Uma abordagem para classificação de funções k-quaseconformes

(1)

FUNC¸ ˜OES QUASECONFORMES

Jos´e Benedito Jorge Maricato

Disserta¸c˜ao de Mestrado

Pós-Gradua¸cão em Matemática Aplicada

Rua Crist´ov˜ao Colombo, 2265

15054-000 - S˜ao Jos´e do Rio Preto - SP - Brasil Telefone: (017) 221-2444

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Uma Abordagem para classifica¸c˜

ao de fun¸c˜

oes

K-quaseconformes

Jos´e Benedito Jorge Maricato 1

Disserta¸cão apresentada ao Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas da Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”, Campus de São José do Rio Preto, São Paulo, para a obten¸cão do t´ıtulo de Mestre em Matemática Aplicada.

Orientador: Prof. Dr. Jos´e Marcio Machado

S˜ao Jos´e do Rio Preto 16 de Dezembro de 2005

1_{contato:[email protected]}

(3)

Aos meus amigos, professores e especialmente à Profa.Dra. Ângela Maria Sitta, Prof. Dr. Manoel Ferreira Borges Neto e Prof. Dr. José Márcio Machado. Dedico

(4)

Pref´

acio

Esse trabalho aborda em sua quase totalidade o estudo de fun¸c˜oes do tipo f (z) = zn_{, para z imagin´ario, complexo ou hipercomplexo, preocupando-nos}

em visualizar seus mapeamentos (ou imaginar, já que estamos em 4 dimensões). Por analogia com o que se passa no espa¸co euclidiano ordinário E3, em que uma transforma¸cão

OM0 = K.OM

representa um giro do espa¸co em tôrno de O, seguido de uma dilata¸cão K, Ha-milton estendeu ao espa¸co E4 a interpreta¸cão do E3, dizendo que o produto de dois quatérnios xy representa um giro seguido de uma distensão, fixa a origem.

O cardióide gerado pelo mapeamento de f (z) = z2_{, para z complexo e,} estrategicamente, colocado sobre o eixo−x provoca uma analogia em z hipercom-plexo, quando z está na fronteira de uma bola de raio r e centro z0. ”Cardióides”e ”cardióides degenerados”são obtidos em dimensão n = 3 e, muito provavelmente, para n = 4, a ser desenvolvido no Cap´ıtulo 8 dessa disserta¸cão.

No Cap´ıtulo 1, introdutório, definimos o anel dos quatérnios e fun¸cões de quatérnios a fim de estruturar os elementos fundamentais para o desenvolvimento da proposta que é a de calcular as dilata¸cões lineares das fun¸cões quaterniônicas do tipo f (z) = zn_.

No Cap´ıtulo 2, apresentamos formalmente o primeiro resultado, isto é, a generaliza¸cão de zn_{, em que z é um hipercomplexo, propiciando a troca de tabelas}

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bina¸cão grande de ´ındices, e por isso, são escritos em coordenadas esféricas, a serem apresentadas no Cap´ıtulo 3.

Os fundamentos centrais da proposta desse trabalho encontram-se desen-volvidas no Cap´ıtulo 4, em que a distância |f (y) − f (x)| obtida para f (z) = z, f (z) = z2_{, .., f (z) = z}6_{, necessita de uma generaliza¸cão. Por esse pressuposto} faz-se um uso grande de binomiais e propriedades, o que enriqueceu ao que inici-almente nos propunhamos, a partir da possibilidade de abrangência de todas as fun¸cões do tipo f (z) = zn_{. Já no Cap´ıtulo 5, centramos o seu desenvolvimento}

na defini¸cão de Transforma¸cões: Transforma¸cões Complexas Conformes em um dom´ınio D, e Transforma¸cões Hipercomplexas.

Nos três Cap´ıtulos finais há a defini¸cão de quaseconformidade, e a apre-senta¸cão computacional dessa situa¸cão. Também analiticamente é apresentado o valor de K(x1, x2, x3, x4) e, no último Cap´ıtulo, é poss´ıvel o mapeamento das fun¸cões zn_{, a partir de cortes realizados em hipersuperf´ıcies geradas por essas}

fun¸c˜oes, a serem observadas em IR3 _{e IR}2_.

São José do Rio Preto Novembro de 2005 José Benedito Jorge Maricato.

(6)

Resumo

As fun¸cões hipercomplexas do tipo zn_{, n natural, têm uma dilata¸cão}

linear K uniformemente limitada em um dom´ınio simplesmente conexo D, ent˜ao podem ser classificadas de fun¸c˜oes K-quaseconformes.

Procuramos aqui quantificar K e verificar suas dependˆencias.

Para tanto, as generaliza¸c˜oes de zn _{foram necess´arias e obtidas,}

originando para z escrito em coordenadas esféricas, polinômios em fun¸cão de um raio r.

Palavras-chave: fun¸c˜oes quaseconformes, mapeamentos, hipercomplexos.

(7)

The hypercomplex functions of zn_{type, natural n, have a linear dilatation}

K, uniformly limited in a connected domain D, so they can be classified in K-quasiconformal functions.

We try here to quantify K and check its dependancy.

To enable this, the generalizations of zn_{were necessary and obtained}

be-forehand, originating for z written in spherical coordenates, polynomial according to a radial r.

Keywords:quasiconformal functions, mappings, hypercomplex

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Sum´

ario

1 Introdu¸c˜ao 1

1.1 O anel dos quat´ernios . . . 1

1.2 Fun¸c˜oes de Quat´ernios . . . 3

2 Os coeficientes de f (x) = xn ₅ 2.1 O desenvolvimento de xn _{. . . .} ₅

2.2 Fator h2k x e aplica¸c˜oes . . . 6

3 Coordenadas Esf´ericas n-dimensionais 9 3.1 Coordenadas Esf´ericas . . . 9

3.2 Jacobianos . . . 11

4 O desenvolvimento de ¯¯f(y) − f(x)¯¯ para f(z)=zn ₁₄ 4.1 Estudos de ¯¯f(y) − f(x)¯¯ para f(z) = zn _{. . . .} ₁₄

4.1.1 A express˜ao de ¯¯f(y) − f(x)¯¯ para f(z) = z2 _{. . . .} ₁₅

4.1.2 A express˜ao de ¯¯f(y) − f(x)¯¯ para f(z) = z3 _{. . . .} ₁₇

4.1.3 A express˜ao de ¯¯f(y) − f(x)¯¯ para f(z) = z4 _{. . . .} ₂₀

4.2 A generaliza¸c˜ao |f (y) − f (x)|, para f (z) = zn _{. . . .} ₂₂

4.3 Dedu¸c˜ao de fm+q= . . . 23

4.4 Dedu¸c˜ao de f(2k,t) . . . 25

4.5 Dedu¸c˜ao de F = Pftrt. . . 27

(9)

P fktrt . . . 30 4.7 Conclusão de |f (y) − f (x)| = (PA(n)s rs)1/2 . . . 33 5 Transforma¸cões 39 5.1 Introdu¸cão . . . 39 5.1.1 Derivada . . . 39 5.1.2 Fun¸cão Anal´ıtica . . . 39 5.1.3 Transforma¸cões . . . 40 5.1.4 Mapeamentos . . . 40 5.2 Transforma¸cão Hipercomplexa . . . 41 5.3 Transforma¸cões Conformes . . . 42

5.3.1 Teorema Fundamental de Conformidade . . . 42

6 Transforma¸cão Quaseconforme 44 6.1 Defini¸cão métrica . . . 44

6.1.1 A 1-quaseconformidade: . . . 45

6.1.2 Fator de expans˜ao da fun¸c˜ao . . . 46

6.1.3 A fun¸c˜ao Identidade . . . 47

6.1.4 Resultado paraf (z) = z2 _{. . . .} ₄₇

7 C´alculo da K-quaseconformidade computacionalmente 51 7.1 O c´alculo de K computacionalmente . . . . 52

7.1.1 Seja f (z) = z2_{, z = (a, b, c, d) centro da hiperesfera de raio r 52} 7.1.2 Seja f (z) = z3_{, z = (a, b, c, d) centro da hiperesfera de raio r 52} 7.1.3 Seja f (z) = z4_{, z = (a, b, c, d) centro da hiperesfera de raio r 53} 8 Mapeamentos 55 8.1 Mapeamentos com curvas de n´ıvel . . . 56

8.2 Mapeamento de f (z) = z2 _{. . . .} ₅₈

(10)

Sum´ario ix 8.4 Ilustra¸c˜oes . . . 62

(11)

Introdu¸c˜

ao

A álgebra dos números quatérnios foi iniciada pelo f´ısico irlandês Willian Rowan Hamilton, no século XIX. A seguir apresentamos esses números e as fun¸cões de quatérnios, vistas nos dias de hoje.

