Análise de dados em Fisica de Particulas

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An´

alise de dados em Fisica de Particulas

Magno V.T. Machado

Instituto de Fisica - UFRGS

Escola de Fisica de Particulas e Campos. Agosto 05-09, 2013

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Programa do Minicurso

• Brevissima introdu¸c˜ao

• Propaga¸cão de erros em medidas indiretas e/ou predi¸cões teóricas

• Ajuste de modelos te´oricos aos dados experimentais

• Introdu¸c˜ao a t´ecnicas de Monte Carlo

• Sum´ario

• Referˆencias B´asicas:

1. A. Santoro et. a., Estimativas e Erros em Experimentos de Fisica, Rio de Janeiro: EdUERJ (2005).

2. Luca Lista, Statistical Methods for Data Analysis in Particle Physics, Proc. of the IN2P3 School of Statistics (2012).

3. Gerhard Bohm, Gnter Zech, Introduction to Statistics and Data Analysis for Physicists, ISBN 978-3-935702-41-6.

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Brevissima Motiva¸c˜

ao

• Na Fisica Nuclear/Particulas os observ´aveis, de maneira geral, s˜ao medidas indiretas.

• Exemplos: se¸c˜oes de choque, larguras de decaimento, energias e momentos, ...

• Modelos teóricos em geral são parametrizados e comparados aos dados (usando métodos de ajuste).

• Os parˆametros dos modelos s˜ao ajustados aos dados experimentais.

• Se comparamos vários modelos deve haver um critério para sabermos qual deles é mais consistente com dados experimentais.

• Simula¸cão de eventos requer técnicas de gera¸cão de amostras de eventos aleatoriamente (Monte Carlo).

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Propaga¸c˜

ao de erros em medidas indiretas

• Nas medidas experimentais indiretas ou nas predi¸cões teóricas fenomenológicas uma quantidade ó obtida utilizando os inputs experimentais de entrada.

• O problema da estimativa do valor esperado e de sua incerteza ´e chamado de propaga¸c˜ao de erros.

• Motiva¸cão: caso didático de Laboratório de Mecânica.

? Em um experimento de MRUV, uma particula percorre uma distância d em um tempo t. Foram medidos a distância e várias medidas do tempo: d = ¯d ± σ_d¯ = 12.0 ± 0.4 m (inc. tipo B) e

t = ¯t ± σ¯t= 4.0 ± 0.2 s. (inc. tipo A)

? Qual ´e o valor da acelera¸c˜ao ?

⇒ Pelo m´etodo aproximado dos valores limite temos (discutir): a = ¯a ± σ¯a = 1.5 ± 0.2 m/s2.

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Propaga¸c˜

ao de Erros - Motiva¸c˜

ao

• Seja uma amostra de N pares (xi, yi) de medidas de duas

grandezas x e y , em condi¸c˜os experimentais inalteradas. A partir de uma express˜ao do tipo u = f (x , y ), como estimar o valor esperado de uma grandeza (indireta) u ?

• No caso geral, u = f (x , y ) ´e dada por express˜ao complexa.

• O seu valor esperado e seu erro-padr˜ao s˜ao dados por, u = ¯u ± σ¯u,

com: ¯ u = f (¯x , ¯y ), σ_u2_¯ = ∂f ∂x 2 σ_x2_¯+ ∂f ∂y 2 σ2_¯_y+ 2 N ∂f ∂x ∂f ∂y σxy.

• _{Aqui, ¯}_{x e ¯}_{y s˜}_{ao as m´}_{edias das medidas das medidas eσ}_¯_x _{e σ}_¯_y _{, os}

seus respectivos erros. Derivadas consideradas no ponto (¯x , ¯y ).

• A covariˆancia entre as medidas de x e y ´e dado por σxy.

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Interl´

udio - parˆ

ametros de correla¸c˜

ao

• Em algumas situa¸cões, a varia¸cão das medidas associadas a uma grandeza parece acompanhar a varia¸cão dos dados associados a uma outra grandeza.

• Diz-se que existe correla¸c˜ao entre as grandezas comparadas.

• A correla¸cão entre as medidas de um par de grandezas (x , y ) é visualizada num gráfico y × x denominado diagrama de dipersão.

• A interdependˆencia de duas cole¸c˜oes de dados pode ser

quantificada, por exemplo, pela covariˆancia e pelo coeficiente de correla¸c˜ao linear de Pearson.

• _{A Covariˆ}_{ancia (σ}_xy_{) ´}_{e a m´}_{edia dos produtos dos respectivos}

desvios em rela¸c˜ao a m´edia (δxi e δyi):

σxy = 1 N N X i =1 δxiδyi = 1 N N X i =1 (xi − ¯x )(yi − ¯y ) = σyx 6 of 26

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Interl´

udio - parˆ

ametros de correla¸c˜

ao

• Exemplo de Diagrama de Dispers˜ao.

