ERROS E DIFICULDADES DE ALUNOS DO 1.º CICLO NA
REPRESENTAÇÃO DE DADOS ATRAVÉS DE GRÁFICOS
ESTATÍSTICOS
1Ana Michele Cruz
Agrupamento de Escolas D. João II anamichelecruz@live.com.pt
Ana Henriques
Instituto de Educação da Universidade de Lisboa achenriques@ie.ul.pt
Resumo
A literatura tem evidenciado as dificuldades reveladas pelos alunos de diferentes níveis de ensino na compreensão de conceitos e procedimentos de estatística. Nesta comunicação descrevemos e analisamos os principais erros e dificuldades evidenciadas por alunos do 1.º ciclo na representação de dados através de gráficos estatísticos, ao longo de uma unidade de ensino. Os resultados do estudo indicam que, apesar dos erros e das dificuldades iniciais na construção de gráficos estatísticos, nomeadamente em relação aos seus elementos essenciais, ao longo da unidade de ensino os alunos evoluem na compreensão desses elementos e passam a construir gráficos mais completos. Deste modo, desenvolvem, também, a sua literacia estatística.
Palavras-chave: Gráficos estatísticos; Unidade de ensino; Dificuldades dos alunos, Organização e tratamento dados.
Introdução
O ensino e a aprendizagem da Estatística têm adquirido, nos últimos anos, uma grande importância devido ao seu reconhecido papel na educação dos cidadãos (NCTM, 2007). Em Portugal, esta importância reflete-se no currículo de Matemática, onde se inclui, cada vez com maior ênfase e profundidade, o tema da “Organização e tratamento de dados (OTD)” (ME, 2007). Para o 1.º ciclo do ensino básico, o aspeto central das orientações curriculares é o desenvolvimento da capacidade de recolher e organizar dados relativos a uma situação ou a um fenómeno familiar dos alunos e de os representar de modo adequado, nomeadamente através de tabelas e gráficos (ME, 2007). As normas do NCTM (2007) também recomendam que do 3.º ao 5.º ano os alunos
1 Estudo realizado no âmbito do Projecto DSL – Developing statistical literacy: Student learning and teacher education, apoiado pela FCT-Fundação para a Ciência e a Tecnologia (contrato
PTDC/CPE-devem começar a representar os dados em tabelas, gráficos de barras e cartesianos, desenvolvendo a compreensão das diferentes formas de representação e preparando-se para compararem dois ou mais conjuntos de dados.
Este crescente foco no ensino da Estatística e a sua implementação generalizada, conduziu a um desenvolvimento da investigação didática, embora o número de investigações sobre esta temática ainda seja reduzido, sobretudo no que diz respeito às dificuldades reveladas pelos alunos dos primeiros anos de escolaridade na compreensão de gráficos estatísticos e ao tipo de ensino que lhes permite uma melhor aprendizagem. Neste contexto, torna-se pertinente realizar um estudo com o objetivo de descrever e analisar os principais erros e dificuldades evidenciadas por alunos do 1.º ciclo na representação de dados através de gráficos estatísticos, ao longo de uma experiência de ensino.
Erros e dificuldades na representação gráfica de dados estatísticos
Friel, Curcio e Bright (2001) argumentam que a compreensão dos gráficos é fundamental para se retirar a máxima informação a partir deles. Neste sentido, Ponte (1994) entende que a compreensão dos gráficos envolve o desenvolvimento de três competências: a sua leitura, interpretação e construção. A competência relacionada com a leitura de gráficos deve ser desenvolvida de modo a que os alunos sejam capazes de extrair dados do gráfico e produzir informação a partir deles (Wu, 2004). A interpretação de gráficos diz respeito à capacidade dos alunos formularem opiniões sobre a informação nele representada e a sua construção está associada à capacidade de saber representar ou editar dados graficamente. Wu (2004) acrescenta uma quarta competência, relacionada com a compreensão dos gráficos, que denomina por avaliação, defendendo que os alunos devem saber avaliar a precisão e eficácia de um gráfico.