1.1 O anel dos quat´

ernios

Definimos o conjunto dos quat´ernios como

H = {(x1, x2, x3, x4) tal que x1, x2, x3, x4 ∈ IR}, sendo que se x ∈ H, pode ser escrito como

x = (x1, x2, x3, x4) = x1+ ix2+ jx3+ kx4

onde i,j e k são unidades imaginárias que respeitam as seguintes leis de multi-plica¸cão

i2 _{= j}2 _{= k}2 _{= −1}

ij = k, ji = −k, ki = j, ik = −j, jk = i, kj = −i que podem ser visualizados pela tabela:

(12)

Cap´ıtulo 1 2 . 1 -1 i -i j -j k -k 1 1 -1 i -i j -j k -k -1 -1 1 -i i -j j -k k i i -i -1 1 k -k -j j -i -i i 1 -1 -k k j -j j j -j -k k -1 1 i -i -j -j j k -k 1 -1 -i i k k -k j -j -i i -1 1 -k -k k -j j i -i 1 -1

então não são comutativos, visto que ij 6= ji, por exemplo.

Por outro lado, as qu´adruplas 0 = (0, 0, 0, 0) e 1 = (1, 0, 0, 0) s˜ao respec-tivamente o zero e a unidade do anel.

Tamb´em podemos associar H com o conjunto

β = {(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)} pois,

x = x1+ ix2+ jx3+ kx4

= (x1, 0, 0, 0)(1, 0, 0, 0) + (x2, 0, 0, 0)(0, 1, 0, 0) +(x3, 0, 0, 0)(0, 0, 1, 0) + (x4, 0, 0, 0)(0, 0, 0, 1)

onde x1 denominamos de parte real escalar Re(x) e hx = ix2+ jx3 + kx4 a sua parte vetorial imagin´aria I(x).

Ainda, temos

H = IR ⊕ V,

onde IR ´e o corpo dos reais e V espa¸co euclidiano tridimensional.

Podemos verificar que H satisfaz os axiomas de um anel, ou seja H(+, .) satisfaz as propriedades associativa e distributiva da adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao, sendo

(13)

comutativa na multiplica¸cão, não é um corpo.

Defini¸c˜ao 1.1. A norma |x| de um quatérnio x = (x1, x2, x3, x4) é o número real |x| =

q x2

1 + x22+ x23+ x24

Defini¸c˜ao 1.2. O quat´ernio conjugado x de x = (x1, x2, x3, x4) ´e dado por x = (x1, −x2, −x3, −x4).

Se x, y∈H, x = (x1, x2, x3, x4) e y = (y1, y2, y3, y4), enunciamos as opera¸c˜oes: • Adi¸c˜ao:

x + y = (x1+ y1, x2+ y2, x3 + y3, x4+ y4) = (x1+ y1) + i(x2+ y2) + j(x3+ y3) + k(x4+ y4) • Multiplica¸c˜ao:

xy = (x1y1− x2y2− x3y3− x4y4, x1y2+ x2y1+ x3y4− x4y3, x1y3− x2y4+ x3y1+ x4y2, x1y4+ x2y3− x3y2+ x4y1) • Divis˜ao: x y = x y. y y =

x1y1 + x2y2+ x3y3+ x4y4 y2

1 + y22+ y32+ y42

+ i−x1y2 + x2y1− x3y4 + x4y3 y2 1 + y22+ y32+ y42 +j−x1y3+ x2y4+ x3y1− x2y4 y2 1 + y22+ y32+ y42 + k−x1y4− x2y3+ x3y2+ x4y1 y2 1 + y22+ y32+ y42

1.2 Fun¸c˜

oes de Quat´

ernios

Sejam D e D0 _{dom´ınios no espa¸co euclidiano quadri-dimensional IR}4_{, D⊂H,} D0_{⊂H. Uma fun¸c˜ao}

(14)

Cap´ıtulo 1 4 é uma fun¸cão quaterniônica se f é um mapeamento que faz corresponder a cada x = (x1, x2, x3, x4)∈H um y = f (x), y∈D0_{⊂H, ou seja}

f : (x1, x2, x3, x4) −→ (y1, y2, y3, y4)

Sendo f uma fun¸cão quaterniônica, podemos decompô-la em parte escalar f1(x) = φ(x) e parte vetorial if2(x) + jf3(x) + kf4(x) = ϕ(x), ou seja

f (x) = f1(x) + if2(x) + jf3(x) + kf4(x) = φ(x) + ϕ(x),

onde fi : IR4 → IR s˜ao fun¸c˜oes coordenadas de valores reais para i = 1, 2, 3, 4.

Consequentemente,

|f (x)| =pf1(x)2+ f2(x)2+ f3(x)2+ f4(x)2, ´e a sua norma.

Informa¸cões sobre analiticidade, diferencia¸cão e integra¸cão, verificar [3] e [4].

(15)

Os coeficientes de f (x) = x

n

Tendo como objetivo o cálculo das distâncias |f (y)−f (x)| para fun¸cões

hipercom-plexas do tipo f (x) = xn _{com dom´ınio D⊂H e} _estudar _a _{dilata¸c˜ao}

H(x) ≤ K < ∞ provocadas pelo quociente entre o máximo e m´ınimo dessas distâncias, teve-se inicialmente a necessidade de obter uma generaliza¸cão de xn_,

x∈H, usando as rela¸c˜oes de De Moivre’s em xn _{= (x}

1+ ix2+ jx3+ kx4)n. (2.1)

2.1 O desenvolvimento de x

n

Seja

x = x1+ ix2+ jx3+ kx4 = x1+ hx, (2.2)

hx ´e a parte vetorial dada por

hx = ix2 + jx3 + kx4, (2.3)

usando as leis de multiplica¸c˜ao temos

h2_x = −x2₂− x2₃− x2₄ (2.4)

(16)

Cap´ıtulo 2 6 como um n´umero real.

Para n ∈ IN, h2

x ´e real e h2n+1x = hxh2nx = h2nx hx imagin´ario da forma

h2n x (ix2+ jx3+ kx4) = ix2hx2n+ jx3h2nx + kx4h2nx . Assim h2n+1 x = ix2h2nx + jx3h2nx + kx4h2nx (2.5) Ent˜ao xn= (x1 + hx)n= n X k=0 µ n k ¶ xn−k₁ hk_x (2.6) = µ n 0 ¶ xn 1h0x+ µ n 2 ¶ xn−2 1 h2x+ .... + µ n 2k ¶ xn−2k 1 h2kx + µ n 1 ¶ xn−1 1 h1x+ µ n 3 ¶ xn−3 1 h3x+ .... + µ n 2k + 1 ¶ xn−(2k+1)₁ h2k+1 x = 2k≤n_X k=0 µ n 2k ¶ xn−2k 1 h2kx | {z } Real + 2k+1≤n_X k=0 µ n 2k + 1 ¶ xn−(2k+1)₁ h2k+1 x | {z } Imaginario = 2k≤n_X k=0 µ n 2k ¶ xn−2k₁ h2k_x | {z } Real + 2k+1≤n_X k=0 µ n 2k + 1 ¶ xn−(2k+1)₁ h2k_x | {z } Coef icientedapartevetorial hx (2.7) = Re(xn_{) + I(x}n₎ _(2.8)

2.2 Fator h

2k x

e aplica¸c˜

oes

O fator h2k

x pode ser calculado da forma

h2k x = (h2x)k = £ − x2 2+ (−x23− x24) ¤_k = k X p=0 µ k p ¶ (−x2)k−p(−x23+ (−x24))p

(17)

= k X p=0 µ k p ¶ (−x2)k−p ·_Xp l=0 µ p l ¶ (−x2 3)p−l(−x24)l ¸ (2.9) Exemplo 2.1. Seja obter x2_{, x = x1}_{+ x}

2+ x3+ x4 = x1+ hx

Usando tabela, temos

x2 _{= x.x x} 1 ix2 jx3 kx4 x1 x21 ix1x2 jx1x3 kx1x4 ix2 ix1x2 −x22 jx3 jx1x3 −x23 kx4 kx1x4 −x24 Pela f´ormula Re(x2_{) =} 2k≤2_X k=0 µ 2 2k ¶ x2−2k 1 h2kx = x21+ h2x, e I(x2) = hx ·2k+1≤2_X k=0 µ 2 2k + 1 ¶ x2−(2k+1)₁ h2k_x ¸ = 2x1hx, logo x2 _{= x}2 1+ h2x+ 2x1hx.

