Sobre pontos críticos e desigualdades de Morse

E s t a D i s s e r t a ç ã o foi j u l g a d a a d e q u a d a p a r a a o b t e n ç ã o d o t í t u l o de " M E S T R E E M C I Ê N C I A S " e s p e c i a l i d a d e e m Matemãti.ca e a p r o v a d a e m sua f o r m a f i n a l C u r s o de P õ s - G r a d u a ç ã o e m M a t e m á t i c a da U n i v e r s i d a d e F e d e r a l S a n t a C a t a r i n a . Prof. í t a l o J o s é D e j t e r C o o r d e n a d o r B a n c a E x a m i n a d o r a : P r o f . W i l l i a n G l e n n W h i t l e y , Ph.D.

f

S Ô B R E P O N T O S C R Í T I C O S E D E S I G U A L D A D E S DE M O R S E

R i t a de C á s s i a S c h i p m a n n E g e r

R E S U M O

N e s t e t r a b a l h o t e m o s p o r o b j e t i v o v e r a t é q u e p o n t o as c o r r e s p o n d ê n c i a s e n t r e p o n t o s c r í t i c o s e seus índ i c e s , e a h o m o t o p i a e h o m o l o g i a d o e s p a ç o p o d e m ser e s t e n d i d a s ã v a r i e d a ­ d e s e m ger a l .

A B S T R A C T

In t h i s d i s s e r t a t i o n o u r o b j e c t i v is to see t o w h a t p o i n t the r e l a t i o n s h i p s b e t w e e n c r i t i c a l p o i n t s and t h e i r i n d i ­ ces, a n d the h o m o t o p y a n d h o m o l o g y of the s p a c e c a n be e x t e n d e d to m a n i f o l d s in geral.

- V -Í N D I C E I n t r o d u ç ã o ... 1 C a p í t u l o I - P r é - R e q u i s i t o s ... 2 C a p í t u l o II - U m E x e m p l o E l e m e n t a r ... 4 C a p í t u l o III - V a r i e d a d e s e F u n ç õ e s D i f e r e n c i á v e i s ... 11 C a p í t u l o IV - P o n t o s C r í t i c o s ... 32 C a p í t u l o V - H o m o l o g i a , H o m o t o p i a e N í v e i s C r í t i c o s ... 39 C a p í t u l o V I - As D e s i g u a l d a d e s de M o r s e ... 54 B i b l i o g r a f i a ... 60

I N T R O D U Ç Ã O ~ — 00 E s t a d i s s e r t a ç a o e n v o l v e o e s t u d o de f u n ç õ e s C , de v a r i e d a d e s c o m p a c t a s nos n ú m e r o s reais. N o c a p í t u l o I a p r e s e n t a m o s a l g u n s r e s u l t a d o s de cál c u l o d i f e r e n c i a l e m R n q u e u s a r e m o s no d e c o r r e r do traba l h o . N o c a p í t u l o II v e m o s u m e x e m p l o q u e se r e f e r e p r i n ­ c i p a l m e n t e ã u m a i n v e s t i g a ç ã o dos p o n t o s c r í t i c o s d a f u n ç ã o r e ­ f e r i d a i n i c i a l m e n t e . E s t e e x e m p l o m o s t r a c o m o os p o n t o s c r í t i c o s e x e r c e m c o n t r o l e s o b r e o t i p o de h o m o t o p i a de u'm e s p a ç o e v i c e - - v e rsa. N o c a p í t u l o III t e m o s as d e f i n i ç õ e s b á s i c a s s obre e s t r u t u r a s d i f e r e n c i á v e i s i n d i s p e n s á v e i s ao n o s s o estudo. Os c a p í t u l o s IV, V e VI a p r e s e n t a m u m d e s e n v o l v i m e n to de t é c n i c a s s o b r e t o p o l o g i a a l g é b r i c a e d i f e r e n c i a l q u e d e ­ m o n s t r a m r e s p e c t i v a m e n t e os t e o r e m a s 4.3 (cap.IV) e 6.1 (cap.VI), q u e d ã o as c o o r d e n a d a s l o c a i s e as d e s i g u a l d a d e s de M o r s e que s ão n o s s o s r e s u l t a d o s p r i n c i p a i s .

C A P I T U L O I

P R g - R E Q U I S I T O S

T o m a m o s c o m o p r é - r e q u i s i t o s p a r a e s t e t r a b a l h o os r e s u l t a d o s d e c á l c u l o d i f e r e n c i a l e m R n e n c o n t r a d o s e m [7],

IX]. L i s t a m o s a s e g u i r a l g u n s dos r e s u l t a d o s m a i s u s a dos.

T e o r e m a 1.1. ( R e g r a da C a d e i a )

Se f : R n -> R m é d i f e r e n c i ã v e l e m a , e se g : R m R ^ , é d i f e r e n c i ã v e l e m f(a), e n t ã o a c o m p o s t a g o f : R n + R^ é d i f e r e n c i á v e l e m a, e D ( g o f ) ( a ) = D g ( f ( a ) ) oDf(a) o u

(gof) ' (a)= g' ( f ( a ) )o f * (a) .

T e o r e m a 1.2. S e j a f : R n -* Rm , f ê d i f e r e n c i ã v e l e m a se t o d a s as d e r i v a d a s p a r c i a i s d a s su a s f u n ç õ e s c o o r d e n a d a s são d e f i n i d a s e c o n t í n u a s n u m a v i z i n h a n ç a de a. T e o r e m a 1.3. S u p o n h a m o s q u e f : R n ->■ R n ê c o n t i n u a m e n t e d i f e r e n ­ c i ã v e l n u m c o n j u n t o a b e r t o q u e c o n t ê m a, e d e t ( f ' (a))^0. E n t ã o e x i s t e u m c o n j u n t o a b e r t o V q u e c o n t ê m a e u m c o n j u n t o a b e r t o W, q u e c o n t é m f (a), ta i s q u e f : V -> W t e m u m a i n v e r s a c o n t í n u a f ^ : W ->• V, q u e é d i f e r e n c i ã v e l e p a r a t o d o y £ W s a t i s f a z (f- 1 ) ’ (y) = [ f ' ( f " 1 (y))J _1 Os r e s u l t a d o s de ã l g e b r a l i n e a r q u e f o r a m u t i l i z a ­

d o s e m n o s s o t r a b a l h o são e n c o n t r a d o s e m [3 ]. T a m b é m t o m a m o s c o m o c o n h e c i d o s os g r u p o s g i a d a s s u p e r f í c i e s , c u j o s d e s e n v o l v i m e n t o s p o d e m ser d o s e m [l] . de h o m o l o e n c o n t r a

- -4-C A P Í T U L O II U M E X E M P L O E L E M E N T A R A p r e s e n t a r e m o s a g o r a um e x m p l o g e o m é t r i c o s i mples, q u e m o s t r a c o m o os p o n t o s c r í t i c o s e x e r c e m c o n t r o l e s o b r e o t i ­ p o de h o m o t o p i a de u m e s p a ç o e v i c e - v e r s a . C o n s i d e r e m o s u m t o r o M t a n g e n t e ao p l a n o h o r i z o n

-3

f = { x ê M / f(x) < a } . â — E n t ã o as s e g u i n t e s a f i r m a ç õ e s são v e r d a d e i r a s : 1) S e a < 0 = f ( p ) , e n t ã o f é vazio. ci 2) se 0 = f(p) < a < f ( q ) , e n t ã o f ê h o m e o m õ r f i c o â u m a 2-cé-cl lula, v. fig. 2. f i g u r a 2 3) Se f(q) < a < f ( r ) , e n t ã o f é h o m e o m õ r f i c o ao c i l i n d r o , v. a. fi. 3. 4) Se f (,r) < a < f Cs) , e n t ã o f é ' h o m e o m õ r f i c o ao t o r o c o m fu-cL ro, v. fig. 4. f i g u r a 4

