A DERIVADA
Introdução:
O cálculo é a matemática das variações. O instrumento principal do cálculo para estudar as taxas de variação é um método conhecido como derivação. Neste estudo, vamos descrever esse método e mostrar como ele pode ser usado para determinar a taxa de variação de uma função [em qualquer um de seus pontos] e também a inclinação de qualquer reta tangente a uma curva.
Exemplo intuitivo:
Num experimento científico em laboratório, um móvel se desloca sobre uma trajetória retilínea obedecendo à função horária S(t) = 3t2 – 5t + 2 [sendo S em metros e t em segundos]. Assim:
a) Qual a velocidade média da partícula no intervalo de tempo [ 2 ; 4 ] ? b) Qual a velocidade média da partícula no intervalo de tempo [ 2 ; 3 ] ? c) Qual a velocidade média da partícula no intervalo de tempo [ 2 ; 2,1 ] ?
d) Qual a velocidade média da partícula no intervalo de tempo [ 2 ; (2 + h) ], com h ≠ 0?
e) Como você interpreta fisicamente a velocidade média da partícula no item anterior, quando “h” tende a zero? f) Qual a velocidade da partícula no instante t = 2 s?
Resolução:
a) A velocidade média
V
m de um móvel num certo intervalo de tempo é definidapelo quociente entre o espaço percorrido
S
S
final
S
inicial e o intervalo de tempo gasto para percorrê-lo
t
t
final
t
inicial. Assim:13
2
26
2
4
30
2
4
)
2
(
)
4
(
S
S
t
t
S
S
t
S
inicial final l inicia final mV
Logo:V
m
13
m
/
s
b) Neste item, temos:
10
1
10
1
4
14
2
3
)
2
(
)
3
(
S
S
t
t
S
S
t
S
inicial final l inicia final mV
Logo:V
m
10
m
/
s
c) E neste item, temos:
3
,
7
1
,
0
73
,
0
1
,
0
4
73
,
4
2
1
,
2
)
2
(
)
1
,
2
(
S
S
t
t
S
S
t
S
inicial final l inicia final mV
Logo:V
m
7
,
3
m
/
s
d) Neste caso, calcularemos primeiramente
S
(
2
h
)
. Aoh
denominamos ”incremento”. Então:2 5 3 ) (t t2 t S 2 ) 2 ( 5 ) 2 ( 3 ) 2 ( h h 2 h S 2 5 10 4 4 ( 3 ) 2 ( h hh2
)
h S h h h h S(2 )1212 3 285 2 3 7 4 ) 2 ( h h h S h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
S
h
S
t
t
S
S
t
S
inicial final l inicia final mV
[
4
7
3
]
[
4
]
7
3
(
7
3
)
7
3
2
2
)
2
(
)
2
(
2 2
Cálculos auxiliares: 2 5 3 ) (t t2 t S 2 ) 2 ( 5 ) 2 ( 3 ) 2 ( 2 S2
10
)
4
(
3
)
2
(
S
8
12
)
2
(
S
4
)
2
(
S
2 5 3 ) (t t2 t S 2 ) 4 ( 5 ) 4 ( 3 ) 4 ( 2 S2
20
)
16
(
3
)
4
(
S
18
48
)
4
(
S
30
)
4
(
S
2 5 3 ) (t t2 t S 2 ) 3 ( 5 ) 3 ( 3 ) 3 ( 2 S2
15
)
9
(
3
)
3
(
S
13
27
)
3
(
S
14
)
3
(
S
2 5 3 ) (t t2 t S 2 ) 1 , 2 ( 5 ) 1 , 2 ( 3 ) 1 , 2 ( 2 S2
5
,
10
23
,
13
)
1
,
2
(
S
73
,
4
)
1
,
2
(
S
Página 2 de 37 Logo:
V
m
[
7
3
h
]
m
/
s
Observe que este item com o incremento genérico
h
na verdade engloba os itens calculados anteriormente. Veja: No item (a) temos:h
2
s
V
m
7
3
.(
2
)
7
6
13
m
/
s
No item (b) temos:
h
1
s
V
m
7
3
.(
1
)
7
3
10
m
/
s
No item (c) temos:
h
0
,
1
s
V
m
7
3
.(
0
,
1
)
7
0
,
3
7
,
3
m
/
s
e) No item anterior [d] obtivemos a velocidade média da partícula no intervalo de tempo
[
2
,
(
2
h
)
]
, comh
0
. Quandoh
tende a zero[
h
0
]
, o segundo extremo de intervalo de tempo tende a2
e o referido intervalo tende para]
2
,
2
[
, que podemos definir como um “intervalo de amplitude nula”, caracterizando exatamente o instantet
2
s
. Assim, fisicamente, quandoh
tende a zero[
h
0
]
, a velocidade média tenderá para o que chamaremos de velocidadeinstantânea da partícula no instante
t
2
s
e esta velocidade poderá ser denotada porV
(
2
)
.f) Considerando o exposto no item [e], concluímos que:
V
h
m
s
h
[
7
3
]
7
/
lim
)
2
(
0
Nota: O gráfico abaixo representa a função S(t)3t2 5t2 do exemplo intuitivo em questão. Trace a reta secante para
s
t
2
et
4
s
e observe os valores utilizados para calcular a velocidade média nesse intervalo. Trace também a retatangente para
t
2
s
e observe que isso resultou no cálculo da velocidade instantânea para esse instante.Observação:
Taxas de variação normalmente podem ser identificadas através de suas unidades. São exemplos de taxas de variação:
m/s km/h ºC/min m/s2 g/dia habitantes/m2 litros/h peças/min libras/pol2 g/cm3 entre outras.