As representações gráficas (gráficos, tabelas e diagramas) surgem em diversos contextos do dia a dia dos alunos (não exclusivamente escolares) e são usados, frequentemente, para comunicar dados estatísticos (Curcio, 1989). Justifica-se, assim, a necessidade de desenvolver nos alunos competências que os ajudem a representar e a interpretar essa informação de um modo crítico e reflexivo, elevando os seus níveis de literacia (Carvalho, 2009). No entanto, estas competências não se desenvolvem apenas por intuição, é necessário desenvolver metodologias de sala de aula que promovam o
trabalho com as representações gráficas, permitindo que os alunos realizem aprendizagens significativas sobre o conceito de gráfico e seus elementos e, consequentemente, desenvolvam a compreensão dos mesmos (Curcio, 1987; Shaughnessy, 2007).
O gráfico de barras simples é uma das representações fundamentais, pois é de fácil construção e leitura. Este gráfico é normalmente utilizado para representar dados de variáveis qualitativas ou quantitativas discretas, segundo categorias e é expresso por barras com uma largura uniforme, cuja altura ou comprimento é proporcional à quantidade que representam (Arteaga, 2010; Curcio, 1989). É composto por dois eixos perpendiculares, devidamente legendados e rotulados, que se intercetam na origem. As frequências também podem ser colocadas no eixo horizontal ou vertical. Na construção de um gráfico de barras simples, o espaçamento entre as barras deve ser aproximadamente igual à largura das barras, pois se for demasiado grande dificulta a comparação dos dados e se for demasiado próximo parece-se com um histograma (Silva, 2006).
O pictograma é usado para representar variáveis quantitativas discretas, através de símbolos que podem ser do mesmo tamanho e forma e que são colocados sobre um eixo horizontal ou vertical, devidamente legendado. Este tipo de gráfico, pelas suas características, é adequado para os níveis escolares iniciais (Carvalho, 2009). De facto, mesmo que utilizado sem legenda, o gráfico pode ser compreendido pelos alunos mais novos, uma vez que o símbolo é normalmente revelador do que se pretende representar, embora a sua divisão possa ser um obstáculo para algumas crianças (Curcio, 1989). Ao construir um gráfico, os alunos têm que realizar um conjunto de procedimentos e usar uma série de conceitos e propriedades, relacionados com o seu tipo, que permita apresentar, de modo compreensível, informações que de outro modo seriam difíceis de interpretar (Arteaga, 2010). No entanto, os alunos nem sempre possuem os conhecimentos necessários sobre os principais elementos de um gráfico (Carvalho, 2009), essenciais na compreensão das relações nele representadas e que, segundo Curcio (1989), são o título, os rótulos dos eixos e as escalas. Silva (2006) complementa a lista destes elementos, acrescentando a legenda e as linhas auxiliares e distingue duas áreas distintas onde eles se dispõem: a área do desenho do gráfico e a área exterior ao gráfico. Dependendo do seu tipo, a área do desenho do gráfico deve incluir os eixos, construídos segundo linhas retas e onde são colocadas as frequências e as variáveis de
forma ordenada da esquerda para a direita no eixo horizontal e de baixo para cima no eixo vertical, a partir do valor mínimo, caso sejam numéricas e as linhas auxiliares, que têm um papel secundário mas podem facilitar uma leitura correta dos dados. Na área exterior do gráfico deve estar representado o título, por cima do gráfico e na horizontal, que descreve sucintamente o que está apresentado mas contendo a informação essencial para uma interpretação correta do mesmo (Silva, 2006). Segundo o autor, os rótulos constituem a identificação dos eixos e devem fazer referência às unidades adotadas, no caso de valores numéricos. Já a legenda, pode estar em qualquer uma das áreas e é constituída por símbolos e respetivas designações.
Alguns estudos realizados sobre o desenvolvimento da compreensão de gráficos estatísticos, em diversos níveis de ensino, têm mostrado que os alunos sentem dificuldades e cometem erros na sua construção (Carvalho, 2001; Curcio, 1987; Morais, 2010; Shaughnessy, 2007). Estas dificuldades podem surgir por ser uma temática pouco explorada pelos professores, na sala de aula, que consideram “um tema para o qual os alunos são facilmente motivados e em cuja aprendizagem não apresentam grandes dificuldades” (Sousa, 2002, p.78). Outros autores argumentam que também podem ser devidas às metodologias usadas, aos materiais usados e respetiva exploração (Fernandes, Carvalho & Ribeiro, 2007).
