Bem-vindo
´E um prazer receber vocˆe em Santa Maria para a VII Jornada de ´Algebra. Esperamos que aproveitem o estimulante ambiente cient´ıfico deste encontro, restabele¸ca contatos com amigos
e colaboradores, enquanto tem uma agrad´avel estada aqui. Se encontrar quaisquer dificuldades durante a sua estadia, sinta-se `a vontade para contatar qualquer um de n´os do
Comitˆe Organizador.
Comitˆ
e Organizador
E-mail: jornadadealgebra@gmail.com Alveri Alves Sant’ana, UFRGS Daiana Aparecida da Silva Flˆores, UFSM
Daiane Silva de Freitas, FURG Dirceu Bagio, UFSM Eliezer Batista, UFSC Gustavo Grings Machado, UFSM
Jo˜ao Roberto Lazzarin, UFSM Marcelo Muniz Alves, UFPR Marcelo Escudeiro Hernandes, UEM
Saradia Sturza Della Flora, UFSM V´ırginia Silva Rodrigues, UFSC
Comitˆ
e Cient´ıfico
Miguel Ferrero, UFRGS Antonio Paques, UFRGS Cesar Polcino Milies, USP
Ivan Shestakov, USP Walter Ferrer Santos, Udelar
Endere¸
co do hotel do evento
Centro de Eventos Cerrito BR158, km326, no 2725 - Bairro Nossa Senhora de Lourdes - Santa
Patrocinadores
A VII Jornada de ´Algebra deseja agradecer as seguintes entidades pelo patroc´ınio e apoio deste evento:
UFSM
Universidade Federal de Santa Maria www.ufsm.br
CCNE
Centro de Ciˆencias Naturais e Exatas www.ufsm.br/ccne
PPGMAT
Programa de P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica da UFSM www.ufsm.br/ppgmat
CAPES
Coordena¸c˜ao de Aperfei¸coamento Pessoal de N´ıvel Superior www.capes.br
DEPMAT
Departamento de Matem´atica da UFSM www.ufsm.br/depmat
30/Jul'('5ª
31/Jul'('6ª
1º/Ago'('Sáb
7:30(9:30
Café'da'Manhã
Café'da'Manhã
Café'da'Manhã
8:30(9:00
Cred/Abert
9:00(10:00 MC'('Gastón'García MC'('Gastón'García Ednei'Santulo
10:00(10:30 Gustavo'Machado Daniel'Rios
Fábio'Matos
10:30(10:45
Coffe'break
Coffe'break
Coffe'break
10:45(11:15 Bárbara'Pogorelsky Ricardo'Santos
11:15(12:15 Leandro'Vendramin Marcelo'Muniz
12:15(13:45
ALMOÇO
ALMOÇO
ALMOÇO
13:45(14:15 Dirceu'Bagio
Geovani'Raulino
14:15(14:45 Ronie'Dario
Glauber'Quadros
14:45(15:45 MC'('Gastón'García Vitor'Ferreira
15:45(16:00
Coffe'break
Coffe'break
16:00(16:30
Danielle'Azevedo
16:30(17:00
Grasiela'Martini
17:00(17:40 Eliezer'Batista
Pôster
19:30(21:00 Jantar
Felipe'Castro
Pôster
Excursão
Programação'('VII'Jornada'de'Álgebra'2015
Walter'Ferrer
Grupos quânticos matriciais
Gastón Garcia
ggarcia@mate.unlp.edu.ar UNLP
Enquanto não existe uma definição formal de grupo quântico, é amplamente aceito que esses objetos correspondem a deformações de álgebras associativas relaciona-das a grupos ou álgebras de Lie. Este curso irá apresentar a teoria básica através do estudo dos grupos quânticos associados aos grupos clássicos de matrizes como SL(n), GL(n), Sp(2n) e SU(n), algumas propriedades de determinantes quânti-cos e a teoria básica de representações que se refere a geometria destes grupos com a estrutura de sua álgebra de funções.
Referências
[1] B. Parshall, J. Wang. Quantum linear groups. Mem. Amer. Math. Soc.89 (1991), no. 439, vi+157 pp.
[2] M. Takeuchi, Some topics on GLq(n). J. Algebra147(1992), no. 2, 379–410.
[3] C. Kassel. Quantum groups. Graduate Texts in Mathematics, 155.Springer-Verlag, New York, 1995. xii+531 pp. ISBN: 0-387-94370-6.
Dimensão de Gelfand–Kirillov da álgebra de Lie das matrizes genéricas 2× 2 de traço zero.
Gustavo Grings Machado grings@smail.ufsm.br UFSM
Vesselin Drensky
drensky@math.bas.bg
IMI, Bulgarian Academy of Sciences Plamen Koshlukov
plamen@ime.unicamp.br IMECC-UNICAMP
Nesta comunicação faremos uma nova demonstração para a dimensão de Gelfand– Kirillov da álgebra relativamente livre de posto m na variedade de álgebras de Lie gerada pela álgebra de Lie sl2(K)das matrizes 2 × 2 de traço zero usando
resultados clássicos de Procesi e Razmyslov.
