CARLOS EDUARDO TELES
SENSOR BASEADO EM TECNOLOGIA SAW, UTILIZANDO UM ÚNICO CA-NAL E DOIS CAMINHOS ACÚSTICOS
CAMPINAS 2015
CARLOS EDUARDO TELES
SENSOR BASEADO EM TECNOLOGIA SAW, UTILIZANDO UM ÚNICO CANAL E DOIS CAMINHOS ACÚSTICOS
Dissertação apresentada à Faculdade de Engenharia Elétrica e Computação para a obtenção do título de Mestre em En-genharia Elétrica na área de concentra-ção Eletrônica, Microeletrônica e Op-toeletrônica
Orientador: Prof. Dr. Jacobus W. Swart Coorientador: Dr. Serguei Balachov
ESTE EXEMPLAR CORRESPONDE À VERSÃO FINAL DA DISSERTAÇÃO DEFENDIDA PELO ALUNO CARLOS EDU-ARDO TELES, E ORIENTADA PELO PROF. DR. JACOBUS W.SWART.
CAMPINAS 2015
COMISSÃO JULGADORA - DISSERTAÇÃO DE MESTRADO
Candidato: Carlos Eduardo Teles RA: 144552
Data da Defesa: 27 de agosto de 2015
Título da Tese: "Sensor Baseado em Tecnologia SAW, Utilizando um Único Canal e Dois Caminhos Acústicos”.
Prof. Dr. Jacobus Willibrordus Swart (Presidente, FEEC/Unicamp) Dr. Carlos César Bof Bufon (LNNano)
Prof. Dr. José Alexandre Diniz (FEEC/UNICAMP)
A ata de defesa, com as respectivas assinaturas dos membros da Comissão Julga-dora, encontra-se no processo de vida acadêmica do aluno.
Dedico este trabalho aos meus pais, João Car-los e Rejane, e a minha namorada Camila, que sempre me apoiaram em todas as minhas de-cisões.
Agradecimentos
Agradeço primeiramente a Deus e a minha família, pois sozinho nada podemos. A minha namorada Camila, que sempre me apoiou e esteve comigo nos momentos bons e ruins.
Ao meu orientador Prof. Dr. Jacobus W. Swart e ao co-orientador Dr. Serguei Ba-lashov pela orientação, apoio, exemplos de pessoas e pesquisadores.
Aos meus amigos e companheiros do CTI, pela amizade e por terem me ajudado em minha pesquisa, em destaque aos integrantes do DMS: Ana Valéria, Maria Cecilia, Elaine e Olga.
Aos meus amigos e companheiros do CCS, pela amizade e ajuda nos estudos das disciplinas do Mestrado, em destaque Rodrigo, Andressa, Salomão e Cássio.
Aos amigos e companheiros que passaram pela República Zero Bala onde morei pelos anos em que desenvolvi a pesquisa. Sou grato a TODOS os moradores, em especial: To-píssimo, Stoshy, Eddy, Testa e Doug que de alguma forma ajudaram na minha estadia em Barão Geraldo ou por terem contribuído com a minha pesquisa.
Aos meus amigos de graduação do IFSC, Lucas Sala, Uilson e Hudson pela amizade e ajuda.
Aos integrantes das divisões do DT3D pela agilidade na implementação da célula do sensor, aos integrantes.
Ao Igor da DINF por me ajudar nos reparos de última hora. Ao CNPq, pelo apoio financeiro.
“Diante da vastidão do tempo e da imen-sidão do universo, é um imenso prazer para mim dividir um planeta e uma época com você. ”
RESUMO
A necessidade científica e industrial de quantificar e detectar precisamente analitos é notável. Para isso inúmeros tipos de dispositivos são desenvolvidos. Um grupo de sensores que apresentam desempenho considerável é o grupo de sensores de ondas acústicas superficiais (SAW).
Sensores acústicos são dispositivos que utilizam ondas mecânicas como o seu me-canismo de interação sensível com analitos. As ondas acústicas são geradas na superfície de um material piezoelétrico, e modificações causadas pelo analito nas propriedades da onda, como por exemplo: velocidade, amplitude ou fase, podem ser quantificadas para mensurar a relação física ou química causada por tal alteração. Nas versões tradicionais de sensores deste tipo, a resposta é proporcional à densidade de analito adsorvido, sendo obtida por meio da contagem de frequência do oscilador com um dispositivo de SAW na realimentação. Para facilitar a con-tagem de frequência e aumentar a precisão é necessário a utilização de dois canais, sendo o primeiro – canal de referência e o segundo – canal de medidas. Na literatura até o presente momento não existe a implementação de sensor SAW que não possua canal de referência e que não utilize contagem de frequência como resultado.
Esse estudo tem como objetivo desenvolver um sensor SAW alternativo, baseado em um único oscilador multimodo, dotado de apenas um canal elétrico e dois caminhos acústi-cos, que formam uma única malha de realimentação. Essa abordagem se contrapõe aos típicos sensores da mesma família, que possuem dois canais elétricos de referência. No sensor desen-volvido um dos caminhos acústicos utilizado como linha de atraso tem um filme sensível de-positado na superfície, que faz o sinal dependente da densidade do analito. A diferença de fase entre os caminhos acústicos determina a existência ou ausência da oscilação no oscilador do sensor, sendo isso utilizado como resposta. No modo “ alarme” a oscilação está presente até que a mudança de fase no canal acústico coberto pelo filme sensível a suprima. No modo de “sensoriamento” a oscilação é definida através de parâmetros de ganho de amplificação e da fase de um trocador de fase externo, sendo que uma diferença de fase introduzida pelo analito seja suficiente para que a oscilação seja suprimida. Por meio da tensão de controle utilizada no trocador de fase é possível introduzir uma fase que compense a fase introduzida pela concen-tração do analito, o que restaura a oscilação suprimida. Essa tensão de controle é utilizada como resposta do sensor proposto.
Para validar o conceito desenvolvido neste trabalho, foi fabricado e testado um sen-sor de umidade relativa (UR) baseado em filmes sensíveis de oxido de grafeno (GO) deposita-dos sobre a superfície da linha de atraso do SAW. O sensor foi testado em regime de “sensori-amento” e “alarme’, considerando uma faixa de UR de [0-100%]. Foi utilizado uma tensão de controle medida com um erro absoluto de 0,02 𝑉, que corresponde a um erro relativo de 2,8 %. Foi concluído que o novo tipo de sensor sugerido neste trabalho pode ser utilizado para desenvolvimentos de vários novos dispositivos para monitorar ambiente industrial.
Palavras-chave: 1. Sensor SAW. 2. Oscilador multimodo. 3. Único canal elé-trico. 4. Linhas de atraso. 5. Medição de umidade relativa. 6. Trocador de fase. 7. Tensão de controle. 8. Modelagem por quadrípolos.
ABSTRACT
The scientific and industrial necessity to detect and quantify precisely analytes is remarkable. For this purpose, countless types of devices are developed. A group in particular has shown considerable performance: the surface acoustic wave (SAW) sensors.
Acoustic sensors are devices that use mechanical waves as their mechanism of sen-sitive interaction with analytes. The acoustic waves are generated on the surface of a piezoelec-tric material, and changes caused by the analyte in the properties of the wave, such as speed, amplitude or phase, can be quantified to measure chemical or physical relationship caused by such a change. In the traditional versions of this type of sensor, the response is proportional to the density of adsorbed analyte obtained by of counting oscillator frequency with a SAW device in the feedback. To facilitate the frequency count and increase accuracy, the use of two channels is necessary, where the first one – reference channel and the second – measurements channel. In the literature so far, there is no implementation of a SAW sensor that does not have reference channel nor uses frequency count as a result.
This study aims to develop an alternative sensor, based on a single multimode os-cillator, equipped by only one electric channel and two acoustic paths, which form a single feedback loop, which opposes to the typical sensors of the same family, with two electric ref-erence channels. One of the acoustic paths used as a delay line has a sensitive film deposited on the surface, which makes it dependent on the analyte density. The phase difference between the paths wich determines the presence or absence of oscillation in the sensor oscillator, is used as sensor response. In the “alarm” mode the oscillation is present until the phase shift in the acoustic channel covered by the sensitive film suppresses it. In “sensing” mode the oscillation is defined by gain parameters of amplification and by the external phase of a phase shifter, so that a phase difference introduced by the analyte is enough to suppress the oscillation. By means of the control voltage utilized in the phase shifter, it is possible to introduce a phase that com-pensates the introduced one by the concentration of the analyte, which restores the suppressed oscillation. This control voltage is used as the response of the proposed sensor.
In order to validate the concept developed in this study, a relative humidity (RH) sensor based on sensitive film of graphene oxide (GO) deposited on the surface of the SAW delay line was manufactured and tested. The sensor was tested in “sensing” and “alarm” modes, in the range of UR [ 0-100 %]. The control voltage was measured the absolute error of 0,02V. This value corresponds to the relative error of 2,8 %.
It was concluded that the new type of sensor proposed in this study can be used for development of many new devices for monitoring industrial environment.
Keywords: 1. SAW Sensor. 2. Multimode Oscillator. 3. Single Electric Channel. 4. Delay Lines. 5. Relative Humidity Measurement. 6. Phase Shifter . 7. Control Voltage. 8. Modeling Two-port Networking.
LISTA DE ILUSTRAÇÕES
Figura 1.1 – Um circuito típico de SAW. V é uma tensão aplicada no IDT de entrada 1 (IDT1); 2 - é um IDT de saída(IDT2); 3 – SAW que se propaga do IDT de entrada para o IDT de saída, e I é uma corrente de saída. Zg e Zc são as impedâncias do gerador e da carga sucessivamente.
