Relacoes

MATEMÁTICA DISCRETA I

RELAÇÕES BINÁRIAS



Em uma relação binária, distinguimos determinados

pares ordenados de objetos de outros pares ordenados

porque as componentes dos pares diferenciados

satisfazem alguma relação que os outros não satisfazem.



Uma relação pode ser definida por palavras ou,

simplesmente, listando-se os pares ordenados que a

satisfazem.



Relação binária em um conjunto S – dado um

conjunto S, uma relação binária em S é um subconjunto

S x S (um conjunto de pares ordenados de elementos de

S).

RELAÇÕES BINÁRIAS

 Exemplo 1

 Seja S = {1, 2, 3}, então

S x S = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)}

 _{Se estivéssemos interessados na relação de igualdade, então} escolheríamos (1,1), (2,2) e (3,3);

 São os únicos pares ordenados cujas componentes são iguais.

 _{Se estivéssemos interessados na relação de um número ser menor que} o outro, escolheríamos (1,2), (1,3) e (2,3);

 Poderíamos escolher os pares ordenados (x,y) dizendo que x = y ou x < y.

 A notação x R y indica que o par ordenado (x,y) satisfaz a relação R.

RELAÇÕES BINÁRIAS



Exemplo 3

 _{Seja S = {1,2}.}

 _{S x S = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)}.}

 _{Seja R a relação em S dada pela descrição: x R y x + y é} ímpar. Quais pares ordenados pertencem a R?

RELAÇÕES BINÁRIAS



Relações podem ser definidas entre conjuntos

diferentes.

 _{Relações entre Conjuntos Diferentes – Dados dois} conjuntos S e T, uma relação binária de S para T é um subconjunto de S x T. Dados n conjuntos S1, S2, ..., Sn, n > 2, uma relação n-ária em S1 x S2 x ... X Sn é um subconjunto de S1 x S2 x ... X Sn.



Exemplo 4:

 _{Sejam S = {1,2,3} e T = {2,4,7}. O conjunto {(1,2), (2,4),} (2,7)} é formado por elementos de S x T, logo é uma relação binária de S para T.

RELAÇÕES BINÁRIAS

 Se R é uma relação binária em S, então R consiste em um

conjunto de pares ordenados da forma (S1,S2).

 Dada uma primeira componente S₁ ou uma segunda componente

S2, podem ser formados diversos pares pertencentes à relação.

 Relação um para um – cada primeira componente e cada segunda componente aparece apenas uma vez na relação;

 _{Relação um para muitos – alguma primeira componente aparece mais de} uma vez;

 _{Relação muitos para um – alguma segunda componente aparece em} mais de um par;

 Relação muitos para muitos – pelo menos uma primeira componente aparece em mais de um par e pelo menos uma segunda componente aparece em mais de um par.

RELAÇÕES BINÁRIAS



Propriedades de Relações

 Uma relação binária em um conjunto S pode ter determinadas propriedades.

 _{Seja R uma relação binária em um conjunto S. Então R pode} ser uma relação:

 Reflexiva – todo x está relacionado a si mesmo;

(x)(x ∈ S (x,x) ∈ R)

 Simétrica – se x está relacionado a y, então y está relacionado a x;

(x) (y)(x ∈ S ^ y ∈ S ^ (x,y) ∈ R (y,x) ∈ R)

 Transitiva – se x está relacionado a y e y está relacionado a z, então

x está relacionado a z;

(x)(y)(z) (x ∈ S ^ y ∈ S ^ z ∈ S ^ (x,y) ∈ R ^ (y,z) ∈ R (x,z) ∈ R)

RELAÇÕES BINÁRIAS



Exemplo 5:

 _{Considere a relação ≤ no conjunto dos números naturais.}

 _{Essa relação é reflexiva porque, para qualquer inteiro} não-negativo x, x ≤ x.

