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Matemática
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!!!"#$%&'()'*++,+%&+"-',".) !!!"#$%&'()'*++,+%&+"-',".) ""MATEMÁTICA- Números
MATEMÁTICA- Números
complexos e Polinômios.
complexos e Polinômios.
A imagem representada acima foi gerada por A imagem representada acima foi gerada por um caleidoscópio, artefato formado por pedaços de um caleidoscópio, artefato formado por pedaços de vidro de diversas cores e colocados entre dois ou vidro de diversas cores e colocados entre dois ou três espelhos planos. Esses pedaços de vidro três espelhos planos. Esses pedaços de vidro colorido formam desenhos extremamente belos, que colorido formam desenhos extremamente belos, que se modificam, simetricamente, a mais leve oscilação se modificam, simetricamente, a mais leve oscilação do caleidoscópio. Esse artefato, cuja simetria e do caleidoscópio. Esse artefato, cuja simetria e chamada oitavada, ao ser rotacionado de chamada oitavada, ao ser rotacionado de !!/4/4 radianos, fornece a mesma imagem anteriormente radianos, fornece a mesma imagem anteriormente apresentada. Na figura, estão traçados eixos apresentada. Na figura, estão traçados eixos cartesianos ortogonais xOy; cada ponto (x, y) do cartesianos ortogonais xOy; cada ponto (x, y) do plano esta identificado com um numero complexo z plano esta identificado com um numero complexo z = x + iy, em que i e a unidade imaginaria (i
= x + iy, em que i e a unidade imaginaria (i22 = -1), e = -1), e
os pontos z
os pontos z11, , zz22, ..., z, ..., z88 correspondem as raízes da correspondem as raízes da
função polinomial p(z) = z função polinomial p(z) = z88 - 1. - 1.
1.
1. (UnB-1º2013) Entre as raízes da função p,(UnB-1º2013) Entre as raízes da função p, estão (cos(3
estão (cos(3!!/2), sen(3/2), sen(3!!/2)) /2)) e e .. 2.
2. (UnB-1º2013) O gráfico da função real g(x)(UnB-1º2013) O gráfico da função real g(x) =
= xx88 - 1, em que x é um número real, - 1, em que x é um número real,
intercepta os eixos coordenados intercepta os eixos coordenados exatamente duas vezes.
exatamente duas vezes. 3.
3. (UnB-1º2013) Duas raízes da função p(UnB-1º2013) Duas raízes da função p pertencem ao gráfico da reta 2y = x + 1. pertencem ao gráfico da reta 2y = x + 1. 4.
4. (UnB-1º2013) (UnB-1º2013) O O número número éé imaginário puro.
imaginário puro.
5.
5. (UnB-1º2013) Se cada número (UnB-1º2013) Se cada número complexo nacomplexo na figura fosse multiplicado por z
figura fosse multiplicado por z22, a imagem, a imagem
resultante seria a mesma. resultante seria a mesma. 6.
6. (UnB-1º2013) Todas as raízes z(UnB-1º2013) Todas as raízes zii, , 11 "" ii "" 88
podem ser escritas na forma z
podem ser escritas na forma zii == ##n, emn, em
que
que ## e uma dessas raízes e n = 1, 2, ..., 8. e uma dessas raízes e n = 1, 2, ..., 8. 7.
7. (UnB-1º2013) Quaisquer três raízes da(UnB-1º2013) Quaisquer três raízes da função p são vértices de um triangulo função p são vértices de um triangulo isósceles.
isósceles. 8.
8. (UnB-1º2013) A expressão |z6 + z7|(UnB-1º2013) A expressão |z6 + z7|22 -|z6 - |z6
-z8| e igual a z8| e igual a a) a) 1.1. b) b) 2.2. c) c) 3.3. d) d) 4.4.
Para identificar as regiões afetadas por um Para identificar as regiões afetadas por um
tsunami
tsunami , estudiosos utilizaram um plano complexo, estudiosos utilizaram um plano complexo
traçado em um mapa, a partir da cidade de Tóquio, traçado em um mapa, a partir da cidade de Tóquio, local onde foi colocada a origem do sistema de local onde foi colocada a origem do sistema de coordenadas cartesianas ortogonais xOy, conforme coordenadas cartesianas ortogonais xOy, conforme ilustrado acima. Nesse plano, cada ponto (x, y) é ilustrado acima. Nesse plano, cada ponto (x, y) é identificado com um número complexo z = x + i y, identificado com um número complexo z = x + i y, em que i é a unidade complexa imaginária, ou seja, em que i é a unidade complexa imaginária, ou seja, ii22 = -1, e as distâncias são medidas em centímetros. = -1, e as distâncias são medidas em centímetros.