Referências
[1] Yu. A. Bahturin, Two-variable identities in the Lie algebra sl(2, k) (Russian), Trudy Sem. Petrovsk.5 (1979), 205-208. translation: Contemp. Soviet Math. Petrovskiˇı Seminar 5, Topics in Modern Math., Plenum, New York-London (1985), 259-263.
[2] V. Drensky, Codimensions of T-ideals and Hilbert series of relatively free algebras, J. Algebra 91 (1984), 1-17.
[3] V. Drensky, P. Koshlukov, G. G. Machado GK-dimension of the Lie Algebra of generic 2 × 2 matrices [arXiv:1503.02091]
[4] G. R. Krause, T. H. Lenagan, Growth of Algebras and Gelfand-Kirillov Dimension, Pitman Publ., London, 1985. Revsed edition: Graduate Studies in Mathematics22, AMS, Providence, RI, 2000.
[5] G. G. Machado, P. Koshlukov, GK dimension of the relatively free algebra for sl2, Monatsh.
Math.175 (2014), 543-553.
[6] C. Procesi, Non-commutative affine rings, Atti Accad. Naz. Lincei, Ser. 8,8 (1967), 237-255. [7] Yu. P. Razmyslov, Finite basing of the identities of a matrix algebra of second order over a
field of characteristic 0 (Russian), Algebra i Logika12 (1973), 83-113. translation: Algebra and Logic12 (1973), 43-63.
Módulos de Verma e módulos simples para grupos quânticos não pon-tuais
Bárbara Pogorelsky
barbara.pogorelsky@ufrgs.br UFRGS
Chamamos de grupo quântico não pontual ao duplo de Drinfeld da bosonização de uma álgebra de Nichols de dimensão finita sobre um grupo finito não abeliano. Provamos que um módulo de Verma de um grupo quântico não pontual possui um único quociente simples e "socle"simples. Como um exemplo, descrevemos o reticulado de submódulos dos módulos de Verma associados à bosonização da álgebra de Fomin-Kirillov de dimensão 12 e o grupo simétrico S3. Este é um
Globalização de ações parciais de grupóides sobre anéis s-unitários
Dirceu Bagio
sdbagio@gmail.com
Universidade Federal de Santa Maria
Neste trabalho, realizado em colaboração com H. Pinedo, provamos um teorema de globalização para ações parciais de grupóides sobre anéis s-unitários. Além disso, construímos um contexto (estrito) de Morita entre o skew anel de grupóide parcial e o skew anel de grupóide associado a globalização.
Dilatações de Representações Parciais de Álgebras de Hopf Eliezer Batista eliezer1968@gmail.com UFSC Marcelo M. S. Alves mmunizbr@gmail.com UFPR Joost Vercruysse jvercruy@ulb.ac.be ULB
Um dos problemas mais importantes na teoria de ações parciais de grupos e de álgebras de Hopf é o problema da globalização. Basicamente, a pergunta principal é se é possível obter uma determinada ação parcial a partir da restrição de uma ação global. Neste trabalho, apresentaremos desenvolvimentos recentes sobre a te-oria de globalização no contexto de representações parciais, as assim denominadas dilatações de representações parciais. No contexto de representações parciais de grupos, as dilatações foram introduzidas por Fernando Abadie [1]. No contexto de representações parciais de álgebras de Hopf, a categoria de H-módulos parciais possui uma estrutura monoidal, que explicita uma riqueza muito maior do ponto de vista de teoria de representações[3]. Neste trabalho, introduzimos o conceito de dilatação para representações parciais de álgebras de Hopf, com isto introduzimos uma nova categoria monoidal que está relacionada tanto com a categoria dos H módulos como com a categoria dos H módulos parciais. Com estas construções, podemos mostrar que a globalização é um funtor monoidal e que restrito aos obje-tos álgebra da categoria dos H-módulos parciais, coincide com a globalização de ações parciais obtida em um trabalho anterior [2]. Mostraremos também alguns exemplos não triviais, de dilatação para o caso de G graduações parciais e para o caso da álgebra de Hopf de Sweedler.
Referências
[1] F. Abadie. Dilations of interaction groups that extend actions of Ore semigroups, [ar-Xiv:1008.0903] (2010)
[2] Marcelo Muniz S. Alves, Eliezer Batista. Enveloping actions for partial Hopf actions, Comm. Algebra38 (2010) 2872-2902.
[3] Marcelo Muniz S. Alves, Eliezer Batista, Joost Vercruysse. Partial representations of Hopf algebras, J. Algebra426 (2015) 137-187.
Módulos Injetivos e a Dualidade de Matlis
Daniel Francisco Bustos Rios danielfbustos@hotmail.com Universidade Federal do Rio Grande do Sul
Apresentaremos uma caracterização dos módulos injetivos sobre anéis noetheria-nos comutativos como soma direta de módulos injetivos indecomponíveis. Dis-cutiremos algumas propriedades destes módulos e, em particular, exibiremos uma correspondência bijetiva entre espectro do anel e as classes dos módulos injetivos indecomponíveis. Como exemplo central apresentaremos o p-grupo de Prüfer e desta maneira exibiremos todos os Z-módulos injetivos. Finalmente, mostraremos uma correspondência bijetiva entre uma certa categoria de módulos noetherianos e uma categoria oposta de módulos artinianos.
