Novo Esquema Convectivo para a Computação de Problemas em Dinâmica dos Fluidos

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Novo Esquema Convectivo para a Computa¸

c˜

ao de Problemas

em Dinˆ

amica dos Fluidos

Giseli A. Braz de Lima, Valdemir G. Ferreira

Depto de Matem´atica Aplicada e Estat´ıstica, ICMC, USP, 13560-970, S˜ao Carlos, SP

E-mail: giabl@icmc.usp.br, pvgf@icmc.usp.br

Resumo: O trabalho trata da solu¸cão numérica de problemas em dinâmica dos fluidos usando um novo esquema upwind de captura de choque chamado SDPUS-C1, para a discretiza¸cão de termos convectivos (lineares/não lineares). O esquema é baseado nos critérios de estabilidade TVD e CBC, e testado em problemas de Riemann para leis de conserva¸cão gerais. O novo es-quema é, então, aplicado na resolu¸cão de um problema de escoamento transiente incompress´ıvel 2D com superf´ıcie livre móvel. Os resultados numéricos demonstram que o esquema SDPUS-C1 funciona muito bem.

Palavras-chave: Estratégia Upwind, Leis de Conserva¸cão, Equa¸cões de Navier-Stokes

1 Introdu¸

c˜

ao

No processo de solu¸cão numérica de EDPs com caráter predominantemente convectivo, a precisão dos resultados é significativamente afetada pela escolha do esquema de conveçcão. Por exemplo, os esquemas clássicos de primeira ordem, como FOU (First-Order Upwinding) [3] são dissipativos (suavizam a solu¸cão na presen¸ca de choque). Em contrapartida os esquemas de alta resolu¸cão, como QUICK (Quadratic-Upstream interpolation for Convective Kinematics) [6], são dispersivos (geram oscila¸cões não f´ısicas em regiões de altos gradientes). Para superar os defeitos apresentados pelos esquemas citados anteriormente, vem sendo utilizado aproxima¸cões não lineares que auto se ajustam de acordo com gradientes locais.

No contexto dos critérios de estabilidade TVD (Total Variation Diminishing) e CBC (Con-vection-Boundedness Criterion), o trabalho apresenta um novo esquema upwind de alta resolu¸cão denominado SDPUS-C1 (Six-Degree Polynomial Upwind Scheme of C1 _{Class), cujo objetivo é} a discretiza¸cão de termos convectivos lineares/não lineares. Para verificar o desempenho e a versatilidade do novo esquema, resolvem-se problemas de leis de conserva¸cão gerais, tais como a equa¸cão linear de adveçcão 1D e equa¸cões não lineares de Euler 1D/2D. O novo esquema é, então, aplicado na simula¸cão do colapso de uma coluna de fluido sob a¸cão da gravidade (escoamento transiente 2D incompress´ıvel com superf´ıcie livre móvel). Os resultados numéricos demonstram que o esquema SDPUS-C1 é preciso, gera resultados convergentes e é robusto.

2 Base Te´

orica para Desenvolvimento do Novo Esquema

Para a deriva¸cão do esquema SDPUS-C1 considera-se uma molécula computacional de três pontos: D (Downstream), U (Upstream) e R (Remote-upstream). As posi¸cões desses pontos dependem do sinal da velocidade Vf de uma variável convectada φ em f , φf (ver Figura 1). Assim, o esquema é dado pela rela¸cão φf = φf(φD, φU, φR). Para facilitar a análise, a variável original φ, numa posi¸cão arbitrária, é transformada em VN (variáveis normalizadas) de Leonard [6], dadas por

ˆ

φ_{[ ]}= φ[ ]− φR φD − φR

(2)

em que ˆφR = 0 e ˆφD = 1. Portanto, qualquer esquemas upwind de alta resolu¸c˜ao que dependa dos trˆes pontos D, U e R, pode ser reescrito na forma simplificada ˆφf = ˆφf( ˆφU).

