FUNDAMENTOSDEMATEM+üTICA modulo1a

MATEMÁTICA APLICADA

2011.1

MATERIAL DE AULAS MÓDULO I

Cristiana Vidal Accioly "Jamais considere seus

estudos como uma obrigação, mas como

uma oportunidade invejável para aprender a conhecer a influência libertadora da beleza do

reino do espírito, para seu próprio prazer pessoal e para proveito

da comunidade à qual seu futuro trabalho

pertencer." Albert Einstein

Conteúdo

1.3 – Subconjuntos (Relação de inclusão)...5

1.4 – Igualdade de conjuntos...6

1.5 - Conjunto das partes...7

1.6 - Conjuntos numéricos fundamentais...7

1.6.1 – Representação de conjuntos e Intervalos em R...9

1.7 – Operações com Conjuntos...11

1.7.1 - Produto Cartesiano...11

1.7.2 – União...12

1.7.3 – Interseção...12

1.7.4 – Principais propriedades das operações de união e interseção de conjuntos....14

1.7.5 - Complemento...14

1.7.6 - Diferença...15

1.7.7 – Mais propriedades das operações de conjuntos...15

1.7.8 – Leis de Morgan...16

1.8 - Exercícios Conjuntos...16

Referências bibliográficas:...16

EXTRAS...38

Tópico 1 – Grandezas proporcionais – (Regra de três)...38

1. Grandeza...38

2. Proporção direta simples...38

3. Proporção direta composta para n termos...38

4. Proporção inversa para n termos...39

5.Propriedades das proporções...40

6. A Regra de três...40

6.1. Regra de três simples direta...40

6.2. Regra de três simples inversa...42

6.3 Regra de três composta...42

Exercício 1 – Grandezas Proporcionais...44

1 – Conjuntos

 significa “qualquer que seja”

 siginifica “equivale a” ou “é o mesmo que”  significa “se… implica…” ou “se… então…” | ou : lê-se como "tal que"

G De acordo com a quantidade de elementos, podem ser finitos ou infinitos. G Designa-se (nomeia-se) os conjuntos com letras maiúsculas: A, B, C... G Os componentes de um conjunto são chamados de elementos. G Dois conjuntos são iguais, quando têm exatamente os mesmos elementos. G A ordem de listagem dos elementos num conjunto não altera o conjunto. E cada elemento de um conjunto deve ser listado apenas uma vez. Deste modo, A={1, 2, 3} = {2, 1, 3} = {3, 2, 1} = {1, 1, 2, 2, 2, 3}

Ex. 1: Se quisermos agrupar a mercadoria de uma confecção de acordo com um determinado critério, por exemplo os tamanhos das peças de roupas. Podemos assim definir vários conjuntos, como:

A = o conjunto de todas as peças “P”. B = o conjunto de todas as peças “M”. R = o conjunto de todas as peças “G”, etc. São exemplos de conjuntos:

X = {a, b, c, d, …, z}, conjunto alfabeto da língua portuguesa Y = {2, 4, 6, 8, …}

V = {Centro Oeste, Nordeste, Norte, Sudeste, Sul} conjunto das regiões brasileiras.

1.1 – Formas de apresentação

O conjunto pode ser apresentado (definido, determinado ou dado) de duas formas:

I – Através da listagem de seus elementos:

Ex.:

P = {2, 4, 6, 8}

M= {varde, azul, amarelo, branco, vermelho}

II - Por uma propriedade dos seus elementos ou seja, sendo x um elemento qualquer do

conjunto P acima, poderíamos escrever:

Ex.:

P = { x : x é par, positivo, maior que 0 e menor que 10}

Alternativamente, pode-se usar diagramas para representar um conjunto. São os conhecidos diagramas de Venn.

Fig.1

Exercícios resolvidos:

1 – Liste os elementos de cada um dos seguintes conjuntos. a) {x : x é inteiro e 3<x≤7}

Resp. {4, 5, 6, 7}

b) {x : x é o nome de um mês com 30 dias} Resp.{abril, junho, setembro, novembro} c) {y3 : y pertence ao conjunto {1, 2, 3}}

Resp.{1, 8, 27}

1.2 - Relação de pertinência

Sendo x um elemento do conjunto A , escrevemos: x  A,

onde o símbolo significa "pertence a".

Sendo y um elemento que não pertence ao conjunto A , indicamos esse fato com a notação:

y  A.

Fig. 2

Exemplo 2: Seja x uma peça de roupa tamanho “P”, definido no exemplo 1, então o elemento x = saia TAM: “P” é um elemento do conjunto A. Ou seja x pertence a A.

x  A; (x pertence a A); e x  B; (x não pertence a B).

Conjunto Unitário – O conjunto que só apresenta um único elemento. Exemplo 3: A:O conjunto de todos os tipos de moedas brasileiras em circulação em 2010. Só tem um elemento: A = {Real}

Conjunto Vazio - O conjunto que não possui elementos , é denominado conjunto vazio e representado por  ou { }.

Exemplo 4: Conjunto S = {x | x é eleitor brasileiro com menos de 16 anos} 2 8 ₆ 4 P x y A

Então temos S =  ou S = { }

Com o mesmo raciocínio, e opostamente ao conjunto vazio, define-se: Conjunto Universo - o conjunto ao qual pertencem todos os elementos do estudo em questão. Representado pelo símbolo U.

Em diagrama é representado por um retângulo.

Fig.3

Assim, do exemplo 1 temos o conjunto U definido por todas as peças de roupas fabricadas pela confecção. E no exemplo 4 o conjunto universo são todos os eleitores brasileiros.

1.3 – Subconjuntos (Relação de inclusão)

Se todo elemento de um conjunto A também pertence a um conjunto B, então dizemos que A é subconjunto de B e indicamos isto por A  B ( A está contido em B), (A é parte de B) ou (B contém A):

A  B  (x  A  x  B)

Fig. 4 a b

Note que se A  B, sempre que x  A, então necessariamente x  B. Mas a recíproca não é sempre verdadeiras, há casos em que x  B mas x  A (fig.4a).

Exemplo 5: O conjunto D formado por todos os eleitores brasileiros maiores de 38 anos e homens, é um subconjunto do conjunto H formado por todos os eleitores homens brasileiros.

Ou seja D  H; Notas:

G todo conjunto é subconjunto de si próprio. ( A  A ) U 2 8 ₆ 4 A B 5 9 7 ₁ 8 A B

G o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto. ( A)

G o conjunto universo contém todos os conjuntos do estudo em questão. (todo conjunto é subconjunto do conjunto Universo)

G Se A  B e B  C, então A  C.

Fig. 5

1.4 – Igualdade de conjuntos

O conjunto A será igual a um conjunto B, se ambos possuírem os exatos mesmos elementos.

A=B  A  B e B  A

No caso da figura 4.b, temos que A = B. Neste caso, observamos que:

Se x  A, então necessariamente x  B, e se x  B, então necessariamente x  A.

Sempre que A  B mas A ≠ B, ou seja, se existir pelo menos um elemento de B que não seja elemento de A, então A diz-se um subconjunto próprio de B, e pode escrever-se: A  B (fig.4.a)

Exercícios resolvidos: 2 – Sendo:

A = {x : x  N e x ≥ 5 } B = {10, 12, 16, 20} C = {2x : x  N}

Diga qual das seguintes proposições são verdadeiras: a) B  C

Resp. VERDADE.

Observe que o conjunto C = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, …} é o conjunto dos números pares positivos. Podemos facilmente constatar que todo elemento do conjunto B, é também elementos do conjunto C.

b) B  A

Resp. VERDADE.

Observe que o conjunto A = {5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, …} é o conjunto dos números inteiros positivos a partir do 5. Podemos facilmente constatar que todo

elemento do conjunto B, é também elementos do conjunto A.

c) {11, 12, 13}  A Resp. VERDADE. U 2 8 ₆ 4 A B 5 9 1 11 C

Do conjunto A, podemos formar inúmeros subconjuntos, e todo elemento deste subconjunto também pertence ao conjunto A.

d) {12}  B

Resp. FALSO.

A representação { } indica que este é um conjunto unitário. E um conjunto pode estar contido em outro () e não pertencer. A relação de pertinência é para ELEMENTOS.

e) {x : x  N e x  20 }  A

Resp.VERDADE.

Este conjunto tem elementos (0, 1, 2, 3, 4) que não pertencem ao conjunto A.

f) A  C

Resp. FALSO.