O ponto T = (10, 12) representa, nesse sistema, a O ponto T = (10, 12) representa, nesse sistema, a origem do tremor que gerou o
origem do tremor que gerou o tsunami tsunami , que afetou, que afetou
principalmente as cidades de Sendai, localizada em principalmente as cidades de Sendai, localizada em S = (3, 10), e de Kenennuma, localizada em K = (4, S = (3, 10), e de Kenennuma, localizada em K = (4, 14).
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!!!"#$%&'()'*++,+%&+"-',".) !!!"#$%&'()'*++,+%&+"-',".) ##Tendo como referência as informações acima, Tendo como referência as informações acima, julgue os i
julgue os itens.tens. 9.
9. (UnB-2º2012) Para localizar o ponto S no(UnB-2º2012) Para localizar o ponto S no plano complexo representado no mapa plano complexo representado no mapa acima, é suficiente multiplicar o número acima, é suficiente multiplicar o número complexo corresponde a T pela unidade complexo corresponde a T pela unidade imaginária i.
imaginária i. 10.
10. (UnB-2º2012) Existe um número complexo(UnB-2º2012) Existe um número complexo z =
z = ## (cos 60º + i sen 60º), em que (cos 60º + i sen 60º), em que ## é uma é uma constante real positiva, que pertence ao constante real positiva, que pertence ao segmento de reta de extremidades T e S. segmento de reta de extremidades T e S.
A figura acima ilustra um triângulo equilátero A figura acima ilustra um triângulo equilátero ABC inscrito em uma circunferência de raio 2 ABC inscrito em uma circunferência de raio 2 centrada na origem de um sistema de coordenadas centrada na origem de um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais xOy, em que um ponto (x, y) cartesianas ortogonais xOy, em que um ponto (x, y) é identificado com o número complexo z = x + iy. é identificado com o número complexo z = x + iy. Esse triângulo foi obtido a partir da representação Esse triângulo foi obtido a partir da representação plana de uma molécula de amônia (NH
plana de uma molécula de amônia (NH33), na qual os), na qual os
três átomos de hidrogênio estão posicionados nos três átomos de hidrogênio estão posicionados nos seus vértices e o átomo de nitrogênio encontra-se seus vértices e o átomo de nitrogênio encontra-se na origem.
na origem.
Com base nessas informações e considerando o Com base nessas informações e considerando o centímetro como a unidade de medida de centímetro como a unidade de medida de comprimento, em ambos os eixos, julgue os itens. comprimento, em ambos os eixos, julgue os itens.
11.
11. (UnB-1º2012) Se z(UnB-1º2012) Se z11 corresponde ao ponto corresponde ao ponto
C e se z
C e se z22 corresponde ao ponto B, então corresponde ao ponto B, então
GABARITO GABARITO 1. 1. CC 2. 2. EE 3. 3. EE 4. 4. CC 5. 5. CC 6. 6. CC 7. 7. EE 8. 8. BB 9. 9. EE 10. 10. CC 11. 11. CC
MATEMÁTICA- Polinômios.
MATEMÁTICA- Polinômios.