... 18
Figura 1.2 – Sólido infinito a) Deslocamento de partículas e propagação da onda estão na mesma direção (onda longitudinal). b) Propagação da onda em uma direção e deslocamento em uma direção ortogonal (onda Shear). ... 20
Figura 1.3 – Propagação da SAW em um meio isotrópico. Em que 𝜆𝑅 é o comprimento da onda. (Adaptado de [5] )... 21
Figura 1.4 – Padrão simples de um transdutor, e espaçamento d entre os “dedos”. ... 22
Figura 1.5 – Resposta dos transdutores, representada pelo gráfico da função 𝑆𝑖𝑛𝑋𝑋 . ... 24
Figura 1.6 – a) Circuito equivalente do transdutor. b) Condutância e susceptância de um IDT modelado. Adaptado de [5]. ... 25
Figura 1.7 – Efeito do triplo transiente. Periodicidade das ondulações. ... 27
Figura 1.8- Um período de IDT, com configuração de eletrodos duplos. ... 28
Figura 1.9– Linha de atraso com o filme (1) depositado sobre a área ativa do cristal. ... 30
Figura 1.10 – Estrutura geral de um oscilador com feedback positivo. ... 30
Figura 1.11 – Representação de um esquema simplificado de um oscilador com a conexão de um amplificador a uma linha de atraso. ... 32
Figura 1.12 – Circuito equivalente de um sensor SAW tradicional. 1 – Linha de atraso SAW; 2 – Filme sensível; A – amplificador; M – Misturador. ... 33
Figura 2.1– Diagrama básico do circuito do oscilador multimodo, em que L é a separação entre os transdutores da esquerda e R a separação entre os transdutores da direita. As fases ψ e φ são as fases introduzidas por um trocador de fase (adaptado de [17])... 35
Figura 3.1– Circuito equivalente do sensor SAW, com único canal. O sinal de feedback I é dividido acusticamente em 𝐼𝐿 e 𝐼𝑅. O sinal 𝐼𝑅 passa sobre o filme sensível 2 em sua forma acústica e sobre o trocador de fase F na forma elétrica. ... 42
Figura 4.1–Esquema de quadrípolos para a modelagem do circuito do sensor, utilizando um trocador de fase F, e as linhas de atraso A e B. ... 45
Figura 4.3 – Associação em cascata entre os quadrípolos F e B, em que estão expressas as tensões entre as entradas e saídas das portas de cada quadrípolo e as setas que indicam o sentido de cada corrente. ... 46 Figura 4.4 – Representação da associação em cascata do quadrípolo resultante T ligado em paralelo com A. As setas representam o sentido das correntes e 𝑉1 e 𝑉2 são as tensões entre as entradas e saídas de cada quadrípolo. ... 48 Figura 4.5 – Esquema da linha de atraso simulada utilizando transdutores de eletrodo duplo, em que d é a distância entre os IDTs(caminho acústico) e a abertura do transdutor. ... 51 Figura 4.6 – Perdas de inserção das linhas de atraso com comprimento de 2,2 mm e de 13,2 mm. ... 51 Figura 4.7 – Perdas de inserção resultante do circuito constituído de duas linhas de atraso com comprimento da área ativa iguais a 2,2𝑚𝑚 e com o parâmetro de fase Δ𝜙𝑜. ... 52 Figura 4.8 – Representação dos sinais provenientes das linha de atraso, aonde L representa uma linha de atraso, R a outro linha, o ângulo Δ𝜙 é a fase entre os sinais e T o sinal resultante dessa soma. ... 53 Figura 4.9 – Fases dos 𝑆21 provenientes das linhas de atraso com comprimentos iguais a 2,2 mm. a) Fases coincidentes, por não possuírem diferença entre si (Δ𝜙 = 0°). b) Fase com diferença de 60°. ... 53 Figura 4.10 – Linha de atraso com componentes para realizar um casamento de impedância.55 Figura 4.11 – Esquema geral da representação em quadrípolos dos componentes do circuito. ... 56 Figura 4.12 – Perda de inserção resultante do circuito constituído de duas linhas de atraso casadas, em que cada linha possui comprimento da área ativa igual a 2,2𝑚𝑚 e fase (Δ𝜙𝑜) variável. ... 56 Figura 4.13 – Sinal da perda de inserção da soma das duas linhas de atraso com caminhos acústicos de comprimentos diferentes. ... 57 Figura 4.14 – Fase das linhas de atraso com tamanhos diferentes, pela frequência. ... 58 Figura 4.15 – Gráfico teórico de 𝑆21𝑇, nas condições de oscilação versus diferença de fase entre os sinais de cada linha de atraso (Figura 4.11). ... 59 Figura 4.16 – Um mínimo local da curva teórica da perda de inserção resultante. ... 60 Figura 4.17 – Frequências de oscilação teórica para a curva de menor perda de inserção. ... 61
Figura 4.18 –Ondulações criadas pelo ITT, e representado por asteriscos: frequências de oscilação de menor perda para diferentes valores de diferença de fases Δ𝜙𝑜 = 95° até Δ𝜙𝑜 = 120°. ... 61 Figura 4.19 – Curva de oscilação considerando um ganho 𝛽 = 20 𝑑𝐵. ... 62 Figura 5.1 – Linha de atraso com caminho acústico de aproximadamente 2,2 mm, e um tempo de atraso de 1,4 𝜇𝑠. ... 64 Figura 5.2 – Encapsulamento da linha de atraso. ... 64 Figura 5.3 – Projeto da placa PCB do circuito com dimensões de 62mm x 46,4mm. a) Parte superior da placa, em que 3 – representa o amplificador. b) parte inferior da placa, em que 1 - representa as linhas de atraso, 2 – o trocador de fase. ... 66 Figura 5.4 – Esquema do circuito em malha-aberta, em que 𝑉𝑔 é a tensão de controle do trocador de fase F, L e R representam os caminhos SAW e indicado por 1 – filme sensível de OG. ... 66 Figura 5.5 – Célula do sensor com dimensões 56,3mm x 43,8mm x 14,2mm. a) Face exposta do sensor. b) Face que é encaixada na placa PCB do sensor... 67 Figura 5.6 –Perfil da célula parafusada na placa. a) recipiente plástico desacoplado. b) recipiente acoplado. ... 68 Figura 5.7 – Sensor montado. 1 – seleção da linha de atraso pretendida, através do uso da tampa do recipiente plástico, em 2 – trocador de fase; 3 – fio que fornece a tensão de controle 𝑉𝑔 do trocador de fase e 4 – fio para a tensão Vcc de alimentação do amplificador. ... 68 Figura 6.1 –Esquema de medição de oscilação. ... 70 Figura 6.2 – Valores dos componentes de casamento de impedância para caminho acústico sem filme (de cima), e para caminho com filme depositado sobre área ativa (de baixo). ... 71 Figura 6.3 – Carta de Smith dos resultados experimentais para as portas dos caminhos. a) Impedância nas portas 1 (linha cheia) e 2 (linha pontilhada) da linha de atraso casada sem o filme e com o trocador de fase conectado em série. b) Impedância nas portas 1 (linha cheia) e 3 (linha pontilhada) da linha de atraso com o filme de OG. ... 72 Figura 6.4 – Mudança de impedância da porta 2 (saída do trocador de fase), para três tensões de controle 𝑉𝑔 do trocador de fase. ... 73 Figura 6.5 – Resultado experimental das perdas de inserção das linhas de atraso, em que a curva cheia é o caminho com o filme depositado, e a curva pontilhada é o caminho sem o filme com o trocador de fase conectado. ... 74 Figura 6.6 – Características da porta1, parâmetro 𝑌11 do caminho acústico sem filme e com circuito de casamento. a) G(f) condutância normalizada para condutância na frequência
central(160MHz) .b) B(f) susceptância normalizada para a condutância para a frequência central. ... 75 Figura 6.7 –Perdas de inserção resultante do circuito com a porta 2 e 3 conectados. Curva cheia representa as perdas de inserção para 0° de diferença de fase entre os sinais, enquanto que a curva pontilhada representa as perdas para 120° de diferença de fase entre os sinais. ... 76 Figura 6.8 –Resultado experimental da mudança de fase introduzida pelo trocador de fase operando em 160 MHz. ... 77 Figura 6.9 – Resultado experimental das perdas de inserção introduzidas pelo trocador de fase operando em 160 MHz. ... 77 Figura 6.10 – Gráfico da fase pela frequência do sinal da 𝑆31, para o caso da água (curva cheia) e para a sílica (curva pontilhada). ... 78 Figura 6.11 – Mudança de fase relativas à sílica para diferentes valores padrões de UR. ... 79 Figura 6.12 – Perda de inserção produzidas pela UR. ... 80 Figura 6.13 – Perda de inserção para as curvas de oscilação obtidas pelo software utilizando dados experimentais para umidade de 0%. ... 81 Figura 6.14 – Resultados experimentais demonstrando existência de oscilação para: a) Oscilação inicial na iminência de sua supressão (𝑉𝑔 = 𝑉𝑔0). b) Segundo ponto de oscilação na iminência da supressão (𝑉𝑔 = 𝑉𝑔𝑓). ... 84 Figura 6.15 – Ganho fornecido pelo amplificador para a oscilação ... 84 Figura 6.16 – Perda de inserção do trocador fase na faixa de operação de tensão: 7,2 𝑉 ≤ 𝑉𝑔 ≤ 7,6 𝑉, ... 85 Figura 6.17 – Curva de calibração do sensor constituída dos resultados experimentais do circuito. ... 86
