Emaranhamento entre íons aprisionados em uma rede de cavidades acopladas sob influência de dissipações  

Universidade Estadual de Campinas

Instituto de Física Gleb Wataghin

Emaranhamento entre Íons

Aprisionados em uma Rede de Cavidades

Acopladas sob Influência de Dissipações

Alessandro Silva Santana

Campinas

2019

Alessandro Silva Santana

Emaranhamento entre Íons Aprisionados em uma

Rede de Cavidades Acopladas sob Influência de

Dissipações

Dissertação apresentada ao Instituto de Física Gleb Wataghin da Universidade Estadual de Campinas como parte dos requisitos exigidos para a obtenção do título de Mestre em Física, na área de Física.

Orientador: Prof. Dr. José Antonio Roversi

Este exemplar corresponde à versão final da dissertação

defendida pelo aluno Alessandro Silva Santana e

orien-tada pelo Prof. Dr. José Antonio Roversi

Campinas

2019

Ficha catalográfica

Universidade Estadual de Campinas Biblioteca do Instituto de Física Gleb Wataghin Lucimeire de Oliveira Silva da Rocha - CRB 8/9174

Santana, Alessandro Silva,

Sa59e SanEmaranhamento entre íons aprisionados em uma rede de cavidades acopladas sob influência de dissipações / Alessandro Silva Santana. – Campinas, SP : [s.n.], 2019.

SanOrientador: José Antonio Roversi.

SanDissertação (mestrado) – Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Física Gleb Wataghin.

San1. Emaranhamento quântico. 2. Decoerência. 3. Redes quânticas. I. Roversi, José Antonio, 1947-. II. Universidade Estadual de Campinas. Instituto de Física Gleb Wataghin. III. Título.

Informações para Biblioteca Digital

Título em outro idioma: Entanglement between trapped ions in a cavity network under influence of dissipations

Palavras-chave em inglês: Quantum entanglement Decoherence

Quantum networks

Área de concentração: Física Titulação: Mestre em Física Banca examinadora:

José Antonio Roversi [Orientador] Francisco Paulo Marques Rouxinol Celso Jorge Villa-Bôas

Data de defesa: 30-09-2019

Programa de Pós-Graduação: Física

Identificação e informações acadêmicas do(a) aluno(a)

- ORCID do autor: https://orcid.org/0000-0002-2134-3876 - Currículo Lattes do autor: http://lattes.cnpq.br/3700278928639136

MEMBROS DA COMISSÃO JULGADORA DA DISSERTAÇÃO DE MESTRADO DE

ALESSANDRO SILVA SANTANA – RA 115948 _{​APRESENTADA E APROVADA AO} INSTITUTO DE FÍSICA “GLEB WATAGHIN”, DA UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS, EM 30 / 09 / 2019.

COMISSÃO JULGADORA:

- Prof. Dr. José Antonio Roversi – Orientador – DEQ/IFGW/UNICAMP

- Prof. Dr. Celso Jorge Villas Boas – DF/UFSCar

- Prof. Dr. Francisco Paulo Marques Rouxinol – DFMC/IFGW/UNICAMP

OBS

_{​.: Ata da defesa com as respectivas assinaturas dos membros encontra-se no}

SIGA/Sistema de Fluxo de Dissertação/Tese e na Secretaria do Programa da

Unidade.

CAMPINAS

2019

Agradecimentos

Gostaria de agradecer primeiramente aos membros do Grupo de Óptica Quântica (GOQ) do Departamento de Eletrônica Quântica (IFGW/UNICAMP), em particular, ao meu Orientador Prof. Dr. José Antonio Roversi, que me orientou nos últimos anos e contribuiu profundamente em minha formação. Quero agradecer também ao Prof. Dr. Antonio Vidiella Barranco que também esteve bastante próximo e que, a partir dos semi-nários e reuniões do grupo, me proporcionou vários insights e que também me suportou nesses últimos anos. Gostaria de agradecer também aos demais membros do grupo, Emi-lio Henrique, pela grande amizade e por sempre estar disposto a me ajudar e responder minhas dúvidas. Júlio C. G. Henao, que atualmente se encontra na Colômbia, mas que contribuiu bastante para a formação do meu conhecimento enquanto esteve aqui e me ajudou a crescer na área. Agradeço também ao demais membros do grupo que não citei aqui, foi muito bom ter tido contato com vocês através de nossas reuniões.

Aos meus amigos, em particular gostaria de citar os nomes de Wagner Alan A. Rocha, Arthur Faria, Sergio Novi, Mario Piva, Guilherme Faustino, entre outras amizades que cultivei tanto no meu mestrado como na minha graduação. As tardes que tivemos juntos resolvendo exercícios e discutindo, tudo isso foi muito especial para mim e me apoiou nesses anos. Muito obrigado por todo apoio e desejo muito sucesso para todos vocês.

Agradeço aos professores da comissão julgadora, Prof. Dr. Francisco Rouxinol (IFGW) e O Prof. Dr. Celso Villa-Boas (Departamento de Física da UFSCar), primeiramente por terem aceito meu convite, e também pelas correções e sugestões que deram para a escrita da versão final dessa dissertação.

Agradeço também a minha família por todo apoio que me deram na minha vida e na carreira que eu decidi tomar.

O presente trabalho foi realizado com o apoio da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - Brasil (CAPES) - Código de financiamento 001 (processo 1765872/2018). Agradeço também ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico - CNPq (processo 132644/2015-0) pela bolsa de mestrado concedida.

And lastly, I would like to thank my future wife Kayla M. Hart, that even far from Brazil, she managed to support me and inspire me in these last years. I am certain I would not have done all of this without her care and support. This work is dedicated to her.

Resumo

Distribuição de emaranhamento é o principal requerimento para a realização de proces-samento de informação quântica distribuído. Recentemente, protocolos para transferência de estados quânticos (QST) entre diferentes pontos de uma rede quântica foram propos-tos. No entanto, alcançar QST com alta fidelidade ainda é um desafio devido a processos dissipativos no canal quântico e do aumento de ruídos do ambiente proveniente da ten-tativa de escalar esse sistema. Nessa dissertação, é proposto um protocolo escalável para distribuição de emaranhamento em uma rede de íons aprisionados acoplados a campos de cavidades. Nessa arquitetura, ambos graus de liberdade interno e externo de um único íon estão acoplados a um único modo do campo coletivo da rede. Esse acoplamento permite a transferência QST de dois qubits usando apenas um único íon. Para isso, é demonstrado que para duas ou uma condição de acoplamento forte é possível obter um hamiltoniano envolvendo um ou dois modos coletivos, respectivamente. Nós verificamos a influência do acoplamento efetivo interno e parâmetros dissipativos externos na transferência a tempe-ratura zero e acima de zero. A transferência de emaranhamento é otimizada quanto todos os parâmetros internos forem iguais. Utilizando parâmetros experimentais nós demons-tramos que ser possível alcançar alta fidelidade de transferência em nossas simulações. Finalmente, é feita também uma análise comparativa entre dois acoplamentos diferentes. É demonstrado que o acoplamento via fibra óptica pode se alcançar uma fidelidade mais alta. Concluindo que redes com fibras ópticas são mais robustas a perdas de informação em comparação a redes com cavidades acopladas diretamente.

Abstract

Entanglement distribution is the main requirement for distributed quantum informa-tion processing. Recently, several quantum state transfer (QST) protocols between distant nodes of a quantum network have been proposed. However, achieving high fidelity QST is still a challenge due to losses process in the quantum channel and noisy environment from scaling the system. In this paper, we propose a scalable protocol for entanglement dis-tribution in a network of trapped ions coupled to cavity fields. In this architecture, both internal and external degrees of freedom of a single trapped ion is coupled to a single normal mode of the network. This coupling allows a two qubits QST using only a single trapped ion. To achieve this, we show that under two or one strong coupling conditions it is possible to obtain a single or two collective field modes Hamiltonian, respectively. We verified the influence of internal coupling and external dissipation parameters on the trans-fer at zero temperature and higher. The entanglement distribution is optimized when all internal parameters are equals. High fidelity QST of entanglement is achieved using expe-rimental parameters in our simulation. Finally, we made a comparative analysis between two different couplings and observed that the presence of a non-resonant collective field mode causes a difference in the temporal evolution for the two coupling types. We show that the fiber coupling achieves a higher fidelity of transfer. Therefore, suggesting that fiber networks are more robust to information loss in comparison to a network of directly coupled cavities.

