 1, 0)} e B2 = {(1, 1, 1, 1), (0, 1, 1, 1), (0, 0, 2, 3), (0, 0, 0, 4)} de R4 e R3, respectivamente ´e M (T ; B1; B2) =      1 5 9 2 6 10 3 11 19 4 16 28      .

(a) Verifique se T ´e injectiva ou sobrejectiva. (b) Determine uma base para o n´ucleo de T .

(c) Determine uma base pata o contradom´ınio de T .

(d) Verifique que T (3, 2, 1) = (5, 11, 33, 108) e resolva, em R3, a equa¸c˜ao linear T (x, y, z) = (5, 11, 33, 108).

5.15 Seja T : P2 → P2 a transforma¸c˜ao linear definida por

T (p(t)) = t2p00(t) − 2p(t).

(a) Calcule a matriz que representa T na base can´onica de P2.

(b) Calcule uma base para o núcleo de T e uma base para o contradom´ınio de T . Conclua que T não é injectiva nem sobrejectiva.

5.16 Considere a transforma¸c˜ao linear T : P2 → P2 tal que T (p) = p0. Resolva a equa¸c˜ao linear T (p) = q, onde q(t) = 1 + t.

5.17 Seja T : P2 → P2 a transforma¸c˜ao linear definida por

T (p(t)) = t2p00(t) − 2p(t).

(a) Calcule a matriz que representa T na base can´onica {p1, p2, p3}. (b) Resolva, em P2, a equa¸c˜ao linear t2p00(t) − 2p(t) = 1.

5.18 Seja B1 = (" 1 0 0 −1 # , " 0 1 1 0 # , " 0 0 1 0 #)

uma base ordenada de U ={A ∈ M2×2(R) : tr(A) = 0} e B2 = {1 − t, 1 + t} uma base ordenada de P1. Seja T : U → P1 a transforma¸c˜ao linear tal que

M (T ; B1; B2) = B, onde B = " 1 2 2 0 1 −1 # . (a) Calcule T " 1 1 1 −1 #! .

(b) Verifique se T ´e sobrejectiva e determine uma base para N (T ). (c) Resolva, em U , a equa¸c˜ao linear T (A) = −4 + 2t.

(d) Seja R : P1 → U transforma¸c˜ao linear tal que M (R; B2; B1) = BT. Calcule (T ◦ R)−1(p(t)), para todo o p(t) ∈ P1.

(17)

5.3 Valores e vectores pr´oprios de transforma¸c˜oes lineares

5.19 Considere a transforma¸c˜ao linear T : R2 → R2 _{definida por} T (x, y) = (2x + y, 2y).

(a) Determine a representa¸cão matricial de T da base canónica de R2. (b) Determine os valores próprios e os subespa¸cos próprios de T .

(c) Mostre que n˜ao existe nenhuma base de R2 constituida por vectores pr´oprios de T .

5.20 Considere a transforma¸cão linear T : R3 → R3 que em rela¸cão à base ordenada B = {(0, 1, 0), (1, 0, −1), (1, 0, 1)} é representada pela matriz:

A =    7 4 2 1 7 −1 −1 2 10   .

(a) Verifique que p(λ) = −(λ − 6)(λ − 9)2 é o polinómio caracter´ıstico de T . (b) Determine os valores próprios e bases dos subespa¸cos próprios de T .

(c) Determine uma base de R3 constitu´ıda por vectores pr´oprios de T . Qual ´e a matriz que representa T nesta base?

(d) Diagonalize a matriz A, isto ´e, determine uma matriz inver´ıvel P e uma matriz diagonal D tais que D = P AP−1.

5.21 Considere a transforma¸c˜ao linear T : P1→ P1 tal que

A = M (T ; B1; B2) = " 1 2 1 2 # , onde B1 = {1 − t, 1 + t} B2 = {2, 1 + t}.

(a) Determine os valores próprios e bases dos subespa¸cos próprios de T . (b) Será que existe uma base de P1 formada por vectores próprios de T ?

5.22 Considere a transforma¸cão linear T : M2×2(R) → M2×2(R) definida por T (A) = A + AT. (a) Determina a representa¸cão matricial de T numa base de M2×2(R) à sua escolha.

(b) Determine os valores pr´oprios e os vectores pr´oprios de T .

(c) Verifique se T é diagonalizável. Em caso afirmativo, indique uma base ordenada de M2×2(R) em rela¸cão `

a qual a representa¸c˜ao matricial de T ´e uma matriz diagonal.

5.23 Considere1 a transforma¸c˜ao linear T : P2 → P2 que na base ordenada {1, 1 + t, t − t2} ´e representada pela matriz A =    0 0 0 0 0 1 10 −4 4   .

(a) Determine os valores e vectores pr´oprios de T .

(b) Diga, justificando, se existe alguma base de P2cuja representa¸c˜ao matricial de T ´e uma matriz diagonal.

5.24 Seja T : P2 → P2 a aplica¸c˜ao definida como se segue T (p(t)) = p(t + 1).

I) T não é uma transforma¸cão linear.

(18)

6 Produtos internos (21₂ aulas) 17

II) p(t) = 1 + t + t2 é uma solu¸cão da equa¸cão linear T (p(t)) = 3 + 3t + t2. III) A transforma¸cão linear T é bijectiva.

IV) O polinómio p(t) = 5 é um vector próprio de T . A lista completa de afirma¸cões correctas é

A) I B) II C) III D) II e III e IV

5.25 Considere a transforma¸cão linear T1 : P2 → P1 cuja representa¸cão matricial em rela¸cão às bases ordenadas B1=1 + t, 1 − t, t2 de P2 e B2 = {1 + t, 1 + 2t} de P1, é dada pela matriz:

M (T1; B1; B2) = " 1 2 0 0 −1 1 # .

Considere ainda a transforma¸c˜ao linear T2 : P1→ P2 tal que

T2(1) = 1 − t T2(t) = 2 + 8t − 2t2.

a) Determine a matriz M (T2; B; B1) que representa T2 em rela¸c˜ao `as bases ordenadas B = {1, t} de P1 e B1 =1 + t, 1 − t, t2 de P2.

b) Determine uma base para N (T1) (n´ucleo de T1) e diga, justificando, se T1 ´e sobrejectiva.

c) Determine T1(t) e encontre, em P2, a solu¸c˜ao geral da equa¸c˜ao T1(p (t)) = t.

d) Verifique se 1 é o único valor próprio de T1◦ T2.

5.26 Seja V um espa¸co linear de dimens˜ao finita e T : V → V um indempotente (transforma¸c˜ao linear tal que T ◦ T = T ).

