Energia Cinética e Trabalho
Prof. Eduardo Fuzer Rosso
Introdução
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O que é Energia? Tecnicamente energia é uma grandeza escalar associada ao
estado de um objeto. Porem, está definição é em a definição vaga.
Uma defnição para energia: Energia é um número que associamos a um sistema
de um o mais partículas. Se uma força faz um objeto entrar em movimento o
número associado a energia ira variar.
Uma propriedade muito importante sobre energia é: a energia pode se
transformada de uma forma para outra forma e transferida de um objeto para
outro objeto, mas a quantidade total é sempre a mesma (a energia é
Introdução
A primeira energia e a energia cinética K. Está energia está associada ao estado
de movimento de um objeto. Portanto quando mais rapidamente é o movimento
do objeto maior será a energia cinética. Porem quando o objeto entra em repouso
a energia cinética é nula.
Um objeto de massa m se movendo com velocidade v (velocidade muito menor
que a velocidade da luz) a energia cinética é:
A unidade no S.I. é o Joule (J):
K=
1
2
mv
2Energia Cinética
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Exemplo: Em 1896, em Waco, Texas, William Crush posicionou duas locomotivas em extremidades opostas de uma linha ferrea com 6,4 km de extensão, acendeu as caldeiras, amarrou as aceleradores para que permanecessem acionados e fez com que as locomotivas sofressem uma colisão frontal, em alta velocidade, diante de 30.000 espectadores. Centenas de pessoas foram feridas pelos destroços; varias morreram. Supondo que cada locomotiva pesava 1,2 x 106 N e tinha uma aceleração constante de 0,26 m/s2, qual era a energia cinética das duas locomotivas imediatamente antes da colisão?
Trabalho
O trabalho W é a energia transferida para um objeto ou de um objeto através de
uma força que age sobre o objeto. Quando a energia é transferida para o objeto, o
trabalho é positivo; agora se a energia é transferida do objeto, o trabalho é
negativo.
Trabalho é o ato de transferir energia e tem a mesma unidade de energia (J) e é
uma grandeza escalar.
Trabalho
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Uma força realiza trabalho positivo se possui uma componente vetorial no
mesmo sentido do deslocamento, e realiza um trabalho negativo quando
possui uma componente vetorial no sentido oposto. A força realiza um
trabalho nulo quando não possui uma componente vetorial na direção do
deslocamento.
Teorema do Trabalho e Energia Cinética: A variação da energia cinética do
objeto e o trabalho resultante realizado sobre ele são relacionados através de:
ou
variaçãodaenergiacinética
deumapartícula
=
trabalhototalexecutado
sobreapartícula
.
ΔK=K
f−
K
i=W
K
f=K
i+W
Trabalho e Energia Cinética
A Fig. mostra dois espiões industriais arrastando um cofre de 225 kg a partir do repouso e, assim, produzindo um deslocamento de módulo 8,50 m, em direção a um caminhão. O empurrão do espião 001 tem um módulo de 12,0 N e faz um ângulo de 30,0° para baixo com a horizontal. O empurrão do espião 002 tem um módulo de 10,0 N e faz um ângulo de 40,0° para cima com a horizontal. Os módulos e orientações das forças não variam quando o cofre se desloca, e o atrito entre o cofre e o piso e desprezível.
(a) Qual é o trabalho total realizado pelas forças sobre o cofre durante o deslocamento? (b) Qual a velocidade final após o deslocamento de 8,50 m?
⃗d
⃗F
1Trabalho Realizado pela Força Gravitacional
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Uma trabalho realizado sobre uma objeto que é deixado cair ou é arremessado. A
força para esses casos será a força gravitacional.
Trabalho Realizado pela Força Gravitacional
Agora se queremos levantar um objeto aplicando uma força sobre ele. Durante o
deslocamento para cima, a força realiza trabalho positivo W
asobre o objeto,
enquanto a força gravitacional realiza um trabalho negativo W
g. Assim, a força
aplicada tende a transferir energia ao objeto e a força gravitacional tende a
remover energia do objeto. Assim, a variação da energia cinética do objeto será:
ΔK=K
f−
K
i=W
a−
(
−
W
g)
=W
a+W
gQuando o objeto está em repouso antes e depois do levantamento (remove um objeto e coloca em outra posição):
Trabalho Realizado pela Força Gravitacional
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Exemplo: Um elevador de massa m = 500 kg está descendo com velocidade v
i=
4,0 m/s quando o cabo de sustentação começa a deslizar, permitindo que o
elevador caia com a aceleração constante
(a) Se o elevador cai de uma altura de d = 12 m, qual é o trabalho W
grealizado
sobre o elevador pela força gravitacional?
(b) Qual é o trabalho W
Trealizado sobre o elevador pela força T
exercida pelo cabo?
(c) Qual é o trabalho total W realizado sobre o elevador durante
a queda?
(d) Qual é a energia cinética do elevador no final da queda de
12 m?