A velocidade média é uma TAXA DE VARIAÇÃO MÉDIA [TVM], pois indica a variação entre duas grandezas [o espaço percorrido em relação ao tempo gasto para percorrê-lo] e é definida como:
V
mt
S
.Quando calculamos a velocidade no instante
t
2
s
encontramos a velocidade instantânea, e assim, temos neste caso umaTAXA DE VARIAÇÃO INSTANTÂNEA [TVI], que chamaremos de derivada de “S” em relação à “t” no instante 2 s, e
podemos denotar por:
V
m
s
dt
dS
t/
7
)
2
(
2
De maneira análoga, para funções com as variáveis
x
ey
, a derivada é a taxa de variação [instantânea] dey
em relação àx
, e podemos denotar por:dx
dy
Agora podemos formalizar o conceito de derivada: DEFINIÇÃO
Derivada de uma função:
A derivada de uma função
f
(x
)
em relação àx
é a funçãof
(x
)
[que se lê: “f linha de x”] dada por:Uma função
f
(x
)
é derivável [ou diferenciável] num pontox
a
, sef
(x
)
existe, ou seja, se o limite [acima] existe no ponto em quex
a
.Observação: O processo para calcular uma derivada é chamado de derivação. Notação de derivada [Operadores]:
A derivada
f
(x
)
muitas vezes é escrita na formay
, ou ainda, na forma:dx
dy
. Nesta última notação, o valor da derivada da função
f
no ponto em quex
a
, ou seja,f
(a
)
, é escrito na forma:a x
dx
dy
. Assim: a xdx
dy
a
f
(
)
Pronúncias e outras notações:
y
[lê-se: “y linha”, ou melhor: derivada de y])
(x
y
[lê-se: “y linha de x”, ou melhor: derivada de y em relação à x]dx
dy
[lê-se: “dê y sobre dê x”, ou melhor: derivada de y em relação à x].
y
[lê-se: “y ponto”, ou melhor: derivada de y]f
D
x [lê-se: “dê-f de x”, ou melhor: derivada de f em relação à x]dx
df
[lê-se: “dê f sobre dê x”, ou melhor: derivada de f em relação à x].
Algumas similaridades de operadores:
Com indicação que a derivada é no ponto
x
a
:(
)
(
)
(
a
)
D
f
(
a
)
dx
df
a
y
x a xdx
dy
a
f
Apenas a indicação do operador de derivação:
D
f
y
dx
df
y
xdx
dy
x
f
(
)
Notas: A notaçãodx
dy
é devida a Leibnitz. A notação
f
(x
)
é atribuída a Lagrange. A notação
y
é atribuída a Newton.h
x
f
h
x
f
x
f
h)
(
)
(
lim
)
(
0
Veja e Reflita: Na TVM temos: x y TVM = 1 2 1 2) ( ) ( x x x f x f Na TV temos: dx dy TV = 1 1 1 1 0 ) ( ) ( lim x h x x f h x f h Página 4 de 37 Agora, revisitando o exemplo intuitivo visto anteriormente...