(a) Mostre que I − T também é um idempotente e que 2T − I é invert´ıvel com (2T − I)−1 = 2T − I. (b) Mostre que N (T ) = C(I − T ).

(c) Mostre que V = N (T ) ⊕ C(T ) (i.e. V = N (T ) + C(T ) e N (T ) ∩ C(T ) = {0}).

6 Produtos internos

(2

1₂

aulas)

6.1 Identifique as aplica¸c˜oes h, i : Rn× Rn_{→ R que definem um produto interno,} Em R2: (a) h(x1, x2), (y1, y2)i = x1y1+ x2y2. (b) h(x1, x2), (y1, y2)i = x1y1+ x1y2+ x2y2. (c) h(x1, x2), (y1, y2)i = −2x1y1+ 3x2y2. (d) h(x1, x2), (y1, y2)i = x1x2y1+ x2y2. (e) h(x1, x2), (y1, y2)i = x2y1y2+ x1y2. Em R3: (f) h(x1, x2, x3), (y1, y2, y3)i = x1y1+ x2y2+ x3y3. (g) h(x1, x2, x3), (y1, y2, y3)i = x1y1+ 2x1y2+ x2y2+ 3x1y3+ x2y3+ x3y3. (h) h(x1, x2, x3), (y1, y2, y3)i = x3x1y2+ x1y2.

6.2 Determine um produto interno de R2 tal que h(1, 0), (0, 1)i = 2. Ser´a ´unico?

6.3 Usando o produto interno usual e os vectores u = (1, 1, 2, 2) e v = (−2, −2, −1, −1), calcule: (a) ||u||, (b) ||v||, (c) ||u|| − ||v||, (d) ||u − v||, (e) ||_||u||u ||, (f) proj_vu, (g) projuv, (h) ](u, v).

(19)

6.1 Ortogonaliza¸c˜ao de Gram-Schmidt

6.4 Usando o produto interno usual, verifique quais dos seguintes conjuntos constituem uma base ortogonal de R3.

(a) {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}, (b) {(1, 1, 1), (−2, 1, 1), (0, −1, −1)}, (c) {(1, 1, 1), (−2, 1, 1), (0, 1, −1)}, (d) {(1, 1, 1), (−2, 1, 1)} (e) {(0, 0, 0), (1, 1, 1), (−2, 1, 1)}.

6.5 Usando o produto interno usual, determine uma base ortogonal para cada espa¸co linear E que se segue. (a) E = R2 (b) E = {(x, y) : x + y = 0} (c) E = L({(1, −1, 1), (−2, 2, 2), (−1, 1, 3)})

(d) E = {(x, y, z) ∈ R3 : x + y = 0} (e) E = L({(1, 1, 1, 1, 1), (1, 0, 1, 0, 1), (0, 0, 0, 1, 1)}. (f) E = {(x, y, z, w) ∈ R4 : x + y + z + w = 0, z − 2w = 0}.

6.6 Considere o produto interno em R2 definido como se segue:

h(x₁, x2), (y1, y2)i = h x1 x2 i " 2 1 1 1 # " y1 y2 # .

(a) Verifique se os vectores e1 = (1, 0) e e2 = (0, 1) s˜ao ortogonais para este produto interno. (b) Verifique se os vectores u1 = (1, 1) e u2 = (2, −3) s˜ao ortogonais para este produto interno.

(c) Use o processo de ortogonaliza¸c˜ao de Gram-Schmidt para encontrar uma base ortonormada de R2usando os vectores u1 e u2 de (b).

6.2 Complementos e projeçcões ortogonais; equa¸cões cartesianas de planos e rectas

6.7 Considere R3 munido com o produto interno usual e F = L({u1}) onde u1= (1, 1, 1). (a) Determine uma base ortonormada para F .

(b) Determine uma base para o complemento ortogonal F⊥ de F .

(c) Determine uma base ortonormal para o complemento ortogonal de F , i.e. base ortonormal para F⊥.

6.8 Considere R4 munido com o produto interno usual e seja F = {(x, y, z, w) ∈ R4 : x + y + z + w = 0, z − 2w = 0}.

(a) Determine uma base para o complemento ortogonal de F .

(b) Determine uma base ortogonal para o complemento ortogonal de F .

6.9 Considere R4 munido com o produto interno usual e F = {(x, y, z, w) ∈ R4 : x − y = 0}. (a) Calcule uma base ortogonal para F⊥.

(b) Determine a projec¸c˜ao ortogonal de p = (1, 1, 1, 1) sobre F e sobre F⊥. (c) Calcule d(p, F ) e d(p, F⊥).

6.10 Considere em R4 o produto interno usual.

(a) Determine uma base para o complemento ortogonal E⊥ de E = L({(1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 1)}). E uma base ortogonal para E⊥.

(b) Determine uma base para o complemento ortogonal de N ( h

1 1 1 1

). (c) Calcule o ˆangulo entre v = (1, 1, 1, 1) e w = (1, 0, 0, 0).

6.11 Determine uma base para o complemento ortogonal de N (    0 0 0 0 1 0 0 1 2 0 0 2   ).

(20)

6.12 Considere a estrutura de espa¸co euclidiano em P2 induzida pelo produto interno

hp, qi = Z 1

−1

p(t)q(t) d(t).

(a) Determine uma base ortogonal de P3 usando o processo de Gram-Schmidt aplicado `a base can´onica. (b) Calcule uma base para U⊥, onde U = {p ∈ P2 : p(1) = 0}.

(c) Calcule d(p, U⊥), com p(t) = 2t.

6.13 No espa¸co linear E = M2×2(R) considere o produto interno

hA, Bi = tr(ABT), e o subespa¸co linear F = { " x y z w # ∈ M_2×2_{(R) : x + w = 0, y − z = 0}.}

(a) Encontre uma base para F . (b) Encontre uma base para F⊥. (c) Calcule d(A, F ) onde A =

" 0 1 1 0

# .

6.14 Considere o espa¸co linear R3 munido com o produto interno

h(x1, x2, x3), (y1, y2, y3)i = 2x1y1+ x1y3+ 2x2y2+ x3y1+ 2x3y3

e V = L({(1, 1, 0), (1, 0, −2)}) o subespa¸co linear de R3 gerado pelos vectores (1, 1, 0), (1, 0, −2). (a) Determine u ∈ V e v ∈ V⊥ tais que (1, 1, 1) = u + v.

(b) Calcule a distˆancia entre (1, 1, 1) e V .