⃗
Trabalho Realizado pela Força Elástica
Como uma aproximação para uma mola , a força de uma mola é proporcional
ao deslocamento da extremidade livre a partir da posição que ocupa quando a
mola está no estado relaxado. A força elástica é dada por:
⃗
F
S=−
k ⃗
d
(
LeideHooke
)
⃗F
s⃗d
⃗F
s⃗d
⃗
F
s⃗
d
Na figura ao lado temos a força
paralela ao eixo x com a origem em x = 0. Assim,
F
x=−kx
O trabalho realizado pela força elástica é: Ws=
∑
(
−Fxj ΔX)
j+ 1,2,. ..W
s=
∫
x0 x−
F
xdx=
∫
x0 x−
kxdx
W
s=
1
2
kx
0 2−
1
2
kx
2Trabalho Realizado pela Força Variável
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Uma expressão geral para o trabalho realizado pela força variável qualquer é:
Considerando uma força tridimensional:
W=
∫
X0 XF
xdx +
∫
y0 yF
ydy
∫
z0 zF
zdz
W=
∫
x0 xF
(
x
)
dx
Potência
A taxa de variação com o tempo do trabalho realizado por uma força é
denominado de potência. Quando uma força realiza trabalho W em um intervalo
de tempo Δt, a potência média nesse intervalo de tempo é
A potência instantânea P é a taxa de variação instantânea com o qual o trabalho é
realizado:
A unidade de potência é joule por segundo:
P
méd=
W
Δt
.
P=
dW
dt
.
Energia Potencial
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Quando arremessamos um objeto para o alto a sua velocidade começa a diminuir com o aumento da altura. Quando o objeto alcançar a altura máxima a sua velocidade é nula. Com a diminuição de velocidade ocorre a diminuição de energia cinética. Essa perda é a transformação de energia cinética para outra forma de energia e essa outra forma é a energia
potencial (U).
No movimento vertical ocorre a transferência de energia cinética para energia potencial na subida. E transferência de energia potencial para energia cinética na descida.
A relação energia potencial e trabalho é:
O sinal negativo indica que o trabalho é realizado sobre o objeto pela força gravitacional. Para encontrar a expressão da energia potencial utilizamos:
então
ΔU=−W
W=
∫
x0 xF
(
x
)
dx
ΔU=−
∫
x0 xF
(
x
)
dx
Energia Potencial Elástica
Consideramos um sistema massa-mola, com o bloco se movendo na extremidade de uma mola de constante elástica k, A força que realiza trabalho será a força elástica.
Conservação da Energia Mecânica
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A energia mecânica Emec de uma sistema é o somatório das energia presentes. Nó nosso estudo estão presentes as energias potencial e cinética, assim:
Quando uma força conservativa realiza trabalho sobre um objeto que está dentro de um sistema, esta força é responsável por uma transferência de energia entre a energia cinética e a energia potencial do sistema. Temos duas expressões:
Combinando essas duas equações:
Dessa forma uma das energia aumenta exatamente da mesma quantidade que a outra energia diminui.
E
mec=K+U
ΔK=W
ΔU=−W .
ΔK=−ΔU .
K2−K1=−(
U2−U1)
.Conservação da Energia Mecânica
Reagrupando os termos:que é a conservação da energia mecânica.
As energias cinética e potencial podem variar, mas a sua soma, a energia mecânica (ou energia total) Emec do sistema não pode variar. Neste caso temos o princípio de conservação
da energia mecânica. Assim:
K
2+U
2=K
1+U
1ΔE
mec=
0
Conservação da Energia Mecânica
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Conservação da Energia Mecânica
Exemplo:Uma criança de massa m parte do repouso no alto de um toboágua, a uma altura h = 8,5 m acima da base do brinquedo. Supondo que a presença da água torna o atrito desprezível, encontre a velocidade da criança ao chegar à base do toboágua
Conservação da Energia Mecânica
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Cálculo da Força: calcular a força a partir da energia potencial U(x). Usando a equação
sendo
ΔU
(
x
)
=−
W
W=F
(
x
)
ΔX :
ΔU
(
x
)
=−
W=−F
(
x
)
Δx .
F
(
x
)
=−
ΔU
(
x
)
Δx
F
(
x
)
=−
dU
dx
Trabalho Realizado por uma Força Externa sobre um Sistema
Trabalho é a energia transferida para um sistema ou de um sistema através de uma força externa que age sobre o sistema.
Sistema W realizado sobre um sistema (W positivo) Sistema W retirando energia do sistema (W negativo)
Na Ausência de Atrito: quando não há atrito o sistema não perde energia e, assim, o trabalho
é positivo ( sistema recebe energia). O trabalho será:
Como a soma das energia cinética e potencial é a energia mecânica Emec, temos:
Trabalho realizado sobre um sistema sem atrito.
W=ΔK+ΔU,
Trabalho Realizado por uma Força Externa sobre um Sistema
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Na Presença de Atrito: Vamos considerar agora uma força horizontal constante que puxa um
bloco ao longo do eixo x deslocando-0 de uma distância d.
Aumento da energia térmica causada pelo atrito:
Trabalho realizado em uma sistema com atrito:
Trabalho realizado sobre por uma força externa sobre um sistema no qual existe atrito.
ΔE
term=f
kd
Conservação de Energia
A energia total E de um sistema pode mudar apenas através da transferência de energia para o sistema ou do sistema. A lei de conservação de energia estabelece que:
onde é uma variação de qualquer outro tipo de energia interna do sistema.
ΔE
iPotência:
como trabalho é a transferência de energia em um sistema, pode agora definirpotência e relação a energia. Assim, potência é a taxa com a a qual uma força transfere energia de uma forma para outra. Se uma certa quantidade de energia é transferida durante um intervalo de tempo, a potência média aplicada pela força será:
A potência instantânea desenvolvida pela força é dada por:
P
med=
ΔE
Δt
.
P=
dE
dt
.
Halliday & Resnick & Walker, Fundamentos de Física - Mecânica, Volume 1, 8ª
Edição, LTC, 2009;
TIPLER, P., MOSCA, G. Física para engenheiros e cientistas. Volume 1, 6ª
Edição, LTC, 2009;
