Inequações variacionais aplicadas ao problema do mercado de opções

(1)

Inequa¸

c˜

oes Variacionais Aplicadas ao

Problema do Mercado de Op¸

c˜

oes

V. P. ISRAEL, M. A. RINCON

∗ Instituto de Matem´atica, Universidade Federal do Rio de Janeiro

Caixa Postal 68530, Rio de Janeiro, CEP 21944, Brasil

Resumo

Desde o trabalho clássico de Black e Scholes [2] diversas técnicas para cálcular o valor de op¸cões européias tem sido desenvolvidas. Quando se trata de encontrar o valor de op¸cões americanas as técnicas utilizada precisam mudar de estratégia e se adaptar à possibilidade de exerc´ıcio antecipado caracter´ıstico deste tipo derivativo. Com o intuito de resolver o problema do mercado de op¸cões americanas um sistema de inequa¸cões variacionais é obtido e métodos numéricos sobre este sistema são utiliza-dos. O objetivo deste trabalho é obter o pre¸co da op¸cão americana de venda utilizando o método de elementos finitos e o método de diferen¸cas finitas. Resultados computacionais são apresentados.

Palavras chaves: Método de elementos finitos, mercado de op¸cões, inequa¸cões variacionais

1 Introdu¸

c˜

ao

O problema de encontrar o valor de uma op¸cão americana de venda é equi-valente a obter a solu¸cão de um sistema de inequa¸cões variacionais desde que sua formula¸cão respeite um conjunto determinado de hipóteses.

Devido as caracter´ısticas da solu¸cão do problema estaremos trabalhando em um espa¸co de Sobolev com peso. Isto apresenta uma série de dificuldades matemáticas para obten¸cão desta solu¸cão.

Objetivando reduzir as barreiras que o espa¸co de Sobolev trás será realizado um processo de regulariza¸cão permitindo encontrar a solu¸cão desejada num espa¸co mais simples e por conseguinte possibilitando a elabora¸cão computacional do problema.

Mostra-se que o problema computacional se aproxima do problema exato para boas escolhas da malha e para discretiza¸cões adequadas. Algumas mu-dan¸cas de váriáveis serão feitas para obter um sistema mais simples e facilitar a implementa¸cão computacional. A partir da transforma¸cão do problema original em um problema computacional mais viável é utilizado os métodos de elementos

(2)

finitos e diferen¸cas finitas e assim é obtida a solu¸cão aproximada. Na última se¸cão deste artigo são apresentados os resultados numéricos para valores reais do mercado e é realizada uma simula¸cão que mostre a convergência da solu¸cão como resultado de escolhas cada vez melhores do dom´ınio computacional.

2 Formula¸

c˜

ao do Problema

Deseja-se determinar uma fun¸cão U (X, t) que forne¸ca o valor da op¸cão americana de venda, onde X é o pre¸co do ativo-objeto no tempo t.

A fun¸c˜ao U ´e dada por U (X, t) = sup θ∈T[t, T ] Ep µ e− Rθ t r(s) dsψ(X_θ, t) ¶ (1)

onde θ é o tempo de parada que pertence ao conjunto de tempos de parada T[t, T ], r é o fator da taxa de retorno, ψ é o obstáculo e Xθé uma estimativa do

valor do ativo-objeto no tempo θ.

Desta forma seja o problema variacional derivado da f´ormula de Black e Scholes [2] para m independentes fontes de incerteza. O modelo ´e representado pelo movimento Browniano m-dimensional {Bt}t≥0 definido no espa¸co de

pro-babilidade (Ω,F, P ). Onde F = {Ft}t≥0denota o filtro natural associado com

{Bt}t≥0 e sup˜oe-se que Xt∈ IRn envolve o processo de Itˆo de modo que:

dXs = b(Xs, s) ds + σ(Xs, s) dBs, s > t

Xt = X (2)

onde X ´e determin´ıstico. Considere as seguintes hip´oteses

(H1) O vetor dire¸c˜ao b : IRn_{× [0, ∞) → IR}n ´e de classe C1, 0_(IRn

× [0, ∞)) e possui derivada bX limitada.

(H2) A matriz dispers˜ao σ : IRn × [0, ∞) → IRn×m ´e C2,1_(IRn

× [0, ∞)), limitada e com derivadas σX, σXX e σt limitadas.

(H3) A matriz a ´e coerciva, isto ´e,

∃ η > 0 tal que ²Ta ² _{≥ η k ² k, ∀ ² ∈ IR}n e (X, t)_{∈ IR}n_{×(0, ∞),} onde a ´e uma matriz quadrada de ordem n e a := σ(X, t)T_{.σ(X, t). A}

matriz a ´e conhecida como matriz difus˜ao e σT _{representa a transposta}

de σ.

Observa¸c˜ao: Em particular nota-se que b e σ satisfazem a condi¸c˜ao global de Lipschitz _{k b(x, t) − b(y, t) k + k σ(x, t) − σ(y, t) k ≤ c k x − y k,} ∀ t ∈ [ 0, ∞), x ∈ IRn, y_{∈ IR}n e c > 0.

Sob as hipóteses (H1) - (H3) (ver [5]) existe uma única solu¸cão forte cont´ınua em t de (2).

(3)

Associado ao processo (2), à variável de decisão θ e ao obstáculo ψ, o valor esperado para a fun¸cão prêmio é definido por

JtX(θ) = Ep · e− Rθ t r(s) dsψ(X_θ, θ) ¸ , (3)

e o problema de parada ´e definido por U (X, t) = sup

θ∈T[t, T ]

JtX(θ), (4)

onde T <∞ representa o tempo final, T[t, T ]´e o conjunto dos tempos de parada

em [t, T ]. A fun¸c˜ao e−

Rθ

t r(s) dsψ(X_θ, θ) é denominada fun¸cão prêmio sendo que o

termo exponencial representa a atualiza¸c˜ao no tempo referente a taxa de juros livre de risco.