Exemplo 2.2. Seja obter x3_{, x = x1}_{+ x}

2+ x3+ x4 = x1+ hx

Usando tabela, temos

x3 _{= x}2_{.x x} 1 ix2 jx3 kx4 x2 1 x31 ix21x2 jx21x3 kx21x4 −x2 2 −x1x22 −ix32 −jx22x3 −kx22x4 −x2 3 −x1x23 −ix2x23 −jx33 −kx23x4 −x2 4 −x1x24 −ix2x24 −jx3x24 −kx24 2ix1x2 2ix2 1x2 −2x1x22 2jx1x3 2jx2 1x3 −2x1x23 2kx1x4 2kx21x4 −2x1x24

(18)

Cap´ıtulo 2 8 Pela f´ormula Re(x3_{) =} 2k≤3_X k=0 µ 3 2k ¶ x3−2k 1 h2kx = x31+ 3x1h2x, e I(x3) = hx ·2k+1≤3_X k=0 µ 3 2k + 1 ¶ x3−(2k+1)₁ h2k_x ¸ = (3x2₁+ h2_x)hx, logo x3 _{= x}3 1+ 3x1h2x+ (3x21+ h2x)hx.

(19)

Coordenadas Esf´

ericas

n-dimensionais

Nesse cap´ıtulo explicitamos o processo que nos leva a escrever bolas quadri-dimensionais B(x, r) em coordenadas esféricas, com a finalidade de calcularmos a distância |f (y) − f (x)|, em que x é o centro da hipersuperf´ıcie de raio r e y é um ponto de sua fronteira.

3.1 Coordenadas Esf´

ericas

Consideremos uma hiperesfera de raio r e dimens˜ao n, centrada na origem, e as seguintes nota¸c˜oes:

cosθi = ci, senθi = si, tgθi = ti (3.1)

Agora considerando

(20)

Cap´ıtulo 3 10 x1 = rc1c2 ... cn−2cn−1, 0 ≤ θn−1 ≤ 2π, x2 = rc1c2 ... cn−2sn−1, −1₂π ≤ θn−2 ≤ 1₂π, x3 = rc1c2 ... sn−2, −1₂π ≤ θn−3 ≤ 1₂π, ... ... ... ... ... xj = rc1 ... cn−jsn−j+1, ... ... ... ... ... ... xn = rs1, −1₂π ≤ θ1 ≤ 1₂π,

como as coordenadas de um ponto na casca dessa esfera, podemos notar que: Se n = 2, temos a j´a conhecida representa¸c˜ao dada por

   x1 = rcosθ1 0 ≤ r < ∞, 0 ≤ θ1 ≤ 2π, x2 = rsenθ1 com x2

1+ x22 = r2 e Jacobiano dado por

J = ∂(x1, x2) ∂(r, θ1) = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ∂x1 ∂r ∂x1∂θ1 ∂x2 ∂r ∂x2 ∂θ1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯= ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ cosθ1 −rsenθ1 senθ1 rcosθ1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯= r Se n = 3, temos          x1 = rcosθ1cosθ2, 0 ≤ θ2 ≤ 2π, , x2 = rcosθ1senθ2, −π 2 ≤ θ1 ≤ π2 x3 = rsenθ1, 0 ≤ r < ∞, com x2

1+ x22+ x23 = r2 e Jacobiano dado por

J = ∂(x1, x2, x3) ∂(r, θ1, θ2) = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ c1c2 −rs1c2 −rc1s2 c1s2 −rs1s2 rc1c2 s1 rc1 0 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = −r2_c 1 = −r2cosθ1,

Se n = 4, que nos interessa na maior parte deste trabalho temos                x1 = rc1c2c3, 0 ≤ r < ∞ x2 = rc1c2s3, 0 ≤ θ3 ≤ 2π, x3 = rc1s2, −π₂ ≤ θ2 ≤ π₂, x4 = rs1, −π₂ ≤ θ1 ≤ π₂,

(21)

1 2 3 4 J = ∂(x1, x2, x3, x4) ∂(r, θ1, θ2, θ3) = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ c1c2c3 −rs1c2c3 −rc1s2c3 −rc1c2s3 c1c2s3 −rs1c2s3 −rc1s2s3 rc1c2c3 c1s2 −rs1s2 rc1c2 0 s1 rc1 0 0 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = −r2_c2 1c2

3.2 Jacobianos

Um m´etodo para calcular os Jacobianos pode ser deduzido a partir do seguinte exemplo: Seja calcular J = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ c1c2c3 −rs1c2c3 −rc1s2c3 −rc1c2s3 c1c2s3 −rs1c2s3 −rc1s2s3 rc1c2c3 c1s2 −rs1s2 rc1c2 0 s1 rc1 0 0 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ , ent˜ao J = r3_(c 1c2c3)(c1c2s3)(c1s2)(s1) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 −t1 −t2 −t3 1 −t1 −t2 t−13 1 −t1 t−12 0 1 t−1 1 0 0 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ,

que com algumas manipula¸c˜oes de filas obtemos

J = r3(c1c2c3)(c1c2s3)(c1s2)(s1) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 −t1 −t2 −t3 0 0 0 t3+ t−13 0 0 t2+ t−12 t3 0 t1+ t−11 t2 t3 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ , ent˜ao J = −r3(c1c2c3)(c1c2s3)(c1s2)(s1)(t1+ 1 t1 )(t2+ 1 t2 )(t3+ 1 t3 ),

(22)

Cap´ıtulo 3 12 mas (tj + 1 tj ) = 1 sjcj , logo J = −r3c2₁c2

O sinal do Jacobiano ´e dado por J > 0 se n = 4q + 1 ou n = 4q + 2, e J < 0 se n = 4q + 3 ou n = 4q, q:natural.

Seja agora

x = (x1, x2, x3, x4) = x1+ ix2+ jx3+ kx4 = x1+ hx

o centro de uma bola de raio r em um dom´ınio D simplesmente conexo contido em H, H ´e o espa¸co hipercomplexo, e

y ∈ B(x, r) ⊂ D, |x − y| = r > 0

y = (y1, y2, y3, y4) = y1+ iy2+ jy3+ ky4 = y1+ hy

ent˜ao

(y1− x1)2+ (y2− x2)2+ (y3− x3)2+ (y4− x4)2 = r2 Escrevendo y em coordenadas (r, θ), temos

              

y1 = x1+ rcosθ1cosθ2cosθ3 = x1+ rc1c2c3 = x1+ rc y2 = x2+ rcosθ1cosθ2senθ3 = x2+ rc1c2s3

y3 = x3+ rcosθ1senθ2 = x3+ rc1s2

y4 = x4+ rsenθ1 = x4+ rs1

(3.2)

Temos que se

hx = ix2 + jx3 + kx4, elevando ao quadrado obtemos

h2_x= −x2₂− x2₃− x2₄, e

h2_y = −y₂2− y2₃− y2₄ = −£(x2 + rc1c2s3)2+ (x3+ rc1s2)2+ (x4+ rs1)2 ¤

(23)

= −£x2₂ + x2₃+ x₄2+ 2x2rc1c2s3 + 2x3rc1s2+ 2x4rs1+ r2(c2₁c2₂s2₃+ c2₁s2₂+ s2₁)¤ como c2 1c22s23+ c21s22+ s12 = −c21c22c23+ 1 = −c2+ 1 = −s2 (3.3) e denominando Π = x2c1c2s3+ x3c1s2+ x4s1 (3.4) temos h2_y = h2_x− 2rΠ + r2(c2− 1) (3.5)

(24)

Cap´ıtulo 4

O desenvolvimento de

¯

¯f(y) − f(x)

¯

¯ para f(z)=z

n

Nesse cap´ıtulo desenvolvemos os fundamentos centrais desse

traba-lho. Demonstramos que a express˜ao ¯¯f(y) − f(x)¯¯2 para f (z) = zn_{, quando x, y}

² H, escritos em coordenadas esféricas, é um polinômio na variável r e de grau 2n da forma

A(n)₂ r2+ A(n)₃ r3+ .. + A(n)_2nr2n (4.1) Para tanto, dividimos o cap´ıtulo em se¸cões, em que cada uma mostra o desenvol-vimento das fun¸cões que compõem cada coeficiente A(n)s .

4.1 Estudos de

¯

¯f(y) − f(x)

¯

¯ para f(z) = z

n

Esses estudos tem a finalidade de obter a real expressão de ¯¯f(y) − f(x)¯¯, f (z) = zn_{, n = 2, 3, .., bem como induzir às próximas se¸cões com esses cálculos.}

Para a compreensão das próximas se¸cões, essa é fundamental, pois nela as fun¸cões componentes dos coeficientes A(n)s come¸cam a ser introduzidas e deduzidas.

