CCft}EE/cCT-UFPb
COORDENAÇÃO DE POS-GRADUAÇAO EM ENGENHARIA ELÉTRICA CENTRO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA
UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA
CONTRIBUIÇÃO TEÕRICA AO ESTUDO DE ESTRUTURAS PERIÓDICAS DE MICROONDAS
MÁRIO DE SOUSA ARAÜJO FILHO 1985
CONTRIBUIÇÃO TEÓRICA AO ESTUDO DE
ESTRUTURAS PERIÓDICAS DE MICROONDAS
Dissertação a p r e s e n t a d a ã Coordenação d o s C u r s o s de Pós-Graduação em E n g e n h a r i a E l e t r i c a da U n i v e r s i d a d e F e d e r a l d a Paraíba, em c u m p r i m e n t o p a r c i a l âs exigências p a r a obtenção do G r a u de M e s t r e em E n g e n h a r i a Elétrica.
ÃREA DE CONCENTRAÇÃO : P r o c e s s a m e n t o d a Informação
FRANCISCO DE ASSIS FERREIRA TEJO O r i e n t a d o r
-CAMPINA GRANDE MARÇO - 19 85
DE
ESTRUTURAS PERIÓDICAS DE MICROONDAS
MARIO DE SOUSA ARAUJO F I L H O
TESE APROVADA EM 08/03/85
FRANCISCO DE A S S I S * F E R R E I R A TEJO O r i e n t a d o r
-ADAILDO GOMES D'ASSUNÇÃO Componente d a B a n c a
-CAMPINA GRANDE MARÇO - 19 85 -©RESO SANTOS DA ROCHA
-D e d i c o e s t e t r a b a l h o a E L I Z A B E T E , m i n h a c o m p a n h e i r a , e a meus f i l h o s MÁRIO, E L I A N E e VLADIMIR.
Ao P r o f e s s o r F r a n c i s c o de A s s i s F e r r e i r a T e j o , p e l a competen t e orientação e p e r m a n e n t e estímulo. Ao P r o f e s s o r D a g o b e r t o Lourenço R i b e i r o , p e l o d e d i c a d o e v a l i o s o c o n t r i b u t o ã elaboração do t r a b a l h o compu t a c i o n a l . Aos Funcionários L u c i m a r R i b e i r o Gomes A n d r a d e e José R o b e r t o d a S i l v a , p e l a eficiência d o s serviços de d a t i l o -g r a f i a e d e s e n h o .
RESUMO
E s t e t r a b a l h o a b o r d a e s t r u t u r a s periódicas na f a i x a de m i c r o o n d a s . São a p r e s e n t a d a s técnicas clássicas de aná l i s e e soluções p a r a várias d e s s a s e s t r u t u r a s . F o r m u l a - s e t e o r i c a m e n t e o p r o b l e m a d a aplicação da Técnica da C o n s e r vação da Potência C o m p l e x a ã análise de e s t r u t u r a s perió d i c a s , a q u a l , . j u n t a m e n t e com a Técnica da M a t r i z de Espa l h a m e n t o G e n e r a l i z a d a i n c l u i , além d o s modos p r o p a g a n t e s , o s modos e v a n e s c e n t e s . São c o n s i d e r a d o s a l i n h a de t r a n s missão de p l a n o s p a r a l e l o s e o g u i a de o n d a s r e t a n g u l a r , ambos c a r r e g a d o s com d i a f r a g m a s e s p e s s o s . D e s e n v o l v e u - s e e i m p l e m e n t o u - s e um p r o g r a m a c o m p u t a c i o n a l p a r a o cálculo das m a t r i z e s admitância de e n t r a d a e de e s p a l h a m e n t o d a junção e n t r e d o i s g u i a s de o n d a s de p l a n o s p a r a l e l o s de a l
t u r a s d e s i g u a i s , bem como d a m a t r i z transmissão de o n d a da célula unitária do g u i a de o n d a s de p l a n o s p a r a l e l o s c a r r e g a d o p e r i o d i c a m e n t e . Os r e s u l t a d o s estão de a c o r d o
(*)
com o s o b t i d o s p r e v i a m e n t e p o r S a f a v i - N a i n i e M a c p h i e , (*) S A F A V I - N A I N I , Reza e MACPHIE, R o b e r t H., "On S o l v i n g
W a v e g u i d e J u n c t i o n S c a t t e r i n g P r o b l e m s b y t h e Con s e r v a t i o n o f C o m p l e x P o w e r T e c h n i q u e " , IEEE T r a n s . M i c r o w a v e T h e o r y T e c h . , V o l . MTT-29, p p . 3 3 7 - 3 4 3
l o s . São a p r e s e n t a d o s f l u x o g r a m a s que f a c i l i t a m o d e s e n v o l v i m e n t o de um programa p a r a a análise numérica de um g u i a de ondas r e t a n g u l a r p e r i o d i c a m e n t e • c a r r e g a d o . P a r a a d e t e r minação dos a u t o v a l o r e s e a u t o v e t o r e s d a s e s t r u t u r a s perió d i c a s s u g e r e - s e o u s o do a l g o r i t m o QZ.
ABSTRACT I n t h i s d i s s e r t a t i o n , f o r m u l a t i o n a n d a n a l y s i s a s p e c t s o f m i c r o w a v e p e r i o d i c s t r u c t u r e s a r e c o n s i d e r e d . A l t h o u g h c l a s s i c a l a n a l y t i c a l t e c h n i q u e s a r e p r e s e n t e d , t h e p r i n c i p a l e m p h a s i s i s o n t h e a p p l i c a t i o n o f t h e C o n s e r v a t i o n o f C o m p l e x Power T e c h n i q u e w h i c h , c o m b i n e d w i t h t h e G e n e r a l i z e d S c a t t e r i n g - M a t r i x T e c h n i q u e , t a k e s i n t o a c c o u n t n o t o n l y p r o p a g a t i n g b u t a l s o e v a n e s c e n t modes. A d y g i t a l c o m p u t e r p r o g r a m f o r n u m e r i c a l e v a l u a t i o n o f i n p u t a d m i t a n c e a n d s c a t t e r i n g m a t r i c e s o f a d i s s i m i l a r j u n c t i o n o f t w o p a r a l l e l p l a t e t r a n s m i s s i o n l i n e s i s d e v e l o p e d a n d i m p l e m e n t e d . T h e p r o g r a m c o m p u t e s a l s o t h e wave t r a n s m i s s i o n m a t r i x f o r t h e u n i t c e l l o f a p e r i o d i c a l l y .loaded p a r a l l e l p l a t e t r a n s m i s s i o n l i n e . T h e r e s u l t s a r e i n g o o d a g r e e m e n t w i t h t h e o n e s o b t a i n e d p r e v i o u s l y b y S a f a v i -(*) N a i n i a n d M a c P h i e f o r c h a r a c t e r i z a t i o n o f a s t e p i n a p a r a l l e l p l a t e l i n e .
(*) S A F A V I - N A I N I , Reza e MACPHIE, R o b e r t H., "On S o l v i n g W a v e g u i d e J u n c t i o n S c a t t e r i n g P r o b l e m s b y t h e
C o n s e r v a t i o n o f C o m p l e x Power T e c h n i q u e " , IEEE T r a n s . M i c r o w a v e T h e o r y T e c h . , V o l . MTT-29, p p . 3 3 7 - 3 4 3 ,
t h e n u m e r i c a l a n a l y s i s o f a p e r i o d i c a l l y l o a d e d rectângula w a v e g u i d e a r e p r e s e n t e d . F o r t h e c o m p u t a t i o n o f t h e
e i g e n v a l u e s and e i g e n v e c t o r s o f t h e p e r i o d i c s t r u c t u r e s , t h e QZ a l g o r i t h m i s s u g g e s t e d .