O conjunto A tem elementos ímpares que não pertencem ao conjunto C.

g) 26  C Resp. VERDADE. h) {12}  B Resp. VERDADE. É um subconjunto de B. i) 5  A Resp. FALSO.

A relação de elemento é de PERTENCER ()

j)   A

Resp.FALSO.

 é a representação de um conjunto vazio. E conjuntos estão contidos em

outros. ()

1.5 - Conjunto das partes

o conjunto formado por todos os subconjuntos de um conjunto A é denominado conjunto das partes de A e é indicado por P (A). Exemplo 6: se A = {c, d} , o conjunto das partes de A é dado por:

P (A) = { , {c}, {d}, {c,d}}

G Se um conjunto A possui m elementos então ele possui 2m subconjuntos. G Um subconjunto de A é denominado parte de A.

G P (A) ≠ já que A e são elementos de P (A).

G Neste caso, podemos representar: P (A) eAP (A), pois os subconjuntos agora são elementos.

1.6 - Conjuntos numéricos fundamentais

Entendemos por conjunto numérico, qualquer conjunto cujos elementos são números.

Existem infinitos conjuntos numéricos, entre os quais, temos os chamados conjuntos numéricos fundamentais.

a saber:

Conjunto dos números naturais – Conjunto dos números inteiros positivos N = {0,1,2,3,4,5,6,... }

Conjunto dos números inteiros – Conjunto dos números inteiros positivos e negativos

Z = {..., -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,... } Nota: observe que N  Z.

Conjunto dos números racionais – conjunto de todos os números que podem ser escritos na forma de uma fração p/q onde p e q são números inteiros, com o denominador diferente de zero.

Q = {x | x = p/q com p  Z , q  Z e q  0 }. Esta divisão pode ter como resultado: - Um número inteiro;

- Um número na forma decimal exata;

- Um número na forma decimal infinita e periódica.

São exemplos de números racionais: 2/3, -3/7, 0,001=1/1000, 0,75=3/4, 0,333... = 1/3, 7 = 7/1, etc.

Notas:

a) é evidente que N  Z  Q.

b) a dízima periódica é um número racional, pois sempre é possível escrever uma dízima periódica na forma de uma fração.

Exemplo 7: 0,4444... = 4/9 (ver extras – tópico 2)

Conjunto dos números irracionais – Conjunto dos números representados por decimais infinitos e não periódicos.

Ir = {x | x é uma dízima não periódica}. Exemplos de números irracionais:

 = 3,1415926... (número pi = razão entre o comprimento de qualquer circunferência e o seu diâmetro)

℮=2,718 281 828 459 045 235 360 287… (Número de Euler) 2,01001000100001... (dízima não periódica)

 3 = 1,732050807... (raiz não exata). Conjunto dos números reais

R = { x | x é racional ou x é irracional }. Notas:

a) é óbvio que N  Z  Q  R b) Ir  R

c) um número real é racional ou irracional; não existe outra hipótese!

1.6 – Representações gráficas do conjunto dos números reais.

Diagrama de Venn:

N  Z  Q  R e R = Q  Ir Fig. 6

1.6.1 – Representação de conjuntos e Intervalos em R

É comum fazermos a representação de números ou conjuntos reais em uma reta. Uma reta é o conjunto de infinitos pontos. Para cada ponto existente em uma reta, existe a ele associado um número real. Dizemos que existe uma correspondencia um a um entre os números reais e os pontos de uma reta. O número zero, representa a origem da reta, a partir do qual os números são representados de forma equidistante para direita quando positivos e para esquerda quando negativos. Diz-se que são simétricos e opostos. (por exemplo: os números 1 e -1 estão a uma mesma distância da origem).

Fig. 7

Para representar um número real numa reta, utilizamos um ponto realçado sobre o lugar que se encontra o número em questão.

Exemplo 8: Para representar os números: -2, 0, 3 e 4.

Intervalos N Z Q Ir R -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Sendo a e b dois números reais, com a < b, temos os seguintes subconjuntos de R chamados intervalos.

Intervalo fechado nos extremos a e b: =

Note que os números a e b existem no intervalo e são representados por uma bola fechada.

Intervalo fechado em a e aberto em b:

Note que o números b não existe no intervalo por isso deve ser representado por uma bola aberta. Você pode perguntar… Porque não representar o número imediatamente menor que b, já que b não existe o intervalo?

Mas qual é o número imediatamente menor que b? Se estamos falando em números infinitos? Quem estaria antes de 4? 3,99999999999999999….. quando parar esta dízima? Como não podemos identificar este número, a bola aberta diz que o número chegou no limite do número b, mas que ainda foi menor.

Intervalo aberto em a e fechado em b:

Intervalo aberto em a e b:

Temos também intervalos que vão ao infinito:

] - ∞, b] = {x  R | x ≤ b}

Nota:

G Intervalos abertos ] e [ podem ser simbolizados por ( e ) respectivamente.

a

b

b

a

b

a

b

a

a

b

G O conjunto dos números reais pode ser representado por: R = (-, +). Quadro resumo:

Fonte: O rei das apostilas – matemática para concurso

Exercícios resolvidos:

3 – Represente na reta real os intervalos: a) [1;7]

Resp.

b) [3;9)

Resp.

1.7 – Operações com Conjuntos

1.7.1 - Produto Cartesiano

A partir de dois conjuntos A e B é possível definir um novo conjunto designado de produto cartesiano de A por B, e representado por AxB, constituído por todos os pares ordenados formado por elementos de A e B .

A x B = {(x, y) : x  A e y  B}

Exemplo 9: Seja A={2,3,6}, obtenha A2_{(A x A)}

Temos A x A = {(2,2), (2,3), (2,6), (3,2), (3,3), (3,6), (6,2), (6,3), (6,6)} Nota:

G (x,y) ≠ (y,x)

A noção de produto carteziano expande-se de forma natural para qualquer número finito n>2 de conjuntos.

A partir de n conjuntos A1, A2, A3, …, An, é possível definir um novo conjunto

designado de produto cartesiano, e representado por A1 x A2 x A3 x … x An, ou

, constituído pelos conjunto das n-uplas (a1, a2, a3, …,an) com a1 A1

a2  A2, a3  A3, …,an  An)

A x B = {(x, y) : x  A e y  A} 1.7.2 – União

A união (AUB) pode ser entendida como o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A ou ao conjunto B ou a ambos.

A U B = {x : x  A ou x  B} Fig. 8 Nota: G A  A U B G B  A U B Exemplo 10:

a) Sejam A={2,3,6} e B={4, 6, 10} - Temos A U B = {2, 3, 4, 6, 10} b) Sejam A=Q (conj. Dos números racionais) e B= I (conj. Dos números

irracionais) - Temos A U B = R (conj. Dos números reais)

c) Sejam A={x  N : x < 15} e B={ x  N : x > 8} - Temos A U B = N

1.7.3 – Interseção

A interseção (A∩B) pode ser entendida como o conjunto de todos os elementos que pertencem tanto ao conjunto A como ao conjunto B.

A ∩ B = {x : x  A e x  B}

A B

Fig. 9 Nota:

G A ∩ B  A G A ∩ B  B

Sempre que, A ∩ B = , os conjuntos A e B são ditos disjuntos.

Exemplo 11: Para os conjuntos definidos no ex. 10. a) A ∩ B = {6}

b) A ∩ B = 

c) A ∩ B = {9, 10, 11, 12, 13, 14} Exercícios resolvidos:

4 - Sendo A=[1;7] e B=[3;9), determine os conjuntos abaixo:

Resp.

a)

Analisando as retas abaixo, constatamos que a intersecção entre A e B é dada pela área compreendida entre as retas azuis.

7

1

A

9

3

B

Logo: = [3;7] b)

Novamente analisando as retas, constamos que a união entre A e B é dada pela área compreendida entre as retas verdes, não contando 9, pois [3;9[

Logo: = [1;9[

1.7.4 – Principais propriedades das operações de união e interseção de conjuntos.

U ∩ Propriedade 1 A U  = A (Elemento neutro) 1 A ∩  =  2 A U A = A 2 A ∩ A = A Reflexiva 3 A U B = B U A 3 A ∩ B = B ∩ A Comutativa 4 (A U B) U C = A U (B U C) 4 (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) 5 (A U B = A)  (B  A) 5 (A ∩ B = A)  (A  B) 6 (A  B, D  E)  (A U D  B U E) 6 (A  B, D  E)  (A ∩ D  B ∩ E) 7 A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C) 7 A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C) Distributiva 8 8 A ∩ U = A (Elemento neutro) 1.7.5 - Complemento

O complemento de um conjunto A` ou CA pode ser entendida como o

conjunto de todos os elementos que não pertencem tanto ao conjunto A mas pertencem ao conjunto Universo.