Pela defini¸c˜ao de U em (4) tem-se U (X, t) = sup θ∈T[t, T ] Ep · e− Rθ t r(s) dsψ(X_θ, θ) ¸ ≥ Ep · e− Rθ t r(s) dsψ(X θ, θ) ¸ , _{∀ θ ∈ [0, T ].} Tomando θ = t tem-se U (X, t) _{≥ E}p[ψ(X, t)] = ψ(X, t),

pois ψ(X, t) ´e um martingal. Logo a fun¸c˜ao

U (X, t) _{≥ ψ(X, t),} _{∀ (X, t) ∈ IR}n_{× [0, T ]} e para t = T tem-se U (X, T ) = ψ(X, T ), _{∀ X ∈ IR}n.

Note que a caracteriza¸cão do valor da op¸cão americana por (4) possibilita o exerc´ıcio antecipado. Isto é, pode-se escolher um tempo de exerc´ıcio θ_{∈ T}[t, T ]

que forne¸ca o maior prêmio. Contudo, ao contrário da op¸cão européia, não é poss´ıvel encontrar a solu¸cão anal´ıtica de (4) pela solu¸cão de uma equa¸cão diferencial parcial, deste modo, faz-se necessário desenvolver o problema de inequa¸cão variacional como é feito a seguir.

2.1 Inequa¸

c˜

ao Variacional

Considere o operador: A = 1₂ n X i,j=1 ∂ ∂Xi µ aij ∂ ∂Xj ¶ − n X j=1 aj ∂ ∂Xj , onde aj = n X i = 1 ∂aij ∂Xj − bj , para j = 1, . . . , n, (5)

(4)

Define-se o espa¸co Wm,p, µ_(IRn_{) = W}m,p, µ_{, denominado espa¸co de Sobolev}

com peso, com a norma k U km,p,µ= (_m X k=0 Z IRn|D k_{U (x)} |p_e−µ|x|_dx )1/p , onde m ´e um inteiro n˜ao negativo, 1≤ p ≤ ∞ e 0 < µ < ∞.

Considerando _{X equipado com a norma k . k}X, o espa¸co Lp([0, T ]; X )

consiste no conjunto das fun¸c˜oes enumer´aveis v : [0, T ]_{→ X tal que} Z T

0 k v k p

X dt ≤ ∞.

Note que as componentes Si do pre¸co do ativo-objeto X = (S1, S2, . . . , Sn)

pertencem ao intervalo ilimitado Si ∈ [0, ∞). Pela defini¸c˜ao do operador A, e

do fato que as componentes Si ∈ [0, ∞) ent˜ao o espa¸co W2, p, µ´e o espa¸co das

solu¸cões admiss´ıveis U ( . , t). Desta forma é natural que o obstáculo ψ( . , t) satisfa¸ca a seguinte condi¸cão.

(H5) O obst´aculo ψ ∈ Lp_{([0, T ]; W}2,p,µ_{), onde p > (n/2) + 1} _e _{ψ ´e}

limitada e n˜ao negativa.

Sob as hip´oteses (H1) - (H5) tem-se o seguinte resultado que pode ser obtido em [1].

Lema 1 Considere o seguinte sistema de inequa¸c˜oes variacionais              ∂U ∂t +AU − rU ≤ 0 e U ≥ ψ, em IR n × [0, T ] µ ∂U ∂t +AU − rU ¶ (ψ_{− U) = 0,} em IRn_{× [0, T ]} U (X, T ) = ψ(X, T ), em IRn. (6)

Então existe uma única solu¸cão U de (6) satisfazendo as seguintes condi¸cões. 1) U ∈ L2_{([0, T ]; H}1 loc) ∩ Lp([0, T ]; W2,p,µ). 2) ∂U ∂t ∈ L 2_{([0, T ]; L}2 loc) ∩ Lp([0, T ]; W0,p,µ).

O Teorema a seguir estabelece uma rela¸c˜ao entre o problema (1) e o problema (6).

Teorema 1 Seja U solu¸c˜ao de (6) ent˜ao U (X, t) = sup θ∈T[t, T ] Ep · e− Rθ t r(s) dsψ(X_θ, θ) ¸ .

(5)

Demonstra¸c˜ao: Seja o processo estoc´astico Mt= e −Rt 0r(s) dsU (X_t, t)− Z t 0 e− Rs 0 r(v) dv µ ∂U ∂t +AU − rU ¶ (Xs, s) ds. ´

E conhecido que o processo_Mt´e um martingal e (Ep(Mτ2|Fτ1) =Mτ1), para

um martingal entre 0 e θ tem-se

Ep(Mθ) = Ep(M0). Logo, Ep(Mθ) = Ep Ã e− Rθ 0 r(s) dsU (X_θ, θ)− Z θ 0 e− Rs 0 r(v) dv µ_∂U ∂t +AU − rU ¶ (Xs, s) ds ! = Ep(M0) = Ep(U (X0, 0)) = U (X0, 0).

Pela condi¸c˜ao (6)1 tem-se (∂U/∂t +AU − rU ≤ 0) ent˜ao

U (X0, 0)≥ Ep µ e− Rθ 0 r(s) dsU (X_θ, θ) ¶ ≥ Ep µ e− Rθ 0 r(s) dsψ(X_θ, θ) ¶ , pois U (Xt, t)≥ ψ(Xt, t), ∀ t ∈ [0, T ]. Assim, tem-se que

U (X0, 0)≥ sup θ∈T[0, T ] Ep µ e− Rθ 0 r(s) dsψ(X_θ, θ) ¶ .

