Exercícios - Circuitos II - Ruth

EXERCÍCIOS DE

EXERCÍCIOS DE

CIRCUITOS ELÉTRICOS II

CIRCUITOS ELÉTRICOS II

Prof

Prof

essor

essor

a Ruth Past

a Ruth Past

ôra

ôra

Sarai

Sarai

va Leão

va Leão

Universidade Federal do Ceará

Capítulo 01

Capítulo 01

Exercícios

Exercícios

UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE TECNOLOGIA

CENTRO DE TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA CIRCUITOS ELÉTRICOS II

CIRCUITOS ELÉTRICOS II PROF

PROFaa_{:RUTH P.S. LEÃO:RUTH P.S. LEÃO}

L

L

ISTA DEISTA DE

E

E

XERCÍCIOSXERCÍCIOS

1.

1. Qual o período, a freqüência e a velocidade angular de uma onda senoidal em que 5 ciclos

Qual o período, a freqüência e a velocidade angular de uma onda senoidal em que 5 ciclos

são realizados em 12 s?

são realizados em 12 s?

−

−

O período T de uma onda senoidal é o tempo necessário para completar um ciclo

O período T de uma onda senoidal é o tempo necessário para completar um ciclo

completo da onda.

completo da onda.

55

12

12

11

c c msms c c xx

−−

−−

⇒

⇒

12

12

2,

2,44

55

 x  x

=

=

==

msms − −

Freqüência

Freqüência

33

11

11

420

420

22, 4

, 4 1100

 f  f HzHz T  T  −−

=

= =

=

==

××

−

−

Velocidade angular 

Velocidade angular 

22

 f  f

22

442200 22663388,,9944

rad ssrad ω ω

=

=

π π

=

= × =

π π 

× =

66

180

180

22663388,,994

4

rraad d ss

22663388,,9944

6600 99 110 r

0 rppm

m

π  π 

≡

≡

×

× ×

× ≅

≅ ××

2.

2. Se o pico positivo de uma onda senoidal ocorre em 1ms e o próximo pico positivo ocorre em

Se o pico positivo de uma onda senoidal ocorre em 1ms e o próximo pico positivo ocorre em

2,5ms, qual o período da onda?

2,5ms, qual o período da onda?

tt

11

=1ms

=1ms

tt

22

=2,5ms

=2,5ms

T=t

T=t

22

-t

-t

11

=1,5ms

=1,5ms

3. Se o tempo entre picos negativos de uma dada onda senoidal é 50

μ

s, qual a freqüência da

onda?

6

1

1

50

200

50 10

T s f kHz T  μ  ₋

=

⇒

=

=

=

×

4. Certa onda senoidal percorre 4 ciclos em 20 ms. Qual a freqüência da onda?

−

A freqüência de uma onda é dada pelo número de ciclos realizados em 1s.

s

1

x

s

020

,

0

c

4

−

−

⇒

200

Hz

020

,

0

4

x

=

=

5. Quantos pontos máximos têm uma onda senoidal de 60 Hz?

−

Se em um ciclo há 2 pontos máximos em 60 ciclos haverá 120 pontos máximos a

cada segundo.

6. Um gerador de 2 pares de pólos tem uma rotação de 100 rps. Determine a freqüência da

tensão gerada.

2 100 200

2

 p

 f

= ⋅ = × =

n Hz

7. Se a freqüência gerada de um gerador de quatro pólos é 60 Hz, qual a velocidade de rotação

em rpm?

120

120 60

1800

120

4

 p n f   f n rpm  p

⋅

×

=

⇒

=

=

=

8. Determine o valor eficaz de uma onda senoidal de amplitude igual a 4,5 V, e o valor médio

da onda de meio ciclo.

−

O valor eficaz de uma onda senoidal é igual ao V

 p

/

√

2.

V

182

,

3

2

5

,

4

2

V

V

_rms

=

 p

=

=

−

O valor médio de uma onda senoidal completa retificada é igual a V

med

=0,6366.V

 p

.

V

865

,

2

5

,

4

6366

,

0

V

6366

,

0

V

_med

=

⋅

 _p

=

×

=

9. Qual o valor eficaz em cada um dos seguintes casos: V

 p

=2,5 V; V

 pp

=10 V; V

med

=1,5 V?

−

Para V

 p

=2,5V

⇒

1

,

768

V

2

5

,

2

2

V

V

_rms

=

 p

=

=

−

Para V

 pp

=10V

⇒

3

,

536

V

2

2

10

2

2

V

V

_rms  pp

=

⋅

=

⋅

=

−

Para V

med

=1,5V

⇒

V

_med

=

0

,

6366

⋅

2

⋅

V

_rms

)

∴

1

,

666

V

6366

,

0

2

5

,

1

V

_rms

=

×

=

10. Calcule o valor médio de meia onda para ondas senoidais de:

V

 p

= 10 V;

V

rms

=2,3 V;

V

 pp

=60 V.

2 0

2

2

0,6366

T  med p p V V sen t dt V   T T  π 

⎛

⎞

=

_⎜

_⎟

=

⎝

⎠

∫

[ ]

0, 6366 10 6,366

med  V

=

× =

V 

[ ]

0, 6366

2

0, 6366

2 2,3 1, 035

med rms V

=

×

V

=

× × =

V 

[ ]

0, 6366

0, 6366 30 19, 098

2

 pp med  V  V

=

× =

× =

V 

11. Se uma onda senoidal A cruza o zero no sentido positivo em 15º e uma outra senóide B, de

mesma freqüência, cruza em 23º, qual o ângulo de fase entre as senóides?

−

O deslocamento angular entre as duas senóides é de (23º - 15º)=8º, estando a senóide

A adiantada em relação à senóide B.