(Trabalho orientado pelo ProfessorAlveri Alves Sant’ana (UFRGS)).
Referências
[1] Matlis, Eben. Injective Módules over Noetherian Rings. Pacific Journal of Mathematics, vol 8, N. 3, 1958.
Extensões de Hopf Ore
Ricardo Leite dos Santos rilesantos@gmail.com
Universidade Federal do Rio Grande do Sul
Extensões de Ore consistem em polinômios sobre um anel R em uma variável x, a qual não necessariamente comuta com os elementos de R. Tais estruturas recebem este nome em homenagem a Øyesten Ore (1899-1968), por ter sido o primeiro a estudar estas extensões no caso geral, R[x; α, δ].
Na teoria de álgebras de Hopf, extensões de Ore aparecem em [1], respondendo negativamente a décima conjectura de Kaplansky. Em seguida temos [2], que for-maliza extensões de Hopf Ore e estabelece condições necessárias e suficientes para que a extensão obtida a partir de uma álgebra de Hopf também o seja.
Neste trabalho estudamos estas extensões para o caso em que o anel base é uma álgebra de Hopf fraca. Nosso objetivo é estabelecer condições necessárias e sufici-entes como em [2] neste novo contexto. Esta pesquisa está sendo desenvolvida sob a orientação dos professores Alveri Alves Sant’Ana (UFRGS) e Christian Lomp (Faculdade de Ciências da Universidade do Porto-FCUP).
Referências
[1] M. Beattie, S. D˘asc˘alescu, L. Grünenfelder. On the number of types of finite dimensional Hopf algebras. Invent. math. v. 136, 1-7, November 12, 1999.
[2] A. N. Panov. Ore Extensions of Hopf Algebras. Mathematical Notes v. 74, n. 3, 401-410, September 24, 2002.
Álgebras de Hopf fracas associadas à grupóides duplos vacantes
Geovani Raulino
g.r.geovani@hotmail.com
Universidade Federal de Santa Maria - UFSM
Neste trabalho, construímos uma álgebra de Hopf fraca ([2]) a partir de um gru-póide duplo.
Dado um corpo k e um grupóide duplo
B ⇒ H
V ⇒ P
consideremos o k-espaço vetorial com base dada pelos elementos de B (caixas). Esse espaço vetorial tem estrutura de álgebra associada a estrutura de álgebra do grupóide B ⇒ H e tem estrutura de coálgebra associada a dual estrutura de álgebra do grupóide B ⇒ V. Estudamos as condições necessárias e suficientes para que este seja uma álgebra de Hopf fraca ([1]). Isto se verifica com a condição do grupóide duplo ser vacante ([3]).
Referências
[1] N. Andruskiewitsch and S. Natale. Double Categories and Quantum groupoids. Publ. Mat. Urug 10, 11-51, (2005).
[2] G. Böhm, F. Nill and K. Szlachányi. Weak Hopf algebras I. Integral theory and C*-structure. J. Algebra 221, 385-438, (1999).
[3] K. Mackenzie. Double Lie algebroides and Second-order Geometry. I, Adv. Math. 94, 180?239, (1992).
Estruturas geradas por (co)ações parciais e suas categorias
Glauber Quadros
glauberquadros@gmail.com Universidade Federal de Santa Maria
Teremos por objetivo construir estruturas baseadas nas (co)ações parciais. Mais ainda, daremos um enfoque categórico a estas estruturas.
Para uma álgebra de Hopf fraca H e uma álgebra A, definiremos um (A, H)-módulo parcial e um (A, H)-coH)-módulo parcial e mostraremos que cada um deles gera uma categoria.
Finalmente faremos uma correspondência entre as categorias {(A, H)-módulos parciais} ←→ { A#H - módulos} {(A, H)-comódulos parciais} ←→ {A⊗H - comódulos}
Referências
[1] S. Caenepeel and E. De Groot. Galois Theory for Weak Hopf Algebras. Rev. Roumaine Math. Pures Appl52 (2007) v.2 151-172 .
[2] F. Castro, A. Paques, G. Quadros and A. Sant’Ana. Partial Actions of Weak Hopf Algebras: Smash Product, Globalization and Morita Theory. Journal of Pure and Applied Algebra (to appear) .
Par Combinado Parcial de Álgebras de Hopf
Danielle Santos Azevedo
daniellesantos@furg.br Universidade Federal do Rio Grande Grasiela Martini
grasiela.martini@furg.br Universidade Federal do Rio Grande
A noção de par combinado de álgebras de Hopf foi introduzida por Mitsuhiro Ta-keuchi em [3] com o objetivo de gerar exemplos de álgebras de Hopf. De fato, Takeuchi mostra nesse artigo que se tivermos um par combinado de álgebras de Hopf, onde H é cocomutativa e L é comutativa, então L#H é uma álgebra de Hopf.
Com isso, surge naturalmente a seguinte questão: o que ocorre no caso em que as ações e coações envolvidas são parciais? E é exatamente isso que abordare-mos nesta apresentação oral, definindo par combinado parcial de álgebras de Hopf, juntamente com alguns resultados pertinentes e relevantes.