I N D I C E P a g i n a RESUMO L I S T A DE FIGURAS L I S T A DE SÍMBOLOS CAPITULO 1 - INTRODUÇÃO 1 1.1 - Formulação d o P r o b l e m a 1 1.2 - Revisão d a L i t e r a t u r a R e l a c i o n a d a e Aplicações 1 1.2.1 - Revisão d a L i t e r a t u r a . . . . 4 1.2.2 - Aplicações 6 1.3 - Organização da T e s e 8
CAPITULO 2 - CONCEITOS BÁSICOS 10 2.1 - E s t r u t u r a s Periódicas 10
2.1.1 - Classificação d a s E s t r u t u
r a s Periódicas 15 2.1.2 - P r o p r i e d a d e s G e r a i s d a s
p a c i a i s 16 2.3 - V e l o c i d a d e de F a s e , V e l o c i d a d e de Grupo e Harmônicos E s p a c i a i s . . . 19 2 . 4 - 0 D i a g r a m a d) - f? 23 2.4.1 - D i a g r a m a ta - 6 p a r a um g u i a de o n d a s v a z i o 24 2.4.2 - D i a g r a m a u> - 3 p a r a um g u i a de o n d a s c a r r e g a d o p e r i o d i c a m e n t e 27
CAPÍTULO 3 - MÉTODOS CLÁSSICOS DE ANÁLISE DE ESTRU
TURAS PERIÓDICAS 37 3.1 - Análise p o r Campos
Eletromagné-t i c o s . 37 3.1,1 — O g u i a de o n d a s de p l a n o s p a r a l e l o s c a r r e g a d o perio_ d i c a m e n t e 4 0 3.2 - Análise p o r C i r c u i t o s Equivalentes. 56 3.2.1 — Análise p o r C i r c u i t o s -M a t r i z ABCD 56 3.2.1.1 - 0 g u i a de o n d a s de p l a n o s p a r a l e l o s c a r r e gado p e r i o d i c a m e n t e 60 3.2.1.2 - 0 g u i a de o n d a s r e t a n g u l a r c a r r e g a d o pei r i o d i c a m e n t e 66
3.2.1.3 - Impedância c a r a c terística de uma e s t r u t u r a periódica 72 3.2.2 - A n a l i s e p o r Ondas - M a t r i z A 74 3.2.2.1 - C o e f i c i e n t e de reflexão característico... 75 3.3 - Interação de Modos de Ordem Supe
r i o r 75
CAPÍTULO 4 - TÉCNICA DA CONSERVAÇÃO DA POTÊNCIA COM
PLEXA 78 4.1 - Introdução 78 4.2 - A Técnica 79 4.3 - Condições de C o n t o r n o 80 4.4 - Equação de C a s a m e n t o de Modo 82 4.5 - Potência C o m p l e x a I r r a d i a d a 84 4.6 - Potência C o m p l e x a I n c i d e n t e 85 4.7 - A Conservação da Potência C o m p l e x a e a M a t r i z Admitância d e E n t r a d a da Junção 87 4.8 - M a t r i z de E s p a l h a m e n t o d a Junção.. 88
CAPÍTULO 5 - ANALISE DE ESTRUTURAS PERIÓDICAS PELA TÉCNICA DA CONSERVAÇÃO DA POTÊNCIA COM
PLEXA 94 5.1 - Introdução 94
5.3 - Relação E n t r e a s M a t r i z e s G e n e r a • l i z a d a s de Onda e de E s p a l h a m e n t o 99 5.4 - M a t r i z Transmissão de Onda da Cé l u l a Unitária 102 5.5 - Equação de A u t o - V a l o r e s 104 5.6 - M a t r i z de E s p a l h a m e n t o da Junção C a s c a t e a d a A-B 107 * ^ 5.7 - Determinação da M a t r i z de E s p a l h a mento da Junção B 111 5.8 - As m a t r i z e s Y , P^, Q^, Q^, Tj_ , T2, H e S 118 5.9 - M a t r i z e s de E s p a l h a m e n t o e de On da da Junção A-B 122 5.10- M a t r i z de Onda da Célula Unitária
e Equação de A u t o - V a l o r e s 122 5.11- Caracterização do D e g r a u no P l a no E ' 123 5.12- Aplicação da CCPT ã Análise do G u i a de Ondas R e t a n g u l a r C a r r e g a do P e r i o d i c a m e n t e 129 CONCLUSÕES
DETERMINAÇÃO DA MATRIZ [ s ] DA JUNÇÃO CASCATEA DA DA F I G . 5.3
APÊNDICE B - DETERMINAÇÃO DA MATRIZ DE ESPALHAMENTO [ s ] DA CAPITULO 6
-J U N Ç Ã O ENTRE D O I S G U I A S DE ONDAS DE PLANOS PA R A L E L O S . A P Ê N D I C E C - D E T E R M I N A Ç Ã O DA M A T R I Z T R A N S M I S S Ã O DE ONDA [ M ] DA C É L U L A U N I T Á R I A DO G U I A DE ONDAS DE PLANOS P A R A L E L O S CARREGADO C A P A C I T I V A M E N T E . A P Ê N D I C E D - D E T E R M I N A Ç Ã O DA M A T R I Z DE ESPALHAMENTO [ S ] DA J U N Ç Ã O ENTRE D O I S G U I A S DE ONDAS RETANGULARES
A P Ê N D I C E E - D E T E R M I N A Ç Ã O DA M A T R I Z T R A N S M I S S Ã O DE ONDA [ M ] DA C É L U L A U N I T Á R I A DO G U I A DE ONDAS RETAN
GULAR P E R I O D I C A M E N T E CARREGADO.
FIGURA PÁGINA F i g . 2.1 - E l e m e n t o s i n d u t i v o s em p a r a l e l o 13 (a) D i a f r a g m a simétrico (b) D i a f r a g m a assimétrico F i g . 2.2 - E l e m e n t o s c a p a c i t i v o s em p a r a l e l o 13 (a) D i a f r a o m a simétrico (b) D i a f r a g m a assimétrico F i g . 2.3 - ( a ) D e g r a u no p l a n o E em um q u i a de o n das r e t a n g u l a r o u de p l a c a s p a r a l e l a s 14 (b) A b e r t u r a r e t a n g u l a r ( d e l g a d a o u e s p e s s a ) em um g u i a de o n d a s r e t a n g u l a r 14 F i g . 2.4 - D i a g r a m a p a r a o g u i a de o n d a s 26 F i g . 2.5 - G u i a de o n d a s cilíndrico c a r r e g a d o p e r i o d i c a m e n t e 28
jf, « FIGDRA PÁGINA •JÊÇ*
F i g . 2.6 - Característica de dispersão do g u i a c i
líndrico p e r i o d i c a m e n t e c a r r e g a d o 30
F i g . 2.7 - Exemplo de um d i a g r a m a ' co-g típico.... 34
F i g . 3.1 - L i n h a de transmissão de p l a n o s p a r a l e l o s com c a r r e g a m e n t o periódico c a p a c i t i
vo 41
F i g . 3.2 - V i s t a l a t e r a l da e s t r u t u r a periódica da
F i g u r a ( 3 . 1 ) 46
F i g . 3.3 - Representação de uma célula unitária p e l a m a t r i z transmissão de tensão e c o r r e n t e ( m a t r i z ABCD) 57 F i g . 3.4 - Representação em l i n h a de transmissão do g u i a de p l a n o s p a r a l e l o s p e r i o d i c a m e n t e c a r r e g a d o 61 F i g . 3.5 - C i r c u i t o e q u i v a l e n t e m o s t r a n d o uma célu l a unitária 62 F i g . 3.6 - D i a g r a m a w-6 de uma l i n h a de t r a n s m i s _
são c a r r e g a d a com " t o c o s " série 65
F i g . 3.7 - G u i a de o n d a s r e t a n g u l a r com j a n e l a s
i n d u t i v a s p e r i o d i c a m e n t e espaçadas 66
unitária da e s t r u t u r a periódica da F i g . ( 3 . 7 ) .. 67 F i g . 4.1 - Junção de d o i s g u i a s de o n d a s cilíndri c o s 80 F i g . 4.2 - Representação dos v e t o r e s a m p l i t u d e de modo i n c i d e n t e s e e s p a l h a d o s 91 F i g . 5.1 - L i n h a de transmissão de p l a n o s p a r a l e l o s c a r r e g a d a c a p a c i t i v a m e n t e com d i a f r a g m a s e s p e s s o s 95 F i g . 5.2 - ( a ) V i s t a l a t e r a l da l i n h a de t r a n s m i s são de p l a n o s p a r a l e l o s c a r r e g a d a c a p a c i t i v a m e n t e com d i a f r a g m a s e s p e s s o s 97 (b) V i s t a f r o n t a l da l i n h a de t r a n s m i s são de p l a n o s p a r a l e l o s c a r r e g a d a c a p a c i t i v a m e n t e com d i a f r a g m a s e s p e s s o s 97
F i g . 5.3 - Célula unitária da e s t r u t u r a periódica em e s t u d o 9 8
F i g . 5.4 - D i a g r a m a i n d i c a d o r d a s s u b m a t r i z e s :
( a ) [ SA] 108
FIGURA PAGINA F i g . 5.5 - ( a ) e ( b ) - D e t a l h e s d a junção de d u a s l i n h a s de transmissão de p l a n o s p a r a l e l o s 112 F i g . 5.6 - D e g r a u no p l a n o E 124 F i g . 5.7 - Módulo do c o e f i c i e n t e de reflexão p em
função de a/À, com b/À = 0,35 125
F i g . 5.8 - F a s e do c o e f i c i e n t e de reflexão p em
função de a/À , com b/À = 0,35 126
F i g . 5.9 - Módulo do c o e f i c i e n t e de transmissão T
em função de a/À , com b/À = 0,35 127
F i g . 5.10- F a s e do c o e f i c i e n t e de transmissão x em
função de a/À, com b/À = 0,35 128
F i g . 5 . 1 1 - G u i a de o n d a s r e t a n g u l a r c a r r e g a d o pe
r i o d i c a m e n t e 130
F i g . 5.12- Junção e n t r e d o i s g u i a s r e t a n g u l a r e s de
SÍMBOLO DEFINIÇÃO [ A ] • M a t r i z transmissão de o n d a . A E l e m e n t o s da m a t r i z [ A | . mn 1 1 A+, A_ V e t o r e s c o e f i c i e n t e s d o s harmônicos e s p a c i a i s no s e n t i d o c r e s c e n t e ( d e c r e s c e n t e ) , na junção A. a.. , V e t o r e s a m p l i t u d e de modo TE (TM) no g u i a i . a. , b. E l e m e n t o s d a s m a t r i z e s a. e b . , r e s í,n i , n — i — i — p e c t i v a m e n t e . a , b C o n s t a n t e s de a m p l i t u d e , n n A, B, C, D 1. E l e m e n t o s d a m a t r i z ABCD. 2. A m p l i t u d e s de o n d a . A' ,B' ,C ,D' A m p l i t u d e s de o n d a . B Susceptância n o r m a l i z a d a o
D E F I N I Ç Ã O V a l o r e s c o m p l e x o s de o n d a s i n c i d e n t e s e r e f l e t i d a s no n-êsimo p l a n o t e r m i n a l . 1. V e l o c i d a d e da l u z no espaço l i v r e . 2. Dimensão e s p a c i a l A u t o v a l o r c o r r e s p o n d e n t e ao m-ésimo a u t o v a l o r .
Período de uma e s t r u t u r a periódica.
V e t o r pampo elétrico.
V e t o r campo elétrico periódico.
A m p l i t u d e de um harmônico e s p a c i a l .
M a t r i z transmissão de o n d a de uma s e c ção de g u i a
C o m p o n e n t e t r a n s v e r s a l do campo elê tricô no g u i a i , no n-êsimo modo TE
(TM) .
Frequência
A m p l i t u d e de um harmônico e s p a c i a l .
M a t r i z r e s u l t a n t e da série de Neumann.