−

Considerando a expressão geral de uma senóide em que f(t)=F

 p

.sen(

ω

t

± ϕ

), tem-se:

f 

B

(t

≡

23º) = 0

⇒ ω

t+

ϕ

=0; como

ω

t=23º

∴ ϕ

B

=-23º

Assim, as sinusóides são definidas como:

f 

A

(t)=A.sen(

ω

t – 15º) e f 

B

(t)=B.sen(

ω

t – 23º)

12. Quando o zero no sentido positivo de uma senóide ocorre em 0

o

, qual o ângulo

correspondente aos seguintes pontos?

a) pico positivo

b) zero no sentido negativo

c) pico negativo

d) fim do primeiro ciclo completo (2

π

)

Definição de f(t):

f(

ω

t

≡

0º) = 0

⇒ ω

t+

ϕ

=0

∴ϕ

=0

f(t)=A.sen(

ω

t)

a) Para f(t)=A

⇒ ω

t=

π

/2

 b) Para f(t)=0

⇒ ω

t=

π

c) Para f(t)=-A

⇒ ω

t=3

π

/2

d) Para f(t)=0

⇒ ω

t=2

π

13. Uma tensão senoidal tem um valor de pico de 20 V. Qual o valor instantâneo da onda a 65º

de seu cruzamento por zero?

14. Determine as expressões das senóides A, B e C da figura abaixo e o valor instantâneo para

um ângulo instantâneo

ω

t de 90º.

Senóide A: f(t)=5.sen(

ω

t+45º)

⇒

f(t)=5.sen(90

o

+ 45

o

)=5x0,707=3,536

Senóide B : f(t)=7,5.sen(

ω

t)

⇒

f(t)=7,5.sen(90º)=7,5

16. Determine o período, freqüência, e razão cíclica para o trem de pulsos abaixo.

T=10

μ

s

f=1/T=1/10=0,1Hz

d=(t

w

/T).100=(1/10).100=10%

17. Determine o valor médio de cada uma das formas de onda abaixo.

V

med

= base + d.(amplitude)

V

2

,

0

2

10

1

0

V

_med

=

+

⋅

=

V

5

,

3

5

2

1

1

V

_med

=

+

⋅

=

V

0

2

20

10

1

V

_med

=

−

+

⋅

=

18. Qual a harmônica de segunda ordem de uma freqüência fundamental de 1kHz?

−

f 

2

=2x f 

1

= 2x1kHz = 2kHz

19. Qual a freqüência fundamental de uma onda quadrada com período igual a 10

μ

s?

A freqüência fundamental e dada por: f 

1

=1/10=0,1Hz

20. Através da série de Fourier determine as componentes de freqüência presentes em uma onda

quadrada.

1μs 10μs 1ms 10ms 2 0 V(V) 1 2 3 4 5 6 1 6 0 V(V) 0 _{10 20 30 40 50 60} -1 +1 V(V) f(t) t V -V

Definição da onda de tensão no tempo:

ν

(t) = +V

0

≤

t

≤

T/2

ν

(t) = -V

T/2

<

t

≤

T

Os coeficientes a

0

, a

h

, b

h

, c

h

, e

ϕ

h

serão obtidos:

( )

0

2

2

2

2

2

2

2 2 0 2 0 ₂ 0 0

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

 ⎠

 ⎞

⎜

⎝ 

⎛  −

−

=

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

₋

=

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

₊

₋

=

=

∫

∫

∫

T 

T 

T 

T 

V 

t 

t 

T 

V 

Vdt 

Vdt 

T 

dt 

t 

 f 

T 

a

T  T  T  T  _T  T  T 

Como a onda de tensão quadrada e simétrica em relação ao tempo, seu valor médio é zero e, por 

conseguinte, a

0

é nulo.

( ) ( )

(

)

(

)

( )

( ) ( )

[

]

[ ]

0

0

h

h

V

h

sen

2

h

sen

0

sen

h

sen

h

V

t

T

2

h

sen

T

2

h

1

t

T

2

h

sen

T

2

h

1

T

V

2

dt

t

h

cos

V

dt

t

h

cos

V

T

2

dt

t

h

cos

t

f 

T

2

a

T 2 T 2 T 0 2 T 0 T 2 T 1 1 T 0 1 h

∀

=

=

+

−

−

=

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

⎟

 ⎠

 ⎞

⎜

⎝ 

⎛ 

−

⎟

 ⎠

 ⎞

⎜

⎝ 

⎛ 

=

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

₋

=

=

∫

∫

∫

π  π  π  π  π  π  π  π  π  ω  ω  ω 

( ) ( )

( )

( )

( )

( ) ( )

[

]

( )

[

]

" "

,

8

,

6

,

4

,

2

h

,

0

,

7

,

5

,

3

,

1

h

,

h

V

4

1

1

h

cos

2

h

V

h

cos

2

h

cos

0

cos

h

cos

h

V

t

T

2

h

cos

2

h

T

t

T

2

h

cos

2

h

T

T

V

2

dt

t

h

sen

dt

t

h

sen

T

V

2

dt

t

h

sen

t

f 

T

2

 b

T 2 T 2 T 0 2 T 0 T 2 T 1 1 T 0 1 h

=

∀

=

=

∀

=

+

+

−

=

−

+

+

−

=

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

⎟

 ⎠

 ⎞

⎜

⎝ 

⎛ 

+

⎟

 ⎠

 ⎞

⎜

⎝ 

⎛ 

−

=

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

₋

=

=

∫

∫

∫

π  π  π  π  π  π  π  π  π  π  π  ω  ω  ω 

Portanto, a função no domínio das freqüências é:

(

)

sen

(

h

)

t

,

h

{

1,3,5,7,

"

}

h

V

4

t

f 

=

∑

_h∞₌₁ ω ₁

∈

π 

A função f(t) é uma função senoidal, portanto ímpar (f(x)=-f(-x)) e como tal os coeficientes do

termo co-senoidal são nulos. Por tratar-se de uma onda quadrada as componentes de freqüência

são ímpares.

Para uma função de onda quadrada par, tem-se:

A onda de tensão é definida como:

ν

(t) = +V

- T/4

≤

t

≤

T/4

ν

(t) = -V

T/4

<

t

≤

3T/4

Como visto a função é simétrica em relação ao eixo do tempo com a

0

=0.

