Método implícito para solução do problema de ondas de cheia em junção de rios

Pau.lo C11.,l4tÕvã.o. de A11.aú.jo Silva

TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS PROGRAMAS DE PÔS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÃRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CitNCIA (M.Sc.)

Aprovada por:

Presidente

RIO DE JANEIRO

ESTADO DA GUANABARA - BRASIL OUTUBRO DE 1972

AGRADECIMENTOS

Ao Prof. RUI CARLOS VIEIRA DA SILVA, pela conscie~

te orientação indispensável ao desenvolvimento deste trabalho.

Ao pessoal docente

e

administrativo da COPPE e NCE

que, direta ou indiretamente nos ajudou, em especial ao Prof.

FERNANDO LOBO CARNEIRO.

Ã

Universidade Federal da Paraíba, por nos ter pr~

porcionado as condições necessárias

à

realização do curso e

elaboração da tese.

Em

especial destaque, aos Professores

SERAFIM RODRIGUES MARTINEZ, VITORIANO GONZALEZ Y GONZALEZ

e

KLEBER CRUZ MARQUES.

Ao Prof. NEWTON FERNANDES MAIA, Chefe do DHS e de

mais colegas do Departamento que nos auxiliaram

nossos objetivos.

a

atingir

Ã

WANDA F. ROCHA, pela eficiência e presteza

nos

S U M

Â

R I O

Nosso estudo objetiva essencialmente a formulação

e apresentação de um método para solução do problema de pr~

pagação de cheia em confluência de rios ou canais.

Podemos sintetizá-lo nas seguintes etapas:

a)

hipótese de seccionamento na confluência com

aplicação de processo implicito a cada

tre

cho isoladamente;

b)

oorreçãó do tirante na confluência pela equ~

ção da continuidade.

Entre outros aspectos inerentes ao processo é

in

teressante ressaltar:

a)

a impossibilidade de solução do problema p~

los métodos aproximados existentes;

b) a única solução, sistemática e completa, já apresentada 3 utiliza processo explícito, su

jeito a severas limitações.

Desenvolvemos o trabalho nos Itens seguintes:

I - apresentação de problemas importantes em pro pagação de cheias e definição dos objetivos deste estudo;

II - teoria básica, revisão histórica dos métodos de solução; princ!pais métodos com

gens e limitações correspondentes;

vanta

III - descrição do Método Implícito de Amein e Fang (MIAF) para problemas de propagaçao de cheias; aplicações e vantagens;

IV - estudo do problema de junção e desenvolvime~ to do método de solução por seccionamento;

V - apresentação de resultados e considerações para aplicação prática do método.

As conclusões formuladas em seguida comprovam a viabilidade de utilização do método. Sua aplicação a pr~ blemas reais depende apenas da disponibilidade e

ção de dados de campo. são também apresentados observados que nos pareceram importantes, inclusive tões para posteriores estudos.

codifica detalhes suge~

Em apêndice sao feitas considerações sobre elabo raçao e utilização de programas, diagramas de blocos e lis tagens.

ABSTRACT

The scope of this thesis is to propose and analyse a new method for problems of flood waves through junctions of rivers or channels.

It can be summarized as follows:

l) we assume that each branch can be cut at the junction~ and analysed independently of the others, using an implicit method;

2) matching the stages at the junction using the continuity equation.

Besides other features related to the method i t is worthwhile to emphasize:

approximate methods known at the present time. (1972).

b) the only solution presented in a systematic way, makes use of an explicit method

jeopar-dizeci by crucial restrictions.

This thesis follows the following outline:

I) Description of important applied problems concerning flood movement and definition of the scope of this study;

II) Basic theory, historical review of the solu-tions methods, more frequently used methods, their advantages and limitations;

III) Description of Amein and Fang's Implicit Method for problems of floods movement, appli-cations and advantages;

IV) Analysis of the junction problem and

develop-'

the junction;

V)

Presentation of the results and comments on

the practical application of this method.

The Conclusions presented in the text justify the

feasibility and usefulness of the method.

Applications to

real problems depends only on field data (disposibility and

codification).

Related to some problems that carne into play during

the present study, we make some suggestions for further

re-search.

In the Appendix are exposed some comments on

the

computer programs, flow charts and listings.

Figuras:

4.3.2

4.3.3

5.1.1

5.1.2

5.2.1

5.2.2

5.2.3

5.2.4

Páginas:

Evolução do tirante.na junção,

modêlo

de Stoker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

Perfis longitudinais na junção,

instan

te

tj + 1 . . . .

Perfis longitudinais em trecho Único ••

Região de escoamento praticamente

nao

107

123

perturbado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

Perfis longitudinais de cheia em confl~

ência (método de Stoker) •.••••••••••••

125

Perfis longitudinais de cheia em conflu

ência (método implicito) .••••••••••.••

132

Perfis longitudinais de cheia em conflu

ência (superposição) .••••••••••••••..•

133

Perfis longitudinais de cheia em conflu

ência (evolução) . . . . . . . . . . . . . . 134 5. 2. 5 _ -

Perfis longitudinais de cheia em conflu

ência (malhas distintas

.

. . .

.

. .

.

135

5.2.6

Perfis longitudinais de cheia em conflu

LISTA DE SÍMBOLOS

a, b, . . . , a', b', ~ .. , constantes-.·

A, areada seçao transversal do rio ou canal.

matriz jacobiana do sistema linear, no método de iteração de Newton.

a , função representativa de V, Y, S, ••. , no plano x,t. B, largura da seçao transversal

à

superfície livre.

C ,

c

0 , velocidade de propagaçao da onda (celeridade). Cr, coeficiente de resistência.

c

₁ ,

c

2 , constantes.

e: , precisão adotada como limite de convergência método de Newton.

do

f (t) , função do tirante, velocidade ou vazao, com o tem

g ,

i ,

função em Y e

V,

associada a equaçao da continui

dade, malhai.

função em

Y e V, representando a condição de fron

teira no final de um trecho.

número de Froude.

aceleração de gravidade.

função em

Y

e

V

representando a condição de

fron

teira no inicio de um trecho.

função em

Y

e

V,

associada a equaçao da quantid~

de de movimento, malhai.

função em

Y

e

V,

malhai, representando F. ou

G .•

l. l.

Indice da seçao de ordem i, de um trecho ou do·po~

to i, eixo x, plano x, t.

j ,

Índice correspondente ao instante de ordem

j. J(Y, V),

têrmo integral, equaçao

(II.1.8).

k ,

L ,

índice correspondente ao ciclo de iteração de or

dem k.

n ,

N , p , q , Q ,

k

RG,i

k

Rir,i

SO

,

s

,

t

,

Tf

,

Ti

,

T

_pr

,

coeficiente de atrito, fórmula de Manning.

número de seçoes de um trecho de rio ou canal.

perlmetro molhado.

influxo lateral por unidade de largura.

vazão média em urna seção transversal.

componente de Rk

j+l

Fiou Gi.