M a t r i z r e p r e s e n t a t i v a do a c o p l a m e n t o e n t r e o s modos TE e TM. E l e m e n t o s d a m a t r i z [ h ] ou H . M a t r i z - i d e n t i d a d e C o r r e n t e C o r r e n t e t o t a l do n-ésimo p l a n o t e r m i n a i . Número de o n d a de c o r t e Número de o n d a de c o r t e no espaço l i v r e . M a t r i z transmissão de o n d a de uma secção de g u i a . P e r i o d o de uma e s t r u t u r a periódica. M a t r i z transmissão de o n d a de uma cé l u l a unitária. S u b m a t r i z e s de [m] . 1 . Número de modos. 2. Dimensão m a t r i c i a l . 1, número i n t e i r o 2. número harmônico
SÍMBOLO DEFINIÇÃO M a t r i z d o s f a t o r e s de p r o p o r c i o n a l i -d a -d e e n t r e a s , a m p l i t u -d e s -de mo-do e as tensões e q u i v a l e n t e s , no g u i a 2. 1 . Tempo. 2. Dimensão e s p a c i a l . Tensão. Tensão t o t a l no nésimo p l a n o t e r m i -n a l . V e t o r a m p l i t u d e de modo TE (TM) no g u i a 2. V e t o r e s tensão e q u i v a l e n t e s r e f l e t i _ d o s ( i n c i d e n t e s ) no g u i a 2. V e l o c i d a d e de g r u p o . V e l o c i d a d e de g r u p o do n-ésimo harmô n i c o e s p a c i a l . V e l o c i d a d e de f a s e de uma o n d a e l e tromagnética. V e l o c i d a d e de f a s e em um m e i o qual_ q u e r . V e l o c i d a d e de f a s e do n-ésimo harmô n i c o e s p a c i a l .
v V e l o c i d a d e de f a s e do harmônico es p a c i a l f u n d a m e n t a l . VQ V e l o c i d a d e d o s elétrons X Reatância. Reatância n o r m a l i z a d a . Y^ M a t r i z admitância de e n t r a d a de uma junção, v i s t o do g u i a 2.
Y q 2 ^ M a t r i z admitância característica das l i n h a s de transmissão e q u i v a l e n t e s d o s modos TE (TM) do g u i a 2.
Y Admitância característica, o
Y . Admitância característica do m-ésimo 01 ,m modo no g u i a i . Z. Impedância de e n t r a d a . i n c Z , Z Impedância característica . o' c
Z_. Impedância característica de uma es B
t r u t u r a periódica
— Impedância característica n o r m a l i z a B
DEFINIÇÃO
C o n s t a n t e de atenuação.
C o n s t a n t e de f a s e .
C o n s t a n t e de f a s e do harmônico e s p a c i a l f u n d a m e n t a l .
C o n s t a n t e de f a s e d o n-ésimo modo periô d i c o . M a t r i z d e a u t o v a l o r e s d o s modos d a e s t r u t u r a periódica. E l e m e n t o s de [ r ] . C o e f i c i e n t e de reflexão característico de uma e s t r u t u r a periódica. C o n s t a n t e de propagação. C o n s t a n t e de propagação característica do m-êsimo modo. C o n s t a n t e dielétrica. P e r m i s s i v i d a d e do vácuo. P e r m i s s i v i d a d e de um m e i o genérico. C o n s t a n t e de Neumann. C o m p r i m e n t o elétrico.
X C o m p r i m e n t o de o n d a no espaço l i v r e . Xc C o m p r i m e n t o de o n d a de c o r t e . X C o m p r i m e n t o de o n d a do harmônico e s p a c i a l f u n d a m e n t a 1 . X C o m p r i m e n t o de o n d a a u i a d a . u P e r m e a b i l i d a d e do vácuo. Mo y P e r m e a b i l i d a d e de um m e i o genérico. o C o n d u t i v i d a d e de um m e i o genérico. o) Frequência a n g u l a r . Frequência a n g u l a r de c o r t e .
to Frequência de ressonância de uma c a v i d a
n — d e .
1 INTRODUÇÃO
1.1 - Formulação do P r o b l e m a
0 o b j e t i v o d e s t e t r a b a l h o é a p r e s e n t a r as técnicas clássicas de análise de e s t r u t u r a s periódicas e f o r m u l a r t e o r i c a m e n t e o p r o b l e m a d a aplicação d a Técnica da C o n s e r vação da Potência C o m p l e x a â análise d e s s e t i p o de e s t r u t u r a .
A f i m de i l u s t r a r a a p l i c a b i l i d a d e d a s d i v e r s a s téc n i c a s a q u i a p r e s e n t a d a s , serão a b o r d a d a s as s e g u i n t e s e s t r u t u r a s periódicas: (a) g u i a de o n d a s de p l a c a s p a r a l e l a s c a r r e g a d o com d i a f r a g m a s c a p a c i t i v o s assimétricos e s p e s s o s ( F i g . 5 . 1 ) . ( b ) g u i a de o n d a s r e t a n g u l a r c a r r e g a d o com diafra£ mas e s p e s s o s ( F i g . 5 . 1 1 ) . 1.2 - Revisão d a L i t e r a t u r a R e l a c i o n a d a e Aplicações 0 i n t e r e s s e no e s t u d o d a s e s t r u t u r a s periódicas em
m i c r o o n d a s f o i uma consequência do d e s e n v o l v i m e n t o das vál v u l a s n e s s a s f a i x a s de frequência. 0 p r i n c i p i o de f u n c i o n a m e n t o d a s válvulas de m i c r o o n d a s [ l ] b a s e i a - s e n a interação p r o l o n g a d a e n t r e um f e i x e eletrônico e uma o n d a eletromagné t i c a . P a r a h a v e r interação e f i c i e n t e , a v e l o c i d a d e d o s elê t r o n s ( v ) deverá s e r a p r o x i m a d a m e n t e i q u a l â v e l o c i d a d e de o f a s e da o n d a ( v ) em uma e s p e c i f i c a d a f a i x a de frequências. P Além d i s s o , a potência d e v e r e s i d i r , p r e d o m i n a n t e m e n t e , n a c o m p o n e n t e de o n d a p a r a a q u a l v ~ v q é o b t i d a . Em um g u i a de o n d a s r e t a n g u l a r v a z i o , p a r a um d a d o mo do em propagação, a v e l o c i d a d e de f a s e [ 2 ] ê dada p o r v = = ( 1 . 1 ) P / 2 A - A / A r o n d e A ê o c o m p r i m e n t o de o n d a no espaço l i v r e , XC ê o com p r i m e n t o de o n d a de c o r t e e c ê a v e l o c i d a d e da l u z no e s p a ço l i v r e .
Se há propagação (A <A ) , então a v e l o c i d a d e de f a s e será s e m p r e m a i o r q u e a v e l o c i d a d e d a l u z .
Uma v e z q u e a v e l o c i d a d e do f e i x e eletrônico em uma válvula de m i c r o o n d a s ê s e m p r e m e n o r q u e c, ê c l a r o q u e a condição de s i n c r o n i s m o ( v » Vq ) e n t r e a o n d a e o f e i x e e letrônico n u n c a poderá s e r a t i n g i d a em um g u i a de o n d a s v a z i o .
3 -A condição de s i n c r o n i s m o ( o u "ressonância de v e l o c i d a d e s " ) e x i g e q u e a v e l o c i d a d e de f a s e d a o n d a s e j a g r a n d e m e n t e r e d u z i d a . I s t o é, q u e se o b t e n h a uma onda l e n t a ( v < P c) . Uma d a s f o r m a s de d e c r e s c e r a v e l o c i d a d e de f a s e em um g u i a de o n d a s u n i f o r m e , s e r i a preenchê-lo c o m p l e t a m e n t e com um m a t e r i a l dielêtrico de c o n s t a n t e dielêtrica c . A
r equação ( 1 . 1 ) f i c a r i a : c//ê~^ v ^ = r — ( 1 . 2 ) A - ( x / xc)2 o n d e v ' é a v e l o c i d a d e de f a s e n o g u i a p r e e n c h i d o com dielé P tricô.
Tomando um v a l o r típico d a relação ( c / v ) , c / v = 2 0 , P P 2
-p o r e x e m -p l o , e (A/A ) << 1 / s e r i a necessário um dielêtrico de p e r m i s s i v i d a d e de c e r c a de 400e , p a r a o b t e r - s e t a l r e d u ção n a v e l o c i d a d e de f a s e . E s s e s a l t o s v a l o r e s de p e r m i s s i v i d a d e t r a d u z e m - s e em a l t a s p e r d a s n a s frequências de m i c r o o n d a s , o q u e d e m o n s t r a [ 1 ] a inconveniência d e s s e p r o c e s s o de obtenção de o n d a s l e n t a s com a l t a relação ( c / v ) . O p r e e n c h i m e n t o a p e n a s p a r P c i a i do g u i a com m a t e r i a l dielêtrico, p o s s i b i l i t a r e d u z i r as p e r d a s , mas i s s o c o r r e s p o n d e , também, a uma m e n o r r e d u ção n a v e l o c i d a d e de f a s e .
Já a utilização de e s t r u t u r a s periódicas s e g u n d o a direção de propagação, é um p r o c e s s o m a i s prático e e f i c i e n t e de obtenção d a s "ondas l e n t a s " necessárias ao desempe n h o de m u i t o s d i s p o s i t i v o s eletrônicos em m i c r o o n d a s . Esse p r o c e s s o p e r m i t e s u p e r a r [ 2 ] a i m p o r t a n t e limitação em, l a r g u r a de f a i x a d a s válvulas de m i c r o o n d a s do t i p o " c a v i d a d e " , q u e o c o r r e p o r c a u s a da restrição do p r o d u t o g a n h o x l a r g u r a de f a i x a , característico das e s t r u t u r a s r e s s o n a n t e s . A l t o s g a n h o s através de uma m a i o r l a r g u r a de f a i x a são o b t i d o s f a z e n d o - s e o f e i x e eletrônico i n t e r a g i r com os cam p o s de uma e s t r u t u r a periódica não r e s s o n a n t e ao l o n g o de um d e t e r m i n a d o c o m p r i m e n t o .
