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1. CONJUNTOS DOS NÚMEROS NATURAIS

Um conjunto é uma reunião de elementos que possuem as mesmas características. O conjunto dos números naturais é composto por todos os números pares e ímpares positivos.

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, ...} 1.1 Números Pares

Os números pares são todos os números provenientes do produto

2.

, ou seja, {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, ...}. 1.2 Números Ímpares

Os números ímpares são todos os números provenientes do produto

2.

+

1

, ou seja, {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, ...}. 1.3 Números Primos

Os números primos são todos os números que só podem ser divididos apenas por 1 e por ele mesmo, ou seja, os números primos têm sempre 2 divisores naturais. Isso exclui o número 1 de ser considerado primo. Os números primos são {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, ...}.

1.4 Fatoração de um Número Natural

Fatorar um número natural é escrevê-lo em produtos de números primos. Inicia-se com o menor número primo. Exemplos:

1.5 Múltiplos Naturais de um Número

Os múltiplos naturais de um número são todos os resultados da multiplicação do número pelo conjunto dos naturais. M (x) = x * N

Exemplo: M (3) = M (12) = M (16) =

Obs: O número zero é múltiplo natural de todos os números. 1.6 Mínimo Múltiplo Comum (MMC)

É o menor múltiplo entre dois ou mais números. Para encontrá-lo utiliza-se a divisão independente, ou seja, o número primo escolhido para efetuar a divisão deve ser é o menor possível, podendo dividir todos ao mesmo tempo ou não.

Exemplo:

18 144 3168

(2)

2 1.7 Divisores Naturais de um Número

Os divisores naturais de um número são todos os resultados naturas da divisão do número pelos seus antecessores. Logo os divisores naturais de um número são sempre menores ou igual a ele.

Exemplo 1: Quais são os divisores naturais de 12?

Até o número 12, temos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 e 12. Começando a divisão de trás para frente, temos: 12 12 =1 12 11 = 𝑛𝑛ã𝑜𝑜 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 12 10 = 𝑛𝑛ã𝑜𝑜 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 12 9 = 𝑛𝑛ã𝑜𝑜 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 12 8 = 𝑛𝑛ã𝑜𝑜 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 12 7 = 𝑛𝑛ã𝑜𝑜 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 12 6 =2 12 5 = 𝑛𝑛ã𝑜𝑜 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 12 4 =3 12 3 =4 12 2 =6 12 1 =12 12 0 = 𝑛𝑛ã𝑜𝑜 𝑡𝑡𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑡𝑡𝑡𝑡 Logo, os divisores naturais de 12 são: D (12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}

Para achar as divisores sem precisar dividir o número por todos os seus antecessores, pode-se usar alguns critérios de divisibilidade, como mostrado abaixo:

Por 2: Um número é divisível por 2 quando termina em 0, 2, 4, 6, ou 8, ou seja, quando ele é par. Exemplo: 14, 356, ...

Por 3: Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por 3. Exemplo: 171 é divisível por 3 porque 1 + 7 + 1 = 9 e 9 é múltiplo de 3.

Por 4: Um número é divisível por 4 quando os dois últimos algarismos for 0 ou formar um número divisível por 4. Exemplo: 500, 732, 812

Por 5: Um número é divisível por 5 quando termina em 0 ou 5. Exemplo: 780, 935

Por 6: Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3. Exemplo: 312, 732

Por 7: Um número é divisível por 7 quando multiplicamos seu último algarismo por 5, somamos ao restante dele e seu resultado continua múltiplo de 7.

Exemplo: 532, 259, 147

Por 9: Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por 9. Exemplo: 2.538, 7.560

Por 10: Um número é divisível por 10 quando termina em zero. Exemplo: 1.870, 540, 6.000

Exemplo 2: Encontre os divisores naturais de a) D (12) =

b) D (18) = c) D (36) =

(3)

3 1.8 Máximo Divisor Comum (MDC)

É o maior divisor simultâneo entre dois ou mais números. Para encontrá-lo utiliza-se a divisão simultânea, ou seja, o número primo escolhido para dividir os números deve ser aplicado a todos, sem exceção.