- 6 -5) Se f(s) < a, e n t ã o f ê o to r o compl e t o . cl P a r a d e s c r e v e r a m u d a n ç a que o c o r r e e m f n a pas- s a g e m d o s p o n t o s f ( p ) , f ( q ) , f(r) e f(s) n a r e s p e c t i v a ordem, p o d e m o s u s a r t i p o de h o m o t o p i a no l u g a r de h o m e o m o r f i s m o . Do p o n t o de v i s t a h o m o t õ p i c o a p a s s a g e m de u m e s t a d o ao s e g u i n t e p o d e s e r f e i t a d o s e g u i n t e modo: 1) 2) C o m e ç a m o s c o m o e s p a ç o v a z i o ao q u a l c o l a m o s u m a 0 - c ê l u l a , u m po n t o , q u e r e s u l t a u m p o n t o q u e p o r sua v e z é h o m o t õ p i c a m e n t e e q u i v a l e n t e à u m a 2 - c é l u l a , fig. 5. 2) -* 3). T e m o s i n i c i a l m e n t e u m p o n t o ao q u a l c o l a m o s u m a 1 - c é l u l a . I d e n t i f i c a n d o os p o n t o s e x t r e m o s da 1 - c ê l u l a c o m o p o n t o i n i c i a l , o b t e m o s u m c í r c u l o q u e ê h o m o t õ p i c a m e n t e e q u i v a l e n t e ao d i s c o c o m u m a 1 - c ê l u l a c o l a d a a ele, q u e por s u a v e z é h o m o t õ p i c a m e n t e e q u i v a l e n t e ao c i l i n d r o , fig. 6. f i g u r a 6

3) -* 4) N o v a m e n t e c o l a m o s u m a 1 - c é l u l a ao e s p a ç o já e x i s t e n t e . A s s i m c o m e n ç a m o s c o m u m c í r c u l o , c o l a m o s a 1-cê l u l a e o b t e m o s u m a f i g u r a o i t o q u e ê h o m o t õ p i c a m e n t e e q u i v a l e n te a o t o r o c o m furo, fig. 7. f i g u r a 7 4)_ -*■ 5) D e s t a v e z c o l a m o s u m a 2 - c é l u l a p a r a c o ­ b r i r o f u r o n o t o r o e o b t e r o t o r o c o m p l e t o . P a r a v e r i n t u i t i ­ v a m e n t e q u e a c o l a g e m de u m a 2 - c é l u l a â f i g u r a o i t o r e s u l t a um t o r o p r o c e d e m o s assim: P r i m e i r a m e n t e v i r a m o s u m dos c í r c u l o s d a f i g u r a o i t o ã e m o d o q u e u m p e r m a n e ç a n o p l a n o v e r t i c a l e o o u t r o no p l a n o h o r i z o n t a l . D e p o i s p e g a m o s u m a 2 - c é l u l a c o m a f o r m a de u m r e t â n g u l o e c o l a m o s d o i s l a d o s o p o s t o s o b t e n d o u m c í r c u l o c o m u m a e m e n d a q u e m a r c a a l i n h a de c o l a g e m . C o l a m o s e n t ã o a b a s e d o c i l i n d r o a o c í r c u l o h o r i z o n t a l da f i g u r a o i t o d e tal m o d o q u e o c i l i n d r o f i q u e s o b r e e s t e c í r c u l o e q u e o p o n t o ini c i a i d a e m e n d a f i q u e i d e n t i f i c a d o c o m o p o n t o de i n t e r s e c ç ã o d o s d o i s c í r c u l o s d a f i g u r a oito. A g o r a d e s v i a m o s o c i l i n d r o p a r a c o l a r s u a l i n h a de e m e n d a ao c í r c u l o v e r t i c a l . F i n a l m e n t e c o l a m o s o c í r c u l o q u e e r a o t o p o do c i l i n d r o ao c í r c u l o h o r i ­ z o n t a l d a f i g u r a o i t o o b t e n d o a s s i m o toro, fig. 8.

-8-c)

d)

O b s e r v e - s e q u e t o d a a f r o n t e i r a da 2 - c é l u l a e s t á c o l a d a a f i g u r a oito.

P o d e m o s o b s e r v a r q u e o ti p o de h o m o t o p i a de f m u 3. — d a e x a t a m e n t e nos n í v e i s q u e c o n t é m p o n t o s c r í t i c o s . O b s e r v a ­ m o s t a m b é m q u e a d i m e n s ã o da c é l u l a q u e p r e c i s a m o s c o l a r p a r a p a s s a r d e ní v e l , v a r i a c o m o p o n t o c r í t i c o . P a r a o b t e r c o n t r o ­ le s o b r e a d i m e n s ã o d a c é l ula, nós e s t u d a r e m o s a s e g u n d a d e r i ­ v a d a n o p o n t o c r í t i c o . P a r a v e r isto, c o n s t r u i r e m o s u m s i s t e m a de c o o r d e n a d a s n o t o r o n u m a v i z i n h a n ç a d o p o n t o p, ( v e r fig.l pag. 4 ) • E s c o l h e m o s h < f(q) e seja W = { b £ M / f(b) < h < f(q) } . 0 c o n j u n t o W é u m a v i z i n h a n ­ ça a b e r t a d e p e m M. C o m o v i m o s e m 2) pag. 5 , W é h o m e o m õ r f i c o ao d i s c o a b e r t o . D e f i n i m o s as c o o r d e n a d a s de p, ( x(p), y(p) ) = ( 0 , 0 ) . P a r a p o n t o s d i f e r e n t e s de p e m W, p r o c e d e m o s da s e g u i n t e m a n e i r a : S e j a b W, b £ p, p r o j e t a m o s b n u m p o n t o b n o p i a no h o r i z o n t a l V. S e j a v o v e t o r u n i t á r i o c o m d i r e ç ã o p p a r a b . S e j a t = f (b) . D e f i n i m o s (x(b),y(b)) =/t*v. D o v e t o r f ( b ) , temos: f(b) = t = | (x(b), y(b)) |2 = x 2 (b) + y 2 (b) . 2 2

L ogo, p a r a c o o r d e n a d a s (x,y) £ W, f(x,y) = x +y . D e s t a f o r m a nós v i m o s q u e o c o n j u n t o de p o n t o s de a l t u r a t se c o m p o r t a c o m o se f o s s e u m c í r c u l o de c e n t r o e m

(0,0) e r a i o t. T a m b é m o b s e r v a m o s q u e f se c o m p o r t a c o m o se m e d i s s e a a l t u r a de u m a p a r á b o l a de r o t a ç ã o s o b r e o d i s c o de

c e n t r o e m (. 0 , 0 ) e r a i o h, d e n o t a d o q^. D a m e s m a m a n e i r a p r ó x i m o ã q e r, f se c o m p o r t a c o m o se m e d i s s e a a l t u r a d e u m a p a r á b o l a de r o t a ç ã o v o l t a d a p a r a b a i x o . A s s i m p o d e m o s e s c o l h e r c o o r d e n a d a s e m v i z i n h a n ç a s d e q, r e s r e s p e c t i v a m e n t e em M, de tal m o d o que: 2 2 N a v i z i n h a n ç a d e q, f(x,y) = x - y + c o n s t a n t e . 2 2 N a v i z i n h a n ç a de r, f(x,y) = x - y + c o n s t a n t e . 2 2 N a v i z i n h a n ç a de s, f(x,y) = -x - y + c o n s t a n t e . U s a n d o e s t e s s i s t e m a s d e c o o r d e n a d a s o b s e r v a m o s ± m e d i a t a m e n t e q u e a s e g u n d a d e r i v a d a de f tem: a) E m p, n e n h u m a u t o v a l o r n e g a t i v o . b) E m q, u m a u t o v a l o r n e g a t i v o . c) E m r, u m a u t o v a l o r n e g a t i v o . d) E m s, d o i s a u t o v a l o r e s n e g a t i v o s . A s s i m n e s t e e x e m p l o , o n ú m e r o de a u t o v a l o r e s n e g a t i v o s d e t e r m i n a a d i m e n s ã o d a c é l u l a à ser colada. T a m b é m e x i s t e u m a r e l a ç ã o i n t e r e s s a n t e e n t r e a h o m o l o g i a de M e os p o n t o s c r í t i c o s de f, à ser m a i s p r e c i s a os n ú m e r o s d e B e t t i d a h o m o l o g i a de M, q u e são: e 1*2=1. E s t e s n ú m e r o s r e p e t e m o n ú m e r o de p o n t o s c r í t i c o s de í n ­ d i c e 0, 1 e 2 r e s p e c t i v a m e n t e .