Para encontrarmos a velocidade no instante
t
2
s
, calculamos a derivada da funçãoS
(
t
)
3
t
2
5
t
2
no ponto emque
t
2
s
. Assim:s
m
V
S
dt
dS
t/
7
)
2
(
)
2
(
2
Isso implica em dizer que a derivada da função horária da posição nos fornece a função da velocidade, ou seja:
)
(t
V
dt
dS
Veremos a seguir que, a derivada da função horária da velocidade nos fornece a função da aceleração, ou seja:
)
(t
a
dt
dV
A derivada como coeficiente angular da reta tangente à curva num determinado ponto Seja
f
uma função derivável [qualquer] representada no gráfico abaixo:Gostaríamos de encontrar a inclinação da reta tangente a este gráfico em um determinado ponto, vamos supor o ponto
)
,
(
x
y
P
, que representaremos porP
(
x
,
f
(x
)
)
.Sabemos que o coeficiente angular de uma reta nos dá a inclinação da mesma. Sendo assim, vamos encontrar o coeficiente angular da reta tangente à curva [gráfico] no ponto
P
(
x
,
f
(x
)
)
.Agora, sejam
P
(
x
,
f
(x
)
)
eQ
(
x
h
,
f
(
x
h
)
)
dois pontos da funçãof
ondeh
[incremento] representa a diferença entre as abscissas deP
eQ
. Já é de nosso conhecimento como determinar o coeficiente angular da reta que passa porP
eQ
utilizando os conceitos de trigonometria no triângulo retânguloPQR
. Então:y
x
x
f x
( )
y
x
x
f x
( )
f
Pf
P sSeja
s
a reta secante ao gráfico def
pelos pontosP
eQ
.y
x
Q
P
x
x + h
f x
( )
f x+h
(
)
f x
( )
s
R
Observando o triângulo
PQR
, sabemos que o coeficiente angularm
s da reta secantes
é dado por:
PR
QR
adj
cat
op
cat
tg
m
s
.
.
.
.
x
h
x
x
f
h
x
f
m
s
(
)
(
)
h
x
f
h
x
f
m
s
(
)
(
)
Agora, vamos considerar no gráfico de
f
os pontosQ
1,
Q
2,
Q
3,...,
Q
n posicionados cada vez mais próximos deP
. Imagine que a retas
permaneça passando pelo pontoP
, entretanto, o pontoQ
será trocado gradativamente pelosn
Q
Q
Q
Q
1,
2,
3,...,
que se aproximam deP
. Isso fará com que a retas
que é secante à curva, “tenda” para a posiçãode tangência no ponto
P
[tornando-se a retat
] fazendo, consequentemente, o acréscimo [ou incremento]h
, tender a zero.y
x
Q
P
x
x + h
f x
( )
f x+h
(
)
f x
( )
s
R
Q3 Q2 Q1Assim, o coeficiente angular
m
t da reta tangentet
à curva no pontoP
, será dado por:h
x
f
h
x
f
m
h t)
(
)
(
lim
0
.Note que o valor de
m
t coincide com o valor da derivada de uma função, conceito este visto anteriormente. Assimconcluímos que:
h
x
f
h
x
f
x
f
m
h t)
(
)
(
lim
)
(
0
Conclusivamente:A derivada de uma função
f
[diferenciável] no pontoP
(
a
,
f
(a
)
)
é:
O coeficiente angular
m
t da reta tangente à curva da funçãof
nesse pontoP
.ou
A [TV] taxa de variação
f
(a
)
[da grandezaf
(x
)
em relação àx
] nesse pontoP
.Simbolicamente temos:
h
a
f
h
a
f
a
f
m
h t)
(
)
(
lim
)
(
0
f
f
t
Página 6 de 37 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1) Considere o movimento de um corpo ao cair de uma grande altura. De acordo com a física clássica, em
t
segundos de queda, o corpo percorre uma distância 29
,
4
)
(
t
t
S
metros. Suponha que estejamos interessados em determinar avelocidade do corpo após
2
segundos. A menos que o corpo caia equipado por um velocímetro, é difícil medir diretamente a velocidade. Entretanto podemos determinar a distância percorrida pelo corpo entre o instantet
2
et
2
h
e calculara velocidade média durante esse intervalo de tempo e, fazendo
h
0
, teremos a velocidade instantânea emt
2
s
. Resolução:h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
S
h
S
t
S
V
m19
,
6
4
,
9
9
,
4
6
,
19
)
4
.(
9
,
4
)
4
4
.(
9
,
4
)
2
.(
9
,
4
)
2
.(
9
,
4
2
2
)
2
(
)
2
(
2
2
2
2
Se o intervalo de tempo
h
é pequeno, a velocidade média está próxima da velocidade instantânea no instantet
2
s
.Assim, é razoável determinar a velocidade instantânea tomando o limite da expressão anterior quando
h
tende a zero:
V
h
m
s
h[
19
,
6
4
,
9
]
19
,
6
/
lim
)
2
(
0
ou, usando a notação de Leibnitz:
dt
m
s
dS
t/
6
,
19
2
Dessa forma, após
2
segundos de queda, o corpo estará viajando a uma velocidade de19
,
6
m /
s
.2) [FLEMMING] Uma região
X
é atingida por uma moléstia epidêmica. Os setores de saúde calculam que o número de pessoas atingidas pela moléstia depois de um tempot
(medido em dias a partir do primeiro dia da epidemia) é, aproximadamente, dado por:3
64
)
(
3t
t
t
N
Pergunta-se:a) Qual a razão da expansão da epidemia no tempo
t
4
?b) Qual a razão da expansão da epidemia no tempo
t
8
? c) Quantas pessoas são atingidas pela epidemia no5
º
dia? Resolução:A taxa com que a epidemia se propaga é dada pela razão de variação da função
N
(t
)
em relação àt
. Aplicaremos a definição de derivada para resolver os itens [a] e [b].a) Para
t
4
dias
: Aplicando a definição, temos:h
N
h
N
h
N
h
N
N
h h)
4
(
)
4
(
lim
4
)
4
(
)
4
(
)
4
(
lim
)
4
(
0 0
h
h
h
h
h
h
h
h
N
h h
3
704
3
)
64
48
12
(
256
64
lim
3
)
4
(
4
.
