Resumo. ativas e adaptrônica (adaptronics) fazem todos parte de um mesmo campo de estudo. Referemse

(1)

Desenvolvimento de uma formula¸c˜

ao h´ıbrida atrav´

es

do M´

etodo de Elementos Finitos Generalizados (GFEM) para

an´

alise de placas laminadas compostas inteligentes

Diego Amadeu Furtado Torres, Paulo de Tarso Rocha de Mendon¸ca

Grupo de Análise e Projeto Mecânico - GRANTE Departamento de Engenharia Mecânica, UFSC

88040-900, Florian´opolis, SC

E-mail: diego.amadeu@gmail.com, mendonca@grante.ufsc.br

Resumo

A aplica¸cão de materiais com resposta eletromecânica acoplada no desenvolvimento de estruturas laminadas, aliado ao desenvolvi-mento das técnicas de controle, tem permitido a concep¸cão de estruturas inteligentes para di-versas aplica¸cões, seja no controle de ru´ıdo e vibra¸cões, no controle de forma ou monitora-mento da integridade do sistema. Este trabalho apresenta uma formula¸cão de Elementos Fini-tos Generalizados para flexão de placas lami-nadas em que os graus de liberdade mecânicos são aproximados no dom´ınio do elemento se-gundo uma Teoria de Deforma¸cão Cisalhante de Terceira Ordem. Por sua vez, os graus de liberdade elétricos são discretizados através da Teoria de Camadas Equivalentes Discre-tas, o que torna poss´ıvel considerar lâminas piezelétricas nas superf´ıcies ou no interior do laminado. Uma contribui¸cão do presente tra-balho consiste na forma de enriquecimento dos campos incógnitos, utilizando a metodologia do GFEM, buscando-se obter uma ferramenta que permita analisar acuradamente estas estru-turas.

1- Introdu¸c˜ao

O aprimoramento do projeto de estruturas tem possibilitado a inser¸cão de sistemas inte-grados, juntamente com a aplica¸cão de ma-teriais com propriedades bastante peculiares, capazes de perceber e se adaptar a poss´ıveis altera¸cões nas condi¸cões ambientais e opera-cionais.

Neste ´ımpeto, os termos estruturas

in-teligentes, estruturas adaptativas, estruturas

ativas e adaptrˆonica (adaptronics) fazem todos

parte de um mesmo campo de estudo. Referem-se à integra¸cão de atuadores, Referem-sensores integra-dos aos componentes estruturais e o uso de al-guma espécie de unidade de controle ou am-plifica¸cão e processamento de sinal juntamente com um material ou componente estrutural, com o objetivo de conceber um sistema capaz de melhorar o desempenho estrutural, sem adi-cionar massa ou consumir mais energia.

Os materiais empregados em estruturas inteligentes frequentemente possuem pro-priedades interessantes e incomuns, e são classificados de acordo com a capacidade de transforma¸cão energética. Em especial, os materiais piezelétricos, que transformam ener-gia elétrica em enerener-gia mecânica, podem ser usados tanto como sensores como atuadores e, além de serem facilmente obtidos, se adaptam a diferentes tipos de estruturas.

Não menos versáteis, os materiais compostos se mostram adaptáveis a esta nova tecnologia além de, por natureza, poderem ter suas carac-ter´ısticas direcionadas a atender exigências es-pec´ıficas.

No contexto das formula¸cões para placas in-teligentes via Método de Elementos Finitos, [4] propõem um modelo utilizando a Teoria de Camadas Equivalentes Discretas para dis-cretiza¸cão de variáveis mecânicas e elétricas. Diferentemente, [3] utiliza a discretiza¸cão ao longo da espessura somente para a aproxima¸cão do potencial elétrico, mantendo a considera¸cão de camada equivalente única para os graus de liberdade mecânicos.

Sob a ótica dos Métodos sem malhas, [5] analisa o controle ativo de placas laminadas com sensores e atuadores piezelétricos usando o

(2)

Método de Galerkin Livre de Elementos, apre-sentando uma formula¸cão baseada na Teoria de Deforma¸cão Cisalhante de Primeira Or-dem e utilizando as fun¸cões de aproxima¸cão do Método dos M´ınimos Quadrados Móveis. 2- Método de Elementos Finitos Genera-lizados

