DISCRETIZAÇÃO E CONTROLE DE SISTEMAS POLITÓPICOS COM ATRASOS INDUZIDOS PELA REDE

(1)

MÁRCIOF. BRAGA∗, CECÍLIAF. MORAIS∗, EDUARDOS. TOGNETTI†,

RICARDOC. L. F. OLIVEIRA∗, PEDROL. D. PERES∗ ∗_{Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação,}

Universidade Estadual de Campinas – UNICAMP, 13083-852, Campinas, SP, Brasil.

†_{Departamento de Engenharia Elétrica, Universidade de Brasília – UnB, 70910-900, Brasília, DF, Brasil.}

Emails: marciofb@dt.fee.unicamp.br, cfmorais@dt.fee.unicamp.br, estognetti@ene.unb.br, ricfow@dt.fee.unicamp.br, peres@dt.fee.unicamp.br

Abstract— This paper investigates the problem of constant sampling rate discretization and networked control of uncertain time-invariant continuous-time linear systems in polytopic domains. To circumvent the difficulty of dealing with the exponential of uncertain matrices, a discrete-time model is obtained from a Taylor series expansion of degree ℓ applied to the original system. The resulting discrete-time model is composed of homogeneous polynomial matrices with parameters lying in the unit simplex plus an additive norm bounded term representing the discretization residual error. The original continuous-time system is controlled through a communication network that introduces a time-delay greater than the sampling period in the process. Linear matrix inequality relaxations that include a scalar parameter search are proposed for the design of a digital robust state feedback controller that guarantees the closed-loop stability of the networked control system. Numerical experiments are presented to illustrate the versatility of the proposed method, which can be applied in a more general class of networked control problems than the existing approaches in the literature.

Keywords— Discretized Linear Systems; Networked Control Systems; Taylor Series Expansion; State Feedback Control; Poly-topic Uncertainties; Linear Matrix Inequalities.

Resumo— Neste artigo, investiga-se o problema de discretização com período de amostragem constante e controle por rede de sistemas politópicos lineares contínuos invariantes no tempo. Com o intuito de evitar a dificuldade em manipular exponenciais de matrizes incertas, utiliza-se um modelo discreto no tempo obtido por meio de expansões em série de Taylor de grau ℓ. O modelo resultante é descrito em termos de matrizes polinomiais homogêneas com parâmetros pertencentes ao simplex unitário mais um termo aditivo limitado em norma que representa o erro residual de discretização. O sistema contínuo original é controlado por meio de um canal de comunicação que introduz no processo um atraso maior do que o período de amostragem. Adicionalmente, propõem-se relaxações em termos de desigualdades matriciais lineares que incluem uma busca no parâmetro escalar para o projeto de um controlador digital robusto por realimentação de estados que garante a estabilidade em malha fechada do sistema controlado pela rede. Apresentam-se também experimentos numéricos que ilustram a versatilidade do método proposto, que pode ser aplicado a uma classe mais geral de problemas de controle por rede do que as abordagens existentes na literatura.

Palavras-chave— Sistemas Lineares Discretizados; Sistemas Controlados por Rede; Expansão em Série de Taylor; Controle por Realimentação de Estados; Incertezas Politópicas; Desigualdades Matriciais Lineares.

1 Introdução

Nas últimas décadas, verificou-se que o empre-go de controladores digitais em diversos processos tem sido estimulado por seus numerosos benefícios e pelo avanço dos computadores e da tecnologia di-gital (Ogata, 1995). Dentre suas principais vantagens pode-se destacar a flexibilidade, a simplicidade de pro-gramação, o baixo custo, a facilidade de implemen-tação, a baixa sensibilidade aos ruídos, ao desgaste de componentes e às mudanças no ambiente. O de-senvolvimento tecnológico também tem permitido o uso de canais de comunicação para controle em tempo real de sistemas dinâmicos (Zhang et al., 2001). Neste sentido, uma boa alternativa para a implementação de controle distribuído e sistemas interconectados é a uti-lização da arquitetura de sistemas controlados por rede (NCS, do inglês networked control systems), que per-mite a troca de informações entre os componentes do sistema de controle. Como principais vantagens de NCS, pode-se citar a redução do cabeamento, o uso de dispositivos autoconfiguráveis (plug and play), o au-mento na agilidade, facilidade de manutenção e diag-nose dos sistemas. Entretanto, existem algumas

des-vantagens que podem restringir o emprego desta ar-quitetura, como perdas ou transmissão simultânea de pacotes de informação, limitação da banda do canal de comunicação e atrasos induzidos pela rede. Na prá-tica, os atrasos podem ser, inclusive, maiores do que o período de amostragem. Este fator ocorre normal-mente nos casos em que o tempo de processamento da lei de controle é significativo, em que um único processador (Reimann et al., 2012) ou o barramento de comunicação (Cao et al., 2013) é compartilhado por diversas plantas, ou ainda quando implementa-se o controle por redes de comunicação sem fio (Anand et al., 2009) ou via internet (Guinaldo et al., 2011). Sendo assim, algumas estratégias da literatura op-tam por descartar pacotes com atrasos de transporte maiores que o tempo de amostragem (Chamaken e Litz, 2010), devido à dificuldade de tratar esse caso. Contudo, deve-se ressaltar que, quando não conside-rados no projeto dos controladores, os atrasos indu-zidos pela rede podem levar à degradação de desem-penho ou mesmo à instabilidade dos sistemas (Lian et al., 2001; Zhang et al., 2001; Borges et al., 2010).