Um apicultor, aoUm apicultor, ao perceber o desaparecimentoperceber o desaparecimento de abelhas de uma colmeia, resolveu contar a de abelhas de uma colmeia, resolveu contar a quantidade de abelhas restantes para estimar a taxa quantidade de abelhas restantes para estimar a taxa correspondente ao sumiço dos insetos. Utilizando correspondente ao sumiço dos insetos. Utilizando técnicas adequadas, ele conseguiu atrair as abelhas técnicas adequadas, ele conseguiu atrair as abelhas restantes da colmeia para o interior de uma caixa restantes da colmeia para o interior de uma caixa cercada por uma tela. O apicultor observou que as cercada por uma tela. O apicultor observou que as abelhas entravam na caixa de modo bastante abelhas entravam na caixa de modo bastante peculiar, seguindo um padrão: primeiro, entrava peculiar, seguindo um padrão: primeiro, entrava uma; depois, mais três de uma única vez; logo em uma; depois, mais três de uma única vez; logo em seguida, mais cinco ao mesmo tempo; seguida, mais cinco ao mesmo tempo; imediatamente após, entravam sete, e, assim, imediatamente após, entravam sete, e, assim, sucessivamente. Para obter controle sobre o sucessivamente. Para obter controle sobre o processo, ele anotou a quantidade de abelhas que processo, ele anotou a quantidade de abelhas que entravam e verificou que nenhuma abelha saiu da entravam e verificou que nenhuma abelha saiu da caixa enquanto ele fazia a contagem. Ao final, caixa enquanto ele fazia a contagem. Ao final, contou 400 abelhas dentro da
contou 400 abelhas dentro da caixa.caixa.
Com base nessa situação hipotética, julgue o item. Com base nessa situação hipotética, julgue o item.
1.
1. (UnB-2º2012) Em algum momento, a(UnB-2º2012) Em algum momento, a quantidade total de abelhas na caixa foi quantidade total de abelhas na caixa foi exatamente igual a uma das raízes do exatamente igual a uma das raízes do polinômio p(x) = x
polinômio p(x) = x$$ - 7x - 6. - 7x - 6.
A figura acima ilustra um triângulo equilátero A figura acima ilustra um triângulo equilátero ABC inscrito em uma circunferência de raio 2 ABC inscrito em uma circunferência de raio 2 centrada na origem de um sistema de coordenadas centrada na origem de um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais xOy, em que um ponto (x, y) cartesianas ortogonais xOy, em que um ponto (x, y)
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!!!"#$%&'()'*++,+%&+"-',".) !!!"#$%&'()'*++,+%&+"-',".) $$é identificado com o número complexo z = x + iy. é identificado com o número complexo z = x + iy. Esse triângulo foi obtido a partir da representação Esse triângulo foi obtido a partir da representação plana de uma molécula de amônia (NH
plana de uma molécula de amônia (NH33), na qual os), na qual os
três átomos de hidrogênio estão posicionados nos três átomos de hidrogênio estão posicionados nos seus vértices e o átomo de nitrogênio encontra-se seus vértices e o átomo de nitrogênio encontra-se na origem.
na origem.
Com base nessas informações e considerando o Com base nessas informações e considerando o centímetro como a unidade de medida de centímetro como a unidade de medida de comprimento, em ambos os eixos, julgue os itens. comprimento, em ambos os eixos, julgue os itens.
2.
2. (UnB-1º2012) Os vértices A, B e C(UnB-1º2012) Os vértices A, B e C correspondem às raízes complexas do correspondem às raízes complexas do polinômio f(z) = z
polinômio f(z) = z33 – 8. – 8.
Aidan Dwyer, um jovem norte-americano de Aidan Dwyer, um jovem norte-americano de 13 anos de idade, após ter analisado o papel das 13 anos de idade, após ter analisado o papel das folhas das plantas como coletores solares naturais folhas das plantas como coletores solares naturais para o processo de fotossíntese, desenvolveu uma para o processo de fotossíntese, desenvolveu uma inovadora maneira de dispor painéis solares de inovadora maneira de dispor painéis solares de modo a otimizar a coleta de energia luminosa.
modo a otimizar a coleta de energia luminosa.
Durante uma caminhada, ao observar as Durante uma caminhada, ao observar as árvores, ele percebeu que as folhas ao longo de um árvores, ele percebeu que as folhas ao longo de um ramo e os galhos em torno do caule apresentavam ramo e os galhos em torno do caule apresentavam um padrão de crescimento espiralado ascendente um padrão de crescimento espiralado ascendente que obedecia à sequência de Fibonacc
que obedecia à sequência de Fibonacci 1, 1, 2, i 1, 1, 2, 3, 5,3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,... , que é determinada pela 8, 13, 21, 34, 55, 89,... , que é determinada pela seguinte fórmula de recorrência: F
seguinte fórmula de recorrência: F11 = 1, F = 1, F22 = 1 e, = 1 e,
para n
para n %% 3, Fn = F 3, Fn = Fn-1n-1 + + FFn-2n-2. Essa distribuição das. Essa distribuição das
folhas, além de dar equilíbrio ao caule, propicia-lhe folhas, além de dar equilíbrio ao caule, propicia-lhe melhor aproveitamento de sua exposição ao Sol, à melhor aproveitamento de sua exposição ao Sol, à chuva e ao ar.
chuva e ao ar.