replacemen R U D D _U _R Vf Vf φf φf f f

Figura 1: Posi¸cões dos nós D, R e U conforme o sinal da velocidade Vf de uma variável convectada. Nesse contexto, Leonard [6] mostra que para se derivar um esquema upwind, linear por partes ou não linear, monotônico (livre de oscila¸cões) e que atinja terceira ordem, as seguintes condi¸cões sobre ˆφf = ˆφf( ˆφU) (para ˆφU ∈ [0, 1]) devem ser impostas: ˆφf(1) = 1; ˆφf(0) = 0;

ˆ

φf 1₂ = 3₄ (condi¸c˜ao para segunda ordem de precis˜ao); ˆφf 1₂ = 3₄ e ˆφ ′ f 12

= 3₄ (condi¸cão para terceira ordem de precisão). Leonard ainda recomenda que para ˆφU ∈ [0, 1] o esquema/ deve ser estendido de maneira cont´ınua pelo esquema FOU [3]. Ainda nesse contexto, Lin e Chieng [9] dizem que se ˆφf = ˆφf( ˆφU) for continuamente diferenciável em todo o dom´ınio, então os problemas de convergência em malhas grosseiras são evitados.

Em busca por esquemas upwind limitados, Gaskell e Lau [4] prop˜oem o crit´erio CBC (Con-vection Boundedness Criterion), definido por

         ˆ φf ∈ [ ˆφU, 1], se φÛ ∈ [0, 1], ˆ φf = 0, se φÛ = 0, ˆ φf = 1, se φÛ = 1, ˆ φf = ˆφU, se φÛ ∈ [0, 1]./ (2)

Um outro conceito importante são as restri¸cões TVD (Total Variation Dimininshing), intro-duzidas por Harten [5], que combinam monotonicidade e alta ordem de precisão. Formalmente, dada a sequência de aproxima¸cões discretas φ(t) = φi(t)_i∈Z, a varia¸cão total (TV - Total Varia-tion) da solu¸cão discreta, no n´ıvel de tempo t, é definida por T V (φ(t)) =P

i∈Z|φi+1(t) − φi(t)|. Ent˜ao, o esquema ser´a TVD se

T V (φn+1_{) ≤ T V (φ}n). (3)

3 O Esquema SDPUS-C1

Para a deriva¸c˜ao do esquema SDPUS-C1, considera-se parte de um polinˆomio de grau seis, para ˆφU ∈ [0, 1], dado por ˆφf( ˆφU) = P6q=0bqφˆq_U e o esquema FOU, dado por ˆφf = ˆφU, para

ˆ

φU ∈ [0, 1]. Mantendo o coeficiente b/ 2 = γ como um parâmetro livre, os demais coeficientes são determinados aplicando-se as condi¸cões de Leonard, anteriormente citadas. Para fechar o sistema considera-se ˆφ′_f(0) = 1 e ˆφ′_f(1) = 1, assim a rela¸cão funcional passa ser continuamente diferenciável em todo o dom´ınio (ver [9]). O esquema SDPUS-C1 em VN é dado por

ˆ φf=    (−24+ 4γ)ˆφ6_U _{+ (68−12γ)ˆ}φ5_U_{+ (−64+13γ) ˆ}φ4_U_{+ (20−6γ) ˆ}φ3_U+ γ ˆφ2_U+ ˆφU, φˆU ∈ [0, 1], ˆ φU, φˆU ∈ [0, 1],/ (4) com o limitador de fluxo correspondente (veja [8] para detalhes)

ψ(r) = max 0, 0.5(|r| + r)[(−8 + 2γ)r 3_{+ (40 − 4γ)r}2_{+ 2γr]} (1 + |r|)5 , (5) em que r = φUˆ

(3)

Vale salientar que com as considera¸cões e conceitos introduzidos por Harten [5], Sweby [10] definiu a região TVD. Essa região é definida por conjuntos de restri¸cões impostas para o esquema e seu respectivo limitador de fluxo. A Figura 2 mostra que o esquema SDPUS-C1 é TVD para γ ∈ [4, 12], uma vez que para esses valores (4) e (5) estão inseridos na região TVD. Neste trabalho considera-se γ = 12 (ver [8]). 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 γ = 4 γ = 6 γ = 8 γ = 10 γ = 12 Esquema ˆ φf ˆ φU 0 1 2 3 0 0,5 1 1,5 2 _{γ = 4} γ = 6 γ = 8 γ = 10 γ = 12 Limitador de fluxo r ψ

Figura 2: Esquema SDPUS-C1 (à esquerda) e limitador de fluxo (à direita) na região TVD.