Referências
[1] M. M. S. Alves, E. Batista. Partial Hopf actions, partial invariants and a Morita context. Journal Algebra and Discrete Mathematics3, 1-19 (2009).
[2] S. Caenepeel, K. Janssen. Partial (co)actions of Hopf algebras and partial Hopf-Galois theory. Communications in Algebra36, 2923-2946 (2008).
[3] M. Takeuchi. Matched Pairs of Groups and Bismash Products of Hopf Algebras. Communica-tions in Algebra9:8, 841-882 (1981)
Álgebras de Hopf oriundas de Ações e Coações Parciais
Grasiela Martini
grasiela.martini@furg.br Universidade Federal do Rio Grande Danielle Santos Azevedo
daniellesantos@furg.br Universidade Federal do Rio Grande
Dada uma ação parcial λ de uma álgebra de Hopf H sobre um corpo k é possível obter uma ação parcial de H em qualquer álgebra envolvendo a ação λ. Dualmente, dada uma coação parcial ρ de uma álgebra de Hopf sobre um corpo também temos uma coação parcial de H em qualquer coálgebra envolvendo a coação ρ.
Após ter sido definido Par Combinado Parcial de Álgebras de Hopf, o primeiro questionamento que surge é: existe um exemplo desta nova definição? Nesta apre-sentação será mostrado que com a ação λ e a coação ρ obtemos um exemplo de par combinado parcial de álgebras de Hopf, bem como exibiremos uma álgebra de Hopf obtida a partir desse par combinado parcial.
Referências
[1] M. M. S. Alves, E. Batista. Partial Hopf actions, partial invariants and a Morita context. Journal Algebra and Discrete Mathematics3, 1-19 (2009).
[2] F. L. Castro, A. Paques, G. Quadros, A. Sant’Ana. Partial actions of weak Hopf algebras: Smash product, globalization and Morita theory. Journal of Pure and Applied Algebra , (2015) [3] F. L. Castro. On partial (co)actions on coalgebras: globalizations and some Galois theory.
Tese de Doutorado (2015).
[4] M. Takeuchi. Matched Pairs of Groups and Bismash Products of Hopf Algebras. Communica-tions in Álgebra,9:8, 841-882 (1981)
Uma versão do Teorema 90 de Hilbert para o Radical de Kaplansky
Fábio A. Matos
matos@ufsj.edu.br
Universidade Federal de São João del-Rei-UFSJ
Em 1969, em [K], Irving Kaplansky definiu um novo objeto para um corpo F de característica distinta de 2 que chamou simplesmente de radical. O Radical de Kaplansky, como ficou conhecido na literatura, é o conjunto dos elementos a ∈ F×
tais que DFh1, −ai = F×,isto é, a 1−forma de Pfister h1, −ai é universal. Para
K = F (√a), a∈ F×r (F×)2 uma extensão quadrática de F, denotaremos por
NK/F a função norma da extensão, ou seja, NK/F(x) = xσ(x), onde σ é um
gerador do grupo de Galois Gal(K/F ). Nosso objetivo é apresentar uma versão do Teorema 90 de Hilbert para o radical de Kaplansky, a saber:
Teorema 90 de Hilbert (Uma versão para o radical de Kaplansky): Sejam F um corpo de característica distinta de 2 e K = F (√r), r ∈ R(F ) r (F×)2.Se
F×/R(F )é um F2−espaço vetorial de dimensão finita com base {a1, . . . , an}
sa-tisfazendo (F×: D
Fh1, −aii) = 2 para todo i = 1, . . . , n, então NK/F−1 (R(F )) =
F×R(K).
Referências
[A] J. K. Arason, Cohomologische Invarianten quadratischer Formen. J. Algebra36 (1975), 448-491.
[CR] C. M. Cordes, J. R. Ramsey Jr., Quadratic forms over quadratic extensios of fields with two quaternio algebras. Can. J. Math.
[K] I. Kaplansky, Fröhlich’s local quadratic forms. J. reine angew. Math.39/40 (1969), 74-77. [KN] D. Kijima, M. Nishi, Kaplansky’s radical and Hilbert Theorem 90 II, Hiroshima Math. J.13
(1983), 29-37.
[L] T. Y. Lam, The Algebraic Theory of Quadratic Forms. American Math. Soc. 2000.
[M] M. Marshall, Abstract Witt rings, Queen’s Papers in Pure and Appl. Math., Vol 57, Kingston, Ontario, 1980.
Sobre as raízes da equação cúbica nos quatérnios de Hamilton
Ronie Peterson Dario ronie@utfpr.edu.br DAMAT-UTFPR
Gustavo Sanches Dalazen
dida.sanches@hotmail.com UTFPR
Ivan Niven [4] foi o primeiro a apresentar um método para obter as raízes da equa-ção polinomial
anxn+ . . . + a1x + a0= 0,
sobre a álgebra dos quatérnios de Hamilton. Um método mais eficiente, do ponto de vista computacional, foi exibido em [2]. Outra abordagem para o problema se-gue a teoria clássica das equações algébricas, no sentido de expressar as raízes em termos de operações algébricas elementares e radicais envolvendo os coeficientes da equação. Para o caso da equação quadrática isso foi feito em [3]. Nós estu-damos o correspondente problema para a equação cúbica. Neste caso, não existe uma fórmula geral para as raízes sem a (forte) restrição de que existe um quatérnio puro como raiz [1]. Sem assumir isto, densenvolvemos uma versão da fórmula de Cardano nos quatérnios, assumindo que os coeficientes são números reais. Utiliza-mos essencialmente o método de Niven. Para a equação cúbica geral (coeficientes quatérnios) obtivemos a fórmula assumindo uma restrição sobre os coeficientes.