O coeficiente a

h

é dado por:

( ) ( )

(

)

(

)

{

1

,

3

,

"

}

3

2

3

2

3

2

2

3

2

2

2

2

1

2

2

1

2

cos

cos

2

cos

2

4 3 4 4 4 4 4 4 3 4 1 1 0 1

=

∀

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

 ⎠

 ⎞

⎜

⎝ 

⎛ 

−

⎟

 ⎠

 ⎞

⎜

⎝ 

⎛ 

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

 ⎠

 ⎞

⎜

⎝ 

⎛ 

+

⎟

 ⎠

 ⎞

⎜

⎝ 

⎛ 

−

⎟

 ⎠

 ⎞

⎜

⎝ 

⎛ 

+

⎟

 ⎠

 ⎞

⎜

⎝ 

⎛ 

=

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

⎟

 ⎠

 ⎞

⎜

⎝ 

⎛ 

−

⎟

 ⎠

 ⎞

⎜

⎝ 

⎛ 

=

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

₋

=

=

− −

∫

∫

∫

h

h

V 

h

sen

h

sen

h

V 

h

sen

h

sen

h

sen

h

sen

h

V 

t 

T 

h

sen

T 

h

t 

T 

h

sen

T 

h

T 

V 

dt 

t 

h

V 

dt 

t 

h

V 

T 

dt 

t 

h

t 

 f 

T 

a

T  T  T  T  T  T  T  T  T  h π  π  π  π  π  π  π  π  π  π  π  π  π  ω  ω  ω 

O coeficiente b

h

e dado por:

t V

f(t)

-V

( ) ( )

(

)

(

)

h

h

h

h

V 

h

h

h

h

h

V 

t 

T 

h

h

T 

t 

T 

h

h

T 

T 

V 

dt 

t 

h

sen

dt 

t 

h

sen

T 

V 

dt 

t 

h

sen

t 

 f 

T 

T  T  T  T  T  T  T  T  T  h

0

2

cos

2

3

cos

2

cos

2

3

cos

2

cos

2

cos

2

cos

2

2

cos

2

2

2

2

 b

4 3 4 4 4 4 4 4 3 4 1 1 0 1

∀

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

 ⎠

 ⎞

⎜

⎝ 

⎛ 

−

⎟

 ⎠

 ⎞

⎜

⎝ 

⎛ 

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

 ⎠

 ⎞

⎜

⎝ 

⎛ 

−

⎟

 ⎠

 ⎞

⎜

⎝ 

⎛ 

+

⎟

 ⎠

 ⎞

⎜

⎝ 

⎛ 

+

⎟

 ⎠

 ⎞

⎜

⎝ 

⎛ 

−

=

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

⎟

 ⎠

 ⎞

⎜

⎝ 

⎛ 

+

⎟

 ⎠

 ⎞

⎜

⎝ 

⎛ 

−

=

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

₋

=

=

− −

∫

∫

∫

π  π  π  π  π  π  π  π  π  π  π  π  ω  ω  ω 

Portanto, função no domínio da freqüência pode ser escrita como:

(

)

cos

(

)

,

h

{

1,3,5,7,

"

}

4

1 1

∈

=

∑

∞₌

h

t 

h

V 

t 

 f 

h ω  π 

 Note que em sendo uma função par, somente o termo em co-seno existe e por se tratar de uma

onda quadrada apenas as componentes ímpares estão presentes.

 Na forma trigonométrica compacta, tem-se:

0

2

a

c

0 0

=

=

"

,

7

,

5

,

3

,

1

h

,

h

V

4

 b

a

c

2 h 2 h h

=

+

=

=

π 

Ângulo da co-senóide:

D

90

a

 b

tg

h h 1 h

⎟⎟

=

−

 ⎠

 ⎞

⎜⎜

⎝ 

⎛ 

−

=

− ϕ 

Ângulo da senóide:

D D

00

 b

 b

aa

tg

tg

hh hh 11 hh

⎟⎟⎟⎟

==

 ⎠

 ⎠

 ⎞

 ⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝ 

⎝ 

⎛ 

⎛ 

==

−− ϕ  ϕ 

Assim tem-se:

Assim tem-se:

( ( ))

_{{ { }}}

sen

sen

( (

hh

tt

))

hh

V

V

44

tt

_{hh 11,,33,,55,,} ω ω ₁₁ π  π  υ  υ 

∑

∑

∞ ∞ ∈ ∈

==

" "

ou

ou

( ( ))

_{{ { }}}

( (

DD

))

" "

90

90

tt

hh

cos

cos

hh

V

V

44

tt

==

∑

∑

_hh∞∞_{∈∈11,,33,,55,,} ω ω ₁₁

−−

π  π  υ  υ 

Capítulo 02

Capítulo 02

Exercícios

Exercícios

UNIVERSIDA

UNIVERSIDADE FEDERAL DE FEDERAL DO CEARÁDO CEARÁ CENTRO DE TECNOLOGIA

CENTRO DE TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA CIRCUITOS ELÉTRICOS II

CIRCUITOS ELÉTRICOS II PROF

PROFaa_{:RUTH P.S. LEÃO:RUTH P.S. LEÃO}

L

L

ISTA DE

ISTA DE

E

E

XERCÍCIOS

XERCÍCIOS

1.

1. Converter os seguintes números complexos da

Converter os seguintes números complexos da forma retangular para a forma

forma retangular para a forma

 polar e indicar no pla

 polar e indicar no plano complexo o q

no complexo o quadrante a que pert

uadrante a que pertencem.

encem.

(a)

(a) A=8+j6

A=8+j6

(b)

(b) A=-7+j10

A=-7+j10

(c)

(c) A=-12-j18

A=-12-j18

(d)

(d) A=10-j5

A=10-j5

|| A

 A|| =

=

xx yy

_AA22

++

_AA22

1

1

oo

e 4

e 4

oo

quadrantes

quadrantes

θ

θ

= arctg (

= arctg (

xx

yy

A A A A ± ±

))

2

2

oo

e 3

e 3

oo

quadrantes

quadrantes

θ

θ

=

=

±

±

180º

180º

∓∓

tg

tg

-1-1

((

xx

yy

A A A A

₎₎

6644 3366 1100

 A  A = = + + ==

( ( ))

11

88

_53,13

_53,13

66

tg tg θ  θ _{= =} −− ₌₌ 

4499 110000 1122,,2211

 A  A = = + + ==

( ( ))