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO ... 18
1.1 INTRODUÇÃO HISTÓRICA E CONCEITOS BÁSICOS ... 18
1.2 ONDAS ACÚSTICAS EM SÓLIDOS ... 19
1.3 RESPOSTA DOS TRANSDUTORES NO DOMÍNIO DA FREQUÊCIA ... 22
1.4 ADMITÂNCIA DOS TRANSDUTORES ... 24
1.5 TRANSDUTORES E PERDAS DE INSERÇÃO ... 25
1.5.1 Perdas de inserção gerais... 25
1.5.2 Interferência do transiente triplo...26
1.5.3 Configuração de transdutores...27
1.6 LINHA DE ATRASO ... 28
1.6.1 Substrato... 28
1.6.2 Linha de atraso e o Filme... 30
1.7 SENSOR PADRÃO SAW COM DUAS LINHAS DE ATRASO ... 33
2 OSCILADOR BASE DO SENSOR DE DOIS CAMINHOS ACÚSTICOS E UM ÚNICO CANAL ... 34
2.1 TEORIA DO OSCILADOR DE DOIS CAMINHOS ACÚSTICOS E UM ÚNICO CANAL ... 34
2.2 MODOS DE OSCILAÇÃO ... 37
3 SENSOR SAW ALTERNATIVO ... 41
3.1 O USO DO OSCILADOR DE DOIS CAMINHOS ACÚSTICOS E UM ÚNICO CANAL COMO SENSOR OU ALARME ... 41
3.1.1 Algoritmo de funcionamento do sensor e do alarme...44
4 MODELAGEM DO SENSOR ... 45
4.1 MODELAGEM TÉORICA DO CIRCUITO ... 45
4.2 IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL DO MODELO ... 49
4.3 RESPOSTA DO CIRCUITO SIMULADO ... 50
4.3.1 Simulação das linhas de atraso do sensor...50
4.3.2 Resultados da implementação do modelo, para linhas de atraso iguais ....52
4.3.4 Resultados da implementação do modelo para linhas de atraso
diferentes... ...57
4.4 A OSCILAÇÃO DO SENSOR EM MALHA FECHADA ... 59
4.5 INFLUÊNCIA DO TRANSIENTE TRIPLO NA CURVA DE OSCILAÇÃO ... 60
5 DESENVOLVIMENTO E IMPLEMENTAÇÃO DO SENSOR ... 63
5.1 CAMINHOS ACÚSTICOS E O FILME ... 63
5.2 CIRCUITO ELÉTRICO E SEU ESQUEMA ... 65
5.3 CÉLULA DO SENSOR ... 67
5.4 IMPLEMENTAÇÃO DO CIRCUITO E ESQUEMA DO SENSOR ... 68
6 METODOLOGIA E RESULTADOS ... 69
6.1 EQUIPAMENTOS DE MEDIÇÕES E CONFIGURAÇÕES ... 69
6.2 CONFIGURAÇÃO DE MEDIDA ... 69
6.3 CARACTERIZAÇÃO DE APLICAÇÃO AO MODELO ... 70
6.3.1 Linhas de atraso... 70
6.3.2 Caraterização do trocador de fase...76
6.3.1 Mudança de fase e perda causadas pela umidade...78
6.4 RESULTADOS EXPERIMENTAIS E APLICAÇÃO DO MODELO ... 81
6.4.1 Prova de conceito...81
6.5 CURVA DE CALIBRAÇÃO ... 83
7 RESULTADOS E CONCLUSÕES ... 87
7.1 TRABALHO PUBLICADO PELO AUTOR ... 87
7.2 SUMÁRIO DO ESTUDO ... 87
7.3 CARACTERÍSTICAS DO SENSOR E COMPARAÇÃO AOS SENSORES SAW TRADICIONAIS ... 88 7.4 TRABALHOS FUTUROS ... 89 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ... 90 ANEXOS ... 93 A-1 ... 93 A-2 ... 94
1 INTRODUÇÃO
1.1 INTRODUÇÃO HISTÓRICA E CONCEITOS BÁSICOS
A piezoletricidade foi descoberta pelos irmãos Curie em 1880. Seu efeito con-siste na propriedade que alguns cristais como Quartzo (SiO2), Tantalato de Lítio (LiTaO3),
Nio-bato de Lítio (LiNbO3), entre outros, possuem de gerar uma deformação mecânica quando
sub-metidos a um potencial elétrico [1]. O processo inverso também ocorre, ou seja, geram um potencial elétrico quando tais cristais sofrem uma deformação mecânica [2]. Utilizando esse efeito, diversos dispositivos como filtros e sensores foram desenvolvidos.
Estes tipos de dispositivos vêm sendo utilizados comercialmente por mais de 70 anos em variadas aplicações [1]. Um dispositivo típico que usa a geração de ondas acústicas de superfície (SAW), é mostrado na Figura 1.1:
Figura 1.1 – Um circuito típico de SAW. V é uma tensão aplicada no IDT de entrada 1 (IDT1); 2 - é um IDT de saída(IDT2); 3 – SAW que se propaga do IDT de entrada para o IDT de saída, e I é uma corrente de
saída. Zg e Zc são as impedâncias do gerador e da carga sucessivamente.
Na Figura 1.1, 1 e 2 representam transdutores interdigitados (IDTs), que são se-quências de eletrodos metálicos conectados de forma alternada em barramentos. Os IDTs são fabricados por processos de fotolitografia, muito parecidos com os processos empregados em circuitos integrados [1]. Os transdutores 1 e 2, são utilizados respectivamente como emissor e receptor do sinal gerado por conta do efeito piezoelétrico. Ao aplicar uma tensão 𝑉 no IDT1 uma onda mecânica superficial (3) é gerada no cristal. A existência desse tipo de onda foi de-monstrada teoricamente em 1885 por Lord Rayleigh [3]. Uma corrente I é gerada no IDT2, quando este recebe a SAW. A área compreendida entre os IDTs 1 e 2 é chamada de área ativa ou caminho acústico, e que normalmente é utilizada para deposição de filmes sensíveis.
1 2
1.2 ONDAS ACÚSTICAS EM SÓLIDOS
Quando uma força é aplicada sobre um sólido ocorre uma deformação interna em seus constituintes, sendo essa medida em termos de deformação (strain). Essa medida, corres-ponde a relação adimensional entre o comprimento do material deformado e o comprimento do material sem a deformação[4][5]. Essa deformação desloca as regiões microscópios do cristal de seus pontos de equilíbrio, que faz surgir uma força, que tenta restaurar a posição dos átomos aos seus pontos iniciais. Essa força de tensão (stress [4][5]) é definida como a relação entre a força aplicada e a área de secção transversal que recebe a força.
O aparecimento de tensões e deformações no material é inicialmente local. No en-tanto, a interação entre os átomos perturbados, acaba por gerar mais tensões e deformações em pontos próximos, gerando assim deformações que se estendem a pontos distantes, criando on-das acústicas que se propagam por todo o sólido.
Ao representar o deslocamento dos átomos por um vetor u(x,y,z,t), e considerando um sólido isotrópico infinito (sem barreiras), a solução mais simples para essa determinada onda acústica é a onda plana. Basicamente, nos sólidos infinitos existem dois grupos de ondas planas: as longitudinais e as transversais. Nas ondas longitudinais o descolamento e a propaga-ção são paralelos, como por exemplo, onde a oscilapropaga-ção e a propagapropaga-ção da onda ocorrem na mesma direção x, o que nos fornece a equação [6]:
𝒖 = 𝒖𝑥𝑒𝑖(𝜔𝑡−𝑘𝑙𝑥) (1.1)
Na equação (1.1), 𝒖𝑥 é um vetor constante na direção x, independente de x e t, 𝑘𝑙 é
o vetor de onda e 𝜔 é a frequência da onda. As ondas transversais são aquelas que possuem a propagação ao longo da direção 𝑥, porém possuem o deslocamento dos átomos em uma direção ortogonal a essa propagação, como por exemplo na direção 𝑦, chamados de shear, assim[6]:
𝒖 = 𝒖𝑦𝑒𝑖(𝜔𝑡−𝑘𝑠𝑥) (1.2)
Na equação (1.2), 𝒖𝑦 é um vetor constante na direção y, independente de x e t, e 𝑘𝑠
a direção de propagação da onda, enquanto os traços representam as posições dos átomos do meio e 𝜆 o comprimento de onda.
Figura 1.2 – Sólido infinito a) Deslocamento de partículas e propagação da onda estão na mesma direção (onda longitudinal). b) Propagação da onda em uma direção e deslocamento em uma direção ortogonal
(onda Shear).
Apesar da velocidade ser dependente do material, a velocidade da onda longitudinal típica ocorre na faixa de 5000 à 10 000 𝑚/𝑠, enquanto que a velocidade da onda shear ocorre na faixa de 3000 à 6000 𝑚/𝑠[7].
Para descrever a propagação de ondas superficiais em um sólido isotrópico que possua superfície, normalmente é utilizado um sistema de coordenadas, com o referencial fi-xado na superfície do sólido. O eixo z neste caso é perpendicular a essa superfície, e o sólido ocupa o espaço z ≤ 0. Os eixos x e y, neste caso ficam na superfície do sólido e o eixo x usual-mente indica a direção de propagação da onda. No caso de uma superfície livre (ausência de forças aplicadas), pode ser provado que existe uma solução de equações de movimento na forma de uma onda, que se propaga com velocidade 𝑉𝑅 e possui componentes longitudinais 𝒖𝑥 e she-ars 𝒖𝑧 [5]: 𝒖𝑥 = (𝛾𝑒−𝐿𝑧− 𝑒−𝑇𝑧)𝑒𝑗(𝜔𝑡−𝐾𝑅𝑥), 𝒖𝑧= 𝑗(𝛾 𝐿 𝐾𝑅𝑒−𝐿𝑧+ 𝐾𝑅 𝑇 𝑒−𝑇𝑧)𝑒𝑗(𝜔𝑡−𝐾𝑅𝑥) (1.3)
Na equação (1.3), 𝐾𝑅 é o vetor de onda, 𝐿 e 𝑇 são constantes, que caracterizam o sólido, 𝛾 ≐ (2 −𝑉𝑅2
𝑉𝑙2) /(2𝐿𝑇/𝐾𝑅²), em que 𝑉𝑙 é a velocidade da onda longitudinal.
