SIMULAÇÃO EM PROMODEL AULA 1

(1)

1

© UNESP 6 Agosto 2008

Autor: Anibal Tavares de Azevedo

Limeira, 27 de Novembro 2013

SIMULAÇÃO EM PROMODEL

AULA 1

2

Variáveis Aleatórias

Demanda

Como determinar a demanda de um determinado produto? Responder esta pergunta é importante para:

•Dimensionar o número de peças a serem pedidas;

•Determinar a compra ou não de maquinário;

•Expansão unidade existente ou construção de nova

(2)

3

Cadeias de Markov

Em várias situações é interessante saber como uma variável aleatória muda ao longo do tempo. Por exemplo:

(1) O preço de uma ação na bolsa de valores;

(2) A demanda de energia elétrica (ou de um outro produto qualquer);

Em particular será estudado um processo estocástico denominado Cadeias de Markov.

Valor de ação Demanda de energia Balança Comercial

4

Cadeias de Markov

Definição de Processo Estocástico:

Suponha que uma determinada característica de um sistema é observada em pontos discretos do tempo cujos índices são 0,1,2,...).

Seja X_t o valor que a característica do sistema assume no tempo t. Então, na maioria das situações,

X_t não é conhecida com certeza antes do tempo t e deve ser vista como uma variável aleatória.

Um processo estocástico discreto no tempo é uma descrição da relação entre as variáveis X₀,X₁,X₂,.... Exemplos de processos estocásticos são ilustrados a seguir.

X

₀

X

₁

X

₃

(3)

5

Cadeias de Markov

X

₀

A ruína do apostador

X

₁

X

₁

Perde (1-p)

Ganha (p)

•••

X

_t

Fim de jogo

X

_t

6

Cadeias de Markov

Exemplo 1: A ruína do apostador

Suponha que um jogo no qual o saldo inicial, no tempo 0, é de R$2. Nos tempos 1, 2,..., I é realizado o jogo tal que em cada tempo I é apostado R$1. Há uma probabilidade p de se ganhar o jogo e (p-1) de se perder. O objetivo é aumentar o capital para R$4 e se isto ocorrer o jogo termina. Outra forma de terminar

o jogo é se o capital for reduzido a R$0. Define-se

(4)

7

Cadeias de Markov

Exercício 1: A ruína do apostador

Quais são os possíveis estados deste jogo?

8

Cadeias de Markov

Exercício 1: A ruína do apostador

Quais são os possíveis estados deste jogo?

(5)

9

Definição de Cadeia de Markov:

Um tipo especial de processo estocástico discreto no tempo é denominado de Cadeia de Markov. Assumindo que em qualquer instante de tempo o processo estocástico pode estar em um dos seguintes estados finitos indexados 1,2,..., s.

Um processo estocástico discreto no tempo é uma

Cadeia de Markov se, para t = 0, 1, 2, ..., e em todos os estados:

P(X_t+1 = i_t+1|X_t = i_t, X_t-1 = i_t-1, ..., X₁ = i₁, X₀ = i₀)

= P(X_t+1 = i_t+1|X_t = i_t) (1)

Cadeias de Markov

A equação (1) diz que a função de distribuição de probabilidade do estado no instante t+1 depende do estado no tempo t(it) e não depende dos estados da

cadeia percorridos para até se atingir it no tempo t.

10

Portanto, no estudo de Cadeias de Markov é suposto que para todos os estados i e j e todos os intervalos de tempo t:

P(X_t+1 = it+1|Xt = it)= pij (2)

Cadeias de Markov

onde pij é a probabilidade de que o sistema no estado i no tempo t esteja no estado j no tempo t+1. Se no próximo período o sistema se move do estado i para o estado j, então, é dito que ocorreu um transição de i para j. Assim, os pij´s são chamados de

(6)

11

No estudo de Cadeias de Markov é necessário definir q_i que é a probabilidade que a cadeia esteja no estado i no tempo 0; ou seja, P(X₀ = i)= q_i.

Cadeias de Markov

O vetor q = [q1 q2 ... qs] é chamado de função de distribuição de probabilidade inicial para a Cadeia de Markov.

Na maioria das aplicações as probabilidades de transição são dadas por uma matriz P de transição de probabilidade de tamanho s x s.













=

ss s s s s

p

P

L

M

O

M

L

2 1 2 22 21 1 12 11 12

Cadeias de Markov













=

ss s s s s

p

P

L

M

O

M

L

2 1 2 22 21 1 12 11

1

2 s

Estado

2 s

Probabilidade de sair de i (=1)

em t e ir para j (=2) em t+1.

∑

₌₁

∑

= + =

=

s j s j ij t

t

j

X

i

p

X

P

1 1

1

|

)

1 (

(7)

13

Cadeias de Markov

Representação Gráfica:

Uma matriz de transição pode ser representada por um

grafo no qual um nó representa o estado e o arco

(i,j) representa a probabilidade de transição p_ij.

i

j

p

_ij

₁

2

3

4 p

₁₁

p

₁₂

p

₁₃

p

14

Cadeias de Markov

X

₀

A ruína do apostador

X

₁

X

₁

Perde (1-p)

Ganha (p)

•••

X

_t

Fim de jogo

X

_t

Exercício 2:

(8)

15













−

=

1

0

1

0

1

0

1

0

1 p

p

P

Cadeias de Markov

0

1

3 ∑

∑

₌₁

∑

= + =

=

s j s j ij t

t

j

X

i

p

X

P

1 1

1

|

)

1 (

2

4

0

1

2

3

4

Exercício 2:

Encontrar a matriz P e o grafo deste problema.