Seja θot = inf{0 ≤ s ≤ T, U(Xs, s) = ψ(Xss)} um tempo de parada.

Note que para 0≤ s < θot tem-se por (6)2 que (∂U/∂t +AU − rU = 0), pois

U (Xs, s) > ψ(Xs, s), ∀ 0 ≤ s < θot.

Utilizando a igualdade Ep(M0) = Ep(Mθot), tem-se

Ep(M0) = Ep(Mθot) = Ep(e

−Rθot

0 r(s)dsU (X_θ

ot, θot)).

Mas, no instante θot tem-se U (Xθot, θot) = ψ(Xθot, θot) resultando em

U (X0, 0) = Ep(e−

Rθot

0 r(s) dsψ(X_θ

ot, θot)).

Isto significa que θot ´e um tempo de parada ´otimo, pois

U (X0, 0) = Ep(e −Rθot 0 r(s) dsψ(X_θ ot, θot))≥ sup θ∈T[0, T ] Ep µ e− Rθ 0 r(s) dsψ(X_θ, θ) ¶ . Isto ´e, θot realiza o supremo de todos os tempos de parada.

A demonstra¸cão para t_{∈ (0, T ] é análoga.}

Note que como p > (n/2) + 1 por (H5), o Teorema de Imers˜ao de Sobolev garante que U ( . , t) _{∈ W}m, p, µ

⊂ C0_{(0, T ). Isto ´e, para todo t}

∈ [0, T ] a fun¸c˜ao U (X, t) est´a definida, inclusive nos tempos inicial t = 0 e final t = T .

(6)

2.2 Regulariza¸

c˜

ao

Com o objetivo de evitar as dificuldades matem´aticas do espa¸co de Sobolev com peso considere a seguinte regulariza¸c˜ao, proposta em [1], para p = 2.

Seja ϕ∈ L2_{([0, T ]; W}2, 2, µ_{) uma regulariza¸c˜ao do obst´aculo ψ}

∈ L2_{([0, T ]; W}2, 2, µ₎ e ˜ψ := ψ_{− ϕ satisfazendo a condi¸c˜ao} lim kXkIRn→∞ ˜ ψ(X, . ) = 0, (7)

o que significa que dado ε > 0 suficientemente pequeno, existe uma constante K tal quek ˜ψk< ε para k X kIRn> K.

Seja ˜U = U− ϕ ∈ L2_{([0, T ]; W}2, 2, µ_{), onde U ´e a solu¸c˜ao do problema (6).}

Substituindo ˜U em (6)1 obt´em-se

∂( ˜U + ϕ)

∂t +A( ˜U + ϕ)− r( ˜U + ϕ)≤ 0, que ´e equivalente a

∂ ˜U ∂t +A ˜U − r ˜U ≤ − µ ∂ϕ ∂t +Aϕ − rϕ ¶ = ˜f . (8)

Note que, U˜ = U _{− ϕ ≥ ψ − ϕ = ˜}ψ. Logo o problema (6) pode ser reformulado do seguinte modo

               ∂ ˜U ∂t +A ˜U− r ˜U ≤ ˜f e U˜ ≥ ˜ψ em IR n × [0, T ]. Ã ∂ ˜U ∂t +A ˜U− r ˜U− ˜f ! ( ˜U_{− ˜}ψ) = 0 em IRn_{× [0, T ].} ˜ U (X, T ) = ˜ψ(X, T ) em IRn. (9)

Seja_{Ωk}k∈INuma seq¨uˆencia de dom´ınios crescentes, abertos e limitados do

IRn tal que IRn = ∞ [ k=1 Ωk, onde Ωk={X ∈ IRn,k X kIRn< k} ∂Ωk={X ∈ IRn,k X kIRn= k}

Para k suficientemente grande, considere o truncamento do problema (9) ao dom´ınio Ωk, ou seja, deseja-se determinar uma solu¸c˜ao Uk satisfazendo

                     ∂Uk ∂t +AUk− rUk≤ ˜fk e Uk ≥ ψk em Ωk× [0, T ]. µ ∂Uk ∂t +AUk− rUk− ˜fk ¶ (Uk− ψk) = 0 em Ωk× [0, T ]. Uk(X, T ) = ψk(X, T ) em Ωk. Uk(X, t) = ψk(X, t) = 0 em ∂Ωk× [0, T ]. (10)

(7)

Observa¸c˜ao: Quando X_{∈ IR}n e por (7) tem-se lim

kXkIRn→∞

˜

U (X, t) = ˜ψ(X, t) = 0. (11)

Note que de (7) obt´em-se (11). Desta forma na fronteira ∂Ωk faz sentido

Uk(X, t) = ψk(X, t),∀t ∈ [0, T ] para k suficientemente grande, sendo isto

resul-tado da regulariza¸cão. Uma conseqüência desta aproxima¸cão é uma pertuba¸cão local confinado à fronteira ∂Ωk. Esta condi¸cão é chamada condi¸cão artificial de

fronteira. Na pr´atica o problema ´e usualmente definido em dom´ınios limitados Define-se o espa¸co

Hψ1k(Ωk) ={v ∈ H

1_(Ω

k); v = ψk = 0 em ∂Ωk}.

Em [4] mostrou-se o seguinte resultado.

Lema 2 Considere o sistema (10), com ψk ∈ L2([0, T ]; Hψ1k(Ωk)) e o dado final

Uk(X, T ) ∈ Hψ1k(Ωk). Então existe uma única solu¸cão Uk : Ωk× [0, T ] → IR

satisfazendo as seguintes condi¸c˜oes 1) Uk ∈ L2([0, T ]; Hψ1k(Ωk))

2) ∂Uk

∂t ∈ L

2_{([0, T ]; L}2_(Ω k)).