Carvalho (2001) constatou que as dificuldades associadas à construção de gráficos estatísticos, por alunos do 7.º ano de escolaridade, estavam relacionadas com a grandeza dos dados e com a definição de escalas adequadas para os representar. Nos estudos de Ponte (1984) e Morais (2011), a identificação dos eixos horizontal e vertical foi uma dificuldade persistente numa grande variedade de tipos de gráficos. Além disso, num estudo com alunos do 9.º ano, Morais (2011) ainda identifica algumas dificuldades relacionadas com a falta de rigor na construção do gráfico e com a seleção de um gráfico adequado para representar a situação proposta.
No que diz respeito ao gráfico de barras simples, os erros identificados na literatura como os mais comuns são a falta de centralidade das barras nos valores do eixo das variáveis, a construção de barras unidas (Arteaga, 2010; Morais, 2011), a não divisão uniforme das escalas (Ponte, 1984; Wu, 2004), a existência de construções em que os valores das frequências não coincidem com os considerados nas escalas e a ausência de títulos e de rótulos nos eixos (Wu, 2004). Nestes gráficos também se verificam outras dificuldades associadas à marcação de escalas, nomeadamente omitir as escalas num
dos eixos horizontal ou vertical ou em ambos, escolher uma escala inadequada ao conjunto de dados e marcar escalas em ambos os eixos, com um número insuficiente de divisões e que não contemplam o ponto de origem dos eixos coordenados (Arteaga, 2010; Wu, 2004).
Metodologia
Neste estudo, parte de um trabalho de investigação mais alargado, pretendemos descrever e analisar os erros e dificuldades que os alunos do 1.º ciclo revelam na representação de dados estatísticos através de gráficos, ao longo de uma unidade de ensino de Organização e Tratamento de Dados (OTD). Tendo em conta estes objetivos, optámos por uma metodologia de investigação qualitativa e interpretativa (Bogdan & Biklen, 1994).
Os participantes são os 25 alunos (15 rapazes e 10 raparigas, com idades compreendidas entre 8 e 9 anos) do 3.º ano de escolaridade de uma turma de uma escola básica situada no concelho de Sintra, onde a primeira autora é também professora. O seu aproveitamento escolar, na área curricular de Matemática, é satisfatório mas apresentam um deficiente domínio da língua portuguesa, reflexo das diferentes etnias e culturas de origem e um comportamento inadequado em sala de aula, que prejudica visivelmente as suas aprendizagens.
A unidade de ensino realizou-se no ano lectivo de 2011/2012, nas aulas de OTD, apoiada na realização de 7 tarefas que visam desenvolver a capacidade de leitura, interpretação e construção de gráficos estatísticos, promovendo a aprendizagem dos alunos. A realização de cada tarefa, em sala de aula, contemplou três momentos principais (Ponte, Brocardo & Oliveira, 2003): (i) a apresentação da tarefa, aos alunos, através de um enunciado escrito; (ii) a exploração da tarefa, durante a qual os alunos trabalharam em pares ou pequenos grupos de 3 elementos; e (iii) a apresentação e discussão das suas conclusões perante a turma. Nestes momentos de discussão, em grande grupo, foram trabalhados os aspetos das respostas dos alunos onde se verificaram dificuldades. Além disso, a discussão forneceu oportunidade para a professora validar e construir uma compreensão comum de várias representações gráficas e introduzir novos elementos. O trabalho em sala de aula também incluiu oportunidades para a resolução de problemas e de exercícios de aplicação e consolidação de conhecimentos.
No estudo que aqui relatamos, recorremos essencialmente à análise dos documentos produzidos pelos alunos, quer as suas resoluções escritas, durante a realização das várias tarefas, quer os testes diagnóstico e final. A análise apresentada tem por base os aspetos teóricos revistos na literatura sobre o tema em estudo e foca-se apenas nas tarefas que incluem questões relativas à construção de gráficos, nomeadamente os de barras e pictogramas. Assim, identificamos e descrevemos as principais dificuldades e os erros cometidos pelos alunos no teste diagnóstico, realizado antes da unidade de ensino, nas tarefas 1, 4, 5 e 7, realizadas ao longo da mesma e no teste final, realizado no fim do ano letivo. Deste modo, é feita uma análise ao percurso dos alunos, no sentido de aferir a sua evolução durante a unidade de ensino.
Desempenho dos alunos na construção de gráficos estatísticos
Antes da unidade de ensino
Antes das aulas de OTD terem início, foi aplicado um teste diagnóstico, realizado individualmente, com o objetivo de avaliar os conhecimentos e dificuldades dos alunos na compreensão de gráficos estatísticos. Na questão 4 do teste, pedia-se aos alunos para completarem um gráfico de barras a partir de informação fornecida numa tabela.
