Lista3 POLI USP

(1)

MAT2453- C´alculo Diferencial e Integral para Engenharia I - POLI 1o. Semestre de 2014 - 3a. Lista de Exerc´ıcios

I - Integrais Indefinidas

Calcule as integrais indefinidas abaixo:

1. Z _x7+_x2+₁ x2 dx 2. Z e2xdx 3. Z cos 7x dx 4. Z tg2x dx 5. Z ₇ x−2dx 6. Z tg3x sec2x dx 7. Z _sen3_x √ cos xdx 8. Z tg x dx 9. Z tg3x dx 10. Z _x 1+x2 dx 11. Z _x 1+x4 dx 12. Z _x2 1+x2dx 13. Z xp1−x2_dx _14. Z sec x dx 15. Z _dx x√1+ln x 16. Z x2p5 x3₊_{1 dx} _17. Z _4x+₈ 2x2₊_8x₊₂₀dx 18. Z √_{ln x} x dx 19. Z _dx (arcsen x) √1−x2 20. Z _ex 1+ex dx 21. Z _{sen 2x} 1+cos2_xdx 22. Z ex3x2dx 23. Z ex√3 1+ex_dx _24. Z _sen√_x √ x dx 25. Z _earctg x 1+x2 dx 26. Z 2x(x+1)2014dx 27. Z x sen x dx 28. Z ex cos x dx 29. Z xr ln x dx, r _∈R _30. Z (ln x)2 dx 31. Z xe−xdx 32. Z x arctg x dx 33. Z arcsen x dx 34. Z sec3x dx 35. Z cos2x dx 36. Z sen2x cos3x dx 37. Z sen2x cos2x dx 38. Z ₁ −sen x cos x dx 39. Z _3x2₊_4x₊₅ (x−1)(x−2)(x−3)dx 40. Z _dx 2x2₊_8x₊₂₀ 41. Z _3x2+_4x+₅ (x−1)2₍_x₋₂₎dx 42. Z _x5+_x+₁ x3₋₈ dx 43. Z _x2 √ 1−x2dx 44. Z x2p1₋x2_dx _45. Z e√xdx 46. Z ln(x+ p1+x2₎_dx _47. Z _dx √ 5−2x+x2 48. Z √ x ln x dx 49. Z sen(ln x)dx 50. Z _x x2₋₄dx 51. Z _3x2+_5x+₄ x3₊_x2₊_x₋₃dx 52. Z _p a2₊_b2_x2_dx _53. Z _dx √ a2₊_b2_x2 54. Z _p x2₋_2x₊_{2 dx} 55. Z _p 3−2x−x2_dx _56. Z dx (1+x2₎√₁₋_x2 57. Z cos3x dx 58. Z sen5x dx 59. Z _cos5_x sen3_x dx 60. Z sen3x 2 cos5x 2 dx

(2)

61. Z _dx sen5_{x cos}3_x 62. Z sen4x dx 63. Z sen2x cos5x dx 64. Z sen2x cos4x dx 65. Z cos6(3x)dx 66. Z _cos2_x sen6_xdx 67. Z _dx sen2_{x cos}4_x 68. Z r 1 −x 1+xdx 69. Z _dx √ x₋√3 _x (Sugest˜ao: fac¸a u=√6 _x) 70. Z _x₊₁ x2₍_x2₊₄₎2dx 71. Z _{arctg x} x2 dx 72. Z _x2 √ 2x−x2 dx 73. Z _4x2 −3x+3 (x2₋_2x₊₂₎₍_x₊₁₎dx 74. Z _dx 1+ex 75. Z _ln₍_x₊₁₎ x2 dx 76. Z x5e−x3dx 77. Z _x₊₁ x2₍_x2₊₄₎dx 78. Z √_x2 −9 x3 dx

II - Aplica¸c ˜oes da Integral Definida 1. Calcule

Z 1 −1x

3_sen₍_x2₊₁₎_dx.

2. Encontre o volume de uma pirâmide cuja base é o quadrado de lado L e cuja altura é h.

3. Calcule o volume do s ólido cuja base é a astr óide de equação x23 +y23 = a23 e tal que as seç ões

transversais por planos paralelos ao plano Oxz s˜ao quadrados.