Al´em disso, para todo conjunto compacto G, tem-se lim k→∞ µ max t∈[0, T ]k ˜U (X, t)− Uk(X, t)kL ∞ (G) ¶ = 0, (12)

para X∈ G, onde ˜U é solu¸cão exata do sistema (9). E de [8] o seguinte resultado é obtido.

Lema 3 Regularidade da solu¸c˜ao. Seja ψk ∈ L2([0, T ]; Hψ1k(Ωk)∩ H

2_(Ω

k)) e Uk(X, T ) ∈ Hψ1k(Ωk)∩ H

2_(Ω k).

Então existe uma única Uk: Ωk×[0, T ] → IR satisfazendo as seguintes condi¸cões

1) Uk ∈ L2([0, T ]; Hψ1k(Ωk)∩ H 2_(Ω k)) 2) ∂Uk ∂t ∈ L 2_{([0, T ]; L}2_(Ω k)).

A regulariza¸cão obtida nesta se¸cão e a convergência em (12) justificam o uso de dom´ınios limitados para solu¸cão do sistema (6). Na prática utiliza-se o sistema (10) para obter uma solu¸cão aproximada de U partindo da escolha de Ωk suficientemente grande.

(8)

2.3 Formula¸

c˜

ao Variacional em Dom´ınios Limitados

Em razão dos resultados obtidos na última se¸cão considere o problema (6) restrito ao dom´ınio Ωk dado por:

                     ∂Uk ∂t +AUk− rUk ≤ 0 e Uk≥ ψk em Ωk× [0, T ]. µ_∂U k ∂t +AUk− rUk ¶ (Uk− ψk) = 0 em Ωk× [0, T ]. Uk(X, T ) = ψk(X, T ) em Ωk. Uk(X, t) = ψk(X, t) = 0 em ∂Ωk× [0, T ]. (13) Sejam Uk( . , t) e ψk(X, t) ∈ Hψ1k(Ωk)∩H 2_(Ω

k) e v ∈ D(Ωk) uma fun¸c˜ao teste

tal que v_{≥ ψ}k. Multiplicando v em (13)2e integrando em Ωk obt´em-se

Z Ωk ∂Uk ∂t v dx + Z Ωk AUkv dx− Z Ωk rUkv dx≤ 0 ∀ v ∈ D(Ωk). (14)

Do Teorema de Green tem-se Z Ωk AUkv dx = 1 2 Z Ωk n X i,j=1 ∂ ∂xi µ aij ∂Uk ∂xj ¶ v dx₋ Z Ωk n X j=1 aj ∂Uk ∂xj v dx =₋1 2 n X i,j=1 Z Ωk aij ∂Uk ∂xi ∂v ∂xj dx₋ n X j=1 Z Ωk aj ∂Uk ∂xj v dx, (15)

pois v∈ D(Ωk) tem suporte compacto. Define-se

ak(t; Uk, v) = − 1 2 n X i,j=1 Z Ωk aij ∂Uk ∂xi ∂v ∂xj dx₋ n X j=1 Z Ωk aj ∂Uk ∂xj v dx − Z Ωk rUkv dx, ∀ v ∈ D(Ωk). (16)

Substituindo (15) e (16) em (14) obt´em-se a formula¸c˜ao variacional fraca µ ∂Uk ∂t , v ¶ + ak(t; Uk, v)≤ 0, ∀ v ∈ D(Ωk). (17)

2.4 Sistema Aproximado

Considere o dom´ınio limitado Ωk ⊂ IRn, para k fixo, e a discretiza¸c˜ao

uniforme do intervalo [0, T ] na forma tm := m ∆t, m = 1, 2, . . . , M, onde

∆t = T /M para a formula¸cão fraca da inequa¸cão variacional (10). Introduz-se a aproxima¸cão no tempo de (17) pelo método de diferen¸cas finitas usando o Teorema de Taylor e denota-se U ( . , m∆t) = Um_{( . ). Desta forma}

∂Uk ∂t ¯ ¯ ¯_t m = U m+1 k − Ukm

(9)

Para cada Ωk, k fixo, tem-se uma solu¸c˜ao Uk∈ L2(0, T ; H01(Ωk)∩H2(Ωk)).

Seja Vk um subespa¸co de H01(Ωk)∩ H2(Ωk) gerado pelos N primeiros valores

da base de H1

0(Ωk)∩ H2(Ωk). Então as solu¸cões aproximadas são da forma

Ukm(x, t) = N

X

i=1

Ci(t) φi(x), (19)

onde Ci(t)∈ IR para i = 1, . . . , n e {φi(x)| i = 1, . . . , N} ´e base de Vk.

De (18) e (19) obt´em-se o sistema aproximado de (13). UkM = ψk − µ 1 ∆tU m k , v ¶ + ak(tm; Ukm, v)≤ − 1 ∆t(U m+1 k , v), ∀ v ∈ Vk, (20) com m = M_{− 1, . . . , 1.}

Assim obt´em-se um sistema matricial que aproxima por elementos finitos o sistema (20), tomando v = φj. CM = ψk(b, tM), ∀ b ∈ Nk − N X i=1 N X j=1 Ci(tm) ½ 1 ∆t(φi, φj) + aij 2 (∇φi,∇φj) + aj(∇φi, φj)− r(φi, φj) ¾ ≤ −_∆t1 N X i=1 N X j=1 Cm+1(φi, φj), (21) onde m = 1, . . . , M e Nk denota todos os n´os do espa¸co Vk.

