op1 06

Sedimentação

OP1 | Operações Unitárias 1 | UFPE | II-06 | Rev. 0.7 | Prof. Luiz Stragevitch 2 Sedimentação Separação partícula/fluido Partícula: Sólidos Gotículas de líquido Fluido: Líquido Gás

Fluido pode estar em repouso ou em movimento

Força motriz: gravidade

3 Aplicações

Separação de sólidos insolúveis Tratamento de água

Tratamento de efluentes líquidos Tratamento de efluentes gasosos Cristalização

Extração líquido-líquido Separação óleo/água

4 Objetivo

Compreender as forças que se opõem à sedimentação das partículas

Analisar o movimento de uma partícula num fluido

Estimar a velocidade de sedimentação de uma partícula

Aplicar no projeto de sedimentadores

5 Movimento de uma partícula num fluido

vf

vp

Fg FD FB

Balanço de forças sobre a partícula rígida: a m F_y= _p′

∑

dt dv m F F Fg− B− D= p′ v= velocidade relativa m′p= massa virtual 6 Balanço de forças

Partícula em queda livre:

Período inicial de aceleração (FDbaixa) À medida que acelera, FDaumenta (FD∝v) Aceleração reduz e tende a zero

Velocidade máxima (constante) é atingida

Velocidade terminal vt dt dv m F F F_g− _B− _D= _p′

7 Período inicial de aceleração

Em aplicações típicas de sedimentação, o período inicial de aceleração é muito curto (frações de segundo) 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 t/s 0 0.04 0.08 0.12 0.16 0.2 v/ (m /s ) Areia/ar 50 µm Areia/água 1 mm Poeira/ar 50 µm Água/óleo 2 mm Areia/água 200 µm Areia/ar 10 µm 8 Balanço de forças D B g F F F − =

A velocidade terminal é observada quando a força gravitacional líquida (net) é contrabalançada pela força de arraste 0 = dt dv constante t = =v v dt dv m F F Fg− B− D= p′ 9 Forças g x g V g m F 6 3 p p p p g

π

ρ

ρ

= = =

Força peso Empuxo

g m

FB= f

mf= massa de fluido deslocado pela partícula

g x g V F 6 3 f p f B

π

ρ

ρ

= = 10 Força de arraste

Definida em termos do coeficiente de arraste:

2 f 2 1 D D v F C

ρ

′ = A F F ′ =             = ′ D D partícula da projetada Área arraste de Força 11 Força de arraste

Se a partícula for esférica:

4 2 2 f 2 1 D D x v F C

π

ρ

= 4 2 x A′=

π

12 Balanço de forças

(

)

4 6 2 2 t f 2 1 D 3 f p x v C g x

_ρ

π

π

ρ

ρ

− = E o coeficiente de arraste? f D f p t 3 ) ( 4

ρ

ρ

ρ

C xg v = −

13 Coeficiente de arraste

Caso particular para auxiliar na compreensão: Escoamento lento (creeping flow)

Bird-Stewart-Lightfoot (2ª ed.), p. 58: v x FD=3

π

µ

Lei de Stokes       =

µ

ρ

f D 24 xv C

µ

ρ

f p Re =xv p D Re 24 = C 14 10–2 10–1 1 101 102 103 104 105 CD 10–3₁₀–2₁₀–1 1 101 ₁₀2 ₁₀3 ₁₀4 ₁₀5 ₁₀6 Rep Coeficiente de arraste (ψψψψ= 1) p D Re 24 = C

(

)

p 681 , 0 p p D Re 8710 1 407 , 0 Re 150 , 0 1 Re 24 + + + = C Experimental Lei de Stokes Brown-Lawler 15 Validade da Lei de Stokes

O regime de Stokes é válido para Rep≤0,1 Para Rep≤0,1 o coeficiente de arraste é predito com incerteza ≤1%

Para Rep>0,1 usar as correlações CD(Rep)

16 Algumas correlações (ψψψψ= 1, Rep< 2 ××××105) Correlação Desvio Haider e Levenspiel (1989) 3,6% Brown e Lawler (2003) 3,2% Cheng (2009) 2,5%

(

)

p 6459 , 0 p p D Re 95 , 6880 1 4251 , 0 Re 1806 , 0 1 Re 24 + + + = C

(

)

p 681 , 0 p p D Re 8710 1 407 , 0 Re 150 , 0 1 Re 24 + + + = C

(

)

[

(

0,38

)