 Ela também é transitiva, pois quaisquer que sejam os inteiros não-negativos x, y e z, se x ≤ y e y ≤ z, então x ≤ z.  No entanto, essa relação não é simétrica;

 Quaisquer que sejam x e y, se x ≤ y e y ≤ x, então x = y.

RELAÇÕES BINÁRIAS

 Relação Anti-simétrica – seja R uma relação binária em um conjunto S. Dizer que R é anti-simétrica significa que

(x) (y)(x ∈ S ^ y ∈ S ^ (x,y) ∈ R ^(y,x) ∈ R x = y)



Todas as quatro propriedades de relações envolvem o

conectivo condicional.



Os quantificadores universais significam que os condicionais

têm que ser verdadeiros para escolhas arbitrárias de

variáveis.



Para provar que um condicional é verdadeiro, supomos que

a proposição antecedente é verdade e provamos que a

conseqüente também tem que ser verdadeira.

RELAÇÕES BINÁRIAS



Fechos de Relações

 _{Se uma relação R em um conjunto S não tem determinada} propriedade, podemos ser capazes de estender R a uma relação R* em S que tenha essa propriedade.

 _{Queremos dizer que a nova relação R* vai conter todos os} pares ordenados em R, além dos pares adicionais necessários para que a propriedade seja válida.

 R R*

 Se R* é o menor conjunto com essa propriedade, então R* é chamado de fecho de R em relação a essa propriedade.

RELAÇÕES BINÁRIAS

 Fecho de uma relação – uma relação binária R* em um conjunto S é o fecho de uma relação R em S em relação à propriedade P se

1. R* tem a propriedade P; 2. R R*;

3. R* é subconjunto de qualquer outra relação em S que inclua R e

tenha a propriedade P.

 _{Podemos procurar o fecho reflexivo, o fecho simétrico e o} fecho transitivo de uma relação em um conjunto.

 Se a relação já tem a propriedade em questão, ela é seu próprio fecho em relação a essa propriedade.

RELAÇÕES BINÁRIAS



Exemplo 6:

 Sejam S = {1,2,3} e R = {(1,1), (1,2), (1,3), (3,1), (2,3)}. Então R não é reflexiva, nem simétrica, nem transitiva.

 _{Qual o fecho de R em relação à reflexividade?}

{(1,1), (1,2), (1,3), (3,1), (2,3), (2,2), (3,3)}

 E em relação à simetria?

{(1,1), (1,2), (1,3), (3,1), (2,3), (2,1), (3,2)}

 Tanto para o fecho reflexivo quanto para o simétrico, tivemos apenas que inspecionar os pares já pertencentes a R para descobrir que pares precisamos adicionar.

 O fecho reflexivo e o fecho simétrico de uma relação podem ser encontrados em apenas um passo.

RELAÇÕES BINÁRIAS

 Para encontrarmos o fecho transitivo, podemos precisar de uma série de passos.

 Analisando os pares ordenados de R, vemos que precisamos adicionar:

 (3,2) devido a (3,1) e (1,2);  (3,3) devido a (3,1) e (1,3); e  (2,1) devido a (2,3) e (3,1)

 Temos uma nova relação:

{(1,1), (1,2), (1,3), (3,1), (2,3), (3,2), (3,3), (2,1)}

 No entanto, essa relação ainda não é transitiva. Por causa do nova par (2,1) e do velho par (1,2), precisamos adicionar (2,2). O que torna a relação R* transitiva

RELAÇÕES BINÁRIAS



Ordens Parciais

 _{Podemos pensar numa relação de ordem quando lembramos} de uma fila no banco, de uma fila de alunos numa sala de aula, na relação “menor ou igual” nos números naturais, etc.  _{Ordem Parcial – é toda relação binária em um conjunto S que}

é, simultaneamente, reflexiva, anti-simétrica e transitiva.  _{São exemplos de relação de ordem parcial:}

 N, ≤;

RELAÇÕES BINÁRIAS

 Se R é uma relação de ordem parcial em S, então dizemos que (S,R) é um conjunto parcialmente ordenado.