(25)

Consideremos x = (x1, x2, x3, x4) o centro da bola quadri-dimensional de raio r, e, y = (y1, y2, y3, y4) um ponto de sua fronteira parametrizado por

              

y4 = x4+ rsenθ1 = x4+ rs1,

e, queremos calcular ¯¯f(y) − f(x)¯¯ para f(z) = z2_. Ent˜ao ¯ ¯f(y) − f(x)¯¯ =¯¯(y₁+ hy)2− (x1+ hx)2 ¯ ¯ =¯¯y₁2− x2₁+ h2_y− h2_x+ 2y1hy − 2x1hx ¯ ¯ =¯¯y₁2− x2₁+ h2_y − h2_x

+(2y1y2 − 2x1x2)i + (2y1y3− 2x1x3)j + (2y1y4− 2x1x4)k ¯ ¯ =¯¯F + iFi+ jFj + kFk ¯ ¯, com F = y₁2− x2₁+ h2_y − h2_x, Fi = 2y1y2− 2x1x2, Fj = 2y1y3− 2x1x3 e Fk = 2y1y4− 2x1x4 Escrevendo F = y2 1 − x21 + h2y − h2x = f (2) 0 + f (2) 2 , para f (2) 0 = y2 1 − x21 = (y1 − x1)(y1 + x1) = rc1c2c3(2x1 + rc1c2c3) = 2x1rc1c2c3+ r2c21c22c23 e f₂(2) = h2 y − h2x = −2rΠ + r2(c2− 1), temos F = 2(x1c − Π)r + (2c2− 1)r2, e, analogamente, obtemos os desenvolvimentos de

Fi = fi0(2) = (2y1y2− 2x1x2) = (2x1c1c2s3+ 2x2c)r + 2cc1c2s3r2, Fj = fj0(2) = (2y1y3− 2x1x3) = (2x1c1s2+ 2x3c)r + 2cc1s2r2 e

(26)

Cap´ıtulo 4 16 Fk= fk0(2)= (2y1y4− 2x1x4) = (2x1s1+ 2x4c)r + 2cs1r2. Considerando, ent˜ao F = f1r1+ f2r2 para f1 = 2(x1c − Π) e f2 = 2c2− 1, Fi = fi1r1+ fi2r2 para fi1= 2x1c1c2s3+ 2x2c e fi2 = 2cc1c2s3, Fj = fj1r1+ fj2r2 para fj1 = 2x1c1s2 + 2x3c e fj2 = 2cc1s2, Fk = fk1r1+ fk2r2 para fk1 = 2x1s1+ 2x4c e fk2 = 2cs1 temos que F2 = f₁2r2+ 2f1f2r3+ f₂2r4, F_i2 = f_i12r2+ 2fi1fi2r3+ fi22r4, F2 j = fj12r2+ 2fj1fj2r3+ fj22r4, F2 k = fk12 r2+ 2fk1fk2r3+ fk22 r4, logo, se ¯ ¯f(y) − f(x)¯¯ =¯¯F + iF_i+ jFj+ kFk ¯ ¯ =qF2_{+ F}2 i + Fj2+ Fk2, temos ¯ ¯f(y) − f(x)¯¯ =qA(2)₂ r2_{+ A}(2) 3 r3+ A(2)4 r4, onde A(2)₂ = f₁2+ f_i12 + f_j12 + f_k12 = 4(x2₁− h2_xc + Π2), A(2)₃ = 2f1f2+ 2fi1fi2+ 2fj1fj2+ 2fk1fk2 = 4(x1c + Π), A(2)₄ = f2 2 + fi22 + fj22 + fk22 = 1 Em resumo ¯ ¯f(y) − f(x)¯¯ =q4(x2 1− h2xc2+ Π2)r2+ 4(x1c + Π)r3+ 1r4 (4.2)

(27)

              

y4 = x4+ rsenθ1 = x4+ rs1,

e, queremos calcular ¯¯f(y) − f(x)¯¯ para f(z) = z3_. Ent˜ao f (x) = x3 _{= x}3 1+ 3x1h2x+ (3x21+ h2x)hx, f (y) = y3 = y13+ 3y1h2y+ (3y21+ h2y)hy e ¯ ¯f(y) − f(x)¯¯ =¯¯y3 1− x31+ 3(y1h2y − x1h2x) + (3y12+ h2y)hy − (3x21+ h2x)hx ¯ ¯ = ¯ ¯ ¯ ¯y13− x31+ 3(y1h2y − x1h2x) + i £ (3y2 1+ h2y)y2− (3x21+ h2x)x2 ¤ + j£(3y2₁ + h2_y)y3− (3x21+ h2x)x3 ¤ + k£(3y2₁ + h2_y)y4− (3x21+ h2x)x4 ¤¯¯_¯ ¯ = ¯ ¯ ¯ ¯F + iFi+ jFj + kFk ¯ ¯ ¯ ¯, onde F = y3 1 − x31+ 3(y1h2y− x1h2x) = f (3) 0 + f (3) 2 , sendo f₀(3) = y3 1−x31 = (x1+rc)3−x31 = 3x21cr+3x1c2r2+c3r3 = f(0,1)r1+f(0,2)r2+f(0,3)r3, com f(0,1)= 3x21c, f(0,2) = 3x1c2, f(0,3) = c3, e f₂(3) = 3(y1h2_y − x1h2_x) = 3£(x1+ rc)(h2x− 2rΠ + r2s2) − x1h2x ¤

(28)

Cap´ıtulo 4 18 = (−6x1Π + 3h2xc)r + (3x1s2− 6cΠ)r2+ 3cs2r3 = f(2,1)r1 + f(2,2)r2+ f(2,3)r3, com = f(2,1)= −6x1Π + 3h2xc, f(2,2)= 3x1s2− 6cΠ, f(2,3) = 3cs2. Fa¸camos, ent˜ao F = f₀(3)+ f₂(3) = f1r1 + f2r2+ f3r3, para f1 = f(0,1)+ f(2,1) = 3c(x21+ h2x) − 6x1Π, f2 = f(0,2)+ f(2,2) = 3x1(2c2− 1) − 6cΠ e f3 = f(0,3)+ f(2,3) = 4c3− 3c. Agora Fi = (3y12+ h2y)y2− (3x21+ h2x)x2 = 3(y21y2− x21x2) + (y2hy2 − x2h2x) = fi0(3)+ f (3) i2 , f_i0(3) = 3(y₁2y2−x2₁x2) = (3x2₁c1c2s3+6x1x2c)r+(6x1cc1c2s3+3x2c2)r2+3c2c1c2s3r3, ou

f_i0(3) = fi(0,1)r1+ fi(0,2)r2+ fi(0,3)r3,

coeficientes respectivos, e

f_i2(3) = y2h2_y − x2h2_x = (x2+ rc1c2s3)(h2x− 2rΠ + s2r2) − x2h2x

= (h2

xc1c2s3−2x2Π)r+(x2s2−2Πc1c2s3)r2+s2c1c2s3r3 = fi(2,1)r1+fi(2,2)r2+fi(2,3)r3,

ent˜ao Fi = fi0(3)+ f (3) i2 = fi1r1+ fi2r2+ fi3r3, com fi1 = fi(0,1)+ fi(2,1) = (3x21+ hx,2)c1c2s3+ 2x2(3x1c − Π) fi2= fi(0,2)+fi(2,2) = x2(4c2−1)+2c1c2s3(3x1c−Π), e fi3 = (4c2−1)c1c2s3 Agora Fj = (3y21+ h2y)y3− (3x21+ h2x)x3 = 3(y12y3− x21x3) + (y3h2y− x3h2x) = fj0(3)+ fj2(3),