4 Resultados Num´

ericos

Nesta se¸cão, resolvem-se problemas de leis de conserva¸cão 1D e 2D com o objetivo de testar o esquema SDPUS-C1. Na sequência, como aplica¸cão, é simulado o problema do colapso de uma coluna de fluido sob à a¸cão do campo gravitacional.

4.1 Leis de Conserva¸c˜ao 1D e 2D

As leis de conserva¸cão hiperbólicas 1D são definidas por φt+ F (φ)x = 0 em que φ = φ(x, t) é o vetor de quantidades conservadas e F (φ) = F (φ(x, t)) é a fun¸cão fluxo convectivo. Neste trabalho são considerados dois casos particulares, a saber:

– Equa¸cão de Adveçcão 1D:Com o vetor das variáveis conservadas e a fun¸cão fluxo (linear) dados, respectivamente, por φ = u e F (u) = u;

– Equa¸cões de Euler 1D:Com o vetor das variáveis conservadas e a fun¸cão fluxo (não linear) dados, respectivamente, por φ = [ρ, ρu, E]T e F (φ) = [ρu, ρu2 + P, u(E + P )]T. As variáveis ρ, u, ρu, E, P são a massa espec´ıfica, a velocidade, a quantidade de movimento, a energia total e a pressão, respectivamente. Para fechar o sistema, é considerada a equa¸cão do gás ideal P = (λ − 1)(E −12ρu2), em que λ = 1.4 é a razão do calor espec´ıfico.

Para os problemas 2D, as leis de conserva¸cão são dadas por φt+ F (φ)x+ G(φ)y = 0, em que φ = φ(x, y, t) é o vetor de variáveis conservadas, F (φ) = F (φ(x, y, t)) e G(φ) = G(φ(x, y, t)) são as fun¸cões fluxo. Em particular considera-se:

– Equa¸cões de Euler 2D:Com o vetor das variáveis conservadas dado por φ = [ρ, ρu, ρv, E]T e as fun¸cões fluxos (não lineares) por F (φ) = [ρu, ρu2+P, ρuv, (E +P )u]T e G(φ) = [ρv, ρuv, ρv2+ P, (E + P )v]T_{. As variáveis [u, v]}T _{e [ρu, ρv]}T_{, são os vetores velocidade e quantidade de} movimento, respectivamente. Para fechar o sistema, é considerada a equa¸cão do gás ideal P = (λ − 1)(E −12ρ(u2+ v2)), com λ = 1.4.

Teste 1 - Advec¸c˜ao de Escalares 1D: Neste teste compara-se o desempenho do esquema

(4)

o transporte de uma onda quadrada, em [−1, 3.5], definida pela condi¸c˜ao inicial u0(x) =

1, se ₋1₅ _{≤ x ≤} 1₅,

0, se caso contr´ario. (6)

As condi¸cões de contorno utilizadas são Dirichlet homogêneas. Para a simula¸cão são considerados 500 células computacionais, número de Courant_δxδt = θ = 0.5 e tempo final de simula¸cão t = 2.8. A Figura 3, à esquerda, apresenta a compara¸cão da solu¸cão exata com os esquemas WENO e SDPUS-C1 (para x ∈ [2, 3.5]) e, à direita, estão os erros absolutos Eabs pontuais cometidos por esses esquemas. Observa-se, por esta figura, que os resultados do esquema SDPUS-C1 são mais satisfatórios que os do WENO. Salienta-se que o Eabs do SDPUS-C1 (em que o máximo do Eabs é max{Eabs} = 3.92616 · 10−1) é menor que o do WENO (em que max{Eabs} = 4.7719 · 10−1) o que pode ser constatado na Figura 3 (à direita).