C A P l T U L O III V A R I E D A D E S E F U N Ç Õ E S D I F E R E N C I Ã V E I S I n t r o d u z i r e m o s a g o r a a l g u m a s d e f i n i ç õ e s b á s i c a s s o b r e e s t r u t u r a s d i f e r e n c i á v e i s f u n d a m e n t a i s a o n o s s o estudo. D e f i n i ç ã o 3.1. U m s i s t e m a de c o o r d e n a d a s l o c a i s n u m e s p a ç o to- p o l õ g i c o M é u m h o m e o m o r f i s m o x : U — > R n de u m a b e r t o U Ç M s o ­ b r e u m c o n j u n t o a b e r t o d e R n . Se p é u m p o n t o de U e x(p) = = (x-^, x2 1 ••• / x n ) , os n ú m e r o s x^, x^, ... , x n c h a m a n - s e as c o o r d e n a d a s de p e o c o n j u n t o a b e r t o U c h a m a - s e v i z i n h a n ç a c o o r d e n a d a de p r e l a t i v a ao s i s t e m a x. U m s i s t e m a de c o o r d e n a ­ d a s l o c a i s t a m b é m é c h a m a d o de c a r t a local. D e f i n i ç ã o 3.2. U m a t l a s de d i m e n s ã o m s o b r e um e s p a ç o topolõgi_ c o M é u m a c o l e ç ã o A de s i s t e m a s de c o o r d e n a d a s l o c a i s e m M cu jos d o m í n i o s f o r m a m u m a c o b e r t u r a d e M, e c u j a s i m a g e n s e s t ã o e m R . D e f i n i ç ã o 3.3. S e j a M u m e s p a ç o de H a u s d o r f f . O e s p a ç o M c h a m a - s e v a r i e d a d e t o p o l õ g i c a de d i m e n s ã o m e m M. O b s e r v a m o s i m e d i a t a m e n t e q u e e s t a d e f i n i ç ã o de m - v a r i e d a d e é e q u i v a l e n t e à d i z e r q u e p a r a c a d a p o n t o p de M,

-12-e x i s t -12-e u m s i s t -12-e m a d-12-e c o o r d -12-e n a d a s l o c a i s x : U -* Rm tal qu-12-e p é U . E x a m i n e m o s a g o r a a l g u n s e x e m p l o s de v a r i e d a d e s to p o l ó g i c a s . E x e m p l o 1. O e s p a ç o R n é u m a n - v a r i e d a d e . B a s t a o b s e r v a r q u e a f u n ç ã o i d e n t i d a d e e m Rn é u m s i s t e m a d e c o o r d e n a d a s l o c a i s c u j o d o m í n i o é t o d o o e s p a ç o R n . E x e m p l o 2. A e s f e r a S n é u m a n - v a r i e d a d e . C o n s i d e r e m o s S n c o m o a e s f e r a u n i t á r i a e m R n + '1'. I s t o é, sn = { (x1 ,x2 , ... , x ) é, R n+1 / z x 2 - 1 } . i = 1 S e j a p o p o n t o ( 0 , 0 , ...,1) e D = { f ^ 2 1 ■ ■ • < x n+ ^ S / ^ ^ * O b s e r v a m o s q u e p é u m e l e m e n t o de Sn e q u e D é u- m a v i z i n h a n ç a a b e r t a de p e m S n . C o n s t r u i r e m o s a g o r a u m s i s t e m a de c o o r d e n a d a s l o ­ c a i s f : D -+ R n . E s t a f u n ç ã o f s e r á a p r o j e ç ã o e s t e r e o g r á f i c a de D s o b r e o d i s c o u n i t á r i o e m R n , fig. 9. S e j a x = (x1 ,x2 , ... , x n + 1 ) u m e l e m e n t o de D. C o n s i d e r e m o s o c o n j u n t o { tx + (1-t) ( - p ) / t £ [0,1] } = = { (txlf ... , t x n , t ( x n+1 + 1 ) — 1) / t € [0,1] } , de p o n t o s n o s e g m e n t o de x p a r a - p . D e s d e q u e a n+1 c o o r d e n a d a de p é p o s i t i v a e a de - p é n e g a t i v a , e s t e s e g m e n t o c o r t a o p l a n o * n+1 = 0 . R e sol v e n d o a e q u a ç ã o t ( x n + ^ + 1 ) = 0 , v e m o s q u e o s e g m e n t o c o r t a o

X, x„ x 1 2 n t t • • • / / ,1 + x , 1 + x , 1 + x , n+ 1 n+1 n+1 vemos p l a n o x , = 0. R e s o l v e n d o a e q u a ç ã o t ( x , + 1 ) = 0, r n + 1 n+1 q u e o s e g m e n t e c o r t a o p l a n o no p o n t o A s s i m d e f i n i m o s f(x) X - x 0 x„ 1 2 . n 1 + x 1 + x n f ‘ ' f 1 + x„ , n+1 n+1 n+li f i g u r a 9 A f u n ç ã o f(x) é c o n t í n u a , p o i s t o d a s su a s f u n ç õ e s c o o r d e n a d a s t a m b é m o s ã o . T a m b é m d e s d e que: 2 -, . 12 n x i 1 n 2 f (x) I = E --- 2 = --- 2 Z x i = i=l (1 + x , ( 1 + x J i=l 1 n+ 1 n+1 2" ( 1 x n + l ) (1 + x , ) ' n + 1

1 4 -( 1 + x n + 1 ) -( 1 n+1 ( 1 + x n + 1 ) 1 - X ,, ---s ± i < 1 . 1 + xn + l V e r i f i c a m o s q u e f(x) ê e l e m e n t o do d i s c o u n i t á r i o de R n . P a r a v e r q u e f é u m h o m e o m o r f i s m o , d e f i n i r e m o s su a i nver sa g. D e f i n i m o s g: B 2.(0) D ' p o r / 2a, 2a 1 - £a? ^ _ I 1 n L i g (a , ,. . . , a * ~ \ / • • • , / \ ? 2 ? \ 1 + E a 1 + I a 1 + i a ' 1 X I ^ •, 2 , . 2,2 2 ,E 1+ a i ( 1 - E a ± ) D e s d e q u e | g ( a^ , . . . , a ). | = JJ --- 2 1 + Z a i (. 1 + E a i ). ^ • 2 2 2 2 ,E 1 + a + 1 - 2 i a + (. I af ). An______ 3__________________ i______________i___ 2 2 t l + i a j ) ' 1 + 2 v 2I a . i / r 2 . 2 (. E a i ) 2 2 + E a. ) 2 2 2 (. 1 + E a f ) / 1 , y 2 , 2 ( 1 + E a ± ) = 1

m a g e m e m D. A c o n t i n u i d a d e das f u n ç õ e s c o o r d e n a d a s d e g g a r a n t e a s u a c o n t i n u i d a d e .

M o s t r a r e m o s a g o r a q u e as c o m p o s i ç õ e s g o f e fog s ã o i d e n t i d a d e s .

a) fog (a1 , ... , a n ) = f t g t a ^ ... »an )).