(2)

um controlador digital que estabilize o modelo con-tínuo da planta original (veja Hara et al. (1996) para uma discussão mais detalhada dos métodos de obten-ção de controladores). Geralmente, o primeiro passo do projeto de um controlador digital é obter um mo-delo discreto da planta, o que envolve discretizar as equações contínuas no tempo e — quanto mais precisa for a representação — maior garantia existe de que o sistema híbrido (controlador digital e planta contínua) seja estabilizável. Porém, a maioria das abordagens disponíveis na literatura propõe técnicas de discretiza-ção que tratam apenas de sistemas precisamente co-nhecidos, ou seja, sistemas que não apresentam ne-nhum tipo de incerteza em sua formulação (Åström e Wittenmark, 1984; Ogata, 1995; Souza et al., 2013). Contudo, qualquer estratégia realista de modelagem ou projeto de controladores para sistemas dinâmicos deve levar em conta a presença de incertezas, que po-dem ocorrer, por exemplo, devido a perturbações ex-ternas, ruídos associados com as informações coleta-das ou medições, precisão de sensores e atuadores, ou ainda podem estar relacionadas com dinâmicas ocul-tas não modeladas (Ackermann, 1993). Diferente-mente do caso precisaDiferente-mente conhecido, a discretiza-ção exata de sistemas incertos ainda é um problema em aberto devido à dificuldade em manipular expo-nenciais de matrizes incertas. Vários métodos na lite-ratura lidam com o problema de discretização de sis-temas incertos por meio de aproximações numéricas, como em Su et al. (1998). Outros trabalhos (Kothare et al., 1996; Lee e Won, 2006; Wada et al., 2006) uti-lizam uma aproximação de primeira ordem da série de Taylor, mas isto implica que, em geral, o modelo torna-se mais impreciso com o aumento do tempo de amostragem.

Embora no caso precisamente conhecido o con-trolador digital projetado geralmente estabilize o sis-tema contínuo original, essa afirmação nem sempre é verdadeira no caso incerto. Intuitivamente, pode-se dizer que quanto mais impreciso for o modelo, mais difícil será projetar um controlador digital que estabi-lize a planta contínua. Portanto, o primeiro objetivo deste artigo é propor uma técnica mais precisa de dis-cretização de sistemas contínuos incertos com atrasos de comunicação, entre a planta e o controlador, indu-zidos pela rede, maiores do que o tempo de amostra-gem. Tal modelagem pode ser alcançada descrevendo as exponenciais de matrizes incertas por meio de ex-pansões em série de Taylor e utilizando graus maiores do que um na aproximação. Como segunda contri-buição, formulam-se condições de síntese de contro-ladores em termos de desigualdades matriciais linea-res (LMIs, do inglês linear matrix inequalities (Boyd et al., 1994)) com um parâmetro escalar e funções de Lyapunov com dependência polinomial de grau arbi-trário (Oliveira e Peres, 2007) nos parâmetros incertos, buscando reduzir o conservadorismo dos resultados.

A organização deste artigo é a seguinte: nas Se-ções 2 e 3, introduzem-se a notação, algumas defi-nições necessárias e a técnica de discretização;

en-quanto que na Seção 4, apresentam-se as condições para projeto de controladores por realimentação de es-tados para NCS considerando atraso de transporte no canal de comunicação; os exemplos numéricos, im-plementados em Matlab, versão 7.10 (R2010a) usando Yalmip (Löfberg, 2004) e SeDuMi (Sturm, 1999), são apresentados na Seção 5; finalmente, conclui-se o ar-tigo na Seção 6.

2 Preliminares

Considere o sistema linear incerto contínuo no tempo controlado por um canal de comunicação, para t ≥ 0, x(0) = 0, u(V ) = 0, V ∈ [−τ,0)

˙x(t) = E(α)x(t) + F(α_{)u(t −}τ) (1) em queτ_{representa o atraso induzido pela rede, x(t) ∈} Rnxé o vetor de estados e u(t) ∈ Rnu é o sinal de

con-trole. As matrizes E(α_{) ∈ R}nx×nx e F(_α_{) ∈ R}nx×nu

são incertas e pertencem a um domínio politópico, ou seja, podem ser escritas como a combinação convexa de N vértices conhecidos (E,F)(α) = N

∑

i=1 α_i(Ei,F_i) (2) eα = (α₁, . . . ,α_N) é um vetor de parâmetros invari-antes no tempo que pertence ao simplex unitário, dado por

Λ_N₌nζ_{∈ R}N_:

_∑

N i=1

ζ_i_{= 1,}ζ_i_{≥ 0, i = 1, . . . ,N}o. Assume-se queτ seja constante, conhecido e maior do que o período de amostragem T . Assim sendo, o objetivo é obter um modelo discreto equivalente para o sistema (1), tão acurado quanto possível, para a síntese de controladores digitais que leiam o estado x(t) nos instantes de amostragem kT , k = 1,2,..., e provejam um sinal de controle u(t). Seguindo a mesma linha de Åström e Wittenmark (1984), o procedimento de discretização fornece o seguinte modelo discreto

x((k + 1)T ) = A(α)x(kT ) + B(α_{)u ((k −}θ+ 1)T ) + Bd(α)u ((k −θ)T ) (3)

sendo A(α), B(α) e Bd(α), comα ∈ ΛN, matrizes

incertas dadas por A(α) = eE(α)T B(α) = Z T −τ∗ 0 e E(α)s_ds F(α) Bd(α) = eE(α)τ ∗Z τ∗ 0 e E(α)s_ds_F(_α₎ (4)

e parâmetrosθ_{∈ N (número de entradas atrasadas que} serão utilizadas na lei de controle) eτ∗_{(menor atraso}

que pode ser considerado dentro do intervalo de amos-tragem) obedecendo às seguintes relações

τ= (θ_{− 1) T +}τ∗_, _{0 <}_τ∗

(3)

Para o desenvolvimento das condições LMI de estabilizabilidade, utiliza-se o seguinte lema (Boyd et al., 1994).

Lema 1 Dado um escalarλ>0 e matrizes M e N de dimensões compatíveis, então

MN+ N′_M′

≤λMM′+λ−1N′N.

3 Discretização de Sistemas Incertos com Atraso Induzido pela Rede Maior do que a Taxa de

Amostragem

Por meio da expansão em série de Taylor, propõe-se um novo procedimento de discretização para o sis-tema (1) com atraso induzido pela rede maior do que o período de amostragem. O sistema discreto resul-tante (3) possui matrizes no espaço de estados que são polinômios homogêneos de grau ℓ e um termo limi-tado em norma que representa o erro proveniente do procedimento de discretização e depende do grau ℓ da expansão da série, do tempo de amostragem e dos parâmetros incertosα. Portanto, as matrizes do sis-tema (3) podem ser escritas como

A(α) = Aℓ(α) + ∆Aℓ(α), B(α) = Bℓ(α) + ∆Bℓ(α), Bd(α) = Bd ℓ(α) + ∆Bd ℓ(α) (6) com Aℓ(α) = ℓ

∑

j=0 E(α)j j! T j ₍₇₎ Bℓ(α) = ℓ

∑

j=1 E(α₎j−1 j! T j_F₍_α₎ ₍₈₎ Bd ℓ(α)= ℓ

∑

j=0 E(α)j j! T j ! _ℓ

∑

j=1 E(α)j−1 j! τ∗ jF(α) ! (9) e ∆Aℓ(α) = e E(α)T − Aℓ(α) ∆Bℓ(α) = Z T 0 e E(α)s_ds_F₍_α_{) − B} ℓ(α) (10) ∆Bd ℓ(α) = eE(α)T Z τ∗ 0e E(α)s_ds F(α_{) − B}_{d ℓ}(α) em que ∆Aℓ(α), ∆Bℓ(α) e ∆B_{d ℓ}(α) são os resíduos da

expansão em série de Taylor de ordem ℓ e T = T −τ∗.

Como, no caso matricial, os produtos em séries multinomiais são não comutativos, tem-se

E(α)q₌

_∑

N i=1 α_iEi !q =

∑

p∈P(q) q

∏

i=1 α_p iEpi =

∑

p∈P(q) α_p₁Ep1· · ·αpqEpq =

∑

p∈P(q) α_pEp, E_p= E_p 1· · · Epq =

∑

k∈K (q) αk

_∑

p∈R(k) Ep (11) em que,αk₌_αk1 1 α2k2· · ·αNkN, k = (k1k2· · · kN),αp= (α_p₁,α_p 2, . . . ,αpq), p = (p1p2· · · pq), K_(q)_,n_k_{= (k}₁_{· · · k}_N_{) ∈ N}N_: N

∑

j=1 kj= q, kj≥ 0 o , P_{(q) é o conjunto de q-uplas obtidas como todas as} possíveis combinações de inteiros não negativos pi,

i= 1, . . . , q, tais que pi∈ {1, . . . ,N}, isto é,

P_(q)_,n_{p ∈ N}q: p_i_{∈ {1, . . . ,N}, i = 1, . . . , q}o e R(k), k ∈ K (q), é o subconjunto de todas as q-uplas p ∈ P(q) tal que o elemento j de p tem multiplicidade kj, para j = 1,...,N, i.e.,

R_(k)_,n_{p ∈ N}q_{: m}_p_{( j) = k}_j, j= 1, . . . , N o sendo que mp( j) denota a multiplicidade do elemento

jem p.

Por definição, para N-uplas k e k′_{, tem-se que}

k ≥ k′_{se k}

i≥ k′i, i = 1,...,N. Operações de soma k+k′

e subtração k − k′_{(quando k}′

≤ k) são definidas com-ponente a comcom-ponente. Considere ainda a N-upla ei

definida como um vetor unitário de N elementos com a i-ésima componente igual a 1.

