Prof. Bruno Holanda & Emiliano Chagas
Aula
11
Curso de Geometria - Nível 1
Constru¸
c˜
oes Geom´
etricas
Al´em de fazer um bom desenho, saber usar bem a r´egua e o compasso podem at´e ajudar a resolver algum problema, pois assim ´e poss´ıvel perceber como as diferentes partes da figura est˜ao relacionadas. Tamb´em existe o caso em que o pr´oprio problema enfoca uma constru¸c˜ao com r´egua e compasso.
Construindo a mediatriz. Seja AB um segmento. Com o compasso travado em uma abertura maior do que a medida AB fa¸ca dois c´ırculos de mesmo raio com centros em A e B. Sejam P e Q os pontos de encontro desses dois c´ırculos. Ent˜ao P Q ser´a a mediatriz de AB. Al´em disso, o ponto m´edio de AB ser´a o ponto de encontro de AB com P Q.
A B
P
Q M
Podemos comprovar esse fato a partir da verifica¸c˜ao de que AP BQ ´e um losango. Portanto, suas diagonais s˜ao perpendiculares e cortam-se mutuamente no meio.
Construindo a bissetriz. Seja ∠ABC um ˆangulo. Com o compasso travado em uma abertura qualquer, desenhe um c´ırculo de centro em B. A circunferˆencia cortar´a as semi-retas BA e BC nos pontos D e E. Desenhe mais dois c´ırculos de mesmo raio, um de centro em D e outro de centro em E. Seja P o ponto de encontro desses dois c´ırculos. Ent˜ao BP ser´a a bissetriz do ˆangulo ∠ABC.
A
B C
D
E
P
Veja que BDP E ´e um losango, logo BP ´e mediatriz do segmento DE. Como ∆BDE ´e is´osceles, BP tamb´em ser´a bissetriz do ˆangulo ∠ABC.
Problemas Introdut´
orios
Antes de apresentarmos nossas ´ultimas constru¸c˜oes b´asicas, recomendamos que o leitor resolva os problemas introdut´orios a seguir.
Problema 1. Seja P um ponto no plano e ` uma reta. Mostre como construir uma reta r perpendicular a ` passando por P .
Problema 2. Seja P um ponto no plano e ` uma reta tal que P 6∈ `. Mostre como construir uma reta r paralela a ` passando por P .
Problema 3. Seja P um ponto fora da circunferˆencia Γ que tem centro no ponto O. Mostre como construir uma reta tangente a Γ passando por P .
Dividindo um segmento em n partes iguais. Para dividir um segmento AB em n ∈ N partes iguais, basta seguir os passos:
(I) Tra¸camos uma semirreta auxiliar, com origem no ponto A.
(II) Escolhemos uma abertura qualquer no compasso e marcamos, a partir de A, n pontos equidistantes sobre a semirreta. Sejam P1, P2,..., Pn estes pontos.
(III) Tra¸camos o segmento que liga o ´ultimo dos pontos marcados sobre a semirreta e o ponto B.
(IV) Em seguida tra¸camos as retas paralelas a PnB, passando pelos pontos Pi. (Para
este passo, resolva antes o Problema 2)
Esse resultado ´e consequˆencia direta do Teorema de Tales. A figura a seguir mostra um exemplo para n = 6.
A B
Construindo o arco capaz. Dado um ˆangulo fixo α < 180◦ e um segmento AB, podemos construir o lugar geom´etrico de todos os pontos P no plano tais que ∠AP B = α. Para isso, basta realizar os seguintes passos:
(I) Construa duas semi-retas no mesmo semi-plano determinado pela reta AB, uma passando por A e outra passando por B de modo que formem um ˆangulo de medida α com o segmento AB. Seja X a interse¸c˜ao dessas duas semi-retas. (II) Construa as mediatrizes de AX e P X e seja O o ponto de encontro dessas
mediatrizes.
(III) Desenhe o c´ırculo Γ de centro O e raio OX. O arco>AB que n˜ao cont´em o ponto X ser´a o arco capaz correspondente ao ˆangulo α. Isto ´e, se P est´a sobre o arco capaz, ent˜ao ∠AP B = α.
A B
O
X
A verifica¸c˜ao dessa constru¸c˜ao pode ser obtida utilizando as propriedades dos ˆangulos inscritos em uma circunferˆencia.