11

10

10

118800

tgtg

₇₇

112255

θ  θ _{= =}   _{− −} −− ₌₌ 

114444 332244 2211,,6633

 A  A = = + + == 

2255 110000 1111,,1188

 A  A = = + + == yyAA xxAA θ θ |A| |A| yyAA |A| |A| -x -xAA φ φ θθ=180=180oo--φφ (a) 1º quadrante

(a) 1º quadrante (b) 2º quadrante(b) 2º quadrante

-y -yAA |A| |A| -x -xAA φ φ θ θ=-180=-180oo++φφ -y -yAA xxAA --θθ |A| |A| 3º quadrante 3º quadrante 4º quadrante 4º quadrante

( )

1

18

180

tg

₁₂

236,31

θ _{= − −} − _{= −} 

( )

1

5

_26,57

10

tg θ _{= −} − _{= −} 

2. Converter as seguintes quantidades polares para a forma retangular.

(a) 10

∠

30º

(b) 200

∠

-45º

(c) 4

∠

135º

3. Calcule as seguintes operações.

(a) (-10-j20)/(10

∠

30º)

(b) (8+j6).(10-j5)

(c) (100

∠

50º)/(25

∠

20º)

(d) (10

∠

45º).(5

∠

20º)

4. Três fontes de tensão senoidais de mesma freqüência angular são conectadas

em série como mostra a Figura. Determine a tensão e a corrente total expressas

na forma polar. A resistência é uma grandeza com ângulo zero.

V

T

=2,5

∠

0

o

+ 4,2

∠

30

o

+ 5,1

∠

-45

o

=

=(2,5+j0) + (3,64+j2,1) + (3,61-j3,61) = 9,74-j1,51=9,86

∠

-8,79

o

V

mA

79

,

8

97

,

1

8

,

8

87

,

9

10

5

1

V

R 

1

I

_{T 3}   − ∠ = − ∠ × = =

~

~

~

5k 

Ω

2,5

∠

0

o

V

4,2

∠

30

o

V

5,1

∠

-45

o

V

Capítulo 03

UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA CIRCUITOS ELÉTRICOS II

PROFa_{: RUTH P.S. LEÃO}

L

ISTA DE

E

XERCÍCIOS

1. Determine a corrente rms total e em cada componente L

1

, L

2

e L

3

na Figura 1.

Expresse a corrente na forma polar.

A reatância total:

6 3 2 3 2 1

63

,

334

10

40

20

40

20

50

⎟

=

×

−

 ⎠

 ⎞

⎜

⎝ 

⎛ 

+

⋅

+

⋅

=

⎟⎟

 ⎠

 ⎞

⎜⎜

⎝ 

⎛ 

+

⋅

+

⋅

=

ω   jω  jω   L  L  L  L  L  j  X _T 

Ω

=

 j m  X _T 

994

,

34

A corrente total:

₁

10 0

₃

994,34 10

90

F  T L T  V   I I   jX  −

∠

=

=

=

×

∠

D D

A

90

06

,

10

I

I

_T

=

_L1

=

∠

−

D

A corrente em L

2

:

(

)

 ⎠

⎟

 ⎞

⎜

⎝ 

⎛ 

+

−

∠

=

+

⋅

=

40

20

40

90

06

,

10

3 2 3 2 D  L  L  L  I   I  _{L T} 

A

90

71

,

6

I

_L2

=

∠

−

D

A corrente em L

3

:

10

,

06

90

D

6

,

71

90

D 2 3

=

T 

−

L

=

∠

−

−

∠

−

 L  I  I   I 

A

90

35

,

3

I

_L3

=

∠

−

D

Diagrama fasorial:

Qual a tensão sobre L

1

e sobre L

2

//L

3

?

⎟

⎟

⎟

⎟

 ⎠

 ⎞

⎜

⎜

⎜

⎜

⎝ 

⎛ 

⎟

 ⎠

 ⎞

⎜

⎝ 

⎛ 

+

×

+

⋅

∠

=

⎟⎟

 ⎠

 ⎞

⎜⎜

⎝ 

⎛ 

+

⋅

+

⋅

=

40

20

40

20

50

50

0

10

3 2 3 2 1 1 1 D  L  L  L  L  L  L V  V  _{L F} 

V

0

1

,

2

V

_L1

=

∠

D D D

2

,

1

0

0

10

1 3 // 2  L

=

F 

−

L

=

∠

−

∠

 L V  V  V 

V

_L2//L3

=

7

,

9

∠

0

D

V

Ou

(

2

2

,

5

10

3

50

10

6

90

)

10

,

06

90

2

,

108

0

V

1 1 1 D D D

⋅

∠

−

=

∠

∠

⋅

⋅

⋅

⋅

=

⋅

=

− π   L  L  L  jX  I  V 

(

2

2

,

5

10

3

40

10

6

90

)

3

,

35

90

7

,

9

0

V

3 3 3 D D D

⋅

∠

−

=

∠

∠

⋅

⋅

⋅

⋅

=

⋅

=

− π   L  L  L  jX  I  V 

2. Determine a potência reativa do circuito da Figura 1.

Potência total:

₌

_⋅

2

₌

₀

_,

₉₉₄

_∠

₉₀

D

_⋅

(

₁₀

_,

₀₆

)

2 T  T  T   jX  I  S  S _T 

=

j

100,63

[ ]

var  

ou

[ ]

*

_{10 0 10, 06 90}

_{100, 6 90}

_{100, 6}

T F T  S

= ⋅ = ∠ ⋅

V I D

∠ =

D

∠ =

D j var  

3. Suponha que você dispõe de um indutor de 12 mH, sendo este o menor valor 

disponível. Você necessita de uma indutância de 8 mH. Que valor pode ser 

usado em paralelo a fim de obter 8 mH?

x x T

_L

_L

L

L

L

+

⋅

=

12

8

12

8

−

×

−

=

−

⋅

−

=

 L  L  L  L  L T  T   x

L

x

=

24

mH

4. Determine a reatância total de cada circuito da Figura 2 quando uma tensão com

uma freqüência de 5 kHz é aplicada aos terminais de cada circuito.