Lista de Abreviaturas

EPR Einstein-Podolsky-Rosen

QIP Quantum Information Processing (Processamento de Informação Quântica)

QST Quantum State Transfer (Transferência de Estados Quânticos)

CNOT Controlled Not Gate (Porta Não Controlada)

CPHASE Controlled Phase Gate (Porta Fase Controlada)

GHZ Greenberger-Horne-Zeilinger

BLA Banda Lateral Azul

BLV Banda Lateral Vermelha

LOCC Local Operations and Classical Communications (Operações locais

e Comunicação Clássica)

PPT Positive Partial Transpose (Transposta Parcial Positiva)

QIT Quantum Information Theory (Teoria de Informação Quântica)

ITQC Ion Trap Quantum Computer (Computador Quântico com Armadilha de Íons)

CQED Cavity QED (Cavidade QED)

QED Quantum Eletrodynamics (Eletrodinâmica Quântica)

EDO Equações Diferencias Ordinárias

FC Fiber Coupling (Acoplamento por Fibra)

Lista de Símbolos

¯

h Constante reduzida de Planck, ¯h = h/2π = 1.054 · 10−34J · s kB Constante de Boltzmann, kB= 1.381 · 10−23m2· kg · s−2· K−1

ρ Matriz densidade (representação de Schrödinger) ˜

ρ Matriz densidade (representação de interação) |Ψ±_{i Estados de Bell = (|00i ± |11i)/}√₂

|Φ±_{i Estados de Bell = (|01i ± |10i)/}√₂ H Espaço de Hilbert associado ao sistema

P Pureza de um estado quântico

ˆ

H Operador hamiltoniano (representação de Schrödinger) ˜

H Operador hamiltoniano (representação de interação)

1 Matriz identidade

F Fidelidade quântica

N Negatividade

¯

n Número médio de bósons em equilíbrio a temperatura T

ω Frequência do modo da cavidade

ˆ_b†_{, ˆb Operadores de criação e aniquilação de uma cavidade cavidade} Ω Frequência do modo coletivo das cavidades

ˆ

c†, ˆc Operadores de criação e aniquilação de um modo normal coletivo

ωa Frequência de transição atômica

ˆ σz _{Matriz z de Pauli =}   1 0 0 −1   ˆ

σ+_{, ˆσ}− _{Operadores escadas dos níveis de energia atômicos (ou de um qubit)}

ν Frequência vibracional do íon ˆ

a†, ˆa Operadores de criação e aniquilação dos modos de vibração do íon ˆ

f_i†, ˆfi Operadores de criação e aniquilação dos modos da fibra

η Parâmetro de Lamb-Dicke

G, Gi Acoplamento efetivo íon-campo = ηg/

√ 2

Γ Escala de tempo do sistema de cavidades acoplado =qG2 1+ G22

κ Taxa de perdas pela cavidade

γ Taxa de perdas por emissão espontânea

χ Taxa de perdas na armadilha

Lista de Figuras

1.1 Esquema da arquitetura proposta por Cirac et al.[1] para a transferência de estados entre dois átomos em uma rede quântica de cavidades acopladas. No modelo de Cirac et al., ambos átomos possuem três níveis: |ei e |gi que compõe o qubit e um terceiro nível auxiliar |ri. Os estados |ei e |ri estão fortemente acoplados ao modo da cavidade (taxa de dissipação κ) com força

g. O estado quântico é transferido através de uma linha de transmissão

unidirecional, responsável por enviar os fótons que saem da cavidade 1 à cavidade 2. Por ultimo, os fótons que saem da cavidade 2 são detectados para determinar o estado do átomo 2. . . 24

2.1 Domínio de integração até segunda ordem (n = 2) para a expansão orde-nada no tempo na equação (2.10) (esquerda) e para expansão não ordeorde-nada (2.11) (direita). Para as regiões demarcadas serem iguais multiplica-se a in-tegral por um fator 1/n! = 1/2. . . . 30

2.2 Tipos de transformações unitárias que podem ser aplicadas em sistemas de dois qubits inicialmente separáveis. No primeiro caso, duas operações locais ˆUA e ˆUB são aplicadas aos qubits |iAi e |iBi obtendo como resultado

o estado separável ˆUA|iAi ⊗ ˆUB|iBi. No segundo caso, uma operação

não-local ˆV é aplicada aos dois qubits |iCi e |iDi obtendo ao final o estado

ˆ

V (|iCi ⊗ |iDi), que pode ser emaranhado ou não. No terceiro último caso é

exibido um exemplo de operação não-local correspondente pela sequência de uma porta Hadamard no qubit |0Ei produzindo o estado √1₂(|0Ei + |1Ei)

seguida pela porta de dois qubits CNOT com qubit alvo |0Fi. O resultado

final corresponderá ao estado de Bell _√1

2(|0Ei |0Fi + |1Ei |1Fi) (2.62). . . . 39

2.3 Esquema de um sistema composto S ⊕ R associado ao estado ρ pertencente a HS⊗ HR, onde o subsistema S corresponde ao nosso sistema de interesse

e R corresponde ao reservatório. . . . 42

2.4 Número médio de fótons Daˆ†ˆaE de uma cavidade com taxa de perdas κ = 10−3ω para ¯n = 0 (em azul) e ¯n = 1 (em vermelho). O número de fótons

3.1 Esquema de uma armadilha de Paul linear de quadrupolos por David Wi-neland et al.[2]. Um potencial oscilante V0cos ΩTt é aplicado aos eletrodos

pretos. Aos eletrodos cinzas é aplicado um potencial estático U0 > 0 e ao

eletrodo branco é aplicado um potencial positivo Uc > 0. A direita, é

exi-bida a configuração dos campos elétricos no plano x − y no instante em que o potencial rf é positivo. As dimensões tipicas são R ' 1µm - 1 cm,

V0 ' 100 − 500 V, |Ui| ' 0 − 50V , ΩT = 2π × 100 kHz − 100 MHz. . . . . 55

3.2 Movimento do íons nas coordenadas x(t) e y(t) dadas por (3.20) e (3.21) para δx = δy = π/2 (íon no centro da armadilha para t = 0). (a) e (d)

Movimento na coordenada x(t) em função do tempo. (b) e (e) Movimento na coordenada y(t) em função do tempo. (c) e (f) Curva paramétrica {x(y), y(t)} da posição do íon no plano x − y. Os itens (a),(b) e (c) correspondem aos parâmetros ax = ay = 0.001 e b = 0.1 e ΩT ' 26ωx,

enquanto que os itens (d),(e) e (f) correspondem aos parâmetros ax = 0.01,

ay = 0.01, b = 0.4 e ΩT ' 6.3ωx. . . 57

3.3 Ilustração dos modos normais para N = 2 e N = 3. A setas indicam o

sentido de oscilação dos íons em um certo instante. . . 61

3.4 Diagrama de níveis de energia dos estados internos de um átomo de dois ní-veis |gi e |ei com separação ωae dos estados externos vibracionais ketn com

separação ν. Na parte inferior, o digrama de energia no estado composto |gi ⊗ |ni = |g, ni e |ei ⊗ |ni = |e, ni.. . . 63

3.5 Transições possíveis na aplicação de laser de frequência ωL sob um íon

(frequência de transição atômica ωa e vibracional ν). Em vermelho a

tran-sição na BLV ocorre quando ωL = ωa− ν. Em azul, a transição BLA que

ocorre quando ωL = ω + ν e em verde transição tipo carrier para ωL = ωa. 65

3.6 (a) Estrutura eletrônica do íon de cálcio40_Ca+_{exibindo os qubits hiperfinos}

|0zi e |1zi e qubits óticos |1i e |0i acessíveis através de uma laser de 729

nm e a medida do qubit (electron shelving technique) é realizada através de um laser de 854 nm ou de 397 nm [3]. Os lasers de 866 nm é utilizado para evitar que o elétron esteja em um estado escuro. (b) Armadilha de Paul linear do grupo experimental do R. Blatt na Universidade de Innsbruck, que utilizam esses tipos de íons. . . 67

3.7 Ilustração do processo de medida dos qubits atômicos para um íons de cál-cio. Um carrier é aplicado entre o estado que queremos detectar. i.e., 42_S

1/2

e um terceiro auxiliar 42_P

1/2. Se o elétron estiver no nível fundamental |1i

então fluorência será detectada. Se o elétron estiver em |0i, esse estará em um estado escuro para esse carrier e portanto não haverá detecção de fluorência [3]. . . 68