Mais Problemas Introdut´
orios
Problema 4. Considere um triˆangulo acutˆangulo ABC qualquer. Em cada item, fazer um desenho do ∆ABC e construir com r´egua e compasso:
a) As bissetrizes internas do ∆ABC. b) As medianas do ∆ABC.
c) As alturas do ∆ABC.
Problema 5. Seja A um ponto no plano. Mostre como construir um ˆangulo de 60◦ com v´ertice em A.
Problema 6. Mostre como desenhar um hex´agono regular usando r´egua e compasso. Problema 7. Sejam r uma reta e A um ponto fora dessa reta. Mostre como construir uma reta ` que passa por A e ´e perpendicular a r tomando um ponto P na reta r, e utilizando o ponto m´edio M do segmento AP .
Problema 8. Construa com r´egua e compasso o triˆangulo ABC, conhecendo os compri-mentos AB = c, BC = a e ma, a mediana relativa ao segmento BC.
Problema 9. Construa com r´egua e compasso o triˆangulo ABC, conhecendo os compri-mentos AB = c e βada bissetriz interna relativa ao lado BC e tamb´em ∠BAC = α.
Problema 10. Construa com r´egua e compasso o triˆangulo ABC, conhecendo os compri-mentos AB = c, AC = b e ma, a mediana relativa ao segmento BC.
Problema 11. Mostre como construir (utilizando apenas r´egua e compasso) um triˆangulo ABC sabendo as medidas ha da altura relativa ao v´ertice A e as medidas ma e mb das
medianas relativas aos v´ertices A e B, respectivamente.
Problemas Propostos
Problema 12. (IMO 1960) Mostre como construir (utilizando apenas r´egua e compasso) um triˆangulo ABC sabendo as medidas ha, hb das alturas relativas aos v´ertices A e B,
respectivamente e a medida ma da mediana relativa ao v´ertice A.
Problema 13. Seja ∠AOB < 180◦e P um ponto interior da regi˜ao angular determinada por ∠AOB. Mostre como construir, utilizando r´egua e compasso, um segmento CD passando pelo ponto P tal que C esteja na semirreta AO e D na semirreta OB tal que CP : P D = 1 : 2.
Problema 14. Em um triˆangulo ABC, HA´e o p´e da altura relativa ao v´ertice A, PA´e o p´e
da bissetriz relativa ao v´ertice A enquanto que O ´e o circuncentro. Mostre como construir o triˆangulo ABC sabendo as posi¸c˜oes dos pontos HA, PA e O.
Dicas e Solu¸
c˜
oes
1. Utilizando o compasso com uma abertura fixa, construa um c´ırculo de centro em P que corta a reta ` nos pontos A e B. Assim, P A e P B. Construa a bissetriz do ˆ
angulo ∠AP B que ser´a perpendicular a `. Observa¸c˜ao: Note que esse procedimento tamb´em pode ser utilizado quando P ∈ `.
2. Usando o problema anterior, construa s ⊥ ` passando por P . Em seguida construa r ⊥ s passando por P . Veja que r k `.
3. Ache o ponto m´edio M do segmento AO. Construa o c´ırculo Γ0 de centro M e raio M O. Os pontos em que Γ e Γ0 se encontram, ser˜ao os pontos de tangˆencia de P at´e Γ. Isso decorre do fato de ∆P OA e ∆P OB serem triˆangulos retˆangulos.
4. a) A bissetriz de um ˆangulo ´e uma semirreta que divide esse ˆangulo em dois ˆangulos iguais. Para o ˆangulo de um dos v´ertices do ∆ABC, por exemplo A, fazemos o seguinte:
Centramos o compasso em A e, com uma mesma abertura r, marcamos os pon-tos X e Y nos lados AB e AC. Presumimos que a abertura r seja menor que os outros dois lados. Em seguida, tomamos uma abertura s no compasso ligeira-mente maior que XY
2 e tra¸camos duas circunferˆencias de raio s, com centros em X e Y . Essas circunferˆencias se intersectam em dois pontos, tomamos um deles e o chamamos de Z. A semirreta formada por A e Z ´e a bissetriz de ∠BAC. De fato, em rela¸c˜ao aos triˆangulos XAZ e Y AZ constru´ıdos dessa maneira, te-mos XA = Y A = r e XZ = Y Z = s. Uma vez que o lado AZ ´e comum aos dois triˆangulos, segue do caso de congruˆencia LLL que ∆XAZ ≡ Y AZ, em particular ∠XAZ = ∠Y AZ, ou ainda, ∠BAZ = ∠CAZ.