64
3
)
4
(
)
4
(
64
lim
)
4
(
2 3 0 3 3 048
3
)
12
144
(
lim
3
)
12
144
.(
lim
3
12
144
lim
)
4
(
2 0 2 0 2 3 0
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
N
h h hUtilizando a notação de derivada [Leibnitz], temos:
pessoas
atingidas
dia
dt
dN
t/
48
4
b) Para
t
8
dias
: Aplicando a definição, temos:h
N
h
N
h
N
h
N
N
h h)
8
(
)
8
(
lim
8
)
8
(
)
8
(
)
8
(
lim
)
8
(
0 0
h
h
h
h
h
h
h
h
N
h h
3
1024
3
)
512
192
24
(
512
64
lim
3
)
8
(
8
.
64
3
)
8
(
)
8
.(
64
lim
)
8
(
2 3 0 3 3 00
3
)
16
(
lim
3
)
16
.(
lim
3
16
lim
)
8
(
2 0 2 0 2 3 0
h
h
h
h
h
h
h
h
h
N
h h hUtilizando a notação de derivada [Leibnitz], temos:
dia
atingidas
pessoas
dt
dN
t/
0
8
Qual o significado deste resultado?Ao lado, a representação gráfica de
3
64
)
(
3t
t
t
N
.Nota: Poderíamos “otimizar” os cálculos das questões [a] e [b] calculando a derivada da função
N
(t
)
genericamente parah
t
e somente ao final, substituir os valores det
4
e8
t
[Veja o exemplo (2) de sala de aula, indicado a seguir!]. c) Para determinarmos quantas pessoas foram atingidas pelaepidemia no
5
º
dia, basta calcularN
(
5
)
N
(
4
)
. Assim:...
66
,
43
3
131
3
704
3
835
3
)
4
(
)
4
.(
64
3
)
5
(
)
5
.(
64
)
4
(
)
5
(
3 3
N
N
Logo, no
5
º
dia serão atingidas pela epidemia aproximadamente44
pessoas.3) Uma partícula caminha sobre uma trajetória retilínea de modo que sua velocidade obedece à função
V
(
t
)
8
t
2
, comV
em m/s et
em segundos. Determine a aceleração da partícula no instantet
4
s
.
Resolução:
Para obter a aceleração instantânea da partícula no instante
t
4
s
, deve-se inicialmente calcular a aceleração média da mesma no intervalo de tempo[
4
,
(
4
h
)
]
.A aceleração média
a
m de um móvel num certo intervalo de tempo é definida pelo quociente entre a variação de velocidade linicia final
V
V
V
e o intervalo de tempo correspondente:
t
t
final
t
inicial. Assim:8
8
]
30
[
]
8
30
[
]
2
)
4
.(
8
[
]
2
)
4
.(
8
[
4
)
4
(
)
4
(
)
4
(
h
h
h
h
h
h
h
V
h
V
t
t
V
V
t
V
inicial final l inicia final ma
Assim: 2/
8
m
s
ma
Para obtermos a aceleração instantânea em
t
4
s
, devemos calculara
(
4
)
fazendo com queh
0
. Comoa
m
8
éuma função independente de
h
[função constante], quandoh
0
, aa
m continua sendo8
, ou seja: 2/
8
)
4
(
m
s
a
. Veja: 2 0[
8
]
8
/
lim
)
4
(
m
s
a
h
[Quando a aceleração é constante temos um MUV!]
Utilizando a notação de derivada [Leibnitz], temos: 2
/
8
4s
m
dt
dV
t
Página 8 de 37
Observe que a derivada da velocidade em função do tempo nos fornece a função aceleração:
V
(
t
)
a
(
t
)
dt
dV
. Notação:Quando derivamos a função horária da posição encontramos a velocidade. Se a derivarmos novamente encontramos a aceleração. Sendo assim, podemos dizer que a aceleração é a segunda derivada da posição e indicamos por:
)
(
)
(
V
t
dt
dS
t
S
e)
(
)
(
2 2t
a
dt
S
d
t
S
Nota: Abordaremos esse conteúdo [derivadas sucessivas] com detalhes mais adiante!