,

representando o resíduo

vetor cujas componentes representam resíduos

resíduo de Gi no ciclo de iteração k.

res!duo de Fino ciclo de iteração k.

decliv.idade de fundo do rio ou canal.

declividade de atrito.

tempo ou instante de cálculo.

de

de

per!odo .de simulação ou instante final de cálculo.

trecho que compoe a junção,

i

=

1, 2, 3.

V

,

\ I

_V:o

X

,

y

_,

z

,

k zj+l,

velocidade média na seçao transversal.

distância medida na direção do canal.

tirante de água ou profundidade.

elevação da superfície da água, com relação a

um

plano de referência.

componente do vetor

representando

ou

~-vetor que representa

Y

e

V,

ao final do ciclo de

iteração

k.

Capítulos: I II III ÍNDICE INTRODUÇÃO

...

FUNDAMENTOS TEÕRICOS •••••..•••••.•••.•• II .1 Equações do movimento nao perm~

Páginas: 1

9

nente em rios e canais... 9 II.2 Revisão histórica dos métodos de

II.3

solução

...

Principais métodos de

vantagens e limitações

solução:

M1i:TODO IMPL!CITO PARA ESTUDO DE PROPAGA

ÇÃO DE CHEIAS ..•••••••.••••••••••.•••••

III.l Importãncia do desenvolvimento de

19

27

36

métodos impl!citos ••••••••.•••• 36 III.2 Método impl!cito de Amein e Fang

(MIM) . . • • . . . . • • • • . . . • • 38 III.3 Exemplos de aplicação do Método

Capitulos: Páginas: IV

V

PROPAGAÇÃO DE CHEIA EM CONFLuf!:NCIA. SO LUÇÃO POR SECCIONAMENTO •••••••...•••••• IV. l Formulação do problema. Caracte

72

risticas particulares... 72 IV.2 Aplicação do método implicito. E~

quemas de cálculo... 79

IV.3 Solução por seccionamento na ju~

çao . . . . . . 95

TESTES E APRESENTAÇÃO DOS RESULTADOS 110 V.l Propagação de cheia em trecho úni

co . . . . 110 V. 2 Problema da junção: modeio de

Stoker . . . . . . . . 122 V.3 Considerações sobre a aplicação

do método de seccionamento a pr~

blemas práticos . . . . 139 CONCLUSÕES E CONSIDE~ÇÕES ~FINAIS. • • • . • • • • • • • • • • • • 150" REFE~NCIAS BIBLIOGRÃFICAS

. . .

.

. . .

.

. .

.

.

. . .

154 APil!NDICE Considerações sobre a programação.. D_!

Figuras: 1.1.1 2.1.1 2.1.2 3.2.1 3.2.2 3.2.3 4.1.1 4.2.1 4.2.2 4.3.1 LISTA DE FIGURAS Páginas: Confluência de rios ou canais ••••••••• 8

Definição esquemática de um elemento de

canal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Representação física da continuidade

Condições de contorno para processo im plícito, malha retangular ••••••••••••• Malha retangular com ponto centrado ••• M.I.A.F. para trecho simples •••.•..••• Discretização dos trechos nos planos x,

17

41 43 55

t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 8 Representação de confluência com indica

ção das seções e seccionamento

...

80 Matriz linear de iteração para o probl~

ma de confluincia . . . . • . . . 89 Matriz linear de iteração, substituída

CAP!TULO I

INTRODUÇÃO

Dentro do campo dos recursos hidráulicos,

uma

grande variedade de fenômenos assume especial importância,

pela frequência com que ocorrem na natureza e em estruturas

artificiais destinadas ao aproveitamento desses

recursos.

Essa vasta classe abrange fenômenos como "runoff" de

supeE_

ficie, movimento de marés, ondas em canais, regulação

de

reservatórios, movimento de cheias.

Uma caracteristica comum aos exemplos citados

e

a nao permanência dos movimentos, constituindo os .. chamados

transientes hidráulicos, cuja análise se fundamenta nas

e

quações de conservação da massa e da quantidade de movimen

to ou, simplesmente, equações do escoamento não permanente.

Evidentemente o grau de nao permanência varia com

a natureza do fenômeno.

Por exemplo,

cheiás

nos sistemas

de drenagem urbanos ou movimentos em canais de fuga, nas h~ ras de "pico", em estações hidroelétricas, envolvem interv~ los da ordem de minutos; são considerados transientes rã pidos. Já o movimento de

_

..c,,-t-1

ti.::\_t

O-:)

mares em estuarios com peri~ dos de 12 a 24 horas, ou a propagação de cheias em rios, com periodos de várias horas e mesmo de dias, são transien tes lentos.

Além disso, observação mais detalhada de cada t i pode problema revela aspectos particulares importantes p~ ra sua análise e solução. Assim, a propagação de cheia em um rio pode ser vista apenas como o movimento de uma onda positiva de montante para jusante. No entanto, a passagem da onda através de uma confluência altera suas caracter Is ticas iniciais (refração) e origina perturbações que se pr~ pagam para montante (reflexão), nos trechos que compõem a junção.

t

justamente de problemas deste tipo que tratare~ mos com detalhes em capitulos subsequentes. Por enquanto, dedicaremos nossa atenção ao grupo de fenômenos onde eles se apresentam: movimento de cheias.

Normalmente as seguintes hipóteses sao adotadas para o movimento de cheias, sem prejuizo de suas propried~

des mais importantes:

transientes de ondas longas, onde a relação profundidade (Y)/comprimento de onda (L) é tal que Y/L << l;

escoamentos unidimensionais·.

Com base nessas hipóteses, vários tipos de probl~ mas podem ser atacados de forma relativamente simples: o movimento de onda de cheia ao longo de um rio ou canal; a propagação de onda de cheia em reservatório (barragem); a passagem de onda de cheia através de confluência, etc.

A importância do estudo de tais problemas é dente: o engenheiro deve dispor de processos teóricos ra determinar, por exemplo, o comportamento de uma onda cheia em um canal de caracter!sticas dadas, para poder dizer os efeitos, sobre a propagação, das modificações

evi p~ de pr~ que devem ser feitas no rio natural, com vistas ao seu

aproveitamento e controle de cheias.

melhor

O problema mais simples consiste em seguir, atra vês de cálculo, o curso de uma onda de cheia, â medida que

ela se move ao longo de um certo trecho de rio ou canal. O processo utilizado na solução de tal problema é comumente denominado "flood routing" (ou propagação de cheia).