]

p 43 , 0 p p D 1 0,27Re 0,471 exp 0,04Re Re 24 − − + + = C 17 Coeficiente de arraste (ψψψψ ≠≠≠≠1) 10–1 1 101 102 103 104 105 CD 10–3 10–2 10–1 1 101 102 103 104 105 Rep ψ = 1 ψ = 0,806 ψ = 0,67 ψ = 0,5 ψ = 0,3 ψ = 0,1 18 Correlação para ψψψ ≠≠≠≠ψ 1 Haider e Levenspiel (1989) Desvio médio: 5,8%

(

)

[

]

{

}

(

)

(

ψ

)

ψ ψ ψ 2122 , 6 exp 378 , 5 Re 0748 , 5 exp Re 69 , 73 Re 0655 , 4 exp 1716 , 8 1 Re 24 p p 5565 , 0 0964 , 0 p p D + − + − + = + C

19 Velocidade terminal Para qualquer Rep: Para Re_p≤0,1: f D f p t 3 ) ( 4

ρ

ρ

ρ

C xg v = −

(

)

µ

ρ

ρ

18 2 f p t g x v = −

(

p f

)

1 2 t , , − − ∝x

ρ

ρ

µ

v 20 Velocidade terminal

Para valores altos de Rep, CD≅0,44:

f f p t ) ( 74 , 1 ρ ρ ρ xg v = −

(

)

1/2 f 2 / 1 f p 2 / 1 t , , − − ∝x ρ ρ ρ v

Não depende da viscosidade

21 Velocidade terminal

Para Rep≤0,1:

Para valores altos de Rep:

Para valores intermediários de Rep:

(

)

1/2 0 f 2 / 1 f p 2 / 1 t ,ρ ρ ,ρ ,µ − − ∝x v

(

)

0 1 f f p 2 t , , , − − ∝x ρ ρ ρ µ v

(

)

0 1 0 1 2 , , , 2 1 2 1 2 1 f f p t ≤ ≤ − ≤ ≤ − ≤ ≤ ≤ ≤ − ∝ d c b a x v a ρ ρ b ρc µd 22 Exercício

Cálculo de velocidade terminal Resolver o exercício 2.15(a)

23 Cálculo de velocidade terminal

1° passo: calcular a velocidade terminal supondo regime de Stokes:

Com o valor da velocidade, calcular o Re_p

Caso Re_p≤0,1, o problema está finalizado

(

)

µ

ρ

ρ

18 2 f p t g x v = −

µ

ρ

f t p Re =x v 24 Cálculo de velocidade terminal

2° passo: caso Rep>0,1

Usar um dos seguintes métodos: Gráfico

Numérico – substituições sucessivas (planilha) Numérico – softwares de cálculo (SciLab) Correlações explícitas na velocidade terminal

25 Método gráfico

Partindo da expressão geral

Deduzir a equação que descreve o problema na forma f D f p t 3 ) ( 4

ρ

ρ

ρ

C xg v = − 2 p D Re const = C

Marcar dois pontos no gráfico, unir por uma reta até cruzar a curva experimental e ler o valor de Rep 26 Método gráfico 10–1 1 101 102 103 104 105 CD 10–3 ₁₀–2 ₁₀–1 1 101 ₁₀2 ₁₀3 ₁₀4 ₁₀5 Rep

Com o valor de Repobtido graficamente calcula-se a velocidade terminal f p t Re

ρ

µ

x v = 27 Método numérico – planilha

28 Método numérico – SciLab

29 Correlações explícitas para vt

Definição de novas grandezas adimensionais: Velocidade terminal adimensional:

Tamanho de partícula adimensional:

3 / 1 f p 2 f t 3 / 1 D p * ) ( Re 3 4         − =       =

ρ

ρ

µ

ρ

g v C v 3 / 1 2 f p f 3 / 1 2 p D * ) ( Re 4 3       ₋ =       =

µ

ρ

ρ

ρ

g x C x 30 Correlações explícitas para vt

Cálculo direto da velocidade terminal Não há necessidade do método gráfico Diversas correlações disponíveis Por exemplo: Brown e Lawler (2003)

( ) ( ) _0,449 1,114 * 1 / 936 , 0 1 898 , 0 2 * * 317 , 0 18 * * − + +               +       = x x v x x Validade: Rep<2 ×105 (I)

31 Correlações explícitas para vt

Brown e Lawler (2003) também apresentaram uma correlação com menor incerteza

Faixa de validade mais restrita Atende maioria das aplicações da sedimentação Validade: Re_p<5000, x_*<190

(

)