Usando as definições previamente apresentadas, (7) pode ser reescrita como

Aℓ(α) = I + T E(α) + T2 2 E(α) 2 + · · · +T ℓ ℓ!E( α₎ℓ = ℓ

∑

j=0 Tj j! N

∑

i=1 α_i !ℓ_{− j} E(α)j =

∑

k∈K (ℓ) αk ℓ

∑

j=0 Tj j! _{ˆk∈K (ℓ− j)}

∑

kˆk

∑

p∈R(k−ˆk) (ℓ − j)! ˆk! Ep ,

∑

k∈K (ℓ) αk_A k, (12) a matriz (8) como Bℓ(α) = T F(α) + · · · + Tℓ ℓ!E( α₎ℓ₋₁ F(α₎ = ℓ

∑

j=1 Tj j! N

∑

i=1 α_i !ℓ_{− j} E(α)j−1_F(_α₎ =

∑

k∈K (ℓ) αk ℓ

∑

j=1 Tj j! _{ˆk∈K (ℓ− j)}

∑

kˆk

∑

i∈{1,...,N} ki−ˆki≻0

∑

p∈R(k−ˆk−ei) (ℓ − j)! ˆk! EpFi ,

∑

k∈K (ℓ) αk_B k (13)

e, finalmente, reescreve-se (9) como Bd ℓ(α) = I + TE(α) + . . . +T ℓ ℓ!E( α)ℓ × τ∗F(α) + . . . + τ∗ℓ ℓ! E( α)ℓ₋₁ F(α) ! = ℓ

∑

s=0 ℓ

∑

q=1 N

∑

i=1 α_i !2ℓ−s−q τ∗q s!q!TsE(α)s+q−1F(α)

(4)

=

∑

k∈K (2ℓ) αk ℓ

∑

s=0 ℓ

∑

q=1 τ∗q s! q!Ts ×

∑

ˆk∈K (2ℓ−s−q) kˆk

∑

i∈{1,...,N} k−ˆkei

∑

˜k∈K (s+q) k−ˆk˜k p∈R(˜k−ei) (2 ℓ − s − q)! ˆk! EpFi ! ,

∑

k∈K (2ℓ) αk_B d k, (14)

em que k! = k1!k2! ···kN! e Ak, Bk e Bd k são os

coe-ficientes matriciais do sistema polinomial discretizado Aℓ(α), Bℓ(α) e Bd ℓ(α).

4 Estabilização

Nesta seção, propõe-se uma nova condição LMI de síntese de controladores para sistemas discretos de-pendentes dos parâmetros de forma polinomial com uma incerteza aditiva limitada em norma.

Neste ínterim, considere que o sistema (1) seja amostrado com um período T <τ, produzindo o se-guinte modelo discreto aumentado, para k ∈ N,

z (k + 1)T = A(α)z kT + Bv kT (15) em que A(α_{) = A}ℓ(α) + ∆Aℓ(α), v kT = u kT , z kT) =        x kT u (k −θ)T .. . u (k − 2)T u (k − 1)T        , B =        0 0 .. . 0 I        , Aℓ(α) =        Aℓ(α) Bd ℓ(α) Bℓ(α) · · · 0 0 0 I _{· · ·} 0 .. . ... ... . .. ... 0 0 0 _{· · ·} I 0 0 0 _{· · ·} 0        , ∆Aℓ(α) =        ∆Aℓ(α) ∆Bd ℓ(α) ∆Bℓ(α) · · · 0 0 0 0 _{· · ·} 0 .. . ... ... . .. ... 0 0 0 _{· · ·} 0 0 0 0 _{· · ·} 0        eθdado por (5).

Nestas circunstâncias, são necessáriasθnu

variá-veis de estado extras, portanto o vetor de estados z(kT ) é composto do estado atual x(kT ) e das últimas θ entradas de controle. Além disso, o termo adicional ∆Aℓ(α) representa o erro residual de discretização e

pode ser limitado por uma constante, k∆Aℓ(α)k ≤δ,

sendo definido como δ = sup

α∈ΛN

k∆Aℓ(α)k. (16)

Uma estimativa para o limitanteδ pode ser calculada, por exemplo, realizando uma busca em uma malha fina de valores deα_{∈ Λ}_N. O custo computacional cresce

com o aumento do número de vértices do sistema con-tínuo original (dimensão deα) e dos valores testados na malha, contudo esse procedimento é feito off-line.

Como os elementos Aℓ(α), Bℓ(α) e B_{d ℓ}(α), que

compõem a matriz Aℓ(α), possuem graus diferentes

emα, é necessário realizar um procedimento de ho-mogeneização, como mostrado a seguir.

ˆA(α) =

∑

k∈K (2ℓ) αk        A11 Bd k A13 · · · 0 0 0 I · · · 0 .. . ... ... . .. ... 0 0 0 · · · I 0 0 0 _{· · ·} 0        =

∑

k∈K (2ℓ) αk Ak, (17) com A11=

∑

˜k∈K (ℓ) k≥˜k ℓ! ˜k!Ak−˜k, A13=

∑

˜k∈K (ℓ) k≥˜k ℓ! ˜k!Bk−˜k I =2 ℓ!_k! I. Definindo a lei de controle

u kT = Kz kT = Kx Kθ · · · K1 z kT (18)

pode-se enunciar o seguinte teorema para a estabiliza-ção dos sistemas (15), (3) e, consequentemente, de (1). Teorema 1 Se existirem matrizes simétricas Wk, k ∈

K_N_{(g), matrizes G e Z de dimensões compatíveis, um} grau de relaxação de Pólya d, uma variável escalarλ e um dado parâmetro escalarξ _{∈ (−1, 1), tais que as} seguintes LMIs sejam verificadas