 _{Se S é um conjunto finito, então podemos representar} visualmente um conjunto parcialmente ordenado em S por um diagrama de Hasse.

 Cada elemento de S é representado por um ponto (vértice) do

diagrama.

 O diagrama de Hasse pode ser construído com base num grafo,

onde as arestas que representam as relações reflexivas e transitivas ficam implícitas no diagrama.

 Se x é um predecessor imediato de y, o nó que representa y é

colocado acima do nó que representa x e os dois nós são conectados por um segmento de reta.

RELAÇÕES BINÁRIAS



Exemplo:

 _{Dados o conjunto S = {1,2,3} e a relação de ordem ≤,} temos seus respectivos grafo e diagrama de Hasse representados abaixo:

RELAÇÕES BINÁRIAS

 Dado o diagrama de Hasse a seguir, qual é o conjunto dado pela relação de ordem?

RELAÇÕES BINÁRIAS



Relações de equivalência

 _{Não dá a noção de igualdade semântica, ou seja, de} elementos que apresentam um mesmo significado.

 Uma relação binária em um conjunto S que é reflexiva, simétrica e transitiva é chamada uma relação de equivalência em S.

 _{Partição de um Conjunto – uma partição de um conjunto} S é uma coleção de subconjuntos disjuntos não-vazios cuja união é igual a S.

RELAÇÕES BINÁRIAS

 Suponha um conjunto S = {x|x é aluno de Matemática Discreta} e a relação x R y “x senta na mesma fileira que y”. Ao agruparmos todos os alunos do conjunto S que estão relacionados entre si, obtemos a figura abaixo.

 Qualquer relação de equivalência divide o conjunto onde está definida em uma partição. Os subconjuntos que compõem a partição são formados agrupando-se os elementos relacionados.

RELAÇÕES BINÁRIAS

 Classes de equivalência: se R é um relação de equivalência em um conjunto S e se x ∈ S, denotamos por [x] o conjunto de todos os elementos relacionados a x em S e o chamamos de classe de equivalência de S. Logo,

[x] = {y|y ∈ S ^ x R y}

 _{Teorema: uma relação de equivalência R em um conjunto S} determina uma partição de S e uma partição de S determina uma relação de equivalência em S.

RELAÇÕES BINÁRIAS



Exemplo:

 _{No caso em que x R y “x senta na mesma fileira que} y”, suponha que João, Carlinhos, José, Judite e Téo sentam-se todos na terceira fileira.

 _Então:

 [João] = {João, Carlinhos, José, Judite, Téo};  [João] = [Carlinhos] = [José] e assim por diante;

 Essas não são classes distintas, mas a mesma classe com

diversos nomes. Uma classe de equivalência pode usar o nome de qualquer de seus elementos.

RELAÇÕES BINÁRIAS

 Considere o conjunto dos números naturais e a relação de

equivalência dada por x R y x + y é par.

 Tal relação divide o conjunto N em duas partes, ou seja, em duas

classes de equivalência.

 Se x é par, então para todo número par y, x + y é par;

 Se x é ímpar, então para todo número ímpar y, x + y é par.

 As classes de equivalência podem ser representadas por qualquer

objeto pertencente à ela:

classe dos pares: [2] = [4] = [1286] classe dos ímpares: [1] = [3] = [1587]

RELAÇÕES BINÁRIAS



A tabela abaixo resume características importantes de

ordens parciais e relações de equivalência:

Tipo de relação binária

Reflexiva Simétrica

Anti-simétrica

Transitiva Característica

importante Ordem

Parcial Sim Não Sim Sim Predecessores e sucessores Relação de

EXERCÍCIOS



Exercícios 4.1

 _{Páginas: 209, 210, 211, 212 e 213}