Referências
[1] A. Chapman, Pure imaginary roots of quaternion standard polynomials [http://arxiv.org/abs/1109.4967v4]
[2] D. Janovská, G. Opfer A note on the computation of all zeros of simple quaternionic polyno-mials. SIAM J. Numer. Anal, Vol. 48, No. 1, pp. 244-256
[3] L. Huang Quadratic formulas for quaternions. Applied Mathematics Letters, v. 15, n. 5, p. 533-540, 2002.
[4] I. Niven, Equations in quaternions. The American Mathematical Monthly, v. 48, n. 10, p. 654-661, 1941.
Classificação das álgebras de Nichols sobre grupos não abelianos
Leandro Vendramin
lvendramin@dm.uba.ar UBA
Álgebras de Nichols surgem em diversos ramos da matemática desde álgebras de Hopf e grupos quânticos, até cálculo de Schubert e teorias de corpos conformes. Nesta palestra nós examinaremos os principiais problemas relacionados as álgebras de Nichols e discutiremos alguns teoremas de classificação.
Teoria de Galois sob um ponto de vista parcial
Felipe Castro
felipe.castro@ufsm.br Universidade Federal de Santa Maria
Nesta apresentação desenvolveremos a teoria de Galois no contexto de ações parci-ais, com enfoque na teoria de Galois para ações parciais de álgebras de Hopf fracas em álgebras e para ações parciais de álgebras de Hopf em coálgebras.
Referências
[1] F. Castro, A. Paques, G. Quadros and A. Sant’Ana. Partial Actions of Weak Hopf Algebras: Smash Product, Globalization and Morita Theory. Journal of Pure and Applied Algebra (2015) (to appear)
Álgebras de Hopf na natureza
Marcelo Muniz
marcelomsa@ufpr.br UFPR
Nesta palestra faremos uma introdução às álgebras de Hopf por meio das álgebras de Taft e de mais dois exemplos próximos. As álgebras de Taft são provavelmente o caso mais simples de álgebras de Hopf que não são nem comutativas e nem cocomutativas, e vem sido estudadas desde sua construção por Earl Taft no início da década de 70. O último exemplo é uma versão da álgebra de Taft, construída por Pareigis, que é associada à categoria de complexos de módulos sobre um anel comutativo.
Ações de álgebras de Hopf em álgebras associativas livres
Vitor Ferreira
vofer@ime.usp.br USP
Uma álgebra de Hopf H age linearmente em uma álgebra associativa livre A se a ação se restringe a uma estrutura de H-módulo no espaço vetorial gerado pe-los geradores livres em A. Reciprocamente, qualquer estrutura deH-módulo em um espaço vetorial V induz uma estrutura de H-módulo (linear) na álgebra tenso-rial sobre V . Nós inspecionaremos resultados recentes no estrutura da subálgebra de invairiantes da álgebra associativa livre sob uma ação linear de uma álgebra de Hopf, mostrando como estes resultados generalizam resultados conhecidos de ações de grupos por automorfismos e de ações de álgebras de Lie por derivações obtidos por Kharchenko, Lane, Jooste, Dicks-Formanek.
Álgebras de incidência - histórico e problemas
Ednei Santulo
easjunior@uem.br UEM
Nessa palestra serão apresentadas as álgebras de incidência, seu histórico, as mo-tivações para seu estudo, conexões com outras áreas da álgebra e serão discuti-dos problemas resolvidiscuti-dos recentemente e problemas em aberto relacionadiscuti-dos a elas, principalmente no que diz respeito a seus automorfismos, involuções, graduações e identidades polinomiais.
Cohomologia de álgebras de Hopf
Walter Ferrer
wrferrer@cmat.edu.uy Udelar
Construiremos para álgebras de Hopf uma teoria da cohomologia de comódulos e provamos suas propriedades principais. Em particular demonstra-se a validade da sequência espectral de Hochscild-Serre nesse contexto.
Álgebras de Hopf sobre espaços de árvores enraizadas
Alexandre Ribeiro
alexandre.ribeiro@usp.br
Instituto de Matemática e Estatística da USP
Apresentaremos a construção de duas álgebras de Hopf sobre o conjunto de árvores enraizadas, tais álgebras foram propostas por Kreimer e Connes [4] e Grossman e Larson [1], respectivamente. Daremos enfoque nos aspectos combinatórios de suas estruturas, explorando as formas de seus mapas fundamentais no detalhe. Por fim mencionaremos a conexão existente entre estas álgebras de Hopf, descrita a princípio por Panaite [5] e posteriormente corrigida por Hoffman [3].
Referências
[1] R. Grossman, R. G. Larson, Hopf-algebraic structure of families of trees. J. Algebra.126 p. 184-210 (1989).