3.8 (a) Proposta de construção de processadores de íons [4]. Nesses proces-sadores, o deslocamento do próprio íon, através da aplicação controlada de campos elétricos/magnéticos, faz o papel de transportar a informação quântica de um ponto a outro. (b) Proposta de construção de uma rede quântica de cavidades acopladas [5]. Nessa arquitetura, os fótons que saem de uma cavidade são responsáveis por transportar informação quântica via um canal quântico que conecta-se a uma segunda cavidade. . . 70

4.1 Esquema de um sistema formado por duas cavidades idênticas acopladas

diretamente. Cada cavidade possui um modo de frequência ω. O parâmetro

J corresponde a intensidade do acoplamento. . . . 75

4.2 Esquema de um sistema formado por N cavidades acopladas diretamente

com força de acoplamento J . . . . 77

4.3 Sistema de duas cavidades acopladas por uma fibra óptica F 1. . . . 80

4.4 (a) Sistema de um íon aprisionado em uma cavidade óptica. O parâmetro

G = ηg/√2 corresponde a intensidade do acoplamento total entre os graus de liberdade internos e externo com os graus de liberdades dos campos. (b) Campo elétrico na cavidade interagindo com o íon. . . 83

4.5 Rede de duas cavidades de um único modo com frequências idênticas ω aco-pladas por uma fibra óptica, cujo é caracterizado por J . Em cada cavidade encontra-se um íon de dois níveis atômicos em seu interior. A interação dos modos internos e externos do íon com o campo é caracterizada por G. . . 85

5.1 Rede de duas cavidades de um único modo com frequências idênticas ω

acopladas por uma fibra óptica, com força de acoplamento J . Em cada cavidade encontra-se um íon de dois níveis atômicos em seu interior. A interação dos modos internos e externos do íon com o campo é caracterizada por G. . . . 90

5.2 Dinâmica do emaranhamento dos íons 1 (em preto) e 2 (em vermelho) des-crito pelo o dobro da função negatividade 2N = 2N [ρk(t)], k = 1, 2 de

acordo com (5.28) e (5.29), para diferentes razões G1/G2: (a) G1/G2 = 1,

(b) G1/G2 = 1/2, (c) G1/G2 = 2. Observa-se o caráter periódico do

ema-ranhamento. Para acoplamentos com forças idênticas (G1 = G2) a

transfe-rência do emaranhamento é perfeita. . . 94

5.3 Negatividade (5.29) transferida ao íon 2 para diferentes valores de G2/G1.

Tanto para G2/G1  1 como para G2/G1  1, observa-se N → 0 o que

5.4 Negatividade transferida ao íon 2 para diferentes estados iniciais no íon 1 (5.31) dados em função de θ, onde em θn= nπ/2 o estado inicial do íon 1

é separável não havendo emaranhamento a ser transferido. Para θ = π/4 e 3π/4 o íon 1 inicialmente se encontra nos estados de Bell |Ψ±i e portanto é possível a máxima transferência de emaranhamento no instante tα. . . . 96

5.5 (a) Dinâmica do emaranhamento do íon 1 (em preto) e 2 (em vermelho)

descrito pelo o dobro da função negatividade 2N com γ = χ = κ = 10−2Γ, as taxas descritas pela equação mestra (5.53). (b) Negatividade do íon 2 (veermelho) para tempos longos e do íon 1 (em preto). (c) Pureza da matriz densidade do sistema Tr[ρ2_{] em azul e população do estado funtamental}

h00000| ρ(t) |00000i em vermelho. (d) Comparação de diferentes curvas de negativade utilzando como parâmetros os valores experimentais de [6] (em azul e verde) e [7] (vermelho). . . 102

5.6 (a) Fidelidade de transferência do estado |Ψ+_{i do íon 1 ao íon 2 para}

γ = 0.001ηg, ω = 20ηg com temperatura T = 10¯hωa/kB. (b) Negatividade

do íon 2 no instante Γt = π em função da temperatura T em unidades de ¯hωa/kB para diferentes valores da taxa de emissão espontânea γ . (c)

Negatividade do íon 2, no instante Γt = π, em função da taxa de emissão espontânea γ para diferentes temperaturas T em unidades de ¯hωa/kB .(d)

Mesmo gráfico anterior mas com foco em dissipações mais baixas. . . 106

6.1 Esquema de uma sistema composto de dois íons aprisionados cada um

dentro de uma cavidade acoplada por : (a) acoplamento direto via photon hopping ou (b) conectadas via uma fibra óptica. . . . 110

6.2 Fidelidade de transferência (6.30) de um estado emaranhado ao íon 2 em uma rede de cavidades acopladas diretamente para diferentes dessinto-nias ∆ = ν − λ. Para ∆  g é de se esperar que F (t = π) = 1. Para valores baixos de dessintonia observa-se perda da fidelidade. . . 115

6.3 Fidelidade de transferência para o acoplamento direto em função de ∆ =

ν − λ. Com ω = 25ηg. . . . 116

6.4 Comparação entre a fidelidade de transferência nos casos em que temos acoplamento direto (em vermelho) e no caso em que temos o acoplamento por uma fibra óptica (em preto). Onde ωa = 15ηg, ν = 10ηg, λ = 8ηg, de

modo que ∆ = 2ηg e θ = π/4 (transferência de uma estado de Bell |Ψ±i). Na direita, é exibida a mesma curva para um intervalo de tempo mais longo.116

6.5 Comparação entre a negatividade sobre os estados do íon 2 nos casos em que temos o acoplamento direto (em azul) e no caso em que temos o aco-plamento por uma fibra óptica (em verde). Onde ωa = 15ηg, ν = 10ηg,

λ = 8ηg, de modo que ∆ = 2ηg e θ = π/4 (transferência de uma estado

de Bell |Ψ±i). Na direita, é exibida a mesma curva para um intervalo de tempo mais longo. . . 117

B.1 Diagrama dos níveis de energia (fora de escala e ¯h = 1) do nosso

hamil-toniano, onde λ = ηg/√2. O estado estacionário que queremos produzir está representado acima em vermelho. A escala de energia da esquerda re-presenta os níveis de energia do sistema sem interação, a escala da direita representa as diferenças de energia dos novos níveis de energia devido a interação. . . 145

Lista de Tabelas

4.1 Modos normais coletivos para N = 4 cavidades acopladas diretamente via

photon hopping e suas respectivas frequências. . . . 78

4.2 Modos normais coletivos para N = 5 cavidades acopladas diretamente via

photon hopping e suas respectivas frequências. . . . 79

4.3 Modos normais coletivos para N = 3 cavidades acopladas via fibra óptica e suas respectivas frequências. . . 82

4.4 Frequências nos expoentes após sintonizar ω = ωa+ ν. . . . 86

4.5 Frequências nos expoentes após assumir ωa, ω  ν,

√

2J . . . . 87

4.6 Frequências nos expoentes após assumir ν,√2J  g. . . . 87

Sumário

Lista de Figuras 11

Lista de Tabelas 16

1 Introdução 20

2 Conceitos de Teoria Quântica e Sistema Abertos 27

2.1 Matrizes Densidades . . . 27

2.1.1 Dinâmica no Espaço de Liouville . . . 31

2.1.2 Representação de Interação . . . 33 2.1.3 Fidelidade . . . 34 2.2 Sistemas Compostos . . . 34 2.2.1 Decomposição de Schmidt . . . 35 2.3 Emaranhamento Quântico . . . 38 2.3.1 Critério PPT . . . 39 2.3.2 Negatividade . . . 40