1. 2 . 1 - Revisão da L i t e r a t u r a
As e s t r u t u r a s periódicas estão p r e s e n t e s em m u i t o s r a mos da ciência. A e s t r u t u r a c r i s t a l i n a de um sólido, p o r e x e m p l o , ê periódica, t e n d o se g e n e r a l i z a d o a designação
"ondas de B l o c h " [ 3 ] p a r a as o n d a s q u e podem se p r o p a g a r numa e s t r u t u r a periódica, em homenagem ao físico q u e as e s t u d o u n o s sólidos c r i s t a l i n o s .
Já em princípios do século, ao e s t u d a r a transmissão telefônica, C a m p b e l l [ 4 ] o b s e r v a v a q u e a s características de propagação de uma l i n h a de transmissão se a l t e r a v a m q u a n do a l i n h a e r a c a r r e g a d a com reatâncias c o n e c t a d a s em série o u em p a r a l e l o , espaçadas em i n t e r v a l o s r e g u l a r e s [ 5 ] . Em
5 -g e r a l , a adição de c a r r e -g a m e n t o periódico r e a t i v o a q u a l q u e r e s t r u t u r a p r o p a g a n t e , p r o d u z um decréscimo n a v e l o c i dade de f a s e d a s o n d a s q u e se p r o p a g a m através d e l a . P o s t e r i o r m e n t e , a análise d e s s a s e s t r u t u r a s periõda\ c a s f o i e s t e n d i d a p a r a a f a i x a d a s m i c r o o n d a s [ 6 J , [ 7 ] , [8] s e n d o e s t u d a d a s em g u i a s de o n d a e a p l i c a d a s ã Eletrônica das M i c r o o n d a s . A análise d e e s t r u t u r a s periódicas vem s e n do u t i l i z a d a como método de e s t u d o d o s r e s s o a d o r e s óticos
[ 9 ] e, m a i s r e c e n t e m e n t e , " s t r i p l i n e s " o u " m i c r o s t r i p s " aco p i a d a s e c i r c u i t o s i n t e g r a d o s de m i c r o o n d a s [ l O ] têm s i d o a n a l i s a d o s em t e r m o s d a s o n d a s de B l o c h .
Os métodos de análise de e s t r u t u r a s periódicas e n c o n t r a d o s n a l i t e r a t u r a , b a s e i a m - s e no e s t u d o d o s campos e l e tromagnêticos n a e s t r u t u r a (análise p o r campos) o u n o t r a t a m e n t o p o r c i r c u i t o s e q u i v a l e n t e s (análise p o r c i r c u i t o s ) . As v a n t a g e n s e limitações d o s d o i s métodos são a b o r d a d o s no Capítulo I I I d e s t e t r a b a l h o . Em 1 9 8 0 , P e r i n i [ l l ] a n a l i s o u uma l i n h a de t r a n s r a i s são c a r r e g a d a p e r i o d i c a m e n t e u t i l i z a n d o - s e d o s polinómios de C h e b y s c h e v p a r a e x p r e s s a r o s s e u s parâmetros de t r a n s m i s são. Em 1 9 8 1 , S a f a v i - N a i n i e M a c p h i e [ 1 2 ] , [ 1 3 ] a p r e s e n t a ram uma técnica de resolução de p r o b l e m a s de e s p a l h a m e n t o em junções em g u i a s de o n d a s , b a s e a d a na L e i da C o n s e r v a
ção d a Potência C o m p l e x a . E s t e método p e r m i t e a obtenção de soluções f o r m a l m e n t e e x a t a s p a r a p r o b l e m a s de d e s c o n t i n u i d a d e s em g u i a s de o n d a s . 0 p r e s e n t e t r a b a l h o f o r m u l a teórica m e n t e , p e l a Técnica da Conservação,da Potência C o m p l e x a , os p r o b l e m a s d a l i n h a de transmissão de p l a n o s p a r a l e l o s e do g u i a de o n d a s r e t a n g u l a r , c a r r e g a d o s com d i a f r a g m a s e s p e s s o s . 1.2.2 - Aplicações As e s t r u t u r a s periódicas e n c o n t r a m aplicação, p r i n c ; L p a l m e n t e , n o s d i s p o s i t i v o s eletrônicos de m i c r o o n d a s c u j o desempenho ê b a s e a d o n a interação p r o l o n g a d a e n t r e uma o n d a eletromagnética l e n t a e um f e i x e eletrônico. A n a t u r e z a r e cíproca d a interação elêtron-campo [ 2 ] f a z com q u e h a j a um f l u x o líquido de potência do f e i x e p a r a a o n d a bem como da o n d a p a r a o f e i x e . E s s a p r o p r i e d a d e d e t e r m i n a o c o m p o r t a m e n t o d o s d i s p o s i t i v o s a t i v o s de m i c r o o n d a s . Se o f l u x o de po-tência ê do f e i x e p a r a a o n d a , o d i s p o s i t i v o f u n c i o n a como um a m p l i f i c a d o r , e s o b c e r t a s circunstâncias, como um o s c i l a d o r . Se o c o r r e o i n v e r s o , o d i s p o s i t i v o se c o m p o r t a como um a c e l e r a d o r .
A l g u m a s aplicações típicas são :
(a) os TWT's ( " t r a v e 1 1 i n g - w a v e t u b e s " ) , q u e são vãlvu l a s a m p l i f i c a d o r a s de o n d a s p r o p a g a n t e s .
7 -d o r e s -de o n -d a s r e g r e s s i v a s . ( c ) o s BWO's ( b a c k w a r d - w a v e o s c i l l a t o r s " ) , o s c i l a d o r e s de o n d a s r e g r e s s i v a s . (d) o s a c e l e r a d o r e s l i n e a r e s de partículas ( e m p r e g a dos em Física N u c l e a r ) e o s a m p l i f i c a d o r e s p a r a métricos a e s t a d o sólido. (e) o s o s c i l a d o r e s m a g n e t r o n e o u t r o s d i s p o s i t i v o s do t i p o m a g n e t r o n .
O u t r a s aplicações de e s t r u t u r a s periódicas são:
(a) como " s t r i p l i n e s " e " m i c r o s t r i p s " a r r a n j a d a s pe r i o d i c a m e n t e e c i r c u i t o s i n t e g r a d o s de m i c r o o n d a s e n v o l v e n d o p e r i o d i c i d a d e .
(b) como a c o p l a d o r e s de modos, função o b t i d a p e r t u r b a n d o - s e l e v e m e n t e , de f o r m a periódica, as p a r e d e s de um g u i a de o n d a s c i r c u l a r [ 1 4 ] .
(c) como dielétricos a r t i f i c i a i s , d i s p o s i t i v o s óticos e quase-õticos, superfícies dicrõicas p a r a a n t e n a s r e f l e t o r a s e r e d o m a s [ 1 5 J .
(d) como " c h o k e s " c o r r u g a d o s p a r a s i s t e m a s de a q u e c i m e n t o p o r m i c r o o n d a s [ 1 6 ] , [ 1 7 ] , i n d u s t r i a i s , do mestiços, científicos e médicos.
1.3 - Organização da T e s e
E s t e t r a b a l h o compõe-se de 6 capítulos e 5 apên d i c e s . A s e g u i r , c a d a capítulo é d e s c r i t o b r e v e m e n t e .
1., O Capítulo 1 a p r e s e n t a a formulação do p r o b l e m a , uma r e visão d a l i t e r a t u r a r e l a c i o n a d a às e s t r u t u r a s periódicas e a l g u m a s aplicações típicas. J u s t i f i c a - s e a utilização de e s t r u t u r a s periódicas p a r a a obtenção de "ondas l e n t a s " , c o n c l u i n d o com uma descrição s u c i n t a d o s capítulos do t r a b a l h o .
2 . No Capítulo 2 são a p r e s e n t a d o s os c o n c e i t o s básicos r e l a t i v o s às e s t r u t u r a s periódicas, características g e r a i s , classificação e p r o p r i e d a d e s . Expõe-se o T e o r e m a de F i o q u e t e os c o n c e i t o s de harmônico e s p a c i a l , v e l o c i d a d e de f a s e e v e l o c i d a d e de g r u p o . F i n a l m e n t e , d i s c u t e - s e o d i a g r a m a w - 3, q u e r e p r e s e n t a g r a f i c a m e n t e a informação c o n t i d a n a equação característica de 3 d a e s t r u t u r a .
3. O Capítulo 3 d e s c r e v e d o i s métodos clássicos de análise de e s t r u t u r a s periódicas. I n i c i a l m e n t e , a análise p o r campos eletromagnéticos ê m o s t r a d a (e a p l i c a d a ao g u i a de o n d a s de p l a n o s p a r a l e l o s c a r r e g a d o p e r i o d i c a m e n t e ) com s u a s v a n t a g e n s , d i f i c u l d a d e s e limitações. A s e g u i r , d i s c u t e - s e a análise p o r c i r c u i t o s e q u i v a l e n t e s , a p l i c a n do-a ao g u i a periódico de p l a n o s p a r a l e l o s e c h e g a n d o - s e ao d i a g r a m a co - 3 a p r o x i m a d o d a e s t r u t u r a . O mesmo é
9
-f e i t o p a r a o g u i a r e t a n g u l a r p e r i o d i c a m e n t e c a r r e g a d o . 0 c a p i t u l o c o n c l u i com uma apreciação q u a l i t a t i v a d a i n teração d e modos de o r d e m s u p e r i o r .
4. A Técnica d a Conservação d a Potência C o m p l e x a é o a s s u n t o d o C a p i t u l o 4. 0 o b j e t i v o d a CCPT ( " C o n s e r v a t i o n Com p l e x Power T e c h n i q u e " ) ê a determinação d a m a t r i z de e s p a l h a m e n t o [ S j d a junção e n t r e d o i s g u i a s de o n d a s c i l l n d r i c o s u n i f o r m e s , p e r m i t i n d o a obtenção de soluções f o r m a l m e n t e e x a t a s . N e s t e c a p i t u l o a técnica ê d e s c r i t a , s e n d o d e f i n i d a s a s m a t r i z e s necessárias à s u a aplicação, as q u a i s serão úteis n a resolução d e e s t r u t u r a s periõdi_ c a s p e l a CCPT.