Sk=

∑

˜k∈K (d) k≥˜k d! ˜k!Wk−˜k>0, ∀k ∈ K (g + d) (19) Mk+

∑

ˆk∈K (w−h) k≥ˆk M_kˆk+

_∑

˘k∈K (w−g) k≥˘k M_k˘k<0, ∀k ∈ K (w) (20) em que1 Mk= w! k!   λ δ2I+ξ_{(BZ + Z}′_B′₎ ⋆ ⋆ −ξG+ Z′_B′ _{−G − G}′ ⋆ ξG G ₋λI   , M_kˆk=(w − h)! ˆk!    ξ_A k−ˆkG+ G′¯A′k−ˆk ⋆ ⋆ G′_A′ k−ˆk 0 ⋆ 0 0 0   , M_k˘k= diag −W_k−˘k, W k−˘k, 0, 0

com Ak sendo o coeficiente matricial de ˆA(α) com

grau de aproximação ℓ ∈ N, w = max {g + d, 2ℓ + d} e δ dado por (16), então a lei de controle por re-alimentação de estados(18) com K = ZG−1

estabi-liza robustamente o sistema(15), (3) e, consequente-mente,(1).

(5)

Prova: Primeiro, note que (α₁_{+ · · · +}α_N)d= 1 para qualquer d ∈ N. Então, a matriz W(α) pode ser rees-crita como N

∑

i=1 α_i !d W(α) =

∑

k∈K (g+d) αk_S k. (21) Portanto, se Sk>0, k ∈ K (g+d), então, W(α) > 0 se verifica ∀α_{∈ Λ. Agora, definindo A}_{m f}₍α_{) = A}ℓ(α) +

BZG−1_{e escolhendo} Q= diag −W (α) +λ δ2I, W(α_{), −}λI, U=   Am f(α) −I I   ′ , N_U=   I 0 Am f(α)′ I 0 I   , V =   ξI I 0   ′ , N_V=   I 0 −ξI 0 0 I   ,

em que NU e NV denotam bases arbitrárias do espaço

nulo de U e V respectivamente, tem-se que

Q+U′_GV_+V′_G′_{U <}₀ ₍₂₂₎

que é (20) multiplicada porαk_{, somada para todo k ∈}

K_{(w). Essas condições são equivalentes, pelo Lema} da Projeção (Boyd et al., 1994; Gahinet e Apkarian, 1994), a N′ VQNV= diag ξ2_{− 1} W (α) +λ δ2_{I, −}λI<0 (23) que permite inferir os limitantes para o parâmetro escalar ξ, pois do termo (1,1) de (23) tem-se que ξ2_{− 1} W (α) >λ δ2Ie como W (α) > 0, entãoξ _∈ (−1,1). Empregando a segunda condição do Lema da Projeção, tem-se   W(α_{) −}λ δ2I ⋆ ⋆ W(α)Am f(α)′ W(α) ⋆ 0 W(α) λI   >0 (24) que foi obtida de N′

UQNU <0 e a utilização do com-plemento de Schur no elemento (1,1). Se (24) for ve-rificada, então a seguinte condição também o é

W(α) ⋆ W(α)Am f(α)′ W(α) −λ _δ I 0 _δ I 0 ′ −λ−1 ₀ −W (α) ₀ −W (α) ′ >0. (25) Note que (25) foi obtida de (24) com o emprego do complemento de Schur. Em seguida, utilizando o Lema 1 e sabendo que ∆Aℓ(α)∆Aℓ(α)′<δ

2_I, final-mente, obtém-se W(α) ⋆ W(α_{) (A}ℓ(α) + ∆Aℓ(α) + BK)′ W(α) >0 (26) que certifica a estabilidade do sistema (15) em malha fechada. Embora a estabilizabilidade de um sistema

discretizado incerto, não implique, no caso geral, na estabilizabilidade do sistema contínuo incerto origi-nal, na abordagem proposta a lei de controle de rea-limentação de estados (18) garante a estabilidade do sistema contínuo incerto (1) em malha fechada, se o erro de aproximação do procedimento de discretiza-ção for levado em consideradiscretiza-ção, como mostrado no

Apêndice A. 2

Note queξ_{∈ (−1,1) representa um grau de} liber-dade a ser explorado na busca de uma solução factível. Neste caso, pode-se realizar uma busca linear emξ, ou simplesmente, testar um conjunto de valores.

Observação 1 Devido à estrutura imposta às matrizes A(α_{) e B(}α_{) de (15), as condições do Teorema 1 não} podem ser diretamente aplicadas ao caso em queτ< T. Duas possíveis soluções seriam: (a) reescrever o sistema (15) com v kT = u (k + 1)T , A(α) =   A(α_{) B(}α₎ Bd(α) 0 0 0 0 I 0  , B =   0 I 0   , (27) de forma que a lei de controle seja u(kT ) = K_{x((k − 1)T )}′ _u_{((k − 1)T )}′ _u_{((k − 2)T )}′′ _e

uti-lizar o Teorema 1 para a obtenção do controlador K; (b) reescrever o sistema (15) com v kT = u kT ,

A(α) =A(₀α) Bd(₀α) , B =B( α) I , (28) e aplicar as condições do Teorema 1 de Braga et al. (2013) tal que a lei de controle seja u(kT ) = Kx(kT )′ _u_{((k − 1)T )}′′_.