O "flood routing" é uma técnica indispensável na solução completa de um problema de controle de cheia e no bom funcionamento de um serviço de previsão de cheias. Com esse objetivo o "flood routing" é reconhecido como um proc~ dimento necessário para determinar a hidrógrafa (curva va zão x tempo ou profundidade x tempo) em uma seção de uma corrente a partir da hidrógrafa conhecida em uma seção a montante.

Neste ponto é conveniente fazer a distinção entre os dois tipos de métodos utilizados em "flood routing": o método hidráulico, fundamentado na solução das equações di ferenciais básicas do escoamento nao permanente em canais abertos; o método hidrológico, que procura soluções apr~ ximadas dessas equações sem, contudo, utilizá-las diretame~ te. O método hidrológico é, em geral, mais simples, mas apenas no problema de propagação de onda ao longo de um rio ou canal, pode dar resultados plenamente satisfatórios. Nos outros dois problemas citados anteriormente, o método hidr~ lógico não pode ser usado. Os efeitos de remanso (refl~

xao de onda), no caso da junção e as perturbações origin~ das no caso de cheia em barragem não podem ser avaliadas com precisão, a nao ser através das equações

completas.

hidráulicas

Feitas essas considerações podemos definir clara mente o objetivo de nosso estudo e resumir seus

mais importantes.

aspectos

O presente trabalho visa a formulação e apresent~ çao de um método para solução do problema de movimento de cheia através de confluência de rios ou canais.

·pas:

Básicamente, o método consiste das seguintes eta

a)

b)

hipótese de seccionamento na junção, zando uma equação auxiliar do tirante

utili como fronteira, além das equações de compatibil! dade cinemática (igualdade de tirante nos três ramos, junto

à

confluência);

aplicação do processo implícito de AMEIN e

nando-os através da equaçao da continuidade na junção.

Além de outras caracteristicas comuns aos probl~ mas de propagaçao de cheias alguns aspectos ressaltam a im portância do problema de confluência:

a) a propagaçao de perturbações nos trechos de rio a montante da confluência impedem a sol~ çao do problema pelos processos aproximados existentes;

b) a única solução sistemática e completa já

3 •

apresentada ' inclusive com aplicação a um problema real, se fundamenta na utilização de processo explicito, sujeito a sérias restri çoes;

c) o esquema de cálculo desenvolvido neste tra balho procura aproveitar as principais vant~ gens de um processo implicito relativamente recente, mas já testado com sucesso por vá rios pesquisadores 1

,

2

,

5

,

6

t

interessante observar ainda a oportuna aplic~ çao do método ao mesmo modelo formulado por Stoker, o que representa um severo teste, em virtude da taxa de cheia ex tremamente elevada (cerca de 7 a 10 vezes as maiores taxas registradas em grandes rios).

. e

D a) Planta

e

-.:...---o

T3 b) Esquema

CAPfTULO II

FUNDAMENTOS TEÕRICOS

II.l EQUAÇÕES DO MOVIMENTO NÃO PERMANENTE EM RIOS E CANAIS

O escoamento nao permanente em canais abertos é representado por duas equaçoes, continuidade e quant!_ dade de movimento, geralmente denominadas equações de St. Venant. Constituem um sistema a derivadas parciais, de la. ordem, quase linear, tipo hiperbólico e somente nos casos mais simples existem soluções expl!citas. Tratando--se de assunto bastante estudado, a derivação dessas

ções não será apresentada aqui. Limitar-nos-emos

à

equ~ apr~ sentação das equações, indicando as hipÕteses adotadas na derivação. Detalhes a respeito poderão ser encontrados em

7 8 9 10 l i

CHOW , HENDERSON , LAI , GILCREST e HARLEMAN , os três Últimos citados por GUNARATMAM 1 2

As seguintes hipóteses devem ser consideradas na

1 2

obtenção das equações de St. Venant

:

escoamento unidimensional, isto é, velocidade

uniforme sobre cada seção transversal e a

su

perficie livre é uma linha horizontal através

da seção;

desprezam-se assim a aceleração de

Coriolis e a aceleração centrifuga devida

a

curvatura do canal;

pressao hidrostática em cada ponto do

canal,

isto é, a aceleração vertical é desprezivel e

a densidade do fluido é homogénea;

os efeitos de turbuléncia e atrito na

frontei

ra sao considerados introduzindo uma força de

atrito dada pelas equações empiricas de Manning

ou Darcy-Weisbach.

Com base nessas hipóteses as equaçoes de conserva

çao da massa e da quantidade de movimento podem ser aprese~

tadas sobre as formas seguintes:

Equação da continuidade:

B •

az

+ B.V.

az

+A.

av

+V.

aA

at

ax

ax

ax

Z=cte

Equação da quantidade de movimento:

av

+

v

at

av

+

Vq

=

3x A 3Y g (S 0 - S) - g •

_ax

=

q

(II.1.1)

(II.1.2)

Nessas equaçoes temos (Ver Figura II.1.1):

B

=

largura da seçao

à

superfície da água;

Z

= elevação da superfície em relação a

um

plano de

referência;

V

= velocidade média na seçao transversal;

A

= área da seçao transversal;

q

₌

influxo lateral (vazão por unidade de

to);

50 = declividade de fundo do canal;

s

= declividade de atrito ou declividade da linha de energia;

y _{= profundidade ou tirante;}

g = aceleração da gravidade.

A equaçao da continuidade define os efeitos de armazenamento do canal. Assim:

e

az

B • B. V. A·1f •

at

-ª!

ax

av

ílx

=

=

=

V • ílA 1 ílx Z'=cte

taxa de elevação que dá as variações de armazenamento decorrentes das variações com o tempo do nível da superfície;

"armazenamento em prisma", devido a va riação do nível da superfície com adis tância;

parcelas de "armazenamento em cunha", em virtude de variações na velocidade e seçao transversal com a distância; os~ gundo têrmo define o caráter não prism~ tico do canal;

q

=

influxo lateral correspondente

à variação de

massa no espaço e no tempo, além dos têrmos

de armazenamento.

Na equaçao da quantidàde de movimento figuram os

têrmos que representam as forças predominantes no fenômeno:

av

V • q.V A

ax

g .

s

g • élY

ax

=

=

=

=

=

=

aceleração decorrente da variação no

coamento com o tempo;

es

aceleração decorrente da variação na velo

cidade com a distância;

aceleração devida ao influxo lateral;

efeito da força de gravidade;

efeito das forças de atrito;

Se o tirante Y e a velocidade V sao tomados como variáveis dependentes, temos:

aA

av

aA

V . - + A . + - - q = O (II.1.3)

ax

ax

at

av

+

v

at

av

+

q.v

=

ax

A

ôY g • (S O - S) - g .

ax

(II.1.4)

Sendo A uma função conhecida da profundidade Y, vem: ôA

at

dA dY

aY

₌

aY

B •

=

at

at

aA

= B •

aY.