4) Obtenha a equação da reta tangente à curva 2
x
y
no pontoA
(
1
,
1
)
. Resolução:Inicialmente, vamos calcular o coeficiente angular
m
s da reta secante à parábola dada, que passa pelos seus pontos deabscissas
x
1
ex
1
h
. Assim:h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
m
s
(
1
2
)
1
2
.(
2
)
2
1
1
)
1
(
)
1
(
2 2 2 2O coeficiente angular
m
t da reta tangente à parábola no seu pontoA
(
1
,
1
)
será obtido a partir dem
s, fazendo-seh
tender a zero. Desta forma:
2
]
2
[
lim
0
h
m
h t .Então, a reta tangente à parábola no ponto
A
(
1
,
1
)
tem coeficiente angularm
t
2
.Substituindo em
y
y
A
m
(
x
x
A)
temos:)
1
.(
2
1
x
y
y
1
2
x
2
y
2
x
1
Logo, a equação da reta tangente à curva 2
x
y
no pontoA
(
1
,
1
)
é:y
2
x
1
.EXEMPLOS ADICIONAIS [resolução em sala]:
1) Determine a [fórmula da] derivada da função
f
(
x
)
x
2
5
x
6
, através da definição de derivada e calcule
2
19
f
.Observação: Para simplificar o texto, poderemos escrever a questão 2(c) assim: Determine o coeficiente angular da curva f(x) no ponto
x
2
.2) Dada a função
f
(
x
)
x
3
2
x
4
, determine:a) a TV quando
x
0
.b) a equação da reta
t
tangente à curvaf
(x
)
no ponto em quex
1
.c) o coeficiente angular da reta tangente à curva
f
(x
)
no ponto em quex
2
. [veja observação abaixo]Página 10 de 37
3) Determine a derivada da função
f
(
x
)
ax
2
bx
c
aplicando a definição.EXERCÍCIOS – DEFINIÇÃO DE DERIVADA
1) Uma partícula caminha sobre uma trajetória qualquer de modo que sua velocidade obedece à função: v(t) = t2 – 4t
[sendo: “v” em m/s e “t” em segundos]. Sabe-se que a aceleração média da partícula [am] num certointervalo de tempo, é
dada por am = ∆v/∆t , determine:
a) Qual a aceleração média da partícula no intervalo de tempo [ 0 ; 1 ] ? b) Qual a aceleração média da partícula no intervalo de tempo [ 0 ; 0,5 ] ? c) Qual a aceleração média da partícula no intervalo de tempo [ 0 ; 0,1 ] ?
d) Qual a aceleração média da partícula no intervalo de tempo [ 0 , h ] , com h ≠ 0?
e) Como você interpreta fisicamente a aceleração média da partícula no item anterior, quando “h” tende a zero? f) Qual a aceleração da partícula no instante t = 0 s?
2) Uma partícula caminha sobre uma trajetória qualquer obedecendo à função horária: S(t) = t3 + t2 – 2t + 3 [com S em
metros e t em segundos]. Determinar a velocidade no instante t = 5 s.
3) Uma partícula caminha sobre uma trajetória qualquer obedecendo à função horária: S(t) = t2 – 7t + 10 [com S em
metros e t em segundos]. Assim:
a) Determine a lei de sua velocidade em função do tempo. b) Calcular a velocidade da partícula no instante t = 3 s c) Obter a lei de sua aceleração em função do tempo. d) Calcular a aceleração da partícula no instante t = 3 s.
4) Uma partícula caminha sobre uma trajetória qualquer obedecendo a função horária: S(t) = 4t3 – 5t2 + 8t +1 [sendo
S em metros e t em segundos]. Então:
a) Determine a lei de sua velocidade em função do tempo. b) Calcular a velocidade da partícula no instante t = 1 s c) Obter a lei de sua aceleração em função do tempo. d) Calcular a aceleração da partícula no instante t = 4 s.
5) Encontre a equação da reta tangente à curva y = x2 – 2x + 1 no ponto (2 , 1).
6) Determine a equação da reta tangente à curva y = 2x2 +3 no ponto P(2 , 11).
Nota:
Com o objetivo de simplificar o “texto”, onde escrevemos: “o coeficiente angular da reta tangente à curva no ponto P”, escreveremos: “o coeficiente angular da curva no ponto P”.