2 2,5 3 3,5 0 0,5 1 _Exata_Exata SDPUS-C1 SDPUS-C1 WENO WENO x u 2 2,5 3 3,5 0 0,25 0,5 SDPUS-C1 WENO x EA (x )

Figura 3: Compara¸cão das solu¸cões (à esquerda) e confronto dos erros absolutos (à direita) gerados pelos esquemas WENO e SDPUS-C1 para a equa¸cão de adveçcão (Teste 1).

Teste 2 - Equa¸cões de Euler 1D: Neste caso considera-se múltiplas intera¸cões de choques fortes em que as equa¸cões de Euler s˜_{ao definidas em x ∈ [0, 1], com extrapola¸cão de ordem zero} no contorno e condi¸cões iniciais dadas por

[ρ0, u0, P0]T =    [1, 0, 1000]T, _{0 ≤ x ≤ 0.1,} [1, 0, 0.01]T, _{0.1 < x ≤ 0.9,} [1, 0, 100]T_, _{0.9 < x ≤ 1.} (7) Este teste é simulado no software CLAWPACK (Conservation LAW PACKage) [7] em que as solu¸cões são calculadas pelo método de Godunov, com termo de corre¸cão em que aplica-se o limitador de fluxo MC (Monotonized Central - difference limiter) [7], para a solu¸cão de referência, e o SDPUS-C1 é equipado no software para o cálculo da solu¸cão numérica. A Figura 4 mostra a compara¸cão entre as solu¸cões de referência (em 2000 células computacionais, com θ = 0.5) e a numérica (em 1000 células computacionais, com θ = 0.8) para ρ, à esquerda, e P , `

a direita, em t = 0.19. Pode ser observado, por essa figura, que o esquema oferece resultados satisfatórios em que os vales e os picos são capturados sem oscila¸cões.

Teste 3 - Equa¸cões de Euler 2D:Neste caso considera-se a intera¸cão de dois choques obl´ıquos (estados a e c) com dois choques normais (estados b e d). As equa¸cões de Euler são definidas em [0, 1] × [0, 1], com extrapola¸cão de ordem zero no contorno e condi¸cões iniciais dadas por

[ρ0, u0, v0, P0]T =            [1.5, 0, 0, 1.5]T_, _{estado a,} [0.13799, 1.2060454, 1.2060454, 0.0290323]T, estado b, [0.5322581, 1.2060454, 0, 0.3]T, estado c, [0.5322581, 0, 1.2060454, 0.3]T, estado d. (8)

(5)

0 0,5 1 0 2 4 6 Referˆencia SDPUS-C1 x ρ 0 0,5 1 0 500 1000 1500 2000 Referˆencia SDPUS-C1 x P

Figura 4: Solu¸cões para as equa¸cões de Euler 1D (Teste 2), ρ (à esquerda) e P (à direita).

As solu¸cões são calculadas no software CLAWPACK pelo método Godunov com termo de corre¸cão, aplicando-se o limitador de fluxo MC (para solu¸cão de referência com θ = 0.5) e SDPUS-C1 (com θ = 0.8.), em malhas uniformes de 200 × 200 células computacionais. Na Figura 5 apresentam-se as solu¸cões para o contorno de ρ, em t = 0.8, em que pode ser observado que a estrutura gerada pela solu¸cão de referência (à esquerda) é satisfatoriamente capturada pela solu¸cão do esquema SDPUS-C1 (à direita). Na Figura 6 comparam-se as solu¸cões (de referência e numérica) para ρ sobre y = x. Pode ser observado, por essas figuras, que os resultados numéricos estão em ótima concordância com a solu¸cão de referência.