+

J

y aB (x, z)

ax

ax

o

ax

(II. 1. 5)

• dz

(II.1.6)

onde B

=

B(x,Y)

=

largura da superficie, z é uma variá vel muda e o têrmo integral representa o caráter não prism~ tice do canal.

onde:

A equaçao (II.1.3) poderá ser escrita:

3Y A

+

3t

B

av

+

v

ax

V J(Y ,V) = B

f

y 3B 0

ax

ôY + J(Y,V) - q = O

ax

• dz

(II.1.7)

(II.1.8)

Em

muitos casos a influência do têrmo

J(Y,V)

é

desprez!vel e a equação (II.1.7) se simplifica:

3Y + A

av

av

+

V •

-

q =

O

(II.1.9)

at

B

ax

ax

Para maior clareza, é oportuno incluir aqui alg~

mas considerações de caráter prático.

1.

Para efeito de estabilidade numérica

A(Y)

e

B'(Yl.,

em uma mesma seçao, devem ser compat!veis.

Isso si_s:

nifica que, se um deles é obtido a partir de medidas de cam

po, por exemplo, A(Y), o outro deve ser calculado pela

ex

..

y

-z

P.R.

_4X

x,

_P.R.

(a) p.,.fll

longitudinal

(b)

Seçao

...

transversal

( 1 ) 1 1 1 1 1

.--t

1 - - - -

-

-( 1 ) A .

.2,y_ ·

âX. ât

=

Jx

armazenamento em prisma. (2)

8.

_.Ji.·ât âX •

-~ t . armazenamento por

elevaiªº

(3)

V.

~e

·4X.ât• armazenamento

em

cunha.

do n1vel. I

pressao B

=

dA dY

2. O têrmo J(Y,V) pode ser avaliado estimando

j)B

ax

a partir das equaçoes B

=

dA dY e efetuando a integração numérica para incrementes âY da profundidade.

3. A declividade de atrito, quando calculada p~ la fórmula de Manning, deve ser escrita:

V. jvj (II.1.10)

s

= onde R =

~

p tro molhado

=

raio hidráulico da seçao, com P = per!m~

e Cr=

¼,

com n = coeficiente de Manning. No capitulo V, outras observações diretamente l i gadas a aplicações poderão ser encontradas.

As equaçoes de St. Venant serao utilizadas nos ca p!tulos subsequentes sob a forma acima apresentada, comume~ te denominada não divergente. Outras formas existem, ade quadas a soluções numéricas de diferentes problemas de esco

amento nao permanente.

Além disso as equaçoes podem ser formuladas em di ferentes graus de generalidade, de acordo com a natureza do problema em estudo. Detalhes a respeito poderão ser encon

1 2 3 1 3

trados em GUNARATMAN , STOKER , STRELKOFF

A forma nao divergente aqui apresentada atende às características particulares do método numérico escolhido~ ra o problema da junção.

II.2 REVISÃO HISTÕRICA DOS M~TODOS DE SOLUÇÃO

No primeiro capitulo falamos, apenas superfic~a! mente, dos métodos empregados no estudo de propagação de cheias. Aqui, incluímos outras considerações sobre esses métodos e tentaremos fazer um esboço, sob aspecto histórico, de seu desenvolvimento e aplicações, · No item 2.3, aprese~ taremos, de forma sucinta, os mais importantes,

suas respectivas vantagens e limitações.

Com o desenvolvimento de máquinas eletrônicas mo dernas, capazes de seguir uma cheia a partir de suas ori gens, o significado do "flood routing" se ampliou, incluin do a observação do movimento da água desde a chuva até o es coamento superficial. Nesse sentido, um método estritamen te hidráulico de "flood routing" seria extremamente compl.!_ cado. Assim, mesmo os chamados métodos hidráulicos passam a ser formas simplificadas desenvolvidas com objetivos prá tices. Resumiremos vários tipos de solução caracteristi cos desses métodos.

A partir das equaçoes gerais do movimento nao pe~ manente é possivel, nos casos mais simples, chegar a alguns modelos analiticos de cálculo. A aplicabilidade de cada um está, portanto, subordinada ao grau de complexidade do problema a resolver. Um desses modelos se restringe a uma das equações, a continuidade, e constitui o principio dos modelos hidrológicos de "flood routing".

A carência de generalidade das,,soluções anallti case a impropriedade de sua utilização mesmo em certos t i pos de transientes lentos, como a passagem de cheia em con fluência, levaram

à

pesquisa, encorajada pelo constante aperfeiçoamento dos computadores eletrônicos, de méto

dos numéricos para solução das equaçoes completas. métodos baseados em técnicas de diferenças finitas

vários foram desenvolvidos. Os mais conhecidos são o método das carac teristicas e o método explícito.

Esses métodos foram aplicados na solução de dife rentes tipos de problemas, mas quando usados em propagaçao de cheias podem ser considerados simplesmente como

diversas do método hidráulico de "flood routing".

formas

t

oportuno fazer aqui algumas considerações sobre os vários tipos de solução numérica, pela sua crescente im portância nos problemas de movimento não permanente.

Podemos classificá-los em métodos diretos e méto dos das características. Nos métodos diretos a represent~ çao em diferenças finitas é feita diretamente a partir das equaçoes do movimento. No métodos das características as equaçoes sao primeiramente modificadas para a forma caracte rística e esta é usada para a representação em diferenças finitas. Os pontos onde devem ser obtidas as soluções sao representados graficamente pelos nós de malhas traçadas no plano x, t. (Figura II.2.1)

Os esquemas em diferenças finitas normalmente us~ dos em ambos os métodos podem ser explícitos ou implícitos. No esquema explícito, as soluções em um certo instante t + +

At

dependem unicamente das soluções obtidas no instante anterior t, condições iniciais. No esquema implícito, as soluções dependem simultaneamente das soluções no instan te anterior, t, e no instante considerado, t +

At,

con dições iniciais e fronteiras.

As equaçoes em diferenças finitas do esquema ex plícito são conjuntos de equações algébricas lineares de onde as incógnitas podem ser diretamente calculadas. No es quema implícito, são obtidos sistemas de equaçoes algébr! cas não lineares que, em geral, devem ser resolvidos por iteração.

Apresentamos, a seguir, um retrospecto do desen volvimento e aplicações dos métodos referidos com indica ções cronológicas e bibliográficas, focalizando aqueles re !acionados com problemas de propagação de cheias em rios e especialmente com o problema da junção, objetivo do nosso estudo.

provavelmente os primeiros a aplicar o método explícito ao

movimento de cheias em rios, em trabalho realizado nas

se

guintes etapas:

1.