2a, 2a n 2' ' 1 + Z a i = 1 a l ... a n> = id IB1(0)> • b) g o f (.x,, ... , x ) = g (f(x, , ... ,x ) ) n n x. X n 1 + x _n+1 # ' 1 + x_n+1

-16-2 ' 2x n 1 + x n + 1 1 + E x . i 1 + X n+1 -2x n 1 + x n + 1 1 - x 1 + n + 1 1 + x n+1 2x. 1 + X , + 1 - X , n +1 n+1 1 + x , - 1 + x , ______n + 1_________ n + 1 1 + x , + 1 - x , n +1 n+1. ( t • x n' W = id D -C o m i s t o m o s t r a m o s que f é u m s i s t e m a de c o o r d e n a ­ d a s l o c a i s n u m a v i z i n h a n ç a a b e r t a de p. D e s d e que a e s f e r a é h o m o g ê n e a e h á u m s i s t e m a de c o o r d e n a d a s l o c a i s e m u m p o n t o da e s f era, e n t ã o e x i s t e m s i ste m a s de c o o r d e n a d a s l o c a i s ao r e d o r de q u a l q u e r ponto. A s s i m S n é u m a n - v a r i e d a d e t o p o l ó g i c a . D e s e n v o l v e r e m o s a g o r a c o n c e i t o s a n á l o g o s aos de c a r t a , a t l a s e v a r i e d a d e , e x i g i n d o s e m p r e q u e as f u n ç õ e s s e j a m d i f e r e n c i á v e i s .

D e f i n i g ã o 3.4. S e j a V u m s u b c o n j u n t o q u a l q u e r de R n . Uma fu n ç ã o f : V R é d i f e r e n c i ã v e l de c l a s s e C ( k â 0 ), se f po d e ser e s t e n d i d a p a r a u m a f u n ç ã o g d e f i n i d a n u m a v i z i n h a n ç a a b e r t a de V, t a l q u e t o d a s as d e r i v a d a s p a r c i a i s de f, até o r d e m k i n c l u ­ sive, e x i s t e m e s ã o c o n t í n u a s . m — — k U m a f u n ç ã o h : V -*■ R e d i f e r e n c i ã v e l de c l a s s e C , se c a d a u m a d a s su a s f u n ç õ e s c o o r d e n a d a s t a m b é m o é. D e f i n i ç ã o 3.5. S e j a A u m a t l a s no e s p a ç o M. D i z e m o s q u e A ê d i f e r e n c i ã v e l de c l a s s e C^, de d i m e n s ã o n, se p a r a t o d o p a r de s i s t e m a s de c o o r d e n a d a s x: U R n , e y : V -* R n e m A, ta i s que U H V = <f> , o h o m e o m o r f is m o x o y ^ : y ( U V) -+ x ( U V) , c h a m a d o m u ­ d a n ç a d e c o o r d e n a d a s , é u m a a p l i c a ç ã o d i f e r e n c i ã v e l d e c l a s s e D e v e m o s o b s e r v a r que, se x o y “ 1 é u m a m u d a n ç a . de c o o r d e n a d a s , e n t ã o a sua i n v e r s a y o x - 1 , t a m b é m é. P o r t a n t o as d u a s são d i f e r e n c i á v e i s . A s s i m o j a c o b i a n o , d e t (ôy./ôx.) é d i -D f e r e n t e de z e r o e m t o d o p o n t o o n d e e s t á d e f i n i d o . ~ k D e f i n i ç ã o 3.6. U m a t l a s de d i m e n s ã o n e c l a s s e C s o b r e u m e s p a ç o M, d i z - s e m á x i m o se n ã o é s u b c o n j u n t o p r ó p r i o de n e n h u m **“ k a t l a s s o b r e M d e d i m e n s ã o n e c l a s s e C . D e f i n i ç ã o 3.7. U m a v a r i e d a d e d i f e r e n c i ã v e l de c l a s s e c^ e d i ­

1 8 -m e n s ã o n ê u -m p a r ( M, A ), o n d e M é u -m e s p a ç o de H a u s d o r f f e A é u m a t l a s m á x i m o de d i m e n s ã o n e c l a s s e C . Q u a n d o n ã o e x i s t i r p o s s i b i l i d a d e de c o n f u s ã o , s i m p l i f i ç a m o s a n o t a ç ã o , e l i m i n a n d o o uso d o s í m b o l o p a r a o atlas. -*■ k A s s i m d i z e m o s q u e M ê u m a C v a r i e d a d e d i f e r e n c i ã v e l de d i m e n -_ ^ k s ã o n, o u q u e M é u m a C n - v a r i e d a d e . k. L e m a 3.8. Se A e u m C n - a t l a s e m M e B e o c o n j u n t o de t o d a s as c a r t a s l o c a i s d e d i m e n s ã o n e m M, q u e são C c o m p a t í v e i s c o m — — k t o d a s as c a r t a s d e A, e n t ã o B é o ú n i c o C n - a t l a s m á x i m o e m M q u e c o n t é m A. D e m o n s t r a ç ã o : S e j a m (U,f) e (V,g) e l e m e n t o s de B c o m U C\ V =<j>. E s c o l h e m o s x é U / ^ V , arbitrariamente.. E x i s t e u m a c a r t a local, (W,h) , e m A tal q u e x é W. D e s d e q u e foh ^ é d i f e r e n c i ã v e l e m h(.x) e h o g \ é d i f e r e n c i ã --1 -1 -1 v e l e m g(x), a c o m p o s i ç ã o fog = (foh )o ( h o g ), e d i f e -— 1 k r e n c i a v e l e m g(x). P o r t a n t o fog é C e m U A V e (U,f) e _ k k (V ,g) s ã o C c o m p a t í v e i s . L o g o B ê u m C n - a t l a s e m M. D e s d e — k ~ k q u e A e u m C a t l a s e m M, os e l e m e n t o s de A sao C c o m p a t í v e i s e n t r e si, e A é u m s u b c o n j u n t o de B. S e j a D u m C n - a t l a s q u e c o n t é m B. E n t ã o t o dos os ~ k e l e m e n t o s de D slão C c o m p a t í v e i s e n t r e s i , e e m p a r t i c u l a r '*** k < s a o C c o m p a t í v e i s c o m e l e m e n t o s de A. L o g o D Ç B, e B é um k C n - a t l a s m á x i m o . ** k — S u p o n h a q u e E é u m C n a t l a s m á x i m o cjue co n -—* m k t e m A. E n t a o t o d o s os e l e m e n t o s de E são C c o m p a t í v e i s c o m t o ­ d o s os e l e m e n t o s d e A, e E Ç B. D e s d e q u e E ê m á x i m o , E = D.

A i m p o r t â n c i a do L e m a 3.8, e s t á e m f a c i l i t a r a c o n s t r u ç ã o de a t l a s m á x i m o . B a s t a c o n s t r u i r u m a t l a s q u a l q u e r , q u e e l e d e t e r m i n a de m a n e i r a ú n i c a o a t l a s m á x imo. E x i s t e m na l i t e r a t u r a o u t r a s d e f i n i ç õ e s p a r a v a ­ r i e d a d e s d i f e r e n c i á v e i s . U m a p o r e x e m p l o c o n s i t e e m d e f i n i r va-«*• k. ~ r i e d a d e d i f e r e n c i ã v e l a t r a v é s d o "feixe de C f u n ç õ e s " no e s p a ­ ço. U m a o u t r a c o n s i d e r a q u e o e s p a ç o é u m c e r t o t i p o de s u b c o n ­ j u n t o d e u m e s p a ç o e u c l i d i a n o de d i m e n s ã o s u f i c i e n t e m e n t e alta. P a r a m a i o r e s d e t a l h e s s o b r e e s t a s d e f i n i ç õ e s e suas e q u i v a l ê n - c i a s â n o s s a , r e f e r i m o s o l e i t o r à [9 j, [5] . V o l t a m o s a r e a n a l i s a r os e x e m p l o s 1) e 2) d a def^i n i ç ã o 3.3 e o b s e r v a m o s q u e el e s t a m b é m l e v a m â e s t r u t u r a de v a ­ r i e d a d e s d i f e r e n c i á v e i s . n -* ■ k E x e m p l o 3. R ê u m a C n - v a r i e d a d e ( k > 0 ) . P a r a c a d a k > 0, b a s t a m a x i m a l i z a r o a t l a s d a d o n o e x e m p l o 1)„. 1 k E x e m p l o 4. S é u m a C 1 - v a r i e d a d e . A p r e s e n t a m o s e s t e c a s o .em e s p e c i a l e u m a d e m o n s t r a ç ã o g e o m é t r i c a i n t u i t i v a a n t e s de a p r e s e n t a r m o s o e x e m p l o ge r a l d e S n . 1 2 C o n s i d e r a m o s S c o m o o c í r c u l o u n i t á r i o e m R , e os q u a t r o s e m i - c í r c u l o s : = í ( x , y ) éL / x > 0 }

2 0

-U 2 = { ( x , y ) 6 S 1 / x < 0 }

U 3 = { ( x , Y ) € S 1 / y > O }e

U 4 = { ( x , y ) £ S 1 / y < 0}.