O Método de Elementos Finitos Generaliza-dos (GFEM), que se desenvolveu de forma in-dependente a partir do Método de Elementos Finitos de Parti¸cão da Unidade [6] e do Método de Nuvens hp [2], e tal como o Método de Ele-mentos Finitos (MEF), se destina à obten¸cão de solu¸cões aproximadas de problemas de valor no contorno (PVC) formulados em forma fraca. O GFEM pode ser considerado um método sem malha pois permite adicionar refinamen-tos hierárquicos a um conjunto de fun¸cões

de forma associadas a elementos finitos que

servem, al´em de definir uma Parti¸c˜ao da

Unidade (PU), como dom´ınio para as

inte-gra¸cões numéricas necessárias na obten¸cão das contribui¸cões elementares. Ainda, permite fácil implementa¸cão das condi¸cões de contorno, em virtude do caráter interpolador da solu¸cão, e apresenta robustez mesmo sob forte distor¸cão dos elementos, uma vez que o enriquecimento se dá em coordenadas globais após o mapea-mento.

Conforme [1], para um caso geral, define-se a fam´ılia de Nuvens (eq.1) para o GFEM:

FN = n© Nj(x) ª_N j=1 S © N_j(x)L_ji(x)ªN_j=1|i ∈ (j) o (1)

onde Nj(x) são fun¸cões da PU, Lji(x) são

as fun¸cões de enriquecimento contidas num conjunto de fun¸cões linearmente independentes designado por . Esta fam´ılia é utilizada para construir a aproxima¸cão da solu¸cão (eq.2):

e u(x) = N X j=1 Nj(x) ( uj+ qj X i=1 Lji(x)bji ) = ΦTU (2) onde o vetor de de parâmetros nodais (eq.3) e o vetor das fun¸cões de aproxima¸cão (eq.4) são, respectivamente: UT(x) = h u1, b11, · · · , b1_qj, · · · · · · , uN, bN1, · · · , bN_qj i (3) ΦT = h N1, L11N1, · · · , L1_qjN1, · · · · · · , NN, LN1NN, · · · , LN_qjNN i (4)

Empregando-se estas fun¸c˜oes para definir o subespa¸co das varia¸c˜oes eX , pode-se obter

a aproxima¸cão da solu¸cão pelo Método de Galerkin.

No âmbito deste trabalho, para o desenvolvi-mento de uma formula¸cão de eledesenvolvi-mentos finitos generalizados para flexão de placas, pretende-se construir espa¸cos de aproxima¸cões locais S com enriquecimento polinomial de até terceira or-dem (eq.5), sobre uma PU definida por fun¸cões bi-lineares, tal que:

S = N_j× ( 1,x − xj hj ,y − yj hj ,³ x − xj hj ´₂ , ³ y − yj hj ´₂ ,³ x − xj hj ´₃ ,³ y − yj hj ´₃) (5)

onde Nj, j = 1, 2, . . . , N s˜ao fun¸c˜oes de forma

bilineares padr˜ao; xj = (xj, yj) s˜ao as

coor-denadas do nó j, na superf´ıcie de referência da placa; hjé o raio da nuven de cada nó, admitido

como sendo um comprimento caracter´ıstico do maior elemento finito adjacente ao nó j e N é o número de nós da malha de elementos finitos. 3- Piezeletricidade linear

O fenômeno piezelétrico é relacionado ao efeito da carga elétrica na deforma¸cão mecânica. Este pode ser descrito pelo vetor po-lariza¸cão P, que representa o momento elétrico

por unidade de volume ou carga de polariza¸c˜ao por unidade de ´area [8].

Dentre as formas poss´ıveis de se obter a polariza¸cão, a que se aplica aos materiais piezelétricos industriais é o mecanismo de

reori-enta¸c˜ao dos dipolos, quando um campo el´etrico

aplicado causa uma reorienta¸cão das moléculas do dielétrico.

A piezeletricidade pode se manifestar de forma direta ou inversa. Por defini¸c˜ao, o

(3)

efeito piezel´etrico direto (eq.6) ´e o

desenvolvi-mento de uma polariza¸cão devida à deforma¸cão mecânica através da expressão:

P_i = d_ijkσ_jk (6) onde d ´e um tensor de terceira ordem de

m´odulos piezel´etricos, mais especificamente

designados constantes piezelétricas de tensão. O efeito piezelétrico inverso (eq.7), relaciona o vetor campo elétrico E ao tensor de de-forma¸cões lineares ε por:

εij = dkijEk (7)

Note que d_kij é simétrico com rela¸cão aos ´ındices i e j por causa da simetria de εij.