(29)

j0 1 1 1 ou f_j0(3) = fj(0,1)r1+ fj(0,2)r2+ fj(0,3)r3, coeficientes respectivos, e f_j2(3) = y3h2y− x3h2x = (x3+ rc1s2)(h2x− 2rΠ + s2r2) − x3h2x = (h2 xc1s2− 2x3Π)r + (x3s2− 2Πc1s2)r2+ s2c1s2r3 = fj(2,1)r1+ fj(2,2)r2+ fj(2,3)r3, ent˜ao Fj = fj0(3)+ f (3) j2 = fj1r1+ fj2r2+ fj3r3, com fj1 = fj(0,1)+ fj(2,1) = (3x21+ h2x)c1s2+ 2x3(3x1c − Π) fj2 = fj(0,2)+ fj(2,2) = x3(4c2− 1) + 2c1s2(3x1c − Π), e fj3 = (4c2− 1)c1s2. Analogamente, Fk = f_k0(3)+ f_k2(3) = fk1r1+ fk2r2+ fk3r3, com fk1 = fk(0,1)+ fk(2,1) = (3x21+ h2x)s1+ 2x4(3x1c − Π) fk2 = fk(0,2)+ fk(2,2) = x4(4c2− 1) + 2s1(3x1c − Π) e fk3 = (4c2 − 1)s1. Se F = f1r1+ f2r2+ f3r3 + f4r4, Fi = fi1r1+ fi2r2+ fi3r3+ fi4r4, Fj = fj1r1 + fj2r2+ fj3r3+ fj4r4, Fk = fk1r1+ fk2r2+ fk3r3+ fk4r4, e F2 _{= f}2 1r2+ 2f1f2r3+ (f22+ 2f1f3)r4 + 2f2f3r5+ f32r6, F2 i = fi12r2 + 2fi1fi2r3+ (fi22 + 2fi1fi3)r4+ 2fi2fi3r5+ fi32r6, F_j2 = f_j12r2+ 2fj1fj2r3+ (fj22 + 2fj1fj3)r4+ 2fj2fj3r5+ fj32r6,

(30)

Cap´ıtulo 4 20 F2 k = fk12 r2+ 2fk1fk2r3+ (fk22 + 2fk1fk3)r4+ 2fk2fk3r5+ fk32 r6, ent˜ao se ¯ ¯f(y) − f(x)¯¯ =¯¯F + iF_i+ jFj+ kFk ¯ ¯ =qF2_{+ F}2 i + Fj2+ Fk2, temos ¯ ¯f(y) − f(x)¯¯ =qA(3)₂ r2_{+ A}(3) 3 r3+ A(3)4 r4+ A(3)5 r5+ A(3)6 r6 (4.3) com A(3)₂ = f₁2+ f_i12 + f_j12 + f_k12 = 9x4₁+ (−24h2_xc2 + 6h2_x+ 24Π2)x2₁− 8h2_xΠ2+ (8c2+ 1)h4_x, A(3)₃ = 2(f1f2 + fi1fi2+ fj1fj2+ fk1fk2) = 18x3 1c + 18x21Π + (6h2x+ 24Π2 − 24h2xc2)x1c − (8c2+ 10)h2xΠ + 8Π3, A(3)₄ = f2 2 + fi22 + fj22 + fk22 + 2(f1f3+ fi1fi3+ fj1fj3+ fk1fk3) = 3(x2₁− h2_x) + 12(x1c1c2c3+ Π)2, A(3)₅ = 2(f2f3+ fi2fi3+ fj2fj3+ fk2fk3) = 6(x1c1c2c3+ Π), A(3)₆ = f2 3 + fi32 + fj32 + fk32 = 1,

que foram calculados separadamente.

4.1.3 A express˜

ao de

¯

¯f(y) − f(x)

¯

¯ para f(z) = z

4

              

(31)

Ent˜ao f (x) = x4 ₌ ·µ 4 0 ¶ x4 1 + µ 4 2 ¶ x2 1h2x+ µ 4 4 ¶ h4 x ¸ + ·µ 4 1 ¶ x3 1+ µ 4 3 ¶ x1 1h2x ¸ hx, f (y) = y4 = ·µ 4 0 ¶ y4₁+ µ 4 2 ¶ y₁2h2_y+ µ 4 4 ¶ h4_y ¸ + ·µ 4 1 ¶ y3₁ + µ 4 3 ¶ y₁1h2_y ¸ hy, e ¯ ¯f(y) − f(x)¯¯ = ¯ ¯ ¯ ¯(y14− x41) + µ 4 2 ¶ (y2 1h2y− x21h2x) + (h4y − h4x)+ i ·µµ 4 1 ¶ y₁3+ µ 4 3 ¶ y1h2_y ¶ y2 − µµ 4 1 ¶ x3₁+ µ 4 3 ¶ x1h2_x ¶ x2 ¸ + j ·µµ 4 1 ¶ y₁3+ µ 4 3 ¶ y1h2y ¶ y3− µµ 4 1 ¶ x3₁+ µ 4 3 ¶ x1h2x ¶ x3 ¸ + k ·µµ 4 1 ¶ y3 1+ µ 4 3 ¶ y1h2y ¶ y4− µµ 4 1 ¶ x3 1+ µ 4 3 ¶ x1h2x ¶ x4 ¸¯_¯ ¯ ¯ = q A(4)₂ r2_{+ A}(4) 3 r3+ ... + A(4)8 r8 onde, por exemplo

A(4)₂ = f2 1 + fi12 + fj12 + fk12 , dadas por f1 = 4(x31c − 3x21Π + 3x1h2xc − h2xΠ), fi1 = 4 · x3 1c1c2s3+ 3x21x2c + ¡ h2 xc1c2s3− 2x2Π ¢ x1+ x2h2xc ¸ , fj1 = 4 · x3₁c1s2+ 3x2₁x3c +¡h_x2c1s2− 2x3Π¢x1+ x3h2_xc ¸ , fk1 = 4 · x3₁s1+ 3x21x4c + ¡ h2_xs1− 2x4Π ¢ x1+ x4h2xc ¸ , que foram calculadas separadamente.

(32)

Cap´ıtulo 4 22

4.2 A generaliza¸c˜

ao |f (y) − f (x)|, para f (z) = z

n

              

y4 = x4+ rsenθ1 = x4+ rs1,

e, queremos calcular ¯¯f(y) − f(x)¯¯ para f(z) = zn_.

Temos que

|f (y) − f (x)| = ¯

¯Re(yn_{) − Re(x}n)_{+ I(y}n_{) − I(x}n₎¯_{¯ =}

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 2k≤n_X k=0 µ n 2k ¶ (y₁n−2kh2k_y − xn−2k₁ h2k_x ) +i ½·2k+1≤n_X k=0 µ n 2k + 1 ¶ y₁n−(2k+1)h2k_y ¸ y2− ·2k+1≤n_X k=0 µ n 2k + 1 ¶ xn−(2k+1)₁ h2k_x ¸ x2 ¾ +j ½·2k+1≤n_X k=0 µ n 2k + 1 ¶ yn−(2k+1)₁ h2k_y ¸ y3− ·2k+1≤n_X k=0 µ n 2k + 1 ¶ xn−(2k+1)₁ h2k_x ¸ x3 ¾ +k ½·2k+1≤n_X k=0 µ n 2k + 1 ¶ y₁n−(2k+1)h2k y ¸ y4− ·2k+1≤n_X k=0 µ n 2k + 1 ¶ xn−(2k+1)₁ h2k x ¸ x4 ¾¯¯ ¯ ¯ ¯= = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 2k≤n_X k=0 µ n 2k ¶ (yn−2k 1 h2ky − xn−2k1 h2kx ) +i ·2k+1≤n_X k=0 µ n 2k + 1 ¶ (y2yn−(2k+1)1 h2ky − x2xn−(2k−1)1 h2kx ) ¸ +j ·2k+1≤n_X k=0 µ n 2k + 1 ¶ (y3y1n−(2k+1)h2ky − x3xn−(2k−1)1 h2kx ) ¸ +k ·2k+1≤n_X k=0 µ n 2k + 1 ¶ (y4yn−(2k+1)1 h2ky − x4xn−(2k−1)1 h2kx ) ¸¯¯ ¯ ¯ ¯

(33)

= q F2_{+ F}2 i + Fj2+ Fk2, (4.4) onde F = 2k≤n_X k=0 µ n 2k ¶_¡ yn−2k 1 h2ky − xn−2k1 h2kx ¢ , (4.5) Fi = 2k+1≤n_X k=0 µ n 2k + 1 ¶ ¡ y2y1n−(2k+1)h2ky − x2xn−(2k−1)1 h2kx ¢ , (4.6) Fj = 2k+1≤n_X k=0 µ n 2k + 1 ¶ ¡ y3yn−(2k+1)1 h2ky − x3xn−(2k−1)1 h2kx ¢ , (4.7) Fk = 2k+1≤n_X k=0 µ n 2k + 1 ¶ ¡ y4y1n−(2k+1)h2ky − x4xn−(2k−1)1 h2kx ¢ , (4.8)

ent˜ao, mostremos que

|f (y) − f (x)| = q F2 _{+ F}2 i + Fj2+ Fk2 = v u u tX2n s=2 A(n)s rs (4.9)

4.3 Dedu¸c˜

ao de f

_m+q=

Nosso objetivo ´e de obter separadamente os coeficientes do polinˆomio em r, deri-vado do fator h2k

y que aparece nas equa¸c˜oes (4.5)..(4.8), para que ao distribu´ırmos

esse polinˆomio com os outros fatores, possamos escrever F , Fi, Fj e Fk como um

polinˆomio normal em fun¸c˜ao de r.