405 18 81 , 2 0258 , 0 5 , 22 046 , 2 * 046 , 3 * 046 , 4 * 046 , 2 * 2 * * _{+ + +} + = x x x x x v (II) 32 De volta ao exercício x* x*< 190 v*(II) vt, Rep Rep< 5000 Fim v*(I) S N S N 33 Exercício

Cálculo do tamanho de partícula dada a velocidade terminal

Resolver o exercício 2.16

34 Cálculo do tamanho de partícula

1° passo: calcular o tamanho da partícula supondo regime de Stokes:

Com o valor de x, calcular o Rep

Caso Re_p≤0,1, o problema está finalizado

µ

ρ

f t p Re = x v

(

)

µ

ρ

ρ

18 2 f p t g x v = − (Isolar x) 35 Cálculo do tamanho de partícula

2° passo: caso Rep>0,1

Usar um dos seguintes métodos: Gráfico

Numérico – substituições sucessivas (planilha) Numérico – softwares de cálculo (SciLab) Correlações explícitas na velocidade terminal - implícitas em x! (SciLab)

36 Método gráfico

Partindo da expressão geral

Deduzir a equação que descreve o problema na forma f D f p t 3 ) ( 4

ρ

ρ

ρ

C xg v = − p D=const×Re C

Marcar dois pontos no gráfico, unir por uma reta até cruzar a curva experimental e ler o valor de Rep

37 Método gráfico 10–1 1 101 102 103 104 105 CD 10–3 ₁₀–2 ₁₀–1 1 101 ₁₀2 ₁₀3 ₁₀4 ₁₀5 Rep

Com o valor de Repobtido graficamente calcula-se o tamanho da partícula f t p Re

ρ

µ

v x= 38 Sedimentação de uma suspensão

Sedimentação livre

Sedimentação de uma partícula em um fluido infinito ⇒ v_t

Processos reais: há uma suspensão de partículas

Sedimentação com interferência

Uma partícula influencia a outra no processo de sedimentação

vp= vt, vp< vt, ou vp> vt?

39 Sedimentação com interferência

Simulação numérica

ladd.che.ufl.edu/research/sedimentation/sedimentation.htm A velocidade de sedimentação diminui à medida que aumenta a concentração de partículas na suspensão

40 Sedimentação com interferência

Fluxo ascendente de fluido

À medida que as partículas sedimentam, ocupam espaço do fluido que é deslocado para cima

Efeito de parede

Efeito do tamanho do tanque sobre a velocidade de sedimentação

41 Sedimentação com interferência

Termos equivalentes Sedimentação em massa Sedimentação retardada

42 Sedimentação batelada tipo 1

Zonas de sedimentação t = 0 t1> 0 t2> t1 t3> t2 t4>> t3 B _B B _B A A A A D D D D

43 Sedimentação em batelada tipo 1

Zonas de sedimentação z t B A D AB BD AD 44 Sedimentação batelada tipo 2

Zonas de sedimentação t = 0 t1> 0 t2> t1 t3> t2 t5>> t4 B C A A D D t4> t3 C A D B A C B A D C D 45 Sedimentação em batelada tipo 2

Zonas de sedimentação z t AB CD AD D B A C BC AC 46 Efeito da concentração Definições ε= fração de vazios

= fração volumétrica de fluido

c= fração volumétrica de partículas = concentração da suspensão 1 = +c

ε

47 Efeito da concentração Qp Qf p f Q Q = p eff, p f eff, fA v A v = − cA v A v_f = _p −

ε

ε

ε

− − = p1 f v v 48 Efeito da concentração Sedimentação livre:

Sedimentação com interferência:

(

)

µ

ρ

ρ

18 2 f p t g x v = −

(

)

susp 2 susp p rel 18

µ

ρ

ρ

x g v = − vrel=vp−vf

49 Efeito da concentração

Medir os dados da suspensão Não muito interessante para fins de engenharia

Alternativa: parâmetros efetivos

Propriedades do fluido (livre de suspensão) Concentração de sólidos p f susp

ερ

ρ

ρ

= +c

_{( )}

ε

µ

µ

f = susp f(ε)= fator de correção 50 Efeito da concentração

( )

ε

ε

f v v v v_rel= _p− _f = _t

ε

ε

− − = p1 f v v

( )

ε

ε

f v vp= t 2 f(ε)= ? Válido para c≤10%

( )

ε

=

ε

2,5 f 51 Efeito da concentração 5 , 4 t p v

ε

v = Válido para c≤10% Generalizando: n v vp= t

ε

Expoente n: Depende de Re_p Efeito de parede Diversas correlações ou v_p=v_t

( )