Repetimos o mesmo procedimento para os v´ertices B e C.
b) Primeiramente encontramos o ponto m´edio de um dos lados do ∆ABC. Con-sidere o lado AB, fixamos a abertura r do compasso de modo que ela seja ligeiramente maior que AB
2 , e tra¸camos dois c´ırculos de raio r, em centros A e B. Os arcos se intersectam nos pontos X e Y . O ponto M , de inter-sec¸c˜ao do segmento XY com o segmento AB ´e o ponto m´edio de AB. De fato, em rela¸c˜ao aos triˆangulos AXY e BXY , temos AX = BX e AY = BY , uma vez que o lado XY ´e comum aos dois triˆangulos, segue do caso de con-gruˆencia LLL que ∆AXY ≡ ∆BXY . Portanto, ∠AXY = ∠BXY , ou ainda, ∠AXM = ∠BXM . Agora, nos triˆangulos AXM e BXM , temos que AX = BX e ∠AXM = ∠BXM ; mas, como o lado XM ´e comum aos mesmos, segue do caso LAL que ∆AXM ≡ ∆BXM . Logo, AM = BM .
Desse modo, CM ´e a mediana do ∆ABC relativa ao v´ertice C, as outras medi-anas s˜ao constru´ıdas analogamente.
c) Para construir uma altura, siga os passos do Problema 1 para um v´ertice, por exemplo A e a reta sendo formada pelos pontos B e C. As outras alturas saem analogamente.
5. Considere um outro ponto B no plano e desenhe os c´ırculos de raio AB com centro em A e B. Seja C uma das interse¸c˜oes entre esses dois c´ırculos. Veja que ABC ´e um triˆangulo equil´atero, pois tem todos os seus lados iguais. Assim, ∠BAC = 60◦.
A B
C
60◦
6. Construa um c´ırculo de centro em O e raio R. A partir de um ponto A sobre o c´ırculo, escolha um ponto B no sentido hor´ario do c´ırculo de modo que AB = R. Fa¸ca isso, mantendo a abertura do compasso fixa. Agora escolha um ponto sobre o c´ırculo (tamb´em no sentido hor´ario) de modo que BC = R. Repita o processo para achar os D, E e F sobre o c´ırculo de modo que CD = DE = EF = R.
7. Seja P um ponto sobre a reta r e seja M o ponto m´edio do segmento AP (j´a apren-demos como achar o ponto m´edio usando r´egua e compasso). Desenhe o c´ırculo de centro M e raio M A. Seja B o ponto de encontro desse c´ırculo com a reta r. Vamos mostrar que AB ´e perpendicular a r. Note que os triˆangulos M AB e M BP s˜ao is´osceles por constru¸c˜ao. Agora, se ∠AM B = α, ent˜ao ∠BAM = ∠ABM = 90◦−α
2.
Por outro lado, ∠P M B = 180◦ − α. Ent˜ao, ∠P M B = ∠P BM = α2. Portanto, ∠ABP = 90◦.
A
P M
8. Trace uma reta paralela a OA pelo ponto P . Seja M a intersec¸c˜ao dessa paralela com OB. Usando um compasso, marcamos um arco, de centro em M , e raio M O, intersectando a semirreta OB em L, com L 6= O. Com a mesma abertura de com-passo, marcamos um arco, de centro em L, intersectando a semirreta OB em D 6= M . Tra¸camos a reta DP , e chamamos a intersec¸c˜ao dessa reta com OA de C, dessa forma CD ´e o segmento procurado de modo que CP : P D = 1 : 2, isso ´e uma consequˆencia da semelhan¸ca entre os triˆangulos ∆OCD e ∆M P D.
9. Considere dispon´ıveis os segmentos AB, BC e ma. Como a mediana ´e relativa ao
lado BC, sabemos ent˜ao que o ponto m´edio M de BC ´e um extremo dessa mediana ma. Portanto, basta desenhar o segmento BC e tra¸car seu ponto m´edio M .