 No circuito (a) o núcleo da bobina é de ferro e no circuito (b) de ar. Como o ferro

apresenta menor relutância à passagem de fluxo, e em sendo a indutância L=

φ

/i,

implica que a indutância em (a) é maior que em (b).

 No circuito (a):

⎟

 ⎠

 ⎞

⎜

⎝ 

⎛  +

⋅

⋅

⋅

=

⎟⎟

 ⎠

 ⎞

⎜⎜

⎝ 

⎛ 

+

⋅

+

⋅

=

15

50

1

10

5

2

3 3 2 3 2 1 π  ω   L  L  L  L  L  X _T 

X

_T

=

136

,

1

k 

Ω

 No circuito (b):

(

)

3 3 3 2 1 3 2 1

₁₀

200

100

100

10

5

2

_⋅

−

⎟

 ⎠

 ⎞

⎜

⎝ 

⎛ 

⋅

⋅

⋅

⋅

=

+

+

+

⋅

=

ω  π   L  L  L  L  L  L  X _T   X _T 

=

1,57

k 

Ω

Qual a reatância equivalente do arranjo (b) usando os componentes de (a)?

(

)

(

)

1 2 3 3 1 2 3

1 10 5

2 5 10

29, 452

k  

1 10 5

T   L L L  X   L L L ω π 

⎛

⎞

⋅

+

⋅

+

=

=

⋅

⋅

⋅

_⎜

_⎟

=

Ω

+

+

_⎝

+

+

_⎠

5. Quantas espiras são necessárias para produzir 30 mH com uma bobina enrolada

em um núcleo cilíndrico de área transversal de 10x10

-5

m

2

e comprimento de

0,05m? O núcleo tem uma permeabilidade de 1,2x10

-6

.

l

A

 N

L

=

2

⋅

μ 

⋅

₆3 2₅

10

10

10

2

,

1

10

5

10

30

− − − −

×

×

×

×

×

×

=

⋅

⋅

=

 A l  L  N  μ 

voltas

3535

 N

=

6. Uma bateria de 12 V é conectada aos terminais de uma bobina com resistência

de enrolamento igual a 12

Ω

e indutância de 100 mH. Qual é a corrente na

 bobina? Qual a tensão nos terminais da bobina?

A

1

R 

V

I

_F

=

=

Após a energização, a reatância da bobina é nula, o que significa que toda a

tensão está aplicada sobre o resistor.

7. Qual a energia armazenada pela bobina da questão 6 e quanto tempo leva para

alcançar esta energia?

3 2

₁₀₀

₁₀

2

1

2

1

_⋅

₌

_×

_×

−

=

 L  I _F  W 

W

=

50

mJ

O tempo que a bobina leva para atingir 50mJ é de:

12

10

100

5

5

5

3 −

×

×

=

=

=

 R  L t  τ 

t

=

41

,

67

ms

8.  Na Figura 3 (a), quanto é v

L

no instante que a chave CH1 é fechada? E quanto é

v

L

após 5

τ

? Na Figura 3(b), quanto é v

L

no instante que CH1 abre e CH2 fecha?

Circuito (a):

 No instante que CH1 é fechada a tensão é aplicada sobre R e L, no entanto a

corrente é nula não havendo queda de tensão sobre R e assim, toda tensão da fonte

é aplicada sobre o indutor: v

L

=25V com a mesma polaridade da fonte para opor-se

à mudança da condição de corrente nula. Após 5

τ

o indutor é um curto-circuito e

v

L

=0V.

Circuito (b):

Com CH1 fechada e CH2 aberta, a corrente de estado permanente que circula

através de R1 e L é dada por:

 A  R V   I 

2

,

08

12

25

1

=

=

=

Quando CH1 é aberta, uma tensão induzida é criada nos terminais de L de modo a

manter a corrente de 2,08 circulando por um instante. Neste caso, a tensão

v

L

=R 

2

.I=100.2,08=208V. O indutor opera como uma fonte de corrente. Passados

5

τ

após a abertura de CH1 e fechamento de CH2, a corrente no indutor decai a zero

e v

L

=0V.

9. Em cada circuito da Figura 4, que freqüência é necessária para produzir uma

reatância X

C

de 100

Ω

.

Circuito (a):

C

f 

2

1

X

_C

⋅

⋅

=

π 

2

C

X

_C

1

f 

⋅

⋅

=

π 

kHz

88

,

33

f 

=

Circuito (b):

C

_T

=

C

₁

+

C

₂ C T

X

C

2

1

f 

⋅

⋅

=

π 

Hz

69

,

63

f 

=

Circuito (c):

2 1 2 1 T

C

C

C

C

C

+

⋅

=

C T

X

C

2

1

f 

⋅

⋅

=

π 

kHz

18

,

3

f 

=

10.Determine o valor de C

1

na Figura 5.

V

0

3

90

I

90

X

V

_C3

=

_C3

∠

−

D

⋅

_XC3

∠

D

=

∠

D

kHz

54

,

141

X

C

2

1

f 

3 C 3

=

⋅

⋅

=

π 

mA

90

33

,

5

90

X

V

I

2 C 3 C 2 C D D

=

∠

−

∠

=

mA

90

33

,

9

I

I

I

_C1

=

_C2

+

_C3

=

∠

D

V

0

2

I

90

X

V

_C1

=

_C1

∠

−

D

⋅

_C1

=

∠

D

Ω

−

∠

=

=

375

,

23

90

D

I

V

X

1 C 1 C 1 C

F

003

,

0

X

f 

2

1

C

1 C 1 μ  π 

=

⋅

⋅

=

Capítulo 04

UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA CIRCUITOS ELÉTRICOS II

PROFa_{: RUTH P.S. LEÃO}

L

ISTA DE

E

XERCÍCIOS

1. Determine a tensão nos terminais do capacitor na forma polar e a corrente no

capacitor. O circuito visto pela fonte é capacitivo ou indutivo? Qual o valor da

corrente total? Determine o fator de potência de deslocamento do circuito. Qual

a potência entregue pela fonte e qual a potência absorvida pelo indutor e

fornecida pelo capacitor?

Figura 1.

a) Tensão nos terminais do capacitor.