[2] H. Figueroa, J. M. Gracia-Bondia, On the antipode of Kreimer’s Hopf algebra. Modern Physics Letters A16, p. 1427-1434, (2001).
[3] M. E. Hoffman Combinatorics of Rooted Trees and Hopf Algebras. Trans. Amer. Math. Soc.355, p. 3795-3411, , (2003).
[4] A. Connes, D. Kreimer Hopf Algebras, Renormalization and Noncommutative Geometry. Comm. Math. Phys.199, p. 203-242 (1998).
[5] F. Panaite, Relating the Connes-Kreimer and Grossman-Larson Hopf algebras built on rooted trees, Lett. Math. Phys.51, 211-219, (2000).
Um estudo sobre categorias hereditárias com objeto inclinante
Cristian Schmidt
cristianschmidt21@gmail.com Universidade Federal do Paraná
O objetivo deste trabalho é fazer um estudo sobre categorias hereditárias com ob-jeto inclinante utilizando obob-jetos excepcionais e a categoria perpendicular associ-ada a tais objetos. Mais especificamente, nosso objetivo é provar o seguinte teo-rema: Se H é uma k-categoria abeliana hereditária conexa com objeto inclinante e H tem um objeto não nulo de comprimento finito, então H é derivadamente equi-valente à categoria modH, para alguma álgebra hereditária H de dimensão finita, ou H é derivadamente equivalente à categoria cohX. Primeiramente, apresenta-remos de forma sucinta algumas propriedades básicas de categorias hereditárias com objeto inclinante. Em seguida, definimos objetos excepcionais e categorias perpendiculares para estudarmos suas propriedades, e finalmente, provamos o teo-rema mencionado anteriormente, utilizando algumas ferramentas de álgebras quase inclinadas e álgebras canônicas.
O anel de cohomologia de uma família de álgebras de Hopf de posto um
Diego das Neves de Souza
dasneves1990@yahoo.com.br Universidade Federal do Paraná
Neste pôster apresentaremos resultados de Burciu e Witherspoon sobre o anel de cohomologia de uma família de álgebras de Hopf de posto um (onde o posto foi de-finido por Radford e Krop) baseado em resultados anteriores de Redondo e Holm sobre a cohomologia de Hochschild de K[x]/hf(x)i. Sendo G um grupo, ire-mos abordar os grupos de cohomologia de G com coeficientes em um G-módulo e explicitaremos estes no caso em que G for um grupo cíclico finito. Sendo K um anel comutativo estudaremos também os K-módulos de cohomologia de uma K-álgebra A com coeficientes em um (A − A)-bimódulo e explicitaremos estes nos dois primeiros graus. Se f for um polinômio mônico em K[x] calcularemos as cohomologias de Hochschild de K[x]/hfi. No caso em que K é um corpo e f (x) = xn, para cada caractere χ : G → K∗temos uma ação de G em K[x]/hxni, e com isso formamos o produto smash B = K[x]/hxni#KG, onde KG é a
ál-gebra do grupo G. Trabalhando com a álál-gebra B, explicitaremos as cohomologias de Hochschild desta em cada grau, e depois veremos que há um isomorfismo entre as cohomologias de Hochschild de B de graus 2i e 2i + 1. Através do produto cup, calcularemos a estrutura de anel de cohomologia de Hochschild de B sob a hipótese de que a ordem do caractere antes citado seja divisor de n.
Referências
[1] T. Holm. Hochschild Cohomology Rings of Algebras k[x]/hfi, Beiträge zur Algebra und Geo-metrie Contribuitions to Algebra and Geometry, v. 41, n. 1, 2000, pg. 291-301.
[2] S. M. Burciu, S. J. Witherspoon. Hochschild Cohomology of Smash Products and Rank One Hopf Algebras, 2006.
[3] The Buenos Aires Cyclic Homology Group. Cyclic Homology of Algebras with One Generator, K-Theory 5, 1991, pg. 51-69.
[4] M. Gerstenhaber. The Comology Structure of an Associative Ring, Annals of Mathematics, v. 78, n. 2, 1963, pg. 267-288.
Corpos de característica p = 0 e de característica p, aproximações e particularidades
Djerly Simonetti
adjsimonetti@gmail.com
Universidade Tecnológica Federal do Paraná
O presente trabalho provêm do projeto de pesquisa Resolvendo Sistema de Equa-ções sob Corpos de Característica 2, ainda em andamento, sob orientação do Dr. Wilian F. Araujo. Até o presente momento nossos estudos pautaram-se nos concei-tos de extensões de corpos de característica p = 0, tendo como referência principal [1]. Em consonância com a proposta, fizemos uma análise do artigo Solução de Equações por Radicais em Característica p ≥ 0 de Otto Endler, a fim de perceber os resultados presentes no mesmo que possibilitariam avançar em nossos estudos, e como nesse artigo discorre-se sobre extensões de corpos de característica p, neste trabalho, estamos interessados em expor o elo entre o que já exploramos sobre corpos de caractrística p = 0 e corpos de característica p, as aproximações e parti-cularidades.