Em 1874, o matemático inglês Wiesner Em 1874, o matemático inglês Wiesner concluiu que, para que as folhas em um caule de concluiu que, para que as folhas em um caule de uma árvore ficassem melhor expostas à luz do Sol, uma árvore ficassem melhor expostas à luz do Sol, o ângulo
o ângulo && entre as folhas deveria ser entre as folhas deveria ser aproximadament
aproximadamente e igual igual a a , , que que éé conhecido
conhecido como como ângulo ângulo áureo, áureo, em em que que ..
A figura acima ilustra o trabalho de Aidan. A figura acima ilustra o trabalho de Aidan. Após medir as posições dos galhos em várias Após medir as posições dos galhos em várias árvores, ele realizou, no quintal de sua casa, árvores, ele realizou, no quintal de sua casa, experimentos com pequenos coletores solares experimentos com pequenos coletores solares posicionados em uma armação metálica que imitava posicionados em uma armação metálica que imitava a configuração natural das folhas. Ele montou, a configuração natural das folhas. Ele montou, ainda, uma quantidade igual de sensores e os ainda, uma quantidade igual de sensores e os dispôs em um painel, como é feito nos coletores dispôs em um painel, como é feito nos coletores comerciais. Com equipamentos simples, traçou comerciais. Com equipamentos simples, traçou gráficos comparativos da captação solar e observou gráficos comparativos da captação solar e observou que sua árvore solar captava 20% mais energia que que sua árvore solar captava 20% mais energia que o painel plano comum.
o painel plano comum.
% &'()(* #+,-,#+"" ./(0 12134156789: % &'()(* #+,-,#+"" ./(0 12134156789:
3.
3. (UnB-1º2012) Se(UnB-1º2012) Se '' ee (( são as raízes são as raízes positiva e negativa, respectivamente, do positiva e negativa, respectivamente, do polinômio f(x) = x
polinômio f(x) = x22 - x - 1, então - x - 1, então ''33 – – ((33== ))55
FF33..
No século XIX, cientistas observaram que o No século XIX, cientistas observaram que o comportamento e a descrição do átomo de Dalton comportamento e a descrição do átomo de Dalton não se enquadravam no sistema newtoniano de não se enquadravam no sistema newtoniano de princípios físicos e não explicavam o princípios físicos e não explicavam o comportamento elétrico da matéria. Uma das linhas comportamento elétrico da matéria. Uma das linhas de investigação consistiu em aplicar descargas de investigação consistiu em aplicar descargas elétricas em um tubo que continha gás em pequena elétricas em um tubo que continha gás em pequena quantidade e em observar as emissões quantidade e em observar as emissões eletromagnéticas irradiadas, capazes de produzir eletromagnéticas irradiadas, capazes de produzir fluorescência na incidência em certos materiais. fluorescência na incidência em certos materiais. Descobriu-se, depois, que a frequência das Descobriu-se, depois, que a frequência das emissões chamadas de raios X era proporcional ao emissões chamadas de raios X era proporcional ao número atômico (Z) do átomo emissor, segundo a número atômico (Z) do átomo emissor, segundo a equação de Moseley, f = (2,47
equação de Moseley, f = (2,47 ** 10 101515)) ** (Z (Z ++ 1) 1)22 , em , em
que f representa a, frequência de emissão relativa que f representa a, frequência de emissão relativa às transições eletrônicas ocorridas na camada às transições eletrônicas ocorridas na camada eletrônica K desse átomo, em Hertz. A figura a eletrônica K desse átomo, em Hertz. A figura a seguir mostra o espectro de emissão de raios X seguir mostra o espectro de emissão de raios X proveniente do bombardeamento de um feixe de proveniente do bombardeamento de um feixe de elétrons em determinado alvo metálico.
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4. (UnB-2º2011) A equação I(,) = 1 tem, pelo menos, quatro raízes reais.
GABARITO ": < #: = $: = ;: =
MATEMÁTICA- Geometria
espacial.