D e f i n i m o s as f u n ç õ e s f^: tL -> R, i = 1 , 2 , 3 , 4 por f^(x,y) = a r c s e n ( y ) , f 2 (x,y) = arc sen(y), f 3 (x,y) = a r c sen(x) e f 4 (x,y) = a r c s e n (x). G e o m e t r i c a m e n t e f^(v) e f 2 (v ) m e d e m o â n g u l o e n ­ tre o e i x o X e o r a i o de z e r o à v, f3 (v) e f^(v) m e d e m o â n g u l o e n t r e o r a i o e o e i x o Y. V e j a f i g u r a 10. f i g u r a 10 --1 A n a l i s a m o s a g o r a as c o m p o s i ç õ e s f^ o f^ e f 1 o c o n f o r m e o s d e s e n h o s d a f i g u r a 11 a) e f i g u r a 11 b) . O b s e r v e q u e e n q u a n t o os â n g u l o s no d e s e n h o são po s i t i v o s e n t r e 0 e tt/2 , f ^ v ) m e d e o â n g u l o n e g a t i v o , r e f l e t i n ­

A s s i m f^ (v ) = ( tt/ 2 -a ) = a - /2. E m a m b o s os c a s o s a c o m p o s i ç ã o é linear. P o r t a n t o é Xr C p a r a t o d o k > 0. -> (-

\

%

A

o p e r a d o r o r t o g o n a l e m R - 2 2- n+1 _1 _ k 2) T e T são f u n ç õ e s C . q q Y 3) T e T ^ r e s t r i t a s ã S n l e v a m S n h o m e o m ó r f i c a -q q m e n t e s o b r e S n , A s s i m E g = (D) é u m a v i z i n h a n ç a a b e r t a de q e m S n ; de f a t o E é u m a s e m i - e s f e r a c u j o c e n t r o é q. D e f i n i m o s h q q c o m o s e n d o f o ( T , ). S e j a A ={ (E ,h ) / q £ S n } . O b v i a m e n t e ca q q d a h é u m h o m e o m o r f i s m o e E = Sn . q q

S u p o n h a q u e q e s são e l e m e n t o s de S n tais que E g A E g í . C o n s i d e r a n d o f e f ^ c o m o f u n ç õ e s e n t r e s u b c o n ­ j u n t o s d e e s p a ç o s e u c l i d i a n o s , el a s são d i f e r e n c i á v e i s de c l a s ­ se C . P o r t a n t o h o h _{q s} ■*■/, _{'h ( E} , „ _{r\E )} r\ -n \ ~ ( f°T / _{q /} í o í T ^ / O f ^ ) / _{s / /} M q s ( E qO E s ) — - — — CO s e n d o u m a c o m p o s i ç ã o de f u n ç õ e s C t a m b e m e f u n ç a o C . L o g o „ °° fí A e u m C n - a t l a s e m S . k D e f i n i ç ã o 3 . 9 . S e j a m M, N v a r i e d a d e s C , ( k > 0 ), e s e j a B u m a t l a s m á x i m o de N e A u m a t l a s m á x i m o de M; d i z - s e q u e u m a f u n ç ã o c o n t í n u a f: M N é d i f e r e n c i ã v e l no p o n t o x M, c o m res p e i t o à A e B, se e x i s t e m s i s t e m a s de c o o r d e n a d a s Ç : U -+ Rm em A, ip: V -*■ R n e m B , c o m x £ U e f ( x ) £ V , tais que ijjofoÇ ^:Ç(U) ■-> ip (V) C Rn , é d i f e r e n c i ã v e l .

L e m a 3.10. A d e f i n i ç ã o 3.9 de d i f e r e n c i a b i l i d a d e i n d e p e n d e de Ç e (ou seja, n ã o d e p e n d e do s i s t e m a de c o o r d e n a d a s ) .

m D e m o n s t r a ç ã o : S e j a ü 1 R e

-1 k

f(U') C E n t ã o ^ ' o f o(Ç') é C pois:

i|/'ofo ( Ç ')“ 1 = \p 1 o 4i~1 oipofoÇ~1 o Ç o ( C ' ) ~ 1

= o ( ^ o f o Ç 1 ) o (Ço (Ç 1 ) 1 ) . R c o m x £ U' , L e m a 3.11. A c o m p o s t a de d u a s f u n ç õ e s d i f e r e n c i á v e i s é d i f e r e n - c i ã v e l . D e m o n s t r a ç ã o : S e j a m M, N e P v a r i e d a d e s d i f e r e n c i á v e i s e s e j a m f : M N e g: N P f u n ç õ e s d i f e r e n c i á v e i s , e n t ã o p e l a d e f i n i ­ ç ã o 3.9 e l e m a 3.10, e x i s t e m s i s t e m a s ^,ip e p, tais q u e se x £ dorrtÇ , f ( x ) £ d o m ijj , g(f (x) ) £ d o m p, e a i n d a Çofoip ^ e ipogop ^ s ã o d i f e r e n c i á v e i s , c o m o m o s t r a o s e g u i n t e d i a g r a m a c o m u t a t i v o , -w, -1 -1 -1 - A s s i m p o g o f o Ç = (,pogo\|j ) o (ipofoÇ ) e d i f e r e n c i a v © ! f

U s a r e m o s n e s t e t r a b a l h o , a s e g u i n t e v a r i a n t e do T e o r e m a d e T a y l o r . L e m a 3.12: S e j a f u m a f u n ç ã o C n u m a v i z i n h a n ç a c o n v e x a V de z e r o e m R n , c o m f(0)=0. Então: 'YN f(x , . . . , X ) = .E x g. (x, , . . . ,x ) ± ri ^ i x n _ 00 p a r a a l g u m a s f u n ç õ e s C , g^, d e f i n i d a s e m V c o m g ^ ( 0 ) = 6 f / 6 x i (0) D e m o n s t r a ç ã o : E s t a d e m o n s t r a ç ã o é e n c o n t r a d a e m [41. N o t a ç a o 3 . 1 3 : S e j a m X e Y v a r i e d a d e s C e s e j a s _< k inteiro. D e n o t a m o s p o r C S (X,Y) as f u n ç õ e s C S de X e m Y, e p o r C S (X) as f u n ç õ e s C S de X e m R; se x é í X d e n o t a m o s p o r C S (X,x,R) as fun-~ s ç o e s r e a i s d e c l a s s e C n u m a v i z i n h a n ç a de x. C o m e ç a m o s a g o r a a c o n s t r u ç ã o do e s p a ç o t a n g e n t e d e u m a v a r i e d a d e . k D e f i n i ç ã o 3.14: S e j a X v a r i e d a d e C e s e j a x<£X. Um v e t o r t a n ­ g e n t e e m x é u m a f u n ç ã o v: C (X,x,R) -> R tal que, se Ç é u m s i s t e m a de c o o r d e n a d a s fi x o c o m x £ U - d o m Ç , e n t ã o e x i s t e u m a n - u p l a de n ü m e r o s r e a i s c o m a s e g u i n t e p r o p r i e d a d e : oo P a r a c a d a f €. C (X,x,R) v (. f ) = T a . Ô/ór (foÇ- 1 )/. jL*=- ' ç, N o t e q u e se W = d o m f, e n t ã o £ e f s ã o b e m d e f i n i d a s no c o n j u n t o a b e r t o Ufi W c o n t e n d o x, c o m d o m í n i o ç ( U A W ) c o n t e n d o ç(x).