Referências
Correspondência de Galois-Grothendieck
Graziela Langone Fonseca
grazi_fonseca@hotmail.com Universidade Federal do Rio Grande do Sul
Apresentaremos a Correspondência de Galois-Grothendieck segundo a visão de A. Dress que, em [1], a desenvolveu especificamente através de um atalho construído, tendo como argumento principal o Lema de Dedekind e algumas propriedades bá-sicas da teoria de G-conjuntos.
(Trabalho orientado pelo ProfessorAntonio Paques (UFRGS)).
Referências
[1] A. W. M. Dress, R. G. Roberts, W. J. Stirling and R. S. Thorne. One more shortcut to Galois Theory. Advances in Mathematics 110 (1995) 129-140.
Álgebras de Hopf e Grupos Quânticos
Leonardo Duarte Silva
leonardoufpel@gmail.com
Universidade Federal do Rio Grande do Sul
Este trabalho tem como objetivo um primeiro contato com os chamados grupos quânticos. Para isto definimos um grupo quântico como sendo uma álgebra de Hopf que não é comutativa nem cocomutativa. Desta forma, como pré-requisito, exibimos também algumas definições e exemplos básicos sobre álgebras de Hopf. Para exibir um grupo quântico devemos então procurar por uma álgebra de Hopf que satisfaça as condições requeridas, como por exemplo a álgebra de Sweedler. Exibimos ainda outra estrutura que também é conhecida como grupo quântico, em que se utiliza a envolvente quântica de uma álgebra de Lie.
(Trabalho orientado por Barbara Seelig Pogorelsky, Universidade Federal do Rio Grande do Sul.)
Referências
[1] S. D˘asc˘alescu, C. N˘ast˘asescu, ¸S. Raianu. Hopf algebras: An Introduction. Marcel Dekker, (2001).
[2] S. Montgomery. Hopf algebras and their actions on rings. American Mathematical Society, (1993).
Teoria de Galois Parcial
Patrícia Lima da Silva
patricialsprof@gmail.com UFRGS
Neste trabalho desenvolvemos a Teoria de Galois Parcial sem exigir que os ideais envolvidos na ação parcial considerada sejam todos não nulos. Para isto, seguimos os passos de Chase, Harrison e Rosenberg fazendo as devidas adaptações ao caso parcial.
(trabalho orientado por Antonio Paques, UFRGS)
Referências
[1] S. U. Chase, D. K. Harrison and A. Rosenberg. Galois theory and Galois cohomology of com-mutative rings. Mem. Amer. Math. Soc. 52 (1965) 1-19.
[2] M. Dokuchaev, M. Ferrero and A. Paques. Partial actions and Galois theory. Journal of Pure and Applied Algebra 208 (2007) 77-87.
[3] A. Paques. Teoría de Galois sobre anillos conmutativos. Univ. de Los Andes, Mérida, Venezu-ela (1999).
Anéis de Operadores Diferenciais com a Propriedade Diamante
Robson Willians Vinciguerra robsonwv@gmail.com
Universidade Federal do Rio Grande do Sul
Na literatura, anéis para os quais fechos injetivos de módulos simples são local-mente artinianos são conhecidos como anéis que satisfazem a propriedade dia-mante. Tais anéis passaram a ser estudados de modo independente por volta de 1974, quando Jategonkar usou esta propriedade para mostrar que anéis FBN (fully bounded noetherian) satisfazem a conjectura de Jacobson. O objetivo deste pôster é apresentar os conceitos relacionados com esta propriedade, bem como, alguns aspectos históricos, exemplos e sua relação com a conjectura de Jacobson. Além disso, iremos destacar casos particulares de anéis de operadores diferenciáveis que satisfazem a propriedade diamante. Em geral, não se sabe quando anéis de ope-radores diferenciáveis satisfazem tal propriedade e esse assunto está relacionado com a pesquisa de doutorado que venho desenvolvendo no PPGMAT-UFRGS, sob orientação do professor Alveri Alves Sant’Ana (UFRGS) e coorientação da pro-fessora Paula Alexandra Carvalho Lomp (Universidade do Porto).
Ações Parciais sobre Categorias Fracas
Simone Francisco Ruiz
simone.ruiz@ufrgs.com
Universidade Federal do Rio Grande do Sul Wagner de Oliveira Cortes
cortes@mat.ufrgs.br
Universidade Federal do Rio Grande do Sul
Neste trabalho estudamos alguns conceitos relacionando ações parciais sobre cate-gorias fracas. Uma categoria fraca distingui-se de uma categoria pelo fato de que, na primeira, não se exige a existência de morfismo identidade para cada objeto. Dada uma categoria fraca C, tomamos a ação parcial de um grupo G sobre os mor-fismos de C e também sobre os objetos da mesma. Desta forma, é possível definir uma órbita parcial de G sobre os objetos e sobre os morfismos de C, por meio dos quais obtemos uma nova categoria fraca, a categoria quociente C/G. Neste caminho, relacionamos a ação parcial de G sobre C com a ação parcial de G sobre C/Ge, supondo que a primeira possua envolvente, mostramos que esta se estende à segunda. Também investigamos se algumas propriedades da ação parcial de G sobre C se estende à sua envolvente, quando existe, e vice-versa.