6.15 Considere o espa¸co linear R3 munido com o produto interno usual e V = L({(1, 1, 0), (1, 0, −2)}). (a) Determine u ∈ V e v ∈ V⊥ tais que (1, 1, 1) = u + v.

(b) Calcule a distˆancia entre (1, 1, 1) e V .

6.16 Seja W o plano de R3 definido pela equa¸c˜ao x − 2y + z = 0.

(a) Determine a(s) equa¸c˜oes (cartesianas) da recta perpendicular a W que passa pelo ponto p = (1, 0, 0). (b) Determine a equa¸c˜ao cartesiana do plano paralelo a W que passa no ponto p = (1, 0, 0).

6.17 Considere a recta (1, 1, 1) + L({(1, 2, 3)}). Encontre equa¸c˜oes cartesianas desta recta.

6.18 Seja P o plano tal que (−1, 0, 4), (1, −4, −2), (1, 0, 6) ∈ P. (a) Determine a equa¸c˜ao cartesiana de P.

(b) Determine as equa¸cões paramétrica de P. (c) Determine a equa¸cão vectorial de P.

(d) Determine a equa¸c˜ao cartesiana do plano paralelo a P e que passa em (1, 1, 1).

6.19 Seja p + F um k-plano em Rn. Prove que p + F ´e um subespa¸co linear de Rn se e s´o se p ∈ F .

6.20 Sejam u = (4, 3, 7), v = (2, 5, −3) ∈ R3. Determine os produtos externos u × v, v × u, u × u e v × v.

(21)

7 Algumas Aplica¸c˜oes (1 aula) 20

6.3 Diagonaliza¸c˜ao ortogonal/unit´aria

6.22 Para cada aplica¸c˜ao h, i : Rn× Rn_{→ R definido no Problema 6.1, a), b), c), f) e g), determine uma} matriz A tal que hu, vi = uAvT.

(a) Em que casos é esta matriz A é simétrica e tem todos os valores próprios estritamento positivos? Compare esta resposta com a solu¸cão do Problema 6.1.

6.23 Considere o produto interno em R2 _{tal que G =} "

1 1 1 3

#

seja a matriz de Gram relativamente `a base B = {(1, 1), (2, 3)}. Determine a, b, c, d tais que h(x1, x2), (y1, y2)i = ax1y1+ bx1y2+ cx2y1+ dx2y2.

6.24 Das seguintes matrizes indique as que s˜ao as matrizes hermiteanas: " 1 2 2 3 # , " 1 2 −2 3 # , " 1 i −i 3 # , " i i −i 3 # , onde i =√−1.

6.25 Considere as seguintes matrizes reais

A =    0 0 0 0 0 1 10 −4 4   , B =    1 0 1 2 0 2 3 0 3   , C =    1 1 1 1 1 1 1 1 1   .

a) Indique as matrizes normais (isto ´e verifique se AAT = ATA, etc.) e as matrizes sim´etricas.

b) Identifique as matrizes X ∈ {A, B, C} diagonaliz´aveis, construindo (nesses casos) para cada X uma matriz invert´ıvel P tal que P XP−1´e uma matriz diagonal D.

c) Verifique que C é única matriz ortogonalmente diagonalizável. Counstrua uma matriz ortogonal (real) Q e D diagonal (real) tal que D = QCQT.

6.26 Seja A ∈ Mn×n(C) matriz normal. Porve que N (A) = N (A∗).

7 Algumas Aplica¸

c˜

oes

(1 aula)

7.1 Formas quadr´aticas

7.1 Classificar as seguintes formas quadr´aticas, em definids positivas, definidas negativas, semidefinidas positivas, semidefinidas negativas ou indefinidas:

(a) Q(x, y) = x2+ y2+ 2xy (b) Q(x, y) = 2x2+ 2y2+ 2xy (c) Q(x, y) = −3x2+ 2yx − 2y2. (d) Q(x, y, z) = x2_{+ y}2_{+ 3z}2_{+ 4yx.} (e)Q(x, y, z, w) =h x y z w i      3 0 0 0 0 1 α 0 0 α 2 0 0 0 0 7           x y z w     

, onde α ´e um parˆametro.

7.2 (a) Seja A = "

2 −1

−1 2

#

. Verifique que A ´e definida positiva e calcule √ A−1. (b) Calcule v u u u u t    2 0 1 0 3 0 1 0 2   .

(22)

7 Algumas Aplica¸c˜oes (1 aula) 21 7.2 M´ınimos quadradros 7.3 Seja A =    4 1 3 −1 4 1   , b =    10 2 2   , u = " −2 3 # e v = " −1 1 # .

(a) Calcule Au e Av e compare estes vectores com b.

(b) Diga se u pode ser uma solu¸cão de m´ınimos quadrados para a equa¸cão Ax = b. (c) Determine o sistema normal associado ATAx = ATb e determine a(s) suas solu¸cões. Compare com (b).

7.4 Determine todas as solu¸c˜oes de m´ınimos quadrados para a equa¸c˜ao Ax = b:

(a) A =    1 1 −1 1 −1 2   , b =    7 0 −7   . (b) A =      1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1      , b =      3 1 2 4      .

7.5 Um produtor de a¸co obteve os seguintes dados:

Ano 1997 1998 1999 2000 2001 2002

vendas anuais (em milh˜oes de euros) 1, 2 2, 3 3, 2 3, 6 3, 8 5, 1

Vamos representar os anos de 1997 a 2002 por 0, 1, 2, 3, 4, 5, respectivamente, e representar o ano por x. Seja y a venda anual (em milh˜oes de euros).

(a) Encontre a recta de m´ınimos quadrados relacionando x e y.

(b) Use a equa¸c˜ao obtida em (a) para estimar as vendas no ano de 2006.

7.6 Seja A uma matriz cujas colunas são linearmente independentes e b um vector ortogonal a todas as colunas de A. Prove que a única solu¸cão de m´ınimos quadrados de Ax = b é x = 0.

7.7 Considere as matrizes A =    1 1 1 2 1 3    eb =   3 2 1 2 3  .

(a) Verifique que o sistema Ax = b ´e imposs´ıvel.

(b) Determine todas as solu¸c˜oes de m´ınimos quadrados associadas ao sistema Ax = b.

(c) Foi observado que os lucros obtidos nas 3 primeiras semanas pela venda de um autom´ovel na Uni˜ao Europeia foram:

Semana 1 2 3

Lucros (em milh˜oes de euros) 1, 5 0, 5 3

Vamos representar as semanas por x e o lucro semanal por y. Encontre a recta y = α + βx de m´ınimos quadrados relacionando x e y. Use a recta obtida para estimar os lucros na semana 6.