Considere que, pelo movimento de rotação, durante sua formação, a placa de lixo gigante tenha o formato de um cone reto, de altura H e raio da base R, como ilustra a figura a seguir, na qual a superfície do sétimo continente corresponde à base
do cone, a qual está virada para cima.
1. (UnB-1º2013) Se a base do cone permanecer horizontal e os seus 10 m mais profundos representarem 1% do seu volume total, então a altura H será maior que 50 m. 2. (UnB-1º2013) Sabendo-se que a área da
superfície do sétimo continente e de 3,4 * 106 km2 e tomando 3,14 como valor
aproximado de !, conclui-se que o raio R da base do cone é maior que 1.000 km.
Na situação ilustrada acima, uma criança faz quicar uma bola iluminada por uma fonte de luz pontual, que, posicionada no ponto P, projeta a sombra da bola no chão. Considere que a bola e uma esfera, o chão e um plano horizontal e, portanto, a sombra da bola é uma região delimitada por uma elipse. A respeito das propriedades físicas e geométricas envolvidas nesse fenômeno, julgue o item:
3. (UnB-1º2013) Se a fonte de luz e o centro da bola pertencerem a mesma reta vertical ao chão e estiverem, respectivamente, a 3 m e 1,5 m do chão, então a sombra formada no chão terá área igual a 4!R2, em que R e
o raio da bola.
4. (UnB-1º2013) Considere que a fonte de luz e o centro da bola pertençam à mesma reta vertical ao chão (plano). Considere, ainda, que o cone com vértice na fonte de luz e
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cuja base corresponde à região da sombra da bola no chão seja um cone circular equilátero de geratriz igual a 12 !" cm.
Nessa situação, em que a bola esta inscrita no cone, o volume da bola e inferior a 280 ! cm3.
Considere que o planeta Marte seja representado por uma esfera perfeita de raio R, conforme ilustra a figura acima. As circunferências ' e ( correspondem a um meridiano fixado e ao equador do planeta, respectivamente. Elas são circunferências máximas, porque têm o mesmo raio R da esfera que as contém. A circunferência (representa um paralelo, com latitude de 45º ao norte. Os pontos F, E e D estão alinhados e identificam o centro e os polos sul e norte do planeta, respectivamente. Sabendo que a menor distância entre dois pontos sobre a superfície da esfera é obtida ao longo de um dos arcos de circunferência máxima que ligam esses pontos, julgue os itens seguintes.
5. (UnB-2º2012) Considere que uma distância d seja percorrida por uma sonda que se desloca de um ponto do paralelo - até um ponto do equador, (, segundo uma trajetória que minimiza o comprimento entre esses dois pontos. Nesse caso, existem números dmín e dmáx tais que dmín " d " dmáx e dmín +
dmáx = BR.
6. (UnB-2º2012) Uma sonda percorreria toda a circunferência - na metade do tempo que levaria para percorrer (, porque o
comprimento do equador é duas vezes maior que o comprimento da circunferência -.
7. (UnB-2º2012) Uma circunferência sobre a superfície do planeta é máxima se, e somente se, o plano que a contém intercepta o centro do planeta.
8. (UnB-2º2012) Para que uma sonda se desloque entre dois pontos com latitude igual a 45º ao norte, percorrendo a menor distância possível sobre a superfície do planeta, ela deve descrever uma trajetória sobre a circunferência -.
9. (UnB-2º2012) Para que uma sonda percorra, sobre a superfície do planeta, a menor distância entre os polos norte e sul, é necessário que ela se desloque sobre o meridiano '.
Figura I
Figura II
Um cabo flexível e homogêneo suspenso entre dois pontos, como as linhas telefônicas entre dois postes, forma uma curva denominada catenária, devido à ação exclusiva da força peso. A
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figura I ilustra essa curva, em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais xOy, em que o ponto mais baixo da curva está sobre o eixo Oy. Nesse sistema, a catenária é o gráfico da função em que a e b são constantes reais positivas e e é a base do logaritmo natural.
A figura II mostra o sólido denominado catenóide, que pode ser obtido girando-se em torno do eixo Ox a região do plano xOy compreendida entre as retas x = -c e x = c, acima do eixo Ox e abaixo da catenária, representada na figura I. Esse sólido também pode ser obtido mergulhando-se, em uma solução de água e sabão, uma argola de arame e retirando-a em seguida.