Nesta questão, a construção do gráfico de barras está bastante simplificada pelo facto de já estarem representados os eixos e respetivos rótulos e legendas, a escala e as linhas auxiliares. Contudo, 3 alunos não responderam à questão e 8 cometeram erros na construção do gráfico, desenhando barras com alturas não proporcionais ao número de casos observados (Figura 1). Esta dificuldade parece estar relacionada com a leitura da
Teste diagnóstico
4 - A tabela indica o número de almoços servidos, durante uma semana, na escola do Paulo. Utiliza a informação da tabela para completares o gráfico seguinte.
escala, pois os alunos desenham corretamente as barras com frequência 50 e 100, que são valores explícitos na escala mas não compreendem que as linhas auxiliares correspondem a divisões de 25 e, por isso, desenham incorretamente a barra correspondente à frequência 125.
Figura 1. Respostas dos alunos na questão 4 do teste diagnóstico
Outros erros identificados nas suas respostas foram a construção de barras com larguras diferentes (6 alunos), a falta de centralidade das mesmas nos valores do eixo horizontal e um espaçamento não uniforme entre elas (4 alunos), sendo que, num dos casos, aparecem mesmo juntas.
Durante a unidade de ensino
Na primeira tarefa proposta durante a unidade de ensino (Tarefa1), pedia-se aos alunos que completassem uma tabela com as frequências absolutas correspondentes às contagens indicadas na primeira linha da tabela e que construíssem um pictograma, a partir dessa informação, onde já estavam representados o título e os eixos com a sua identificação.
Os alunos completaram a tabela com facilidade. A única dificuldade com que se depararam, decidir se o 5.º traço diagonal nas contagens deveria ser considerado um voto e contar para a frequência, foi ultrapassada comparando o número de traços e a frequência correspondente na coluna do leão.
Os alunos contataram com o pictograma, pela primeira vez, no teste diagnóstico, onde tinham que responder a algumas questões de interpretação. No entanto, durante a sua discussão, a professora fez referência aos seus elementos principais. Apesar disso, a construção do pictograma mostrou-se uma tarefa muito difícil com todos os grupos a cometerem algum tipo de erro. Quase todos os grupos (80%) construíram o gráfico utilizando símbolos pictóricos unitários e representativos de cada tipo de animal e onde cada coluna do gráfico contém um número de imagens do animal a representar igual à sua frequência na tabela, revelando compreensão do que é um pictograma. No entanto, estas opções dos alunos trouxeram dificuldades à sua construção. Como os alunos desenharam os vários símbolos com dimensões diferentes, a área do desenho do gráfico apresenta um grande desequilíbrio visual, em 60% das respostas dos grupos, como mostram os exemplos da Figura 2.
Figura 2. Pictogramas construídos pelos alunos (desequilíbrio visual)
Nalguns casos, as imagens dos animais (o leão que tem a maior frequência) saem fora desta área ou ocupam mais do que uma coluna. Noutros casos, a área do desenho
Tarefa 1- Animais preferidos
Perguntámos aos 20 alunos de uma turma do 1.º ciclo quais os animais que preferiam e os resultados foram os seguintes:
1 - Completa a tabela indicando os números respetivos.
ocupada por essas imagens não é proporcional à sua frequência. Observa-se, ainda, que a legenda do eixo horizontal está omissa em 30% dos gráficos construídos, talvez porque os alunos consideram que a imagem selecionada para representar o animal é auto explicativa.
Também é frequente iniciarem a construção do gráfico desenhando os símbolos de cima para baixo (25%) e, nalguns destes casos (15%), os rótulos são também escritos na parte superior do gráfico e não no eixo horizontal (Figura 3).
Figura 3. Pictogramas construídos pelos alunos (construção invertida)
Dois grupos desenham um único símbolo pictórico (um para cada animal) e complementam o gráfico com as respetivas frequências absolutas, representadas por números ou traços, tal como aparece na tabela do enunciado (Figura 4).
Figura 4. Pictogramas construídos pelos alunos (lógica de tabela)
Estes alunos parecem ver os gráficos numa lógica de tabela, onde os nomes dos rótulos são substituídos por símbolos, revelando falta de compreensão sobre o que é um pictograma e os elementos que o constituem.