A` = {x : x  U e x  A}

7

1

A

9

3

7

B

3

A

 B

7

1

A

9

3

B

1

9

A

 B

Fig. 10

Exemplo 12:

a) Sejam A = {0, 1, 2} e U=N (Conjunto dos números naturais). Temos A`= {x N : x ≥ 3}

1.7.6 - Diferença

A O conjunto da diferenção entre A e B, A – B ou CAB é o conjunto

formado por todos os elementos que não pertencem ao conjunto A mas não pertencem ao conjunto B. A - B = {x : x  A e x  B} Fig. 11 Exemplo 13: a) Sejam A = {0, 1, 2, 6, 8, 9} e B = {1, 3, 6 ,7, 9 ,10}. Temos A - B= { 0, 2, 8}

Exercício: Verificar a proposição “Para A e B conjuntos arbitrários de U, temos (A – B) ∩ (B – A) = , ou seja (A – B) e (B – A) são disjuntos.

1.7.7 – Mais propriedades das operações de conjuntos. 1 A U A` = U 2 C(CA) = A 3 A  B  CB  CA 4 A =   CA = U A U A U B

5 A ∩ A` =  6 C (A U B) = CA ∩ CB 7 C (A ∩ B) = CA U CB 8 (A = U)  (CA = ) 1.7.8 – Leis de Morgan 1 (A ∩ B)` = A` U B` 2 (A U B)` = A` ∩ B` 3 A - (B U C) = (A – B) ∩ (A - C) 4 A - (B ∩ C) = (A – B) U (A - C) 1.8 - Exercícios Conjuntos

1) Dado os conjuntos A={1,2} e B = {2,3}, obtenha AxB, BxA, A2 _{e A}3_.

Referências bibliográficas:

- Texto adaptado das notas de aulas do Prof Paulo Marques, 02 de novembro de 2000, Feira de Santana – BA.

- SILVA, S. M. Matemática Básica para Cursos Superiores. São Paulo. Atlas 2001.

- DANTE, L. R. – Tudo é Matemática. São Paulo. Ática, 2005.

- MARTINS, M. T. F. de O. Textos de Matemática-Tópicos fundamentais da matemática. Coimbra. FCT.1999.

Funções - Introdução

Ao estudarmos os fenômenos que ocorrem na natureza, no comércio, no mercado, na saúde, na economia, na física, na astronomia e em toda e qualquer área de conhecimento e atuação do homem, é fundamental estabelecermos relações entre as grandezas envolvidas em tais fenômenos.

Exemplo 1: Um automóvel desenvolve velocidade constante de 80 km/h, em um trecho retilíneo de uma estrada.

A grandeza distância percorrida (d) pelo automóvel depende da grandeza tempo (t).

Tempo dirigido (hora) t 1 2 3 4

Distância percorrida (km) d 80 160 240 320

Observemos que para cada valor de t se associa um único valor de d. Assim, dizemos que a distância d se relaciona ao intervalo de tempo t.

As relações entre as grandezas, podem ser explicadas através de um função. Podemos considerar uma função (f) como um mecanismo transformador de uma variável X (valor) em outra variável Y.

Se introduzirmos um conjuntos de valores através de x neste mecanismo, que é operado por um método de transformação f, obteremos um conjunto de valores saindo através de y.

Exemplo 2: Se introduzir o conjunto de valores A = {2, 3, 4, 5} através do mecanismos que transforma estes valores em y = a + 5, obteremos como resultado, o conjunto de valores B = {7, 8, 9, 10}

f

X

De modo geral, dados dois conjuntos A e B não nulos, e uma relação f de A em B, dizemos que uma aplicação é uma função de A em B se, e somente se, para TODO x є A existe um ÚNICO y є B, de modo que (x,y) є f. Ou seja a função é considerada um conjunto de pares onde x  A e y  B, onde para cada x só existe um único valor associado y.

No exemplo 2 anterior temos:

A relação entre A e B é uma função f: A  B, definida pela lei f(x) = x + 5. Exemplo 3: Verificar se o conjunto de pares constitui uma função.

{(3,5); (2,4); (5,8); (6,12); (7, 12), (8,15)}

Solução: Este conjunto de pares é uma função pois para cada valor x do par ordenado (x,y), existe apenas um único valor associado a este.

Exemplo 4: Quais das relações entre os conjuntos abaixo determina uma função.

f =x+5

x

y

2

3

4

5

A

7

8

9

10

B

2

3

4

5

A

7

8

9

10

a) b)

R. função. R. não é função.

c) d)

R. não é função. R. função.

e)

R. função.

Encontramos o uso de função nos mais variados assuntos. Por exemplo:

- O preço a ser pago numa conta de luz depende da quantidade de energia consumida.

- O preço cobrado por cada produto numa loja, depende do preço de custo do mesmo.

- O valor da multa paga por exceder o limite da lombada eletrônica é uma função da velocidade do veículo.

0 2 4 6 8 A 0 1 2 3 4 5 6 B -1 0 1 2 A 0 1 2 4 B 4 9 A 2 - -2 1 3 0 B -1 1 0 -2 2 A 2 1 0 3 4 B 2 4 5 A 0 B

- O Iptu é função da área construída;

- A quantidade de informação armazenada num computador é função do tamanho da memória;

- A hora do dia é uma função da posição do Sol;

- O n° de horas com sol num determinado dia e local é uma função da inclinação da terra em relação ao Sol.

Domínio, contradomínio e imagem:

Considere os conjuntos A={0, 2, 4} e B={0, 1, 2, 3, 4} e a função f: A  B, definida pela lei f(x) =

Então, para uma função f de A em B, definimos:

 Domínio: É o conjunto de todos os elementos pertencentes ao conjunto A. Indicamos esse conjunto por D(f). No exemplo, D(f) = A.

 Contradomínio: É o conjunto de todos os elementos pertencentes ao conjunto B. Indicamos esse conjunto por CD(f). No exemplo CD(f) = B.

 Imagem: É o conjunto formado pelos elementos de B que estão associados aos elementos de A, de acordo com a lei dada. Indicamos esse conjunto por Im(f). No exemplo, Im(f) = {0, 1, 2}. Observemos que Im(f) é um subconjunto de CD(f), isto é,

Im(f) CD(f).

Apresentando f por um diagrama de flechas, temos:

Observações:

Indicamos uma função f de A em B por f: A B (que se lê: “f é função de A

em B”) ou f: x y (que se lê: “f é função de x em y”).

Como x e y têm seus valores variando nos conjuntos A e B, estes recebem os nomes de variáveis. Domínio A 0 2 4 0 1 2 3 4 Imagem Contra domínio 2 x



Uma função f fica definida quando são dados seu domínio, seu contradomínio e a lei de associação y = f(x).

{f: N  R / f(x) = x+3}; {f: (2,3)  (1, 2, 3, 4, 5, 6) / f(x) =2x} Toda vez que uma função f for dada apenas por uma sentença matemática y = f(x) fica subentendido que a função está definida de ℛ em ℛ (conjunto dos números reais), ou seja, o seu domínio é subconjunto de ℛ e o seu contradomínio também.

Exercícios:

1. Dadas as funções expressas pela fórmulas matemáticas abaixo, defina o domínio e o contradomínio de cada uma.

Resp.: Como (x+1) é denominador, este não poderá ser nulo, portanto, x+1 ≠ 0  x ≠ -1.

Daí, D(f) = { x  R | x ≠ -1} e CD = R.

Resp.: A lei que define esta função envolve uma raiz quadrada. Como a raiz de índice par não é definida para números negativos, então o domínio é formado pelos valores de x, tais que x – 4 ≥ 0, isto é, x ≥ 4. Portanto, D(f) ={x  R | x ≥ 4}.