(

)

2 2 1 1 2

//

//

C  C F F   L C T 

 R

X 

Z 

V

V

V 

 R

jX

R

X

Z 

⎛

⎞

⎛

⎞

=

_⎜

_⎜

_⎟

_⎟

⋅

=

_⎜

_⎟

⋅

+

+

_⎝

_⎠

⎝

⎠

[ ]

Ω

+

=

+

=

₁

1000

500

1

 R

 jX 

j

 Z 

 _L

[ ]

S 

 j

 j

 X 

 j

 R

Y 

C  2 2 3 2 2

10

2

,

0

10

1

,

0

500

1

10

1

1

1

1

− −

₊

_×

×

=

+

×

=

+

=

~

R 1 R 2 VF=50∠0o XL 1k Ω 500Ω 1k Ω ₅₀₀XC_Ω

⇒

₍

(

₎

)

( ) ( )

(

)

₌

₋

_{[ ]}

_Ω

×

−

×

=

+

−

×

=

×

+

=

=

− −

400

200

10

5

2

,

0

1

,

0

10

2

,

0

1

,

0

2

,

0

1

,

0

10

10

2

,

0

1

,

0

1

1

2 2 2 2 2 2 2 2

 j

 j

 j

 j

Y 

 Z 

ou simplesmente

[ ]

Ω

−

=

−

∠

=

−

∠

−

∠

×

=

−

×

−

∠

×

×

=

−

⋅

−

=

400

03

,

200

43

,

63

22

,

447

57

,

26

03

,

1118

90

10

500

500

10

1

90

500

10

1

3 3 3 2 2 2

 j

 j

 jX 

 R

 jX 

 R

 Z 

C  C  D D D D

θ 

∠

=

+

=

_{1 2 T} T

Z

Z

Z

Z

(

)

(

)

[ ]

1000

500

200

400

1200

100

1204,16 4,76

T 

 Z

=

+

j

+ −

j

= +

j

=

∠

D

Ω

Então

[ ]

V  V   Z   Z  V  _F  T  C  D D D D

19

,

68

57

,

18

0

50

76

,

4

16

,

1204

43

,

63

22

,

447

2

_⋅

_∠

₌

_∠

₋

⎟⎟

 ⎠

 ⎞

⎜⎜

⎝ 

⎛ 

∠

−

∠

=

⋅

⎟⎟

 ⎠

 ⎞

⎜⎜

⎝ 

⎛ 

=

A corrente no capacitor 

[ ]

mA

 X 

V 

 I 

C  C  C  D D D D

37

,

14

21

,

81

90

500

19

,

68

57

,

18

90

∠

−

=

∠

−

∠

=

−

∠

=

VF VC IC -68,19o 21,81o

Usando o circuito equivalente de Thévenin para o cálculo da tensão e corrente em

C, tem-se que o circuito da Figura 1 será decomposto em circuito a ser 

equivalenciado e a carga.

O circuito a ser equivalenciado e a carga é como mostrado na Figura 3.

Figura 3. Circuito a ser equivalenciado e sua carga.

A tensão de Thévenin que é a tensão de circuito aberto é dada por:

[ ]

2 1 2

1000

50 0

24, 25

14,04

2000

500

TH F   L  R V V   R R jX  V   j

⎛

⎞

=

_⎜

_⎟

⋅

+ +

⎝

⎠

⎛

⎞

=

_⎜

_⎟

⋅ ∠ =

∠ −

+

⎝

⎠

D D

A corrente de curto circuito nos terminais do circuito a ser equivalenciado é dada

 por:

[ ]

1

50 0

0,045

26,57

1000

500

F  cc  L V   I A  R jX j

∠

=

=

=

∠ −

+

+

D D

A impedância de Thévenin é obtida por:

[ ]

24, 25

14,04

542,25 12,53

0,045

26,57

TH  TH  cc V   Z   I 

∠ −

=

=

=

∠

Ω

∠ −

D D D

A impedância de Thévenin poderia ainda ser obtida considerando a impedância

equivalente do circuito da Figura 3 (a), vista dos terminais abertos, com as fontes

independentes desativadas, substituídas por suas impedâncias internas.

1k Ω

~

R 1 R 2 VF=50∠0o XL 1k Ω 500Ω

(a)

XC 500Ω

Carga

(b)

Figura 4. Circuito para cálculo da impedância de Thévenin.

(

)

[ ]

1 2 1 2

542,25 12,53

 L TH   L  R jX R  Z   R R jX 

+

⋅

=

=

∠

Ω

+ +

D

c.q.d.

O circuito de Thévenin constitui-se em uma fonte em série com uma impedância.

Assim, o circuito de Thévenin alimentará a carga X

C

, como mostra a Figura 5.

Figura 5.

A tensão sobre C é dada por:

[ ]

500

90

24, 25

14,04

542, 25 12,53

500

90

18,57

68, 20

C  C TH  TH C   jX  V V   Z jX  V 

⎛

−

⎞

=

_⎜

_⎟

⋅

−

⎝

⎠

⎛

∠ −

⎞

=

_⎜

_⎟

⋅

∠ −

∠

+ ∠ −

⎝

⎠

=

∠ −

D D D D D

c.q.d.

A corrente em X

C

é obtida por:

[ ]

24, 25

14,04

37,14 21,8

542, 25 12,53

500

90

TH  C  TH C  V   I mA  Z jX 

∠ −

=

=

=

∠

−

∠

+

∠ −

D D D D

c.q.d.

~

R TH VTH XTH XC 500Ω

Carga

1k Ω R 2 500Ω R 1 XL 1k Ω

 b) O circuito visto

 b) O circuito visto pela fonte apresenta

pela fonte apresenta impedância

impedância

==

∠

∠

DD

[ [ ]]

Ω

Ω

76

76

,,

44

16

16

,,

1204

1204

T  T   Z   Z 

, sendo,

, sendo,

 portanto de natur

 portanto de natureza indutiva.

eza indutiva.

c) A corrente total entregue

c) A corrente total entregue pela fonte.

pela fonte.