8) Dada a função f(x) = 3x2 – 1 e g(x) = 5 – 2x, determinar:
a) f’(1) b) g’(1) c) f’(1) + g’(1) 9) Usando a definição, determinar a derivada das seguintes funções:
a) f(x) = 1 – 4x2 b) g(x) = 2x2 – x –1 c) h(x) = 3x + 2 d) y = x3
10) A população inicial de uma colônia de bactérias é 10000. Depois de t horas a colônia terá uma população P(t) que obedece a lei: P(t) = 10000 + 8600t + 10000t2. Assim:
a) Determine o número de bactérias presentes depois de 10 horas.
b) Encontre a lei que dá a taxa de variação da população P em relação ao tempo t. c) Determine a taxa de variação [instantânea] da população quando t = 10 horas.
RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS 1a) –3 m/s2 1b) –3,5 m/s2 1c) –3,9 m/s2 1d)
h
4
1e) aceleração instantânea 1f) – 4 m/s2 2) 83 m/s3a) v(t) = 2t – 7 3b) v(3) = –1 m/s 3c) a(t) = 2 3d) a(3) = 2 m/s2 4a) v(t) = 12t2 – 10t + 8
4b) v(1) = 10 m/s 4c) a(t) = 24t – 10 4d) a(4) = 86 m/s2 5) y = 2x – 3 6) y = 8x – 5 7) f’(2) = 26
8a) f’(1) = 6 8b) g’(1) = –2 8c) 4 9a) f’(x) = –8x 9b) g’(x) = 4x – 1 9c) h’(x) = 3 9d) y’ = 3x2
10a) P(10) = 1.096.000 bactérias 10b) dP/dt = 8600 + 20000t 10c) 208600 bactérias/hora
Para refletir: O maior prazer de um homem inteligente é bancar o idiota diante de um idiota que banca o inteligente.
EXERCÍCIOS EXTRAS – DEFINIÇÃO DE DERIVADA 1. Determine:
a) o coeficiente angular da curva
x
y
1
no ponto em quex
3
. b) para qual valor de “x
”, o coeficiente angular da curvax
y
1
será4
1
? c) o coeficiente angular da curvax
y
1
no ponto em quex
a
e avalie o seu sinal [quando será positivo e/ou negativo]. Observação: represente graficamente a funçãox
y
1
para avaliar melhor seus resultados. 2. [Queda livre em Júpiter] A equação para a queda livre na superfície de Júpiter é S = 11,44t2 , com S em metros e t emsegundos. Suponha que uma esfera de aço seja largada do topo de um penhasco de 500m de altura. Determine a velocidade [em km/h] e a aceleração dessa esfera [em m/s2], quando t = 2s.
3. [Círculo de área variável] Qual é a taxa de variação da área de um círculo em relação ao raio, quando r = 3?
Lembre-se que a área do círculo é: 2
.
)
(
r
r
A
. 4. Mostre que a reta y = mx + n é sua própria tangente em qualquer um de seus pontos (x0 , mx0 + n).RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS 1a) –1/9 1b) para x = 2 1c) m < 0 para a * 2) v(2) = 164,736 km/h e a(2) = 22,88 m/s2 3) dA/dr = 6
Página 12 de 37 x y
REGRAS E TÉCNICAS DE DERIVAÇÃO [Usando a Tabela de Derivadas] Inicialmente, vamos determinar a derivada de algumas funções “bem elementares”...
Nota: você deverá ter em mãos a “nossa” tabela de derivadas [que também está apresentada no final deste material].
Derivada de uma Função Constante:
3
)
(
x
f
Outras notações:
0
dx
f
d
0
)
(
x
f
(
3
)
0
dx
d
Generalizando, temos:
y
k
y
0
[ comk
R
] Regra 1 da Tabela! Derivada de uma Função do 1º Grau:
x
x
f
(
)
2
f
(
x
)
2
g
(
x
)
3
x
1
g
(
x
)
3
Nota: “Função Identidade”
x
y
y
1
Generalizando, temos:n
mx
y
y
m
[ comm
R
*
en
R
] x y x y x yA Derivação é uma TRANSFORMAÇÃO LINEAR.
Sejam:
u
u
(x
)
u
é uma função com variável independente(x
)
.)
(x
v
v
v
é uma função com variável independente(x
)
.R
k
a
,
a
ek
são constantes reais.Assim, dada a função genérica:
f
(
x
)
a
.
u
k
.
v
, a sua derivada [genérica] será:
(
.
.
)
(
)
(
v
)
dx
d
k
u
dx
d
a
v
k
u
a
dx
d
[Propriedade da Linearidade da Derivação]Ou simplesmente:
f
(
x
)
a
.
u
k
.
v
Nota:
A Regra 2 da Tabela, indica como derivar uma função
u
que é multiplicada por uma constantek
. Veja:u
k
y
.
y
k
.
u
“para derivar uma função que é multiplicada por uma constante, basta multiplicar a constante pela derivada da função”.