2. Verificar se o conjunto de pares constitui uma função. Se a resposta for afirmativa, determine o domínio e o conjunto imagem da função.

a) {(2,3), (-1, 2), (12, 5), (8, 5)} b) {(0,0), (-2, 4), (0,3), (3,5), (6,6)}

3. Dados os conjuntos C = {xZ / -3 ≤ x< 2} e D = {yN / y ≤ 7}, verifique se as relações são funções de C em D.

a) {(x,y)  C x D / y = x+1} b) {(x,y)  C x D / y = x² - 1}

c) {(x,y)  C x D / y = |x|} d) {(x,y)  C x D / y = x}

4. Estabelecer as condições para que x tenha imagem nas funções dadas pelas regras: a) x  [0,5] e y = 1 + x² R. x  [0,5] b) y = x² + 3x + 1 R. x  R

c) y = (2x – 5) R. {x  R / y ≥ 52}

d) y = -2x + 10, onde y representa o preço unitário de venda de um bem e x a quantidade comercializada. R. {x  R / 0 < x < 5} 1 5 ) ( a)   x x f 4 ) ( b) f x  x

Construção de gráficos

Para construir um gráfico cartesiano de uma função f, basta atribuir valores do domínio à variável x e, usando a sentença (lei) matemática que define a função, calcular os correspondentes valores da variável y.

Se quisermos, por exemplo, construir o gráfico cartesiano da função definida por y = x/2 com o domínio D={2, 4, 6, 8}, basta calcular os valores de y quando x assume cada um dos valores do domínio.

Se representarmos no plano cartesiano todos os pares ordenados (x, y) com

x D(f) e y = f(x), obteremos um conjunto de pontos que é o gráfico de f.

Exemplo 1: Representar graficamente o conjunto de pares ordenados da função f: [2, 6]  R onde y = 2x + 1

Solução: Uma maneira fácil de visualizar os pontos desta função é utilizando uma tabela onde serão colocados os valores de x (domínio) e y (imagem). Marca-se os pontos (x,y) que se correspondem e liga-os através de uma linha.

X 2 3 4 5 6

Y 5 7 9 11 13

Exercício 1: Represente graficamente as funções definidas de ℛ em ℛ:

a) y = 2x b) y = 3 c) y = x2 _{– 1}

Função Crescente e função Decrescente

Dada uma função f: A  B, dizemos que f é crescente em um conjunto A’, A’ A, se e somente se, para quaisquer x1  A’ e x2  A’, com x1 < x2, tivermos f(x1) <

f(x2).

Por exemplo, a função f: ℛ  ℛ definida por f(x) = x+1 é crescente em ℛ, pois x1< x2  x1+1< x2+1  f(x1) < f(x2).

Por outro lado, dada uma função f: A  B, dizemos que f é decrescente em um conjunto A’, A’ A, se e somente se, para quaisquer x1  A’ e x2  A’, com x1<x2, tivermos f(x1)>f(x2).

Por exemplo, a função f: ℛℛ definida por f(x) = -x+1 é decrescente em ℛ, pois x1<x2  -x1>-x2  -x1+1 >-x2+1  f(x1)> f(x2).

1) Dadas as funções y = x – 1, y = -x + 3 , definidas de ℛ em ℛ, responda: a) Quais funções são crescentes? E decrescentes?

b) Represente estas funções graficamente.

c) O que podemos observar em relação às representações gráficas? 2) Dadas as funções y = x2 _{e y = - x}2 _{, definidas de ℛ em ℛ, o que podemos observar}

em relação as suas representações gráficas? E quanto a serem crescentes e/ou decrescentes?

Propriedades de uma função

Função sobrejetora: Dizemos que uma função é sobrejetora se, e somente se, o seu conjunto imagem for igual ao contradomínio.

Por exemplo, se f: ZZ é definida por y = x+5, é sobrejetora, pois Im=Z. Analisemos a função g representada no diagrama:

Função Injetora: A função é injetora se elementos distintos do domínio tiverem imagens distintas.

Por exemplo, a função f: ℛ  ℛ, definida por y = 3x é injetora, pois x1 ≠

x2 3x1 ≠ 3x2  f(x1) ≠ f(x2).

Observemos a função h, representada no diagrama: 0 2 4 6 8 A 0 4 16 36 B

g é sobrejetora, pois seu conjunto imagem é igual ao contradomínio. 1 2 3 8 A 2 3 4 36 B

h é injetora, pois elementos distintos do domínio têm imagens distintas.

Função bijetora: Temos uma função bijetora quando ela é sobrejetora e injetora ao mesmo tempo. Por exemplo, a função f: ℛℛ definida por y=3x é injetora, como vimos anteriormente. Ela também é sobrejetora, pois Im = B = ℛ. Logo esta função é bijetora.

A função f representada abaixo é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo e, portanto, bijetora, por definição.

Analisando no gráfico o domínio e o contradomínio

Ao analisarmos o gráfico de uma função, é possível obtermos informações sobre as propriedades que a caracterizam, identificar graficamente o domínio, contradomínio e a imagem e muitas outras informações.

Exemplos:

A função definida acima é injetora, crescente, de Dom = [2, 6] e Im = [5, 13]. Bibliografia:

“Adaptado do” Projeto: Trabalhando Funções; Deyane Laura Soares, Janine Freitas Mota UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MONTES CLAROS - CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS - DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CURSO DE LICENCIATURA PLENA EM MATEMÁTICA

Problemas função – conceitos gerais e construção de gráficos. 1 2 3 8 A 2 3 4 B

1 – O valor de revenda de certa máquina industrial diminui durante um período de 10 anos a uma taxa que varia com o tempo. Quando a máquina tem x anos de uso, a taxa com que o valor está variando é 220(x-10) reais por ano. Qual é a depreciação da máquina durante o segundo ano?

2 – Os responsáveis por uma exposição estimam que, t horas após os portões serem abertos ás 9h, os visitantes estarão entrando na exposição à taxa de -4(t + 2)³ + 54(t + 2)² pessoas por hora. Quantas pessoas entrarão na exposição entre 10h e meio dia? 3 – Em certa fábrica, o custo marginal é 6(q – 5)² reais por unidade quando o nível de produção é q unidades. Qual é o aumento do custo de fabricação quando o nível de produção aumenta de 10 para 13 unidade?

4 – Estima-se que após t dias a quantidade de feijão colhida por um fazendeiro estará aumentando à razão de 0,3t² + 0,6t + 1 sacos por dia. Qual será o aumento do valor da colheita nos próximos 5 dias se o preço do saco de feijão permanecer constante em R$ 3,00 reais?

5 – Após t horas de trabalho, um operário é capaz de produzir Q1(t) = 60 – 2(t – 1)²

unidades por hora, enquanto um segundo operário é capaz de produzir Q2(t) = 50 – 5t

unidades por hora:

a) Se os dois operários chegarem ao trabalho às 8 h, quantas unidades a mais que o segundo operário o primeiro operário terá produzido até o meio dia?

b) Calculando a produção para um período de 8 horas, qual seria o funcionário que a empresa deveria contratar?

6 – Analisando o gráfico abaixo, referente ao exercício 5, responda:

a) O gráfico está correto no que se refere ao uso dos valores de X? Por quê? b) Porque as curvas apresentadas por cada funcionário têm formas diferentes?~ c) Qual o domínio e a imagem das funções?

7- Um fabricante observou que quando q unidades de certo produto são produzidas, o preço para o qual todas as unidades são vendidas é p=300 / (0,1q + 1)²

a) Quantas unidades o fabricante deverá vender se o preço for fixado em p0 = R$ 12,00

a unidade?

b) Para vender 70 unidades, qual será o preço que o produtor deve cobrar?

8 - Faça um gráfico que represente a situação das 2 empresas de táxi, citada abaixo, num mesmo plano cartesiano.

Situação: Em uma determinada localidade uma empresa de táxis pequenos cobra a seguinte tarifa: bandeirada R$ 2,00 e R$ 2,00 por km rodado. Uma outra empresa cobra R$ 3,00 por km rodado e não cobra bandeirada.

9 – (Dolce et al) O preço do serviço executado por um pintor consiste em uma taxa fixa, que é de R$ 25,00, mais uma quantia que depende da área pintada. A tabela abaixo mostra alguns orçamentos apresentados por esse pintor. Observando a tabela, responda:

Área pintada

(em m²) Total a pagar (em reais)

5 35 10 45 15 55 20 65 40 105 80 185

a) Qual a função que define o orçamento pela pintura de x metros quadrados? b) Qual será o preço cobrado para uma área de 150 m²?

c) Qual a área máxima que pode ser pintada se alguém dispõe de R$ 625,00? 10 – (Dolce et al) O número y de pessoas (em milhares) que tomam conhecimento do resultado de um jogo de futebol, após x horas de sua realização, é dado por y = √x. Responda:

a) Quantas pessoas já sabem o resultado do jogo após 4 horas? b) quantas pessoas sabem do resultado após 1 dia?

c) Após quantas horas de sua realização, 30 mil pessoas tomam conhecimento do resultado do jogo?