Ob-s e r v e t a m b é m q u e Ob-se v : C (X,x,R) ->■ R p o s s u i a p r o p r i e d a d e ne c e s s a r i a p a r a u m v e t o r t a n g e n t e c o m r e s p e i t o à um s i s t e m a de c o o r d e n a d a s £ p r ó x i m o â x, e n t ã o p o s s u i t a m b é m e s t a p r o p r i e d a d e c o m r e s p e i t o a q u a l q u e r o u t r o s i s t e m a de c o o r d e n a d a s p r ó x i ­ m o à x. I s t o é, se ij) é u m o u t r o s i s t e m a de c o o r d e n a d a s , e n t ã o u s a n d o a r e g r a da c a d e i a temos: v(f) = Z a. Ó / <5 r . (foÇ )/ ^ 1 /Ç (x) *V\ = Z a. 6 /6r. (f oip ^oipoÇ ^ C - * 1 _Ç(x)

T a f 6/ ôr . (foijj 1 )/ Jji (iJjoÇ 1 )

/^(x) / o n d e J.. (\poÇ ê a m a t r i z j a c o b i a n a da f u n ç ã o S e g u e 3 ^ que: v (f ) = Z (. ? a . J . . (ipoÇ 1 )l ) ô/ôr . (f0<j; 1 4“ - 11 31 h x ) J foíx) e t o m a n d o b. = Ea. J. . tipoÇ 1 )l , o b t e m o s 3 i" 1 31 k x ) v(f) = Z b . 6/ôr. tf0 ij; 1 )l Ím1 J J k> (x) A s s i m p a r a v e r i f i c a r se v é u m v e t o r t a n g e n t e e m x, ê s u f i ­ c i e n t e v e r i f i c a r a p r o p r i e d a d e r e q u e r i d a e m u m s i s t e m a q u a l ­ q u e r d e c o o r d e n a d a s de x. N o t a ç ã o 3.15: D a d o u m s i s t e m a de c o o r d e n a d a s p r ó x i m o ã :

d e n o t a d o p o r Ç , x ^ r ^ o Ç d e n o t a r á a j - é s i m a c o o r d e n a d a de Ç . D e f i n i m o s u m v e t o r t a n g e n t e e m x , ô / ô x ^ (j = l , 2 , . . . ,n) como: ô/ôx. (.f) = ô/ôr. (foç 1 ) Ç(x) P a r a f £ C°° (X,x;R), a ô/ôx^ c o r r e s p o n d e , r e l a t i v a m e n t e às c o ­ o r d e n a d a s d o s i s t e m a Ç, à n - u p l a (0 , 0 , . . . , 1 , . . . , 0 ) o n d e 1 es t ã n a j - é s i m a p o s i ç ã o . O b s e r v a ç ã o 3.16: Se x^,. . . ,x^ são as f u n ç õ e s c o o r d e n a d a s de u m s i s t e m a Ç;;ao r e d o r de x, e y^, . . . ,y são as f u n ç õ e s co o r d e n a d a s d e u m o u t r o s i s t e m a \p ao r e d o r de x. E n t ã o p e l a n o t a ç ã o 3.15: Ô/ÔX.. E ô/ôx .(y ) . ô / ô y . .-2. 1 J 1 1 D e m o n s t r a ç ã o ; S a b e m o s p o r 3.15 q u e ô/ôx.. (f) (x) pela. r e g r a d a c a d e i a : ô / ô x .(f) E ô / ô r .(foijj 1 )j . ô/ôr . (r .oipoÇ 1 )í /<|íx) 3 1 /ç(x) 2 ô/ôx (y ) . ô / ô y . J 1 1 O b s e r v a ç ã o 3.17: U m v e t o r v t a n g e n t e à X e m x p o s s u i as

se-1) v (f+g) = v (f ) + v (g) 2) v(Xf) = Av(f) 3) v(f.g) = v (f ) g (x) + f(x)v(g) O b s e r v a ç ã o 3.18: 0 c o n j u n t o X x de v e t o r e s t a n g e n t e s e m x na v a r i e d a d e X, f o r m a m u m e s p a ç o v e t o r i a l , sob as s e g u i n t e s r e ­ g r a s d e a d i ç ã o e m u l t i p l i c a ç ã o p o r es c a l a r . C o m o a s o m a e o p r o d u t o p o r e s c a l a r só e n v o l v e m c o e f i c i e n t e s das d e r i v a d a s p a r c i a i s ã r e s p e i t o das f u n ç õ e s c o ­ o r d e n a d a s , a d e m o n s t r a ç ã o d a o b s e r v a ç ã o 3.18, de que o c o n j u n t o X d e v e t o r e s t a n g e n t e s f o r m a m u m e s p a ç o v e t o r i a l , é v e r i f i c a d a d o m e s m o m o d o c o m o e m R n . D e f i n i ç ã o 3.19: O e s p a ç o X.. é c h a m a d o o e s p a ç o t a n g e n t e ã X X n o p o n t o x, e é t a m b é m d e n o t a d o p o r T(X) ou p o r T ( X , x ) . P a r a d o i s s i s t e m a s de c o o r d e n a s Ç e \p de x c o m f u n ç õ e s c o o r d e n a d a s ( x ^ ... ,xn ) e ( y ^ ... ,y ) r e s p e c t i v a -m e n t e , à f ó r -m u l a 6/ôx. = Z ô / ô x . ( y.)•ô / ô y ., e x p r e s s a o ve-3 <0^ A J 1 i t o r 6/óx. e m t e r m o s da b a s e íô/6y.} . r, A s s i m 3 J i i {1, . . . ,n) a m u d a n ç a de b a s e d a m a t r i z de b a s e <5/ôy. de X p a r a a ba-X X se 6 / ô x ^ é p r e c i s a m e n t e a m a t r i z j a c o b i a n a ((6/ôXj)(y^) ). O b s e r v a ç ã o 3.20: 0 e s p a ç o t a n g e n t e T ( R n ,a) de u m p o n t o a e R n e m R n é n a t u r a l m e n t e i s o m ó r f i c o â R n . O i s o m o r f i s m o é d a d o

D e f i n i ç ã o 3 . 2 1 . S e j a m X e Y v a r i e d a d e C s , s _> 1 . S e j a \p : X -*■ Y u m a f u n ç ã o d i f e r e n c i ã v e l . A d i f e ­ r e n c i a l d e \p p a r a x € . X ê a f u n ç ã o dijj : X x -* Y ^ d e f i n i ­ d a c o m o s e g u e . P a r a v € X x e g & C S ( Y , ^ (x) , R ) , (d\)j ( v) ) ( g ) = v ( g 0 i|> ) . É f á c i l v e r i f i c a r q u e dip (v) i n d i c a u m v e t o r t a n ­ g e n t e p a r a ( x ) . D e f a t o , s e Ç é u m s i s t e m a d e c o o r d e n a d a s a o r e d o r d e x c o m f u n ç õ e s c o o r d e n a d a s ( x ^ , . . . / * n ) , e t ê u m s i s t e m a d e c o o r d e n a d a s a o r e d o r d e ip ( x) c o m f u n ç õ e s c o o r d e n a -v\ d a s ( y , , . . . , y ) , c o m o v = .£ a . ( 6 / ó x . ) p a r a c e r t o s n ú m e r o s x n i i a . , e s e g C S ÍY,\p ( x ) , R ) , e n t ã o : 1 s [dijj ( v) ] (.g) = v i g o i p ) = ? a . S / ô x . (goip ) LKi 1 1 = E a . 6/ Ô r . C g O T ^ o t o v | > o Ç U ' 1 Ç C x ) = Z a . Z 6 / ô s . C g o t 1 ) / . 6/ ô r ( s . o t o i / j o Ç 1 )/ , o n -JS1 3 I TOIPÍX) 1 3 / Ç ( X ) d e s ^ , . . . , s m s ã o a s c o o r d e n a d a s e m R n , = Z Z a . ô / 6 y . ( g) . ô / ô x . (y-cnj;) i.i.\ ^ x x x j = T v ( y . oip ) ô / ó y . ) (g) i.-s\ J 1 D e s d e q u e e s t e f a t o v a l e p a r a t o d o g e C S (Y , £ (x) ,R ) t e m o s q u e d ^ (v) = £ v ( y . o ijj ) 6/ ó y . . O b s e r v a ç ã o 3 . 2 2 . S e j a m X , Y e Z v a r i e d a d e s C°° . S e j a m iJj: X Y e <Jj:Y Z f u n ç õ e s d i f e r e n c i á v e i s .