Derivada de uma Função Polinomial [de qualquer grau]: Observe a Regra 3 da Tabela: a
u
y
y
a
.
u
a1.
u
Exemplos: a) 4)
(
x
x
f
b)g
(
x
)
3
x
5 c)h
(
x
)
2
x
3
4
x
2
3
x
14
d)3
4
5
2
5 2x
x
x
y
Para concluir, veja:
)
(x
f
x
2x
x
3x
4x
5
)
(x
f
1
2
x
23x
4x
35x
4
Página 14 de 37
Derivada de Funções Trigonométricas:
Veja na tabela: Regra 11:
y
sen
u
y
u
.
cos
u
Regra 12:
y
cos
u
y
u
.
sen
u
Regra 13:
y
tg
u
y
u
.
sec
2u
Nota:
Observe as regras [14 a 20] da nossa tabela de derivadas. Elas envolvem outras funções trigonométricas, inversas de trigonométricas e trigonométricas hiperbólicas.
Exemplos:
a)
f
(
x
)
sen
(
x
)
Outra notação:sen
x
x
dx
d
cos
)
(
b)y
2
cos
(
3
x
2
1
)
Derivada de “Outras” Funções:
Exemplos: a) 4
)
3
2
(
)
(
x
x
A
[Aplicaremos a Regra 3]: au
y
y
a
.
u
a1.
u
b) 2 34
)
(
x
xB
[Aplicaremos a Regra 4]: ua
y
y
ln
a
.
a
u.
u
c) xx
x
C
(
)
(
2
3
)
4 [Aplicaremos a Regra 10]:y
u
v y
v
.
u
v1.
u
u
v.
ln
u
.
v
Observação: As Regras 3 e 4 são casos particulares da Regra 10.d) 4 1
)
(
x
e
xD
[Aplicaremos a Regra 5]:y
e
u y
e
u.
u
e)
E
(
x
)
log
(
4
x
2)
[Aplicaremos a Regra 6]:y
log
au
u
u
a
y
ln
1
Derivada de Funções com Radicais:
Você não encontrará na tabela, funções com “raízes”. Assim, para funções que contenham radicais, faremos inicialmente uma preparação para aplicarmos adequadamente alguma regra, geralmente, a Regra 3 da tabela.
A Regra 3 da Tabela: a
u
y
y
a
.
u
a1.
u
Lembre-se que: n n m ma
a
Exemplo:1
3
10
x
y
Nota: Para: xe
y
Temos: xe
y
Observação: Note que a Regra 5 é um caso particular da Regra 4.Página 16 de 37
Derivada de Multiplicação [Produto] de Funções: Regra 8:
y
u
v
y
u
.
v
u
.
v
Exemplos:
a)
f
(
x
)
x
3(
2
x
2
4
x
)
b)
y
4
x
2.
sen
(
x
)
Derivada de Divisão [Quociente] de Funções: Regra 9:
v
u
y
2.
.
v
v
u
v
u
y
Exemplos: a)x
x
y
7
1
3
2
b1) 314
2
4
x
y
Nota: Em alguns casos, como este, pode ser “interessante” evitarmos a aplicação da “Regra da Divisão”. Veja: b2) 3
14
2
4
x
y
Dica do Prof. Tomio!
Para encontrar a derivada de funções [utilizando as regras e a tabela], seguiremos basicamente três passos:
1) identificar a(s) função(ões) a ser(em) derivada(s) e observar se é necessário “preparar” a expressão para melhor adaptá-la à(s) regra(s) de derivação correspondente(s).
2) realizar a operação de derivação através da(s) regra(s), observando atentamente cada procedimento. 3) simplificar e organizar a expressão o máximo possível.
Resumidamente, temos:
1) identificar função / prepará-la, se necessário. 2) derivar através da(s) regra(s).
3) simplificar a expressão.
Página 18 de 37 REGRA DA CADEIA [Para Funções Compostas]
Inicialmente, vamos relembrar de forma simples e breve, o conceito de composição de funções através de um exemplo. Veja:
Sejam as funções
f
(
x
)
x
5
6
eg
(
x
)
2
x
3
4
. Vamos encontrar a função composta def
comg
, que é indicada porf
(
g
(
x
))
. Assim:Agora...
Em muitas situações, a taxa de variação de uma grandeza pode ser expressa como um produto de outras taxas.
Por exemplo, um automóvel que esteja viajando a 80
km /
h
e o consumo de gasolina a esta velocidade seja de 0,1
/
km
. Para calcularmos o consumo de gasolina, em litros por hora, basta multiplicarmos as duas taxas em questão. Veja:h
h
km
km
80
8
/
1
,
0
Atente que, na situação acima, multiplicamos duas taxas de variação do problema para encontrar a taxa de variação de interesse. Essa expressão é um caso particular de uma regra importante conhecida como Regra da Cadeia.