11 - Um automóvel perde valor de mercado assim que é retirado da concessionária. De maneira que inicialmente ele vale 10% menos, e vai diminuindo seu valor em 5% por ano, até atingir a metade do seu valor inicial.

a) construa uma lei para a função que determina a desvalorização deste automóvel. Prç = 40500 – (2025 x a) ou y = 40500 – 2025x

b) Sendo de R$ 45.000,00 o valor do carro em 2005, responda: b.1) qual o domínio da variável x? 0 a n anos.

b.2) Qual a imagem da função ? 22500 a 40500

b.3) Tendo, o proprietário vendido este carro 6 anos depois pelo valor de R$ 29.000,00, esta negociação foi vantajosa para o dono do carro (pelo mercado)? c) mostre a desvalorização num gráfico.

12 – Um flanelinha recebe em média R$0,50 por carro que olha. Considere que, por dia, num ponto de estacionamento circulam em média 100 carros, destes, em geral 70% deixam a gorjeta para o flanela. Este, por sua vez, para trabalhar no ponto, gasta R$ 3,00 com uma quentinha e paga ao “dono” do ponto (um flanela mais antigo) 20% do seu

faturamento. Considerando que trabalha 25 dias por mês e que na cidade de João Pessoa se fez um levantamento em janeiro de 2005 que mostrou a existência de 800 destes trabalhadores informais, e que os números apontam uma tendência de crescimento de 1% ao mês. Responda o que se pede:

a) Qual o salário mensal líquido de um flanelinha?

b) Determine uma função para a receita e outra para o custo de um flanelinha. c) De quantos carros ele precisa receber para começar a ter lucro em seu negócio? d) Suponha que a prefeitura, com intenção de calcular o montante que deixa de recolher de ISS com esta atividade informal, decide fazer uma projeção (utilizando suas

informações em janeiro) de quanto estaria arrecadando em reais por mês, se esta atividade vier a ser formalizada. Estabeleça uma lei para o valor do ISS em função do número de flanelinhas.Esboce um gráfico desta projeção.

e) Em Agosto qual será o número de flanelinhas previsto para João Pessoa?

13 – A função do número de pessoas que recebem uma corrente por e-mail em cada hora é dada por f(x) = 10x_{. Se uma corrente é lançada neste momento, quantas pessoas a}

terão recebido daqui a 8 horas se esta não for quebrada?

14 – O custo total de produção consiste numa sobretaxa de R$ 5.000,00 somada ao custo de produção, que é de R$60,00 por unidade. Expresse o custo total de produção como uma função do número de unidades produzidas e construa o gráfico

correspondente.

15 – A Cia Beta Ltda. Produz determinado artigo e o vende a um preço unitário de R$ 230,00. Estima-se que o custo total CT para produzir q unidades é dado por CT = q³ - 3q² +4q + 2 e que a capacidade mensal máxima de produção é de 20 unidades.

a) Expresse o lucro L em função da quantidade produzida.

b) Construa uma tabela para o lucro, com q variando com passo 1. c) Esboce o gráfico do lucro.

d) Suponha q número inteiro, qual o valor de q que torna o lucro máximo? 16 - Uma empresa apresenta dois tipos de pagamento para serviços telefônicos:

plano A: taxa de R$40,00 mais R$1,20 por ligação. plano B: taxa de R$100,00 mais R$0,80 por ligação.

Qual é o maior número de ligações que podem ser feitas de modo que o plano A continue sendo mais econômico que o plano B? Mostre graficamente.

R.149

17 - Uma dona de casa resolve gerenciar suas despesas com empregados. Para cada empregado que contrata, paga um salário mínimo (R$ 300,00), 12% de INSS, após cada ano mais um salário de 13° e 1/3 férias, como manda a lei para domésticos.

a) Determine uma lei que defina o 13° salário proporcional a quantidade de meses trabalhado pelo empregado.(R. S13 = 25*m)

b) Determine uma função para o total pago (incluindo INSS) a um empregado com relação a quantidade de meses trabalhados. (R. ST = 373,33m)

c) Com a intenção de ao chegar o final do ano, não tenha que retirar de seu salário os valores do 13° e 1/3 de férias, quanto esta dona de casa deve poupar por mês para que esta quantia esteja disponível ao final de um ano, se seu banco trabalha com uma taxa de juros de 1,02% ao mês?

Aula – Função Linear Definição:

É uma função f de R em R que tem a seguinte expressão analítica: y = ax com a  R e a  0;

- Seu gráfico é sempre uma curva reta;

- A constante a é chamada de coeficiente angular da reta. Determina o ângulo de inclinação da reta com relação ao eixo horizontal x. E é calculada pela tangente da reta:

- Se a = 1  f(x) = x, a função é chamada função identidade, pois leva todo valor de x ao mesmo valor em y.

- Quando a curva da função não cruzar o eixo x no ponto zero (0) dá-se o nome da função de função afim, e esta apresenta a forma:

y = f(x) = ax + b

onde a e b são constantes reais, com a  0

e b é o coeficiente linear da reta. Ou seja, a distância em y que a reta toma em relação ao eixo x no ponto x = 0.

x

y

x

y

É o valor de f(0), dado por: b = y - ax - Se x = 0, temos uma função constante: f(x) = b

Usaremos as funções lineares para trabalhar com receita, demanda, oferta e custo.

Exemplo 1: Dez relógios de pulso são vendidos quando o seu preço é de R$ 80,00; 20 relógios de pulso são vendidos quando seu preço é de R$ 60,00. Qual é a função linear determinada por esta relação?

Resolução: A variável dependente para este problema é a quantidade, que varia de acordo com o preço, o que nos levaria a colocar tal variável no eixo y. Mas

convencionou-se na economia, representar a variável dependente, nos casos de receita, custo, demanda e oferta, no eixo x. Então, o gráfico ficará:

x

y

x

y

b = y – ax  para y1 = 80 e x1 = 10, b = 80 – 10(-2)  b = 100 E a função, seguindo o modelo y = ax + b, será:

Pr = -2Qt + 100 e para o modelo da economia temos: D (demanda) = Qt = 50 – Pr/2

Problemas de função linear

1 - Desde o início do ano, o preço do pão de farinha integral, em determinado supermercado, vem sofrendo aumento mensal de R$ 0,02. No primeiro dia de

novembro, cada pão custava R$ 0,64. Exprima o preço do pão em função do tempo e calcule o preço cobrado no início do ano.

2 – O custo total de produção consiste numa sobretaxa de R$ 5.000,00 somada ao custo de produção, que é de R$60,00 por unidade. Expresse o custo total de produção como uma função do número de unidades produzidas e construa o gráfico correspondente. 3 – Certa agência locadora de automóveis cobra R$ 20,00 por dia. Mais R$ 0,14 por quilômetro percorrido.

a) Exprima o custo diário da locação de um automóvel desta agência, em função do número de quilômetros percorridos. Construa o gráfico correspondente.

b) Quanto custa o aluguel diário de um automóvel, sabendo-se que se pretende realizar uma viagem de João Pessoa a Campina Grande? (120km)

c) Quantos quilômetro um cliente percorreu se pagou R$ 45,20?

4 – Certa escola permite que a matrícula para um de seus cursos seja feita

antecipadamente via correio, ou pessoalmente, no decorrer da primeira semana de aulas. Nesta última hipótese, o funcionário encarregado de efetuar as matrículas consegue registrar 35 alunos por hora. Suponha que, após 4 horas de trabalho na semana em questão, haja 360 alunos registrados (incluindo os que se matricularam com antecedência).

a) Expresse o número de alunos em função do tempo e construa o gráfico correspondente.

b) Qual é o número de alunos matriculados após 3 horas?

c) Qual é o número de alunos matriculados anteriormente, durante o verão? 5 – A taxa de inscrição de um clube de natação é de R$ 150,00 para o curso de 12 semanas. Se uma pessoa se inscreve após o início das aulas, a taxa é reduzida linearmente.

a) expresse a taxa de inscrição em função dôo número de semanas transcorridas desde o início do curso e construa o gráfico correspondente.

b) calcule quanto uma pessoa pagou ao se inscrever 5 semanas após o início do curso. Qt (demandada)

Pr

6 – Um médico possui livros técnicos no valor de R$ 150.000,00 – valor que para efeito do imposto de Renda, sofre uma depreciação linear até zero, num período de 10 anos. Expresse o valor dos livros como função do tempo e construa o gráfico correspondente. 7 – Um fabricante adquiriu uma máquina por R$ 20.000,00 – valor que, após 10 anos sofre depreciação linear até R$ 1.000,00.

a) expresse o valor da máquina em função do tempo de compra transcorrido e construa o gráfico correspondente.

b) calcule o valor da máquina após 4 anos.