Como h2k y = (h2y)k, (0 ≤ 2k ≤ n), ent˜ao h2k_y =¡h2_x+ (−2rΠ + (rs)2)¢k= µ k 0 ¶ (h2 x)k(−2rΠ + (rs)2)0+ + µ k 1 ¶ (h2 x)k−1(−2rΠ + (rs)2)1+ + µ k 2 ¶ (h2 x)k−2(−2rΠ + (rs)2)2+

(34)

Cap´ıtulo 4 24 ... + µ k m ¶ (h2 x)k−m(−2rΠ + (rs)2)m+ ... + µ k k ¶ (h2_x)k−k(−2rΠ + (rs)2)k, (0 ≤ m ≤ k) ent˜ao, h2k y = µ k 0 ¶ (h2 x)k+ µ k 1 ¶ (h2_x)k−1 ·µ 1 0 ¶ (−2rΠ)1−0(r2s2)0 + µ 1 1 ¶ (−2rΠ)1−1(r2s2)1 ¸ + µ k 2 ¶ (h2 x)k−2 ·µ 2 0 ¶ (−2rΠ)2−0_(r2_s2₎0₊ µ 2 1 ¶ (−2rΠ)2−1_(r2_s2₎1₊ µ 2 2 ¶ (−2rΠ)2−2_(r2_s2₎2 ¸ + ... µ k m ¶ (h2 x)k−m "µ m 0 ¶ (−2rΠ)m−0_(r2_s2₎0₊ µ m 1 ¶ (−2rΠ)m−1_(r2_s2₎1₊ µ m 2 ¶ (−2rΠ)m−2_(r2_s2₎2_{+ ....} + µ m q ¶ (−2rΠ)m−q_(r2_s2₎q_{+ ...+} µ m m ¶ (−2rΠ)m−m(r2s2)m # + ... + µ k k ¶ (h2 x)k−k "µ k 0 ¶ (−2rΠ)k−0_(r2_s2₎0₊ µ k 1 ¶ (−2rΠ)k−1(r2s2)1+ µ k 2 ¶ (−2rΠ)k−2(r2s2)2+ .... + µ k k ¶ (−2rΠ)k−k_(r2_s2₎k # , (0 ≤ q ≤ m ≤ k)

Separando o fator r de cada termo, temos h2k y = ·µ k 0 ¶ (h2 x)k ¸ r0₊ ·µ k 1 ¶ (h2_x)k−1 µ 1 0 ¶ (−2Π)1−0(s2)0 ¸ r1+

(35)

1 (hx) ₁ (−2Π) (s ) + ₂ (hx) ₀ (−2Π) (s ) r + ·µ k 2 ¶ (h2 x)k−2 µ 2 1 ¶ (−2Π)2−1_(s2₎1₊ µ k 3 ¶ (h2 x)k−3 µ 3 0 ¶ (−2Π)3−0_(s2₎0 ¸ r3₊ ·µ k 2 ¶ (h2_x)k−2 µ 2 2 ¶ (−2Π)2−2(s2)2+ µ k 3 ¶ (h2_x)k−3 µ 3 1 ¶ (−2Π)3−1(s2)1+ µ k 4 ¶ (h2 x)k−4 µ 4 0 ¶ (−2Π)4−0_(s2₎0 ¸ r4₊ ...+ · fm+q= ¸ rm+q₊ ... + (s2₎k_r2k_,

onde fm+q= ser´a definida como

fm+q= = ·µ k m ¶µ m q ¶ (h2 x)k−m(−2Π)m−q(s2)q+ µ k m + 1 ¶µ m + 1 q − 1 ¶ (h2 x)k−(m+1)(−2Π)m−q+2(s2)q−1+ .... + µ k m + q ¶µ m + q 0 ¶ (h2_x)k−(m+q)(−2Π)m+q(s2)0 ¸ , (4.10) satisfazendo 0 ≤ m + q ≤ 2k, 0 ≤ q ≤ m ≤ k e fm+q= = 0 se m > k. Ent˜ao h2k y = 2k X m+q=0 fm+q=rm+q (4.11)

4.4 Dedu¸c˜

ao de f

_(2k,t)

Nosso objetivo ´e de obter o coeficiente de rt _{para cada t fixado em}

F = 2k≤n_X k=0 µ n 2k ¶ ¡ yn−2k 1 h2ky − xn−2k1 h2kx ¢ Seja, ent˜ao f_2k(n) = µ n 2k ¶ ¡ yn−2k 1 h2ky − xn−2k1 h2kx ¢ ,

(36)

Cap´ıtulo 4 26 ent˜ao f_2k(n)= µ n 2k ¶(µ x1+ rc ¶_n−2kµ _X2k m+q=0 fm+q=rm+q ¶ − xn−2k 1 h2kx ¾ = µ n 2k ¶(·µ n − 2k 0 ¶ xn−2k₁ (rc)0+ µ n − 2k 1 ¶ xn−2k−1₁ (rc)1+ ...+ µ n − 2k p ¶ xn−2k−p₁ (rc)p _{+ ... +} µ n − 2k n − 2k ¶ x0 1(rc)n−2k ¸ . · fm+q=0r0+ fm+q=1r1+ ... + fm+q=2kr2k ¸ − xn−2k 1 h2kx ¾ = µ n 2k ¶(·µ n − 2k 0 ¶ xn−2k 1 c0fm+q=0 ¸ r0₊ ·µ n − 2k 0 ¶ xn−2k₁ c0fm+q=1+ µ n − 2k 1 ¶ xn−2k−1₁ c1fm+q=0 ¸ r1+ ·µ n − 2k 0 ¶ xn−2k 1 c0fm+q=2+ µ n − 2k 1 ¶ xn−2k−1 1 c1fm+q=1+ µ n − 2k 2 ¶ xn−2k−2 1 c2fm+q=0 ¸ r2 +...+ ·µ n − 2k 0 ¶ xn−2k 1 c0fm+q=t+...+ µ n − 2k p ¶ xn−2k−p₁ cp_f m+q=t−p+...+ µ n − 2k t ¶ x0 1ctfm+q=0 ¸ rt +...+ ·µ n − 2k 0 ¶ xn−2k 1 c0fm+q=n+ ... + µ n − 2k n − 2k ¶ x0 1cn−2kfm+q=2k ¸ rn −xn−2k 1 h2kx ¾

Simplificando o primeiro com o ´ultimo termo, temos f_2k(n)= µ n 2k ¶·µ n − 2k 0 ¶ xn−2k₁ c0fm+q=1 + µ n − 2k 1 ¶ xn−2k−1₁ c1fm+q=0 ¸ r1+ µ n 2k ¶·µ n − 2k 0 ¶ xn−2k 1 c0fm+q=2+ µ n − 2k 1 ¶ xn−2k−1 1 c1fm+q=1+ µ n − 2k 2 ¶ xn−2k−2 1 c2fm+q=2 ¸ r2₊ +...+ µ n 2k ¶·µ n − 2k 0 ¶ xn−2k₁ c0fm+q=n+ ... + µ n − 2k n − 2k ¶ x0₁cn−2kfm+q=2k ¸ rn.

(37)

f(2k,t) = µ n 2k ¶·_Xt p=0 µ n − 2k p ¶ xn−2k−p₁ cpfm+q=t−p ¸ (4.12) e escrevemos f_2k(n)= n X t=1 f(2k,t)rt (4.13)

4.5 Dedu¸c˜

ao de F =

P

f

_t

r

t Temos que F = µ n 0 ¶ ¡ y₁n− xn₁¢+ µ n 2 ¶ ¡ y₁n−2h2_y − xn−2₁ h2_x¢+ .... = f₀(n)+ f₂(n)+ ...f_2k(n)= 2k≤n_X k=0 f_2k(n), mas f_2k(n)=Pn_t=1f(2k,t)rt , ent˜ao F = P_2k≤n k=0 µ P_n t=1f(2k,t)rt ¶ ou de outra forma, F = f(0,1)r1+ f(0,2)r2+ ... + f(0,t)rt+ f(2,1)r1+ f(2,2)r2+ ... + f(2,t)rt+ +...+ f(2k,1)r1+ f(2k,2)r2+ ... + f(2k,t)rt = 2k≤n_X k=0 f(2k,1)r1+ 2k≤n_X k=0 f(2k,2)r2+ ... + 2k≤n_X k=0 f(2k,t)rt Definimos ent˜ao ft= 2k≤n_X k=0 f(2k,t), (1 ≤ t ≤ n) (4.14) e obtemos F = n X t=1 ftrt, (4.15)