Por consequência, quando o material dielétrico é polarizado, os dipolos elétricos alinhados produzem uma densidade de carga volumétrica equivalente ρp que afeta o campo

el´etrico [3], assim surge a defini¸c˜ao de

desloca-mento el´etrico D (eq.8):

Di = χijEj (8)

onde χij s˜ao as constantes de permissividade

el´etrica do material.

Assim, de acordo com [8], as rela¸cões consti-tutivas acoplando os efeitos mecânico e elétrico, e inclusive térmico, podem ser estabeleci-das usando princ´ıpios termodinâmicos e as rela¸cões de Maxwell. As rela¸cões constitutivas eletromecânicas (eq.9), que podem ser expres-sas utilizando-se nota¸cão contra´ıda, conforme também apresentado em [3], [8] e [4], são:

σi = CijEεj − eikEk

D_k= e_kjε_j+ χε_klE_l (9)

onde Cij são os módulos elásticos, eik são

os módulos piezelétricos, mais especificamente constantes piezelétricas de deforma¸cão, χklsão

as constantes dielétricas, e ainda a seguinte rela¸cão entre os módulos piezelétricos (eq.10):

e_ik= C_ijEd_jk (10) onde os sobrescritos E, ε representam campo el´etrico constante e deforma¸c˜ao constante, res-pectivamente.

Note que a varia¸c˜ao do ´ındices ´e diferente para os diferentes termos: i, j = 1, 2, . . . , 6,

k, l = 1, 2, 3. Para um material totalmente

anisotrópico, existem 21 constantes elásticas independentes, 18 constantes piezelétricas, e 6 constantes dielétricas.

Usualmente, as constantes materiais das rela¸cões constitutivas (eq.10) são primeira-mente obtidas nas dire¸cões de ortotropia e em seguida as rela¸cões são rotacionadas para as dire¸cões globais do laminado no elemento (x, y, z), por rota¸cão plana em torno do eixo principal 3. Em seguida, é parcialmente im-posta a condi¸cão de Estado Plano de Tensões (EPT) na lâmina (σ_zk = 0), gerando a rela¸cão constitutiva modificada (eq.11), onde por con-veniência, particiona-se a deforma¸cão mecânica em parcela de membrana e flexão, associada à

Cσ _{e parcela de cisalhamento transversal,}

asso-ciada `a Cτ_:    σ τ D    k =   C σ ₀ _eσT 0 Cτ _eτT eσ _eτ _−χ   k   ε γ −E    k (11) onde σ = {σx, σy, τxy}T, τ = {τyz, τxz}, e D =

{Dx, Dy, Dz}, com as deforma¸c˜oes e o campo

el´etrico analogamente definidos.

4- Formula¸cão Discretizada em GFEM A formula¸cão aqui apresentada foi deduzida a partir do funcional do Princ´ıpio Variacional de Hamilton (PVH), incorporando as respostas mecânica e elétrica, conforme (eq.12):

Z _t1

t0

(δK + δP + δW ) dt = 0 (12) para qualquer t1, onde K, P e W s˜ao a energia

total cinética, a energia total potencial de de-forma¸cão e o trabalho total das for¸cas externas aplicadas ao sistema, respectivamente, e δ é o operador varia¸cão. A expressão do funcional do PVH pode ser expandida como:

− Z _t1 t0 ( Z V −ρδuTu(x, t) dV +¨ + Z V ( δ²x δEx )_T( σx Dx ) dV + + Z V δuTfV dV + Z S δuTfSdS+ + δuTfP + Z S δϕTq dS ) dt = 0 (13)

(4)

onde u é o deslocamento mecânico, σ é o tensor de tensões mecânicas, ε é o tensor de deforma¸cões mecânicas, D é o deslocamento elétrico, E é o campo elétrico, fS _{é a for¸ca}

de superf´ıcie, fV _{´e a for¸ca de corpo, f}P _s˜ao

for¸cas pontuais, ϕ é o potencial elétrico e q são as cargas elétricas de superf´ıcie nas lâminas piezelétricas.