7.8 Considere a seguinte tabela de dados:

x 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0 y 0.525 0.8448 1.2807 1.8634 2.6326 3.6386 4.944 6.6258 8.7768 11.5076 14.9484 . Determine os modelos: (a) linear y = a + bx (b) exponencial y = aebx (c) logar´ıtmico y = a + b log(x) (d) potencial y = axb

(e) hiperb´olico y = a +_xb

(23)

7 Algumas Aplica¸c˜oes (1 aula) 22

7.3 Equa¸c˜oes diferenciais ordin´arias

Problemas que se podem fazer com os conhecimentos do cap´ıtulo 4.

7.9 Das fun¸cões y1(t) = e2t, y2(t) = e2t + π, y3(t) = πe2t, y4(t) = e2t+π quais são solu¸cões da equa¸cão diferencial y0(t) = 2y(t)?

7.10 Determine a solu¸c˜ao geral dos seguintes sistemas de qua¸c˜oes diferenciais.

(a) ( y0₁= 3y1+ y2 y0₂= 5y1+ y2 , (b) ( y₁0 = 3y1+ 2y2 y₂0 = y1+ y2 , (c)      y₁0 = 3y1+ 2y2 y₂0 = y1+ y2 y₃0 = y2− y3 .

7.11 Para cada um dos sistemas do Problema anterior determinante a solu¸c˜ao que verifica as condi¸c˜oes (a) y1(0) = 0 e y2(0) = 0 (b) y1(0) = 2 e y2(0) = 1 (c) y1(0) = −1, y2(0) = 1 e y3(0) = 0.

7.12 (a) Mostre que a matriz A = "

2 1

−2 5 #

´

e diagonaliz´avel, indicando uma matriz diagonal D e matriz

mudan¸ca de base P tais que D = P−1AP .

(b) Encontre a única solu¸cão do seguinte sistema de equa¸cões diferenciais: (

2y1(t) + y2(t) = y10(t) −2y1(t) + 5y2(t) = y20(t)

com as condi¸c˜oes y1(0) = 1, y2(0) = −1.

7.13 Considere o seguinte sistema de equa¸cões diferenciais com valor inicial:      y₁0 = y1+ 2y2 y₂0 = 3y2 y1(0) = 8 e y2(0) = 5. A solu¸cão deste sistema é:

A) y1(t) = 3et+ 5e3t, y2(t) = 5e3t B) y1(t) = 8et, y2(t) = 5e3t C) y1(t) = 3e3t+ 5et, y2(t) = 5et D) y1(t) = 3et+ 5e2t, y2(t) = 5e3t.

7.14 Determine o conjunto de todas as solu¸c˜oes do seguinte sistema de equa¸c˜oes diferenciais de 1a ordem: (

−3y1(t) = y01(t) 3y1(t) − 2y2(t) = y02(t)

(a) Usando as condi¸c˜oes iniciais y1(0) = 40 e y2(0) = 5, verifique que

y1(t) = 40e−3t, y2(t) = −120e−3t+ 125e−2t,

é a (única) solu¸cão do sistema de equa¸cões diferenciais descrito anteriormente.

7.4 Rota¸cões, reflexões, projeccões, contra¸cões, compressões, deslizamentos

Problemas que se podem fazer com os conhecimentos do cap´ıtulo 5.

7.15 (Rota¸c˜oes – ver Problemas 1.4 e 4.11) Para cada real θ ∈ [0, 2π[, seja Rθ: R2 → R2 tal que Rθ(x, y) = (x cos(θ) − y sin(θ), y cos(θ) + x sin(θ)).

(24)

8 Solu¸c˜oes 23

(a) Prove que Rθ ´e uma transforma¸c˜ao linear. Determine Aθ := M (Rθ; Bc, Bc) e verifique que A−1_θ = A−θ. (b) Verifique que Rθ◦ Rϕ = Rθ+ϕ.

(c) Sendo Rθ : R3→ R3 uma rota¸c˜ao em R3 de um ˆangulo θ, verifique se existe uma base B de R3 tal que

M (Rθ; B; B) =    1 0 0 0 cos(θ) − sin(θ) 0 sin(θ) cos(θ)   .

7.16 (Reflexões) Para cada real θ ∈ [0, π[, seja Fθ : R2 → R2 a reflexão da recta que passa na origem e forma um ângulo de θ com o eixo y = 0. Prove que a representa¸cão matricial de Fθ relativamente à base canónica é

"

cos(2θ) sin(2θ) sin(2θ) − cos(2θ)

#

7.17 (Projeçcões) Para cada real θ, seja Pθ : R2 → R2 a projeçcão sobre a recta que passa na origem e forma um ângulo de θ com o eixo y = 0. Prove que a representa¸cão matricial de Pθ relativamente à base canónica é

"

cos2(2θ) sin(θ) cos(θ) sin(θ) cos(θ) sin2(θ)

#

7.18 (Contra¸cão/Dilata¸cão, Compressão/Expansão, Deslizamento) Para cada α real considere as transforma¸cões lineares que na base canónica são representadas pelas matrizes:

" α 0 0 α # , " α 0 0 1 # , " 1 α 0 1 # .

sendo X = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1} o quadrado unit´ario, calcule a imagem de X por cada uma dessas transforma¸c˜oes.

8 Solu¸

c˜

oes

1.1 a) A =      1 −1 0 0 0 1 −1 0 0 0 1 −1 0 0 0 1      (b) A =      1 4 9 16 1 4 9 16 1 4 9 16 1 4 9 16      (c) A =      0 2 3 4 −2 0 3 4 −3 −3 0 4 −4 −4 −4 0     

1.2 Não 1.3 (a), (b) AB, AC, AD não existem 1.4 (a) A2= " 0 0 0 0 # . (b) (Aθ)n= Anθ 1.5 (a) A = " 1 1 0 0 # , B = " 0 0 1 1 # . Não (b) e (c) Provas

1.6 Prova (verifique que tr(AA∗) ´e a soma de reais n˜ao negativos)

1.7 " 1 7 1 8 # e " 2 −7 2 −8 # 1.8 Ax = [3 3 3]T. 1.9 AB = I = BA

1.10 a) Sim. b) A invert´ıvel (n˜ao h´a linhas nulas na matriz em escada U ). A = P13E12(2)E3(π)E32(1)E21(1).

c) A−1= E21(−1)E32(−1)E3(1_π)E12(−2)P13=    1 π −1 3 −1 π 1 −2 1 π 0 0   . 1.11 a) E1=   1 0 0 5 1 0 0 0 1  , E2=   1 0 0 0 0 1 0 1 0  , E3=   1 0 0 0 −1/2 0 0 0 1  . b) A −1 =E3E2E1. c) A=E1−1E −1 2 E −1 3 =   1 0 0 −5 1 0 0 0 1     1 0 0 0 0 1 0 1 0     1 0 0 0 −2 0 0 0 1  .