Desenvolvimento da Teoria Básica e

numéricos de ataque, 1953.

métodos

2.

Solução numérica de problema de cheia em mo

delo simplificado do OHIO e sua junção

com

o MISSISSIPI, 1954.

3.

Aplicação do método na previsão de cheias,

i~

eluJive o p~oblema da cheia de 1947, at~avêJ

da jun~ão Ohio-MiJJiJJipi, 1956.

Os resultados obtidos por

Stoker

e seus

colegas

sao considerados muito bons e quase todos os trabalhos

de

senvolvidos posteriormente nessa área de estudo têm no

tra

balho de Stoker seu ponto de partida.

No entanto, em virtude da severa restrição impo~

ta pelo critério de Courant,

6t

~

6x/(V+C),

e

ou

tras dificuldades relacionadas com a precisão, a

discreti

zaçao da malha ficou limitada a pequenos valores de

llt e

t.x:

nos problemas estudados,

llt

<

9rnin e

21\x <

l0rnL, .

Para cheias de longa duração e/ou trechos longos,

de geometria complicada, essas limitações podem tornar pro~

bitiva a aplicação do processo, em termos de custos de cál

culo computacional.

Essas conclusões levaram os autores a

preconizar

o estudo e aplicação de métodos implícitos a problemas

de

propagaçao de cheias, mesmo a custo de esquemas cornputaci~

nais mais complicados.

Entre as considerações finais de seu

trabalho,

Stoker e seus colegas destacam a apresentação de um

e6quema

impl1cito de malha 4etangula4 corno sugestão para

res estudos e aplicações.

posteri~

Em 1964,

o mesmo grupo, Stoker, Isaacson e Troesch,

chegou a testar o esquema por eles denominado "box scherné" ,

inclusive no problema de cheia provocada por arraste de baE

ragern.

No entanto, as observações a respeito dos

testes,

5

11

-

o esquema é impllcito e, portanto, nao

res

tringe o valor do intervalo de tempo;"

li

_{pode ser usado com malha de intervalo ~x va}

riável, evitando a interpolação dos dados do rio que normal

mente são levantados a intervalos uniformes;"

li

_{verificamos que o "box scheme}

II

_{funciona , bem}

sê

os_2dados-

são

utilizados em intervalos entre 1, O e

8,

Omi,

exceto para o caso de uma severa cheia provocada por súbito

arraste de uma barragem.

11

A bibliografia indicada por

ISAACSON

nao faz refe

rência que trate especificamente dos testes do "box scheme".

Em 1969, AMEIN 1

apresenta, com ligeiras modific~

çoes, o processo impllcito sugerido por

STOKER

e seus cole

gas, inclusive sua aplicação a um problema clássico, repet~

damente resolvido por outros métodos:

propagaçao de onda

de cheia sinusoidal em canal de grande comprimento e

ra infinita.

Em

seu trabalho,

AMEIN

vai desde a

larg~

formula

ção do método até um estudo comparativo das soluções do pro

blema obtidas com outros métodos:

"storage routing",

ex

pllcito

(STOKER)

e caracterlsticas

(AMEIN).

2

Em .19.70, AMEIN e FANG- formulam o processo para aplicação em rios nas suas condições reais. Os resultados obtidos podem ser considerados:' excelentes em termos de pr~ cisão e, especialmente na redução dos tempos de computação quando comparados com processos explícitos.

Na sequência acima procuramos destacar os métodos e problemas relacionados com nosso trabalho: a aplicação do processo implícito utilizado por AMEIN na solução do pr~ blema de junção que, segundo a literatura, apenas Stoker e seus colegas chegaram a resolver, mas por processo explic! to.

Como informação, outros autores e métodos podem ser citados: o método explicito foi aplicado a escoamento superficial (overland flow) por SCHAAKE 14, 1965 e por MOR

GALI e LINSLEY 15, 1965; o método das características, e~

quema explicito, foi aplicado

à

propagação de ondas longas por AMEIN 16, 1966 e a estuários por LAI 17, 1967; o méto

do das características, esquema __ iníplicito, foi usado em pr~

1 8

pagaçao de cheias por AMEIN , 1966 e por FLETCHER e HAMIL TON 19 , 1967 e em escoamen o super ic a t f' i 1 por LIGGETT e

WOOLHISER 20, 1967; em 1967, ainda AMEIN 21 faz um estudo

A procura de processos mais adequados levou

à

for mulação de diferentes esquemas implícitos, inclusive o de Amein e Fang, já mencionado.

II.3 PRINCIPAIS M~TODOS DE SOLUÇÃO: VANTAGENS E LIMI TAÇÕES.

A fim de melhor caracterizar a posição e importá~ eia do método implícito que pretendemos empregar no probl~ ma de cheia em confluência,· indicamos a seguir os princ! pais métodos de solução das equações de St. Venant, com suas vantagens e limitações mais relevantes.

Mêtodoh Anallticoh.

As soluções analíticas para problemas de movimen to nao permanente são obtidas por simplificação ou aproxima ção das equações de St. Venant de acordo com a importância relativa de seus termos. A equação da continuidade expr! me o mecanismo de armazenamento do canal, .suas margens e

to, através dos termos de atrito,inércia e pressao,

repr~

senta os efeitos de resistência do escoamento.

A influên

eia relativa desses efeitos ou mecanismos e as consequentes

simplificações ou aproximações conduzem a vários modelos de

_ 7 8 12

calculo

' '

:

"storage routing", modelo cinemático, mod~

lo difusivo.

A

solução através das equações completas oons

titui o modelo dinámico.

No esquema abaixo, representamos as equaçoes

de

St. Venant, indicando os termos que devem ser considerados

em cada tipo de modelo.

Do modo como são indicadas as

e

quaçoes, outras hipóteses, além daquelas citadas no

item

II.l são admitidas:

canal retangular de grande

largura;

influxo lateral nulo, isto é, q=O;

variação desprezível

com o tirante

Y,

da componente em

x

da velocidade local,

isto é,

V= V(x,

t).

Equação da Continuidade:

ay

3Y

av

+V. + Y .

=O

(II.3.1)

1ªt

' - - - ~ • - · storage routing

ax

3x

1 g

+

tices,· Venant,

Equação da Quantidade de Movimento:

av

V

av

êlY

+

- +

- s

0

+

S = O (II.3.2) ôt g ÔX êlx L m o d e l o cinemático

+

_{modelo da difusão} modelo dinâmico

Como vemos, a própria natureza dos métodos anal! simplificação ou aproximação das equações de St. limita sua aplicação a casos particulares. Mes mo a solução linearizada 12, que faz uso das equaçoes com

pletas não pode ser usada quando a geometria do canal é com plicada ou quando os ·efeitos não lineares se tornam

deráveis.

consi

As limitações dos métodos analíticos tornam-se ainda mais significativas quando se procura relacioná-las com o problema de cheia em confluência.