As hipóteses cinemáticas adotadas na pre-sente formula¸cão consistem na Teoria de Deforma¸cão Cisalhante de Terceira Orden (TSDT), que preconiza uma varia¸cão cúbica dos deslocamentos coplanares na dire¸cão da es-pessura [7]. O campo de deslocamentos da teoria u(x, t) = {u(x, t), v(x, t), w(x, t)}T é ex-pandido na forma: u(x, y, z, t) = u0(x, y, t)+ + zψx(x, y, t) + z3ψ3x(x, y, t) v(x, y, z, t) = v0(x, y, t)+ + zψy(x, y, t) + z3ψ3y(x, y, t) w(x, y, z, t) = w0(x, y, t) (14)

Assim, utilizando as rela¸cões de-forma¸cões/deslocamentos lineares obtém-se o campo de deforma¸cões (eq.15):

ε_x(x, t) = ∂u0 ∂x + z ∂ψ_x ∂x + z 3∂ψ3x ∂x ε_y(x, t) = ∂v0 ∂y + z ∂ψy ∂y + z 3∂ψ3y ∂y γ_xy(x, t) = ∂u0 ∂y + z ∂v0 ∂x + z 3³ ∂ψ3x ∂y + ∂ψ3y ∂x ´ γyz(x, t) = ³ ψy+ ∂w0 ∂y ´ + z2ψ3y γxz(x, t) = ³ ψx+∂w 0 ∂x ´ + z2ψ3x (15) As rela¸cões deforma¸cões/deslocamentos (eq.15) podem ser expressas em termos de vetores que contém os deslocamentos generalizados na superf´ıcie de referência como:

ε(x, t) = ε0+ zκ1+ z3κ3

γc(x, t) = γc0+ z2κc

(16) A formula¸cão em elementos finitos generali-zados é desenvolvida a partir da defini¸cão das fun¸cões de parti¸cão da unidade (PU)

no dom´ınio do elemento e o enriquecimento dos campos é feito adicionando-se novos parâmetros vinculados às variáveis nodais, as-sociados às fun¸cões que multiplicam as bases originais, de forma que os deslocamentos mecânicos generalizados na superf´ıcie de re-ferência (u0_{, v}0_{, w}0_{, ψ}

x, ψy, ψ3x, ψ3y) podem ser

expandidos como, por exemplo, para u0_:

u0 = N ne_X no=1 Ni Ã u0_no+ nf (u0 no) X j=1 u0_nojf_uj0 no ! (17) Reunindo todas as fun¸cões numa única ma-triz [Ne]_{7×(7×N ne+npar)} temos a representa¸cão simbólica para o campo de deslocamentos mecânicos (eq.18):

{eu(x, y, t)e} = [Ne(x, y)]{Ue(t)} (18)

O vetor de deslocamentos nodais

{Ue}_(7×N_ne_+npar)×1 do elemento, no tre-cho relativo ao n´o no ´e escrito conforme a (eq.19):

{Ue}T = n

· · ·¯¯u0_no, u0_no1, . . . , u0nf (u0no)

no , v_no0 , v_no01, . . . , v0nf (u0no) no , . . . . . . , ψ0_3y_no, ψ_3y01_no, . . . , ψ0_3ynf (ψ0_no 3xno )¯¯ · · · o (19)

com no = 1, · · · , N ne, sendo N ne o n´umero de n´os do elemento e npar igual ao n´umero de parˆametros de enriquecimento do elemento.

O campo el´etrico E(x, t) = {Ex, Ey, Ez}T ´e

relacionado ao potencial el´etrico pela (eq.20):

E(x, t) = −∇ϕ(x, t) =              −∂ϕ(x, t) ∂x −∂ϕ(x, t) ∂y −∂ϕ(x, t) ∂z              (20)

O potencial elétrico ϕ(x, t) no elemento, por sua vez, é discretizado através de fun¸cões line-ares por partes, cont´ınuas nas interfaces en-tre lâminas piezelétricas e descont´ınuas nas in-terfaces lâminas piezelétricas/lâminas da estru-tura base.

A um nó no na superf´ıcie de referência de um laminado com N lâminas piezelétricas, cor-respondem N + 1 valores nodais de potencial,

(5)

ϕ0

no a ϕNno. O valor do potencial numa cota

in-termediária z de uma lâmina k arbitrária, em um instante de tempo t, é dado pela expressão (eq.21): ϕk_no(z, t) = ϕk−1_no (t)³ zk− z h_k ´ +ϕk_no(t)³ z − zk−1 h_k ´ (21) onde z_k−1 é a cota inferior da lâmina k e z_k é a cota superior, em rela¸cão à superf´ıcie de referência.