(25)

8 Solu¸c˜oes 24 1.12 Qualquer matriz B =    1 0 0 1 a b  

. (Uma matriz não quadrada pode ter inverso à esquerda e não à direita.) 1.13 Prova 1.14 (a) X = A−1CB−1 (b) A = " 0 1/2 1 1 # (c) Imposs´ıvel (d) A = 3    −1 −1 −1 0 −1 1 0 0 −1    1.15 a) A = −3 " −7 7 3 −6 # , b) A =1₇ " 3 −4 −2 3 # 1.16 Prova 1.17 (a) Prova (b) I 1.18 B não invert. A−1= " 2 −1 −1 1 # , C−1=1 2    −1 1 1 1 −1 1 1 1 −1   , D −1 =    2 −5 −10 −1 3 6 0 −1 −1   , E −1 = " cos(θ) sin(θ) − sin(θ) cos(θ) # .

1.19 (a) Prova (note que para provar que X−1= Y basta verificar que XY = I ou Y X = I.) (b) Prova (comece por escrever A e B nos casos n = 2 e n = 3.) 1.20 (a) A−1=    −1 0 2 0 1 0 −1 0 1  

(b) ALGEBRA LINEAR (c) N˜ao. 1.21 (a) e (b) Sim (c) e (d) N˜ao

1.22 (1, −1, 0, 0), (1, −1, 0, π) ∈ S e os restantes n˜ao. 1.23 x = 1₆, y =5₆ 1.24 F = C = −40

1.25 Temos que resolver o sistema: (a)      3x = z 8x = 2w 2y = 2z + w (b)      x = z 4x = 2w 2y = 2z + w 1.26 (a) S = {(3, 1, 2)} (b) S = ∅ (c) S = {(2 − y − z, y, z, −1) ∈ R4 : y, z ∈ R} (d) S = {(2, −1, 4)} (s) S = {(−2 + z, 3 − z, z) ∈ R3 : z ∈ R} (f) S = {(2z − 4, 2 − z, z) ∈ R3 : z ∈ R} 1.27 (a) um ponto (b) vazio (c) plano em R4(d) um ponto (f) rectas 1.28 Por exemploU =    1 2 0 3 5 0 0 1 4 6 0 0 0 -16 −24   . Car(A) = 3; E1= E12(1), E2= E31(−2) e E3= E23(−2). 1.29 (a) Sist. determinado para α 6= 4. Para α = 4 sistema indeterminado (b) S = {(10 + 6z, −2z, z) ∈ R3: z ∈ R}

1.30 (a) Para α 6= 1 e α 6= −2 o sistema é poss´ıvel e determinado. Para α = 1 sistema é poss´ıvel e indeterminado. Finalmente para α = −2, o sistema é imposs´ıvel. (b) O sistema é poss´ıvel e determinado se α 6= 0 e β 6= 2. É imposs´ıvel para α = 0 e β 6= 2. Nos restantes casos, o sistema linear é poss´ıvel e indeterminado (i.e. β = 2 e qualquer α).

1.31 car A = 3, α 6= −5 2, α = −5 , car [A|b] =    3, α 6= −5, β ∈ R 3, α = −5 e β 6= −1/2 2, α = −5 e β = −1/2

. (b) Sistema ´e imposs´ıvel quando α = −5 e β 6= −1/2. ´

E determinado quando α 6= −5 (e qualquer β). Indeterminado quando α = −5 e β = −1/2.

1.32 (a) car(A)=1. Não (b) car(B)=3. Sim (c) car(C)=2. Sim (d) car(D)=2. Sim (f) car(F)=2. Não (g) car(G)=2. Sim (h) car(H)=0. Sim (i) car(I)=0. Sim (j) car(J)=1. Não (k) car(K)=1. Sim

1.33 (a) S = {(0, 0, 0)} (b) S = {(−2

3y, y) ∈ R

3 _{: y ∈ R}} _{(c) S = {(−y − z, y, z, 0) ∈ R}4 _{: y, z ∈ R}} _{(d) S = {(0, 0, 0)}} _(f)

S = {(−2z, −z, z)R3_{: z ∈ R}}

1.34 (a) Sim (b) Falso (c) Sim (d) Sim

1.35 (1, 2, 3) − (3, 2, 1) = (−2, 0, 2) é solu¸cão do sistema homogéneo associado. Assim, para cada k, (1, 2, 3) + k(−2, 0, 2) é uma solu¸cão de sistema inicial. 1.36 A) 1.37 a) Aα → ... →   1 −α α 0 1 + 2α −2 − 2α 0 0 2 + α 

. Logo Aα invert´ıvel sse car(Aα) = 3 sse α 6= −1₂ e α 6= −2. Car(A−1 2 )=car(A−2) = 2. A−1₀ =   1 0 0 −2 1 1 0 0 1 2   c) x = A −1 0 1 −1 1 T =1 −2 1/2T . 1.38 (a) x + y = 2 (b) x = 1, y = 0, z = 1 (c) 2x − y = 0, z = 1 (d) x + y = z (e) 0 = 1 2.1 (a) 33₍₋₅₎ _{(b) −}1 5 (c) (−2)3 (−5) (d) 1 (−2)3₍₋₅₎ (e) (−5)3 (f) −(−5) 2.2 Prova 2.3 (a) k 6= −1 (b) k /∈ {0, 4}

2.4 det(A) = 16, det(B) = −17, det(C) = 54, det(D) = 2 2.5 Prova 2.6 (a) Prova (b) A =

−1 0 0 1 2.7 (a) det(A) = 152 (b) (A−1)(1,3)= −15219 2.8 det(A) = −3, (A−1₎ (4,2)= 0 2.9 (a) det(A) = (α − 1)(α2_{− 1) e A}

(26)

8 Solu¸c˜oes 25

2.10 −1₈. 2.11 (a) x = 1, y = 2, (b) x = −28₁₁, y = −34₁₁, z = −30₁₁. 2.12 C) 2.13 B) 2.14 Prova