5 Experimentos Numéricos 5.1 Exemplo 1

Considere o sistema incerto contínuo massa-mola-amortecedor, com quatro vértices, inspirado no modelo apresentado em Iwasaki (1996)

˙x(t) = E (k1,k₂) x(t) + Fu(t −τ) (29) em que E(k1,k₂) =        0 0 1 0 0 0 0 1 −k₂ k₂ −b₂ b₂ k 3 − k 3 b 3 − b 3        , F=      0 0 1 2 0      , k ∈ [3, 6] e b ∈ [1, 2].

O objetivo neste exemplo é projetar um controla-dor digital robusto por realimentação de estados que assegure a estabilidade do sistema contínuo incerto, usando um período de amostragem T = 0.5s com um atraso induzido pela redeτ= 1.1s.

Neste ponto, faz-se necessário destacar o im-portante papel desempenhado pelo limitante do erro

(6)

de discretização. Para pequenos graus da aproxima-ção de Taylor, os valores deδ são elevados (δℓ=1=

1.2391,δℓ=2 = 0.4002,δℓ=3 = 0.1493) e a condição

de síntese do Teorema 1 não provê um ganho estabili-zante. Por outro lado, com o aumento de ℓ, o erro de discretização reduz-se e o Teorema 1 provê uma solu-ção factível. Por exemplo, aplicando o procedimento de discretização com ℓ = 4 obtém-se δ = 0.0223 e, em seguida, utilizando o Teorema 1 com ℓ = 4, g = 1, d= 0 eξ = 0 produz-se o seguinte controlador

K= − [0.367 0.652 1.956 2.976 0.097 0.457 0.413] que garante a estabilidade do sistema contínuo. Na Fi-gura 5.1, apresentam-se as respostas temporais do sis-tema em malha fechada paraα = (0.2, 0.3, 0.4, 0.1) e uma condição inicial x0= [−4 1 2 − 3]′ usando o

controlador projetado.

Como discutido, quando o atraso induzido pela rede não é considerado, o sistema pode ser levado à instabilidade. Para ilustrar este fato, considere que o controlador digital seja obtido pelo Teorema 1 de Braga et al. (2013), com T = 0.5s, ℓ = 4, g = 1, d= 0, que não leva em conta o atrasoτ, embora tam-bém garanta a estabilidade do sistema contínuo incerto em malha fechada para sistemas sem atraso. Neste caso, ao aplicar o controlador, o sistema (29) torna-se instável, como pode torna-ser obtorna-servado pelas trajetórias dos estados apresentadas na Figura 5.1, simuladas com os mesmos valores deαe x0utilizados anteriormente.

5.2 Exemplo 2

Considere o sistema politópico contínuo (1), com um atraso induzido pela rede igual aτ= 0.23s, cujos vértices das matrizes dos sistema são

E1= _{0.0 1.0} −5.0 2.0 , F₁= _1.0 2.0 , E2= − a 1.0 −1.0 0.5 , F₂= −b 1.0 , (30)

para constantes a e b dadas.

O sistema é amostrado com um período T = 0.10s utilizando aproximações de 2a_{a 4}a _{da expansão em}

série de Taylor, ou seja, foram aplicados ℓ = 2,3,4 em (12)-(14). O objetivo desse exemplo é mostrar que com o aumento do grau ℓ combinado com uma busca linear no parâmetro escalarξ _{∈ (−1,1) no} Teo-rema 1, o conservadorismo dos resultados, em termos da estabilizabilidade para faixas maiores dos parâme-tros (a,b), pode ser reduzido.

No primeiro teste, utilizou-se o Teorema 1, com g= 1, d = 0 eξ _{= 0. Percebe-se ao analisar a} Fi-gura 5.2 que pode-se estabilizar um conjunto maior de sistemas contínuos aumentando o grau da aproxima-ção (ℓ). No segundo caso, para um grau de discretiza-ção fixo (ℓ = 3), g = 1 e d = 0, 19 valores igualmente espaçados no intervalo [−0.9, 0.9] foram testados para o parâmetro escalar. Na Figura 5.2, demonstram-se as vantagens de empregar o parâmetro escalar. Como pode ser visto, uma maior gama de valores de a e b

0 5 10 15 20 25 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 t[s] x(t) (a) 0 5 10 15 20 25 −60 −50 −40 −30 −20 −10 0 10 20 30 40 t[s] x(t) (b)

Figura 1: Trajetórias dos estados do sistema (29) usando T = 0.5s, τ= 1.1s, α = (0.2, 0.3, 0.4, 0.1), x0= [−4 1 2 − 3]′, ℓ = 4, g = 1, d = 0: (a) com

ga-nho de realimentação fornecido pelo Teorema 1 com δ = 0.0223; (b) com o controlador obtido pelo Te-orema 1 de Braga et al. (2013) comδ_A= 0.0223 e δ_B= 0.0015.

pode ser estabilizada ao preço do aumento do esforço computacional, pois necessita-se testar valores distin-tos deξ para um grau ℓ fixo.