Figura 5: Solu¸cão de referência (à esquerda) e o esquema SDPUS-C1 (à direita) para as equa¸cões de Euler 2D (Teste 3), para o contorno de ρ.

4.2 Equa¸c˜oes de Navier Stokes

As leis consideradas para a simula¸cão de escoamentos incompress´ıveis no regime laminar, são as equa¸cões de Navier-Stokes e continuidade 2D, dadas (em nota¸cão de Einstein), respecti-vamente, por ∂ui ∂t + ∂(uiuj) ∂xj = − ∂P ∂xi + 1 Re ∂ ∂xj ∂ui ∂xj + 1 F2 r gi, i = 1, 2, (9) ∂ui ∂xi = 0, (10)

(6)

0 0,25 0,5 0,75 1 0 1 2 Referˆencia SDPUS-C1 x ρ

Figura 6: Compara¸cão entre as solu¸cões para as equa¸cões de Euler 2D (Teste 3), ρ em y = x.

em que u é o vetor velocidade, P é a pressão e g vetor gravidade. Os parâmetros adimensionais Re = U0L0

ν e F r = U

0 √

L0/g

são, respectivamente, os números de Reynolds e Froud, com ν o coefi-ciente de viscosidade cinemática (constante), e U0 e L0 as escalas de velocidade e comprimento caracter´ısticos, respectivamente.

Teste 4 - Navier-Stokes 2D: Neste caso considera-se uma coluna de fluido (quadrada de

lados a = b = 0.057m) em equil´ıbrio hidrostático, confinada entre paredes impermeáveis fixas e sujeita à a¸cão da gravidade. Para simula¸cão consideram-se a condi¸cão de contorno free-slip aplicada nas paredes r´ıgidas, 1000 × 200 células computacionais, um dom´ınio de 0.5m × 0.1m, g = 9.81m/s2_{, L}

0 = a = 0.057m, V0 =√g · L = 0.74778m/s, ν = 10−6m2/s, Re = 42623.27 e F r = 1. A Figura 7 mostra a compara¸cão entre os dados apresentados por Colagrossi e Landrini [2] e o resultado do esquema SDPUS-C1 para o espalhamento horizontal do fluido xmax, em fun¸cão do tempo, com t = 0.2s. Por essa figura, observa-se que o resultado numérico obtido com o esquema SDPUS-C1 está em ótima concordância com o dados apresentados por Colagrossi e Landrini. 0 0,5 1 1,5 2 2,5 1 2 3 4

Num. (SPH) de Colagrossi e Landrini (2003)

Exp. de Martim e Moyce (1952) Num. (BEM) de Greco et al. (2003) Num. (Level Set) de Colicchio et al. (2003) Sol. de Ritter (1982) SDPUS-C1 xm a x /a tpg/a

Figura 7: Compara¸c˜ao entre os dados por Colagrossi e Landrini e o esquema SDPUS-C1 para xmax em

(7)

5 Conclus˜

oes e Trabalhos Futuros

Neste trabalho o novo SDPUS-C1, para a discretiza¸cão dos termos convectivos, foi apresen-tado e seu desempenho foi avaliado na resolu¸cão de problemas de leis de conserva¸cão (adveçcão de escalares 1D e equa¸cões não lineares Euler 1D e 2D). Como aplica¸cão o esquema foi empre-gado na resolu¸cão do colapso de uma coluna de fluido envolvendo uma superf´ıcie livre móvel. Os resultados numéricos obtidos mostraram claramente que o esquema SDPUS-C1 pode ser usado com confian¸ca na simula¸cão de sistemas hiperbólicos e problemas complexos de escoamentos de fluidos. Para o futuro, esse esquema será aplicado na resolu¸cão de escoamentos incompress´ıveis newtonianos/não newtonianos 3D com superf´ıcies livres móveis.

6 Agradecimentos

Agradecimentos a FAPESP (Processos: 2009/16954-8 e 2008/07367-9) e ao CNPq (Proces-sos: 300479/2008-5 e 133446/2009-3) pelo suporte financeiro.

Referˆ

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