10. (UnB-1º2012) Se duas bolhas de sabão, esféricas, têm raios tais que o raio da bolha menor seja igual a um terço do raio da maior, então o volume da bolha maior é igual a nove vezes o volume da menor. 11. (UnB-1º2012) Considere que a figura abaixo
ilustre um catenóide obtido pela rotação da catenária definida por y = f(x) = #! [ ex + e-x]
em torno do eixo Ox, para 0 " x " ln2. Se V1 e V2 são, respectivamente, os volumes dos cilindros inscrito e circunscrito a esse catenóide, no intervalo em questão, e se 3,14 e 0,69 são valores aproximados para ! e ln2, respectivamente, então o valor
numérico de V2 - V1 é inferior a 1,3.
A história da roda pode ser muito curta ou abranger milhares de anos — a depender da região ou parte do globo em que é referida.
A roda transmite para o eixo de rotação, de maneira amplificada, qualquer força aplicada tangencialmente em sua borda, modificando a transmissão tanto da velocidade quanto da distância que foram aplicadas. Similarmente, a roda transmite para a borda, de maneira reduzida, qualquer força aplicada no seu eixo de rotação, amplificando a transmissão tanto da velocidade quanto da distância que foram aplicadas.
O fator importante para se determinar a transmissão de força, velocidade e distância é a relação entre o diâmetro da borda da roda e o diâmetro do eixo.
A roda representa, também, o princípio básico de todos os dispositivos mecânicos.
@A47BA74C DEEE:/1BB(1A4FG(:/(0H 7 DEEE:EFIF372F1:(BGH ./(0 12134156789:
Considere que as rodas dentadas que formam a engrenagem ilustrada na figura acima estejam colocadas em eixos, que a roda A tenha 44 dentes tanto na parte externa quanto na parte interna, que as rodas B e C tenham 22 dentes cada uma e que o número de dentes de cada uma das rodas D, E e F seja igual a 11. A partir dessas informações, julgue o item:
12. (UnB-2º2011) Se as rodas A e B tiverem a mesma espessura e forem transportadas, separadamente, em caixas cilíndricas que comportem o menor volume possível, então o volume da caixa em que será transportada a roda A deverá ser o dobro do
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volume da caixa em que será transportada a roda B.
A palavra cerâmica tem origem na palavra grega keramos, que significa oleiro ou olaria. Keramos, por sua vez, deriva do sânscrito e quer
dizer “queimar”. Assim, os antigos gregos aplicavam esse termo quando mencionavam um material queimado ou barro (argila) queimado, provavelmente referindo-se aos primeiros objetos cerâmicos (jarros, pratos, tijolos) feitos de barro, que necessitam de calor para obtenção de uma forma moldada permanente, exemplificada no vaso homogêneo ilustrado na figura abaixo.
A argila, ou barro, corresponde a partículas do solo terrestre com diâmetros menores que 0,005 mm. Essas partículas se caracterizam pela presença de minerais argilosos misturados com quantidades variadas de resíduos orgânicos ou de detritos inorgânicos, sobretudo de quartzo (óxido de silício, SiO2).
Internet: <www.moderna.com.br> e <www.artesanatosbrasileiros.com.br> (com adaptações).
Considere que a figura ilustra um vaso na forma de um tronco de cone circular reto, em que a espessura das paredes é igual a 2 cm (inclusive a do fundo), o diâmetro externo da base maior é igual a 32 cm, o diâmetro externo da base menor, igual a 20 cm e a altura externa do tronco de cone, igual a
12 cm. Tomando 3,14 como valor aproximado para ! e 2,236 como valor aproximado para !$ , e, com
base nas informações acima, julgue os itens.
13. (UnB-2º2011) A capacidade de armazenamento de água do vaso mostrado na figura é superior a 4 litros.
14. (UnB-2º2011) Considerando-se que a densidade volumétrica do vaso seja de 2g/cm3 e que ele tenha sido fabricado com
partículas esféricas do solo terrestre com diâmetros inferiores a 0,005 mm, então um pedaço desse vaso com massa igual a 1 grama deve ter sido originado de uma porção de argila com mais de 7 bilhões dessas partículas.