Esse modo de onda, descoberto por Lord Rayleigh, recebe o nome de onda Rayleigh ou SAW. A SAW possui como característica não ser dispersiva e causar deslocamento mecâ-nico no plano que contém a superfície normal e no plano da direção de propagação da onda, ou seja, o plano sagital. Devido aos deslocamentos 𝒖𝑥 e 𝒖𝑧 serem em quadratura de fase entre si, ocorre no plano sagital um movimento elíptico dos átomos, que possui seu raio atenuado, a medida em que a SAW adentra no sólido. A partir de uma profundidade de aproximadamente 0,2 comprimento de onda, o comportamento dos termos de 𝒖𝑥 faz com que os movimentos elípticos passem de retrógrados para progressivos. O deslocamento mecânico para um dado instante é representado na Figura 1.3. Os pontos no sólido representam as posições de equilíbrio dos átomos com o sólido, e as linhas representam o deslocamento causado pela SAW.
Figura 1.3 – Propagação da SAW em um meio isotrópico. Em que 𝜆𝑅 é o comprimento da onda. (Adaptado de [5] ).
Uma das principais características da SAW é de que ela se concentra na superfí-cie do sólido. Como a energia da onda cai exponencialmente com a profundidade, mais de 96%
Trajetória das partículas no plano sagital Decaimento da amplitude e troca de sen-tido
de sua energia se concentra na profundidade de um comprimento de onda (𝜆𝑅)[8], o que a caracteriza como uma onda de superfície.
1.3 RESPOSTA DOS TRANSDUTORES NO DOMÍNIO DA FREQUÊCIA
Um dos principais elementos eletroacústicos é o IDT, que junto com o efeito pie-zoelétrico, tem a função de transformar a energia elétrica de RF em energia acústica e vice-versa. A resposta do transdutor ocorre de maneira eficiente, quando este é excitado por um sinal de RF, com uma frequência específica, nomeada de frequência síncrona. Essa frequência possui uma dependência espacial de periodicidade d, como representado na Figura 1.4. Essa frequência é dada como sendo 𝑓𝑜 = 𝑉𝑜
𝑑 [4], em que 𝑉𝑜 é a velocidade de propagação da SAW no cristal.
Figura 1.4 – Padrão simples de um transdutor, e espaçamento d entre os “dedos”.
Ao analisar a relação entre a SAW gerada e o padrão de IDT (Figura 1.4), levando em conta que cada “dedo” do IDT é como uma fonte discreta de sinal. Então, com uma função de transferência, é possível relacionar uma tensão V de onda contínua (CW) aplicada ao dedo, ao potencial associado com uma onda irradiada. Dessa forma, é obtida a relação:
𝜙 = 𝜇𝑠𝑉 (1.4)
Na equação (1.4), 𝜙 é o potencial elétrico associado à propagação da SAW irradi-ada, e 𝜇𝑠 é um coeficiente que descreve a eficiência de processo de transformação da energia de RF para energia acústica. Esse coeficiente possuía uma relação de dependência com o cristal
utilizado, e pode ser considerado independente da frequência[4]. Quando um conjunto de “de-dos” é excitado é possível verificar a contribuição do sinal gerado por cada “dedo”, na direção z, como expresso em (1.5):
𝜙(𝑧) = 𝜇𝑠 ∑ 𝑉𝑛𝑒𝑖𝑘(𝑧−𝑧𝑛) 𝑁𝑓−1
𝑛=0
(1.5)
Na equação (1.5), 𝑧𝑛 é a posição do n-ésimo “dedo” excitado pela tensão V e 𝑁𝑓 é
o número total de “dedos”. Assim, o somatório é realizado de zero até 𝑁𝑓-1, para que o primeiro
dedo não seja contado novamente. Ao considerar o espaçamento d sinalizado na Figura 1.4, e que 𝑉𝑛 = (−1)𝑛𝑉
𝑂, na origem (z=0), a contribuição da equação (1.5) fornece-nos:
𝜙(0) = 𝜇𝑠𝑉𝑜 ∑ (−1)𝑛𝑒−𝑖𝑛𝑘𝑑2 𝑁𝑓−1
𝑛=0
(1.6)
Para que a contribuição gerada por cada dedo na equação (1.6) seja construtiva é necessário que 𝑘𝑑2 = 𝑚𝜋, onde m é um número inteiro e ímpar. Logo, como 𝑉𝑜 𝑘 = 2𝜋𝑓𝑜, a relação da frequência é síncrona, ou seja, 𝑓𝑜 =𝑉𝑑𝑜.
Quando a frequência é diferente de 𝑓𝑜, a contribuição de cada “dedo” torna-se in-coerente, na medida em que move-se de 𝑓𝑜, o que resulta no domínio da frequência na seguinte forma [4]:
|𝜙(𝑓)| = |sin(𝑋)𝑋 | , em que 𝑋 =𝑁𝑝𝜋(𝑓−𝑓𝑜) 𝑓𝑜
(1.7)
Na equação (1.7), 𝑁𝑝 é o número de períodos de “dedos”, ou seja, 𝑁𝑝 = 𝑁2𝑓.
Na Figura 1.5 é possível observar que ocorre um completo cancelamento da contri-buição do sinal para 𝑋 = ±𝑛𝜋, com 𝑛 sendo um número inteiro e diferente de zero.
Figura 1.5 – Resposta dos transdutores, representada pelo gráfico da função 𝑆𝑖𝑛(𝑋) 𝑋 .
Devido à dependência entre o primeiro completo cancelamento da contribuição dos “dedos” (𝑋 = ±𝜋) e o período de espaçamento entre eles, é obtida a definição da banda do sinal, que é 2/𝑁𝑝. Dessa forma, quanto maior o número de “dedos”, menor o intervalo de banda.
Essa é uma característica que deve ser considerada, pois, um intervalo maior (banda maior) permite que uma gama maior de frequências de oscilação exista.
1.4 ADMITÂNCIA DOS TRANSDUTORES
As características de admitância dos transdutores podem ser modeladas utilizando um circuito equivalente, expresso na Figura 1.6 a.
Assim, a admitância equivalente do IDT pode ser representada pela capacitância total 𝐶𝑡(𝜔), condutância 𝐺𝑎(𝜔) e suceptancia 𝐵𝑎(𝜔). Assim, a admitância total é dada por [4]:
𝑌𝑡(𝜔) = 𝐺𝑎(𝜔) + 𝑗𝐵𝑎(𝜔) + 𝑗𝜔𝐶𝑡 (1.8)
Para um transdutor uniforme 𝐺𝑎(𝜔) ≈ 𝐺𝑎(𝜔𝑜) (𝑠𝑖𝑛𝑋𝑥 ) 2
[4]. Assim, a Figura 1.6 b representa a função de 𝐺𝑎(𝜔), que possui a banda análoga à definida para a Figura 1.5, e a
função de 𝐵𝑎(𝜔), ambas normalizadas para 𝑓𝑜.
2 𝑁𝑃
Figura 1.6 – a) Circuito equivalente do transdutor. b) Condutância e susceptância de um IDT mo-delado. Adaptado de [5].
1.5 TRANSDUTORES E PERDAS DE INSERÇÃO
1.5.1 Perdas de inserção gerais
Existem perdas não estáveis de inserção inerentes às linhas de atraso, que ocorrem por conta do seu funcionamento intrínseco. Um dos exemplos destes tipos de perdas são as perdas causadas pelo fato de que um transdutor comum gera SAW que se propagam para dois lados. Isso significa que apenas metade da energia é transformada em onda acústica que vai percorrer do IDT de entrada para o IDT de saída, causando assim uma perda de metade da energia (3dB de perda). No IDT de saída, durante a transformação da energia acústica, ocorre reflexão da onda, que também causa perda de metade da energia. Assim uma linha de atraso possuindo um IDT de entrada e um IDT de saída, tem no mínimo 6dB de perdas.
Existem efeitos secundários que causam mais perdas de inserção no sinal. Esses efeitos são gerados por reflexão da SAW entre os “dedos” dos IDTs, interferências de transiente
triplo (ITT), eletromagnetic feedthough (EMF), difração da onda SAW e interferência com ou-tros modos de ondas.
O ITT ocorre, quando parte do sinal recebido pelos IDTs é refletido. Esse fato ocorre, pois, o IDT está conectado a uma carga de impedância finita [4], pois se a impedância fosse zero não se tem potência transferida. Dessa forma, ocorre reflexão da onda nos transdu-tores receptransdu-tores, e por sua vez, a onda realiza o mesmo processo nos transdutransdu-tores emissores. Esse processo se repete, fazendo a onda percorrer o substrato três vezes, dando origem ao efeito de transiente triplo. Ao considerar que os transdutores estão conectados a uma carga casada, 1/4 da potência da onda incidente é refletida nos transdutores receptores, e novamente é refletira nos transdutores emissores. Esse efeito deixa a onda com 1/16 da potência incidente, assim, a relação entre o sinal do transiente triplo e o sinal principal possui uma perda de inserção de 10log(1/16)=-12dB[9].