2.4 Decoerência em Sistemas Abertos . . . 42

2.4.1 Equação Mestra de Born-Markov . . . 43

2.4.2 Oscilador Harmônico Quântico sob Dissipação . . . 45

2.4.3 Equação Mestra de Lindblad . . . 49

3 Dinâmica de Íons Aprisionados 52 3.1 Armadilhas de Paul . . . 53

3.2 Quantização do Movimento do Íon . . . 58

3.3 Interação com um Laser . . . 62

3.3.1 Transição Carrier . . . 64

3.3.2 Transição na Primeira BLA . . . 65

3.3.3 Transição na Primeira BLV . . . 66

3.4 Progressos Experimentais em ITQC . . . 66

Sumário

4 Rede de Cavidades e Cavidades QED 71

4.1 Campos Eletromagnéticos em Cavidades Ópticas . . . 71

4.1.1 Cavidade Ressonante . . . 73

4.2 Cavidades Acopladas Diretamente . . . 74

4.2.1 Diagonalização do Hamiltoniano de Acoplamento . . . 76

4.2.2 Múltiplas Cavidades Acopladas Diretamente . . . 77

4.3 Cavidades Acopladas por uma Fibra Óptica . . . 79

4.3.1 Múltiplas Cavidades Acopladas via Fibra . . . 82

4.4 Armadilhas de íons em Cavidades Ópticas . . . 82

4.5 Íons Aprisionados em Cavidades Acopladas por uma Fibra Óptica . . . 84

5 Transferência de Emaranhamento em uma Rede 88 5.1 Redes Quântica de Duas Cavidades . . . 90

5.1.1 Caso Não Dissipativo . . . 91

5.1.2 Caso dissipativo . . . 96

5.1.3 Influência da temperatura . . . 103

5.2 Discussão . . . 107

6 Comparação entre Acoplamentos na Transferência via Dois Modos 109 6.1 Modelo Básico . . . 109

6.1.1 Rede de cavidades acopladas diretamente . . . 110

6.1.2 Rede de cavidades acopladas via fibra óptica . . . 111

6.2 Dinâmica . . . 112

6.2.1 Acoplamento direto . . . 113

6.2.2 Acoplamento via Fibra . . . 113

6.2.3 Resultados . . . 114

6.2.4 Comparação entre acoplamentos . . . 114

6.3 Conclusão . . . 117

7 Conclusões 118 7.1 Sugestões para Pesquisas Futuras . . . 119

Referências Bibliográficas 120 A Sistemas de Equações Diferenciais 130 A.1 Caso: Temperatura = 0. . . 130

A.1.1 Conjunto I . . . 131

A.1.2 Conjunto II . . . 132

A.1.3 Conjunto III . . . 132

Sumário

B Material Suplementar: Estados Estacionários do Sistema 137

B.1 Estados Estacionários. . . 137

B.1.1 Hamiltonianos . . . 137

20

Capítulo 1

Introdução

A Física é uma das ciências mais antigas, desenvolvida para o compreendimento dos fenômenos que observamos no nosso dia-a-dia. A curiosidade de poder criar modelos ma-temáticos responsáveis em descrever o movimento de corpos, a propagação de ondas, transmissão de calor e eletromagnetismo, assim como as aplicações de tais conhecimentos foi o que levou a Física adiante. Até o final do século XIX e início do século XX, os pilares que suportavam a Física, i.e., a Mecânica Clássica (corpuscular e ondulatória), o

Eletro-magnetismo e a Termodinâmica, estavam bem fundamentadas. Os físicos da época eram

capazes de explicar praticamente todos os fenômenos do dia-a-dia e como produto disso diversas novas tecnologias foram desenvolvidas nessa época, como exemplo a produção de raios-X, a invenção do rádio, a invenção do primeiro diodo termoiônico, entre muitas outras. No entanto, na tentativa em descrever o espectro de emissão de um corpo negro, o modelo clássico de Rayleigh-Jeans previa que uma quantidade infinita de energia seria emitida pelo corpo em uma dada temperatura [8], o que seria fisicamente impossível além de não condizer com o princípio de equipartição de energia da mecânica estatística. A solução para esse problema foi derivada pelo físico Max Planck em 1900 [9]. A hipótese considerada por Planck é a de que um corpo negro deveria emitir energia em um nú-mero inteiro de pacotes de energia hν, chamados quantas. Essa foi a primeira idéia de quantização da história da Física e foi o ponto que marcou o surgimento da Mecânica Quântica.

Já se faz um século desde o estabelecimento formal da mecânica quântica [10,11] que foi responsável pelo sucesso em descrever teorias atômicas [12], além de criar conceitos que não existem na teoria clássica, como por exemplo a dualidade onda-partícula, o princípio da incerteza de Heisenberg, superposição de funções de ondas, etc. As idéias da teoria quântica podem ser melhor entendidas ao analisar o famoso experimento de duas fendas utilizando elétrons [13], onde um canhão de elétrons é direcionado a um obstáculo contendo duas fendas, e a distribuição de elétrons que atravessam essas fendas é visualizada em uma tela atrás do obstáculo. Nesse experimento, a trajetória do elétron é indeterminada, sendo igualmente provável do elétron ter passado tanto pela primeira como pela segunda fenda.

21

Apesar de um elétron ser detectado na tela como um único ponto, para tempo longos, a distribuição de elétrons observada obedecerá um padrão de interferência análogo ao padrão de interferência de duas ondas planares em um experimento de Young. Ao tentar determinar por qual fenda o elétron passa, e.g. colocando um detector em uma das fendas, o padrão de interferência é destruído. Essa propriedade é consequência do princípio da

superposição de estados quânticos, onde o estado do elétron é a superposição da função de

onda da partícula passar pela primeira fenda com a função de onda da partícula passar pela segunda fenda e a ação de tentar detectar por qual fenda o elétron passa perturba o estado e é responsável pelo colapso da função de onda, destruindo a superposição. Atualmente, a Mecânica Quântica é um dos pilares mais fortes da Física e nossa visão e entendimento do mundo não pode ser imaginada sem ela.

Além da sua fundamental importância, a mecânica quântica contribuiu para o de-senvolvimento das mais diversas tecnologias que utilizamos hoje, como por exemplo o

transistor, contidos nos nossos computadores pessoais e qualquer chip moderno para

com-putação [14]. Nesse caso, a mecânica quântica é responsável em descrever como as cargas se comportam em semicondutores e como se dá esse fluxo de cargas entre diferentes se-micondutores. Além da física de semicondutores, outra aplicação da mecânica quântica está na física de supercondutores, ressonância magnética nuclear entre muitas outras. A cada dia, os avanços tecnológicos nos permitem cada vez mais a observação de fenômenos quânticos inclusive em áreas fora da Física, o que foi responsável pelo estabelecimento de áreas interdisciplinares da biologia quântica e química quântica entre outras.

Emaranhamento Quântico

O entendimento dos efeitos quânticos é de fundamental importância para aplicação e desenvolvimento de tecnologias quânticas [15]. Um dos efeitos mais importantes é o

emaranhamento quântico. O emaranhamento quântico corresponde a uma extensão do

princípio da superposição para sistemas de múltiplas partes ou partículas. O estado de um sistema é emaranhado quando não for possível escrever o estado do sistema como produto tensorial de suas partes, ou seja, o estadonão é separável. A idéia de sistemas emaranhados foi dada atenção em 1935 pelos físicos Albert Einstein, Boris Podolsky e Nathan Rosen no famoso paradoxo EPR com objetivo de demonstrar que a mecânica quântica era uma teoria incompleta por conta de seu caráter não local e não real [16]. E de modo corrigir essa incompleteza, um modelo de variáveis ocultas local no qual exige que a teoria seja condizente com ideia de realismo local deve ser proposto. Assumindo as implicações dessa teoria, John Bell em 1964 derivou a desigualdade de Bell [17], que é uma desigualdade que deve ser satisfeita pela mecânica quântica caso a hipótese das variáveis ocultas estiver correta. Bell demonstrou que um conjunto de estados emaranhados violam essa desigualdade, demonstrando que estados emaranhados de fato possuem um caráter

22

não-local. Mais adiante em 1969, essa desigualdade foi generalizada pelos físicos John Clauser, Michael Horne, Abner Shimony e Richard Holt em um conjunto de desigualdades CHSH, ou também conhecido como desigualdades CHSH-Bell [18].

Os primeiros experimentos realizados envolvendo estados emaranhados com o propó-sito testar o teorema de Bell, foram realizados por Stuart Freedman e J. Clauser em 1972 [19] e mais tarde por Alain Aspect et al. em 1981 [20]. Nesses experimentos, a violação das desigualdades CHSH-Bell é demonstrada assumindo certas hipóteses, entre elas as três principais: não-localidade, livre escolha da base de medida e amostragem justa, dando ori-gem a loopholes na demonstração [21]. Mais recentemente em 2015, experimentos de Bell livre de loopholes foram realizados utilizando spins eletrônicos [22] e fótons emaranhados [23, 24]. Sugerindo que a teoria quântica é de fato uma teoria completa possuindo um caráter não local.

Esses experimentos que se iniciaram na década de 70 e 80 demonstraram a importância de estados emaranhados e como estes podem ser explorados para aplicação de novos métodos de computação e comunicação exclusivamente quânticos. Esforços foram feitos para se desenvolver novos métodos de criptografia, onde cada mensagem seria protegida por princípios da mecânica quântica. Artur Ekert, baseado no teorema de Bell, propôs o uso de um par de fótons emaranhado para distribuição de chaves de criptografia [25]. Suponha que Alice e Bob possuam um par de fótons emaranhado, devido ao teorema de não clonagem [26] qualquer espião (Eve) que tentar roubar a informação entre eles deverá medir um dos fótons de Alice ou de Bob e consequentemente perturbando o outro. A partir da realização de um experimento de Bell pode-se testar então se há um espião na linha ou não. Portanto, Alice e Bob sempre saberão se a comunicação entre eles é segura ou não.