As perturbações originadas pela passagem de onda de cheia em junção propagam-se para jusante e para montante,

inclusive no trecho onde se originou a onda.

Os

cinemático ou difusivo representam ondas que se

modelos

propagam

apenas numa direção:

para Jusante

. 8

•

A solução lineari

zada não é suficientemente precisa particularmente

quando

é grande a influência do termo

V

-

av

,

12

g

ax

analíticos não podem, portanto, ser utilizados

precisa do problema de junção.

As equaçoes completas, por sua vez,

Os

métodos

para solução

representam

ondas dinâmicas que podem se propagar para montante e jusa~

te com velocidades dadas por C

= V ± / gy

e indicadas

las duas "direções características" no plano

x, t,

1 O

.

p~ Es

sas equaçoes são, por conseguinte, as ferramentas adequadas

para solução do problema e o melhor modo de utilizá-las

e,

ainda, através de métodos numéricos.

Mêtodo~ Numê~i~o~.

Basicamente, os métodos numéricos para movimento

de cheias consistem das seguintes etapas:

a)

representação das equaçoes de St. Venant

em

diferenças finitas;

b)

resolução do sistema de equaçoes resultante

por um processo adequado.

A representação em diferenças finitas é esquemat!

zada no plano x, t,

distância e tempo, variáveis inde

pendentes,

através de malhas de pontos (item

III.2)

on

de as soluções

Q

e

Y

ou

V

e

Y,

vazao e tirante ouve

locidade e tirante,variáveis dependentes,

tidas.

podem ser ob

Diferentes esquemas em diferenças finitas

foram

desenvolvidos tendo em vista condições particulares de

ca

da problema, especialmente a rapidez de variação do

escoa

mente com o tempo.

DaI as limitações dos métodos

corres

pendentes e a procura de outros que possam cobrir uma faixa

maior de problemas.

No item anterior apresentamos uma classificação dos

métodos numéricos.

Indicaremos aqui, da forma mais

resumi

da, os mais importantes no campo de propagação de cheias.

1.

Método das caracteristicas, esquemas de grade

retangular fixa ou grade caracteristica, - BALTZER e LAI

22,

23 24

WYLIE , ELLIS e outros citados no item II.2; foi o primeiro a ser aplicado em canais; especialmente úteis em transientes de curta duração, mas não muito rápidos.

Limitações do método das características:

nao se aplica a transientes muito rápidos com formação de "bores";

está sujeito ao critério de Courant, At < Ax ,

v+c

- o que pode significar séria restrição, esp~ cialmente para transientes de longa duração em canais de geometria complicada;

o uso de grade característica pode levar a com plicações algébricas na solução do

tornando-a ineficiente.

problema

2. Método direto, esquemas explícitos, - SCHA-AKE 14 , MORGALI e LINSLEY 15; aplicação diversificada, de

At

Limitações dos esquemas explícitos:

restrição no intervalo de tempo

At,

imposta

~

pelo critério de Courant, levando a valores

2

a 3 ordem de grandezas menores que os

de duração dos transientes;

tempos

condição de estabilidade que pode resultar de

limitações no atrito;

assim, no esquema

difusão deve-se ter, por exemplo

12

J1+2.1::1

i::

1

.

Ax

V+ C g.SO VO

- l

limitação no atrito

critério de Courant.

de

3.

Método direto, esquemas implícitos, - LAI ~,

2 O

Courant e sao mais estáveis que os esquemas expllcitos; a possibilidade de utilizar intervalos de tempo mais elevados permite uma discretização da malha mais adequada as carac terlsticas flsicas dos problemas, bem como maior campo de aplicação.

1 2

Limitações dos esquemas impllcitos

em certos casos de transientes rápidos e esco~ mentos em canais rasos com Fr > 0,1, foram ob

servadas instabilidades;

ainda em escoamentos rápidos, podem ocorrer erros na conservaçao da massa, isto e, diferen ças entre a variação de armazenamento no canal e o fluxo liquido através da fronteira.

Um outro aspecto negativo dos esquemas impllcitos é a maior dificuldade de programação em relação a outros es quemas.

Naturalmente essas limitações dependem do tipo de esquema e da natureza do problema a resolver. Nos caplt:!,!

los seguintes veremos a formulação e aplicação de um método implicito em um problema relativamente complexo, onde ou tros detalhes e vantagens caracteristicos dos esquemas im plicitos serão evidenciados.

CAPÍTULO III

Ml!:TODO IMPLÍCITO PARA ESTUDO DE PROPAGAÇÃO DE CHEIAS

III.l

IMPORTÂNCIA DO DESENVOLVIMENTO DE Ml!:TODOS

IMPLÍ-CITOS.

A importância do desenvolvimento de métodos impl! cites para estudo de transientes hidráulicos decorre, log!_ camente, das limitações a que estão sujeitos os métodos ana líticos e numéricos mencionados no capítulo anterior.

Entre as duas classes citadas, interessam-nos es pecialmente os métodos numéricos, pela sua maior generalid~ de e crescente utilização.

As limitações impostas a esses métodos, principa! mente a restrição no intervalo de tempo At, podem tornar proibitiva a sua aplicação a transientes de longa duração e geometria complicada, onde se enquadra grande número de

casos de propagaçao de ·cheias em rios.

Geralmente, nesses casos, os cálculos de profund! dade, velocidade, vazão, devem ser feitos para um tempo to tal de vários dias, ou mesmo semanas, tempo de duração da cheia. O tempo necessário para efetuar os cálculos, tempo de computação, é inversamente proporcional ao in tervalo àt adotado para a malha no plano x, t.

A possibilidade de adotar valores de àt várias vezes maiores que nos métodos explicitos implica, portanto em significativa redução no tempo de computação e consegue~ temente nos custos de cálculo. Essa redução é ainda maior quando trechos mais longos do rio ou sistema devem ser con siderados.

to

caso, por exemplo, de propagação de cheia através de junção, onde o cálculo deve ser efetuado para os três trechos que a formam (é muito raro encontrar junções com mais de três trechos).

Inúmeros esquemas implicitos foram propostos, pr~ curando atender

à

solução de problemas especificos. Atual mente, a pesquisa se orienta no sentido de obter

que possam cobrir urna faixa maior de problemas.

Neste capítulo, apresentamos um método implícito recentemente desenvolvido e especialmente Útil em transien tes de longa duração. Veremos, pelas suas características e eficiência nos casos em que foi aplicado, as vantagens de sua utilização no problema de cheia em confluência.