O sinal do transiente triplo pode ser controlado, tornando a impedância da carga pequena o suficiente para que ocorram reflexões de baixa magnitude. Porém, isso tem como consequência um aumento da perda de inserção do dispositivo. As perdas convencionais aceitas nos dispositivos para sensores SAW são da ordem de -20 dB.
1.5.2 Interferência do transiente triplo
O efeito do ITT gera ondulações na resposta do dispositivo, devido há uma defasa-gem de 2𝜏 entre o período do sinal principal e o transiente triplo. Essa diferença é responsável por causar somas construtivas ou destrutivas para dadas frequências, tendo picos (soma cons-trutiva) com uma periodicidade de 𝑓𝑟 = 1/ 2𝜏, como pode ser visto na Figura 1.7.
Figura 1.7 – Efeito do triplo transiente. Periodicidade das ondulações.
A Figura 1.7 demonstra o efeito do triplo transiente para transdutores casados, onde é possível observar a periodicidade das ondulações, bem como sua magnitude.
1.5.3 Configuração de transdutores
As reflexões de ondas também ocorrem entre os “dedos” do IDT, devido as suas características de impedância; causando assim, distorções adicionais no sinal da linha de atraso. Apesar da onda refletida por cada dedo ser fraca, em estruturas, como a da Figura 1.4, a reflexão
resultante possui magnitude considerável, pois a onda refletida por cada dedo é somada à fre-quência central de forma construtiva. Uma configuração muito utilizada para reduzir os efeitos desse tipo de reflexão é apresentada abaixo [9]:
Figura 1.8- Um período de IDT, com configuração de eletrodos duplos.
Na configuração apresentada na Figura 1.8, a largura dos “dedos” e o espaçamento de 𝜆𝑜8 na frequência central faz com que a soma das ondas refletidas por esse IDT na frequência central se faça de maneira destrutiva por estarem 180° defasados entre si.
1.6 LINHA DE ATRASO
1.6.1 Substrato
O substrato utilizado nas linhas de atraso, como dito anteriormente deve ser um cristal do tipo piezoelétrico. No entanto, dentro dessa classe existem diferentes cristais com características distintas, que devem ser consideradas, quanto ao foco do sensor analisado. Al-gumas características, que devem ser consideradas são: o tipo de onda a ser utilizada, a resposta do sinal à mudança de temperatura, a atenuação do sinal na faixa de operação do sensor, o custo,
𝜆𝑜/8
entre outras. A Tabela 1 apresenta alguns parâmetros de acordo com os cristais mais utilizados comercialmente.
Tabela 1: Características dos cristais piezoelétricos comumente utilizados em aplicações
comerci-ais. (Traduzido de [1])
Material Orientação Velocidade (m/s) Temperatura Coeficiente (ppm/ºC) Atenuação em 1 GHz (dB/𝝁𝑺) C Custo Quartzo Y,X 3159 -24 2.6 B Baixo Quartzo ST,X 3158 0 3.1 B Baixo
Tântalato de Lítio Y,Z 3230 35 1.14 M
Médio
Tântalato de Lítio Rotação 167 3394 64 - M
Médio
Niobato de Lítio Y,Z 3488 94 1.07 A
Alto
Niobato de Lítio Rotação 128 3992 75 - A
Alto
Existem vários modos possíveis de ondas nos cristais piezoelétricos. Como pode-se obpode-servado na Tabela 1, os cristais por pode-serem anisotrópicos a cada orientação de corte, podem exibir diferentes características. Os cortes escolhidos privilegiam alguns modos de ondas e su-primem outros. Isso pode ser compreendido ao utilizar a analogia das estruturas do cristal às molas elásticas [10], em que a orientação do cristal define a rigidez dessas molas, e assim define a velocidade que a onda irá assumir. Ao definir a orientação, como pode ser observado na Ta-bela 1, para o Quartzo, é possível controlar a influência da temperatura no cristal, o que pode favorecer uma independência da temperatura do Quartzo ST (estável termicamente). Por outro lado, para utilizar um sensor que meça a temperatura, por exemplo, é necessário utilizar um cristal em que essa dependência deve ser máxima [1].
1.6.2 Linha de atraso e o filme
Na Figura 1.1 é possível observar o esquema simplificado da linha de atraso SAW. Para que uma interação com um analito ocorra, é necessário que haja um filme depositado sobre a área ativa da linha de atraso, na Figura 1.9, é possível observar indicado por 1. O tipo do filme utilizado depende da aplicação do sensor. Nesse trabalho o sensor desenvolvido é para medir umidade, e ser utilizado como um alarme. Como filme sensível é utilizado um filme de óxido de grafeno (OG), por apresentarem um bom desempenho, quando empregados em sensores SAW[11-14].
O filme sensível faz com que moléculas do analito sejam adsorvidas por ele, gerando uma mudança na densidade do filme [4], que irá alterar a amplitude e velocidade da SAW. Essas mudanças são a base do funcionamento de um sensor SAW padrão.
Figura 1.9– Linha de atraso com o filme (1) depositado sobre a área ativa do cristal.
Nos sensores, a linha de atraso é utilizada como constituinte de um oscilador. Seu funcionamento é explicado pela utilização de um oscilador em uma realimentação positiva, como indicado na Figura 1.10.
Figura 1.10 – Estrutura geral de um oscilador com feedback positivo.
Na Figura 1.10, o bloco A linha de atraso; B é o bloco de realimentação; Vf é a tensão fonte; Ve é a tensão de entrada; Vs a tensão de saída e Va é uma tensão amostral. Da
estrutura apresentada, é possível tirar as relações:
𝑉𝑠 = 𝐴𝑉𝑒
(1.9)
e
𝑉𝑎 = 𝐵𝑉𝑠 (1.10)
Em que AB é o ganho da malha de realimentação. Como se trata de uma realimen-tação positiva (Ve = Vf +Va), com (1.9) e (1.10) é obtido que o ganho total T do circuito é dado
por [15]:
𝑇 = 𝑉𝑠 𝑉𝑓 =
𝐴
1 − 𝐴𝐵 (1.11)
Para que ocorra oscilação, duas condições precisam ser satisfeitas: 𝐴(𝑓). 𝐵(𝑓) = 1, e que a fase total do sinal seja 𝐴(𝑓). 𝐵(𝑓) = 2𝜋𝑛, onde 𝑛 é um número inteiro. Essas con-dições são conhecidas como o critério de Barkhausen, em que a fase total do sinal, após percor-rer um ciclo completo deva ser um múltiplo inteiro de 2𝜋, enquanto o sinal total, após esse ciclo ser completo deva ter ganho suficiente para que as oscilações se sustentem. Assim, (1.11) torna-se um estado indeterminado (T=∞) , quando o critério de Barkhautorna-sen é satisfeito, e a oscilação ocorre por conta de o sistema não ser capaz de manter o estado de equilíbrio. Uma vez que o critério de Barkhausen for satisfeito, não é mais necessário a existência da tensão Vf, pois o sistema possui o ganho tão grande quanto o necessário. Assim, o sistema possui Vs mesmo que Vf (1-AB) seja zero. A origem desse sinal de saída, mesmo sem um sinal de entrada, advém de
ruídos elétricos, provenientes principalmente de agitação térmica dos elétrons nos resistores do amplificador. Embora esse sinal possua uma magnitude baixa, ele é amplificado inúmeras vezes nas frequências filtradas pela linha de atraso.
Figura 1.11 – Representação de um esquema simplificado de um oscilador com a conexão de um amplificador a uma linha de atraso.
Para que essas condições de oscilação sejam satisfeitas, então:
𝜔𝐿
𝑉+ 𝜃 = 2𝜋𝑛 , 𝑛 ∈ ℤ (1.12)
Na equação (1.12), 𝐿 é o comprimento da linha de atraso, 𝑉 a velocidade da onda, 𝜔 é a frequência de oscilação e 𝜃 é a fase associada aos componentes elétricos e parasitas. Essa fase é constante e normalmente muito pequena quando comparada com o desvio causado por
𝜔𝐿
𝑉. Logo, sem muita perda de generalidade é possível desconsiderá-lo, o que resulta na
frequên-cia de oscilação dada por:
𝑓𝑛 = 𝑛
𝑉 𝐿
(1.13)
Dessa forma, a equação (1.13) relaciona a frequência de oscilação 𝑓𝑛, com a mu-dança de velocidade causada pelo analito, ao interagir com o filme, pois a partir dessa equação têm-se que: Δ𝑓𝑓
𝑜 = Δ𝑉
perturbação causada pelo analito, Δ𝑉 é a diferença entre 𝑉𝑜 e a velocidade após a interação com o analito e Δ𝑓 é a diferença entre 𝑓𝑜 e a frequência após a interação com o analito.
1.7 SENSOR PADRÃO SAW COM DUAS LINHAS DE ATRASO
Um circuito amplamente utilizado em sensores SAW é o sensor, que possui duas linhas de atraso operando no domínio da frequência como ilustrado na Figura 1.12. Nesse tipo de sensor um canal é utilizado como referência e o outro como canal de medida.
Figura 1.12 – Circuito equivalente de um sensor SAW tradicional. 1 – Linha de atraso SAW; 2 – Filme sensível; A – amplificador; M – Misturador.
Na Figura 1.12 é possível observar o circuito equivalente desse tipo de sensor, exis-tindo duas linhas de atraso (1), dois amplificadores (A), que compõem uma realimentação cada, um filme (2) depositado sobre apenas uma linha de atraso (1) e, representado por M, o mistu-rador para extrair a saída de frequência diferencial do sensor.