Computação Quântica com Íons Aprisionados

Outro interesse, que já vinha crescendo devido ao desenvolvimento tecnológico da época e avanços na teoria de computação, foi a criação de um paradigma de computação que utiliza princípios de mecânica quântica [27, 28]. David Deutsch e Richard Jozsa em 1992 propuseram um algoritmo quântico que explora o fenômeno de superposição quân-tica para realizar uma tarefa muito mais eficientemente que seu análogo clássico [29]. Mais adiante, Peter Shor em 1994 propõe um algoritmo quântico de fatoração capaz de fatorar um número inteiro de N dígitos em um tempo polinomial de log N [30] sendo exponen-cialmente mais rápido que os atuais algoritmos clássicos de computação, e que explora o emaranhamento de estados quânticos a partir da transformada quântica de Fourier [26]. A demonstração desses algoritmos e a eficiência que esses possuem com relação a algorit-mos clássicos trouxe bastante interesse científico para as áreas de Informação Quântica e Computação Quântica.

23

A questão de como se montar um computador quântico eficiente vem sendo estudado nas últimas décadas. David DiVincenzo propôs critérios necessários para um computador quântico universal eficiente [31]. Analogamente a um bit clássico, 1 ou 0, computadores quânticos utilizam como unidade de informação o qubit correspondente a uma super-posição de dois estados distintos |0i e |1i. Qubits podem ser implementados através de qualquer sistema físico com dois estados possíveis, por exemplo dois níveis eletrônico do átomo. Ignacio Cirac e Peter Zoller em 1995 [32] propuseram o uso de átomos frios aprisi-onados para implementação de computação quântica universal, onde a implementação de portas lógicas se daria a partir de pulsos de lasers. O interesse em computação quântica trouxe origem a diversas outras áreas de pesquisas como por exemplo: redes quânticas, metrologia quântica, simulação quântica, entre outras.

Experimentos de informação quântica e computação já foram realizados em vários laboratórios do mundo. Implementação de portas lógicas já foram realizadas em sistemas de íons aprisionados, por exemplo a porta não-controlada CNOT [33, 34], fase controlada CPHASE [35] e Toffoli [36], e em outros tipos de sistemas quânticos [37]. O que levanta a questão do porquê não temos um computador quântico funcional hoje. A resposta é a mesma da razão de não observarmos efeitos quânticos no nosso dia-a-dia: decoerência. A decoerência surge da interação de sistema quântico com o ambiente. Em geral, os efeitos da decoerência para o emaranhamento ou superposição são negativas, onde esta atua destruindo qualquer tipo de coerência quântica e fazendo estados superpostos colapsem. Decoerência é a nossa limitação prática, sendo impossível de evitá-las por completo, no entanto tais efeitos podem ser reduzidos. A escalabilidade de sistemas físicos é limitada por conta de efeitos de decoerência: quanto maior o sistema de estudo mais suscetível a decoerência esse sistema estará. No caso de armadilha de íons, o número máximo de íons que se consegue manipular coerentemente para realização de experimentos em computação quântica e implementação de portas lógicas na mesma armadilha é em torno de dez íons. Para número maiores, o tempo de coerência se torna curto para a implementação de qualquer tipo de computação, ou há perda do controle dos graus de liberdade da armadilha devido a ruídos elétricos causados pela interação dos vários íons na armadilha. Em 2011, o grupo experimental que trabalha com íons aprisionados da Universidade de Innsbruck na Áustria liderado por Rainer Blatt realizou o emaranhamento do tipo GHZ para até 14 íons em uma mesma armadilha mas foi observado uma superdecoerência do estado produzido e também foi observado para até 8 íons que o tempo de decoerência cresce com o quadrado do número de íons na armadilha [38].

Transferência de Estados Quânticos

Uma das arquiteturas propostas para tentar resolver o problema da escalabilidade em armadilhas de íons foi apresentada em 1997 por Ignacio Cirac, Peter Zoller e Jeff Kimble,

24

Figura 1.1: Esquema da arquitetura proposta por Cirac et al.[1] para a transferência de estados entre dois átomos em uma rede quântica de cavidades acopladas. No modelo de Cirac et al., ambos átomos possuem três níveis: |ei e |gi que compõe o qubit e um terceiro nível auxiliar |ri. Os estados |ei e |ri estão fortemente acoplados ao modo da cavidade (taxa de dissipação κ) com força g. O estado quântico é transferido através de uma linha de transmissão unidirecional, responsável por enviar os fótons que saem da cavidade 1 à cavidade 2. Por ultimo, os fótons que saem da cavidade 2 são detectados para determinar o estado do átomo 2.

exibida na figura 1.1. Eles propuseram o uso de um canal quântico entre duas armadi-lhas para transferir informação de um ponto ao outro [1] permitindo a implementação de portas para um número maior de qubits distantes. No mesmo ano, Thomas Pellizarri [39] propõem também o uso de fibra ópticas acopladas a cavidades ópticas como canais quân-ticos para troca de informação. Esse é um dos tópicos que iremos tratar nesta dissertação: a comunicação quântica e transferência de emaranhamento entre íons aprisionados.

Decoerência é um fenômeno bastante estudado no campo de tecnologia quântica, por ser o principal obstáculo para montagem de um computador quântico. Devido a isso, idéias para proteger um estado quântico já foram propostas [40, 41, 42, 43] assim como a proteção de emaranhamento [44, 45]. No entanto, também já é demonstrado que em certas condições a decoerência possui um efeito positivo para o emaranhamento [46, 47]. Nesses casos estimula-se o sistema, a partir de campos externos, a ficar em um estado estacionário emaranhado após um longo tempo de interação, sendo possível então criar estados emaranhados mesmo na presença de dissipações entre pontos de uma rede quântica [48, 49].

Tendo em vista os efeitos da decoerência, nosso objetivo neste trabalho foi o de estudar a dinâmica de emaranhamento em uma rede de cavidades acopladas via fibra óptica, onde em cada ponto de nossa rede temos um íon aprisionado que fará o papel do nosso qubit de informação. Nós estudamos a transferência do estado de um qubit a um outro qubit remotamente separado e a geração de emaranhamento entre esses dois qubits remotos e verificar a influência de dissipações nesses dois casos. Isso permitiria a implementação de portas lógicas, implementação de protocolos de criptografia quântica e protocolos de teletransporte quânticos entre pontos da rede que são de fundamental importância em informação quântica e computação quântica.

Em trabalhos anteriores do nosso grupo, Fabiano Nohama analisou a transferência de estados para bandas laterais azul (BLA) e vermelha (BLV) em um sistema de cavidades

25

acopladas via um único modo dos campos coletivos e verificou que na BLA há uma maior eficiência para a transferência de estados, além de ser realizável utilizando parâmetros experimentais da época [50]. Júlio G. Henao demonstrou a transferência de estados em um sistema de cavidades acoplados via dois modos do campo, um em ressonância e outro fora de ressonância, e verificou que a presença desse segundo modo atua como um reservatório interno no nosso sistema responsável por diminuir a fidelidade de transferência [51].

Nessa dissertação analisamos a teoria necessária para a montagem de uma rede quân-tica de íons aprisionados em cavidades ópquân-ticas acopladas inspirado nos trabalhos mencio-nados anteriormente, e estudar no nosso modelo a transferência de estados maximamente emaranhados entre dois íons remotamente separados. Para a caracterizar a transferência de emaranhado é utilizado a negatividade como medida de emaranhamento [52], onde verifica-se que o íon alvo pode atingir negatividades acima de 0.9.

Organização do Trabalho

A organização dessa dissertação se deu da seguinte forma:

No capítulo 2 começaremos introduzindo noções básicas de teoria quântica, onde explicaremos a dinâmica de sistemas abertos e o básico da teoria de matrizes densidade e iremos analisar mais a fundo o conceito de emaranhamento e de como quantificá-lo.

Em seguida, no capítulo 3 introduziremos armadilhas de íons e estudaremos a dinâ-mica desses íons utilizando o formalismo de Lagrange e então faremos a quantização das coordenadas canônicas. Vamos utilizar a teoria semiclássica de interação radiação-matéria e mostrar como obter o hamiltoniano de interação entre um íon e o campo de um laser. E vamos mostrar como manipular e controlar o estado a partir uma série de pulsos de lasers de modo a ser possível a implementação de qualquer operação unitária sobre o estado.