De (21), determina-se o sistema matricial que fornece a seq¨uˆencia{Cm_{} por}

recorrˆencia. Assim, obt´em-se   

CM = ψk(b, tM) ∀ b ∈ Nk

A Cm≤ F Cm+1 (22)

para m = M_{− 1, . . . , 1, onde A = (A}i, j) tal que

Aij =− 1 ∆t (φi, φj)− aij 2 (∇φi,∇φj)− aj(∇φi, φj)− r(φi, φj) e F =−_∆t1 (φi, φj).

Em particular, pode-se observar em [8] que quando {Um

k } constitui uma

aproxima¸cão do método impl´ıcito de Euler de elementos finitos utilizando par-ti¸cões retangulares e fixando k obtém-se a estimativa do erro dada por

max t∈[0, T ]k Uk− ˜U m k kL∞ (Ωk)≤ O(∆t + h 2−ε_), ∀ ε > 0. (23)

(10)

3 Problema Unidimensional

O operador definido em (5) para o caso unidimensional ´e dado por A = 1₂σ2X2 ∂

2

∂X2 + rX

∂ ∂X.

Então o sistema (10) para o caso unidimensional é escrito por                          ∂Uk ∂t + 1 2σ 2_X2∂2Uk ∂X2 + rX ∂Uk ∂X − rUk ≤ 0 e Uk ≥ ψk, em Ωk× [0, T ] µ ∂Uk ∂t + 1 2σ 2_X2∂2Uk ∂X2 + rX ∂Uk ∂X − rUk ¶ (Uk− ψk) = 0, em Ωk× [0, T ] Uk(X, T ) = ψk(X, T ), ∀ X ∈ Ωk Uk(X, t) = ψk(X, t), em ∂Ωk× [0, T ], (24) onde Ωk é um intervalo positivo da reta.

3.1 Mudan¸

cas de Vari´

aveis

As mudan¸cas de variáveis permitem obter um problema variacional mais simples e além disto trazem ganhos computacionais uma vez que reduzem a quantidade de opera¸cões na matriz do sistema linear obtida pela utiliza¸cão do método de elementos finitos. Seja Uk(X, t) solu¸cão do sistema (24), onde

X > 0 e t_{∈ [0, T ]. Considere as seguintes mudan¸cas de vari´aveis}

X = E ex, t = T ₋ τ

(1/2)σ2 e Uk(x, τ ) = E v(x, τ ).

Derivando Uk em rela¸c˜ao a t e a X com E6= 0 obt´em-se

∂Uk ∂t (x, τ ) = ∂Ev ∂t (x, τ ) = − 1 2σ 2_E∂v ∂τ(x, τ ), ∂Uk ∂X(x, τ ) = ∂Ev ∂X (x, τ ) = ∂ ln(X/E) ∂X E ∂v ∂x(x, τ ) = e −x∂v ∂x(x, τ ) e ∂2_U k ∂X2(x, τ ) = ∂ ∂X µ e−x∂v ∂x(x, τ ) ¶ =₋e −2x E ∂v ∂x(x, τ ) + e−2x E ∂2_v ∂x2(x, τ ).

Deste modo a inequa¸cão (24)1 após as mudan¸cas de variáveis é equivalente a

−σ 2 2 E ∂v ∂τ(x, τ )+ σ2 2 E ∂2_v ∂x2(x, τ )+ µ rE−σ 2 2 E ¶ ∂v ∂x(x, τ )−rEv(x, τ) ≤ 0. (25) Fazendo as substitui¸c˜oes em (24)1 e dividindo por (1/2) σ2E > 0 obt´em-se

−∂v_∂τ(x, τ ) +∂

2_v

∂x2(x, τ ) + (k1− 1)

∂v

(11)

onde k1 = r

(1/2) σ2.

A inequa¸cão (26) pode ser reduzida a uma inequa¸cão parabólica mais simples através da introdu¸cão de duas variáveis auxiliares α e β. Com este intuito, suponha que a solu¸cão seja da forma

v(x, τ ) = u(x, τ ) eα x + β τ. (27)

Substituindo (27) em (26) e dividindo por eα x + β τ _obt´em-se

−∂u_∂τ +∂ 2_u ∂x2 + ∂u ∂x(k1+ 2 α− 1) + u(α 2_{+ (k} 1− 1)α − k1− β) ≤ 0. (28) Tomando α =−1₂(k1− 1) e β = −1 4(k1+ 1)

2 _{os termos em u e ∂U/∂X s˜ao}

eliminados e ent˜ao a inequa¸c˜ao variacional (28) escreve-se por ∂u

∂τ (x, τ ) ≥ ∂2_u

∂x2(x, τ ), (29)

Note que após realizar as mudan¸cas de variáveis chega-se a rela¸cão Uk(x, τ ) = Eu(x, τ ) eαx+βτ= Eu(x, τ )e−

1

2(k1−1) x −14(k1+1)2τ_. ₍₃₀₎

Para a inequa¸cão Uk ≥ ψk em (24)1 também é realizada a mudan¸ca de

variáveis. Para isto é preciso definir o obstáculo ψkpara o caso unidimensional,

que posteriormente, será utilizado nas simula¸cões numéricas. Seja o obstáculo ψk dado por

ψk := max(E− X, 0) (31)

Realizando as mudan¸cas de vari´aveis para Uk ≥ ψk como em (30) obt´em-se

E eαx+βτu(x, τ ) _{≥ max(E − Ee}x, 0)_{≥ E max(1 − e}x, 0)

u(x, τ ) _≥ e−βτ max(e−αx_{− e}αx, 0), onde α = 1

2(k1+ 1). (32)

Logo, u(x, τ )− e−βτ _max(e−αx

− eαx_{, 0)}

≥ 0.