III.2 ~TODO IMPL!CITO DE AMEIN E FANG (MIAF)

Embora tenha sido publicado pela primeira vez em 1969, por AMEIN 1, o método implícito aqui apresentado se

baseia em um esquema de malha não muito recente. Realmen

3 •

te, quando STOKER propos o esquema, em 1956, atribuiu-o a Thomas, 1937. Mas foram AMEIN e FANG 2 que em primeiro lugar o utilizaram sistematicamente, formulando o "método implícito com malha de ponto centrado" ou Método Implícito de Amein e Fang (MIAF).

O método é considerado especialmente adequado p~ ra aplicações em engenharia que envolvam escoamentos de lon ga duração em trechos longos, de geometria complicada e con

l - representação em diferenças finitas das equ~ ções de st. Venant, segundo o esquema de malha de ponto centrado;

2 - resolução do sistema de equaçoes nao linea res resultante pelo método de iteração gen~ ralizado de Newton.

Teoria básica e formulação do MIAF.

a) Equações do escoamento nao permanente.em ca nais.

As equaçoes de St.Venant, apresentadas no item 2, podem ser escritas:

aY

+

A

at

B

av

₊

_v.

at

av

+

v •. aY

ax

ax

av

- + g.

ax

q =

o

(III.1.1) B g.V - S) +

=

O A (III. 1. 2)

onde

B = dA dY A R= p ; ;

s

=

dz

dx

;

e

= r l

n

A solução numérica das equaçoes (III.1.1) e (III •

. 1.2) exige o conhecimento de condições de contorno que va

riam de acordo com a natureza do problema e o tipo de méto

do utilizado.

b)

Condições iniciais e condições de fronteiras.

A solução numérica por processo impl!cito é repr~

sentada graficamente por uma malha de pontos no plano x, t,

limitada

à esquerda e à direita por linhas que representam

as fronteiras e inferiormente por uma linha que define

as

condições iniciais do problema,

Figura III.2.1.

Para um problema t!pico de propagaçao de cheia em

canal, escoamento subcr!tico, as condições podem ser formu

1

1

k 1 1 1

1

-

-

-

-

· ' -

-

_-1 -

J_

---

-j

+,

1 D

e

1 1 1 ll.t 1

i

_A

_li.

_X

_e

-

-

-1-

-

-

-1-

-

-2 ' .

7

1 1 1 1 OI ₂

_{- -- -}

_{J 1 -t 1 - - - - N-1 N} iniciais. tizaçÕo. N , -n- de seçoes do canal.

o

,.,

K , - instante final de cálculo.

A

eco, -

malha gener,ca no

,

plano x, t .

X

.

-

,..,

,

ladas do seguinte modo:

eondi.ç.Õeh i.ni.ei.aih,

valores do tirante e velo cidade em algum instante inicial em todos os pontos do ca nal, isto é, Y = Y(x,O) e V= V(x,O): esses valores p~ dem ser obtidos a partir das condições de escoamento perma nente antes da chegada da cheia;

eondi.ç.Õeh

de

ó~ontei.~a,

a montante, curva hi drográfica de vazão ou tirante, isto é, Q = Q (O ,f:) ou Y = Y(O,t); a jusante, estrutura de controle ou curva chave, isto é Q = f(Y), ou outro esquema que defina o fim dos cál culos.

Naturalmente as condições variam de acordo com o tipo de problema. Assim, para o escoamento em um canal que liga duas balas, as fronteiras podem ser dadas

maregramas nos extremos do canal.

c) Descrição do método.

pelos

1 1 1

J

1 1 J-1-1

I+ 1,)

i+I,

jtl I 1 D

e

i

r~t

M •

1 ' A

B

l

1

1,l

l+I,

J 1

- -

_-1-

- -

-

1 _._

-

--1 1 1 1 1 _i

₁

₊

₁

1 1 2 1 1

-

- N-1 X

-

-

1

.

Fig. 3. 2. 2 - Malha retangular com ponto centrado.

M,- ponto centrado do molho ABCO.

J ,. ,

o--,-

fun~oo

gene

rico no

ponto

M,

representan-do

Y, V, S,

ate.

....

lha com ponto centrado, usado para representação em diferen

ças finitas das equações (III.1.1) e (III.1.2).

ABCD

de

fine uma malha genérica do plano x, t, tendo M como

ponto

central.

Seja

a=

função representativa, no ponto

M

da m~

lha ABCD, de qualquer das variáveis presentes nas equaçoes

(III.1.1) e (III.1.2), isto é, V,

Y,

A, B, etc.

Os valores de

a(M)

e suas derivadas em

x

e t

~

dem ser dados em função dos valores de

a

nos vértices

da

malha, isto é:

a(M)

aa

(M)

ax

aa

(M)

at

= =

(III.1.3)

[

.

j+l

j

·+1 ]

(ai+1 + ªi+ll -

(ai+ ªi l

2. t,.x

1

(III.1.4)

O esquema em diferenças finitas. definido por essas

equaçoes

é

então utilizado para representar cada

que figura nas equações de St. Venant.

são supostos conhecidos os valores de

a

na

variável

linha

de ordem j,

instante

res de

a

na linha de ordem j+l,

Devem ser calculados os valo

instante tj+l

=

tj + ât.

Consideremos Y e V como variáveis

dependentes.

Para

N

pontos ou posições ao longo do canal, teremos:

2N

₌

número

de

incógnitas, isto

para cada ponto;

j+l

é,

yi

N -

1

=

número de malhas no plano x, t;

e V~

·+1

l.

2(N-l)

=

número de equaçoes de malha, isto

é, duas e

quações da forma (III.1.1) e (III.1.2)

para

cada malha.

As duas condições de fronteira, montante e

jusa~

te completam as

2N

equações necessárias para a solução do

problema.

As equaçoes genéricas (III.1.3) a (III.1.5) subs tituldas em (III,1.1) e (III.1.2) e reunidas às equações de fronteira, levam ao sistema seguinte:

. .

.

.

. . .

.

. . .

.

. .

.

. . .

.

.

.

. . .

.

fronteira a montante (N-1) malhas 2(N-1) equações 2N incógnitas fronteira a jusante (III.1.6)

F i ; função associada à equaçao da continuidade, (III . . 1.1);

Por comodidade, foram suprimidos os superscritos

j+l de Yi' Vi e as condições de fronteira foram represe~

tadas pela mesma simbologia.

escritas, por exemplo:

Essas equações poderiam ser

(III.1.7)

quando o tirante

é

dado em função do tempo, na fronteira de

montante;

outra alternativa

é:

(III.1.8)

quando a vazao

é

conhecida corno função do tempo;

(III. l . 9)

fronteira de jusante, quando se conhece a relação velocida

a·e· versus tirante, dada por urna seçao de controle.

f.

mais adiante.