No capítulo 4 estudaremos cavidades ópticas e como acoplar duas ou múltiplas cavi-dades tanto por campos evanescentes como por fibra ópticas, analisando o papel da força do acoplamento na comunicação entre as cavidades. Ao final, iremos inserir armadilhas de íons em cada cavidade e deduzir o hamiltoniano efetivo final do nosso modelo e quais as aproximações que podemos fazer para aproximar esse hamiltoniano.

No capítulo 5 estudaremos a transferência de um estado maximamente emaranhado entre dois íons da rede, inicialmente para o caso não dissipativo ondes analisaremos o papel do acoplamento entre íon e o campo na transferência, e, também, a influência do emaranhamento inicial. Subsequentemente analisaremos o caso dissipativo da transferên-cia e analisaremos o papel da decoerêntransferên-cia na transferêntransferên-cia do emaranhamento, tanto para

T = 0 como para T > 0.

No capítulo 6 apresentamos resultados envolvendo a transferência de estados via dois modos do campo, um ressonante e outra ligeiramente fora de ressonância. Um trabalho que foi realizado em conjunto com Júlio G. Henao [51]. Onde vamos fazer uma análise

26

comparativa entre os dois tipos de acoplamentos para verificar qual delas é mais robusta na presença de reservatórios internos.

27

Capítulo 2

Conceitos de Teoria Quântica e

Sistema Abertos

Neste capítulo apresentaremos uma breve descrição de certos conceitos da teoria quân-tica necessária para o entendimento dos demais capítulo dessa dissertação. O objetivo deste capítulo não é de ensinar toda a teoria, mas sim estabelecer definições e referências que serão usados ao longo do texto e nos demais capítulos. Toda teoria explicada aqui já está muito bem explicada na literatura [26, 53, 54, 55, 56, 57, 58], que iremos utilizar como referência.

2.1

Matrizes Densidades

Sabemos que a mecânica quântica pode ser formulada em termos de vetores de estados. É postulado que qualquer sistema isolado está associado a um espaço de Hilberta H contendo vetores de estados de norma unitária que representam os estados quânticos daquele sistema.

No entanto tal descrição não é completa especialmente se quisermos trabalhar com sistemas abertos, onde nosso sistema está constantemente em interação com um ambiente externo sofrendo efeitos de decoerência. A decoerência atua no nosso sistema de forma

aleatória modificando o estado quântico do sistema, e, portanto, não podemos prever

em qual estado o nosso sistema estará. No entanto ainda é possível associar uma certa probabilidade pi do sistema estar no estado |ψii. É dito que quando temos certeza do

estado do nosso sistema, isto é, quando pi = 1 o estado é dito ser um estado puro. Caso

contrário o estado é chamado de estado misto, correspondente a um ensemble estatístico de estados puros. Para estender nossa descrição de estados quânticos para que inclua estados mistos é necessário introduzir a matriz densidade (ou operador densidade).

Seja um ensemble de estados |ψii com probabilidades pi, onde Pipi = 1, a matriz

2.1. Matrizes Densidades 28

densidade ρ que descreve este estado é definida por

ρ ≡X

i

pi|ψii hψi| . (2.1)

O valor médio de uma observável A para este estado é definido pelo traço tr(ρ ˆA). É

fá-cil notar que o traço tr(ρ) = 1 por conta da soma das probabilidades ser igual 1 e que hφ| ρ |φi ≥ 0 onde |φi é um vetor arbitrário pertencente a H. Essas são duas proprie-dades importantes das matrizes densidade: traço unitário e positividade. O fato de ρ ser positivo implica que seus valores são reais e não-negativos e portanto temos uma terceira propriedade: a hermiticidade da matriz densidade, isto é, a matriz densidade é auto ad-junta ρ = ρ†. Note que para um estado puro ρ = |ψi hψ|, a matriz densidade é também idempotente ρ2 _{= ρ e portanto tr(ρ}2_{) = 1. Pode-se demonstrar que para um estado misto} da forma (2.1) que tr(ρ2_{) < 1. De forma geral, pode-se definir a pureza de um estado} quântico

P ≡ tr(ρ2_{) ≤ 1. (2.2)}

Assim como é feito com vetores de estados, os postulados da mecânica quântica podem também ser formulados em termos da matriz densidade [26]. O primeiro associado a descrição de um estado físico:

Postulado 1 O estado quântico de um sistema físico associado ao espaço de Hilbert H

pode ser representado por matriz densidade ρ de traço unitário que atua em H. Se o sistema se encontra no estado ρi com probabilidade pi, a matriz densidade do sistema será

ρ =P

ipiρi.

O estado quântico que representa o sistema deve evoluir unitariamente de modo a preser-var a normalização do vetor estado ou o traço unitário da matriz densidade. Para vetores de estado, essa evolução é dada pela equação de Schrödinger

∂ ∂t|ψ(t)i = − i ¯ h ˆ H(t) |ψ(t)i . (2.3)

A estratégia para determinar a evolução da matriz densidade ρ(t) é derivar a equação (2.1) em relação ao tempo t, ou seja

∂ρ(t) ∂t = X j pj " ∂ ∂t|ψj(t)i ! hψj(t)| + |ψj(t)i ∂ ∂thψj(t)| !# (2.4)

2.1. Matrizes Densidades 29

e a partir de (2.3), vamos obter

∂ρ(t) ∂t = − i ¯ h X j pj h ˆ H(t) |ψj(t)i  hψj(t)| − |ψj(t)i  hψj(t)| ˆH(t) i = −i ¯ h  ˆ H(t)ρ(t) − ρ(t) ˆH(t) = −i ¯ h h ˆ H(t), ρ(t)i.

Postulado 2 A evolução do estado de um sistema quântico fechado é unitária e descrita

pela equação de von Neumann

∂ρ(t) ∂t = − i ¯ h h ˆ H(t), ρ(t)i, (2.5)

onde ˆH é o operador hamiltoniano do sistema.

Integrando ambos os lados de (2.5) com relação ao tempo, podemos escrever a solução dessa equação na forma

ρ(t) = ρ(t0) − i ¯ h Z t t0 dt0hH(tˆ 0), ρ(t0)i, (2.6)

onde t0 é o instante inicial do sistema. Substituindo (2.6) em si própria recursivamente, obtém-se o estado ρ em um instante t dado por

ρ(t) = ρ(t0)− i ¯ h Z t t0 dt0hH(tˆ 0), ρ(t0) i + _i ¯ h 2Z t t0 dt0 Z t0 t0 dt00hH(tˆ 0),hH(tˆ 00), ρ(t0) ii +. . . (2.7)

Define-se o operador de evolução unitária ˆU (t, t0), ou propagador temporal, responsável por descrever a evolução do sistema entre o instante inicial t0 e o instante t. Podemos reescrever (2.7) na forma geral

ρ(t) = ˆU (t, t0)ρ(t0) ˆU†(t, t0), (2.8) com ˆ U (t, t0) = 1 − i ¯ h Z t t0 dt0H(tˆ 0) +  −i ¯ h 2Z t t0 dt0 Z t0 t0 dt00H(tˆ 0) ˆH(t00) + . . . (2.9) = 1 + ∞ X n=1  −i ¯ h nZ t t0 dt0 Z t0 t0 dt00· · · Z t(n−1) t0 dt(n)H(tˆ 0) ˆH(t00) . . . ˆH(t(n)), (2.10)

que corresponde a uma expansão completamente ordenada no tempo t > t0 > t00 > · · · > t(n)_{> t}

0. No entanto, é conveniente alterar a região de integração das integrais em (2.10) para um hipercubo de aresta t e dividir o elemento de volume dt0dt00. . . dt(n) _{por um fator}

2.1. Matrizes Densidades 30

Figura 2.1: Domínio de integração até segunda ordem (n = 2) para a expansão ordenada no

tempo na equação (2.10) (esquerda) e para expansão não ordenada (2.11) (direita). Para as regiões demarcadas serem iguais multiplica-se a integral por um fator 1/n! = 1/2.

n! de modo a mantê-lo fixo (veja figura 2.1). Em outras palavras

ˆ U (t, t0) = 1 + ∞ X n=1 1 n!  −i ¯ h nZ t t0 dt0 Z t t0 dt00· · · Z t t0 dt(n)H(tˆ 0) ˆH(t00) . . . ˆH(t(n)) (2.11) = 1 + ∞ X n=1 1 n!  −i ¯ h Z t t0 dt0H(tˆ 0) n (2.12) = T exp  −i ¯ h Z t t0 dt0H(tˆ 0)  , (2.13)

onde usamos exp(A) =P∞

n=0A

n

n!. Perceba que a expansão em (2.11) não é mais ordenada

correspondendo a um conjunto de integrais independentes. Para reverter isso, na equação (2.13) introduzimos o operador de ordenamento temporal T para o caso em que o hamil-toniano dependente do tempo ˆH(t) não comute entre si em diferentes instantes no tempo t, t0, t00, etc.