A partir dessa “ideia”, podemos diferenciar [derivar] funções compostas, aplicando o processo de diferenciação [derivação] separadamente nas funções que compõem essa função composta. Assim:
A Regra da Cadeia:
Se
f
eg
forem diferenciáveis [deriváveis] e a função composta def
comg
definida pory
f
(
g
(
x
))
, entãoy
é diferenciável ey
é dada pelo produto:)
(
))
(
(
g
x
g
x
f
y
Na notação de Leibniz, se
y
f
(u
)
eu
g
(x
)
forem funções deriváveis, então:dx
du
du
dy
dx
dy
Reflita: O fracasso quebra as almas pequenas e engrandece as grandes, assim como o vento apaga a vela e atiça o fogo da floresta. [Benjamim Franklin]
Notação:
A função composta
f
(
g
(
x
))
, também podeser representada por
f
g
ou ainda por)
)(
(
f
g
x
.Observação:
Com as funções
f
eg
também podemos gerar outras funções compostas, tais como:))
(
(
f
x
g
,f
(
f
(
x
))
,f
(
g
(
f
(
x
)))
, entre outras. Como se lê: f
(
g
(
x
))
f
composta comg
ou simplesmentef
deg
(x
)
. f
g
f
composta comg
ou simplesmentef
bolag
.Exemplo:
1) Calcule a derivada de
y
(
2
x
3
4
)
5
6
utilizando a regra da cadeia.2) Utilizando a regra da cadeia, determine
dt
dy
para
y
tg
[
5
sen
(
2
t
)]
.Para descontrair...
Página 20 de 37 APLICAÇÕES DE DERIVAÇÃO: Taxas de Variação
A abordagem deste tema se dará através da resolução e discussão de situações-problema, dadas a seguir.
1) Um copo de limonada a uma temperatura de
40
º
F
é colocado em uma sala com temperatura constante de70
º
F
. Considerando um princípio da Física, denominado Lei de Resfriamento/Aquecimento de Newton, pode-se mostrar que, se a temperatura da limonada atingir52
º
F
em uma hora, então a temperaturaT
da limonada como função do tempo decorrido é modelada aproximadamente pela expressãoT
(
t
)
70
30
.
e
0,5t, ondeT
é dado emº
F
et
, em horas. Responda: a) Qual a fórmula que define a taxa de variação [instantânea] da temperaturaT
em relação ao tempot
?b) Qual a taxa de variação quando
t
1
et
5
horas? [Explique o significado dos resultados encontrados] c) Represente graficamente a funçãoT
(t
)
.2) Analistas de produção verificaram que, em uma determinada fábrica montadora, o número de peças produzidas nas primeiras
x
horas diárias de trabalho é dado por:
8
4
,
)
1
.(
200
4
0
,
)
.(
50
)
(
2x
para
x
x
para
x
x
x
f
Pergunta-se:a) Qual a razão de produção (em peças/hora) ao final de 3 horas de trabalho? b) E ao final de 7 horas?
Observação: Para simplificar o texto, poderemos escrever a questão 1(a) assim: Determine o coeficiente angular da curva f(x) no ponto x5.
APLICAÇÕES DE DERIVAÇÃO: Problemas de Reta Tangente à Curva
Já fizemos uma abordagem deste tema no momento em que estudamos a derivada de uma função através da sua definição. Com o objetivo de relembrar e fixar alguns conceitos, vamos resolver e discutir os problemas dados a seguir.
1) Dada a função
f
(
x
)
x
2
6
x
5
, determine:a) o coeficiente angular da reta tangente à curva
f
(x
)
no ponto em quex
5
. [veja observação abaixo] b) a equação da retat
tangente à curvaf
(x
)
no ponto em quex
5
.c) o coeficiente angular da curva
f
(x
)
no ponto em quex
0
. d) o ponto def
(x
)
em que a reta tangente a essa curva é horizontal.2) Dada a função
x
x
sen
y
(
)
, determine: a) a derivadadx
dy
.b) o coeficiente angular da curva no ponto em que
x
0
. c) o que se pode concluir com o resultado encontrado em (b)?Página 22 de 37
EXERCÍCIOS – Regras e Técnicas de Derivação [Usando a Tabela de Derivadas] 1) Determine a derivada das funções dadas a seguir [as respostas estão na coluna da direita].
5 3 6 2
)
1
(
.
5
3
x
x
y
4 21
2
2
3
)
1
2
(
5
)
(
x
x
x
x
f
Curiosidade: Dizem que nenhum pedaço de papel pode ser dobrado ao meio mais de 7 vezes. Será verdade?