3.1 (a) Sim (b) Sim (c) Não (d) Sim sse k = 0 (e) Não (f) Não (g) Não (h) Não 3.2 (a) Não (b) Não (c) Sim (d) Sim

3.3 (a) u1∈ F , u2∈ F , u36∈ F (b) Prova 3.4 (a) Prova (b) F = N   1 1 1 1 1 0 −1 1 1 0 0 −1  

3.5 (a) Prova (b) Prova

3.6 (a) Sim (b) Sim (c) Sim (d) Sim (e) Sim (f) Sim (g) N˜ao (h) Sim 3.7 (a) Sim (b) N˜ao (c) Sim (d) Sim (e) Sim

3.8 (a) Prova (b) Prova

3.9 (a) Prova (b) Prova (c) Prova 3.10 k = −8

3.11 (a) N˜ao geram (b) Sim (c) Sim 3.12 p(t) = 2 + t + t2_{6∈ L({p}

1, p2, p3, p4}). N˜ao geram P2

3.13 A = 1A1+ 1A2+ 1A3+ 1A4

3.14 (a) L.D. (b) L.I. (c) L.D. (d) L.I. (e) L.I. (f) L.I. (g) L.I. 3.15 a = 2

3.16 (a) Sim (b) Sim (c) Sim (d) Sim (e) N˜ao (f) Sim (g) Sim

3.17 (a) Uma base é {(1, −1)} e dim(U ) = 1 (b) Uma base é {(−1, 1, 0), (0, 0, 1)} e dim(U ) = 2 (c) Uma base é {(1, 1, −2)} e dim(U ) = 1 (d) Uma base é {(−1, −1, 2, 1)} e dim(U ) = 1

3.18 Uma base para U ´e {u1, u2} e dim(U ) = 2

3.19 (a) {(1, −2, 1)} base de N (A) (b) {(1, 5, 9), (0, 1, 2)} base de L(A) (c) {(1, 2, 3, 4), (5, 6, 7, 8)} base de C(A)

3.20 car(A) = 2, {(1, −2, 1)} base de N (A), {(1, 5, 9), (0, 1, 2)} base de L(A) e {(1, 2), (5, 6)} base de C(A); car(B) = 1, {(4, 1)} base de N (B), {(1, −4)} base de L(B) e {(1, 3)} base de C(B); car(C) = 0, {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} base de N (C), ∅ base de L(C) e ∅ C(C); car(D) = 2, ∅ base de N (D), {(1, 5), (2, 6)} base de L(D) e {(1, 2, 3), (5, 6, 7)} base de C(D)

3.21 (a) {(1, 1, −1)} (b) {(1, 0, 1), (0, 1, −1), (0, 0, 1)} (c) {(1, 0, 1)}

3.22 (a) {−1 + t, −1 + t2_{, −1 + t}3_{} ´}_{e uma base e dim(V )=3} _{(b) {t − t}2_{} ´}_{e uma base e dim(V ) = 1}

(c) { −2 1 0 0 , 0 0 1 0 , 0 0 0 1 } base e dim(V ) = 3 (d) { 1 0 0 0 , 0 1 1 0 , 0 0 0 1

} base e dim(V ) = 3 (e) { 1 1 −1 0 , 1 0 0 1 } e dim(V ) = 2 3.23 (a) y − z = 0 (b) v1= (1, 0, 3), v2= (0, 1, −1)

3.24 (a) dim(V1∩ V2) = 1 e dim(V1+ V2) = 3 (b) V1+ V2= R3e {(2, 3, 3)} ´e uma base de V1∩ V2

3.25 (a) dim (E ∩ F )=1, dim(E + F )=4 (b) dim (E ∩ F )=1, dim(E + F )=4 (c) dim(E ∩ F )=1, dim(E + F )=2 3.26 {1 − t}

3.27 P.ex.: {(1, −1, −1, 1), (−1, 0, 0, 1), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)}

3.28 (a) {(−1, 1, 0, 0), (−1, 0, 1, 0), (−1, 0, 0, 1)} base de U (b) P.ex.: {(1, −1, −1, 1), (−1, 0, 0, 1), (−1, 0, 1, 0)} 3.29 C) 3.30 (a) vBc= (3, 4) e vB= (4, 1) (b) SBc→B= SB→Bc= 1 −1 1 0 −1 = 0 1 −1 1 (c) vB= SBc→BvBc (d) SB→BcwB= 0 1 , i.e. w = 0(1, 0) + 1(0, 1) = (0, 1)

3.31 (a) B = {v1, v2} ´e uma base de V e dim(V ) = 2 (b) (2, 4, 4, 0)B= (2, 2)

3.32 Uma base de E ´e B = {(−1, 1, 0), (−1, 0, 1)} e (1, 2, −3)B= (2, −3)

3.33 C)

3.34 (1, 1)B2= (−1, 2)

3.35 (a) Como dim(M2×2(R)) = 4, basta ver que A1, A2, A3, A4s˜ao linearmente independentes; (b) SBc→B=

    1 0 0 0 1 −1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1     −1

(c) ABc= (a, b, c, d) e AB= (a, a − b, b + c − 2a, d − c).

3.36 Prova (car(A)=1 ou car(A)=2, pois A é não nula e não invert´ıvel. Por outro lado A2_{= 0 implica que A(Au) = 0 para todo o vector}

u, pelo que C(A) ⊂ N (A). Podemos agora concluir que car(A)=1, usando a equa¸c˜ao dimC(A)+dimN (A) = 3) 3.37 Prova. N˜ao, p.ex., considerar B = −A 6= 0

4.1 v1, v2, v4não são vectores próprios de A, v3, v5são vectores próprios e λ = −1, λ = 3 são os valores próprios associados, respectivamente.