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Interl´

udio - parˆ

ametros de correla¸c˜

ao

• Covariˆancia pode ser positiva, negativa ou nula.

• _{No caso de covariˆ}_{ancia nula, diz-se que as medidas das grandezas}

n˜ao s˜ao correlacionadas.

• O Coeficiente de correla¸cão linear de Pearson (r ) é o parâmetro adimensional que quantifica o grau de linearidade de uma distribui¸cão de dados mostrada em um diagrama de dispersão.

r = σxy σxσy

, −1 ≤ r ≤ 1

• Quanto mais robusta a correla¸cão, mais próximo da unidade é valor do coeficiente de correla¸cão.

• _{OBS.: Covariˆ}_{ancia nula entre 2 conjuntos de medidas n˜}_{ao implica a}

independência entre as grandezas correspondentes. Também, uma correla¸cão robusta não implica rela¸cão causal entre as variáveis. 8 of 26

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Interl´

udio - Parˆ

ametros de Dispers˜

ao

• Seja uma cole¸c˜ao {x1, x2, . . . , xN} de N dados num´ericos. A

variabilidade e a dispersão desses dados podem ser avaliadas pelos parâmetros Variância e Desvio Padrão.

• A variância (σ2_x) é a média dos quadrados dos desvios em relaccão a média. σ2_x = N X i =1 (xi − ¯x )2 N = 1 N N X i =1 x_i2− 1 N N X i =1 xi !2 = x2_{− ¯}_x2

• O desvio-padrão (σx) é a média quadrática dos desvios (raiz

quadrada da variˆancia).

σx = v u u t N X i =1 (xi − ¯x )2 N = q x2_{− ¯}_x2 9 of 26

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Interl´

udio - Parˆ

ametros de Dispers˜

ao

• Na estimativa da incerteza (Tipo A) de uma grandeza

experimental x , utiliza-se o seu desvio padr˜ao da m´edia dado por: σ¯x =

σx

√ N

• Qualquer que seja a distribui¸cão da variável de interesse para grande amostras, a distribui¸cão das médias amostrais serão aproximadamente normalmente distribuidas (Teorema Central do Limite).

• Neste sentido, poderiamos ter uma variável original com uma distribui¸cão completamente diferente da Normal, mas se tomarmos várias amostras grandes desta distribui¸cão, e ento fizermos um histograma das médias amostrais, a forma tenderá para uma curva Normal.

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Propaga¸c˜

ao de Erro - Desenvolvimento

• Seja u uma grandeza que se relaciona com outras M grandezas (x1, x2, . . . , xM) por uma dada fun¸c˜ao u = f (x1, x2, . . . , xM).

• A partir de M conjuntos de amostras de N medidas diretas de cada grandeza xk, {xk1, xk2, . . . , xkN} (com k = 1, 2, . . . , M) deseja-se estimar seu valor esperado e o erro associado.

• Caso de uma vari´avel se u depende linearmente de x , u = f (x ) = ax + b, a cada medida (xi) de x corresponde uma

medida indireta de u, ui = axi + b.

• A estimativa para o valor esperado de u, dada pela m´edia: 1 N N X i =1 ui | {z } ¯ u = a 1 N N X i =1 xi | {z } ¯ x +b = a¯x + b 11 of 26

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Propaga¸c˜

ao de Erro - Desenvolvimento

• A média de u é igual ao valor da fun¸cão f no ponto médio das medidas de x , ou seja:

¯

u = f (¯x ).

• _{Desse modo, como u}_i − ¯u = a(xi − ¯x ), a variˆancia (σu2) das

medidas de u ´e: 1 N N X i =1 (ui − ¯u)2 | {z } σ2 u = a2 1 N N X i =1 (xi − ¯x )2 | {z } σ2 x

• Então o erro associado a cada medida indireta de u é dado por σu= |a|σx, e o erro da média será:

σu¯ = σu √ N = |a| σx √ N = |a|σx¯ 12 of 26

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Propaga¸c˜

ao de Erro - Desenvolvimento

• No caso geral, a grandeza u depende de outra grandeza x , segundo uma fun¸c˜ao gen´erica u = f (x ).