Em 15% das respostas, os alunos utilizam símbolos não alegóricos unitários, como traços ou bolas, para representar a variável (Figura 5). Nestes casos, como o símbolo não explicita o tipo de animal, os alunos já sentem a necessidade de incluir rótulos no
gráfico, apesar da evidente dificuldade na sua colocação adequada no eixo horizontal (abaixo dele).
Figura 5. Pictogramas construídos pelos alunos (símbolos não alegóricos)
Na Tarefa 4, pediu-se aos alunos para construir um gráfico à sua escolha a partir de um conjunto de dados recolhidos e registados no quadro da sala de aula, por eles.
Nesta tarefa, 20% dos grupos não desenham nenhum gráfico e dos restantes, 60% optam por construir um pictograma e 40% apresentam um gráfico de barras. Na construção dos pictogramas os alunos continuam a revelar muitas dificuldades, como mostram os exemplos da Figura 6. Todos os grupos utilizam símbolos pictóricos (algibeiras ou meninos) unitários mas não identificam corretamente a variável a representar e confundem a sua frequência com as suas categorias. No primeiro exemplo, os alunos desenharam o total de algibeiras dos alunos registados em cada uma das quatro colunas em que o quadro foi dividido durante o registo dos dados. No segundo exemplo, cada símbolo corresponde a um aluno rotulado com o respetivo número de algibeiras e, assim, os gráficos também não traduzem qualquer redução dos dados.
Os erros anteriormente identificados, como a omissão do eixo, da respetiva legenda e dos rótulos das categorias da variável ou a construção do gráfico de cima para baixo mantêm-se e até se agravam por falta de explicitação da variável e suas categorias.
Tarefa 4 - Quantas algibeiras?
1 - Quantas algibeiras tens hoje na tua roupa? E os teus colegas?
Figura 6. Pictogramas construídos pelos alunos na Tarefa 4
Este facto também deu origem à maioria dos erros observados na construção do gráfico de barras, exemplificados na Figura 7:
Figura 7. Gráfico barras construídos pelos alunos na Tarefa 4
Os alunos omitem eixos (15% dos grupos), linhas auxiliares e legendas (25%), a escala nem sempre começa no zero (15%), as barras não são retangulares (10%) e estão muito afastadas ou muito juntas, dificultando a leitura do gráfico (40%).
Na Tarefa 5, em que foi pedido aos alunos para construírem um gráfico de barras a partir dos dados de uma tabela, algumas das dificuldades descritas mantêm-se mas surgem com menor frequência.
A maior dificuldade observada na construção do gráfico foi a seleção e marcação da escala no eixo vertical. Metade dos alunos não seleciona uma unidade constante para a escala e marcam no eixo vertical apenas as frequências das várias categorias da variável, indicadas na tabela, pela ordem por que aparecem, como se mostra na Figura 8:
Figura 8. Gráfico barras construídos pelos alunos na Tarefa 5
Na Tarefa 7, a última desta unidade de ensino, pretendia-se que os alunos construíssem um gráfico à escolha para representar os dados da situação proposta. Para isso, deveriam começar por determinar as frequências absolutas, representando-as numa tabela.
No preenchimento da tabela não se verificaram dificuldades e os poucos enganos deveram-se à falta de atenção na contagem, confirmada pelo questionamento posterior
da professora. Em relação à construção do gráfico, todos os grupos responderam à questão e optaram pelo gráfico de barras.
A análise das respostas revela que 70% dos grupos cumpriram as regras relacionadas com a construção de gráficos de barras. A área de desenho já apresenta um equilíbrio visual adequado, com barras da mesma largura, com altura proporcional ao número de casos observados na categoria, centradas nos valores do eixo horizontal e espaçadas entre si, de forma aproximadamente homogénea, construídas num sistema de eixos perpendiculares que se intersetam na origem. Os exemplos da Figura 9 mostram os erros identificados nesta tarefa:
Figura 9. Gráficos de barras construídos na Tarefa 7
Só 15% dos grupos omitiram pelo menos uma das legendas e 10% destes cometeram, igualmente, erros relacionados com a escala, marcando no eixo vertical as frequências sem atender à proporção entre elas e repetindo-as em caso de igualdade. Só 5% dos grupos omitiu também os eixos. Portanto, salienta-se uma diminuição também no número de erros por gráfico.