1−c n 52 Correlações para n

Khan & Richardson (1989)

              − = − − 0,27 57 , 0 4 , 2 1 Ar 043 , 0 4 , 2 8 , 4 D x n n

(

)

2 3 f p f Ar

µ

ρ

ρ

ρ

− x g = Re_p≤2 ×105 53 Exercício Resolver o exercício 2.23

Para obter a velocidade de uma interface, efetuar o balanço de massa de partículas na interface:

X Y v_XY ( )

(

)

( )

(

)

(

p,X XY

) (

Y p,Y XY

)

X XY Y p, Y XY X p, X Y Y Y p, X X X p, Y p, X p, 1 1 v v c v v c v v A v v A v A v A M M − = − − − = − − = = ε ε ρ ρ X Y X p, X Y p, Y XY c c v c v c v − − = 54 Sedimentação contínua Espessamento/clarificação contínua Faixas de aplicação típicas:

Partículas de 0,5 mm até alguns µm Suspensões com 2% até 10% de sólidos Produz lodos com 20% até 50% de sólidos

Uso de agentes floculantes para melhorar a eficiência de separação

55 Sedimentação contínua Espessador/clarificador contínuo 56 Sedimentador contínuo 57 Sedimentador contínuo Alimentação Extravasante Lodo Projeto: Calcular a área plana para

uma dada vazão de alimentação

58 Sedimentador contínuo Vista superior Rastelo 59 Projeto

Área plana para uma dada vazão de alimentação

Altura de espessamento Balanço de massa de sólidos Balanço de massa de líquido

(

)

p p p p p p p p p 1 cQ cA A A M ρ υ ρ ε υ ρ υ ρ = = − = ′ =

( )

( )

f f f f f f f f f 1 1 Q c A c A A M − = − = = ′ = ρ υ ρ ε υ ρ υ ρ 60 Definições Alimentação Extravasante Lodo F, cF V, cv Qf Qc c L, cL 0

Qf: vazão de líquido ascendente na seção transversal Qc: vazão de suspensão descendente na seção transversal c: concentração de sólidos em uma seção transversal do

61 Balanços de massa

Balanço global de sólidos ⇒ Vazão de lodo

F, cF V, cv Qf Qc c L, cL V c L c F c_{F p L p V} p

ρ

ρ

ρ

= + F c c L L F = 0 62 Balanços de massa Balanço de sólidos V c cQ F c_{F p c p V} p

ρ

ρ

ρ

= + F c c Q F c= 0 F, cF V, cv Qf Qc c L, cL 63 Balanços de massa Balanço de líquido L Q Qc f f f f L fε ρε ρε ρ = + Qf=

( )

1−cQc−

(

1−cL

)

L 1 F, cF V, cv Qf Qc c L, cL 64 Equação de projeto v = v(c):

Velocidade ascensional de líquido Deve ser menor do que a velocidade de sedimentação       − = L F f 1 1 c c F c Q A Q v= f 65 Equação de projeto Valores de c: cF≤c≤cL v = v(c)

Encontrar o par (v, c) tal que a área A seja máxima (condição de projeto)

      − = L F 1 1 c c v F c A 66 Equação de projeto

Capacidade de sedimentação: F/A Condição de projeto: F/A = mínimo

      − = L F 1 1 1 c c v c A F

67 Ensaio Kynch z t z0 z0 68 Método de Kynch Determinação da velocidade z t z0 t z zi dt dz = =tan

θ

Inclinação θ 0 i − − = − = t z z dt dz v 69 Método de Kynch Determinação de c z0 cF z zi t = 0 t > 0 t > 0 0 F p p c Az M =ρ Mp=ρpcAzi i 0 F z z c c= c 70 Localizando o ponto de projeto

Localizar a concentração c* em que F/A = mín Aplicar à equação de projeto

a condição       − = L F 1 1 1 c c v c A F

(

/

)

₀ * = =c c dc A F d * 0 proj t z A F = 71 Localizando o ponto de projeto

O tempo t* corresponde a algum z* na curva Kynch       − = L * * F * 0 1 1 1 c c v c t z L F 0 * c c z z = 72 Método de Kynch Determinação de t* z t z0 t* z* L F 0 * c c z z = * 0 proj t z A F =

73 Exercício

Resolver o exercício 2.25

Projeto de um sedimentador contínuo Método Kynch

74 Como melhorar?

75 Área: lamelar vs. convencional

76 Sedimentador lamelar