Referências
[1] E.Babson, D.N. Kozlov, Group actions on posets, J. Algebra285 (2005) 439–450.
[2] W.Cortes, M.Ferrero, E.N, Marcos, Group actions on categories, aceito para publicação no Communications in Algebra.
Teoria de Galois Parcial: um adendo
Victor Marin
vemarinc@unal.edu.co UFRGS
Em [1] Dokuchaev, Ferrero e Paques introduzem a teoria de Galois para ação par-cial de grupo sobre álgebras e estabelecem uma correspondencia de Galois entre os subgrupos de um grupo finito G agindo parcialmente sobre uma álgebra R, e algumas subálgebras separáveis de R. Dada uma ação parcial (veja [1])
α = {Dg}g∈G,{αg : Dg−1 → Dg}g∈G
de um grupo finito G sobre uma k- álgebra R (k anel comutativo com unidade) e um subgrupo H de G, tem-se por restrição a H, uma ação parcial αH de H sobre
R. Tambem, se R é uma extensão α -Galois parcial da subálgebra de todos os α-invariantes de R
Rα ={r ∈ R|αg(rx) = rαg(x),∀g ∈ G, x ∈ Dg−1},
então R é uma extensão αH-Galois parcial de RαH [1]. Além disso, se H é um
subgrupo normal de G, pode-se obter uma ação parcial de G/H sobre RαH e neste
caso RαH é uma extensão α
G/H-parcial de Rα.
Referências
[1] M. Dokuchaev, M. Ferrero and A. Paques. Partial actions and Galois theory. J. Pure Appl. Algebra 208 (2007), 77-87.
A Influência dos Subgrupos Minimais na Estrutura de Grupos Finitos
Wilian Francisco de Araujo waraujo@utfpr.edu.br
Universidade Tecnológica Federal do Paraná
Neste trabalho realizamos um estudo do artigo “The influence of minimal sub-groups of focal subsub-groups on the structure of finite sub-groups" de X. Y. Guo e K. P. Shum, [3], onde investigam a influência da existência de complementos dos sub-grupos minimais de um grupo G finito na estrutura do grupo. Um resultado de Guo e Shum, diz que se p é o menor divisor primo da ordem de um grupo finito G e P um p-subgrupo de Sylow de G e se todo subgrupo minimal de P ∩ G0 tem um
complemento em NG(P ), então G é p-nilpotente.
(Dissertação de mestrado orientada pela profa. Dra.Irene Naomi Nakaoka,
Uni-versidade Estadual de Maringá.)
Referências
[1] BALLESTER-BOLINCHES, A. & GUO, X.Y.: On Complemented Subgroups of Finite Groups. Arch. Math. 72 (1999), 161-166.
[2] DOERK, K.: Minimal nicht Überauflösbare, endliche Gruppen. Math. Zeitschr. 91 (1996), 198-205.
[3] GUO, X.Y. & SHUM, K.P.: The Influence of Minimal Subgroups of Focal Subgroups on the Structure of Finite Groups. Journal of Pure and Applied Algebra. 169 (2002), 43-50. [4] HALL, P.:Complemented Groups. J. London Math. Soc. 12 (1937), 201-204.
Ação de semigrupos e ação parcial de grupos em frações e generaliza-ções
Willian Valverde
valverde.willian@gmail.com Universidade Federal do Paraná
Neste pôster, apresentaremos alguns dos resultados obtidos em um trabalho de conclusão de curso em Licenciatura em Matemática. No mesmo, inicialmente é abordada a construção algébrica do Corpo de Frações, partindo do anel Z, poste-riormente é analisado o processo de Localização, que é a construção de elementos inversos a partir de um anel comutativo qualquer A. Posteriormente, mostramos uma construção do Corpo de Frações a partir de uma ação do semigrupo multipli-cativo Z∗ no conjunto Z × Z∗e é provada que a relação de equivalência existente
para ações de semigrupo implica na relação de equivalência usual da construção do Corpo de Frações e vice-versa. Também é mostrado que é possível gerar toda a classe de equivalência de uma fração (a, b) a partir de uma ação parcial do grupo multiplicativo Q∗no conjunto Z × Z∗. Num segundo momento, abordamos alguns
dos assuntos que vêm sendo estudados durante a dissertação de Mestrado em Mate-mática, em andamento, que visam generalizar relações entre ações de semigrupos, em especial semigrupos inversos, e ações parciais de grupos, como, por exemplo, que ações parciais de um grupo G em um conjunto X correspondem a ações do semigrupo inverso S(G) em X, onde S(G) é o semigrupo de Exel, definido por geradores e relações.
Referências
[1] M. F. Atiyah, I. G. Macdonald. Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley Pu-blishing Company, 1969.
[2] M. Dokuchaev, R. Exel. Associativity of crossed products by partial actions, enveloping actions and partial representations. Trans. Amer. Math. Soc., 357, 2005.
[3] J. M. Howie. An introduction to semigroup theory. L.M.S. monographs, Academic Press, 1976. [4] T. M. B. Makuta. Cohomologia para ações parciais de grupos. Dissertação em Matemática, Programa de Pós-Graduação em Matemática Aplicada, Universidade Federal do Paraná, Curi-tiba, 2015.