(38)

Cap´ıtulo 4 28 Exemplo 4.1. Em f (z) = z2_{, temos} F = 2 X t=1 ftrt= f1r1+ f2r2, como f1 = 2k≤2_X k=0 f(2k,1) = f(0,1)+ f(2,1), e f(0,1) = µ 2 0 ¶·µ 2 0 ¶ x2 1c0fm+q=1+ µ 2 1 ¶ x1 1c1fm+q=0 ¸ = x2 10 + 2x1c1 = 2x1c1c2c3, e f(2,1) = µ 2 2 ¶·µ 0 0 ¶ x0₁c0fm+q=1 ¸ = µ 1 1 ¶µ 1 0 ¶ ¡ h2_x¢0¡− 2Π¢1¡s2¢0 = −2Π, ent˜ao f1 = 2(x1c1c2c3− Π). Como f2 = 2k≤2_X k=0 f(2k,2) = f(0,2)+ f(2,2), e f(0,2) = µ 2 0 ¶·µ 2 0 ¶ x2₁c0fm+q=2 + µ 2 1 ¶ x1₁c1fm+q=1+ µ 2 2 ¶ x0₁c2fm+q=0 ¸ , f(0,2) = x210 + 2x1c0 + c21 = c2 = c21c22c23, f(2,2)= µ 2 2 ¶·µ 0 0 ¶ x0 1c0fm+q=2 ¸ = µ 1 1 ¶µ 1 1 ¶_¡ h2 x ¢₀¡ − 2Π¢0¡s2¢1 _{= s}2_, ent˜ao f2 = c2 + s2 = c2₁c2₂c2₃+ (c₁2c2₂c2₃ − 1) = 2c2₁c2₂c2₃− 1 logo F = 2¡x1c1c2c3− Π ¢ r1₊¡_2c2 1c22c23 − 1 ¢ r2 Exemplo 4.2. Em f (z) = z3_{, temos} F = 3 X t=1 ftrt = f1r1+ f2r2+ f3r3,

(39)

f1 = 2k≤2_X k=0 f(2k,1) = f(0,1)+ f(2,1), e f(0,1) = µ 3 0 ¶ x3 1c0fm+q=1+ µ 3 1 ¶ x2 1c1fm+q=0 = x310 + 3x12c1 = 3x21c1c2c3, f(2,1) = µ 3 2 ¶·µ 1 0 ¶ x1₁c0fm+q=1+ µ 1 1 ¶ x0₁c1fm+q=0 ¸ = 3 · x1 µ 1 1 ¶µ 1 0 ¶_¡ h2 x ¢₀¡ − 2Π¢1¡s2¢0_{+ c}1 µ 1 0 ¶µ 0 0 ¶_¡ h2 x ¢₁¸ = −6x1Π + 3h2xc, ent˜ao f1 = 3(x2₁+ h2_x)c − 6x1Π, e como f2 = 1 X k=0 f(2k,2) = f(0,2)+ f(2,2), e f(0,2) = µ 3 0 ¶·µ 3 0 ¶ x3 1c0fm+q=2 + µ 3 1 ¶ x2 1c1fm+q=1+ µ 3 2 ¶ x1 1c2fm+q=0 ¸ , f(0,2)= x310 + 3x21c0 + 3x1c21 = 3x21c2, f(2,2) = µ 3 2 ¶·µ 1 0 ¶ x1₁c0fm+q=2+ µ 1 1 ¶ x0₁c1fm+q=1 ¸ , f(2,2) = 3 · x1(s2) + c µ 1 1 ¶µ 1 0 ¶ (h2_x)0(−2Π)1(s2)0) ¸ = 3x1s2− 6Πc ent˜ao f2 = 3x1(2c21c22c23− 1) − 6Πc1c2c3, Analogamente, f3 = 4c3 1c32c33− 3c1c2c3. Assim, F =£3(x2 1+ h2x)c1c2c3 − 6x1Π ¤ r1₊ £ 3(x1(2c21c22c23− 1) − 6Πc1c2c3 ¤ r2+ £ 4c3₁c3₂c3₃− 3c1c2c3 ¤ r3

(40)

Cap´ıtulo 4 30

4.6 Dedu¸c˜

ao de

F

i

=

P

f

it

r

t

,

F

j

=

P

f

jt

r

t

e

F

_k

=

P

f

_kt

r

t Se Fi = 2k+1≤n_X k=0 µ n 2k + 1 ¶½ y2yn−(2k+1)₁ h2k_y − x2xn−(2k+1)₁ h2k_x ¾ e f_i2k(n) = µ n 2k + 1 ¶½ y2y1n−(2k+1)h2ky − x2xn−(2k+1)1 h2kx ¾ , ent˜ao f_i2k(n)= µ n 2k + 1 ¶½ y2 · x1+ rc ¸_n−(2k+1)· _X2k m+q=0 fm+q=rm+q ¸ − x2xn−(2k+1)1 h2kx ¾ = µ n 2k + 1 ¶½ y2 ·µ n − (2k + 1) 0 ¶ xn−(2k+1)₁ (rc)0₊ µ n − (2k + 1) 1 ¶ xn−(2k)₁ (rc)1_+... + µ n − (2k + 1) p ¶ xn−(2k+1)−p₁ (rc)p+ ... + µ n − (2k + 1) n − (2k + 1) ¶ x0₁(rc)n−(2k+1) ¸ · fm+q=0r0+ fm+q=1r1+ ... + fm+q=2kr2k ¸ − x2xn−(2k+1)1 h2kx ¾ = µ n 2k + 1 ¶½ ¡ x2+ rc1c2s3¢ ·µµ n − (2k + 1) 0 ¶ xn−(2k+1)₁ (c)0fm+q=0 ¶ r0+ µµ n − (2k + 1) 0 ¶ xn−(2k+1)₁ (c)0_f m+q=1+ µ n − (2k + 1) 1 ¶ xn−(2k)₁ (c)1_f m+q=0 ¶ r1₊ µµ n − (2k + 1) 0 ¶ xn−(2k+1)₁ (c)0_f m+q=2+..+ µ n − (2k + 1) 2 ¶ xn−(2k+1)−2₁ (c)2_f m+q=0 ¶ r2_+... ... + µ_Xt−1 p=0 µ n − (2k + 1) p ¶ xn−(2k+1)−p₁ cpfm+q=t−(p+1) ¶ rt−1+ µ_Xt p=0 µ n − (2k + 1) p ¶ xn−(2k+1)−p₁ cp_f m+q=t−p ¶ rt_{+ ...+} µ n − (2k + 1) n − (2k + 1) ¶ x0 1cn−(2k+1)fm+q=2krn−1 ¸ − x2xn−(2k+1)1 h2kx ¾ ,

Como fm+q=0 = h2kx , temos que

f_i2k(n)= µ n 2k + 1 ¶½· x2 1 X p=0 µ n − (2k + 1) p ¶ xn−(2k+1)−p₁ cp_f m+q=1−p+

(41)

c1c2s3x1 hx r + · x2 2 X p=0 µ n − (2k + 1) p ¶ xn−(2k+1)−p₁ cp_f m+q=2−p+ c1c2s3 1 X p=0 µ n − (2k + 1) p ¶ xn−(2k+1)−p₁ cp_f m+q=2−p ¸ r2 _{+ ...} · x2 t X p=0 µ n − (2k + 1) p ¶ xn−(2k+1)−p₁ cpfm+q=t−p+ c1c2s3 t−1 X p=0 µ n − (2k + 1) p ¶ xn−(2k+1)−p₁ cpfm+q=t−p−1 ¸ rt+ ... + · c1c2s3 µ n − (2k + 1) n − (2k + 1) ¶ x0₁cn−(2k+1)fm+q=2k ¸ rn ¾ . Assim f_i2k(n) = n X t=1 fi(2k,t)rt, (4.16)

sendo fi(2k,t) definida como

fi(2k,t) = µ n 2k + 1 ¶· x2 t X p=0 µ n − (2k + 1) p ¶ xn−(2k+1)−p₁ cpfm+q=t−p+ c1c2s3 t−1 X p=0 µ n − (2k + 1) p ¶ xn−(2k+1)−p₁ cpfm+q=t−p−1 ¸ (4.17)

Do mesmo modo definimos

fj(2k,t)= µ n 2k + 1 ¶· x3 t X p=0 µ n − (2k + 1) p ¶ xn−(2k+1)−p₁ cp_f m+q=t−p+ c1s2 t−1 X p=0 µ n − (2k + 1) p ¶ xn−(2k+1)−p₁ cp_f m+q=t−p−1 ¸ (4.18) fk(2k,t) = µ n 2k + 1 ¶· x4 t X p=0 µ n − (2k + 1) p ¶ xn−(2k+1)−p₁ cp_f m+q=t−p+