• _{Se as medidas de x se distribuem em torno da m´}_{edia ¯}_{x , tal que,}

nessa vizinhan¸ca ela possa ser representada pelos primeiros termos de sua s´erie de Taylor, ou seja, uma fun¸c˜ao linear de x ,

u = f (x ) ≈ f (¯x ) + df dx ¯ x (x − ¯x ),

• _{A estimativa para o valor esperado de u, dada pela m´}_{edia, ´}_e:

1 N N X i =1 ui | {z } ¯ u = f (¯x ) + df dx ¯ x 1 N N X i =1 (xi− ¯x ) | {z } 0 13 of 26

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Propaga¸c˜

ao de Erro - Representa¸c˜

ao

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Propaga¸c˜

ao de Erro - Desenvolvimento

• Então o valor esperado de u é igual ao valor da fun¸cão f no ponto médio das medidas de x ,

¯

u = f (¯x )

• _{Assim, o erro associado a cada medida direta de u ser´}_{a dado por:}

σu= df dx ¯ x σx

• O erro da média será dado então por: σ¯u= σu √ N = df dx ¯ x σx √ N = df dx ¯ x σ¯x 15 of 26

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Propaga¸c˜

ao de Erro - Desenvolvimento

• Seja a grandeza u fun¸c˜ao de duas outras grandezas, x1 = x e

x2= y , e as varia¸cões de u são proporcionais as de x e y , isto é,

u = f (x , y ) = ax + by + c.

• De modo análogo aos caso de uma variável, a estimativa para o valor esperado de u é dado por ¯u = a¯x + b¯y + c = f (¯x , ¯y ).

• A variˆancia das medidas indiretas de u ser´a: 1 N N X i =1 (ui− ¯u)2 = a2 1 N N X i =1 (xi− ¯x )2+ b2 1 N N X i =1 (yi − ¯y )2 + 2ab1 N N X i =1 (xi− ¯x )(yi − ¯y ) σ_u2 = a2σ_x2+ b2σ_y2+ 2abσxy 16 of 26

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Propaga¸c˜

ao de Erro - Desenvolvimento

• O erro associado a cada medida indireta de u e o erro da m´edia ser˜ao, respectivamente:

σu = q a2_σ2 x+ b2σy2+ 2abσxy σ¯u = σu √ N = r a2_σ2 ¯ x+ b2σ¯y2+ 2ab σxy N

• Assim, além dos erros associados a cada conjunto de medidas diretas, os erros associados às medidas indiretas dependem também da covariância entre os conjuntos.

• _{Se as medidas das grandezas x e y s˜}_{ao independentes, ou seja, s˜}_ao

n˜ao-correlacionadas (σxy = 0), a incerteza em cada medida

indireta de u e de seu valor esperado ser˜ao: 17 of 26

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Propaga¸c˜

ao de Erro - Desenvolvimento

σu= q a2_σ2 x+ b2σy2 ⇒ σ¯u= σu √ N = q a2_σ2 ¯ x+ b2σy2¯

• _{No caso geral se a grandeza u depende das grandezas y e y}

segundo uma fun¸cão genérica u = f (x , y ), mas as medidas de x e y se distribuem em torno do ponto médio (¯x , ¯y ) tal que, nessa vizinhan¸ca, ela pode ser representada pelos primeiros termos de sua série de Taylor:

u = f (x , y ) ≈ f (¯x , ¯y ) + ∂f ∂x ¯ x ,¯y (x − ¯x ) + ∂f ∂y ¯ x ,¯y (y − ¯y )

• A estimativa para o valor esperado de u ser´a dada pela m´edia: 18 of 26

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Propaga¸c˜

ao de Erro - Desenvolvimento

• A estimativa para o valor esperado de u ser´a dada pela m´edia: 1 N N X i =1 ui | {z } ¯ u = f (¯x , ¯y ) + ∂f ∂x ¯ x ,¯y 1 N N X i =1 (xi− ¯x ) | {z } 0 + ∂f ∂y ¯ x ,¯y 1 N N X i =1 (yi − ¯y ) | {z } 0

• Então ¯u = f (¯x , ¯y ) e os erros associados a cada medida indireta de u e a sua média serão:

σu= s ∂f ∂x 2 ¯ x ,¯y σ2 x + ∂f ∂y 2 ¯ x ,¯y σ2 y + 2 ∂f ∂x ¯ x ,¯y ∂f ∂y ¯ x ,¯y σxy 19 of 26

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Propaga¸c˜

ao de Erro - Desenvolvimento

σu¯ = s ∂f ∂x 2 ¯ x ,¯y σ_¯_x2+ ∂f ∂y 2 ¯ x ,¯y σ_¯_y2+ 2 N ∂f ∂x ¯ x ,¯y ∂f ∂y ¯ x ,¯y σxy

• Considerando-se a matriz (2 × 2) de covariˆancia: V = σxx σyx σxy σyy = σ2 x σxy σxy σy2

• _{Considerando a matriz (2 × 1) das derivadas parciais de u:}

Du = ∂f ∂x ∂f ∂y ¯ x ,¯y ⇒ D_uT = ∂f ∂x ∂f ∂y ¯ x ,¯y 20 of 26

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Propaga¸c˜

ao de Erro - Desenvolvimento

• A variˆancia de u pode ser escrita compactamente como σ2_u= D_uTVDu.