15. (UnB-2º2011) Considerando que 42% da superfície lateral externa do vaso esteja coberta pelas figuras pintadas e que não inclua, naturalmente, a superfície do fundo do vaso, calcule, em cm2, o valor da área
coberta pelas figuras. Para a marcação no Caderno de Respostas, despreze, caso exista, a parte fracionária do resultado final obtido, após efetuados todos os cálculos solicitados. GABARITO 1. E 2. C 3. E 4. E 5. C 6. E 7. C 8. E 9. E 10. E 11. C 12. E 13. E 14. C 15. 460
MATEMÁTICA- Geometria
analítica
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!!!"#$%&'()'*++,+%&+"-',".) "; #: = $: < ;:+$-MATEMÁTICA- Funções.
Considere que, pelo movimento de rotação, durante sua formação, a placa de lixo gigante tenha o formato de um cone reto, de altura H e raio da base R, como ilustra a figura a seguir, na qual a superfície do sétimo continente corresponde à base
do cone, a qual esta virada para cima.
1. (UnB-1º2013) Suponha que, com o tempo, mais lixo se acumule no sétimo continente,
que o formato do lixo se mantenha o de um cone reto, com altura H constante e que, devido a isso, o raio da base e o volume do cone sejam funções crescentes do tempo, t > 0. Nessa situação, se o raio é
a) uma função logarítmica do tempo, então o volume e uma função exponencial do tempo.
b) uma função afim do tempo, então o volume também é.
c) uma função exponencial do tempo, então o volume também é.
d) uma função quadrática do tempo, então o volume e uma função afim do tempo.
A figura acima ilustra um brinquedo de base arredondada denominado joão-bobo. Por mais que o inclinem, ele tende a retornar a sua posição de equilíbrio, permanecendo de pé. Considere que um joão-bobo, ao ser inclinado, execute movimentos oscilatórios de pequenas amplitudes. Considere, ainda, que, para descrever o deslocamento horizontal, em centímetros, da cabeça do joão-bobo durante os movimentos oscilatórios, foram propostos dois modelos distintos, conforme expressões a seguir, em que f e g expressam o deslocamento horizontal do ponto A posicionado no topo da cabeça do brinquedo e o tempo t $ 0 e medido em segundos. Considere, por fim, que, no que se refere a esses modelos, o ponto A realize movimento apenas no plano e que o brinquedo esta na posição de equilíbrio quando a posição escalar horizontal do ponto A é nula.
Primeiro modelo: f(t) = 20cos[!(t + 1)] cm Segundo modelo: g(t) = 202-t cos[!(t + 1)] cm
2. (UnB-1º2013) Se, para algum instante t0,
tem-se f(t0) = g(t0), então o joão-bobo estará
na posição de equilíbrio em tal instante. 3. (UnB-1º2013) Em t = log2(40) s, a amplitude
de movimento instantâneo do joão-bobo, de acordo com o segundo modelo, e igual a um décimo da amplitude de acordo com o primeiro modelo.
4. (UnB-1º2013) Considere que a altura do joão-bobo seja 20 cm e ele esteja com sua base apoiada em uma superfície plana, então, para algum tempo t0 no primeiro
modelo, o joão-bobo ficará deitado (na posição horizontal) na superfície plana em que se encontrar.
5. (UnB-1º2013) De acordo com o primeiro modelo, um movimento completo de ida e volta do joão-bobo ocorre em 2 s.
6. (UnB-1º2013) Ambos os modelos descrevem funções periódicas.
7. (UnB-1º2013) Nos dois modelos, são iguais os instantes da posição de equilíbrio.
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8. (UnB-1º2013) Assinale a opção que apresenta corretamente a peça de dominó em que os pontos marcados em suas metades correspondem aos valores das expressões logarítmicas inseridas na peça de dominó representada acima.
Suponha que o robô Opportunity tenha coletado, na superfície de Marte, uma amostra radioativa cuja massa, M(t), em gramas, pode ser representada em função do tempo t % 0, em anos, pela expressão M(t) = M0.e-kt, em que k é uma
constante positiva que depende do material da amostra, e M0 é sua massa inicial. Considerando
essas informações, julgue os itens.
9. (UnB-2º2012) Se a amostra for avaliada em instantes ti, i = 1, 2, 3..., tais que ti é o
i-ésimo termo de uma progressão geométrica, então a sequência das massas M(ti) será uma progressão aritmética.