4. Calcule o comprimento do gráfico de f(x) =ln(cos x), para 0≤x ≤ π 4. 5. Calcule a área da região interna ao laço formado pela curva y2 =x2₍_x₊₃₎_. 6. Calcule a área da região do plano limitada pela elipse x

2

a2 +

y2 b2 =1.

7. Determine o volume do s ólido obtido pela rotação em torno do eixo Ox do conjunto a) A= {(x, y) ∈R2_{: 0}_≤_xy_≤_{2, x}2₊_y2_≤_{5 e x}>0}.

b) A= {(x, y) ∈R2_{: y}_≥√_{x e}₍_x₋₁₎2₊_y2 _≤₁_}_. c) A_{= {(}x, y_{) ∈}R2_{: 0}_≤_x _≤_{2 e e}−x _≤_y_≤_ex_}_. d) A= {(x, y) ∈R2 _{: x}>_{0, y}≤_{1 e 1/x}≤_y≤_4/x2}_.

8. Seja A _{= {(}x, y_{) ∈} R2 _{: 0}_≤ _x _≤ _{1 e ln}₍_x₊₁_{) +}₂ _≤ _y_≤ _ex₊₄_}_{. Determine o volume do s ólido} obtido pela rotação de A em torno da reta y=2.

9. Calcule o volume do s ólido obtido pela rotação em torno da reta y= 3 da região delimitada pelas parábolas y=x2e y =2−x2.

(3)

11. O disco x2₊_y2 _≤ _a2 _{é girado em torno da reta x} ₌ _{b, com b} _> _{a, para gerar um s ólido, com a} forma de um pneu. Esse s ólido é chamado toro. Calcule seu volume.

12. Seja R a regi˜ao compreendida entre os gr´aficos de f(x) = 18

9+x2 e g(x) =

x

3 para x∈ [0, 3]. (a) Calcule o volume do s ólido obtido pela rotação de R em torno do eixo Ox.

(b) Calcule o volume do s ólido obtido pela rotação de R em torno do eixo Oy. 13. Determine o comprimento da curva y=cosh x,−3≤ x_≤4.

14. Um anel esférico é o s ólido que permanece ap ós a perfuração de um buraco cil´ındrico através do centro de uma esfera s ólida. Se a esfera tem raio R e o anel esférico tem altura h, prove o fato notável de que o volume do anel depende de h, mas não de R.

III - Aplica¸c ˜oes do Teorema Fundamental do C´alculo

1. Seja f uma função cont´ınua em um intervalo[a, b]e sejam u(x)e v(x)funç ões diferenciáveis cujos valores estão em[a, b]. Prove que

d dx Z v(x) u(x) f(t)dt= f(v(x)) dv dx− f(u(x)) du dx. A f ´ormula acima ´e conhecida como Regra de Leibnitz.

2. Calcule g′(x)onde (a) g(x) = Z senx cosx e t2 dt (b) g(x) = Z 2√x √ x sen(t 2₎_dt 3. Seja F(x) = Z x 0 p 1+t3_{dt. Calcule} Z 2 0 xF(x)dx em termos de F(2). 4. Seja f uma func¸˜ao cont´ınua em um intervalo I contendo a origem e seja

y= y(x) =

Z x

0 sen(x−t)f(t)dt Prove que y′′+y= f(x)e y(0) =y′(0) =0, para todo x∈ I.

(4)

5. Calcule lim x→0 Rx2 0 cos(t2)dt Rx 0 e−t 2 dt . 6. Mostre que f(x) = Z 1/x 0 1 t2₊₁dt+ Z x 0 1

t2₊₁dt ´e constante em(0, ∞). Qual o valor dessa cons-tante?

7. Seja f(x) =

Z x

0 e

x2−t2

2 dt. Mostre que f′(x) −x f(x) =1, para todo x∈R_. 8. Seja F :[1,+∞_[→R_{dada por F}₍_x_{) =}

Z x

1 p

t3₋_1dt.