A aproxima¸cão do potencial elétrico nas dire¸cões coplanares à superf´ıcie de referência (x, y) em um ponto qualquer da lâmina k via elementos finitos generalizados é obtida pelas mesmas fun¸cões PU (N_no(x, y)) usadas para aproximar o campo de deslocamentos mecânicos, além das fun¸cões de enriquecimento correspondentes, conduzindo à seguinte aproxi-ma¸cão (eq.22): ϕ(x, y, z, t)k= N ne X no=1 Nno(x, y) " ϕk_no(z, t)+ + nf (ϕk no) X j=1 ϕk_noj(z, t)f_ϕjk no(x, y) # (22) Incorporando estes graus de liberdade elétricos aos mecânicos tem-se para a for-mula¸cão em MEFG o vetor de deslocamentos nodais elementares conforme (eq.23):

{Ue}T = n

· · ·¯¯u0_no, u0_no1, . . . , u0nf (u0no)

no , v0 no, v0 1 no, . . . , v0 nf (v0_no) no , . . . . . . , ψ3yno, ψ3y1 no, . . . , ψ nf (ψ3yno) 3yno , ϕ0 no, ϕ0 1 no, . . . , ϕ0 nf (ϕ0_no) no , ϕ1_no, ϕ1_no1, . . . , ϕ1nf (ϕ1no) no , . . . . . . , ϕN no, ϕN 1 no, . . . , ϕN nf (ϕN_no) no ¯ ¯o (23)

Desenvolvendo cada uma das parcelas do funcional do PVH e inserindo a discretiza¸cão das variáveis pode-se deduzir as expressões para obten¸cão das contribui¸cões elementares.

Usando as rela¸cões constitutivas (eq.11), a varia¸cão da energia potencial total de de-forma¸cão, incluindo as energias potenciais

mecânica e a elétrica elementar, é expressa con-forme a (eq.24): δP = Z V ½ δε δγ ¾_T " Cσ ₀ _eσT 0 Cτ _eτT # _  ε γ E   + + {δE}T h eσT eτT χx i    ε γ E   dV (24) Usando as expanssões de {ε, γ, E} obtém-se as matrizes de rigidez elementares, tal que a parcela puramente mecânica [Ke

uu] resulta

como a (eq.25):

[Ke_uu] = [Ke_mf] + [Ke_c] (25) com, as parcelas de membrana/flexão e cisalha-mento expressas pelas (eq.26) e (eq.27), respec-tivamente: [Ke_mf] = Z Ωe [Be_mf]T   A B L_{B D F} L F H   [Be mf] dΩ (26) [Ke_c] = Z Ωe [Be_c]T · Ac Dc Dc Fc ¸ [Be_c] dΩ (27) onde as deforma¸cões são aproximadas através das matrizes [Be_mf] e [Be_c].

Definem-se as seguintes submatrizes consti-tutivas puramente mecˆanicas do laminado em membrana e flex˜ao (eq.28):

{Aij, Bij, Dij, Lij, Fij, Hij} = = N X k=1 Z _z_k zk−1 C_ijσk{1, z, z2, z3, z4, z6} dz (28)

com i, j = 1, 2, 6 e para o cisalhamento transversal (eq.29): {Acij, Dcij, Fcij} = = N X k=1 Z _z_k zk−1 C_ijk{1, z2, z4} dz (29) com i, j = 4, 5.

A matriz de rigidez eletromecanicamente

(6)

[Ke_u−ϕ] = [K_{mf −ϕ}e ] + [K_c−ϕe ] (30) com as parcelas definidas pelas (eq.31) e (eq.32): [Ke_{mf −ϕ}] = Z Ωe [Be_mf]T   O P_{P Q} R S  ³XN k=1 Ek ´ dΩ (31) [Ke_c−ϕ] = Z Ωe [Be_c]T · T U V W ¸ ³_XN k=1 Ek ´ dΩ (32) onde a matriz [E] é usada para aproximar o campo elétrico e, de forma semelhante às matrizes de deforma¸cões mecânicas, é parti-cionada em parcela constante e parcela com de-pendência linear em rela¸cão à cota z, em cada lâmina piezelétrica. As submatrizes constituti-vas eletromecânicas do laminado são definidas pelas (eq.33) e (eq.34):

{Oij, Pij, Qij, Rij, Sij} = = Z _z_k zk−1 eσ_ijk{1, z, z2, z3, z4} dz (33) com i, j = 1, 2, 6, e {Tij, Uij, Vij, Wij} = = Z _z_k zk−1 eτ_ijk{1, z, z2, z3} dz (34) com i, j = 4, 5.

Deve-se ressaltar que [Ke

ϕ−mf] = [Kmf −ϕe ]T.