8 – Desde o início do mês, um reservatório de água de determinado local tem sofrido um vazamento numa razão constante. No dia 12, o reservatório possuía 200 milhões de litros de água e, no dia 21, possuía somente 164 milhões de litros.

a) Expresse a quantidade de água como uma função do tempo e construa o gráfico correspondente.

b) Quantos litros de água havia no reservatório dia 8?

9 – A medida da temperatura em graus Fahrenheit é uma função linear da medida em graus Celsius (centígrados). Escreva a equação desta função. (Lembre-se que 0°C = 32°F e 100°C = 212°F)

a)Qual o valor de 15°C em Fahrenheit? b) Qual o valor de 68°F em Celsius? 10 – Para encorajar pessoas ao uso do sistema de transporte solidário, o Departamento de Trânsito de uma certa região ofereceu um desconto especial no pedágio para veículos que transportassem 4 ou mais pessoas. Há trinta dias, durante o horário matinal de maior de maior movimento de carros, apenas 157 veículos obtiveram o desconto. Desde então, o número de veículos com direito ao desconto aumentou numa razão constante. Hoje por exemplo, 247 veículos receberam o desconto.

a) Expresse o número de veículos com direito ao desconto, em cada manhã, em função do tempo, e construa o gráfico correspondente.

b) Daqui a 14 dias, quantos veículos terão direito ao desconto?

11 – A cada 10 anos, um certo livro raro tem seu valor duplicado. Originalmente, o preço do livro era de R$ 3.000,00.

a) Quanto valerá o livro, quando tiver 30 anos? E quando tiver 40? b) a relação entre o valor e o tempo do livro é linear? Explique.

12 – Um fabricante vende a unidade de certo produto por R$ 110,00. O custo total consiste em uma taxa fixa de R$ 7500,00 somada ao custo de produção de R$60,00 por unidade.

a) Quantas unidades o fabricante precisa vender par atingir o ponto de equilíbrio? b) Se forem vendidas 100 unidades, qual será o lucro ou prejuízo do fabricante?

c) Quantas unidades o fabricante necessita vender para obter um lucro de R$ 1.250,00? 13 - Nos quesitos abaixo, calcular o coeficiente angular (se possível) da reta que passa pelos pontos dados.

a) (2, -3) e (0,4) b) (-1, 2) e (2 e 5) c) (2, 0) e (0, 2) d) (5, -1) e (-2, -1) e) (2, 6) e (2, -4)

14 – Nos quesitos abaixo, calcule o coeficiente angular e o coeficiente linear (se existir) da reta dada e construa o gráfico correspondente.

a) y = 3x b) y = 3x – 6 c) 3x + 2y = 6 d) 5y – 3x = 4 e) (x/2) + (y/2) = 1 f) y = 5x + 2 g) x + y = 2 h) 2x – 4y = 12 i) 4x = 2y + 6 j) y = 2

15 – Nos quesitos abaixo, escreva a equação da reta que possui as propriedades indicadas.

a) Passa por (2, 0) e o coeficiente angular é 1; b) Passa por (-1, 2) e o coeficiente angular é 2/3; c) Passa por (5, -2) e o coeficiente angular é -1/2;

d) Passa por (0,0) e o coeficiente angular é 5; e) Passa por (2, 5) e é paralela ao eixo x; f) Passa por (2,5) e é paralela ao eixo y; g) Passa por (1,0) e (0, 1);

h) Passa por (2, 5) e (1, -2); i) Passa por (-2, 3) e (0,5); j) Passa por (1, 5) e (3, 5); k) Passa por (1,5) e (1,-4);

16 – (UF-SE) Na figura abaixo tem-se o gráfico da função do primeiro grau definida por y = ax + b.

o valor de a/b é igual a:

a) 3 b) 2 c) 3/2 d) 2/3 e) ½

17- (EU-RJ) A promoção de uma mercadoria em um supermercado está representada, no gráfico abaixo, por 6 pontos de uma mesma reta.

3

Quem comprar 20 unidades dessa mercadoria na promoção, pagará por unidade, em reais, o equivalente a:

a) 4,50 b) 5,00 c) 5,50 d) 6,00

7) O herói de um filme de espionagem escapou do quartel – general de uma quadrilha internacional de contrabandistas de diamantes, no pequeno país europeu de Azusa. Nosso herói, dirigindo um caminhão de leite roubado, a 72 Km / h, tem uma dianteira de 40 mim em relação aos perseguidores, que estão numa Ferrari a 168 Km / h. Se chegar a fronteira, que fica a 83,8 quilômetros do esconderijo dos bandidos, estará salvo.

7.1) Será que vai conseguir?.

7.2) Determine uma função de espaço percorrido em função do tempo para cada carro.

7.3) Em que momento os dois carros se encontram? Mostre graficamente. 7.4) Quando a ferrari andou 60 km, a quantos quilômetros estava do caminhão de leite?

150

5

Valor total da compra (R$)

50

20 Quantidade de unidades

compradas 30

Exercícios ponto de equilíbrio

1 – (Hoffmann, 1990) Calcule o preço de equilíbrio e o número correspondente de unidades em oferta e procura, sabendo que a função oferta de um certo produto é: S(p) = p² + 3p – 70 e a função de procura é: D(p) = 410 – p.

2 – Uma fábrica de móveis vende mesas por R$ 7.000,00 cada. O custo total de produção do fabricante consiste em uma sobretaxa de R$ 800.000,00 somada ao custo de produção de R$ 3.000,00 por mesa.

a) Determine o número de mesas que o fabricante precisa vender para existir o nivelamento.

b) Determine o número de mesas que o fabricante precisa vender para obter um lucro de R$ 600.000,00.

c) Calcule o lucro ou prejuízo do fabricante ao vender 1500 mesas.

d) No mesmo para de eixos, construa o gráfico das funções de ganho total e do custo total. Explique o que o gráfico revela em relação a sobretaxa.

3 - Uma locadora de dvd e vhf, funciona num ponto comercial a cerca de 1 ano. Seu volume médio de locações mensal é de 1500 unidades, com locação de R$ 4,00 por unidade. Sendo de 3% o imposto pago ao governo pelo serviço de locação e suas despesas fixas de funcionamento no atual ponto abaixo descriminadas:

- Salário de três funcionários ganhando R$ 320,00 cada, diárias com faxineira R$ 120,00 por mês, Atualização mensal do acervo R$ 100,00, Energia R$ 450,00, Aluguel e condomínio R$ 800,00, e despesas com contador R$ 260,00, material de divulgação R$ 50,00.

O proprietário quer avaliar se é vantajoso a mudança de ponto para um lugar mais visível, que segundo pesquisa encomendada, aumentaria o volume de locação de fitas da loja em 40%. Considerando que, com as novas previsões de expansão no volume de vendas, a locadora terá necessidade de aumentar o quadro de empregados em 1, que o aluguel do novo ponto é 30% superior ao primeiro, que necessitará de 28% a mais de energia para a iluminação da nova loja e que as demais despesas permanecerão constantes.

a) Identifique se é vantajoso efetuar esta nova mudança.

b) Qual o aumento percentual no lucro da loja com a mudança de ponto? c) Qual o aumento percentual nas despesas?

d) Qual o lucro mensal obtido no ponto original?

e) Considerando que será preciso um investimento em reforma e mudança de R$ 15.000,00. Custo este que poderá ser parcelado mensalmente, e que o proprietário deseja separar 70% do lucro do estabelecimento para o pagamento deste investimento, em quanto tempo este proprietário conseguiria quitar as dívidas com a nova mudança? f) Qual o percentual de lucro que o proprietário está arriscando neste novo

investimento? Ou seja, caso não aconteça a previsão de aumento do volume de vendas, quanto ele perderá de faturamento na sua receita, considerando que o volume de vendas permanecerá o mesmo?

g) Nesta nova situação em quanto tempo o novo investimento poderia ser pago, considerando o mesmo percentual de reserva destinada a este propósito (70% do lucro)

4 - Imagine o dono de um teatro que tem completa liberdade em determinar os preços dos ingressos. Quanto mais ele cobra, menos pessoas podem pagar pelos ingressos. (de acordo com o gráfico abaixo) Em uma experiência recente o dono determinou uma relação precisa entre o preço de um ingresso e a lotação média do teatro. Infelizmente o aumento da lotação vem com um preço: Cada freqüentador custa mais $0,06.