~ CO

D e m o n s t r a ç a o : S u p o n h a m o s v £ Xx e h £ C (Z , <j>o£(x) ,R) . Entao: [d (<{>oij;) (v) ] (h) = v (ho ( 4>chJj) ) =v((ho<j))o4) = di|j(v)(ho\J>)

= [dcj) (dij; (v) ] (h) = [( d o d ) (v) ] (h) . D e f i n i ç ã o 3.23. S e j a X v a r i e d a d e C . U m a c u r v a d i f e r e n c i ã v e l e m X é u m a f u n ç ã o d i f e r e n - c i ã v e l a d e f i n i d a e m a l g u m i n t e r v a l o r e a l (fechado o u aberto) c u j a i m a g e m e s t á e m X. Se o d o m í n i o de a é u m i n t e r v a l o f e c h a d o [ a , b ] , a ê d i f e r e n c i ã v e l se a d m i t e u m a e x t e n s ã o d i f e r e n c i ã v e l ã : ( a - e , b + £ ) - » - X . N o t e q u e i n t e r v a l o s a b e r t o s são c o n j u n t o s a be r t o s e m R, e d a í v a r i e d a d e s d i f e r e n c i á v e i s . D e f i n i ç ã o 3.24: S e j a a: I X, o n d e I é u m i n t e r v a l o c o n t i d o e m R, u m a c u r v a d i f e r e n c i ã v e l e m S . 0 v e t o r t a n g e n t e p a r a a n u m t e m p o t (té I ) , d e n o t a d o p o r á(t) é d e f i n i d o por: à(t) = d ã [ (d/dr)] t N o t e q u e a (t) e b e m d e f i n i d a e m t o d o s os p o n t o s de I . D e f i n i ç ã o 3.25. S e j a X v a r i e d a d e d i f e r e n c i ã v e l . T(X) = T(X,x) é c h a m a d o o e s p a ç o t a n g e n t e de X. D e f i n i ç ã o 3.26. U m a f u n ç ã o p r o j e ç ã o tt : T(X) -+■ X é d e f i n i d a

3 0 -cortio s e g u e . Se v € T(X) , e n t ã o v € . T ( X , x ) p a r a a l g u m ( ú n i c o ) x € X, d e f i n i m o s tt (v ) = x. D e f i n i ç ã o 3.27; U m c a m p o de v e t o r e s e m X ê u m a f u n ç ã o V:X->-T(X) tal q u e ttov = i . U m a c a m p o V de v e t o r e s é d i f e r e n c i ã v e l se pa _ oo _ oo _ ra c a d a f € C ( X , R ) , V f € C ( X , R ) . A q u i V f e d e f i n i d o por (Vf) (x) = V (x) f . D e f i n i ç ã o 3.28: E x i s t e u m p r o d u t o i n t e r n o < , > , d e f i n i d o no e s p a ç o t a n g e n t e de X, tal q u e p a r a c a d a x £ X , < , > : T(X,x) T(X,x) -* R é d a d o por: X = Ea.b. i i D e f i n i ç ã o 3.29: U m 1 - p a r â m e t r o g r u p o de d i f e o m o r f i s m os de u ma ~ k v a r i e d a d e X é u m a f u n ç a o C , Ç : R X -> X, tal que 1) P a r a c a d a t é R a f u n ç ã o £ t :X -> X d e f i n i d a p o r Ç (q) =Ç(t,q) é u m d i f e o m o r f i s m o de X s o b re X. 2) p a r a t o d o t,s R t em o s ? t+s D e f i n i ç ã o 3.30: D a d o u m 1 - p a r â m e t r o g r u p o de d i f e o m o r f i s m o s de X, n ó s d e f i n i m o s u m c a m p o de v e t o r e s V em X c o m o segue: - fíq) v qCf) = liim 3h (q) h- )0 h 0 c a m p o de v e t o r e s V ê d i t o g e r a d o r do g r u p o Ç . D e f i n i ç ã o 3.31: O í nd i c e de u m f u n c i o n a l b i l i n e a r H, n u m e s p a

-ç o v e t o r i a l V, é d e f i n i d o c om o a d i m e n s ã o m á x i m a de um s u b e sp a ço d e V, n o q u a l H, ê n e g a t i v o d e f i n i d o .

C A P I T U L O IV P O N T O S C R l T I C O S N a s e q u ê n c i a d e s t e t r a ba lh o, s e m p r e q u e f al a r m o s — k v a r i e d a d e , e n t e n d e m o s v a r i e d a d e d i f e r e n c i ã v e l de c l a s s e C , k _> 2 , c u j o e s p a ç o t o p o l õ g i c o ê u m e s p a ç o convexo. D e f i n i ç ã o 4.1. S e j a X u m a v a r i e d a d e e f : X -+ R , u m a fu n ç a o k - C . U m p o n t o p £ X e u m p o n t o c r i t i c o de f se e m a l g u m s i s t e m a de c o o r d e n a d a s p r ó x i m o de p, 6f I _ 6f = 0 . 6 x l L Sxn D D e f i n i ç ã o 4.2. U m p o n t o c r í t i c o ê não d e g e n e r a d o se d e t | - i i í - A fix.fix. 3 IPl ¥■ o A p r e s e n t a m o s a g o r a u m t e o r e m a de f u n d a m e n t a l i m p o r t â n c i a ao n o s s o t ra b a l h o . E s t e t e o r e m a c a r a c t e r i z a o c o m p o r t a m e n t o d e u m a f u n ç ã o n u m a v i z i n h a n ç a de u m p o n t o c r í t i c o n ã o d e g e n e r a d o . T e o r e m a 4.3. L e m a d e M o r s e Se p é u m p o n t o c r í t i c o n ã o d e g e n e r a d o de f, e x i s ­ t e m c o o r d e n a d a s l o c a i s ( y-^f . . • ,y ) n u m a v i z i n h a n ç a de p,

f(y> - f(p) = - v l - y22 - - y* + y ^ j * y n , p a r a t o d o y na v i z i n h a n ç a . D e m o n s t r a ç ã o : A s s u m i m o s q u e p é a o r i g e m de R n e que, f(p) = f (0) = 0 . P e l o le m a 3.12, t e m o s q u e p a r a a l g u m s i s t e m a de c o o r d e n a d a s (x, , ... »x ) j f ( x - | , . . . , x ) = . Z x.g. (x, , ... , x ) . X Al X ' J J ** D e s d e que 0 é p o n t o c r í t i c o gj(0) = ôf / ô x ^ (0)=0. A p l i c a n d o o lema 3.12 a g^ obt e m o s : g . (x, , ... , x ) = x x.h. . (x , ... , x ) e s u b s t i- j x x xj ± n t u i n d o g^ e m f o bt em os : *v\ f (x, , . . . ,x ) = . E x . x.h. (x, , . . . ,x ) . X XI J J Se h . = — (h + H..), t e m o s que h..=h.. e que J ^ , J -*■ 1 J II i x . x . h . . + x.x.h.. = x . x .( h. . + h..) 1 3 13 D 1 31 i d 1 3 ji' = x1x j (2h i j ) = x . x . m . . + e ..) = x .x . H . . + x.x . h . . . 1 3 13 3 1 di Logo f =.|xix jh i j (x1 .... xn ). *2 f A l e m d i s s o a m a t r i z h. . (0) = ■■■-■ - (0) , ôx.óx. 1 3 p o i s s a b e n d o q u e g ^ (0) = ôf/ôx^ v e m que:

3 4 -E a i n d a a m a t r i z h^j(O) é não s i n g u l a r , p oi s p o r hi p õ t e s e p ê p o n t o c r í t i c o n ã o d eg e n e r a d o . E x i s t e u m a t r a n s f o r m a ç ã o n ã o s i n g u l a r d e f u n ç õ e s co o r d e n a d a s q u e n o s d ã a e x p r e s s ã o d e s e j a d a p a r a f, n u m a v i z i n h a n ­ ç a d e zero. P a r a m o s t r a r e s t e fa t o nõs i m i t a m o s a p r o v a u s u a l de d i a g o n a l i z a ç ã o p a r a f o r m a s q u a d r á t i c a s . S u p o n h a m o s p o r i n d u ç ã o q u e e x i s t e m c o o r d e n a d a s u ^ , . . . , u n u m a v i z i n h a n ç a de ze r o tal que: 2 2 2

f = iCUn) ± (u0 ) ± ... ± (u ,) + 1 u . u .H. . (u, , . . . ,u_)

1 2. r—1 ^ 3 1 ^ a t r a v é s de U , , o n d e as m a t r i z e s ( H . .) são s i m é t r i c a s . M u d a n d o «*■ 1 J l i n e a r m e n t e as ú l t i m a s n - r+ 1 c o o r d e n a d a s , p o d e m o s g a r a n t i r q u e H í 0. rr S e j a g ( u ^ , , . . ,u i a r a i z q u a d r a d a de !H Cu, , . . . ,u ). | u m a f u n ç ã o d i f e r e n c i ã v e l n ão n u l a de 1 XI 1 íl

CujL, . . . , u n ) e m a l g u m a v i z i n h a n ç a U 2C de zero. A g o r a introdu-r z i n d o n o v a s c o o r d e n a d a s v-, , ... ,v c o m v.=u. p a r a i í r e

1 ' n i x: ■

v r Cul ... V =g(:ul ' " - ' V lu r + £ u iH i r <ul ... u n >/ , ,) r r r 1 ' ' ’ D e r i v a n d o v ^ e m r e l a ç ã o â u o b t e m o s : r Y r Í I e j £ L [ » r + £ , v lr < » ! ... »„> I , + S u r Ôu r I r r(ui ' •• • ' u n ) E u . g

5

2

I

<5 v 6 u r l o g o a f u n ç ã o é i n v e rs ív el . S e g u e - s e d o t e o r e m a da f u n ç ã o i n v e r s a que v^, ... , v n s e r v e m c o m o f u n ç õ e s c o o r d e n a d a s e m a l g u m a v i z i n h a n ­ ça s u f i c i e n t e m e n t e p e q u e n a de zero. É f a c i l m e n t e v e r i f i c a d o q u e f p o d e ser e x p r e s s a por:

2

u r = 4 ^ v iv j H i j (ui ... v p ° r © u rv jH r j ( U 1 ... u n> Po r © 0' N e s t a e x p r e s s ã o c h a m a r e m o s : ^ v iu r H l r (ul' ••• ' V DOr © u u H , . /T\ r r r r ( u ^ , ... , u n ) p o r ( 4 J . P o d e m o s o b s e r v a r que t r o c a n d o i p o r j , (jT) A n a l i s a n d o e n t ã o a e x p r e s s ã o (T): S a b e m o s q u e u 2v v.H. , __L E 1 ir H ÓA. I rr - E V . H . i ir de H rr ^ • H - , + e I i irj ó a3 H_rr o n d e os e l e m e n t o s do ú l t i m o t e r m o são da v.v.H. i d ir. . H . H Dr rr H , e n t ã o a e x p r e s s ã o (V) to m a a rr ? 7 v 1V u H = V - 2 z — — r- H. + H ( E v . H r rr r i,>/v ir rr ó *. i ir (H q u e : rr , a i n d a v . v E — h-JL h. = E v . g [ u + E u.H. ò*. g ir f w : r 1 ir ] H . H rr = E V .u H . + E v .u . H. H . T r 3r i.o/v 3 1 ir ir v r H_rr V o l t a n d o a e x p r e s s ã o i n i c i a l p a r a - © • o n d e , f o r m a f o r m a t e m o s

E U . U . H . . Í U , , ... , u ) = E v v . H (u,, ... , u ) + x 3) 1 3 -L n 3 xj -L n

2

2

d i e n t e de f d a d o por: -38-, e m r e l a g ä o ao s i s t e m a de c o o r d e n a d a s (xl f ...-38-,x )-38-, e q r a d f = E — ----$_ 6X^ 6Xj

C A P Í T U L O V H O M O L O G I A , H O M O T O P I A E N Í V E I S C R Í T I C O S S ej a f u m a f u n çã o real na v a r i e d a d e M. A d o t a m o s as s e g u i n t e s n o t aç õe s: ft = { x / f (x) S t } e f° = { x / f(x) < t }. T e o r e m a 5.1. S ej a f u m a f u n ç ã o c o m v a l o r e s r e a i s d e f i n i d o s s o ­ b r e u m a v a r i e d a d e M. S e j a a < b e s u p o n h a que f ^[a,b] é c o m p a c t o e n ã o c o n t é m p o n t o s c r í t i c o s de f. E n t ã o f é d i f e o m ó r f i c o ã f, , e a l é m d i s s o, f é u a d a — m a d e f o r m a ç ã o r e t r a ç ã o d e f^. D e m o n s t r a ç ã o : 0 g r a d i e n t e de f é o c a m p o de v e t o r e s g r a d f na v a r i e d a d e M; q u e é c a r a c t e r i z a d o p e l a i d e n t i d a d e : < X , g r a d f > = X(f). O n d e X (f ) q u e é a d e r i v a d a d i r e c i o n a l de f em X, Ô f é d a d a p o r X(f) = Z a .--- , para q u a l q u e r c am p o de v e t o r e s X. 6x. i E s t e c a m p o de v e t o r e s g r a d f se a nu l a p r e c i s a m e n t e nos p on t o s c r í t i c o s de f. Se c : R M e u m a c u r v a c om v e t o r v e l o c i d a d e — , dt s e g u e q u e : < f f , g r a d f > = - d ( f °c) dt

-40-S e j a p : M ■+ R uma f u n ç ã o dif e r e n c i ã v e l que é i

g u a l a < --- --- >, no c o n j u n t o c o m p a c t o f-1 [a,b] , que g r a d f , g r a d f se a n u l a f or a d a v i z i n h a n ç a c o m p a c t a d e s t e c on j u n t o . A s s i m d e f i n i m o s u m a c a m p o X de v e t o r e s por: x q = p ( q ) ( g r a d f ) . X g e r a u m 1 - p a r â m e t r o g r u p o de d i f e o m o r f i s m o s : Ç : M -* M. P a r a d a d o p o n t o fixo q M c o n s i d e r e m o s a função: g : R R g(t) = f (Çt (q) ) . Se p e r t e n c e ao c o n j u n t o f ^[a,b], então: d f ( § t (q)) d ( t (q)) --- ;--- = < --- t g r a d f > = < X, g r a d f > = dt dt q q = < (grad f ) , g r a d f = < --- --- g r a d f , g r a d f > g r a d f, g r a d f q = --- --- ^grad f, g r a d f > = + 1 . <grad f, g r a d f> q E n t ã o a c o r r e s p o n d ê n c i a , g : R -> R g (t) = f (Çt (q) ) , é l i n e a r c o m d e r i v a d a +1 , d e s d e que f(ç (q)) p e r m a n e ç a e n t re a e b i n c lu si ve . A g o r a t o m a m o s x é f fixo. D e s d e q u e ç é a i de n t i d a d e , fç (x)Sa. o o