Na Figura 1.12, o canal de baixo é utilizado para gerar frequências de referência. O canal de medida representado pelo canal de cima é constituído por um caminho acústico, igual à do canal de referência. No entanto, o canal de medida recebe em sua superfície um filme sensível para interagir com o analito, o que faz com que a frequência de oscilação dependa da densidade do filme.
As frequências resultantes de ambos os canais são então misturadas ao misturador (M), e a frequência diferencial resultante é obtida [16].
2 OSCILADOR BASE DO SENSOR DE DOIS CAMINHOS ACÚSTICOS E UM ÚNICO CANAL
2.1 TEORIA DO OSCILADOR DE DOIS CAMINHOS ACÚSTICOS E UM ÚNICO CANAL
A configuração padrão de um sensor que possui duas linhas de atraso, apesar de amplamente utilizada, possui desvantagens que advêm de instabilidades intrínsecas da utiliza-ção de dois canais elétricos (Figura 1.12). Cada canal, neste caso, é utilizado como um oscilador com uma realimentação realizada por um circuito de SAW separado. Utilizando essa configu-ração, podem ocorrer diferenças no processo de envelhecimento dos componentes eletrônicos do sensor. Essas diferenças, eventualmente, introduzem instabilidade na frequência de referên-cia. Outra desvantagem é que diante da necessidade de um consumo de energia reduzido, a utilização de dois canais pode ser um fator impeditivo.
Os sensores padrões utilizam a contagem de frequência como resposta ao analito. Assim, torna-se necessária a quantificação e a contagem das mudanças na frequência de osci-lação causadas pelo analito. Essa abordagem pode ser custosa dependendo dos equipamentos utilizados e da relação não trivial entre a mudança de frequência de oscilação e a medida do analito. Para contornar essas características, um novo tipo de sensor com um único canal elé-trico é proposto teoricamente, e implementado nesse trabalho. Este único canal é utilizado como canal de referência e de medida, e sua resposta é baseada na existência ou ausência de oscilação, tornando desnecessária a quantificação da frequência. Este trabalho demonstra teoricamente e experimentalmente a possibilidade da utilização desse esquema tanto para a construção de um sensor, como para a de um alarme.
O sensor proposto é baseado em um oscilador de um canal elétrico e dois caminhos acústicos conectados em malha de realimentação, formando um circuito oscilador. A represen-tação básica desse oscilador é apresentada na Figura 2.1. Essa configuração foi adaptada de [17] que utilizou esse circuito como um oscilador com frequência de oscilação variável dentro de uma banda passante ampla (vários modos de oscilação permitidos). Por conta desse oscilador
multimodo compor a base do sensor proposto, foi necessário o estudo detalhado do seu funcio-namento. Esse estudo é descrito logo a baixo.
Figura 2.1– Diagrama básico do circuito do oscilador multimodo, em que L é a separação entre os transdutores da esquerda e R a separação entre os transdutores da direita. As fases ψ e φ são as fases introduzidas
por um trocador de fase (adaptado de [17]).
Ao considerar na Figura 2.1 os IDTs centrais (2) como sendo um único IDT, o diagrama então fica composto de um total de três IDTs (1, 2 e 3). O comprimento L é a distância entre a metade do comprimento de 1 até a metade do comprimento de 2, enquanto R é o com-primento entre a metade do comcom-primento de 2 até metade do comcom-primento de 3. 𝜓 e 𝜙 são fases externas que podem ser variadas por advento de trocadores de fase.
Representando separadamente os sinais 𝑍1 e 𝑍2 da Figura 2.1, é definido que:
𝑍1 = 𝐴1𝑒𝑗(𝜔𝑡1−𝜓−𝜃) 𝑒 𝑍2=𝐴2𝑒𝑗(𝜔𝑡2−𝜙−𝜃)
(2.1)
em que 𝐴1 e 𝐴2, são amplitudes dos sinais, 𝜔 é a frequência dos sinais, 𝜃 é a fase introduzida por parasitas e os componentes do circuito, 𝑡1 é o tempo gasto para a SAW percorrer o caminho
acústico de tamanho L (atraso de grupo) e 𝑡2 o atraso de grupo para percorrer o caminho acús-tico de tamanho R.
1
2
1
3
Os sinais 𝑍1 e 𝑍2 representados por (2.1) são uma resposta à tensão aplicada em 2, em que 𝑍1 é o sinal da SAW que percorre o caminho de comprimento L na direção de 2 para o
1. 𝑍2 é o sinal da SAW que percorre o caminho de comprimento R de 2 para 3. Após os sinais terem percorrido o circuito em malha fechada, eles são somados, gerando um sinal total 𝑍𝑡. Por uma questão de simplicidade é considerado que os sinais possuam amplitude igual (𝐴1=𝐴2= 𝐴2 ). Levando em consideração que 𝜃 tem valor constante, então sem perda de generalidade ele pode ser omitido. Logo, a soma dos sinais é dada por:
𝑍𝑡 =
𝐴
2(𝑒𝑗(𝜔𝑡1−𝜓)+ 𝑒𝑗(𝜔𝑡2−𝜙 )) (2.2) Separando a equação (2.2), em parte real, e em parte imaginarias, temos assim que: 𝑆𝐼 = ℜ[𝑍𝑡] = 𝐴 2[cos ( 𝜔𝐿𝜆𝑜 𝑉 − 𝜓) + cos ( 𝜔𝑅𝜆𝑜 𝑉 − 𝜙)] (2.3) 𝑆𝑄 = ℑ[𝑍𝑡] =𝐴 2[sin ( 𝜔𝐿𝜆𝑜 𝑉 − 𝜓) + sin ( 𝜔𝑅𝜆𝑜 𝑉 − 𝜙)] (2.4)
em que 𝑡1 =𝐿𝜆𝑉𝑜 e 𝑡2 = 𝑅𝜆𝑉𝑜 , onde 𝜆𝑜 é o comprimento de onda e V é a velocidade da SAW.
Assim a equação (2.3) representa a parte em fase do sinal e (2.4) representa o sinal em quadra-tura.
Para que ocorra oscilação as condições de fase descritas pela equação (1.12) devem ser satisfeitas. Ao considerar a necessidade que o sinal 𝑍𝑡 possui de receber um ganho fornecido pelo amplificador (𝛽) grande o suficiente para que a oscilação se sustente, então (2.3) e (2.4) somam-se em 𝑍𝑡, como segue:
𝑆𝐼𝛽 ≥ 1 (2.5)
𝑆𝑄 = 0
Em suma, para que ocorra a oscilação, as condições (2.5) e (2.6) devem ser satis-feitas.
2.2 MODOS DE OSCILAÇÃO
Os modos de oscilação em um oscilador de dois caminhos de atraso em feedback, são mais complicados quando comparados aos modos de oscilação em um oscilador padrão de um único caminho acústico. Isso ocorre, pois, a soma dos sinais proveniente dos caminhos ocorre com fases que podem ser diferentes. Para analisar essa situação, sem perda de generali-dade, é possível assumir que o sistema possui um único trocador de fase (𝜓 = 0) com fase 𝜙. Por uma questão de simplicidade é possível reescrever (2.3) e (2.4) da seguinte forma: 𝑆𝐼 = ℜ[𝑍𝑡] =𝐴2[cos(𝑊𝐿) + cos(𝑊𝑅 − 𝜙)] (2.7) 𝑆𝑄 = ℑ[𝑍𝑡] =𝐴 2[sin(𝑊𝐿) + sin(𝑊𝑅 − 𝜙)] (2.8)
em que, 𝑊 =𝜔𝜆𝑉 é a frequência do sinal normalizada. Assumindo que a distância em cada ca-minho (L e R) seja um múltiplo inteiro do período dos transdutores (𝜆), então o processo de oscilação determinado por (2.7) e (2.8) é possível para infinitos valores de W. Entre esses valo-res, existem grupos que correspondem a “máxima eficiência”. Para esses grupos o ganho for-necido pelo amplificador deve ser mínimo (geração principal), fazendo com que (2.7) forneça seu valor máximo.
Portanto, no caso da geração principal nas frequências W, é necessário maximizar cada termo cosseno na (2.7), que fornece:
𝑊𝐿 = 2𝜋𝑛 , 𝑛 ∈ ℤ (2.9)
𝑊𝑅 − 𝜙 = 2𝜋𝑙 , 𝑙 ∈ ℤ
(2.10)
As equações (2.9) e (2.10), automaticamente fornecem SQ=0, o que corresponde a geração de oscilações.
Sem perda de generalidade, foi levado em consideração que a fase 𝜙 é determi-nada com a precisão de um múltiplo inteiro de 2𝜋. Assim, é possível escolher l=0 em (2.10). Teoricamente, se ocorrem oscilações na frequência W, deve haver outra frequência 𝑊1 que tam-bém forneça SQ=0, porém com cada seno da equação (2.8) diferente de zero. Se para esse caso (2.7) for positivo e menor que A, então esse ponto também é frequência de oscilação, desde que o ganho fornecido pelo amplificador seja suficientemente alto para compensar a diminuição de
SI. Essa solução fornece duas possibilidades:
𝑊1𝐿 = 𝑊1𝑅 − 𝜙 + 2𝜋𝑘 + 𝜋, 𝑘 ∈ ℤ
(2.11)
ou
𝑊1𝐿 = −𝑊1𝑅 + 𝜙 + 2𝜋𝑘, 𝑘 ∈ ℤ (2.12)
Foi considerado primeiramente a solução (2.11) e utilizou-a em (2.7), e assim reescrevendo (2.7) da seguinte forma:
𝑆𝐼 = 𝐴𝑐𝑜𝑠 (𝑊1𝐿 + 𝑊1𝑅 − 𝜙 2 ) cos ( 𝑊1𝐿 − 𝑊1𝑅 + 𝜙 2 ) (2.13) Logo, substitui-se (2.11)
𝑆𝐼 = 𝐴𝑐𝑜𝑠 (𝑊1𝑅 − 𝜙 + 2𝜋𝑘 + 𝜋 2 ) cos ( 2𝜋𝑘 + 𝜋 2 ) Logo: 𝑆𝐼 = 0
Portanto, a solução (2.11) não gera oscilação alguma, uma vez que o amplificador não pode fornecer ganho suficiente para que ocorra geração de oscilação.