Exemplo:

- Usa-se MMC em problemas que buscam encontrar a repetição de eventos simultâneos.

Exemplo: Três navios fazem viagens entre dois portos. O primeiro a cada 4 dias, o segundo a cada 6 dias e o terceiro a cada 9 dias. Se esses navios partirem juntos, depois de quantos dias voltarão a sair juntos, novamente?

Exemplo: João possui menos de 290 cartões de colecionador. Se esses cartões forem organizados em grupos de 4 cartões, João perceberá que sobrarão 3. Se forem organizados em grupos de 5 ou de 7 cartões, também sobrarão 3 cartões. Quantos cartões tem João?

- Usa-se MDC em problemas que busca encontrar o maior tamanho possível de uma unidade e quantas unidades darão. Exemplo: Uma empresa de logística é composta de três áreas: administrativa, operacional e vendedores. A área administrativa é composta de 30 funcionários, a operacional de 48 e a de vendedores com 36 pessoas. Ao final do ano, a empresa realiza uma integração entre as três áreas, de modo que todos os funcionários participem ativamente. As equipes devem conter o mesmo número de funcionários com o maior número possível. Determine quantos funcionários devem participar de cada equipe e o número possível de equipes.

Exemplo: Uma professora deseja formar equipes com seus alunos do ensino médio para que eles desenvolvam um trabalho de pesquisa. Para isso, cada equipe será formada apenas por alunos de um mesmo ano, sendo que todas as equipes deverão ter o mesmo número de participantes. A tabela abaixo apresenta o total de alunos matriculados em cada ano na escola:

96 º 3 124 º 2 120 º 1 Alunos de Número Ano 12, 18, 36

(4)

4

Com base nesses dados, é CORRETO afirmar que o número total de equipes que serão formadas é:

ATENÇÃO!!!

Após fatorar dois ou mais números e conhecer todas as bases e expoentes que os compõe, é possível encontrar o MMC e o MDC desses números adotando o seguinte critério:

- Para o MMC: usamos todas a bases com os maiores expoentes. - Para o MDC: usamos todas a bases com os menores expoentes.

Exemplo: Encontre o MMC e o MDC entre 35, 50, 70 e 100, usando o critério acima.

1.9 Número de Divisores Naturais de um Número

É possível saber quantos divisores naturais tem um número apenas fatorando ele. Seja um número X cuja decomposição em números primos é 𝑝𝑝1𝛼𝛼1∙ 𝑝𝑝2𝛼𝛼2∙ … ∙ 𝑝𝑝𝑛𝑛𝛼𝛼𝑛𝑛. O número de divisores inteiros positivos do número X é calculado por meio

da expressão:

𝑛𝑛(𝑋𝑋) = (𝛼𝛼1+ 1) ∙ (𝛼𝛼2+ 1) ∙ … ∙ (𝛼𝛼𝑛𝑛+ 1)

Exemplo:

a) Quantos divisores naturais tem o número 18?

R: Se fatorarmos o número 18 encontramos 21.32, logo o número de divisores naturais de n (18) = (1+1).(2+1) = 2.3 = 6.

b) Quantos divisores naturais tem o número 504?

(5)

5

ATENÇÃO!!! Macete para encontrar todos os Divisores Naturais de um Número 1º - Fatore o número para conhecer todos os primos de sua composição;

2º - Saiba quantos divisores são;

3º - Escreva os divisores começando pelo número 1, multiplicando os números primos;

4º - Note que o penúltimo divisor é sempre o primeiro resultado da fatoração do número (foi descrito no 1º passo); 5º - O último divisor é o próprio número;

Exemplo:

a) D (819) = b) D (1512) =

ATENCÃO!!!