É fácil ver que para o caso em que ˆH é independente do tempo, o operador de evolução

temporal (2.13) vai ser dado por ˆ U (t, t0) = exp  −i ¯ h ˆ H(t − t0)  . (2.14)

O próximo postulado fundamental se refere a medidas no estado quântico. Medir um sistema significa extrair informação do sistema ao custo de que o estado do sistema seja alterado. O processo de medição consiste basicamente uma projeção do vetor de estado ou matriz densidade no subespaço relacionado a um certo autovalor α de um observável

ˆ

2.1. Matrizes Densidades 31

Postulado 3 Medidas no sistema podem ser descritas por um conjunto de operadores de

medição { ˆMa} que atuam em H e que satisfazem

X

a

ˆ

M_a†Mˆa = 1, (2.15)

onde_{1 é a matriz identidade. O subíndice a se refere aos diferentes resultados possíveis de} medida. Se estado do sistema imediatamente antes da medida for ρ, então a probabilidade de obter o resultado a é dado por

p(a) = tr( ˆM_a†Mˆaρ) (2.16)

e o estado quântico normalizado imediatamente após a medida será

ˆ

Maρ ˆMa†

tr( ˆMa†Mˆaρ)

. (2.17)

2.1.1

Dinâmica no Espaço de Liouville

Será conveniente para nós reescrever(2.5) na forma de uma equação quântica de Liou-ville [59] introduzindo o superoperador Liouvilliano i ˆL definido por

i ˆL ≡ ih..., ˆHi, (2.18)

em comparação com o operador clássico iL = {..., H}. A expressão (2.18) nos permite reescrever (2.5) na forma ∂ρ(t) ∂t = − i ¯ h ˆ L(t)ρ(t). (2.19)

A importância dessa notação vem do fato de que a expressão (2.19) é isomorfa a equação de Schrödinger (2.3). Isso significa que no espaço de Liouville podemos representar as matrizes densidade por vetores (que denotaremos por ~ρ) de dimensão N2 _{× 1 em} comparação vetores de estados que possuem dimensão N × 1.

Podemos repetir todas as etapas da dinâmica de ρ que fizemos na seção anterior substituindo ˆH por ˆL. A solução de (2.19) vai ser dada por

ρ(t) = ˆU (t, t0)ρ(t0), (2.20) com ˆ U (t, t0) = 1 + ∞ X n=1 1 n!  −i ¯ h nZ t t0 dt0 Z t t0 dt00· · · Z t t0 dt(n)L(tˆ 0) ˆL(t00) . . . ˆL(t(n)_{) (2.21)} = T exp  −i ¯ h Z t t0 dt0L(tˆ 0)  , (2.22)

2.1. Matrizes Densidades 32

onde o superoperador ˆU (t, t0) corresponde ao propagador temporal no espaço de Liouville. Caso nosso hamiltoniano ˆH seja independente do tempo, isso implica que ˆL também será independente do tempo e o propagador (2.22) vai ser dado por

ˆ U (t, t0) = exp  −i ¯ h ˆ L(t − t0)  . (2.23)

Nas expressões acima utilizamos a notação de matriz densidade ρ, mas como dissemos anteriormente poderíamos substituir ρ por ~ρ e os superoperadores por matrizes, uma vez

que esses dois espaços são isomorfos [59]. Isso pode ser realizado através do mapeamento ˆ

O1ρ ˆO2 = ˆO1⊗ ˆO2T~ρ, (2.24)

ou, alternativamente

ˆ

O1ρ ˆO2 = ˆOT2 ⊗ ˆO1~ρ, (2.25)

válido para qualquer dois operadores ˆO1 e ˆO2 que compõe o superoperador. É comum que ˆO2 = ˆO

†

1, ou que ˆO1 = 1 ou ˆO2 = 1 para representar operações pela direita ou pela esquerda, respectivamente.

Os mapeamentos (2.24) e (2.25) acima podem ser facilmente obtidos utilizando softwa-res matemáticos, entre eles, o Wolfram Mathematica [60] que foi utilizado intensamente neste trabalho e que possui a funçãoFlatten[...]:

Flatten[   r11 r12 r21 r22  ] −→         r11 r12 r21 r22         , (2.26)

correspondente ao mapeamento (2.24) e que nos permite determinar ~ρ a partir de ρ.

Dado que temos a forma matricial de ˆO1 e ˆO2 pode-se determinar ˆO1⊗ ˆOT2 simplesmente utilizando as funções KroneckerProduct[...] e Transpose[...].

Em geral, seja um superoperador ˆL que atua em ρ da forma ˆ

Lρ = ˆAρ + ρ ˆB + ˆO1ρ ˆO2, (2.27)

este poderá ser reescrito na forma matricial M :

M ~ρ =h( ˆ_{A ⊗ 1) + (1 ⊗ ˆ}BT) + ˆO1⊗ ˆO2T i

~

ρ. (2.28)

Técnicas de vetorização de operadores e superoperadores permitem que a evolução (2.19) seja tratada computacionalmente, onde o problema se reduz simplesmente ao

cál-2.1. Matrizes Densidades 33

culo da matriz exponencial (2.22) ou (2.23). No Mathematica, isso pode ser realizado através da função MatrixExp[...]. Isso irá facilitar o tratamento de Liouviallianos mais complicados envolvendo a equação mestra de Lindblad conforme veremos mais adiante.

2.1.2

Representação de Interação

A expansão (2.11) trata nosso hamiltoniano total ˆH(t) de maneira perturbativa, o que

não é muito útil uma vez que essa expansão pode não valer para tempos longos. Uma maneira de contornar isso é separar nosso hamiltoniano em uma parte de evolução livre

ˆ

H0, no qual trataremos exatamente, e outra parte ˆHI que representa as interações do

nosso sistema, no qual trataremos de maneira perturbativa. O hamiltoniano total será dado por

ˆ

H(t) = ˆH0(t) + ˆHI(t), (2.29)

onde em geral ˆH0(t) possuem uma forma simples em comparação com ˆHI(t). Vamos

denotar o operador de evolução de ˆH0(t) por ˆU0(t, t0)b dado por

ˆ U0(t, t0 = 0) = T exp  −i ¯ h Z t 0 dt0Hˆ0(t0)  . (2.30)

Definindo a matriz densidade na representação de interaçãoc

˜

ρ(t) ≡ ˆU₀†(t, 0)ρ(t) ˆU0(t, 0), (2.31)

ou ainda, se ˆH0 não depende do tempo,

˜ ρ(t) = exp _i ¯ h ˆ H0t  ρ(t) exp  −i ¯ h ˆ H0t  . (2.32)

Substituindo (2.31) em (2.5) e levando em conta unitariedade de ˆU0, vamos obter a equação do movimento na representação de interação

∂ ˜ρ(t) ∂t = − i ¯ h h ˜ HI(t), ˜ρ(t) i , (2.33)

onde o hamiltoniano na representação de interação será dado por ˜

HI(t) = ˆU0†(t, 0) ˆHI(t) ˆU0(t, 0). (2.34)

A expressão para o operador de evolução do termo de interação ˆ UI(t, 0) = T exp  −i ¯ h Z t 0 dt0H˜I(t0)  (2.35) b_{Sem perda de generalidade, vamos considerar o instante inicial t}

0= 0.

2.2. Sistemas Compostos 34

e o operador de evolução total do sistema será dado por ˆ U (t, 0) = ˆU0(t, 0) ˆUI(t, 0) = ˆU0(t, 0) + ∞ X n=1  −i ¯ h nZ t 0 dt0 Z t0 0 dt00· · · Z t(n−1) 0 dt(n) × ˆU0(t, t0) ˆHI(t0) ˆU0(t0, t00) ˆHI(t00) . . . ˆU0(t(n−1), t(n)) ˆHI(t(n)) ˆU0(t(n), 0), (2.36)

ou seja, dado que sabemos como determinar ˆU0(t, 0) podemos expandir ˆU (t, 0) em ape-nas potências de ˆHI(t), ao contrário de potências de ˆH(t) como se foi feito em (2.11),

permitindo que a expressão seja válida para tempos mais longos. Esse resultado pode ser interpretado da seguinte forma: Para um termo de ordem n, no instante inicial t0 = 0 nosso estado evolui até t(n)_{e então interage em H}

I(t(n)) e então evolui novamente até t(n−1)

e interage em HI(t(n)) e assim por diante até finalmente interagir em HI(t0) e evoluir até

t.