Toma-mos o compasso com a abertura ma, e tra¸camos uma circunferˆencia de centro em
M . Tomamos o compasso novamente, agora com a abertura AB, e tra¸camos uma circunferˆencia de centro em B. O encontro dessas duas circunferˆencias ´e o ponto A, e desse modo tra¸camos o triˆangulo ABC.
10. Vamos dividir o ˆangulo α em duas partes iguais, utilizando a constru¸c˜ao da bissetriz interna, j´a feita anteriormente. Em seguida, constru´ımos o triˆangulo ABP , onde P ´e o p´e da bissetriz interna do ∆ABC relativo ao lado BC, ou seja, AP = βa que j´a
temos. Finalmente, obtemos o v´ertice C como a intersec¸c˜ao de BP com AX, onde ∠BAX = α.
11. Devemos mostrar que, dispon´ıveis trˆes segmentos, de tamanhos j´a determinados, conseguimos construir o triˆangulo ABC. Antes da constru¸c˜ao, considere a seguinte configura¸c˜ao: em um triˆangulo ABC qualquer, onde M ´e o ponto m´edio de BC, tra¸camos a reta AM e com um compasso centrado em M e raio AM , marcamos o ponto D 6= A nessa reta AM . Perceba que ∆DM C ≡ ∆AM B. Desse modo, o triˆangulo DAC pode ser construido, uma vez que temos seus trˆes lados: AC, DC e AD = 2ma, constru´ındo esse triˆangulo, achamos o ponto m´edio M de AD, tra¸camos
a reta M C, centramos um compasso em M e de raio M C para intersectar a reta M C em B 6= C e tra¸camos o lado AB para obter o triˆangulo ABC.
12. A partir de um ponto A no plano desenhe um segmento AD de medida ha. Em
ponta fixa do compasso em A, desenhe um c´ırculo de raio ma. Seja M um dos pontos
de encontro desse c´ırculo com a reta `∗. Divida o segmento AM em trˆes partes iguais para determinar o baricentro G. Por fim, com o compasso fixado em G, trace um c´ırculo de medida 2ma
3 . Um dos pontos de interse¸c˜ao deste c´ırculo com a reta ` ser´a
o ponto B, enquanto que o ponto C ser´a o sim´etrico de B em rela¸c˜ao `a M . Para determinar qual dos dois pontos de encontro ser´a o verdadeiro B basta completar a figura e verificar a medida de mb.
13. Seja ABC o triˆangulo e M o ponto m´edio de BC. Veja que a perpendicular tra¸cada de M at´e AC tem medida hb
2. Essa fato pode ser verificado pela propriedade da base
m´edia. Ou seja, AC ´e tangente `a circunferˆencia de centro M e raio hb
2. Com esse
fato em mente, podemos partir para a constru¸c˜ao.
A partir de um ponto A no plano desenhe um segmento AD de medida ha. Em
seguida, trace uma reta ` perpendicular ao segmento AH passando por H. Com a ponta fixa do compasso em A, desenhe um c´ırculo de raio ma. Seja M um dos pontos
de encontro desse c´ırculo com a reta `. Agora desenhe o c´ırculo de centro M e raio hb
2
e trace a tangente a este c´ırculo a partir de A. O ponto de encontro dessa tangente com a reta ` ser´a C. Para completar a figura, basta lembrar que B ´e sim´etrico de C em rela¸c˜ao a M . A B C H M F
14. Para resolver este problema, vamos utilizar o fato de o ortocentro (H) e circuncentro (O) de um triˆangulo serem conjugados isogonais. Consequentemente, a bissetriz do ˆ
angulo ∠BAC tamb´em ´e bissetriz do ∠HAO. Neste caso, note que AO ser´a tangente ao c´ırculo de centro PA e raio PAHA.
∗
Sabendo disso, podemos partir para a constru¸c˜ao do triˆangulo ABC. Trace a reta ` que ´e perpendicular a PAHA passando pelo ponto HA. Construa o c´ırculo de centro
PA e raio PAHA e a reta t tangente a esse c´ırculo passando pelo ponto O. O ponto
de encontro entre t e ` ser´a o ponto A. Os pontos B e C s˜ao constru´ıdos desenhando o c´ırculo de centro O e raio AO, tomando os pontos de encontro desse c´ırculo com a reta `. A B C HA PA O T