(42)

Cap´ıtulo 4 32 s1 t−1 X p=0 µ n − (2k + 1) p ¶ xn−(2k+1)−p₁ cpfm+q=t−p−1 ¸ (4.19) Seja ent˜ao Fi = 2k+1≤n_X k=0 µ n 2k + 1 ¶½ y2yn−(2k+1)₁ h2k_y − x2xn−(2k+1)₁ h2k_x ¾ = 2k+1≤n_X k=0

f_i2k(n)= f_i0(n)+ f_i2(n)+ ... + f_i2k(n), f_i2k(n) =

n X t=1 fi(2k,t)rt Ent˜ao Fi = 2k+1≤n_X k=0 µ_Xn t=1 fi(2k,t)rt ¶ , ou Fi = ½

fi(0,1r1+ fi(0,2r2+ ... + fi(0,trt+

+fi(2,1r1+ fi(2,2r2+ ... + fi(2,trt+

...

fi(2k,1r1+ fi(2k,2r2+ ... + fi(2k,trt

¾ = 2k+1≤n_X k=0 fi(2k,1)r1+ ... + 2k+1≤n_X k=0 fi(2k,t)rt Definimos ent˜ao fit = 2k+1≤n_X k=0 fi(2k,t), (1 ≤ t ≤ n) (4.20) Assim , Fi = n X t=1 fitrt. (4.21) Analogamente, definimos Fj = n X t=1 fjtrt, Fk = n X t=1 fktrt (4.22) com fjt = 2k+1≤n_X k=0 fj(2k,t) e fkt= 2k+1≤n_X k=0 fk(2k,t) dadas. (4.23)

(43)

Fi = 2 X t=1 fitrt= fi1r1+ fi2r2, onde fit = 2k+1≤2_X k=0 fi(2k,t)= fi(0,t), e fi1= fi(0,1) = µ 2 1 ¶µ x2 1 X p=0 µ 1 p ¶ x1−p₁ cp_f m+q=1−p+ c1c2s3 0 X p=0 µ 1 0 ¶ x1c0fm+q=0 ¶ = 2x2c + 2x1c1c2s3 = 2x2c1c2c3+ 2x1c1c2s3, fi2= fi(0,2) = µ 2 1 ¶µ x2 2 X p=0 µ 1 p ¶ x1−p₁ cp_f m+q=2−p+ c1c2s3 µ 1 1 ¶ x0 1c1fm+q=0 ¶ = 2c1c2s3c = 2c12c22c3s3, logo Fi = (2x2c1c2c3+ 2x1c1c2s3)r + 2c21c22c3s3r2. Analogamente, Fj = (2x3c1c2c3+ 2x1c1s2)r + 2c21c2s2c3r2 e Fk = (2x4c1c2c3+ 2x1s1)r + 2c1s1c2c3r2.

4.7 Conclus˜

ao de |f (y) − f (x)| = (

P

A

(n)s

r

s

)

1/2 Considerando ent˜ao, F = n X t=1 ftrt, Fi = n X t=1 fitrt, Fj = n X t=1 fjtrt e Fk = n X t=1 fktrt, temos F2 = (f1r1+ f2r2+ ... + fnrn)2 = a2r2+ a3r3+ ... + a2nr2n= 2n X s=2 asrs (4.24)

(44)

Cap´ıtulo 4 34 sendo as =    P_s−1 p=1fpfs−p, se 2 ≤ s ≤ n + 1 e P_n−p k=0fp+kfn−k, se s = n + p, p > 1 (4.25) Analogamente, faremos F_i2 = 2n X s=2 aisrs, (4.26) com ais=    P_s−1 p=1fipfi(s−p), se 2 ≤ s ≤ n + 1 e P_n−p k=0fi(p+k)fi(n−k), se s = n + p, p > 1, (4.27) e F2 j = 2n X s=2 ajsrs, (4.28) com ajs=          P_s−1 p=1fjpfj(s−p), se 2 ≤ s ≤ n + 1 e P_n−p k=0fj(p+k)fj(n−k), se s = n + p, p > 1, (4.29) e F_k2 = 2n X s=2 aksrs, (4.30) com aks =          P_s−1 p=1fkpfk(s−p), se 2 ≤ s ≤ n + 1 e P_n−p k=0fk(p+k)fk(n−k), se s = n + p, p > 1. (4.31) Ent˜ao F2_{+ F}2 i + Fj2+ Fk2 = 2n X s=2 ¡ as+ ais+ ajs+ aks ¢ rs ₌ 2n X s=2 A(n) s rs com A(n) s = as+ ais+ ajs+ aks (4.32) Assim, se ¯ ¯f(y) − f(x)¯¯ =¯¯F + iFi+ jFj+ kFk ¯ ¯,

(45)

¯ ¯f(y) − f(x)¯¯ =qF2 _{+ F}2 i + Fj2+ Fk2 = v u u tX2n s=2 A(n)s rs (4.33) Exemplo 4.4. Em f (z) = z2_, _{temos n = 2,} _e ¯ ¯f(y) − f(x)¯¯ = v u u tX2n s=2 A(2)s rs = q A(2)₂ r2_{+ A}(2) 3 r3 + A(2)4 r4.

Seja ent˜ao, obter A(2)₂ . Ora A(2)₂ = a2+ ai2+ aj2+ ak2, e a2 = f1f1 = f2 1, ai2 = fi12, aj2 = fj12, ak2 = fk12 . Logo A(2)₂ = f2 1 + fi12 + fj12 + fk12 Agora ft= 2k≤n_X k=0 f(2k,t), assim f1 = f(0,1)+ f(2,1), e fit = 2k+1≤n_X k=0

fi(2k,t), assim fi1 = fi(0,1), e

fjt = 2k+1≤n_X k=0 fj(2k,t), assim fj1 = fj(0,1), e fkt= 2k+1≤n_X k=0 fk(2k,t), assim fk1 = fk(0,1). Se f(2k,t) = µ n 2k ¶·_Xt p=0 µ n − 2k p ¶ xn−2k−p₁ cpfm+q=t−p ¸ , temos f(0,1) = µ 2 0 ¶·_X1 p=0 µ 2 p ¶ x2−p₁ cp_f m+q=1−p ¸ = 2x1c, e f(2,1) = µ 2 2 ¶·_X1 p=0 µ 0 p ¶ x−p₁ cp_f m+q=1−p ¸ = −2Π, logo f1 = 2x1c − 2Π.

(46)

Cap´ıtulo 4 36 Agora, fi(2k,t) = µ n 2k + 1 ¶· x2 t X p=0 µ n − (2k + 1) p ¶ xn−(2k+1)−p₁ cp_f m+q=t−p+ c1c2s3 t−1 X p=0 µ n − (2k + 1) p ¶ xn−(2k+1)−p₁ cp_f m+q=t−p−1 ¸ , assim fi(0,1) = µ 2 1 ¶· x2 1 X p=0 µ 1 p ¶ x1−p₁ cp_f m+q=1−p+ c1c2s3 µ 1 0 ¶ x1 1c0fm+q=0 ¸ , logo fi(0,1) = 2 ¡ x1c1c2s3 + x2c ¢ , e analogamente, fj(0,1) = 2 ¡ x1c1s2 + x3c ¢ e fk(0,1) = 2 ¡

x1s1 + x4c¢, ent˜ao voltando em A(2)₂ , temos A(2)₂ =£2¡x1c − Π ¢¤₂ +£2¡x1c1c2s3+ x2c) ¤₂ +£2¡x1c1s2+ x3c) ¤₂ +£2¡x1s1+ x4c) ¤₂ Exemplo 4.5. Em f (z) = z3_{, temos n = 3, e} ¯ ¯f(y) − f(x)¯¯ = v u u tX2n s=2 A(3)s rs = q A(3)₂ r2_{+ A}(3) 3 r3+ A(3)4 r4 + A(3)5 r5+ A(3)6 r6.

Seja ent˜ao, obter A(3)₂ . Ora A(3)₂ = a2 + ai2 + aj2 + ak2, e a2 = f1f1 = f12, ai2 = fi12, aj2 = fj12 e ak2 = fk12 , logo A(3)₂ = f₁2+ f_i12 + f_j12 + f_k12 , obtidos a seguir. Temos que ft= 2k≤n_X k=0 f(2k,t), assim f1 = f(0,1)+ f(2,1), e fit= 2k+1≤n_X k=0

fi(2k,t), assim fi1 = fi(0,1)+ fi(2,1), e

fjt =

2k+1≤n_X

k=0