Maiores domínios para os parâmetros a e b podem ser obtidos aumentando os graus parciais das funções de Lyapunov no Teorema 1. Por exemplo, fixando b= 0, ℓ = 2,ξ = 0, d = 0 e g = 0, a região de esta-bilidade para a é [2.5, 4.5]. Entretanto, aumentando o grau da função de Lyapunov para g = 1, o intervalo de acompreende os valores [1.5, 5.0] (veja Figura 5.2).

6 Conclusões

Neste artigo, abordou-se o problema de síntese de controladores robustos digitais para NCSs no qual foi proposto um novo modelo discretizado que introduz a influência do atraso induzido pela rede, sendo esse maior do que o período de amostragem. A utiliza-ção desta técnica provê um sistema discreto incerto

(7)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 0 2 4 6 8 10 12 ℓ= 2 ℓ= 3 ℓ= 4 a b (a) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 a b (b)

Figura 2: Região de estabilidade para o Exemplo 5.2 provida pelo Teorema 1 com g = 1, d = 0 e: (a)ξ= 0 com diferentes graus de aproximação (ℓ) da série de Taylor (os graus maiores também estabilizam os me-nores); (b) ℓ = 3. Primeiro caso:ξ = 0 ( ); Segundo caso:ξ _{∈ [−0.9, 0.9] (} eH).

descrito por matrizes com dependência polinomial nos parâmetros incertos que pertencem ao simplex unitá-rio e termos aditivos limitados em norma que repre-sentam o erro residual de discretização. Quando o grau da aproximação é apropriado, o erro da repre-sentação discreta é reduzido e, consequentemente, o modelo reproduz acuradamente o comportamento di-nâmico do sistema contínuo. Além disso, as condições LMIs propostas para síntese de controladores, base-adas em funções de Lyapunov dependentes de parâ-metros e na busca de um parâmetro escalar, permitem projetar um controlador robusto que garante a estabili-dade em malha fechada do NCS. Os exemplos numéri-cos mostraram que o controlador digital projetado pelo método proposto, de fato, estabiliza o sistema contí-nuo original. Uma das principais vantagens da técnica proposta é garantir a estabilidade teórica do sistema contínuo em malha fechada sem a restrição da escolha do período de amostragem em função do atraso indu-zido pela rede. Dessa forma, o projetista pode levar em consideração apenas questões relacionadas com a

limitação da banda de comunicação.

Como trabalho futuro, os autores estão investi-gando condições de projeto de controladores robustos para sistemas contínuos incertos com atrasos varian-tes no tempo, que modelam melhor o que ocorre na prática em NCS.

Agradecimentos

Às agências FAPESP (Proc. 2011/08312-6), CA-PES, CNPq e FAPDF.

Referências

Ackermann, J. (1993). Robust Control: Systems with Uncertain Parameters, Springer Verlag, London, UK.

Anand, D., Moyne, J. R. e Tilbury, D. (2009). Perfor-mance evaluation of wireless networks for fac-tory automation applications, Proc. IEEE CASE 2009, Bangalore, India, pp. 340–346.

Åström, K. J. e Wittenmark, B. (1984). Computer Controlled Systems: Theory and Design, Pren-tice Hall Inc., Englewood Cliffs, NJ.

Borges, R. A., Oliveira, R. C. L. F., Abdallah, C. T. e Peres, P. L. D. (2010). Robust H∞networked

control for systems with uncertain sampling ra-tes, IET Control Theory & Appl. 4(1): 50–60. Boyd, S., El Ghaoui, L., Feron, E. e Balakrishnan,

V. (1994). Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory, SIAM Studies in Applied Mathematics, Philadelphia, PA.

Braga, M. F., Morais, C. F., Tognetti, E. S., Oliveira, R. C. L. F. e Peres, P. L. D. (2013). Discretização e controle por realimentação de estados de sis-temas lineares incertos, XI SBAI, Fortaleza, CE, Brasil, pp. 1–6.

Cao, X., Cheng, P., Chen, J. e Sun, Y. (2013). An online optimization approach for control and communication codesign in networked cyber-physical systems, IEEE Trans. Ind. Informatics 9(1): 439–450.

Chamaken, A. e Litz, L. (2010). Joint design of con-trol and communication in wireless networked control systems: A case study, Proc. 2010 Amer. Control Conf., Baltimore, MD, USA, pp. 1835– 1840.

Gahinet, P. e Apkarian, P. (1994). A linear matrix ine-quality approach to H∞ control, Int. J. Robust

Nonlinear Control4(4): 421–448.

Guinaldo, M., Sánchez, J. e Dormido, S. (2011). Co-design strategy of networked control systems for treacherous network conditions, IET Control Theory & Appl.5(16): 1906–1915.

Hara, S., Yamamoto, Y. e Fujioka, H. (1996). Mo-dern and classical analysis/synthesis methods in

(8)

sampled-data control – A brief overview with nu-merical examples, Proc. 35th IEEE Conf. Deci-sion Control, Kobe, Japan, pp. 1251–1256. Iwasaki, T. (1996). Robust performance analysis for

systems with structured uncertainty, Int. J. Ro-bust Nonlinear Control6: 85–99.

Kothare, M. V., Balakrishnan, V. e Morari, M. (1996). Robust constrained model predictive control using linear matrix inequalities, Automa-tica32(10): 1361–1379.