EXERCÍCIOS 01) Quais são os 6 primeiros múltiplos de:

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 7 f) 10

g) 11 h) 12 i) 15 j) 20 k) 100 l) 25

02) Calcule o M.M.C dos seguintes números:

a) 4, 6 b) 2, 4 c) 3, 9 d) 4, 10 e) 6, 12, 15

f) 6, 15, 18 g) 8, 12, 20 h) 9, 15, 27 i) 12, 16, 24 j) 12, 15, 21 k) 20, 25, 40 l) 16, 32, 48 m) 12, 32, 48 n) 15, 25, 40 o) 24, 30, 45 p) 25, 50 q) 32, 48, 64 r) 30, 45, 60 s) 6, 12, 18, 30 t) 35, 50, 70, 100 03) Determine todos os divisores naturais de:

a) 100 b) 250 c) 512 d) 20 e) 32 f) 155 g) 640 h) 34 i) 68 j) 460 04) Calcule o M.D.C. entre os seguintes números naturais:

a) 16, 18 b) 15, 20 c) 14, 21 d) 35, 45 e) 50, 60

f) 14, 28, 35 g) 24, 30, 32 h) 56, 64, 72 i) 56, 66, 76 j) 100, 108, 120

k) 125, 250 l) 128, 256 m) 81, 243 n) 250, 350, 400 o) 24, 48, 96, 144 p) 25, 150, 300 q) 40, 60, 80 r) 36, 84, 108 s) 18, 36, 48, 96

05) Decompondo 240 em fatores primos obtém-se 2𝑥𝑥∙ 3𝑦𝑦∙ 5𝑧𝑧. Determine o valor de x + y + z

06) Duas tábuas devem ser cortadas em pedaços de mesmo comprimento e tamanho maior possível. Se uma delas tem 196cm e a outra tem 140cm, determine a medida de cada pedaço e o número de pedaços obtidos após essa operação 07) Um colecionador possui um número de moedas antigas compreendido entre 150 e 200. Agrupando-as de 12 em 12, de 15 em 15 ou de 36 em 36, sempre sobram 10 moedas. Determine o número de moedas desse colecionador.

(6)

6

08) Se o m.d.c. (a, 120) = 24 e m.m.c. (a, 120) = 480, determine o valor do número a. 09) O número natural 8.5k tem 24 divisores positivos. O valor de k é:

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

10) Pedro tirou menos de uma centena de fotos da festa em comemoração ao seu aniversário e quer colocá-las todas num álbum de 20 páginas. Em cada página desse álbum cabem, no máximo, 10 fotos. Inicialmente, Pedro tentou colocar 6 fotos em cada página. Ao final, depois de preenchidas algumas páginas do álbum, ficou sobrando uma foto. Em nova tentativa, dispôs 7 fotos por página e ainda assim sobrou uma foto. Finalmente, Pedro conseguiu colocar todas as fotos, de modo que cada página contivesse o mesmo número de fotos. Quantas páginas do álbum Pedro preencheu?

a) 9 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20

11) Considere dois números inteiros, a e b, consecutivos e positivos. Qual das expressões abaixo corresponde necessariamente a um número par?

a) a + b b) 1 + ab c) 2 + a + b d) 2a + b e) 1 + a + b

12) O número de fitas de vídeo que Marcela possui está compreendido entre 100 e 150. Grupando-as de 12 em 12, de 15 em 15 ou de 20 em 20, sempre resta uma fita. A soma dos três algarismos do número total de fitas que ela possui é igual a:

a) 3 b) 4 c) 6 d) 8

13) Sejam os números A = 23 . 32 . 5 e B = 2 . 33 . 52. O MDC e o MMC entre A e B valem, respectivamente:

a) 2 . 32 . 5 e 23 . 33 . 52 b) 2 . 52 . 52 e 22 . 32 . 5 c) 2 . 3 . 5 e 23 . 33 . 52

d) 22 . 32 . 5 e 2 . 32 . 5 e) 23 . 32 . 52 e 2 . 33 . 52

14) Quando “Pinóquio” diz uma mentira, o comprimento do seu nariz aumenta 10cm e quando diz uma verdade, diminui 5cm. Após fazer as três afirmações sobre números naturais x, y e z quaisquer,

· se y.z é um múltiplo de x, então y ou z é múltiplo de x, · se x só é divisível por 1 e por x, então x é um número primo, · se y + z e y são múltiplos de x, então z é múltiplo de x, O comprimento do nariz de Pinóquio ficou:

01. aumentado de 30cm. 02. reduzido de 10cm. 03. com o mesmo comprimento que já tinha. 04. aumentado de 15cm. 05. reduzido de 15cm.