3.2 Condi¸

c˜

ao Inicial e de Fronteira

A mesma tranforma¸cão realizada na se¸cão anterior para a primeira inequa¸cão de (24) deve ser feita para a condi¸cão de tempo final T e na fronteira ∂Ωk. Para a condi¸cão final, Uk(X, T ) = ψk(X) = max(E− X, 0), ∀X ∈ Ωk.

Observe que t _{∈ [0, T ] ent˜ao τ = (T − t)(1/2)σ}2_{. Seja ¯}_{T = (1/2)T σ}2 _ent˜ao

τ ∈ [0, ¯T ]. Pela mudan¸ca de vari´aveis em (32) com τ = 0 tem-se

(12)

Considere agora o caso em que X _{∈ ∂Ω}k. Note que x = ln(X/E) = −∞.

Como Ωk = [Xi, Xf], onde Xi > 0 ´e o valor inicial e Xf ´e o valor final do

ativo-objeto. Pela condi¸c˜ao (24)4, segue que

Uk(X, t) = ψk(X) = max(E− X, 0), ∀ X ∈ ∂Ωk,

ent˜ao como x0 = ln(X0/E) e xf = ln(Xf/E) e pela mudan¸ca de vari´aveis

em (32) resulta que

u(x0, τ ) = e−βτ max(e−αx0− eαx0, 0), ∀ τ ∈ [0, ¯T ] e

u(xf, τ ) = e−βτ max(e−αxf − eαxf, 0), ∀ τ ∈ [0, ¯T ].

A partir das mudan¸cas de vari´aveis realizadas e de suas condi¸c˜oes de fronteira e tempo final, o sistema (24) pode ser escrito por

                                 ∂u ∂τ ≥ ∂2_u ∂x2 e u ≥ Ψ, (x, τ) ∈ [x0, xf]× [0, ¯T ] µ_∂u ∂τ − ∂2_u ∂x2 ¶ (u _{− Ψ) = 0, (x, τ) ∈ [x}0, xf]× [0, ¯T ] u(x0, τ ) = e−βτ max(e−αx0− eαx0, 0) = Ψ(x0, τ ), τ ∈ [0, ¯T ] u(xf, τ ) = e−βτ max(e−αxf − eαxf, 0) = Ψ(xf, τ ), τ ∈ [0, ¯T ] u(x, 0) = max(e−αx_{− e}αx, 0) = Ψ(x, 0), x_{∈ [x}0, xf]. (34)

O sistema de inequa¸cões variacionais (34) obtido a partir de (24) é mais simples em termos da implementa¸cão computacional.

4 M´

etodo de Elementos Finitos

O objetivo desta se¸cão é obter a implementa¸cão numérica da solu¸cão apro-ximada. Para isto são utilizados os métodos de elementos finitos e diferen¸cas finitas.

4.1 Formula¸

c˜

ao Variacional

Considere a formula¸c˜ao variacional do sistema (34), onde u( . , t) _{∈ H}1 Ψ(Ωk)∩

H2_(Ω

k) e seja v ∈ D(Ωk) uma fun¸c˜ao teste tal que v ≥ Ψ. Assim, como

conseqüência imediata da forma variacional feita anteriormente, obtém-se Z Ωk ∂u ∂τ v dx + Z Ωk ∂u ∂x ∂v ∂xdx ≥ 0, ∀ v ∈ D(Ωk). (35)

(13)

4.2 M´

etodo de Galerkin

O m´etodo de Galerkin consiste em aproximar o espa¸co das solu¸c˜oes H1 Ψ(Ωk)∩

H2_(Ω

k) por um subespa¸co de dimens˜ao finita. Para aproximar tal espa¸co,

define-se um subespa¸co Vhgerado pelos N primeiros elementos da base do espa¸co

de Hilbert H1

Ψ(Ωk)∩ H2(Ωk), ou seja, Vh= [φ1, φ2, . . . , φN], onde {φi, i∈ IN}

´e uma base de H1

Ψ(Ωk)∩ H2(Ωk). Agora, procura-se uma solu¸c˜ao aproximada

uh= uh(x) do problema (35) no subespa¸co Vh.

Ent˜ao, para uh∈ Vh tem-se

uh(x, τ ) = N

X

i=1

Ci(τ )φi(x)

Substituindo u por uh em (35) para cada k fixo e aproximando a derivada em

rela¸c˜ao a τ por diferen¸cas finitas obt´em-se

N X i=1 (Cm i − Cim−1) ∆τ Z Ωk φi(x) φj(x) dx + m X i=1 Cim(τ ) Z Ωk ∂φi(x) ∂x ∂φj(x) ∂x dx ≥ 0, com j = 1, . . . , N, m = M, . . . , 1 e um erro_{O(∆τ). Podendo ser escrito no} seguinte sistema de inequa¸c˜oes ordin´arias

( A + ∆τ B ) Cm ≥ A Cm−1 ₍₃₆₎ onde Aij = Z Ωk φi(x) φj(x)dx, Bij = Z Ωk ∂φi(x) ∂x ∂φj(x) ∂x dx

com i, j = 1, . . . , N e m = M, . . . , 1 e s˜ao matrizes sim´etricas.

Seja φi com i = 1, . . . , N base de Vhdefine-se φ∈ D(Ωk) da seguinte forma:

φi(x) =                x_{− x}i−1 h , xi−1≤ x ≤ xi xi+1− x h , xi≤ x ≤ xi+1 0, caso contr´ario ∂φi(x) ∂x =                1 h, xi−1≤ x ≤ xi −1_h, xi≤ x ≤ xi+1 0, caso contr´ario. Utiliza-se a malha uniforme h = xi+1− xi, ∀ i = 1, . . . , N e, portanto, a

discretiza¸c˜ao no espa¸co ´e feita de modo que xi= x0+ ih, para i = 1, . . . , N .