Substituindo (2.12) em (2.13), é obtido que:
𝑆𝐼 = 𝐴(−1)𝑘cos (𝑊
1𝐿 − 𝜋𝑘)
(2.14)
Assim, a solução (2.12) oferece possibilidades de que as condições de oscila-ção ((2.5) e (2.6)) sejam satisfeitas. Para analisar essas condições de (2.12) é possível reescre-ver: 𝑊1 = 𝜙 𝐿 + 𝑅+ 2𝜋𝑘 (𝐿 + 𝑅) (2.15)
a fase 𝜙 pode ser calculada de (2.9) e (2.10):
𝜙 = 2𝜋𝑛𝑅 𝐿
(2.16)
Substituindo (2.15) e (2.16) em (2.14), é obtido que:
𝑆𝐼 = 𝐴(−1)𝑘cos (2𝜋𝑛𝑅 𝐿 + 𝑅+ 𝜋𝑘 𝐿 + 𝑅(𝐿 − 𝑅)) (2.17)
𝑆𝐼 = 𝐴(−1)𝑘cos(2𝜋𝑛𝑅
𝐿 + 𝑅+ 𝜋𝑘
𝐿 + 𝑅(𝐿 − 𝑅 + 𝑅 − 𝑅))
Logo, ao considerar o ganho fornecido pelo amplificador, A=1 e a condição (2.5), é obtido que:
𝑆𝐼 = cos ( 2𝜋𝑅
𝐿 + 𝑅(𝑛 − 𝑘))
(2.18)
(2.8) contém o caso da geração principal. De fato, ao assumir que:
𝑊1𝐿 = 2𝜋𝑛 , 𝑛 ∈ ℤ (2.19)
que corresponde a (2.9), e a condição de geração principal, e substituindo (2.16) e (2.19) em (2.15), é obtido que para k
𝑛 𝐿= 𝑛𝑅 𝐿(𝐿 + 𝑅)+ 𝑘 𝐿 + 𝑅 e assim: 𝑘𝑜 = W W k 1 =n (2.20)
Substituindo (2.20) em (2.18), fornece o máximo de SI, o que significa 𝑊1 = 𝑊
corresponde à geração principal. Se considerarmos 𝑘 = 𝑘𝑜+ 1 (2.21) temos: 𝑆𝐼 = cos (2𝜋𝑅 𝐿 + 𝑅) < 1 (2.22)
Se o ganho fornecido pelo amplificador for grande o suficiente para compensar a queda do valor de SI, então esse valor de k também corresponde à frequência de geração de oscilação, porém com menor eficácia (maior inserção de perda) em comparação ao modo prin-cipal.
O algoritmo descrito nesse capítulo para a oscilação do oscilador multimodo pode ser descrito como:
1. No primeiro momento a frequência desejada de geração principal W é obtida utilizando (2.9) e (2.10). Após esta etapa os valores de k e 𝜙 são fixados. 2. Entre as frequências W podem existir outras frequências 𝑊1 que satisfaçam
(2.15) devido ao fato de que a intensidade do sinal para (2.18) possa ser positiva e satisfazer (2.8). Isto significa que podem existir frequências de geração de os-cilação se o ganho 𝛽 do amplificador assegura que 𝛽𝑆𝐼 ≥ 1 quando SI é deter-minado por (2.18).
No oscilador sintonizável [17], as frequências 𝑊1 são frequências não desejáveis
(parasíticas) que podem ser eliminadas por ajuste cuidadoso de 𝛽 para um valor que garanta a geração no modo principal e que seja suficientemente baixo para suprimir a geração de oscila-ções parasitas.
3 SENSOR SAW ALTERNATIVO
3.1 O USO DO OSCILADOR DE DOIS CAMINHOS ACÚSTICOS E UM ÚNICO CANAL COMO SENSOR OU ALARME
O novo sensor composto por um único canal elétrico e dois caminhos acústicos é baseado no oscilador multimodo, anteriormente aqui apresentado (Figura 2.1). Esse circuito representado com mais detalhes e adaptado para funcionar como sensor é apresentado na Figura 3.1. É observado na figura que no circuito o sinal I é dividido acusticamente em dois sinais, 𝐼𝐿 e 𝐼𝑅. O sinal 𝐼𝑅 percorre acusticamente o caminho de comprimento R, que agora possui depo-sitado sobre sua superfície um filme sensível ao analito que se deseja medir. O sinal 𝐼𝐿 percorre
o caminho acústico de comprimento L sem o filme. Por conta do filme, agora existe uma de-pendência da velocidade da SAW com a fase de 𝐼𝑅, então as equações (2.3) e (2.4) podem ser reescritas da seguinte forma:
𝑆𝐼 =𝐴 2[cos ( 2𝜋𝑓𝜆𝑜𝐿 𝑉 ) + cos ( 2𝜋𝑓𝜆𝑜𝑅 𝑉 − 𝜙𝐸)] (3.1) 𝑆𝑄 =𝐴 2[sin ( 2𝜋𝑓𝜆𝑜𝐿 𝑉 ) + sin ( 2𝜋𝑓𝜆𝑜𝑅 𝑉 − 𝜙𝐸)] (3.2)
Novamente foi assumido, por simplicidade, que ambos sinais (𝐼𝐿 e 𝐼𝑅) possuem
mesma amplitude.
Figura 3.1– Circuito equivalente do sensor SAW, com único canal. O sinal de feedback I é divi-dido acusticamente em 𝐼𝐿 e 𝐼𝑅. O sinal 𝐼𝑅 passa sobre o filme sensível 2 em sua forma acústica e sobre o trocador
de fase F na forma elétrica.
O processo do uso do oscilador da Figura 3.1 como sensor começa com o ajuste do ponto de referência de oscilação. Esse ponto corresponde a um ponto especifico da concentração do analito. Para uma melhor compreensão, foram utilizadas medições relativas da umidade do ar ao ponto de zero de umidade, que pode ser fisicamente obtido pela inserção de sílica gel no compartimento do sensor, que faz ocorrer a interação com o filme (2 na Figura 3.1). Nessa situação, a fase de (2.21) 𝜙 = 𝜙𝑜 deve ser escolhida para satisfazer a equação em
(2.18):
𝐺 = 𝛽𝑆𝐼 = βcos (2𝜋𝑅
Satisfazer (3.3) significa que para 𝜙 < 𝜙𝑜 a oscilação é iniciada, e para 𝜙 > 𝜙𝑜 a oscilação é suprimida. Isso ocorre, pois a perda de inserção total do sinal SI causada pela fase introduzida pelo trocador de fase em um canal é maior que o ganho fornecido pelo amplificador. A influência da umidade pode ser considerada utilizando (2.12), que pode ser rearranjada para a referência da situação com zero de umidade, na seguinte forma:
𝜔𝑜𝜆
𝑉𝑜 (𝑅 + 𝐿) = 𝜙𝑜+ 2𝜋𝑘
(3.4)
Se a umidade aumenta, ocorre uma mudança na velocidade da SAW. Isso signi-fica que 𝑉𝑜 na (3.4) deve ser substituído por 𝑉𝑜+ Δ𝑉, o que introduz uma fase, fazendo com que (3.4) não satisfaça mais as condições de oscilação . Para manter a condição de oscilação é necessário alterar 𝜙𝑜 para 𝜙𝑜+ Δ𝜙, fazendo com que (3.4) volte a se tornar válida. O que nos
fornece a equação:
𝜔𝑜𝜆
𝑉𝑜+Δ𝑉(𝑅 + 𝐿) = 𝜙𝑜+ Δ𝜙 + 2𝜋𝑘
(3.5)
Usualmente ΔV ≪ V0 , assim, (3.5) pode ser reescrito na forma:
𝜔𝑜𝜆 𝑉𝑜 (1 − Δ𝑉 𝑉) (𝑅 + 𝐿) = 𝜙𝑜+ Δ𝜙 + 2𝜋𝑘 (3.6) Considerando (3.4) em (3.5), temos: −𝜔𝑜𝜆ΔV𝑉 𝑜2 (𝑅 + 𝐿) = Δ𝜙 (3.7)
Note que para cada Δ𝑉 que caracteriza o nível de umidade dado, é obtido um valor distinto de Δ𝜙. A sensibilidade do processo nesse caso é determinada por:
Δ𝜙 ΔV = −
𝜔𝑜𝜆
3.1.1 Algoritmo de funcionamento do sensor e do alarme
O processo do uso do oscilador de dois caminhos acústicos como um sensor ou alarme pode ser explicado, da seguinte forma:
Se o sensor inicialmente está funcionando no ponto de referência (zero de umidade) e a equação (3.3) é válida, então quando a concentração de umidade é alterada, a oscilação tem sua frequência ligeiramente modificada, e ocorre alteração na inserção de perda do sinal até o ponto em que a oscilação não se sustenta (𝑆𝐼 < 𝛽−1). Dessa forma é necessário que a fase do
trocador de fase, seja alterada até que a oscilação se inicie novamente, o que significa que (3.7) torna-se novamente válida. O valor de 𝛥𝜙 necessário para retornar a oscilação suprimida pela fase extra introduzida pela concentração da umidade, é utilizado como resposta do sensor.