Por fim, a matriz de rigidez puramente

el´etrica ´e difinida como na (eq.35):

{[Ke_ϕϕ] = Z Ωe ³_XN k=1 Ek ´_T · _{X Y} Y Z ¸ ³_XN k=1 Ek ´ dΩ (35)

onde as submatrizes constitutivas puramente el´etricas do laminado s˜ao obtidas pela (eq.36):

{Xij, Yij, Zij} = = Z _z k zk−1 χk_ij{1, z, z2} dz (36)

Assim, a matriz de rigidez total do elemento (eq.37) ser´a obtida somando as parcelas:

[Ke] = [Ke_uu] + [Ke_uϕ] + [Kϕu] + [Keϕϕ] (37)

Por sua vez a varia¸cão da energia cinética é (eq.38):

δK =

Z

V

ρδuTu dV¨ (38) Decompondo o deslocamento mecânico em parcela de membrana, rota¸cões de primeira ordem e rota¸cões de ordem superior, busca-se explicitar os termos com dependência em

z. Após manipul¸cão algébrica, separando as

parcelas que são integráveis ao longo da espes-sura daquelas integráveis apenas no dom´ınio, obtém-se a matriz de inércia elementar [Me_],

que ´e dada pela (eq.39):

[Me] = Z Ω NT   P_P0₁ P_P1₂ P_P3₄ P3 P4 P6   N dΩ (39) com P0 = ρ0[I3x3], P1= ρ1[I3x2], P2 = ρ2[I2x2], P3 = ρ3[I3x2], P4 = ρ4[I2x2], e P6 = ρ6[I2x2],

onde [I]´s s˜ao matrizes identidades ou parcelas de matrizes identidades. As massas generaliza-das s˜ao definigeneraliza-das pela (eq.40):

{ρ0, ρ1, ρ2, ρ3, ρ4, ρ6} = N X k=1 ³ Z zk zk−1 ρ_k{1, z, z2, z3, z4, z6} dz (40)

com ρk sendo a massa equivalente por unidade

de ´area da lˆamina k.

Finalmente, desenvolve-se a express˜ao do trabalho virtual externo (eq.41):

δW = Z V δuTfV dV + Z S δuTfSdS+ + δuTfP + Z S δϕTq dS (41)

Os deslocamentos mecânicos e os potenciais elétricos são discretizados na forma (eq.42):

u(x, t) = NUU(t)

(7)

com NU _{sendo a parcela de N referente aos}

deslocamentos mecˆanicos e Nϕ_{, a parcela}

refe-rente aos potenciais elétricos elementares. Observa-se que o vetor de parâmetros nodais elementares U contém tantos os graus de liber-dades mecânicos quanto os potenciais elétricos. De maneira semelhante, as for¸cas mecânicas e as carga elétricas podem ser discretizadas no dom´ınio do elemento, com aux´ılio dos vetores que contém os dados de for¸cas mecânicas e car-gas elétricas nodais (FV_{, F}S_{, etc) , conduzindo}

aos vetores de for¸cas consistentes (eq.43): fV(x, t) = NfFV(t)

fS(x, t) = NfFS(t) fP(x, t) = FP(t) q(x, t) = NqQS(t)

(43)

Assim, a (eq.41) resulta nos vetores de for¸cas nodais equivalentes (eq.44):

{FeV} = Z Ω NUeTNfeFV dΩ {FeS} = Z Ω NUeTNfeFSdΩ {FeP} = Z Ω NUeTFP dΩ {FeQ} = Z Ω NϕeTNqeQSdΩ (44)

de maneira que a soma de todas estas parcelas fornece o vetor de for¸cas elementares {Fe(t)} . Portanto, tem-se o seguinte sistema elemen-tar de equa¸c˜oes (eq.45):

[Me]{ ¨Ue(t)} + [Ke]{Ue(t)} = {Fe(t)} (45) utilizado para obter o sistema global.

Considera¸c˜oes finais

Busca-se com a implementa¸cão de rotinas computacionais baseadas na formula¸cão aqui apresentada dispor de uma ferramenta que per-mita verificar o desempenho do GFEM na mo-delagem numérica de estruturas laminadas in-teligentes, seja para análise estática quanto dinâmica. Procura-se assim, verificar as poten-cialidades do GFEM, como facilidade de im-posi¸cão de condi¸cões de contorno, capacidade

de aproxima¸cão etc, além de estabelecer bases para estudos futuros inseridos nesta linha de pesquisa, contribuindo para a difusão de tec-nologias relacionadas às estruturas inteligentes.

Referˆ

encias

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