5. No capítulo 5, a Técnica d a Conservação d a Potência Com p l e x a ê a p l i c a d a a uma l i n h a d e transmissão d e p l a n o s p a r a l e l o s , c a r r e g a d a c a p a c i t i v a m e n t e com d i a f r a g m a s e s p e s s o s . A utilização d a Técnica d a M a t r i z d e E s p a l h a m e n t o G e n e r a l i z a d a p e r m i t e a determinação d a m a t r i z t r a n s m i s são d e o n d a s d a célula unitária d a e s t r u t u r a . I m p o n d o - s e a condição d e p e r i o d i c i d a d e d e o n d a , obtém-se a equação m a t r i c i a l d e a u t o v a l o r e s d o s modos d a e s t r u t u r a periõ d i c a , a q u a l é r e s o l v i d a p e l a aplicação d o a l g o r i t m o OZ
[ 3 4 ] . A resolução d e e s t r u t u r a s periódicas p e l a CCPT é a i n d a i l u s t r a d a p e l o c a s o d o g u i a d e o n d a s r e t a n g u l a r p e r i o d i c a m e n t e c a r r e g a d o .
E s t e capítulo a p r e s e n t a as características g e r a i s das e s t r u t u r a s periódicas, classificação e p r o p r i e d a d e s . 0 Teo rema de F l o q u e t , f e r r a m e n t e f u n d a m e n t a l n a análise de e s t r u t u r a s periódicas, ê e x p o s t o , j u n t a m e n t e com o c o n c e i t o de harmônico e s p a c i a l . Parâmetros como v e l o c i d a d e de f a s e e v e l o c i d a d e de g r u p o são a p r e s e n t a d o s . F i n a l m e n t e , d i s c u t e - s e o d i a g r a m a to - 3, q u e r e p r e s e n t a g r a f i c a m e n t e a informação c o n t i d a n a equação característica de 3 d a e s t r u t u r a . I n i c i a l m e n t e , o d i a g r a m a to - 3 é a p r e s e n t a d o e d i s c u t i d o p a r a um g u i a de o n d a s v a z i o e, a s e g u i r , a n a l i s a - s e a c a r a c t e rística de dispersão de um g u i a de o n d a s cilíndrico c a r r e g a d o p e r i o d i c a m e n t e , s a l i e n t a n d o - s e os c a s o s - l i m i t e ( g u i a v a z i o e c a v i d a d e s ) .
2.1 - E s t r u t u r a s Periódicas
As e s t r u t u r a s periódicas a s e r e m e s t u d a d a s n e s t e t r a b a l h o são l i n h a s de transmissão o u g u i a s de o n d a s c a r r e g a d o s p e r i o d i c a m e n t e com obstáculos idênticos, e s u a c o n s t r u
l i
-ção ê f e i t a através d a liga-ção em c a s c a t a de d e s c o n t i n u i d a des i g u a l m e n t e espaçadas n a l i n h a de transmissão o u no g u i a de o n d a s .
As e s t r u t u r a s de " o n d a l e n t a " n a f o r m a de g u i a s de o n das c a r r e g a d o s p e r i o d i c a m e n t e , são as q u e a p r e s e n t a m m a i o r i n t e r e s s e prático. Suas p r i n c i p a i s v a n t a g e n s são: r i g i d e z mecânica, a l t a dissipação de c a l o r e considerável impedân c i a de a c o p l a m e n t o em b a i x a s t a x a s de ( c / v ) . O u a n t o m a i s P a l t a a impedância de a c o p l a m e n t o TWT, p o r e x e m p l o . l ] , m a i o r o g a n h o de um Tomando-se d o i s p l a n o s s e c c i o n a i s r e t o s d a e s t r u t u r a , d e s d e q u e e n t r e e l e s e s t e j a c o n t i d a a d e s c o n t i n u i d a d e , ê ob t i d a a célula unitária d a e s t r u t u r a . Uma e s t r u t u r a periódi^ c a i n f i n i t a p o d e s e r c o n s i d e r a d a , p o r t a n t o , como uma l i g a ção em c a s c a t a de um número i n f i n i t o de células unitárias.
A s e g u i r , são m o s t r a d o s a l g u n s t i p o s de d e s c o n t i n u i d a de m a i s comuns q u e podem o c o r r e r em l i n h a s de transmissão e g u i a s de o n d a s .
A F i g u r a 2 . 1 m o s t r a j a n e l a s metálicas d e l g a d a s , c o l o c a d a s s e g u n d o a m e n o r dimensão t r a n s v e r s a l d o g u i a . T a i s e l e m e n t o s c o m p o r t a m - s e como susceptâncias i n d u t i v a s [ 18 ] q u a n d o i n c i d e s o b r e e l e s o modo d o m i n a n t e . V a l o r e s a p r o x i _ mados p a r a a susceptância i n d u t i v a n o r m a l i z a d a d e s s e s obstã c u l o s são disponíveis n a l i t e r a t u r a [ 1 9 ] .
m a i o r dimensão t r a n s v e r s a l do g u i a ( F i g . 2 . 2 ) , são o b t i d o s d i a f r a g m a s c a p a c i t i v o s , o s q u a i s , s o b incidência do modo do m i n a n t e , c o m p o r t a m - s e como susceptâncias c a p a c i t i v a s . A l i t e r a t u r a a p r e s e n t a v a l o r e s a p r o x i m a d o s d e s s a s susceptân c i a s . Os d i a f r a g m a s m o s t r a d o s n a s F i g u r a s ( 2 . 1 ) e ( 2 . 2 ) po-dem a p r e s e n t a r e s p e s s u r a não desprezível ao l o n g o d a d i r e ção a x i a l do g u i a , c o n s t i t u i n d o - s e o s d i a f r a g m a s d e l g a d o s em c a s o s p a r t i c u l a r e s d e s s e s d i a f r a g m a s e s p e s s o s . DescontjL n u i d a d e s s e m e l h a n t e s às a p r e s e n t a d a s n a s F i g u r a s ( 2 . 1 ) e
( 2 . 2 ) podem e x i s t i r numa l i . a de transmissão de p l a n o s p a r a l e l o s . O u t r o s t i p o s de d e s c o n t i n u i d a d e são a p r e s e n t a d o s n a 2.3. E s s a s junções f o r a m a n a l i s a d a s p o r S i c h e M a c P h i e e S a f a v i - N a i n i e M a c P h i e [ 2 1 ] . Quando t a i s d e s c o n t i n u i d a d e s [ 2 2 ] o c o r r e m , a i n t e r v a l o s r e g u l a r e s , ao l o n g o de uma l i n h a de transmissão o u g u i a de o n d a s , são o b t i d a s e s t r u t u r a s periódicas do t i p o d a s que serão o b j e t o de análise n e s t e t r a b a l h o .
1 3
-(a) ( b )
F i g . 2 . 2 E l e m e n t o s c a p a c i t i v o s em p a r a l e l o ( a ) D i a f r a g m a simétrico
( a ) ( b ) F i g . 2.3 ( a ) D e g r a u no p l a n o E em um g u i a de o n d a s r e t a n g u l a r o u de p l a c a s p a r a l e l a s (b) A b e r t u r a r e t a n g u l a r ( d e l g a d a o u e s p e s s a ) em um g u i a de o n d a s r e t a n g u l a r
1 5
-2.1.1 - Classificação d a s E s t r u t u r a s Periódicas
E possível e n q u a d r a r as e s t r u t u r a s periódicas em d o i s t i p o s básicos [ l 8 ] , com as s e g u i n t e s características, r e s p e c t i v a m e n t e :
( a ) as p r o p r i e d a d e s elétricas são contínuas, mas v a r i a m p e r i o d i c a m e n t e ao l o n g o d a l i n h a de t r a n s m i s são o u g u i a de o n d a s . Um e x e m p l o , ê um g u i a de o n d a s cilíndrico c h e i o com um m a t e r i a l dielétrico c u j a p e r m i s s i v i d a d e v a r i a p e r i o d i c a m e n t e com a distância l o n g i t u d i n a l .
(b) as l i n h a s de transmissão o u g u i a s de o n d a s são c a r r e g a d o s p e r i o d i c a m e n t e com obstáculos idênti_ c o s . N e s s e c a s o , as e s t r u t u r a s têm condições d e c o n t o r n o p e r i ó d i c a s . P o r e x e m p l o , um g u i a de o n das c a r r e g a d o , em i n t e r v a l o s r e g u l a r e s , com d i a f r a g m a s idênticos. 2.1.2 - P r o p r i e d a d e s G e r a i s d a s E s t r u t u r a s Periódicas E x i s t e m p r o p r i e d a d e s comuns a t o d a s as e s t r u t u r a s pe riõdicas [ 3 ] q u e as c a r a c t e r i z a m como e s t r u t u r a s d e f i l t r a gem e como e s t r u t u r a s d e o n d a l e n t a .
em q u e as o n d a s se p r o p a g a m sem s o f r e r atenuação (sem l e v a r em consideração as p e r d a s n o s c o n d u t o r e s o u no dielétrico): são as f a i x a s de p a s s a g e m o u " p a s s b a n d " . E s s a s f a i x a s de p a s s a g e m são s e p a r a d a s p o r f a i x a s de frequência em q u e não há propagação de o n d a s , o u o n d e as mesmas são f o r t e m e n t e a t e n u a d a s ( f a i x a s de rejeição o u " s t o p b a n d " ) . O q u e c a r a c t e r i z a as e s t r u t u r a s periódicas como e s t r u t u r a s de o n d a l e n t a ê o f a t o de q u e através d e l a s p r o p a g a m -se o n d a s com v e l o c i d a d e s de f a s e b a s t a n t e i n f e r i o r e s ã velo-c i d a d e d a l u z no espaço l i v r e . 2.2 - T e o r e m a de F l o q u e t e Harmónicos E s p a c i a i s 0 e s t u d o do c o m p o r t a m e n t o d a s e s t r u t u r a s periódicas é b a s e a d o p r i n c i p a l m e n t e n o T e o r e m a d a P e r i o d i c i d a d e de F i o q u e t [ 2 3 ] , [ 2 4 ] , o q u a l se a p l i c a a s i s t e m a s q u e são perió d i c o s n a direção de propagação. Na r e a l i d a d e , o e s t u d o de F l o q u e t t r a t a de equações d i f e r e n c i a i s com c o e f i c i e n t e s pe riõdicos. 0 c a s o de condições de c o n t o r n o periódicas é uma extensão d e s s e e s t u d o [ 3 ] . O T e o r e m a de F l o q u e t e s t a b e l e ce q u e :
"A cLiòtAibulção do empo zlztAomaQnQ.ti.co em um plano [òeccionaZ netü) anbiXAÔKlo de uma t&tnutuAa pciíÓdica, pafia um dado modo
de. oòcllação em uma dada ^nequência pode cü^e.hÃJL, no máximo pon.