Final da unidade de ensino
No final da unidade de ensino, os alunos realizaram um teste, individualmente, onde lhes foi pedido para construírem um gráfico de barras para representar a informação disponibilizada através de um pictograma.
Nesta questão, todos os alunos foram capazes de retirar do pictograma a informação que precisaram para construir o gráfico de barras, sugerindo que as dificuldades com esse tipo de gráfico são, sobretudo, ao nível da sua construção.
Os gráficos de barras construídos apresentam-se, de modo geral, bastante completos. Os alunos já tiveram o cuidado de legendar os eixos, embora tenham dificuldade na escolha das expressões a utilizar, como mostram os exemplos da Figura 10:
Figura 10. Gráficos de barras, teste final
Em relação à escala, os alunos também já a marcam a partir da origem dos eixos coordenados, com intervalos constantes e nem sempre unitários (por exemplo, de 5 em 5) e constroem barras com alturas proporcionais à sua frequência, mesmo quando esta não coincide com as marcas explícitas.
A concluir
Os resultados deste estudo revelam que os alunos enfrentam muitas dificuldades na construção de gráficos estatísticos e que, tal como sugerem Lima e Selva (2010), não são específicas deste nível de ensino, uma vez que também são referidas em estudos anteriores com alunos de diferentes idades (Freitas, 2011; Morais, 2011) e até com
Teste Final
3 - No jardim da escola, que tem um lago m uito bonito, o professor decidiu ir com os alunos verificar que tipo de animais é que havia no jardim . Verificaram que havia animais de 4 tipos: cães, peixes, patos e tartarugas. Quando chegaram à sala de aula, os alunos representaram a informação recolhida no gráfico seguinte:
futuros professores (Arteaga, 2010). De facto, a omissão dos eixos e das respetivas legendas e rótulos foi o erro mais comum nos dois tipos de gráficos construídos pelos alunos, tal como verificado por Morais (2011). No gráfico de barras, as dificuldades sentiram-se, sobretudo, em relação à escala. Como referido nos estudos de Ponte (1984) e Wu (2004), os alunos não selecionam uma unidade constante para a escala e nem sempre a marcam a partir da origem dos eixos coordenados. Quando os dados são fornecidos através de uma tabela, os alunos marcam no eixo vertical as frequências das várias categorias da variável pela ordem por que são apresentadas, erro não mencionado por outros investigadores. Foram também identificados gráficos onde as barras têm larguras diferentes e um espaçamento não uniforme entre elas, não são centradas nos valores do eixo horizontal e as suas alturas não são proporcionais ao número de casos observados, aspetos mencionados em Arteaga (2010) e Morais (2011). Os pictogramas construídos apresentam um grande desequilíbrio visual, uma vez que os alunos desenham os vários símbolos com dimensões diferentes e, por vezes, de cima para baixo, rotulando-os na parte superior do gráfico e omitindo a legenda do eixo horizontal. Noutros casos, ainda, os alunos ou desenham um único símbolo pictórico (um para cada animal) e complementam o gráfico com as respetivas frequências absolutas, representadas por números ou traços, segundo uma lógica de tabela ou utilizam símbolos não alegóricos unitários, como traços ou bolas, para representar a variável.
Apesar das dificuldades observadas, o desempenho dos alunos na construção de gráficos de barras evoluiu ao longo da unidade de ensino, verificando-se uma diminuição no número de alunos a cometerem erros, bem como no número de erros identificados em cada gráfico. No pictograma, a evolução não é tão notória pois algumas dificuldades persistiram até ao final da unidade de ensino, evidenciando a necessidade de um trabalho mais continuado na sala de aula para se obter um bom desempenho na sua construção (Shaughnessy, 2007). Além disso, como as concepções erradas dos alunos são difíceis de mudar (Garfield & Ahlgren, 1988), o desenvolvimento da literacia estatística dos alunos mais velhos (onde se inclui a construção de gráficos) só será possível se nos primeiros anos desenvolverem compreensão profunda dos conceitos elementares.
Os resultados também evidenciam, face às dificuldades identificadas, a necessidade de investigação futura focando os diferentes conceitos envolvidos na compreensão dos
gráficos e as causas das possíveis dificuldades dos alunos com eles relacionadas e o desenvolvimento de instrumentos pedagógicos para confrontar os alunos com as suas dificuldades e incompreensões para os ajudar a ultrapassá-las.
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