16

Cadeias de Markov

Exercício 2:

(9)

17

Simulação - Passeio Aleatório 1D

+1

-1

O passeio aleatório é a formalização matemática de um

caminho que é construído por meio de uma sucessão de

passos aleatórios. Pode ser associado a uma cadeia de

Markov !!

p =1/2

18

Simulação - Passeio Aleatório 2D

(10)

19

Simulação em Sala de Aula

Neste livro o protagonista resolve

tomar decisões empregando o

resultado da jogada de um dado !

20

Cadeias de Markov

Exemplo: Consumo de Refrigerantes

Suponha que indústria produza apenas dois refrigerantes. Supondo que uma pessoa comprou o refrigerante 1, existe um probabilidade de 90% a próxima compra seja do mesmo. Se ela comprou o refrigerante 2, então,

a chance de comprar o mesmo de novo é de 80%.

××××

1

2

(1) Se a pessoa consome o refrigerante 2, qual a probabilidade de que ela compre o refrigerante 1 após

duas compras a partir de agora?

(2) Se a pessoa consome o refrigerante 1, qual a probabilidade de que ela compre o refrigerante 1 na

(11)

21

Cadeias de Markov

Resolução: As compras de cada pessoa podem ser representadas por uma Cadeia de Markov cujos estados

X_t no tempo t representam o último refrigerante comprado, tal que, X₀ é o refrigerante comprado agora e X_n é o refrigerante comprado no tempo, futuro, n.

1

2 











=

8 .

0

2 .

0

1 .

0

9 .

0 P

1

2

1

0.9

0.1

0.2

0.8

22

Cadeias de Markov

O comportamento das probabilidades de transição após

n-passos com n crescente é como dado a seguir:

(12)

23

Cadeias de Markov

Para n grande o suficiente tanto P₁₁(n) quanto P₂₁(n)

são constantes e tendem ao valor 0.67. Isto significa que, para n grande, não importa o estado inicial a chance de uma pessoa se tornar comprador do

refrigerante 1 é de 67%, e portanto, do 2 é de 33%.

n passos

24

TEORIA DE FILAS

1

0

2

3

4

5 Estado do Sistema: número de clientes

Não há clientes

1 em atendimento

(13)

25

TEORIA DE FILAS

Processos de Nascimento-Morte:

Seja o número de pessoas presentes em uma fila no tempo t o estado do sistema no tempo t. Para t=0,o estado do sistema será igual ao número de pessoas presentes na fila. É de grande interesse determinar

P_ij(t) que fornece a probabilidade de que j pessoas estejam presentes no sistema no tempo t, dado que no tempo 0, i pessoas estavam presentes. Observe que determinar P_ij(t) é análogo a obter a probabilidade de transição em n passos P_ij(n) de uma Cadeia de Markov (probabilidade de que em n passos o sistema com estado inicial i termine no estado j). Conforme n

torna-se suficientemente grande P_ij(t) se aproxima de

ππππj, denominada de probabilidade de estado

estacionário do estado j, que independe do estado inicial i.

26

Para problemas de filas ππππj pode ser entendido como:

TEORIA DE FILAS

(1)A probabilidade de que existam j clientes no sistema.

Tempo t = 0

i

Tempo t

j

(14)

27

(2)A fração de tempo na qual j clientes estão no sistema.

Fração

ππππ

_i

i

Fração

ππππ

_j

j

TEORIA DE FILAS

T sistema

28

Na maioria dos modelos de filas o valor de P_ij(t)

para t pequeno depende do estado inicial i, ou seja, o número inicial de clientes. Por exemplo, para t pequeno é esperado que P_50,1(t) e P_1,1(t) sejam bastante diferentes. Porém, no estado estacionário, se existir, P_50,1(t) = P_1,1(t) = ππππ_j. O comportamento de P_ij(t) antes de atingir o estado estacionário é denominado de comportamento transiente do modelo de fila. O comportamento transiente será tratado mais a frente. Por hora, será considerado que os modelos de filas em análise estão em estado estacionário e portanto ππππj pode ser utiizado no lugar de Pij(t).

(15)

29

Um processo de Nascimento-Morte é um processo estocástico contínuo no tempo tal que o estado do sistema é um inteiro não-negativo e pode ser observado em qualquer instante de tempo e não apenas em instantes discretos de tempo. Se o processo de nascimento-morte estiver no estado j no tempo t, então, o processo é governado pelas seguintes leis:

TEORIA DE FILAS

30

TEORIA DE FILAS

Relação da Exponencial com Processos de Nascimento e Morte:

A maioria dos modelos de filas com intervalo entre chegadas com distribuição exponencial e serviço de

atendimento também exponencial podem ser modelados por processos de nascimento-morte.