Após definida a fun¸cão φ é poss´ıvel calcular as matrizes A e B. Para i = j: aii = (φi(x), φi(x)) = Z Ωk φ2i(x) dx = Z xi+1 xi−1 φ2i(x) dx = 2h 3 , bii= µ_∂φ i(x) ∂x , ∂φi(x) ∂x ¶ = Z Ωk ∂φ2 i(x) ∂x dx = Z xi+1 xi−1 ∂φ2 i(x) ∂x dx = 2 h

(14)

Para j = i + 1: ai,i+1= (φi(x), φi+1(x)) = Z Ωk φi(x)φi+1(x) dx = h 6 bi,i+1= µ_∂φ i(x) ∂x , ∂φi+1(x) ∂x ¶ = Z Ωk ∂φi ∂x(x) ∂φi+1 ∂x (x) dx = −1 h . Note que umh(xj) = N X i=1 Cimφi(xj) =    Cm i , se i = j 0, se i_{6= j.} O sistema matricial iterativo (36) pode ser escrito da forma KCm

≥ bm−1_{, com K = A + ∆τ B, b}m−1_{= AC}m−1 _{e m = 1, . . . , M. (37)}

5 M´

etodo Iterativo

Observe que a matriz A é estritamente diagonal dominante e a matriz B é diagonal dominante então a matriz K é estritamente diagonal dominante.

Para m = 1, o vetor C0_{dado pela condi¸c˜ao inicial (34)}

5´e dado por

C0 = (Ψ(x1, 0), Ψ(x1, 0), . . . , Ψ(xN −1, 0))t.

E as condi¸c˜oes de fronteira (34)3, (34)4 s˜ao dadas respectivamente por

C0m = Ψ(x0, τm), ∀ m = 1, . . . , M,

CNm = Ψ(xf, τm), ∀ m = 1, . . . , M.

O sistema matricial de inequa¸c˜oes (37) pode ser utilizado considerando ∂u

∂τ − ∂2_u

∂x2 = 0, (x, τ )∈ [x0, xf]× [0, ¯T ].

Isto implica que o sistema linear sob a forma matricial se escreve por K Cm

− bm−1 _{= 0.}

O passo seguinte é verificar se a condi¸cão u(xi, τm) ≥ Ψ(xi, τm) é satisfeita.

Caso isto não ocorra é feita a proje¸cão u(xi, τm) = Ψ(xi, τm) conservando

(34)2. E ainda para Cim = Ψ(xi, τm) as inequa¸c˜oes (34)1 s˜ao satisfeitas, pois

K Cm

− bm−1

≥ 0.

O sistema iterativo (37) é resolvido para cada m fixo pelo método de sobre-relaxa¸cão projetado (SORp). O programa (SORp) é adaptado para resolu¸cão de sistemas lineares tridiagonais, como o caso da matriz K. Desta forma não é necessário o armazenamento dos zeros desta matriz reduzindo o custo computa-cional.

(15)

6 Simula¸

c˜

oes Num´

ericas

Exemplos numéricos será dados para ilustrar o método desenvolvido. Para isto são necessárias explicitar algumas variáveis do modelo como tempo de exerc´ıcio T , taxa de juros r e pre¸co de exerc´ıcio E.

6.1 Exemplo 1:

Para esta simula¸cão foram coletados os valores da a¸cão da petrobras PETR4-PN (Xi) em cada dia útil (DU) pelo per´ıodo de um ano. Os dados foram obtidos

do site do Banco do Brasil (www.bb.com.br) referentes as cota¸cões na BM&F. Suponha que os pre¸cos do ativo sejam dados nos seis primeiros meses, do dia 24/03/2003 até o dia 24/09/2003. Deseja-se saber o valor da op¸cão americana de venda do dia 24/09/2003 com vencimento no dia 22/03/2004. Considere que o pre¸co de exerc´ıcio contratado seja E = R$ 75, 00.

Utiliza-se a volatilidade hist´orica, para isto calcula-se primeiramente a m´edia dos retornos dada por

µ = 1 128 128 X i=1 ln(Xi+1/Xi) = 0, 0024,

onde 128 é a quantidade de dias úteis que se conhece os dados. A volatilidade diária é dada por

σdia = v u u t 1 128 128 X i=1 (ln(Xi+1/Xi)− 0, 24%)2 = 0, 0163,

e a volatilidade hist´orica anual ´e dada por

σanual = √250 σdia = 15, 8114×0, 0163 = 0, 2577.

Desta forma, a volatilidade ´e σ = 0, 2577. A taxa de juros ´e ranual = 8% que transformando para taxa de juros cont´ınua livre de risco tem-se

r = ln(1 + ranual ) = ln(1 + 0, 08) = 0, 07696 = 7, 69%.

O passo seguinte é determinar o intervalo Ωk. Note que na prática não se

pode garantir que o pre¸co da a¸c˜ao estar´a dentro do intervalo estipulado Ωk

du-rante o prazo de validade da op¸cão. Contudo para fins de cálculo computacional é preciso tomar tal intervalo limitado.

De acordo com as mudan¸cas de vari´aveis realizadas na se¸c˜ao (3.1) tem-se para Ωk = [X0, XF]

X0= Eex0 =⇒ x0= ln(X0/E) e XF = Eexf =⇒ xf = ln(XF/E).

Toma-se uma malha no espa¸co composta de 2 N elementos, ent˜ao x0= ln(X0/E) =−N ∆x =⇒ N =

ln(E/X0)

(16)

Como x0 =−N∆x e xf = N ∆x determina-se XF por x0 =−xf segue que

ln(XF/E) = ln(E/X0). Donde conclui-se que XF = E2X0, com X0 6= 0. O

dom´ınio ´e limitado dado por Ωk = [X0, E2/X0]. Para este primeiro exemplo,

escolhe-se ao acaso X0 = 10 resultando em XF = E2/X0 = 562, 5 e Ωk =

[10; 562, 5]. Logo, o exemplo 1 ´e feito para σ = 0, 2577, r = 0, 0769, T = 6 meses ou T = 0.5 ano e E = R$ 75, 00, com X ∈ [10, 562.5] e t ∈ [0, 1/2].