-17-eÂon&ti fietoò) que dUtem {do plano de neieneneia.) um múltiplo
InteiAo de um penlodo " {Soohoo, [2] , p. 100).
Esse T e o r e m a e x p r e s s a o f a t o de q u e , em q u a l q u e r l i n h a periódica i n f i n i t a ( l i n h a de transmissão o u g u i a de o n d a s ) a distribuição do campo d e v e s e r periódica, uma v e z que as f r o n t e i r a s físicas são periódicas [ 2 5 ] . O s campos em uma secção r e t a d i f e r e m d o s campos n a s secções v i z i n h a s s o m e n t e p o r uma c o n s t a n t e c o m p l e x a m u l t i p l i c a t i v a .
- - * • - » •
S e j a um campo eletromagnético (E o u H) p r o p a g a n d o - s e em uma e s t r u t u r a periódica de período L, no s e n t i d o de z po s i t i v o , com uma c o n s t a n t e dc propagação y .
P e l o T e o r e m a de F l o q u e t , t e m - s e , p a r a o campo elétri_ c o ,
Ê(x,y,z) = e yZ Ep ( x , y , z ) ( 2 . 1 ]
o n d e É é uma função periódica de z com período L. I s t o é:
E ( x , y , z ) = E ( x , y , z + n L ) ( 2 . 2 ) P P
com n = 0 , ± 1 , ± 2 ,
E x p a n d i n d o em uma série de F o u r i e r ( n o e s p a ç o ) , vem:
. 2 n i T Z
± / ^ +°° ± , . — i
Ep( x , y , z ) = £ Ep n(X 'Y) 6 L ( 2 . 3 ) n=_oo
o n d e , u t i l i z a n d o a p r o p r i e d a d e de o r t o g o n a l i d a d e d a função e x p o n e n c i a l , . + i / h j 1 2imrz Ep m(x,Y) = ~ / Ep (x' y 'z) eJ L d z ( 2 . 4 ) L J o P o r t a n t o , ->- - +°° _ • 2nirz E ( x , y , z ) = e y Z E E U , y ) e : _L ( 2 . 5 ) n=-°° P
e o campo em uma e s t r u t u r a periódica p o d e s e r r e p r e s e n t a d o p o r : + 0O E ( x , y , z ) = E E ( x , y ) e ~jBnZ ( 2 . 6 ) n=-°° P o n d e se f e z y = j BQ , i n d i c a n d o propagação de o n d a s ( f a i _ x a de p a s s a g e m ) sem p e r d a s n a e s t r u t u r a periódica e 6 = 3 + — ( 2 . 7 ) n o l n = 0, ± 1 , ± 2 , Cada t e r m o de ( 2 . 6 ) é d e n o m i n a d o harmônico e s p a c i a l , uma expressão c o e r e n t e com o caráter harmônico d a série de F o u r i e r p a r a um s i s t e m a periódico n o espaço. Os harmônicos e s p a c i a i s são a i n d a c h a m a d o s harmônicos de H a r t r e e o u modos de F l o q u e t . As funções E ^n( x , y ) são as a m p l i t u d e s d o s harmô n i c o s e s p a c i a i s , e 3n (função d a f r e q u ê n c i a ) , é a c o n s t a n t e
de f a s e do n-ésimo modo, s e n d o " n " chamado número n i c o .
Um harmônico e s p a c i a l ê uma o n d a p a r c i a l d a função de o n d a c o m p l e t a . T o d o s o s harmônicos e s p a c i a i s são necessã r i o s p a r a s a t i s f a z e r a s condições de c o n t o r n o , e s t a n d o p r e s e n t e s s i m u l t a n e a m e n t e em uma e s t r u t u r a periódica.
Ê i m p o r t a n t e o b s e r v a r q u e harmônicos e s p a c i a i s são m u i t o d i f e r e n t e s d o s modos em um g u i a de o n d a s . Um modo em um g u i a de o n d a s p o d e e x i s t i r i n d e p e n d e n t e m e n t e d o s o u t r o s modos. Cada modo no g u i a de o n d a s s a t i s f a z às condições de c o n t o r n o , i s o l a d a m e n t e . Ao contrário, s o m e n t e a série i n f i n i t a de harmônicos e s p a c i a i s p o d e s a t i s f a z e r as condições de c o n t o r n o em uma e s t r u t u r a periódica. -19-harmô 2.3 - V e l o c i d a d e de F a s e , V e l o c i d a d e de Grupo e Harmônicos E s p a c i a i s Campos v a r i a n d o h a r m o n i c a m e n t e n o t e m p o são p r o p o r c i o j (cot - 3 z ) , n a x s a eJ , no c a s o sem p e r d a s . ' j ( w t - 3 z ) _ e J w [ f - ( 3 / t o ) z ] ^2 o q u e i n d i c a q u e ( w / 3 ) c o r r e s p o n d e a a l g u m t i p o de v e l o c i d a d e .
v = ai/3 é chamada v e l o c i d a d e de f a s e , a v e l o c i d a d e com q u e um p l a n o de f a s e c o n s t a n t e s e p r o p a g a . I s t o ê : t - ( B A O z = c o n s t a n t e , e dz to — « V = - • ( 2 . 9 ) d t p B O b s e r v e - s e q u e o c o n c e i t o de v e l o c i d a d e de f a s e é a plicãvel s o m e n t e a oscilações monocromáticas, i s t o ê, o n d a s periódicas de duração i n f i n i t a , c a r a c t e r i z a d a s p o r uma u n i ca frequência 10. Já p a r a um t r e m de p u l s o s de c o m p r i m e n t o f i n i t o , q u e não p o d e s e r r e p r e s e n t a d o [ 2 ] em uma f o r m a h a r mônica s i m p l e s , o t e r m o " v e l o c i d a d e de f a s e " p e r d e s e u si£ n i f i c a d o p r e c i s o .
A equação ( 2 . 6 ) m o s t r a q u e o campo em uma e s t r u t u r a periódica p o d e s e r e x p a n d i d o como uma série i n f i n i t a de o n d a s , t o d a s n a mesma frequência mas com d i f e r e n t e s v e l o c i d a des de f a s e v , uma p a r a c a d a harmônico e s p a c i a l .
pn c r v - = 2 ( 2 . 1 0 ) ^ *» 3 + 2 n , o n = 0, ±1, ± 2 , Supõe-se BQ e n p o s i t i v o s , p a r a e f e i t o de análise de ( 2 . 1 0 ) . O b s e r v a - s e q u e v d e c r e s c e p a r a c r e s c e n t e s v a l o r e s ^ p n
de n. P o r t a n t o , ê possível o b t e r , com a d e q u a d o " n " , uma o n d a c u j a v e l o c i d a d e de f a s e s e j a i n f e r i o r â v e l o c i d a d e d a l u z no espaço l i v r e ( c ) , ao contrário do q u e o c o r r e , p o r
2 1 -e x -e m p l o , -em um g u i a d-e o n d a s "não c a r r -e g a d o " , o n d -e v é s-em P p r e m a i o r do q u e c, como m o s t r a a equação ( 1 . 1 ) . E s s e f a t o e x p l i c a a característica de o n d a l e n t a d a s e s t r u t u r a s com c a r r e g a m e n t o periódico, a b r i n d o a p o s s i b i l i d a d e de r e a l i z a ção de d i s p o s i t i v o s a t i v o s de m i c r o o n d a s , q u e n e c e s s i t a m da sincronização e d a interação e n t r e o n d a e f e i x e eletrônico.
A v e l o c i d a d e de f a s e v será n e g a t i v a s e m p r e q u e 8 pn 3 r ^ n f o r n e g a t i v o . Q u a n t o m a i o r o número harmônico " n " , m a i o r a c o n s t a n t e de f a s e 3' e, p o r t a n t o , m e n o r s u a v e l o c i d a d e de f a s e v n p n Quando o número de harmônicos c r e s c e [ l ] i n d e f i n i d a m e n t e , a
v e l o c i d a d e de f a s e t e n d e a z e r o . O harmônico e s p a c i a l com a m a i s a l t a v e l o c i d a d e de f a s e é chamado de componente f u n d a m e n t a l d e H a r t r e e e, o r d i n a r i a m e n t e , c o r r e s p o n d e ao c a s o de n = 0. Quando i s s o o c o r r e , 6 a c o n s t a n t e de f a s e do harmônico f u n d a m e n t a l , é i g u a l a B , q u e é função d a frequência. Com 3D > 0, r e s u l t a : ( a ) p a r a n > 0, 3n > 0, v p n > 0. A propagação de o n da o c o r r e n a direção p o s i t i v a d o s z e r e f e r e - s e aos r e s p e c t i v o s harmônicos e s p a c i a i s como ondas» p r o g r e s s i v a s ( o u harmônicos p r o g r e s s i v o s ) .