4.2 Os valores pr´oprios de A s˜ao 2 e 3 (λ1+ λ2= 5 e λ1λ2= 6). 4.3 a = b = 1 4.4 (a) σA = {−1, 3}, E−1 = L({(0, 1)}) e E3 = L({(1, 2)}) b) σB = {4, 4} e E4 = L({(3, 2)}) c) σC = {−2 √ 3, 2√3}, E₋₂√ 3 = L({(−√3, 2)}) e E√ 3= L({( √ 3, 2))}) d) σD= {3, 4}, E3 = L({(1, 0)}) e E4 = L({(0, 1)}) e) σE= {0, 0} e E0= R2 f) σF = {1, 2, 3}, E1 = L({(0, 1, 0)}), E2 = L({(−1, 2, 2)}) e E3 = L({(−1, 1, 1)}) g) σG = {1, 2, 3}, E1 = L({(−1, 1, 0)}), E2 = L({(0, 1, 0)}) e E3 =

(27)

8 Solu¸c˜oes 26

L({(1, 0, 1)}) h) σH = {2, 2, 2} e E2 = L({(1, 1, −3)}) i) σI = {−2, −1, 1, 1}, E−2 = L({(−1, 0, 1, 0)}), E−1 = L({(−2, 1, 1, 0)}) e

E1= L({(0, 0, 0, 1), (2, 3, 1, 0)})

4.5 Prova.

4.6 (a) p(λ) = (1 − λ)(3 − λ). (b) {(1, 0, )} base de E1e {(1, 1)} base de E3; dimE1=dimE3=1 (c) P−1=

1 1 0 1 e P = (P−1)−1(d) A9_{= P} 19 ₀ 0 39 P−1

4.7 (a) pA(λ) = −λ(λ−2)2, pB(λ) = −λ2(λ−3) (b) A não é diaginalizável, pois ma(2) 6=mg(2); B é diagonalizável (c) D =

  0 0 0 0 0 0 0 0 3  , P−1₌   −1 −1 1 1 0 1 0 1 1   e P = (P−1)−1

4.8 (a) λ = 3 + α (b) car(Aα) = 1, logo dim(C(Aα)) = 1 e dim(N (A)) = 3 para todo o α (c) {vα} ´e base para C(Aα) e

{(1, 0, 0, −1), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0)} ´e base para N (Aα) (d) p(λ) = λ3(λ − α − 3) (e) A diagonaliz´avel sse α 6= −3.

4.9 A =   1 1 1 1 1 1 1 1 1 

. 4.10 (a) Prova (b) Prova 4.11 Prova

5.1 a) (3, 9); (−1, 1); (2, 10); (2, 10); (9, 27); (9, 27) b) (3, 9, 18); (−1, 2, 2); (2, 11, 20); (2, 11, 20); (9, 27, 54); (9, 27, 54) 5.2 p1; p1+ p2; 2p2+ p3; 3p1+ 8p2+ 3p3

5.3 (a) Sim (b) Não (c) Não (d) Sim (e) Sim (f) Não (g) Sim (h) Sim (i) Sim (j) Sim (l) Não (m) Sim (n) Sim (o) Sim (p) Sim 5.4 T (x, y) = (2x + y, x + 2y) 5.5 a) 2 −1 −1 3 b) 2 −1 −1 3 c) 3 −1 −1 2 d) 1 2 3 −1 −1 7 5.6 a)   1 1 0 1 0 1 0 1 1   b)   0 1 1 1 1 0 1 0 1   c)   0 1 0 1 0 0 0 1 2   5.7 a) 2 1 0 0 3 1 b) 2 3 3 0 3 4 c) 2 3 3 −2 0 1 5.8 c) 1 2 2 1 b) 3 6 0 −1 5.9 T (x, y) = (4x, 4x + y) 5.10 a) T (1, 1, 1) = (1, 3, 3), T (1, −3, 3) = (1, 3, 3). Não b) Prova. 5.11 a) 1 1 0 1 1 −1

b) {(1, −1, 0)}; N˜ao. c) {(1, 1), (0, −1)}; Sim. d) {(1 − y, y, 0) ∈ R3_{: y ∈ R} e) N˜}_{ao f) Sim}

5.12 a)     1 2 0 1 −1 0 1 0 0 1 0 −1    

b) É injectiva mas não é sobrejectiva c) P.ex. (1, 0, 0, 0) 5.13 a) na Bc:   1 1 1 2 2 2 −1 −1 −1   b) Prova c) ∅ 5.14 a) Não Injectiva, não sobrejectiva b) {(3, 1, 2)} c) {(1, 3, 9, 28), (5, 11, 33, 108)} d) {(3 + 3k, 2 + k, 1 + 2k) : k ∈ R} 5.15 a)   −2 0 0 0 −2 0 0 0 0   b) {t2}, {−2, −2t} 5.16 {p(t) = a + t +1₂t2_{: a ∈ R} 5.17 {p(t) = −}1 2+ ct 2_{: c ∈ R}} 5.18 (a) T " 1 1 1 −1 #!

= 4 − 2t. (b) Como 2=car(A)=dim (Espa¸co de chegada), T ´e sobrejectiva. Uma vez que {(−4, 1, 1)} ´e uma base

de N (A), {−4 " 1 0 0 −1 # + 1 " 0 1 1 0 # + 1 " 0 0 1 0 # }, i.e. { " −4 1 2 4 #

} ´e uma base de N (T ). (c) Por a), T "

−1 −1 −1 1

#!

= −4 + 2t, pelo que A ∈ U é solu¸cão de T (A) = −4 + 2t se e só se

A = " −1 −1 −1 1 # + α " −4 1 2 4 # , com α ∈ R. (d) Note-se que M (T ◦ R)−1, B2, B2= (BBT) −1 = " 9 0 0 2 #−1 = " ₁ 9 0 0 1 2 #

. Dado p(t) = a + bt ∈ P1, com a, b ∈ R, temos que

p(t) =a−b₂ (1 − t) +a+b₂ (1 + t). Portanto (T ◦ R)−1_{(p(t))) =}

a−b 2 (T ◦ R) −1_{((1 − t)) +}a+b 2 (T ◦ R) −1_{((1 + t))=}a−b 2 1 9(1 − t) + a+b 2 1 2(1 + t)= 11a + 7b 36 + 7a + 11b 36 t. 5.19 a) 2 1 0 2 b) λ1= λ2= 2, {(1, 0)} base de E2 c) Prova

5.20 a) Prova b) σT= {6, 9} {2(0, 1, 0) − 1(1, 0, −1) + 1(1, 0, 1)} base de E6(i.e. {(0, 2, 2)}) e {2(0, 1, 0) + 1(1, 0, −1) + 0(1, 0, 1), 1(0, 1, 0) +

0(1, 0, −1) + 1(1, 0, 1)} base de E9(i.e. {(1, 2, −1), (1, 1, 1)}) c) Bvp:= {(0, 2, 2), (1, 2, −1), (1, 1, 1)} ´e uma tal base. D = M (T ; Bvp; Bvp) =

  6 0 0 0 9 0 0 0 9   d) P−1=   2 2 1 −1 1 0 1 0 1   e P = (P−1)−1.