[ [ ]]

mA

mA

 Z 

 Z 

V 

V 

 I 

 I 

T  T  F  F  T  T  D D D D D D

76

76

,,

44

52

52

,,

41

41

76

76

,,

44

16

16

,,

1204

1204

00

50

50

₌₌

_∠

_∠

₋₋

∠

∠

∠

∠

==

==

d) O fator de potência de deslocamento

d) O fator de potência de deslocamento

( (

44

,,

76

76

))

00

,,

997

997

cos

cos

cos

cos

==

==

==

DD

θ 

θ 

FPD

FPD

_{atrasado ou indutivo.}

_{atrasado ou indutivo.}

e) A potência entregue pela fonte.

e) A potência entregue pela fonte.

(

(

)

)

(

(

))

[ [ ]]

VA

VA

 j

 j

 I 

 I 

V 

V 

S 

S 

_{T T  F F  T T} 

173

173

,,

00

07

07

,,

22

76

76

,,

44

08

08

,,

22

76

76

,,

44

10

10

52

52

,,

41

41

00

50

50

33 **

++

==

∠

∠

==

∠

∠

××

⋅⋅

∠

∠

==

⋅⋅

==

−− D D D D D D

A potência absorvida pelo indutor.

A potência absorvida pelo indutor.

( (

))

 j

 j

VAr 

VAr 

 j

 j

 I 

 I 

 X 

 X 

Q

Q

 _L L

==

 _L L

⋅⋅

_T T 22

==

500

500

⋅⋅

41

41

,,

52

52

××

10

10

−−33 22

==

00

,,

862

862

A potência fornecida pelo capacitor.

A potência fornecida pelo capacitor.

( (

))

 j

 j

VAr 

VAr 

 j

 j

 I 

 I 

 X 

 X 

Q

Q

_C C 

==

_C C 

⋅⋅

_C C 22

==

−−

500

500

⋅⋅

37

37

,,

14

14

××

10

10

−−33 22

==

−−

00

,,

690

690

A potência reativa resultante no circuito

A potência reativa resultante no circuito

( (

))

 j

 j

[ [

VAr 

VAr 

]]

 j

 j

Q

Q

Q

Q

Q

Q

==

 _L L

−−

_C C 

==

00

,,

862

862

−−

00

,,

690

690

==

00

,,

172

172

2.

2. Determine a tensão sobre cada componente do circuito e desenhe o diagrama

Determine a tensão sobre cada componente do circuito e desenhe o diagrama

fasorial de tensão e corrente.

fasorial de tensão e corrente.

Figura 6.

Figura 6.

Impedâncias nos ramos

Impedâncias nos ramos

(

( )

××

)

⋅⋅

(

(

××

))

==

[ [ ]]

Ω

Ω

⋅⋅

==

⋅⋅

⋅⋅

==

₂₂

₂₂

₂₂

₁₀

₁₀

66

₅₀

₅₀

₁₀

₁₀

−−66

₆₂₈

₆₂₈

_,,

₃₂

₃₂

11 11

π 

π 

 f 

 f 

L

L

π 

π 

 X 

 X 

 _L L

(

( )

××

)

⋅⋅

(

(

××

))

==

[ [ ]]

Ω

Ω

⋅⋅

==

⋅⋅

⋅⋅

==

₂₂

₂₂

₂₂

₁₀

₁₀

66

₁₀₀

₁₀₀

₁₀

₁₀

−−66

₁₂₅₆

₁₂₅₆

_,,

₆₄

₆₄

22 22

π 

π 

 f 

 f 

L

L

π 

π 

 X 

 X 

 _L L

A tensão nos terminais de cada componente do circuito pode ser obtida por divisor 

A tensão nos terminais de cada componente do circuito pode ser obtida por divisor 

de tensão.

de tensão.

[ [ ]]

V V  V  V   jX   jX   R  R  R  R V  V  _F F   L  L  R  R D D D D D D

50

50

00

23

23

,,

25

25

62

62

,,

29

29

29

29

,,

62

62

71

71

,,

709

709

330

330

11 11 11 11

⎟⎟

⋅⋅

∠

∠

==

∠

∠

−−

 ⎠

 ⎠

 ⎞

 ⎞

⎜⎜

⎝ 

⎝ 

⎛ 

⎛ 

∠

∠

==

⋅⋅

⎟⎟⎟⎟

 ⎠

 ⎠

 ⎞

 ⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝ 

⎝ 

⎛ 

⎛ 

++

==

[ [ ]]

V V  V  V   jX   jX   R  R  jX   jX  V  V  _F F   L  L  L  L  XL  XL D D D D D D D D

71

71

,,

27

27

27

27

,,

44

44

00

50

50

29

29

,,

62

62

71

71

,,

709

709

90

90

32

32

,,

628

628

11 11 11 11

⎟⎟⎟⎟

⋅⋅

∠

∠

==

∠

∠

 ⎠

 ⎠

 ⎞

 ⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝ 

⎝ 

⎛ 

⎛ 

∠

∠

∠

∠

==

⋅⋅

⎟⎟⎟⎟

 ⎠

 ⎠

 ⎞

 ⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝ 

⎝ 

⎛ 

⎛ 

++

==

ou simplesmente

ou simplesmente

( (

))

[ [ ]]

11 11

5500 00

2233,, 2255

6622,, 2299

5500 1100,,8800

2200,,5577

3399,, 22

2200,,5577 4444,, 2277

2277,,6699

 XL  XL F F RR V V V V V V   j  j j j V V 

=

=

−−

=

= ∠

∠ −

−

∠

∠ −−

=

= −

−

−

−

=

= −

−

=

=

∠

∠ −−

D D DD D D

A tensão nos componentes do ramo 2:

A tensão nos componentes do ramo 2:

[ [ ]]

22 22 22 22

1000

1000

5500 00

3311,,1133

5511,, 4499

11660055,97

,97 5511,49

,49

 R  R F F   L  L  R  R V V V V V V   R  R jX jX 

⎛

⎛

⎞⎞

⎛

⎛

⎞⎞

=

=

_⎜

_⎜

_⎟⎟

⋅

⋅

=

=

_⎜

_⎜

_⎟⎟

⋅

⋅

∠

∠

=

=

∠

∠ −−

+

+

_⎝

_⎝

∠

∠

_⎠⎠

⎝

⎝

⎠⎠

D D DD D D 330 330ΩΩ 1k 1k ΩΩ L L22 100 100

μμ

H

H

L L11 50 50

μμ

H

H

R  R 11 R R 22 V VFF=50=50∠∠00oo f=2MHz f=2MHz

~~

[ [ ]]