A figura 6.1 mostra as fun¸c˜oes Uk(0.0 , X) e Uk(0.4 , X) com X∈ Ωk

obser-vadas no intervalo [60, 100]. X Uk 100 95 90 85 80 75 70 65 60 20 15 10 5 0 -5

Figura 6.1: Gr´afico da fun¸c˜ao Uk para t = 0 (linha cont´ınua) e t = 0.4 (linha

(17)

Uma an´alise do comportamento da fun¸c˜ao aproximada Uk para X fixo e

variando t _{∈ [0, 1/2] ´e apresentado na figura 6.2. Os valores para X foram} tomados tais que X = 60, X = 70, X = 80, X = 90 e X = 103.

t Uk 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 16 14 12 10 8 6 4 2 0

Figura 6.2: Gr´afico da fun¸c˜ao Uk (de cima para baixo) para X = 60, X = 70,

X = 80, X = 90 e X = 103 considerando t∈ [0, 1/2].

A partir da an´alise da solu¸c˜ao aproximada Uk para t fixo e para X fixo

pode-se mostrar o gráfico de Uk em fun¸cão de X e t. O gráfico (6.3) representa

a aproxima¸cão da fun¸cão U em rela¸cão a X e t.

No tempo t = 0, isto é, no dia 24/09/2003, o valor da a¸cão PETR4-PN foi cotado a R$ 58, 67. Logo, uma estimativa para o valor da op¸cão americana de venda é

U (58.67; 0) e= R$ 16, 33.

Para verificar a qualidade da aproxima¸cão toma-se um dom´ınio limitado ΩM = [XM, E2/XM]. e uma seqüência de dom´ınios encaixados de modo que

ΩK0 ⊂ ΩK1 ⊂ ΩK2 ⊂ ΩK3 ⊂ . . . ⊂ ΩM.

Pela convergência em (12) tem-se lim k→∞ µ max t∈[0, T ]k U(X, t) − Uk(X, t)kL ∞ (Ωk) ¶ = 0. Seja ΩM = [1, 752/1] = [1, 5625] e define-se a seqüência

ΩK3= [5, 75 2_{/5] = [5; 1125]} ΩK2= [10, 75 2_{/10] = [10; 562, 5]} ΩK1= [15, 75 2_{/15] = [15; 375]} ΩK0= [20, 75 2_{/20] = [20; 281, 25]}

(18)

Uk 70 50 30 10 t 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 X300 400 ₅₀₀ 200 100 0

Figura 6.3: Gr´afico do valor da op¸c˜ao americana de venda.

Em comum a cada uma das malhas dos dom´ınios citados está o ponto X = 75. Então, será comparado o erro de cada um dos Uki de Ωki com a solu¸cão

aproximada UM de ΩM no ponto X = 75 para todo t ∈ [0, T ]. Para isto ´e

utilizada a norma do m´aximo.

A norma do erro utilizada define-se por k Eik∞= max

t∈[0, T ]|UM(75, t)− Uki(75, t)|.

A tabela a seguir apresenta os erros encontrados

X = 75 t∈ [0, 1/2] σ = 0, 2577 r = 0, 0769. Tabela do erro i k Eik∞ 0 0,1248 1 0,1160 2 0,1020 3 0,0746

Observe que conforme Ωki converge para ΩM a fun¸c˜ao Uki(75, t) converge

para UM(75, t) de acordo com (12).

Nos gr´aficos da figura 6.4 pode-se observar a diferen¸ca entre as fun¸c˜oes Uk

para os v´arios dom´ınios considerados e tomando t = 0. Percebe-se que para uma vizinhan¸ca bem pr´oxima de X = 75 com t = 0 a diferen¸ca entre as curvas fica clara.

(19)

X Uki(X, 0) 75 74.9996 74.9992 4.323 4.322 4.321 4.32 Figura 6.4:

6.2 Exemplo 2:

Agora é realizada uma série de simula¸cões para obter o valor aproximado da op¸cão americana de venda quando o pre¸co de exerc´ıcio é alterado. Considera-se X = 100, r = 16%, σ = 0, 2577, T = 1/2 ano e escolhe-se Ωk = [10, E2/10]. E Uk(100, 0) 95 1.94 97 2.56 100 3.72 103 5.26 105 6.43

Observe que conforme o pre¸co de exerc´ıcio aumenta a solu¸c˜ao Uk sofre

in-fluência do obstáculo dado por max(E− X, 0). Desta forma, quando o pre¸co de exerc´ıcio da op¸cão americana de venda aumenta seu prêmio também aumenta.

As figuras 6.2 mostram esta caracter´ıstica.

As simula¸cões realizadas mostram o comportamento da fun¸cão aproximada Ukpara vários parâmetros utilizados. Apesar dos vários modelos existentes não

fornecerem a solu¸cão precisa dos pre¸cos ou não corresponderem por completo com a realidade do mercado eles servem de parâmetros importantes para atua¸cão no mercado. E de fato, são bastante utilizados na prática para nortear a a¸cão dos investidores.

(20)

X Uk(X, 0) 120 115 110 105 100 95 90 15 10 5 0

Figura 6.5: Gráfico das fun¸cões Ukpara vários pre¸cos de exerc´ıcio 105, 103, 100,

97 e 95 de cima para baixo respectivamente.

Referˆ

encias

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