2.1.3

Fidelidade

Em teoria de informação quântica (QIT) a função fidelidade F : H × H −→ [0, 1] é uma medida de quão próximo dois estados quânticos estão um do outro, isso é, a distância entre esses dados. Dado dois estados quânticos ρ1 e ρ2 pertencentes a H, a fidelidade entre esses estados é definida por

F (ρ1, ρ2) ≡  trq√ρ1ρ2 √ ρ1 2 . (2.37)

Se F (ρ1, ρ2) = 0 podemos dizer que esses estados possuem características e propriedades completamente diferentes. Se F (ρ1, ρ2) = 1 podemos afirmar que ρ1 = ρ2.

Seja ρ1 um estado puro da forma ρ1 = |φi hφ|, a fidelidade entre os estados será

F (|φi , ρ2) =  trq|φi hφ| ˆρ2|φi hφ| 2 = hφ| ρ2|φi  trq|φi hφ| 2 = hφ| ρ2|φi . (2.38)

A fidelidade em (2.38) será útil mais tarde quando estivermos tratando de transferência de estados entre cavidades. A fidelidade pode ser aplicada como modo de medida para avaliar se ou não foi transferido o estado quântico de uma cavidade a outra.

2.2

Sistemas Compostos

Ao trabalhar com emaranhamento quântico necessitamos que nosso sistema físico te-nha pelo menos dois subsistemas emarate-nhados entre si. Em geral, é comum que sistemas

2.2. Sistemas Compostos 35

físicos possuem dois ou mais subsistemas independentes, e, portanto, é de fundamental importância tanto em teoria quântica ou em teoria de informação quântica o estudo de sistemas compostos. Podemos então formular um quarto postulado:

Postulado 4 O estado quântico ρ de um sistema associado ao espaço de Hilbert H

com-posto de n subsistemas é dado pelo produto tensorial dos tensorial dos estados desses subsistemas

ρ = ρ1⊗ ρ2⊗ . . . ρn. (2.39)

O espaço de estados escrito em termos de suas componentes será dado por

H = H1⊗ H2⊗ . . . Hn. (2.40)

Uma das principais vantagens e aplicação do uso de matrizes densidades é o uso dessas para o monitoramento de subsistemas de sistemas compostos através de sua forma reduzida. Como vamos ver mais adiante, a presença de dissipações no sistema resulta no decaimento de um estado de maior energia do sistema a um estado de menor energia e podem converter um estado puro a um estado misto. Isso ocorre porque estados mistos não são apenas produtos de uma preparação incompleta do sistema, mas também são produtos de um monitoramento parcial do sistema [58]. Suponha que um sistema é composto de duas partes A e B é descrito pela matriz densidade ρAB. A observação somente do estado

do sistema A faz que a informação sobre o estado de B seja perdida e, portanto, um média sobre B é necessária. Isso pode ser feito através do traço dos graus de liberdade do espaço de Hilbert do sistema B

ρA= trB(ρAB), (2.41)

onde a matriz ρA é chamada de matriz densidade reduzida do estado quântico do sistema

A. Essa matriz contém toda informação sobre o estado do sistema A dado que não temos

nenhuma informação sobre o estado de B.

2.2.1

Decomposição de Schmidt

Outra ferramenta importante para o estudo de sistemas compostos é a decomposição

de Schmidt. Seja |iAi uma base ortonormal em HA e |iBi uma base ortonormal em HB, o

estado puro |ψi de um sistema composto associado a H = HA⊗ HB pode ser escrito em

termos dos elementos dessa base na forma

|ψi =X

i

q

λi|iAi ⊗ |iBi , (2.42)

onde λi são números reais não negativos que satisfazem Piλi = 1. De fato, essa

2.2. Sistemas Compostos 36

dois subsistemas representados pelos espaços HA e HB. Um estado de HA⊗ HB pode ser

representado por |ψi =X ij Λij   ˜iA E ⊗ ˜jB E , (2.43)

onde Λij são as amplitudes complexas e

  ˜iA E e  ˜jB E

formam uma base em HA e HB

respectivamente. Assumindo que ambos os espaços de Hilbert possuam a mesma dimensão, i.e., dim HA= dim HB, a matriz de coeficientes Λ = (Λij) com respeito a

  ˜iA E e  ˜jB E será uma matriz quadrada. Pelo teorema da decomposição em valores singulares [61], a matriz Λ pode ser decomposta da forma

Λ = U DVT, (2.44)

onde U e V são matrizes unitárias e D é uma matriz diagonal com elementos reais e não-negativos Λi ≥ 0. Portanto (2.43) pode ser reescrita na forma

|ψi =X ijk uijΛjvjk   ˜iA E ⊗  ˜ kB E . (2.45)

Levantando em conta a unitariedade de U e V , os vetores definidos por |jAi ≡ X i uij   ˜iA E , (2.46) |jBi ≡ X k vjk    ˜ kB E , (2.47)

formam uma base ortonormal em HAe HB. Adicionalmente, para um estado normalizado

hψ| ψi = 1, vamos ter

hψ| ψi =X

i

Λ2_i = 1, (2.48)

onde definindo λi ≡ Λ2i e a partir das expressões (2.46), (2.47) e (2.45), obtém-se de

imediato a decomposição de Schmidt (2.42).

Com base nessa decomposição, seja o estado puro ρ = |ψi hψ|, podemos determinar as matrizes reduzidas dos estados dos subsistemas A e B a partir de (2.41)

ρA= X i λi|iAi hiA| , (2.49) ρB = X i λi|iBi hiB| , (2.50)

ou seja, ambas as matrizes reduzidas de A e B possuirão os mesmos autovalores λi.

Por-tanto muitas propriedades quânticas determinadas a partir dos autovalores das matrizes densidade serão compartilhadas entre esses dois subsistemas, como por exemplo a pureza (2.2). Isso implica que, se o estado da matriz ρA for puro então o estado da matriz ρB

também será puro ou vice-versa.

2.2. Sistemas Compostos 37

de Schmidt, podemos agora então falar de estados separáveis e emaranhados. Suponha o

caso em que as matrizes reduzidas ρA ou ρB são puras, isto é, são idempotentes. A matriz

ρ2_A será dada por

ρ2_A=X ij λiλj|iAi hiA| jAi hjA| =X ij λiλjδij|iAi hjA| =X i λ2_i |iAi hiA| , (2.51)

e segue da propriedade de idempotência que

ρ2_A = ρA=⇒ X i λ2_i |iAi hiA| = X i λi|iAi hiA| (2.52) ⇒ λ2 _{= λ, (2.53)}

Isso implica, por conta da ortonormalidade da base |iAi e |iBi, que nossa

decomposi-ção conterá apenas um coeficiente não-nulo λ = 1, ou seja, o número de Schmidt dessa decomposição é igual a um. O estado para esse caso será

ρ2_A = ρA ⇐⇒ |ψi = |iAi |iBi , (2.54)

que é dito ser um estado separável. A inversa também é válida, o fato de |ψi ser separável implica que as matrizes reduzidas de seus subsistemas serão idempotentes.

Para um segundo caso em que as matrizes reduzidas não são puras, vamos ter um número de Schmidt maior que 1, nesse caso o estado é dito emaranhado:

ρ2_A6= ρA⇐⇒ |ψi é emaranhado. (2.55)

Estados emaranhados não podem ser escritos como o produto tensorial dos estados de seus subsistemas, ou seja, não são fatoráveis. Se o valor de todos coeficientes de Schmidt de uma expansão de |ψi forem iguais então é dito que esse estado está maximamente

emaranhado [62].

Note que o número de Schmidt é invariante sob aplicação de operação unitárias locais do tipo ˆUA⊗ ˆUB, , que atua em |ψi da forma

( ˆUA⊗ ˆUB) |ψi =

X

i

q

λi( ˆUA|iAi) ⊗ ( ˆUB|iBi), (2.56)

e que possui o mesmo número de Schmidt do estado (2.42), uma vez que UA e UB atuam

apenas em estados de HA e HB, respectivamente. Por essa mesma razão o número de