(b) p a r a ti < 0, 3R < O, v ^n < 0. A propagação o c o r r e na direção n e g a t i v a d o s z, e m b o r a a transferên c i a de e n e r g i a s e j a , como no c a s o ( a ) , n a d i r e ção + z . Os harmônicos e s p a c i a i s c o r r e s p o n d e n t e s são chamados o n d a s r e g r e s s i v a s ( o u harmônicos r e g r e s s i v o s ) . A equação ( 2 . 1 0 ) p o d e s e r e s c r i t a [ l ] como v = V ( 2 . 1 1 ) p n po T , r ^ L + nX o n = 0, ±1, ±2, .... o n d e : L r e p r e s e n t a a p e r i o d i c i d a d e e s p a c i a l da e s t r u t u r a . v e X são, r e s p e c t i v a m e n t e , a v e l o c i d a d e de f a s e pO O i tf e o c o m p r i m e n t o de o n d a ( n a e s t r u t u r a p e r i ódica) do harmônico e s p a c i a l f u n d a m e n t a l . Em um g u i a de o n d a s u n i f o r m e , a v e l o c i d a d e de p r o p a gação de e n e r g i a é a v e l o c i d a d e de g r u p o , d a d a p o r v = — , g de s e m p r e i n f e r i o r e no máximo i g u a l ã v e l o c i d a d e d a l u z .
A v e l o c i d a d e d e g r u p o em uma e s t r u t u r a periódica sem p e r d a s é a v e l o c i d a d e do f l u x o de e n e r g i a ao l o n g o da e s t r u t u r a , e é d a d a p o r
v . * a =(^À = (^°\ = = v ( 2 . i 2 )
g n d3 \ d j \ dca/ d 3n g
)
que é i n d e p e n d e n t e de n e , p o r t a n t o , em uma d a d a c i a , ê a mesma p a r a t o d o s o s harmônicos e s p a c i a i s . O b s e r v a - s e q u e a s o n d a s r e g r e s s i v a s , r e f e r i d a s a n t e r i o r m e n t e , têm v ^n e v g em direções o p o s t a s , o c o r r e n d o o contrário com as o n d a s p r o g r e s s i v a s .D e s s e modo, o campo q u e s e p r o p a g a ao l o n g o de uma e s t r u t u r a periódica p o d e s e r c o n s i d e r a d o como uma s u p e r p o s i ção de um número i n f i n i t o de harmônicos e s p a c i a i s , t o d o s t e n d o a mesma frequência e v e l o c i d a d e de g r u p o , mas moven d o - s e com v e l o c i d a d e s de f a s e ( p o s i t i v a s e n e g a t i v a s ) d i f e r e n t e s . 2.4 - O D i a g r a m a to - B A n a t u r e z a d a propagação de o n d a no i n t e r i o r de uma e s t r u t u r a periódica p o d e s e r a p r o f u n d a d a através do s e u d i a g r a m a to - B , também chamado d i a g r a m a de B r i l l o u i n o u c a r a c terística de dispersão da e s t r u t u r a [ l ] , uma v e z q u e B v a r i a com a frequência. A e s t r u t u r a de b a n d a s de e n e r g i a em e s t r u t u r a s c r i s t a l i n a s periódicas f o i a p r e s e n t a d a p o r B r i l _
l o u i n [ 3 ] em d i a g r a m a s d e s s e t i p o .
T o d a a informação c o n t i d a n a equação característica de B , o b j e t o c e n t r a l da análise de uma e s t r u t u r a periódica, ê r e p r e s e n t a d a n e s s e d i a g r a m a frequência-fase to-B .
2.4.1 - D i a g r a m a co-3 p a r a um G u i a de Ondas V a z i o
A característica de dispersão [ 2 ] p o d e s e r m e l h o r com p r e e n d i d a traçando-a, p o r e x e m p l o , p a r a um g u i a de o n d a s r e t a n g u l a r t e n d o o vácuo como m e i o i n t e r i o r . Ê válida a relação 2 . 2 2 ( 2 . 1 3 ) Y = k - iii l i £ c o o o n d e " y " é a c o n s t a n t e de propagação, " kc" ê o número de o n da de c o r t e , "oo" é a frequência a n g u l a r , u e £q são a p e r m e a b i l i d a d e e a p e r m i s s i v i d a d e do vácuo, r e s p e c t i v a m e n t e . P a r a um m e i o sem p e r d a s , y = j 8 • P o r t a n t o , w / i c = A2 + B2 ( 2 . 1 4 ) o o c Como k = oo / c , o n d e " ü j " é a frequência a n g u l a r de c c c c o r t e e " c " ê a v e l o c i d a d e d a l u z no v á c u o , vem: / co 2 2 Vl - (-2) ( 2 . 1 5 ) c
Através d a equação a c i m a , ê possível traçar o d i a g r a ma oo - 3 p a r a o g u i a de o n d a s , m o s t r a d o n a F i g . ( 2 . 4 ) .
-25-a) 3 p o d e a s s u m i r v a l o r e s p o s i t i v o s ( i n d i c a n d o p r o p a gação no s e n t i d o + z ) e v a l o r e s n e g a t i v o s ( i n d i c a n do propagação no s e n t i d o - z ) . b ) U) é a frequência de c o r t e , p a r a a q u a l 3 = 0. c) Em frequências m u i t o d i s t a n t e s do c o r t e , i s t o é , oo > > w c / a relação e n t r e to e 3 t e n d e a t o r n a r - s e l i . n e a r , e v = — = c. D a í , as assíntotas da hipérbo l e to - 3 têm t a n g e n t e s ( + c ) e (-c) , como i n d i c a do n a F i g . ( 2 . 4 ) . d) P a r a q u a l q u e r frequência to^, c o r r e s p o n d e n t e a um p o n t o s o b r e o d i a g r a m a oo - 3 , a v e l o c i d a d e de f a se ê d a d a p e l o v a l o r d a t a n g e n t e â l i n h a traçada da o r i g e m ao p o n t o . I s t o é, v = co^/3-^ = tgcj)^ . Ob s e r v e - s e q u e , no c a s o , v > c. Quando to>>to , v •* c. ^ P c P Em oo = to , v •*• °°
e) P a r a a mesma frequência u>. , a v e l o c i d a d e de g r u p o é d a d a p e l a t a n g e n t e no p o n t o s o b r e o d i a g r a m a . I s t o ê, v = — . O b s e r v e - s e q u e , n o c a s o , v < c .
9 dB g
Quando oo>>to , v -*• c. Em oo = oo , v = 0.
F i g . 2.4 - D i a g r a m a to - 8 p a r a o g u i a de o n d a s
Como, n e s t e c a s o , ^> c, as o n d a s c a r a c t e r i z a d a s pe l o d i a g r a m a to - 0 d a F i g . ( 2 . 4 ) são chamadas "ondas rápi_ d a s " .
Além d i s s o , a relação w/8 ê uma função de to, i s t o é, a v e l o c i d a d e de f a s e d e p e n d e d a frequência, o q u e c a r a c t c r i za o s g u i a s de o n d a s como m e i o s d i s p e r s i v o s . D i f e r e n c i a n d o - s e ( 2 . 1 4 ) , obtêm-se : d to ; d0 tou c u e v o o o o p ( 2 . 1 6 ) D a l , v v = c , q u e ê uma característica d o s g u i a s de p g
2 7
-o n d a s c u j -o m e i -o i n t e r i -o r ê -o vácu-o.
O b s e r v e - s e q u e as r e t a s d e s c r i t a s p o r +c e -c na F i g . ( 2 . 4 ) , c o r r e s p o n d e m a uma e s t r u t u r a de frequência de c o r t e n u l a . Na v e r d a d e , t a i s r e t a s compõem o d i a g r a m a to - 3 de uma l i n h a de transmissão u n i f o r m e p r o p a g a n d o o modo TEM.
2.4.2 - D i a g r a m a to - 3 p a r a um G u i a de Ondas C a r r e g a do P e r i o d i c a m e n t e
No c a s o de e s t r u t u r a s periódicas, c o n h e c i d a a d e p e n dência de 3n com to, a utilização d a s equações ( 2 . 1 0 ) e ( 2 .
12) p e r m i t e d e t e r m i n a r , p o r e x e m p l o , v ^n e v , c u j o compor t a m e n t o p o d e s e r v i s u a l i z a d o a p a r t i r do d i a g r a m a u - 8 , e , a s s i m , s e l e c i o n a r a o n d a c o n v e n i e n t e p a r a uma aplicação p a r t i c u l a r . C o n f o r m e ( 2 . 7 ) , 3n d i f e r e de 3Q a p e n a s p o r um t e r m o i n d e p e n d e n t e da frequência. P o r t a n t o , d e t e r m i n a r 3 (w) ê e q u i v a l e n t e [ 2 ] a d e t e r m i n a r 3 (to) . E n c o n t r a r a relação de
3 com a frequência é o o b j e t i v o c e n t r a l ao a n a l i s a r - s e uma o ^
e s t r u t u r a periódica.
G e r a l m e n t e , é difícil o b t e r uma expressão explícita de 3q como função d a frequência [ 2 6 ] p a r a uma e s t r u t u r a pe
riõdica. No e n t a n t o , a l g u m a s p r o p r i e d a d e s genéricas da r e lacão de 3 ( o u 3 ) com to podem s e r o b t i d a s .
S e j a um g u i a de o n d a s cilíndrico, [ 2 ] de p a r e d e s p e r f e i t a m e n t e c o n d u t o r a s , c a r r e g a d o p e r i o d i c a m e n t e com d i s c o s de e s p e s s u r a i n f i n i t e s i m a l , também p e r f e i t a m e n t e c o n d u t o r e s , a uma distância L um do o u t r o . A e s t r u t u r a é m o s t r a d a na F i g . ( 2 . 5 ) .
Plano 0 Plano 1 Plano m
F i g . 2.5 - G u i a de o n d a s cilíndrico c a r r e g a d o pe r i o d i camen t e .
19) Se não e x i s t e nenhum m a t e r i a l anisotrópico p r e s e n t e , as características de propagação serão recíprocas ( i n d e p e n d e n t e s d a direção de propagação) . E, p o r t a n t o , to será uma função periódica p a r de B , mas não n e c e s s a r i a m e n t e s e n o i d a l .