O sistema nao linear (III.1.6) apresenta uma ca racterlstica particularmente importante: a presença de, no máximo, quatro incógnitas em cada equação, o que pode facilitar a solução por processo iterativo, como veremos a seguir.

2."" Solução do sistema nao linear, "(III .1. 6) , pe lo método de iteração generalizado de Newton.

guintes:

Podemos resumir o método de Newton nos passos se

1 - atribuir valores iniciais às incógnitas e calcular os reslduos, em (III.1.6);

2 - montar e resolver o sistema linear de itera çao para ajustar os valores adotados;

3 - repetir o processo até que os reslduos se tornem desprezlveis.

Consideremos:

zj+l

=

'{zl, z2,

• • • I

z2N}

=

vetor que representa

os

valores de Y e

V

nos N pontos da linha j+l,

instante tj+l

=

tj + 11.t;

representa

qualquer das componentes do sistema (III.1.6);

k . {'k k

z-j

+ 1 = z 1' z 2 '

aproximação obtida ao

fi

~+1

=

nal do ciclo de iteração

k'.;

vetor cujas

componentes

representam os resíduos de (III.1.6) calcula

dos no ciclo de ordem

k:,

Os valores das incógnitas nos ciclos de ordem

k

e k +1

estão relacionados pelo sistema:

Z~) + r~

=

0 i=2N

. . .

.

. . .

.

. . .

.

.

.

. . .

i=2N

r

i•l sistema linear de iteração. (III.1.10) c3Hi

onde as derivadas parciais sao calculadas no ciclo de ordem k.

- - 1 k-1-1 k 1

O processo e repetido ate que zi - zi < E, i = 1, 2, ••• , 2N,oomipar, para Y e ímpar para V;

&

=

tolerância adotada, & > O;

z~!i

=

aproximação final de zj+l' cujas componentes são os valores de Y e V no instante

Sob a forma matricial, o sistema (III.1.7) ser escrito:

pode

(III.1.11)

onde,

A~+l

=

matriz jacobiana do sistema, avaliada no ci elo de iteração k.

Cada linha da matriz jacobiana tem, no quatro elementos não nulos, desde que há somente

máximo, quatro incógnitas em cada equação de malha. Os elementos nao nu los estão dispostos em duas diagonais de cada lado da diag~ nal principal. Trata-se, portanto, de uma "matriz banda", com no máximo quatro elementos não~núlospor linha.

Algoritmos especiais podem ser formulados para so lução do sistema com grande economia de tempo e posições de memória. Nos sistemas que envolvem grande número de _Pº!!

A natureza de banda da matriz coeficiente no sis tema linear de iteração acarreta realmente uma das maiores vantagens do método implícito:

rápida do sistema iterativo.

a possibilidade de solução

Outro aspecto importante do método é a escolha da hipótese inicial para o sistema iterativo. A convergência do sistema depende dessa hipótese inicial das variáveis de pendentes (Y e V, no caso). Felizmente, na maioria dos problemas de propagação de cheias os valores das variáveis em certo instante não diferem muito dos valores no instante precedente. Assim, os valores de Y e V no instante tj p~ dem ser adotados como hipótese inicial para

das variáveis no instante tj + at. Esse

determinação procedimento, nas várias aplicações feitas conduziu a soluções estáveis em um ou dois ciclos de iteração (excepcionalmente três) den tro dos limites de tolerância usuais.

Determinados os valores das incógnitas no instan te tj+l' passa-se

à

determinação da linha j+2, repetindo o processo até o instante final escolhido.

A fim de tornar possível a codificação e _aplic~ çao do método, os sistemas (III.1.6) e (III.1.7) devem ser

escritos de forma conveniente.

Para isso, calculamos V, Y, A, B, ... , e as de av ay av ay

rivadas parciais - - através das expre_s ax' ax' a t ' a t '

sões genéricas (III.1.3) a (III.1.5). Substituindo em (III.1.1) e (III.1.2), virá:

Continuidade: ôY + A ôt B X ( A. Ai+l j Ai+l X ..2:_ + - - + + Bi 8 i+l 81+1 l + - - + 8 i+l av ay +

v.

ÔX ÔX q B

=

o

[(V _{i+l -} V ) _i + (vj _{i+l -} VJl.·.) ] X Aj ) q .tit ( : i B1:1 + 2 l B~) - - +

₌

o

8₁₊₁ l.

ou ainda, - q. t:.t 2 t:.t 4. t:.x (III.1.11)

Nessa equaçao, a, b, c, d, e, f sao constantes cujos valores dependem dos elementos da linha t j , isto

é:

; b

=

Vj + V~ i+l l.

j - YJ.·

( montante jusante

\

2 3 4 5

N=5 ( se~Ões)

a) Esquema de trecho simples (&nico)

X X X X X

o

X X X X X X X X X X X X X X X" elemento X

-

nulo nao X

o

X X X X X b ) Matriz do sistema iterativo

j e

₌

_vi+l

-g

=

e .

f

Q.

de movimento:

tix.q + -2.g vj i j _Aj A.+l _i f

=

_ 1 . _ + ; Bj Bj i+l i ; h = _ l _ + 1 Bj Bj i+l i (III.1.12) av av ay q.v - + V. - + g. + g.I₀ +

=

O at ax ax A 1

4.g

j vi+l - - + A~ 1 _1.+ +

:!J

=

o

i

ou ainda, ÂX Yi+l - Yi + a ' + g.Ãt 1 -. (Vi+ 1 + Vi + b ' ) +

4.g

( 2 _{vi+l -} V.2 _{i + e} ' _{• vi+l +} d' _• V _{i + e} ') ₊ ÂX + - . (Si+l +Si+ f') + 2 [lx.q

2.g

(III.1.13)

Aqui também, a', b', e', d', e' sao constantes dadas por:

;

e'= 2

vi+i

=e+

b ;

e'

= • 2 (Vi+l) (V~) _i 2 = v1+1 vj g' = + i Aj Aj i+l i b b' = - (VÍ+l +vi)= - b d

'= -

2 V~

=

e - b i •

e

f 1 = s1+1 ₊ si - 4 (III.1.14)

.

' So

Os termos Si e Si+l podem ser expressos em função de Y e V através da fórmula de Manning ou

lar:

simi

=

onde C

=

! ,

n

=

coeficiente de Manning e

r

n

= perimetro molhado, função de Yi.

As equaçoes (III.1.11) e (III.1.13) funções de Yi, Vi, Yi+l' Vi+l' podendo ser respectivamente por

conforme foi indicado em (III.1.6).

(III.1.15)

sao, portanto, representadas