10. (UnB-2º2012) A imagem da função dada por M(t), para t % 0, é o conjunto de todos os números reais positivos.
11. (UnB-2º2012) Se 0 < k < 1, então a função M(t) é crescente.
12. (UnB-2º2012) Se k = ln1,2 e M0 = 4 g, então,
depois de 4 anos, a massa da amostra será inferior a 2 g.
13. (UnB-2º2012) A meia-vida da amostra radioativa coletada
a) é diretamente proporcional a M0.
b) é inversamente proporcional a k. c) ocorre no intervalo de 20 a 100 anos. d) é crescente com relação ao tempo t. Em região próxima ao equador de Marte, a temperatura média é a mais alta desse planeta. Por alguns dias, o robô Opportunity registrou a temperatura nessa área e, com base nas medidas feitas, foi possível estabelecer um modelo simplificado da temperatura, T(t), em graus Celsius, em função do tempo t, em horas, dado pela expressão a seguir, em que o instante t = 0 marca o nascer de um novo dia em Marte.
Com base nas informações apresentadas e considerando que o período da função acima corresponde à duração de um dia completo no Planeta Vermelho, julgue os itens.
14. (UnB-2º2012) Segundo o modelo apresentado, a temperatura em Marte não atinge valores superiores a 0 ºC.
15. (UnB-2º2012) Para qualquer instante t0 positivo, T(t0) … T(0).
16. (UnB-2º2012) Se t1 e t2 são dois instantes
no intervalo em que o robô Opportunity realizou medições, tais que , então, em algum momento entre esses dois instantes, o robô registrou uma temperatura máxima ou uma temperatura mínima.
17. (UnB-2º2012) Caso os registros fossem realizados nas calotas polares de Marte, um modelo coerente para a temperatura, em graus Celsius, seria dado, em função do tempo t, pela expressão 18. (UnB-2º2012) De acordo com o modelo, a duração de um dia em Marte é 40 minutos superior à de um dia na Terra.
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19. (UnB-2º2012) A respeito dos registros realizados pelo robô Opportunity em Marte, é correto afirmar que
a) a temperatura máxima é atingida duas vezes a cada dia.
b) a temperatura média diária é igual a 50 ºC.
c) a diferença entre a maior temperatura e a menor temperatura registradas é igual a 80 ºC.
d) a temperatura não atinge seu valor máximo no instante t = 12 h.
Figura I
Figura II
Um cabo flexível e homogêneo suspenso entre dois pontos, como as linhas telefônicas entre dois postes, forma uma curva denominada catenária, devido à ação exclusiva da força peso. A figura I ilustra essa curva, em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais xOy, em que o ponto mais baixo da curva está sobre o eixo Oy. Nesse sistema, a catenária é o gráfico da função em que a e b são constantes reais positivas e e é a base do logaritmo
natural.
A figura II mostra o sólido denominado catenóide, que pode ser obtido girando-se em torno do eixo Ox a região do plano xOy compreendida entre as retas x = -c e x = c, acima do eixo Ox e
abaixo da catenária, representada na figura I. Esse sólido também pode ser obtido mergulhando-se, em uma solução de água e sabão, uma argola de arame e retirando-a em seguida.
20. (UnB-1º2012) Se F(t) = 0 (et – e-t) e G(t) =
ln (t + )t2+1), então F(G(t)) = t, para todo
número real t.
21. (UnB-1º2012) O gráfico da função f, que é uma função par, passa pelo ponto (0, a/2).
O circuito elétrico ilustrado acima permite modelar a descarga elétrica produzida por um peixe elétrico. Esse circuito é formado por uma fem 1, um
capacitor de capacitância C e uma resistência interna r. A parte externa é representada pelo capacitor ligado a um resistor de resistência R, o qual representa um objeto que eventualmente sofre uma descarga do peixe elétrico. Quando a chave A é fechada, o capacitor carrega-se, se estiver descarregado. Nesse caso, a carga q armazenada no capacitor em função do tempo é dada por
O capacitor, quando está completamente carregado, com a chave A aberta e a chave B fechada, descarrega-se. Nesse caso, a carga q armazenada no capacitor, em função do tempo, é expressa por