(a) Calcule o comprimento do gr´afico de F entre x=1 e x=4. (b) Calcule lim

x→2

F(x3) −F(8)

sen(x₋2)

IV - Polin ˆomio de Taylor

1. Utilizando o polin ˆomio de Taylor de ordem 2, calcule um valor aproximado e avalie o erro: (a)√3 _{8, 2} _{(b) ln}₍_{1, 3}₎ _{(c) sen}₍_{0, 1}₎

2. Mostre que: a)|sen x−x_{| ≤} 1 3!|x| 3 ∀x_∈ IR b) 0≤ex− 1+x+1 2x 2 < 1 2x 3_{para 0}_≤ _x_≤_1.

3. Encontre o polin ˆomio de Taylor de ordem 5 de f(x) =√3 _{x em volta de x}

0 =1. 4. a) Seja n natural ´ımpar. Mostre que para todo x_∈ IR

sen x− x− x 3 3! + x5 5! −...+ (−1) n−1 2 x n n! ≤ |x|n+2 (n+2)! b) Avalie sen(1)com erro, em m ´odulo, inferior a 10−5_.

5. a) Determine o polin ˆomio de Taylor de ordem n de f(x) =ex_{em torno de x} 0=0. b) Avalie e com erro em m ´odulo inferior a 10−5.

c) Mostre que para todo x∈ IR, e x2₋ 1+x2+x 4 2 + x6 3! +...+ x2n n! ≤ ex2x2n+2 (n+1)! d) Avalie Z 1 0 e x2

dx com erro inferior a 10−5. 6. Mostre que Z 1 0 cos(x 2₎_dx − 1−_5.2!1 + 1 9.4! − 1 13.6! ≤ 1 15.7!

7. Seja I um intervalo aberto e seja f : I ⊂ IR → IR derivável até 2a ordem em I. Use o polin ômio de Taylor de grau 1 e a f órmula de Taylor para provar o “teste da segunda derivada”, isto é, prove que se a∈ I é um ponto cr´ıtico de f e

a) Se f′′(x) ≥0 para todo x∈ I, então f tem m´ınimo em a. b) Se f′′(x) ≤0 para todo x∈ I, então f tem máximo em a.

(5)

V - Miscelˆanea

1. Seja f : R _→R_{uma função cont´ınua e peri ódica de per´ıodo 2L, isto é, f}₍_x₊_2L_{) =} _f₍_x₎_{, para todo} x∈R_{. Sejam n}_∈Z_{e a}_∈ R_{. Mostre que}

1 L Z L −L f(x)cos nπx L dx = 1 L Z a+2L a f(x)cos nπx L dx. 2. Calcule Z π/2 0 sen x cos x x+1 dx em termos de A= Z π 0 cos x (x+2)2dx.

3. Trabalho. Quando uma for¸ca constante de intensidade F é aplicada na direção do movimento de um objeto e esse objeto é deslocado de uma distância d, definimos o trabalho W realizado pela força sobre o objeto por W = F.d, se a força age no sentido do movimento e por W = −F.d, se ela age no sentido oposto. Suponha agora que um objeto está se movendo na direção positiva ao longo do eixo x, sujeito a uma for¸ca variável F(x). Defina o trabalho W realizado pela força sobre o objeto quando este é deslocado de x=a até x=b, e encontre uma f órmula para calculá-lo. 4. Energia cinética. Use as notaç ões do exerc´ıcio anterior, a segunda lei de Newton e a regra da cadeia

dv dt = dv dx dx dt =v dv dx

para mostrar que o trabalho realizado por uma força F atuando sobre uma part´ıcula de massa m que se moveu de x1até x2 é

W = Z x₂ x1 F(x)dx= 1 2mv 2 2− 1 2mv 2 1,

onde v1 e v2 s˜ao as velocidades do corpo em x1 e x2. Em F´ısica, a express˜ao 1 2mv

2 _{é chamada de} energia cinéticade um corpo em movimento com velocidade v. Portanto, o trabalho realizado por uma força é igual à variação da energia cinética do corpo e podemos determinar o trabalho calculando esta variação.