Lee, S. e Won, S. (2006). Model Predictive Control for linear parameter varying systems using a new parameter dependent terminal weighting matrix, Proc. IEICE Trans. on Fundamentals of Elec-tron., Comm. and Comput. Sci.E89-A(8): 2166– 2172.

Lian, F.-L., Moyne, J. R. e Tilbury, D. M. (2001). Per-formance evaluation of control networks: Ether-net, ControlNet and DeviceNet, IEEE Control Syst. Mag.21(1): 66–83.

Löfberg, J. (2004). YALMIP: A toolbox for mode-ling and optimization in MATLAB, Proc. 2004 IEEE Int. Symp. on Comput. Aided Control Syst. Des., Taipei, Taiwan, pp. 284–289. http:// users.isy.liu.se/johanl/yalmip/. Ogata, K. (1995). Discrete-Time Control Systems,

Prentice-Hall International, Inc., Upper Saddle River, NJ, USA.

Oliveira, R. C. L. F. e Peres, P. L. D. (2007). Parameter-dependent LMIs in robust analysis: Characterization of homogeneous polynomially parameter-dependent solutions via LMI relaxati-ons, IEEE Trans. Autom. Control 52(7): 1334– 1340.

Reimann, S., Wu, W. e Liu, S. (2012). A novel control-schedule codesign method for embedded control systems, Proc. 2012 Amer. Control Conf., Mon-treal, QC, Canada, pp. 3766–3771.

Souza, M., Deaecto, G. S., Geromel, J. C. e Daafouz, J. (2013). Self-triggered linear quadratic networ-ked control, Optim. Control Appl. Meth.. http: //dx.doi.org/10.1002/oca.2085. Sturm, J. F. (1999). Using SeDuMi 1.02, a MATLAB

toolbox for optimization over symmetric cones, Optim. Method Softw.11(1–4): 625–653. http: //sedumi.ie.lehigh.edu/.

Su, H., Wang, J. e Chu, J. (1998). Robust memory-less H∞ control for uncertain linear time-delay

systems, Proc. 1998 Amer. Control Conf., Phila-delphia, PA, USA, pp. 3730–3731.

Wada, N., Saito, K. e Saeki, M. (2006). Model pre-dictive control for linear parameter varying sys-tems using parameter dependent Lyapunov func-tion, IEEE Trans. Circuits & Syst. II: Exp. Briefs 53(12): 1446–1450.

Zhang, W., Branicky, M. S. e Phillips, S. M. (2001). Stability of networked control systems, IEEE

21(1): 84–99.

A Demonstração da Estabilidade em Malha Fechada do Sistema Contínuo Incerto Para qualquer α _{∈ Λ}_N e um dado período de amostragem T , a solução do sistema linear (1) no in-tervalo t ∈ [kT, (k + 1)T ] é dada por

x(t) = eE(α)(t−kT )x(kT )+ Z t

kT

eE(α)(t− ˆs)F(α_{)u( ˆs−}τ)d ˆs. (31) Assumindo que o sinal u(t) seja constante por par-tes no período de amostragem, percebe-se que o sinal atrasado u(t −τ) também o é. Como o sinal atrasado pode variar dentro dos instantes de amostragem, é con-veniente reescrever o atraso como em (5) e separar o intervalo de integração de (31) em duas partes tal que u(t −τ) seja constante em cada parte e, consequente-mente, possa sair da integral. Assim,

x(t) = eE(α)(t−kT )x(kT ) +   kT+τ∗ Z kT eE(α)(t− ˆs)dˆs  F(α_{)u (k −}θ)T +   t Z kT+τ∗ eE(α)(t− ˆs)dˆs  F(α)u ((k −θ+ 1)T ) . Realizando algumas mudanças de variáveis, pode-se reescrever a expressão acima como

x(t) = eE(α)(t−kT )x(kT )+ eE(α)(t−kT −τ∗) Z τ∗ 0 e E(α)s_ds_F(_α_{)u (k −}_θ_)T₊ eE(α)(t−(k+1)T ) Z T −τ∗ (k+1)T −te E(α)s_ds F(α_{)u (k −}θ+ 1)T . Em seguida, tomando o supremo e usando a desigual-dade triangular, obtém-se

sup t∈[kT, (k+1)T ]kx(t)k ≤ e E(α)T kx(kT )k + eE(α)(T −τ∗) Z τ∗ 0e E(α)s_ds_F(_α₎ u (k −θ)T + Z _{T −τ}∗ 0 e E(α)s_ds_F₍_α₎ u (k −θ+ 1)T . (32) Finalmente, substituindo (4) e (6) em (32), tem-se

sup t∈[kT, (k+1)T ] kx(t)k ≤ Aℓ(α) + ∆Aℓ(α) x(kT ) + Bd ℓ(α) + ∆Bd ℓ(α) u (k −θ)T + Bℓ(α) + ∆Bℓ(α) u (k −θ+ 1)T . (33) Sabendo que o sistema discreto (3) é estável em malha fechada, ou seja x kT , u (k−θ)T

e u (k−θ+1)T convergem para zero quando k → ∞, então x(t) → 0 quando t → ∞ e a estabilidade assintótica em malha fechada do sistema contínuo incerto (1) com a lei de controle (18) é assegurada.