Para um trocador de fase usual, sua fase é função da tensão de controle aplicada ao pino de polarização. Assim, o sensor pode ser calibrado com a tensão de controle. Note que no sensor proposto não existe a necessidade de contar frequência, tendo apenas a necessidade de detectar os pontos de início e supressão de oscilação como função do controle de tensão.
Para utilizar o mesmo dispositivo como um sistema de alarme é necessário escolher um valor 𝜙𝑜 para o ponto de referência que corresponda ao valor 𝐺 da (3.3) estritamente maior
que 1. Por exemplo 𝐺 = 1,5. Esse valor pode ser obtido por um crescimento do ganho do am-plificador ou ajustando 𝜙0, de maneira com que os sinais de cada caminho sejam somados em fase. Se o nível de concentração do analito aumentar, o valor de 𝐺 diminui por conta do aumento da diferença de fase entre os sinais provenientes dos caminhos acústicos. Embora isso cause uma pequena variação na frequência de oscilação, esta continuará até certo nível de concentra-ção do analito em que o ganho fornecido pelo amplificador não seja suficiente para que a osci-lação se sustente. Nesse nível particular a osciosci-lação será suprimida. Dessa forma, nessa variação da concentração do analito a oscilação se mantém, e se houver um aumento além desses valores a oscilação é suprimida. Esse tipo de comportamento é típico para sistemas de alarmes. Usual-mente, tal sistema não mensura a densidade do analito, apenas gera o sinal de alarme caso o nível do analito exceda um determinado valor. Nesse estudo, o sinal de alarme deve ser gerado quando o oscilador tem sua oscilação suprimida.
4 MODELAGEM DO SENSOR
4.1 MODELAGEM TÉORICA DO CIRCUITO
Para estudar o comportamento teórico do sensor, o circuito apresentado na Figura 3.1 foi modelado, foram utilizados quadrípolos para a representação de seus componentes ele-trônicos. Na Figura 4.1 está apresentado o esquema dessa modelagem, em que foram utilizados três quadrípolos, o quadrípolo F que representa o trocador de fase, e os quadrípolos A e B que representam uma linha de atraso cada. Nessa figura é possível observar a ligação em série entre F e B, e a ligação em paralelo entre A e a ligação em série.
Figura 4.1–Esquema de quadrípolos para a modelagem do circuito do sensor, utilizando um troca-dor de fase F, e as linhas de atraso A e B.
A simulação do circuito foi baseada na definição de matrizes S [18] para a aquisi-ção das medidas dos quadrípolos. Na Figura 4.2 está representada a definiaquisi-ção dos coeficientes
S do quadrípolo. Esse formalismo é utilizado amplamente em simulações de RF [19], pois são
medidas acessíveis aos analisadores de rede. Por tanto, é necessário a representação das matri-zes S de cada quadrípolo da Figura 4.1.
Figura 4.2 – Parâmetros S de um quadrípolo.
Para realizar a ligação em série ente F e B, suas matrizes S ([𝐒]𝑓 e [𝐒]𝐵) foram transformadas em matrizes ABCD [18] ([𝐀𝐁𝐂𝐃]𝐹 e [𝐀𝐁𝐂𝐃]𝐵). Optou-se por essa
transforma-ção, por ser a forma mais conveniente para realizar esse tipo de ligação [18]. É possível observar o esquema da ligação na Figura 4.3.
Figura 4.3 – Associação em cascata entre os quadrípolos F e B, em que estão expressas as tensões entre as entradas e saídas das portas de cada quadrípolo e as setas que indicam o sentido de cada corrente.
A partir do esquema da Figura 4.3, é possível escrever que:
𝑉2𝐹 = 𝑉1𝑏 (4.1)
−𝐼2𝐹 = 𝐼1𝑏 (4.2)
[𝐀𝐁𝐂𝐃]𝐹 ≐ [𝐴𝐶𝐹 𝐵𝐹 𝐹 𝐷𝐹] [𝑉𝐼1 1] = [ 𝐴𝐹 𝐵𝐹 𝐶𝐹 𝐷𝐹] [−𝐼𝑉2𝐹2𝐹] (4.3)
e a representação dos parâmetros ABCD do quadrípolo B: [𝐀𝐁𝐂𝐃]𝐵≐ [𝐴𝐶𝑏 𝐵𝑏 𝑏 𝐷𝑏] [𝑉𝐼1𝑏 1𝑏] = [ 𝐴𝑏 𝐵𝑏 𝐶𝑏 𝐷𝑏] [ 𝑉2 −𝐼2] (4.4)
Utilizando as equações (4.1) e (4.2) em (4.3) e (4.4), é obtido um conhecido resul-tado da associação em cascata:
[𝑉𝐼1 1] = [ 𝐴𝐹𝐴𝑏+ 𝐵𝐹𝐶𝑏 𝐴𝐹𝐵𝑏+ 𝐵𝐹𝐷𝑏 𝐶𝐹𝐴𝑏+ 𝐷𝐹𝐶𝑏 𝐶𝐹𝐵𝑏+ 𝐷𝐹𝐷𝑏] [ 𝑉2 −𝐼2] (4.5)
Simplificando, é possível reescrever os coeficientes de (4.5) da seguinte forma: [𝐀𝐁𝐂𝐃]𝑇 ≐ [𝐴𝐶𝑇 𝐵𝑇 𝑇 𝐷𝑇] [𝑉𝐼1 1] = [ 𝐴𝑇 𝐵𝑇 𝐶𝑇 𝐷𝑇] [ 𝑉2 −𝐼2] (4.6)
A ligação entre F e B, resulta em um quadrípolo resultante T. O que significa que essa ligação pode ser substituída por um único quadrípolo T, cuja matriz [𝐀𝐁𝐂𝐃]𝑇 = [𝐀𝐁𝐂𝐃]𝐹 ∙ [𝐀𝐁𝐂𝐃]𝐵.
Figura 4.4 –Representação da associação em cascata do quadrípolo resultante T ligado em para-lelo com A. As setas representam o sentido das correntes e 𝑉1 e 𝑉2 são as tensões entre as entradas e saídas de
cada quadrípolo.
Na representação da Figura 4.4, T realiza uma ligação em paralelo com A. Para realizar essa ligação de forma conveniente, foram transformados para os parâmetros de admi-tância Y as matrizes ABCD de A ([𝐀𝐁𝐂𝐃]𝐴) e T respectivamente. O resultado de cada trans-formação é representado por matrizes [𝒀]𝐴 e [𝒀]𝑇 respectivamente.
Com os valores representados em parâmetros Y, foi realizada a ligação em paralelo de forma conveniente [18]. Logo, da Figura 4.4 é observado que:
𝐼1 = 𝐼1𝐴+ 𝐼1𝑇 (4.7)
e
𝐼2 = 𝐼2𝐴+ 𝐼2𝑇 (4.8)
e a representação de A e T na forma de Y é a seguinte:
[𝒀]𝐴 ≐ [𝑌𝑌11𝐴 𝑌12𝐴 21𝐴 𝑌22𝐴] [𝐼𝐼1𝐴 2𝐴] = [ 𝑌11𝐴 𝑌12𝐴 𝑌21𝐴 𝑌22𝐴] [𝑉𝑉12] (4.9) e
[𝒀]𝑇 ≐ [𝑌𝑌11𝑇 𝑌12𝑇 21𝑇 𝑌22𝑇] [𝐼𝐼1𝑇 2𝑇] = [ 𝑌11𝑇 𝑌12𝑇 𝑌21𝑇 𝑌22𝑇] [𝑉𝑉12] (4.10)
Assim, com (4.7) e (4.8) em (4.9) e (4.10) é obtido outro resultado conhecido:
[𝒀]𝐹 ≐ [𝑌𝑌11𝐴+ 𝑌11𝑇 𝑌12𝐴+ 𝑌12𝑇 21𝐴+ 𝑌21𝑇 𝑌22𝐴+ 𝑌22𝑇] [𝐼𝐼1 2] = [ 𝑌11𝐴+ 𝑌11𝑇 𝑌12𝐴+ 𝑌12𝑇 𝑌21𝐴+ 𝑌21𝑇 𝑌22𝐴+ 𝑌22𝑇] [𝑉𝑉12] (4.11)
A equação (4.11) implica que matriz [𝒀]𝐹 resultante é a soma dos coeficientes de [𝒀]𝐴 com [𝒀]𝑇. Por fim, foi realizada a transformação de [𝒀]𝑇 para [𝑺]𝑇.
[𝑺]𝑇 ≐ [𝑆𝑆11𝑇 𝑆12𝑇 21𝑇 𝑆22𝑇]
(4.12)
Assim, (4.12) é utilizado como a matriz que representa a resposta do circuito da Figura 3.1.
4.2 IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL DO MODELO
As matrizes [𝐒]𝐴 e [𝐒]𝐵, necessárias para obtenção de (4.12), foram geradas pelo software SAWDES, que utiliza o modelo de Coupling of Modes (COM) [20].
Com o software MATLAB (MATrix LABoratory) foi desenvolvido um software para simular os comportamentos do circuito e suas respostas. Para isso foram implementados os passos descritos na seção 4.1.
A seção do algoritmo responsável pela representação dos quadrípolos no software, foi desenvolvida da seguinte forma: os dados referentes às linhas de atraso geradas por simula-ção (SAWDES) ou medidos experimentalmente (ver sesimula-ção 6) são decodificados pelo software
