Cálculo Vetorial e Geometria Analítica
Lista 2PRODUTO DE VETORES
PRODUTO ESCALAR
1) Sendo u= ( 2,3,1) e v= ( 1,4, 5) . Calcular: a) uv b) ( u– v) c)( u + v)2 d) (3 u– 2 v)2 e) (2 u-3v)( u+2v) 2)Sendo a=(2,–1,1), b=(1,–2,–2) e c=(1,1,–1). Calcular um vetor v=(x,y,z), tal que va= 4, v b
= –9 e v c= 5
3)Sejam os vetores a=(1,–m,–3),b=(m+3,4–m,1)e c=(m,–2,7). Determinar m para que ab=( a+ b)c.
4) Determinar a, de modo que o ângulo  do triângulo ABC, seja 600. Dados: A(1,0,2), B(3,1,3) e C(a+1,–2,3).
5) Dados os pontos A (4,0,1), B(5,1,3) C(3,2,5) e D(2,1,3). Determine: a) se eles foram alguma figura. Em caso afirmativo, qual?
b) O ângulo entre as retas paralelas aos vetores BD e AC.
.
6) Os vetores u e v formam um ângulo de 600. Sabe-se que u=8 e v=5, calcule: a)u+v b) u–v c) 2u+3v d) 4u– 5v
7) Os vetores a e b formam um ângulo de 1500, sabe-se que a= 3 e que b= 2, Calcule:
a) a+b b) a–b c) 3a+2b d) 5a– 4b
8) Determinar o valor de x para que os vetores v1= xi–2j+3k e v2=2i–j+2k, sejam ortogonais
9) Determine um vetor unitário ortogonal aos vetores a=(2,6,–1) e b=(0,–2,1).
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica
Lista 211) Dados dois vetores a =(3,–1,5) e b=(1,2,–3), achar um vetor x, sabendo-se que ele é perpendicular ao eixo OZ , e que verifica as seguintes relações: xa=9, e xb=–4.
12) Seja o cubo de aresta a representado na figura abaixo. Determinar:
R
13)Calcule o ângulo formado pelas medianas traçadas pelos vértices dos ângulos agudos de um triângulo retângulo isósceles.
14)Um vetor v forma ângulos agudos congruentes com os semi-eixos coordenados positivos. Calcule suas coordenadas sabendo que v= 3.
15)Um vetor unitário v forma com o eixo coordenado OX um ângulo de 600 e com os outros dois eixos OY e OZ ângulos congruentes. Calcule as coordenadas de v.
16) O vetor v
1,1,2
forma um ângulo de 600 com o vetor AB, onde A (0,3,4) e B(m, 1,2). Calcular o valor de m.17)Os vetores a e b formam um ângulo =
6
, calcular o ângulo entre os vetores p=a+b e q= a– b, sabendo que a= 3 e b= 1.
18) Dados u=(2,–3,–6) e v=3i–4j–4k, determine:
a) a projeção algébrica de v sobre u ( norma do vetor projeção de v sobre u); b) 0 vetor projeção de v sobre u.
19)Decomponha o vetor v=(–1,2,–3) em dois vetores ae b, tais que aw e bw , com w =(2,1,–1).
cubo. do diagonais duas por formado agudo ângulo h)o aresta; uma e cubo do diagonal a entre agudo ângulo o ) g OG AB ED f) OB OE ) c CG EG e) OD OA ) b OG e OB d) OC OA ) a Cálculo Vetorial e Geometria Analítica
Lista 220)São dados os vetores v1 = (1,1,1), v2
=(–1,2,3) e v3=(26,6,8). Decompor o vetor v3
em dois vetores x e y ortogonais entre si, sendo x simultaneamente ortogonal a 1
v e a v2.
21)São dados v1=(3,2,2) e v2=(18,–22,–5), determine um vetor v, que seja ortogonal à 1
v e a v2
, tal que forme com o eixo OY um ângulo obtuso e que v=28.
22)Os vértices de um triângulo são M(1,1,2) ,N(5,1,3) e Q(–3,9,3). Calcule as coordenadas do vetor MH, onde H é o pé da altura relativa ao lado NQ.
PRODUTO VETORIAL
23) Dados os vetores u=( –1,3,2), v=(1,5,–2) e w =(-7,3,1). Calcule as coordenadas dos vetores:
a) uv b) vw c) v(uw ) d) (vu)w e)( u+v)( u+w ) f) ( u– w )w
24)Determinar o vetor x, paralelo ao vetor ao vetor w =(2,–3,0) e tal que x u= v , onde u=(1,–1,0) e v =(0,0,2).