5. Suponha que uma part´ıcula se desloca ao longo do eixo 0x, segundo uma função horária x :

[t0, t1] → Re sob ação de uma força f(x)−→i , dada f : R → R cont´ınua. Admita que a dinâmica da part´ıcula é governada por um modelo relativ´ıstico: sua massa m depende da sua velocidade v, segundo a função m :(−c, c) →R_{definida por (dados c} >0 velocidade da luz e m₀ >0 massa de

repouso): m(v) = q m0 1− v c 2 , e sua função horária x satisfaz a equação diferencial:

d dt m(x

′₍_t₎₎_x′₍_t₎

= f x(t). Mostre que, se interpretarmos o trabalhoRx1

x0 f(x)dx realizado pela forc¸a f quando a part´ıcula se

desloca de x0 =x(t0)a x1= x(t1)como variac¸˜ao de energia ∆E, e se ∆m=m x′(t1)

−m x′(t0), ent˜ao:

(6)

Sugestão:Use o teorema de mudança de variáveis na integral de Riemann e o teorema fundamen-tal do cálculo.

6. Sabe-se que a intensidade da força de atração entre duas part´ıculas é dada por F= Cm1m2

d2

onde C é uma constante, m1 e m2 são as massas das part´ıculas e d é a distância entre elas. Uma barra linear homogênea de massa M1=18kg e uma massa pontual M2=2kg estão dispostas como na figura. Calcule a intensidade da força de atração entre as duas massas.

7. Calcule lim n→+∞ π n senπ n +sen 2π n + · · ·sen (n−1)π n

8. Determine o volume da intersecção de dois cilindros, ambos de raio R e cujos eixos são ortogonais. 9. Seja G(x) = x Z 0  t t Z 0 eu2du  dt. Calcule G′(x)e G′′(x).

10. Calcule o comprimento da astr ´oide x23 +y23 =a23.

11. Calcule o comprimento do arco da curva f(x_{) = −}√a2₋_x2₊_{a ln}₍ x

a−√a2₋_x2)no intervalo fechado [c0, c1] ⊂]0, a[(suponha a>0). 12. Seja f(x) = Z x 0 1 √ 1+t4dt, x ∈ R_. (a) Mostre que f ´e crescente e ´ımpar.

(b) Mostre que f(x) ≤ f(1) +1−1_x,∀x ≥1. (Sugest˜ao: Integre 0≤ _√1 1+t4 ≤

1

t2 de 1 a x.)

(c) Mostre que lim

x→∞ f(x)existe e é um n úmero real positivo. (d) Esboce o gráfico de f(x), localizando seu ponto de inflexão. 13. Estude as seguintes integrais de Riemann impr óprias:

(a) Z 1 0 ln(x)dx (b) Z +∞ 1 1 1+x2 dx (c) Z +∞ 0 xe −x_dx RESPOSTAS I - Integrais Indefinidas 1)x₆6+x−1 x+k 2) e 2x 2 +k 3)1₇sen 7x+k 4) tgx−x+k 5) 7 ln|x−2| +k 6) 1₄tg4x+k

7) 2√cos x(1₅cos2_x₋₁_{) +}_k ₈₎₋_ln_|_{cos x}_{| +}_k

9)1₂tg2x+ln|cos x| +k 10)1₂ln(1+x2) +k 11)1₂arctg x2₊_k _{12) x}₋_{arctg x}₊_k 13)−13 p (1−x2₎3₊_k _{14) ln}_|_{sec x}₊_tgx_{| +}_k 15) 2√1+ln x+k 16)₁₈5p5 (x3₊₁₎6₊_k 17) ln(2x2+8x+20) +k 18)2₃p(ln x)3₊_k 19) ln|arcsen x| +k 20) ln(1+ex) +k 21)−ln(1+cos2_x_{) +}_k ₂₂₎1 3ex 3 +k

(7)

23)3₄p3

(1+ex₎4₊_k ₂₄₎₋_{2 cos}√_x₊_k

25) earctgx+k 26) 2(x+1)2015₍x+1

2016−20151 ) +k

27)−x cos x+sen x+k 28)₂1ex(sen x+cos x) +k

29) (_xr+1 r+1ln x− x r+1 (r+1)2 +k, se r6= −1 1 2(ln x)2+k, se r= −1 30) x(ln x)2₋₂₍_{x ln x}₋_x_{) +}_k 31)(−x−1)e−x+k 32) x₂2arctg x−x 2+12arctg x+k 33) x arcsen x+√1−x2₊_k ₃₄₎1 2sec x tg x+12ln sec x+tg x| +k