Considerando que a lotação do teatro é de 500 pessoas e considere a relação abaixo determina nos gráficos, responda:

a) Determinar no gráfico 1 qual a curva de receita e a de custo. b) Qual o custo inicial da apresentação?

c) Qual mais vantajoso: cobrar R$ 5,00 ou R$ 3,00 pelo ingresso?

d) Qual o preço do ingresso com o qual o dono possa obter o maior lucro em cada apresentação.

e) Quais as lotações que ele pode ter para chegar num equilíbrio? (custo e receita se igualarem)

5 - (pt equilíbrio) Observe no gráfico abaixo a relação entre receita e custo de um fabricante e responda as perguntas abaixo:

a) Qual o custo fixo deste fabricante?

b) Identifique a curva de receita e a de custo no gráfico. Justifique.

c) Quantas unidades o fabricante precisa vender para atingir o ponto de equilíbrio? d) Se forem vendidas 100 unidades, qual será o lucro ou o prejuízo do fabricante? e) Quantas unidades o fabricante necessita vender para obter um lucro de R$ 2.500,00?

6 – Um fabricante produz uma fita de vídeo a um custo de R$ 2,00 a unidade. As fitas vêm sendo vendidas a R$ 5,00 a unidade; por esse preço, são vendidas 4.000 fitas por

mês. O fabricante pretende aumentar o preço da fita e calcula que para cada R$ 1,00 de aumento no preço, menos 400 fitas serão vendidas por mês.

a) Expresse o lucro mensal do fabricante em função do preço de venda das fitas. b) Faça um gráfico da função que expressa o lucro mensal. Para que preço o lucro é máximo? Qual é o lucro máximo?

7 – Determine o preço de equilíbrio e o número correspondente de unidades postas a venda e compradas se a função de oferta de um certo produto é S(p) = p² + 3p – 70 e a função de demanda é D(p) = 410 – p.

8 – As funções de oferta e demanda para um certo produto são S(p) = 4p + 200 e D(p) = -3p + 480, respectivamente. Determine o preço de equilíbrio, o número correspondente de unidades vendidas e desenhe as curvas de oferta e demanda no mesmo gráfico. 9 – Quando um liquidificador é vendido no varejo pó p reais, os fabricantes fornecem p²/10 liquidificadores aos varejistas e a demanda é de 60 – p aparelhos. Qual o preço de mercado para o qual a oferta de liquidificadores é igual à demanda? Quantos

liquidificadores serão vendidos a esse preço?

10 – As funções de oferta e demanda de um certo produto são S(p) = p – 10 e D(p) = 5600/p, respectivamente.

a) determine o preço de equilíbrio e o número correspondente de unidades vendidas. b) Desenhe as curvas de oferta e demanda no mesmo gráfico.

c) Em que ponto a curva de oferta intercepta o eixo p? Discuta o significado desse ponto em termos econômicos.

11 – A taxa cobrada para manter uma conta corrente em um certo banco é R$ 12,00 por mês, mais 10 centavos para cada cheque passado. Outro banco cobra R$ 10,00 por mês mais 14 centavos por cheque. Determine um critério para decidir em qual dos dois bancos é mais vantajoso manter uma conta corrente.

12 – Um fabricante de móveis vende mesas de canto a R$ 70,00 cada uma. O preço de custo das mesas é R$ 30,00 e o fabricante calcula que precisa vender 200 mesas para equilibrar receitas e despesas. Qual é o custo fixo associado à fabricação das mesas? 13 – Uma editora gasta R$ 74.200,00 para preparar um livro para publicação; o custo de impressão e encadernação é de R$ 5,50 por exemplar, o qual é vendido às livrarias por R$ 19,50.

a) Escreva uma expressão algébrica para o custo em função do número de livros impressos.

b) Escreva uma expressão algébrica para a receita em função do número de livros impressos.

c) represente as duas funções no mesmo gráfico.

d) Encontre o número de livros para que a receita se equilibre ao custo.

e) quantos livros deverão ser vendidos e impressos para se ter um lucros de R$ 85.000,00?

EXTRAS

Entende-se por grandeza, como sendo qualquer entidade susceptível de ser medida. Exemplos: massa, volume, comprimento, tempo, força, velocidade, aceleração, intensidade de campo elétrico, etc.

2. Proporção direta simples

Quatro números racionais A, B, C e D diferentes de zero, nessa ordem, formam uma proporção direta quando:

a) Os números A, B, C e D são denominados termos b) Os números A e B são os dois primeiros termos c) Os números C e D são os dois últimos termos d) Os números A e C são os antecedentes e) Os números B e D são os conseqüentes f) A e D são os extremos

g) B e C são os meios

A divisão entre A e B e a divisão entre C e D, é uma constante K, denominada constante de proporcionalidade K dessa razão.

Ou seja, Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra também aumenta na mesma proporção, ou, diminuindo uma delas, a outra também diminui na mesma proporção.

3. Proporção direta composta para n termos

Sejam G1 e G2 , duas grandezas dependentes das variáveis X e W, respectivamente, que assumem valores conforme tabela abaixo:

G1 X1 X2 ... Xn G2 W1 W2 ... Wn Dizemos que G1 e G2 estão em proporção direta quando:

Onde k é denominado constante de proporcionalidade. Genericamente, teremos : X = k . W

Dizemos então, que a variável X é diretamente proporcional à variável W, segundo a constante k.

NOTA: se X é diretamente proporcional a W, indicamos a proporcionalidade por:

Y  X . ( = alfa , primeira letra do alfabeto grego).

Exemplo 1:

Se o salário de um garçom é R$ 350,00, a folha de pagamento de uma lanchonete será:

A C B D =

Observamos que as variáveis SALÁRIO e QUANTIDADE, são diretamente proporcionais, pois:

700,00/2 = 1400,00/4 = 2800,00/8 = 5600,00/16 = 11200,00/32 = 350,00 que, no caso é a constante de proporcionalidade (k=350,00).

Podemos então concluir que a quantidade Q e o salário S, no exemplo acima, estão relacionados pela sentença S = 350,00. Q .

Assim, conhecido Q, determinaríamos o valor de S usando a fórmula anterior. Vinte garçons custariam para o restaurante: S = 350,00. 20 = R$ 7000,00.

4. Proporção inversa para n termos

Sejam G1 e G2 , duas grandezas dependentes das variáveis X e W, respectivamente, que assumem valores conforme tabela abaixo:

G1 X1 X2 ... Xn G2 W1 W2 ... Wn Dizemos que G1 e G2 estão em proporção inversa quando:

X1.W1 = X2.W2 = X3.W3 = ... = Xn.Wn = k ;Onde k é a constante de proporcionalidade.

Das igualdades acima, podemos inferir que genericamente, teremos X . W = k, sendo k a constante de proporcionalidade.

Dizemos então, que as variáveis X e W são inversamente proporcionais, segundo a constante k.

Ou seja, duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra diminui na mesma proporção, ou, diminuindo uma delas, a outra aumenta na mesma proporção.

Se X é inversamente proporcional a W, podemos dizer que X é diretamente proporcional a 1/W e indicamos :

X  (1 / W). Exemplo 2:

Quatorze trabalhadores, trabalhando 10 dias de 8 horas, conseguem fazer 56000 metros de certo tecido. Quantos dias de 6 horas serão necessários a 9 trabalhadores para fazerem 32400 metros do mesmo tecido?