(28)

8 Solu¸c˜oes 27 5.21 a) B := M (T ; B1, B1) = 1 0 1 1 1 2 1 2 = 1 2 2 4

. Logo os valores próprios de B são os valores própruios de T (i.e. λ1= 0

e λ2= 5). {2(1 − t) − 1(1 + t)} = {1 − 3t} ´e uma base para ET(λ1) enquanto que {1(1 − t) + 2(1 + t)} = {3 + t} ´e uma base para ET(λ2).

b) Sim, {1 − 3t, 3 + t} ´e uma tal base.

5.22 a) M (T ; Bc; Bc) =     2 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 2     b) σT= {0, 2, 2, 2}, E0= L({ 0 1 −1 0 }) e E2= L({ 1 0 0 0 , 0 1 1 0 , 0 0 0 1 }) c) Sim e { 0 1 −1 0 , 1 0 0 0 , 0 1 1 0 , 0 0 0 1

} ´e uma tal base 5.23 λ1= 0, λ2= 2, Eλ1= L({7 + 2t}), Eλ2= L({1 + 3t − 2t 2_{}) (T n˜}_{ao ´}_{e diagonaliz´}_avel). 5.24 D) 5.25 a) M (T2; B; B1) =   0 5 1 −3 0 −2 

 b) {−1 − 3t + t2} base de N (T1) e T1e sobrejectiva c) T´ 1(T ) = 1₂t e a sol. geral ´e {2t + c(−1 − 3t + t2) :

c ∈ R} d) λ = 1 é o único valor próprio de T 5.26 Prova

6.1 a) Sim b) Não c) Não d) Não e) Não f) Sim g) Não h) Não 6.2 P.ex. h(x1, x2), (y1, y2)i = 4x1y1+ 2x1y2+ 2x2y1+ 4x2y2. Não 6.3 a)√10 b)√10 c) 0 d) 6 e) 1 f) 4₅(2, 2, 1, 1) g) −4₅(1, 1, 2, 2) 6.4 a) Sim b) não c) Sim d) Não e) Não 6.5 a) {(1, 0), (0, 1)} b) {(1, −1} c) {(1, −1, 1), (−1/3, 1/3, 2/3)} d) {(1, −1, 0), (0, 0, 1)} e) {(0, 0, 0, 1, 1), (0, 1, 0,1 2, − 1 2), (1, 1 3, 0, − 1 3, 1 3)} f) {(−1, 0, 1, 0), (1, 0, 1, 1)} 6.6 a) Não b) Sim c) {( √ 5 5 , √ 5 5 ), ( 2√5 5 , − 4√5 5 )} 6.7 a) {( √ 3 3 , √ 3 3 , √ 3 3 )} b) {(−1, 1, 0), (−1, 0, 1)} c) {(− √ 2 2 , √ 2 2 , 0), (− √ 6 6 , − √ 6 6 , 2√6 6 )} 6.8 a) {(0, 0, 1, −2), (1, 1, 1, 1)} b) {(0, 0, 1, −2), (1, 1,6₅,3₅)} 6.9 a) {(1, −1, 0, 0)} b) PF(p) = p e PF⊥(p) = 0 c) d(p, F ) = 0 e d(p, F⊥) = ||p|| = 2

6.10 a) {0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0)} ´e uma base de E⊥_{e ´}_{e tamb´}_{em uma base ortogonal de E}⊥_{b) {(1, 1, 1, 1)} c) π/3 6.11 {(1, 0, 0, 1)}}

6.12 a) {1, t, t2₋1 3} b) {1 − 2t − 5t 2_{} c)} 4 3 6.13 a) { 1 0 0 −1 , 0 1 1 0 } b) { 1 0 0 1 , 0 1 −1 0 } c) d(A, F ) = 0 6.14 a) u = PV(1, 1, 1) = (3/4, 5/4, 1) e v = (1, 1, 1) − PV(1, 1, 1) = (1/4, −1/4, 0) b) d((1, 1, 1), V ) = ||v|| =phv, vi =p1/4. 6.15 a) v =1₉(2, −2, 1) e u = (7₉,11₉,8₉) b) d((1, 1, 1), V ) = ||v|| =1₃ 6.16 a) 2x + y = 2, −x + z = 0 b) x − 2y + z = 1 6.17 2x − y = 1, 3x − z = 2 6.18 a) x + 2y − z = −5 b) e c) (x, y, z) = (−1, 0, 4) + α(2, −4, −6) + β(2, 0, 2) d) x + 2y − z = 2 6.19 Prova 6.20 (−44, 26, 14), (44, −26, −14), (0, 0, 0), (0, 0, 0) 6.21 ´AreaT=1₂||−uv × −→ uw|| =→ 1₂||(2, −1, −2) × (3, 3, −1)|| =1₂||(7, −4, −3)||

6.22 A resposta por cada al´ınea de 6.1: a) A = I b) 1 1 0 1 c) −2 0 0 3 d) Não é poss´ıvel e) Não é poss´ıvel f) I g)   1 2 3 0 1 1 0 0 1  

h) Não é poss´ıvel As matrizes de a) e f) são as únicas matrizes simétricas e com todos os valores próprios positivos 6.23 1a_{e 3}a 6.24 h(x1, x2), (y1, y2)i = x1 x2 ST_Bc→BGSBc→B y1 y2

= .... Em alternativa, podemos determinar a matriz de Gram GBcna base

canónica (a é a entrada (1, 1) de GBc, a entrada (1,2) dá-nos b e c, a entrada (2,2) dá-nos d). Para encontrar GBc, comece por ver que

(1, 0) = 3(1, 1) − (2, 3) e (0, 1) = −2(1, 1) + (2, 3), depois usa-se a linearidade para colocar os produtos internos entre os diversos vectores da base can´onica coo somas de produtos internos entre vectores da base B (cujos valores s˜ao dados pelas entrada da matriz G).

6.25 A, B não são matrizes normais; C é normal b) A não é diagonalizável; B e C são diagonalizáveis c) só C! 6.25 Prova 7.2 (a)√A−1₌1 6 3 +√3 3 −√3 3 −√3 3 +√3 . (b)1₂    1 +√3 0 −1 +√3 0 2√3 0 −1 +√3 0 1 +√3    7.8 (a) A =                    1 1.0 1 1.2 1 1.4 1 1.6 1 1.8 1 2.0 1 2.2 1 2.4 1 2.6 1 2.8 1 3.0                    , b =                    0.525 0.8448 1.2807 1.8634 2.6326 3.6386 4.944 6.6258 8.7768 11.5076 14.9484                    =⇒ b x = (ATA)−1_AT_{b =} −8.31864 6.77694 y = −8.31864 + 6.77694x 1.5 2.0 2.5 3.0 x 5 10 15 y