25) Determinar o vetor v, sabendo que ele é ortogonal ao vetor a =(2,3,1) e ao vetor b
=(1,2,3) e que satisfaz a seguinte condição; v(i2j7k)10.
26)Determinar v , tal que v seja ortogonal ao eixo dos y e que uvw,sendo u(1,1,1) e w(2,1,1).
27) Dados os vetores v1=(0,1,1), v2=(2,0,0) e v3=(0,2,3).Determine um vetor v, tal que v// v3 e v v1=v2.
28)Determine um vetor unitário ortogonal aos vetores v1
=(–1,–1,0) ev2=(0,–1–1).
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica
Lista 229) Ache u tal que u=3 3e u é ortogonal a v=(2,3,1) e a w =(2,4,6). Dos u encontrados, qual forma ângulo agudo com o vetor (1,0,0).
30)São dados os vetores v1 = (1,1,1), v2=(–1,2,3) e v3=(26,6,8). Decompor o vetor v3
em dois vetores x e y ortogonais entre si, sendo x simultaneamente ortogonal a 1
v e a v2.
31) Dado o vetor v1=(3,0,1).Determine o vetor v=(x,y,z), sabendo-se que v é ortogonal ao eixo OX, que v v1=6 14 , e que vv1=4.
32) São dados v1=(3,2,2) e v2=(18,–22,–5), determine um vetor v, que seja ortogonal à 1
v e a v2
, tal que forme com o eixo OY um ângulo obtuso e que v=28.
33)Sendo v1=(–2,1,–1) e v2=(0,y,z), calcule y e z de modo que v1v2= 4 3 e que o vetor v=v1v2 faça ângulos congruentes com os eixos OX e OY.
34) Resolva os sistemas abaixo: a) 2 ) k j 2 i 4 ( x 0 ) k j 3 i 2 ( x 2 ) k i 2 ( v k 8 i 8 ) k j 2 i ( v ) b k 3 j 2 i 3 ) 0 , 3 , 2 ( v 2 ) 2 , 1 , 3 ( v ) c 35) Dados os vetores u=(1,1,1) e v=(2,3,4), calcular:
a) A área do paralelogramo de determinado por u e v;
b)a altura do paralelogramo relativa à base definida pelo vetor u .
36)Dados os vetores u=(2,1,1) e v=(1,1,), calcular o valor de para que a área do paralelogramo determinado por u e v seja igual a 62 u.a.(unidades de área).
37) A área de um triângulo ABC é igual a 6 . Sabe-se que A(2,1,0), B(–1,2,1) e que o
vértice C pertence ao eixo OY. Calcule as coordenadas de C.
38)Os vértices de um triângulo ABC são os pontos A (0,1,1), B(2,0,1) e C(1,2,0). Determine a altura relativa ao lado BC.
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica
Lista 239) Determine a área do triângulo ABD, obtido pela projeção do vetor BA sobre o vetor
BC, onde A (5,1,3), B(3,9,3) e C(1,1,2).
40) Calcule a distância do ponto P(–2,1,2) à reta determinada pelos pontos M(1,2,1) e N(0,–1,3).
PRODUTO MISTO
41)Qual é o valor de x para que os vetores a=(3,–x,–2), b=(3,2,x) e c=(1,–3,1) sejam coplanares.
42)Determinar o valor de k para que os pontos A(0,0,3),B(1,2,0), C(5,–1,–1) e D(2,2,k) sejam vértices de uma mesma face de um poliedro.
43)Determinar o valor de x de modo que o volume do paralelepípedo gerado pelos vetores u= 2i–j+k e v=i–j e w =xi+j–3k, seja unitário.
44)Sejam os vetores u=(1,1,0), v=(2,0,1) e w1 3u2v, w2 u3v e w3 i j 2k .
Determinar o volume do paralelepípedo definido por w1, w2 e w3.
45)Dado um tetraedro de volume 5 e de vértices A (2,1,–1), B(3,0,1) e C(2,–1,3). Calcular as coordenadas do quarto vértice D, sabendo-se que se acha sobre o eixo OY.
46)São dados os pontos A(1, –2,3), B(2, –1, –4), C(0,2,0) e D(–1,m,1), calcular o valor de m para que seja de 20 unidades o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores AB,AC e AD .
47)Determine sobre o eixo OX um ponto P, tal que, o volume do tetraedro PABC seja o dobro do volume do tetraedro POBC. Dados: O (0,0,0) ,A(1,0,0) , B(0,1,0) e C(0,0,1).
48)Sendo u=(1,1,0), v=(2,1,3) e w =(0,2,–1). Calcular a área do triângulo ABC e o volume do tetraedro ABCD, onde B=A+u. C=A+v e D=A+ w .