Solução: Sejam:

T = número de trabalhadores; D = número de dias;

H = número de horas de trabalho por dia ; L = comprimento de tecido

Uma vez que a grandeza n° de dias é aquela que se está querendo encontrar, analisamos, utilizando a lógica, qual é a relação que as demais grandezas mantém com esta. D aumentando, T diminui, portanto D  1 / T

D aumentando, H diminui, portanto D  1 / H D aumentando, L aumenta, portanto, D  L

O próximo passo é encontrar a constante de proporcionalidade que governa estas relações. Assim, é que poderemos escrever:

Para determinar o valor da constante k, substituamos D, T, H e L pelos valores conhecidos:

10 = k.56000 / 14 . 8 . Daí tiramos k = 10.14.8 / 56000 = 0,02 Portanto, a fórmula acima, fica:

D = 0,02.L / T.H

D = k . 1 . 1 . L = k . L .

Logo, usando os valores do enunciado,para a segunda situação, poderemos escrever:

D = 0,02. 32400 / 9.6 = 648 / 54 = 12

Portanto, serão necessários 12 dias.

5.Propriedades das proporções

Para a proporção

valem as seguintes propriedades:

1. O produto dos meios é igual ao produto dos extremos, isto é:

A.D = B.C

2. A soma (diferença) dos dois primeiros termos está para o primeiro termo, assim como a soma (diferença) dos dois últimos está para o terceiro termo, isto é:

3. A soma (diferença) dos dois primeiros termos está para o segundo termo, assim como a soma (diferença) dos dois últimos está para o quarto termo, isto é:

4. A soma (diferença) dos antecedentes está para a soma (diferença) dos consequentes, assim como cada antecedente está para o seu consequente, isto é:

6. A Regra de três

Embora os gregos e os romanos conhecessem as proporções, não chegaram a aplicá-las na resolução de problemas. Na Idade Média, os árabes revelaram ao mundo a "Regra de Três". No século XIII, o italiano Leonardo de Pisa difundiu os princípios dessa regra em seu Liber Abaci (o livro do ábaco), com o nome de Regra dos três números conhecidos.

6.1. Regra de três simples direta

Uma regra de três simples direta é uma forma de relacionar grandezas diretamente proporcionais.

Para resolver problemas, tomaremos duas grandezas diretamente proporcionais X e Y e outras duas grandezas W e Z também diretamente proporcionais, de forma que tenham a mesma constante de proporcionalidade K.

A C B D = A + B = C + D A - B = C - D . A C A C A + B = C + D A - B = C - D . B D B D A + C = A = A - C A + C = A – C = C . B + D B B – D B + D B – D D

Assim: X Y = W Z Trabalharemos um exemplo prático:

Exemplo 3:

Certo automóvel faz, na estrada, 12 km por litro de gasolina. Para fazer uma viagem de 340 km, o proprietário colocou no tanque 30 litros de gasolina.

Esse combustível será suficiente? Chamaremos de:

D1 – distância de referência = 12 km D2 – distância a ser percorrida = 340 km L1 – litros necessários para percorrer D1 = 1lt L2 – litros necessários para percorrer D2 = ?

A) Tornaremos as grandezas D1 e L1, e D2 e L2 proporcionais:

Efetuando o produto dos meios pelos extremos, temos:

12 . L2 = 1 . 340  L2 = 340 / 12  L2 = 28,333 lts

B) Ou ainda, outra maneira de montar o problema:

Descobre-se, qual a relação que existe entre a grandeza de referência, as demais grandezas: Litr. De gasol. (grand. referência) Distância 1 12 x 340 Então:

Ou seja, a quantidade de 30 lts é mais que suficiente para o percurso desejado.

Nota: Existe uma tendência de se abolir a regra de três do estudo da matemática,

uma vez que a regra formal é considerada como uma operação com proporções apenas. Mas para o objetivo prático do nosso curso podemos seguir com a aplicação do método informal da regra de três, quando sua aplicação for possível.

X = K W = K Y Z X = W Y Z D₁ D₂ L₁ L₂ = 12 340 1 L₂ = Se o vol. De gasol. Aumenta... Maior dist. pode-se percorrer ser 1 12 x 340 = 12x = 340  x = 340/12 = 28,333lts

6.2. Regra de três simples inversa

Uma regra de três simples inversa é uma forma de relacionar grandezas inversamente proporcionais para obter uma proporção.

Na resolução de problemas, consideremos duas grandezas inversamente proporcionais A e B e outras duas grandezas também inversamente proporcionais C e D de forma que tenham a mesma constante de proporcionalidade K.

X . Y = K, W . Z = K segue que X . Y = W . Z Logo: A C = D B Exemplo 4:

Ao participar de um treino de Fórmula 1, um corredor imprimindo a velocidade média de 180 Km/h fez um certo percurso em 20s. Se a sua velocidade média fosse de 200 Km/h, qual seria o tempo gasto no mesmo percurso?

Chamaremos de:

V1 – velocidade de referência = 180 km/h V2 – velocidade a ser alcançada = 200 km/h T1 – Tempo gasto com a velocidade V1 = 20s

T2 – Tempo que se gastará com a velocidade V2 = ?

A) Uma vez que as grandezas V1 e T1, e V2 e T2 são inversamente proporcionais, temos: V1 . T1 = V2 . T2  180 . 20 = 200 . V2  V2 = (180 . 20) / 200  V2 = 18s Se a velocidade do corredor for de 200 Km/h ele gastará 18s para realizar o mesmo percurso.

B) Outra maneira de montar o problema:

Descobre-se, com relação a grandeza que se procura, qual a relação proporcional que tem com as demais:

Tempo de perc. Velocidade

20 180

x 200

Então:

6.3 Regra de três composta

Regra de três composta é um processo que relaciona grandezas diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou uma mistura dessas situações.

O método funcional para resolver um problema dessa ordem é montar uma tabela com duas linhas, sendo que a primeira linha indica as grandezas relativas à primeira situação enquanto que a segunda linha indica os valores conhecidos da segunda situação.

Se A1, B1, C1, D1, E1, ... são os valores associados às grandezas para uma primeira situação estabelecida, e A2, B2, C2, D2, E2, ... são os valores associados às grandezas para

X = Z W Y

Se o tempo

aumenta... É porque diminuiu a

velocidade

20 200 x 180

=

200x = 20 . 180  x = 20 . 180 /200 = 18 s

uma segunda situação, montamos a tabela abaixo lembrando que estamos interessados em obter o valor numérico para uma das grandezas, digamos Z2 se conhecemos o correspondente valor numérico Z1 e todas as medidas das outras grandezas.

Situação Grand. 1 Grand. 2 Grand. 3 Grand. 4 Grand. 5 Grand…. Grand. ?

Situação1 A1 B1 C1 D1 E1 … Z1

Situação2 A2 B2 C2 D2 E2 … Z2

Quando todas as grandezas são diretamente proporcionais à grandeza Z, resolvemos a proporção:

Quando todas as grandezas são diretamente proporcionais à grandeza Z, exceto a grandeza B segunda grandeza que é inversamente proporcional à grandeza Z, resolvemos a proporção com B1 trocada de posição com B2:

As grandezas que forem diretamente proporcionais à grandeza Z são indicadas na mesma ordem (direta) que aparecem na tabela enquanto que as grandezas que forem inversamente proporcionais à grandeza Z aparecerão na ordem inversa daquela que apareceram na tabela.

Por exemplo, se temos cinco grandezas envolvidas: A, B, C, D e Z, sendo a primeira A e a terceira C diretamente proporcionais à grandeza Z e as outras duas B e D inversamente proporcionais à grandeza Z, deveremos resolver a proporção:

Exemplo 5:

(esaf) No quadro abaixo, têm-se as idades e os tempos de serviço de dois técnicos judiciários do Tribunal Regional Federal de uma certa circunscrição judiciária.

Idade (em anos) Tempo de Serviço (em anos)

João 36 8

Maria 30 12

Esses funcionários foram incumbidos de digitar as laudas de um processo. Dividiram o total de laudas entre si, na razão direta de suas idades e inversa de seus tempos de serviço no Tribunal. Se João digitou 27 laudas, qual era o total de laudas do processo? 1) Identificar as relações entre a grandeza de referência e as demais:

processos Idade Serviço

27 36 8 x 30 12 2) Encontrar o valor de x: Z1 = A1.B1.C1.D1.E1. ... Z2 A2.B2.C2.D2.E2. ... Z1 = A1.B2.C1.D1.E1. ... Z2 A2.B1.C2.D2.E2. ... Z1 = A1.B2.C1.D2.E1. ... Z2 A2.B1.C2.D1.E2. ... 27 = 36 . 12  36 . 12 . x = 27 . 30 . 8  x = 27 . 30. 8 x 30 . 8 36 . 12  x = 15