35)1₂(x+sen x cos x) +k 36)1₃sen3_x₋1

5sen5x+k 37)1₈(x−1 4sen 4x) +k 38) ln|1+sen x| +k 39) 6 ln|x−1| −25 ln|x−2| +22 ln|x−3| +k 40) √₁₂6arctg(x+2√ 6) +k 41)−22 ln|x−1| + 12 x−1+25 ln|x−2| +k 42)x₃3+35 12ln|x−2| +2461ln(1+ (x+1√3) 2_{) +}√3 12 arctg(x+1√3) +k 43)1₂arcsen x−1 2x √ 1−x2₊_k ₄₄₎ x 8(2x2−1) √ 1−x2₊1 8arcsen x+k 45) 2(√x−1)e√x+k 46) x ln(x+√1+x2_{) −}√₁₊_x2₊_k 47) ln|√5−2x+x2₊_x₋₁_{| +}_k ₄₈₎2 3x √ x(ln x−23) +k 49)x₂(sen(ln x) −cos(ln x)) +k 50)1₂ln|x2−4| +k 51) 2 ln|x−1| +12ln(x2+2x+3) +√1₂arctg(x+1√₂) +k 52)x₂√a2₊_b2_x2₊a2 2bln(bx+ √ a2₊_b2_x2_{) +}_k ₅₃₎1 bln(bxa + √ a2_+b2_x2 a ) +k 54)x−1₂ √x2₋_2x₊₂₊1 2ln(x−1+ √ x2₋_2x₊₂₎_+k 55)x+1₂ √3−2x−x2₊_2arcsen₍x+1 2 ) +k 56) √1₂arctg( x √ 2 √ 1−x2) +k 57) sen x−1

3sen3x+k 58)−cos x+32cos3x−15cos5x+k

59)1₂sen2x− 1

2 sen2_x−2 ln|sen x| +k 60)1₄cos8(x₂) −1₃cos6(x₂) +k

61)1₂tg2x+3 ln|tgx| −_2tg32_x−_4tg14_x +k 62)38x−14sen(2x) +321sen(4x) +k

63)1₃sen3_x₋2

5sen5x+17sen7x+k 64)16x −641sen(4x) +481sen3(2x) +k

65)₁₆5x+ 1

12sen(6x) +641 sen(12x) −1441 sen3(6x) +k

66)−13cotg3x−15cotg5x+k 67) tgx+13tg3x−2cotg(2x) +k

68) arcsen x+√1−x2₊_k _{69) 2}√_x₊₃√3_x₊₆√6_x₊_{6 ln}_|√6_x₋₁_{| +}_k 70)₁₆1 ln|x| − 1 16x−321 ln(x2+4) −643 arctgx2+32(x4−x2₊₄₎+k 71)− arctg x_x +ln|x| −ln√1+x2₊_k ₇₂₎3 2arcsen(x−1) − x+3 2 √ 2x−x2₊_k 73) 2 ln|x+1| +ln(x2₋_2x₊₂_{) +}_arctg₍_x₋₁_{) +}_k _{74) x}₋_ln₍₁₊_ex_{) +}_k 75)−ln(x+1)x +ln|x| −ln(x+1) +k 76)−13(x3+1)e−x 3 +k 77)1₄ln|x| − 1 4x−18ln(x2+4) −18arctg x2 +k 78)1₆arcsec x₃ −√x2₋₉ 2x2 +k

II - Aplica¸c ˜oes da Integral Definida 1. 0. 3. 128₁₀₅a3. 4. ln(1+√2). 5. 24₅√3. 6. πab. 7. (a) 10√₃5−2π. (b) π 6. (c) π 2(e2−e−2)2. (d) 5π₆. 8. π Z1 0 (e x₊₂₎2_dx₋Z1 0 ln 2₍_x₊₁₎_dx 9. 32₃π. 11. (2πb)(πa2). 12. πh2(a−h3). 13. senh4+senh3.

III - Aplica¸c ões do Teorema Fundamental do Cálculo 3. 2F(2) −26 9. 5. 0. 6. π 2. V - Miscelânea 2. 1₂(π1+2+ 1 2−A). 6. 4₃C 8. 16₃R3_. 9. G′(x) =xRx 0 eu 2 du, G′′(x) =Rx 0 eu 2 du+xex2. 10. 6a. 11. a ln(c1 c0). 13. (a)−1 (b)π 4 (c) 1