29) De a c o r d o com a expressão ( 2 . 7 ) , 0n = 3Q + — ^ • I s t o XJ
é, t o d o s o s v a l o r e s d a c o n s t a n t e de f a s e 3 , c o r r e s p o n d e n t e s aos vários harmônicos e s p a c i a i s , podem s e r d e t e r
m i n a d o s v a r i a n d o - s e " n " ( i n t e i r o ) . As c o n s t a n t e s de f a s e , p a r a a mesma frequência to, diferirão umas d a s o u t r a s p o r múltiplos i n t e i r o s de 2 t t / L . P o r t a n t o , u é uma função periódica de B com período 2 t t / L .
39) A v e l o c i d a d e de g r u p o v ^ - dto/dB deve s e r zero em B = m r / L . P a r a e s t e v a l o r de 8 , como B = 2t\/\ (onde X ê
y y o c o m p r i m e n t o de o n d a g u i a d a ) , L = nÀ / 2 . I s t o é, as o n
das r e f l e t i d a s de d i s c o s i g u a l m e n t e espaçados a d i c i o nam-se em f a s e ( i n t e r f e r e m c o n s t r u t i v a m e n t e ) f a z e n d o com q u e nenhuma potência s e j a t r a n s m i t i d a (reflexão t o t a l ) , o q u e c o r r e s p o n d e a v e l o c i d a d e de g r u p o n u l a . Tu do se p a s s a como se t o d a s as impedâncias o f e r e c i d a s pe l a s d e s c o n t i n u i d a d e s f o s s e m t r a n s f e r i d a s p a r a o p l a n o de q u a l q u e r uma d e l a s . A impedância t o t a l , e q u i v a l e n t e a um número i n f i n i t o de impedâncias em p a r a l e l o , t e m o c o m p o r t a m e n t o de um c u r t o - c i r c u i t o . A F i g . ( 2 . 6 ) a p r e s e n t a a característica de dispersão do g u i a p e r i o d i c a m e n t e c a r r e g a d o da F i g . ( 2 . 5 ) , t e n d o B co mo variável i n d e p e n d e n t e e kQ = iú/v~ê^ como variável de p e n d e n t e .
Com relação ao g u i a de o n d a s cilíndrico c a r r e g a d o pe r i o d i c a m e n t e , m o s t r a d o n a F i g . ( 2 . 5 ) , d o i s c a s o s l i m i t e s podem s e r a n a l i s a d o s : 19) q u a n d o b ->-a; i s t o é, não e x i s t e m d i s c o s , e a e s t r u t u r a ê um g u i a v a z i o ( o u g u i a n ã o - p e r t u r b a d o ) . 29) q u a n d o b->-0; i s t o é, o q u e há são c a v i d a d e s cilíndricas, t e n d e n t e s a se f e c h a r , ao l o n g o do g u i a . No p r i m e i r o c a s o , a hipérbole k - 8 p a r a o g u i a não-p e r t u r b a d o ( s i m i l a r a F i g . ( 2 . 4 ) , t e n d o as r e t a s k = |3|
3 1 -como assíntotas e m o s t r a d a em l i n h a s t r a c e j a d a s n a F i g . ( 2 . 6 ) , i n t e r c e p t a o e i x o v e r t i c a l em k = k , como pode s e r o c „ 2 2 2 v i s t o d a equação kQ - 3 = k c • P o r s i m p l i c i d a d e , ê esboça da a p e n a s a hipérbole kQ - B p a r a o modo d o m i n a n t e de p r o pagação. 0 p r i m e i r o c a s o - l i m i t e i n d i c a q u e , em frequências pró x i m a s ã do c o r t e ) do g u i a não-perturbado, o espaçamento L e n t r e as d e s c o n t i n u i d a d e s é p e q u e n o c o m p a r a d o com o com p r i m e n t o de o n d a g u i a d a . D e s s e modo, as d e s c o n t i n u i d a d e s não a f e t a m as características de c o r t e do g u i a [ 2 7 ] . E, p o r t a n t o , n e s s e c a s o , o d i a g r a m a to - 8 p a r a o g u i a c a r r e g a d o c o n f u n d e - s e com o d i a g r a m a to - 3 p a r a o g u i a não-perturbado. No s e g u n d o c a s o - l i m i t e , p o d e - s e d e t e r m i n a r as frequên c i a s de ressonância to das c a v i d a d e s , f a z e n d o L = nÀ /2 ( n g condição de r e s s o n â n c i a ) . Desse modo,
3 = 2tt = rnr ( 2_17) Ag L 2 2 2 S u b s t i t u i n d o ( 2 . 1 7 ) em to u E = 3 + k , vem: o o c / ' f~2 2 un /w oeo = 7 kc + ( n^/L ) A s s i m , o s to 1 s são d e t e r m i n a d o s p e l a interseção d a h ^ pêrbole kQ - 3 de um g u i a v a z i o com a l i n h a v e r t i c a l 3 = — . E s s e s p o n t o s são m a r c a d o s com c r u z e s n a F i g . ( 2 . 6 ) . L
A l g u m a s o u t r a s observações s o b r e o d i a g r a m a oo - S ( o u 3 ) :
a) Quando 3 é n e g a t i v o , v ^ 5 n e g a t i v a . Quando [-', ê p o s i t i v o , Vp é p o s i t i v a . I s t o é, em uma e s t r u t u r a pe riõdica o c o r r e propagação em ambas as direções po s i t i v a e n e g a t i v a , se 3 é p o s i t i v o o u n e g a t i v o , r e s p e c t i v a m e n t e . b) D e p e n d e n d o do v a l o r de 3 , v ^ pode s e r também p o s i t i v a o u n e g a t i v a . C e r c a da m e t a d e d o s harmônicos e s p a c i a i s têm v e l o c i d a d e s de f a s e e de g r u p o o r i e n t a d a s s e g u n d o s e n t i d o s o p o s t o s . São o s harmônicos e s p a c i a i s r e g r e s s i v o s , c i t a d o s na página 22. Quan do as v e l o c i d a d e s de f a s e e de g r u p o têm o mesmo s i n a l , o s harmônicos e s p a c i a i s são d i t o s p r o g r e s s i v o s . E s s a s , são i m p o r t a n t e s p r o p r i e d a d e s d a s e s t r u t u r a s periódicas, e m p r e g a d a s em d i s p o s i t i v o s e letrônicos de o n d a s p r o g r e s s i v a s e de o n d a s r e g r e s s i v a s em m i c r o o n d a s . As seções do d i a g r a m a to - 8 o n d e v < 0 c o r r e s p o n d e m a f l u x o de potência n a d i g reção n e g a t i v a . c) Um g u i a de o n d a s p e r i o d i c a m e n t e c a r r e g a d o , a exem p i o de um g u i a não-carregado, p o s s u i um l i m i t e i n
f e r i o r de frequência, a b a i x o do q u a l nenhuma ener-g i a se p r o p a ener-g a através d e l e . Em oo (frequência de c o r t e ) , c o r r e s p o n d e n t e a k n a F i g . ( 2 . 6 ) , a v e l o c i
3 3
-d a -d e -de g r u p o é n u l a e o c o m p r i m e n t o -de o n -d a g u i a da é i n f i n i t o .
d) Ocorrerá propagação q u a n d o a frequência c r e s c e a c i 'ma de to . N e s s a situação, a v e l o c i d a d e de g r u p o a u
m e n t a e o c o m p r i m e n t o de o n d a g u i a d a d i m i n u i . Se a frequência c o n t i n u a a u m e n t a n d o , c h e g a - s e até k .,
^ c l (ou w c ^ ) / onde o espaçamento L e n t r e d e s c o n t i n u i d a
des a d j a c e n t e s ê m e t a d e do c o m p r i m e n t o de o n d a gui\ a d a , o c o r r e n d o a reflexão t o t a l . Em u ^ ^ , p o r t a n t o , t e m - s e o u t r a frequência de c o r t e , com v e l o c i d a d e de g r u p o n o v a m e n t e n u l a .
e) A u m e n t a n d o a frequência além de ^c^ / há uma f a i x a de frequências em que não há c o n s t a n t e s de f a s e c o r r e s p o n d e n t e s . N e s t a região, não há propagação de e n e r g i a através d a e s t r u t u r a . É uma f a i x a de r e jeição ( o u " s t o p b a n d " ) . f ) As f a i x a s de rejeição a l t e r n a m - s e com f a i x a s de propagação ã m e d i d a q u e a frequência c r e s c e , o q u e e v i d e n c i a as características de f i l t r a g e m de uma e s t r u t u r a periódica. O g u i a de o n d a s p e r i o d i c a m e n t e c a r r e g a d o r e p r e s e n t a um f i l t r o com f a i x a s de r e jeição c o r r e s p o n d e n d o a v a l o r e s r e a i s de y, e f a i x a s de propagação ( o u de p a s s a g e m ) c o r r e s p o n d e n d o a v a l o r e s imaginários d e y .
g) R e f e r i n d o - s e â e s t r u t u r a da F i g . ( 2 . 5 ) , q u a n d o b •+ a, as f a i x a s de rejeição se e s t r e i t a m , c o r r e s p o n d e n d o a uma ampliação, em frequência, das f a i _ x a s de p a s s a g e m . Quando b -> 0, as f a i x a s de passa gem t e n d e m a se a n u l a r , e as c u r v a s d o d i a g r a m a to - 3 degeneram em l i n h a s r e t a s nas frequências de ressonância d a s c a v i d a d e s i n d i v i d u a i s . A F i g . ( 2 . 7 ) m o s t r a um d i a g r a m a to - B típico, com vã r i a s c u r v a s , a p r e s e n t a n d o as p r i m e i r a s f a i x a s de p a s s a g e m e de rejeição. ( i = 1,2,3,...) i n d i c a a frequência de c o r r e i n f e r i o r de i-êsima f a i x a de p a s s a g e m . w g. ( i = 1» 2, 3, . . . ) i n d i c a a frequência de c o r t e s u p e r i o r d a i-êsima f a i x a de p a s s a g e m . F i g . 2.7 - E x e m p l o de um d i a g r a m a to - 3 típico.