15) Uma praça retangular, de 110m de comprimento por 66m de largura, é contornada por fileiras de palmeiras igualmente espaçadas. A distância entre uma palmeira e a seguinte é a mesma e a maior possível. Se em cada vértice da praça existe uma palmeira, o número total de palmeiras contornando a praça é:

a) 16 b) 18 c) 22 d) 24

16) Dois relógios tocam uma música periodicamente, um deles a cada 60 segundos e o outro a cada 62 segundos. Se ambos tocaram (simultaneamente) às 10 horas, que horas estarão marcando os relógios quando voltarem a tocar juntos (simultaneamente) pela primeira vez após as 10 horas?

a) 10 horas e 31 minutos b) 11 horas e 02 minutos c) 13 horas e 30 minutos d) 17 horas 17) Seja N = {0,1,2,...} o conjunto dos números naturais e sejam n e m elementos de N. Pode-se dizer que: 01. se n for ímpar e m for par, m + n será ímpar;

02. se n e m forem ímpares, n + m será par; 04. se n2 é ímpar então n é ímpar;

08. se n2 é múltiplo de 9 então n também é;

16. se n é múltiplo de m e m ≠ 0, então o máximo divisor comum de n e m é igual a n;

32. se n é primo e m não é múltiplo de n, então o mínimo múltiplo comum de m e n é igual ao produto m.n 18) Entre os primeiros mil números inteiros positivos, quantos são divisíveis pelos números 2, 3, 4 e 5?

a)60 b)30 c)20 d)16 e)15 GABARITO 1) a) M(2) = 0, 2, 4, 6, 8 e 10. b) M(3) = 0, 3, 6, 9, 12 e 15. c) M(4) = 0, 4, 8, 12, 16 e 20. d) M(5) = 0, 5, 10, 15, 20 e 25 e) M(7) = 0, 7, 14, 21, 28 e 35. f) M(10) = 0, 10, 20, 30, 40 e 50. g) M(11) = 0, 11, 22, 33, 44 e 55. h) M(12) = 0, 12, 24, 36, 48 e 60.

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7 2) a) 12 b) 4 c) 9 d) 20 e) 60 f) 90 g) 120 h)135 i) 48 j) 420 k) 200 l)96 m) 96 n) 600 o) 360 p) 50 q) 192 r) 180 s) 180 t) 700 3) a) D(100) = {1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100} b) D(250) = {1,2, 5,10,25, 50,125, 250} c) D(512) = {1, 2, 4,8,16,32, 64, 128, 256, 512} d) D(20) = {1, 2, 4,5, 10, 20} e) D(32) = {1, 2,4,8,16,32} f) D(155) = {1,5, 31, 155} g) D(640) = {1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 32, 40, 64, 80, 128, 160, 320, 640} h) D(34) = {1, 2, 17,34} i) D(68) = {1, 2, 4, 17, 34, 68} j) D(460) = {1, 2, 4, 5, 10, 20, 23, 46, 92, 115, 230, 460} 4) a) 2 b) 5 c) 7 d) 5 e) 10 f) 7 g) 2 h) 8 i) 2 j) 4 k) 125 l) 128 m) 81 n) 50 o) 24 p) 25 q) 20 r) 12 s) 6 5) 6 6) 12 pedaços de 28 cm 7) 190 8) 96 9) C 10) B 11) E 12) B 13) A 14) 04 15) A 16) A 17) VVVFFV 18) D

Referências

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