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica
Lista 250)Determine a distância do ponto D(2,3,3) ao plano determinado pelos pontos A(3,3,1) , B(1,1,–3) e C(–1,–3,0).
51)Os vértices de um tetraedro são M (0,3,4), N(1,2,2) e Q(2,–1,2) e P é um ponto pertencente ao eixo coordenado OZ. Calcule:
a)as coordenadas do ponto P de modo que o tetraedro MNPQ tenha volume igual a 1 uv;
b)a área e o perímetro da face NMQ; c)os ângulos internos da face MNQ;
d)calcule a altura do tetraedro MNPQ, relativa à face MNQ.
52)A figura abaixo representa uma pirâmide de base quadrada OABC em que as coordenadas são O(0,0,0), B(4,2,4) e C(0,6,6), e o vértice V é eqüidistante dos demais, determine:
a) as coordenadas do vértice D;
b) as coordenadas cartesianas do ponto V, considerando que o volume da pirâmide é igual a 72 u.v.
53)São dados no espaço os pontos A(2,–1,0), B(1,–2,1) e C(1,0,2), determine o ponto D, tal que OD,OA OB e OAOC sejam coplanares, ODOB = –28 e que o volume do tetraedro OABD seja igual a 14.
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica
Lista 2 RESPOSTAS RESP 1: a) 19 b)18 c)94 d)66 e) –205 RESP 2: v=(3,4,2) RESP 3: m=2 RESP 4: –1 ou 5 13 RESP 5: a) Paralelogramo b) 102 3644,22 21 21 arccos 0 . RESP 6: a) 129 b)7 c) 721 d) 849 RESP 7: a) 53 2 b) 53 2 c) 3518 2 d) 10760 2 RESP 8: x = –4 RESP 9: 3 2 , 3 1 , 3 2 c RESP 10:
1,1,1
3 3 5 v RESP 11: x=(2,–3,0)12) Seja o cubo de aresta a representado na figura abaixo. Determinar:
RESP 12: a) 0 b) 0 c) 0 d)a 2 e a 3 e) a2 f)
3 3 3
a , a , a g) 54 44 3 3 cos arc 0 h) 70 31 3 1 cos arc 0 RESP 13: =arc cos
5 4 ,360 52'11,6'' RESP 14: v 3
1,1,1 . RESP 15: 4 6 , 4 6 , 2 1 v ou 4 6 , 4 6 , 2 1 RESP 16: m=–34 ou m=2 RESP 17: cos= 7 7 2 ,40053'36,2'' RESP 18: a)6 b)
2, 3, 6
7 6 RESP 19: 2 1 , 2 1 , 1 a e 2 5 , 2 3 , 2 bCálculo Vetorial e Geometria Analítica
Lista 2 RESP 21: v=(–8,–12,24) RESP 22: MH=(2,2,1) RESP 23: a)(–16,0,8) b)(11,13,38) c)(64,–12,2) d)(24,72,48) e)(24,0,64) f)(–3,–13,18) RESP 24: x=(4.–6,0) RESP 25: v
7,5,1
RESP 26: v =(1,0,1) RESP 27: v=(0,4,6) RESP 28:
1, 1,1
3 1 RESP 29: u
3,3,3
RESP 30: x=(1,–4,3) e y=(25,10,5) RESP 31: v(0,6,4) RESP 32: v=(–8,–12,24) RESP 33: (0,2,2) RESP 34: a)(4,6,-2) b)(2,4,–2) c)(1,3,–1) RESP 35: a)A= 6u.a. b)h 2u.c. RESP 36: =3 RESP 37: (0,3,0) ou 0 , 5 1 , 0 RESP 38: u.c. 7 35 3 h RESP 39: ua 9 2 128 A RESP 40: d= 7 35 3 u.c. RESP 41: x=14 ou x=–2 RESP 42: k=– 1 RESP 43: x=–5 ou x= –3 RESP 44: V=44 u.v. RESP 45: D (0,–7,0) ou D(0,8,0) RESP 46: m=6 ou m=2 RESP 47: (–1,0,0) ou 0 , 0 , 3 1Cálculo Vetorial e Geometria Analítica
Lista 2 RESP 48: S= ua 2 19 ,V= uv 6 5 RESP 49: u.c. 11 6 4 h RESP 50: 58 174 5 u.c.RESP 51: a)P(0,0,0) ou P(0,0,2) b)S=3 3u.a., 2p=3 63 12 u.c. c)=300, =900, =600 d) 3 3 1 u.c. RESP 52: a)D(–4,4,2) b) V(–2, –1,7) RESP 53: D(0,0,–28) ou D(12,24,8)