• Se as medidas de x e y são não-correlacionadas (σxy = 0), então a

matriz V ser´a diagonal: V =

σ_x2 0 0 σ_y2

• _{Neste caso, a incerteza na m´}_{edia de u ser´}_a:

σ¯u= s ∂f ∂x 2 ¯ x ,¯y σ2 ¯ x+ ∂f ∂y 2 ¯ x ,¯y σ2 ¯ y 21 of 26

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Propaga¸c˜

ao de Erro - Caso Geral Final

• Seja a grandeza u que depende de M outras grandezas, X = (x1, x2, . . . , xM), segundo uma dada fun¸c˜ao f (X ), e as N

medidas de cada uma das grandezas se distribuem em torno do ponto m´edio ¯X = (¯x1, ¯x2, . . . , ¯xM), de modo que nessa vizinhan¸ca,

ela possa ser dada pelos primeiros termos de sua s´erie de Taylor: u = f (X ) ≈ f ( ¯X ) + M X k=1 ∂f ∂xk ¯ X (xk − ¯xk)

• _{A generaliza¸}_c˜_{ao dos resultados anteriores ´}_{e tal que a estimativa}

para o valor esperado de u é dada pelo valor da fun¸cão f no ponto médio ¯X , ¯u = f ( ¯X ) e o erro associado a esta estimativa é:

σ¯u= v u u t 1 N N X k,l ∂f ∂xk ¯ X Vkl ∂f ∂xl ¯ X 22 of 26

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Propaga¸c˜

ao de Erro - Caso Geral Final

• Temos que Vkl = σxkxl = 1 N PN i (xki − ¯xk)(xli − ¯xl) ´e o termo kl da matriz de covariˆancia (M × M):

V =      σx1x1 σx1x2 · · · σx1xM σx2x1 σx2x2 · · · σx2xM .. . ... . .. ... σxMx1 σxMx2 · · · σxMxM     

• A matriz Du (M × 1) das derivadas calculadas no ponto ¯X ´e,

D_uT = _∂x∂f 1 ∂f ∂x2 . . . ∂f ∂xM ¯ X

• O erro associado ao valor esperado da grandeza u pode ser escrito compactamente como: σ¯u= r 1 ND T u VDu 23 of 26

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Propaga¸c˜

ao de Erro - Caso Geral Final

• Se as estimativas das grandezas xk forem independentes, ou seja,

n˜ao-correlacionadas (σxkxl = 0), a incerteza no valor esperado de u ´ e dada por: σ¯u= v u u t M X k=1 ∂f ∂xk 2 ¯ X σ2 ¯ xk = s ∂f ∂x1 2 ¯ X σ2 ¯ x1+ . . . + ∂f ∂xM 2 ¯ X σ2 ¯ xM

• O resultado final para a quantidade indireta u ´e ent˜ao escrita como:

u = ¯u ± σ¯u= f ( ¯X ) ± v u u t M X k=1 ∂f ∂xk 2 ¯ X σ2 ¯ xk 24 of 26

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Propaga¸c˜

ao de Erro - Problemas Exemplo

• Seja o méson π(1300) cuja massa é determinada como sendo 1300 ± 100 MeV/c2 (PDG). Uma reconstru¸cão cinemática experimental determina que o momento linear do méson é p = 5000 ± 250 MeV/c (assumiremos sem correla¸cão).

• Determine o valor esperado da sua energia total relativistica, E =p(pc)2_{+ (mc}2₎2_{, e sua incerteza.}

? Aqui temos quantidade E = (m, p) dependente de dois quantidades experimentais, massa e momento. Temos ent˜ao:

¯ m = 1300MeV c2 , σm¯ = 100 MeV c2 , ¯p = 5000 MeV c , σ¯p= 250 MeV c ¯ E = E ( ¯m, ¯p) = q (¯pc)2_{+ ( ¯}_mc2₎2 _{= 5166 MeV} ∂E ∂m( ¯m, ¯p) = ( ¯mc2) c2 p(¯pc)2_{+ ( ¯}_mc2₎2, ∂E ∂p( ¯m, ¯p) = (¯pc) c p(¯pc)2_{+ ( ¯}_mc2₎2 25 of 26

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Propaga¸c˜

ao de Erro - Problemas Exemplo

• A incerteza na energia total ´e, ent˜ao, dada por:

σ_E¯ = s ∂E ∂m 2 ¯ m,¯p σ_m2_¯ + ∂E ∂p 2 ¯ m,¯p σ2_¯_p

• Aqui assumiremos que as grandezas massa e momento n˜ao s˜ao correlacionadas, ou seja, σmp= 0.

• A express˜ao final para a energia relativistica ´e: E = ¯E ± σ_E¯ = 5166 ± 243 MeV