V V  V  V   jX   jX   R  R  jX   jX  V  V  _F F   L  L  L  L  XL  XL D D D D D D D D

51

51

,,

38

38

12

12

,,

39

39

00

50

50

49

49

,,

51

51

97

97

,,

1605

1605

90

90

64

64

,,

1256

1256

22 22 22 22

⎟⎟⎟⎟

⋅⋅

∠

∠

==

∠

∠

 ⎠

 ⎠

 ⎞

 ⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝ 

⎝ 

⎛ 

⎛ 

∠

∠

∠

∠

==

⋅⋅

⎟⎟⎟⎟

 ⎠

 ⎠

 ⎞

 ⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝ 

⎝ 

⎛ 

⎛ 

++

==

ou

ou

( (

))

[ [ ]]

22 22

5500 00

3311,,1133

5511,, 4499

5500 1199,,3388

2244,,3366

3300,,6633

2244,,3366 3399,,1122 3388,,5500

 XL  XL F F RR V V V V V V   j  j j j V V 

=

=

−−

=

= ∠

∠ −

−

∠

∠ −−

=

=

−

−

−

−

=

=

+

+

=

=

∠

∠

D D DD D D

A tensão pode também ser calculada calculando-se a corrente que flui através de

A tensão pode também ser calculada calculando-se a corrente que flui através de

cada um dos

cada um dos componentes.

componentes.

11 11 F  F 

V 

V 

 I 

 I 

 Z 

 Z 

==

Em que

Em que

(

( )

) (

(

)

)

(

(

))

[ [ ]]

Ω

Ω

∠

∠

==

∠

∠

++

==

⎟⎟

 ⎠

 ⎠

 ⎞

 ⎞

⎜⎜

⎝ 

⎝ 

⎛ 

⎛ 

∠

∠

++

==

++

==

−− −− D D

29

29

,,

62

62

71

71

,,

709

709

330

330

32

32

,,

628

628

32

32

,,

628

628

330

330

22 22 11 11 11 11 22 11 22 11 11 11 11

tg

tg

 R

 R

 X 

 X 

tg

tg

 X 

 X 

 R

 R

 jX 

 jX 

 R

 R

 Z 

 Z 

LL  L  L  L  L

Portanto:

Portanto:

[ [ ]]

mA

mA

 Z 

 Z 

V 

V 

 I 

 I 

F F  DD D D D D

29

29

,,

62

62

45

45

,,

70

70

29

29

,,

62

62

71

71

,,

709

709

00

50

50

11 11

_∠

_∠

==

∠

∠

−−

∠

∠

==

==

A corrente no ramo 2:

A corrente no ramo 2:

[ [ ]]

mA

mA

 Z 

 Z 

V 

V 

 I 

 I 

F F  DD D D D D

49

49

,,

51

51

13

13

,,

31

31

49

49

,,

51

51

97

97

,,

1605

1605

00

50

50

22 22

_∠

_∠

==

∠

∠

−−

∠

∠

==

==

em que

em que

(

(

)

)

(

(

)

)

(

(

))

[ [ ]]

Ω

Ω

∠

∠

==

∠

∠

++

==

⎟⎟

 ⎠

 ⎠

 ⎞

 ⎞

⎜⎜

⎝ 

⎝ 

⎛ 

⎛ 

∠

∠

++

==

++

==

−− −− D D

49

49

,,

51

51

97

97

,,

1605

1605

1000

1000

64

64

,,

1256

1256

64

64

,,

1256

1256

1000

1000

22 22 11 22 22 11 22 22 22 22 22 22 22

tg

tg

 R

 R

 X 

 X 

tg

tg

 X 

 X 

 R

 R

 jX 

 jX 

 R

 R

 Z 

 Z 

LL  L  L  L  L

Assim, a tensão nos terminais dos componentes é dada por:

(

)

(

)

[ ]

1 1 1 3

70, 45 10

62, 29

330

23, 25

62, 29

 R

V

I R

V 

−

= ⋅

=

× ∠ −

D

⋅

=

∠ −

D

(

)

[ ]

1 1 1 3

70, 45 10

62, 29

628,32 90

44, 27 27,71

 L L

V

I X 

V 

−

= ⋅

=

× ∠ −

D

⋅

∠ =

D

∠

D

[ ]

2 2 2

31,13

51, 49

 R

V

= ⋅ =

I

R

∠ −

D

V

 

[ ]

2 2 2

39,12 38,51

 L L

V

= ⋅ =

I

X

∠

D

V

 

O diagrama fasorial para as tensões e correntes:

Figura 7.

3. Que valor de capacitor de acoplamento é necessário ao circuito abaixo tal que o

sinal de tensão na entrada do amplificador 2 seja no mínimo 70,7% do sinal de

tensão da saída do amplificador 1 quando a freqüência é de 20 Hz?

Figura 8.

C 100Ω Amplificador 1 Amplificador 2 VF I1 VR1 VXL1 VF I2 VR2 VXL2

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

1 2 1 1 2 2 50 0 70, 45 62, 29 31,13 51, 49 23, 25 62, 29 44,27 27,71 31,13 51, 49 39,12 38,51 F   R  XL  R  XL V V   I mA  I mA V V  V V  V V  V V 

= ∠

=

∠ −

=

∠ −

=

∠ −

=

∠

=

∠ −

=

∠

D D D D D D D

O circuito RC série é defasador adiantado, i.é., a tensão de saída sobre o

Amplificador 2 é adiantada da tensão de entrada dada pelo Amplificador 1.

E 2 C 2 R 

V

X

R 

R 

V

_⎟

⎟

⋅

 ⎠

 ⎞

⎜

⎜

⎝ 

⎛ 

+

=

 Nota-se pela expressão de |V

R 

| que para freqüências altas a tensão de saída sofre

 pouca atenuação, se trata, portanto de um filtro passa alta.

Como

=

0

,

707

 E   R

V 

V 

, tem-se que:

(

)

( )

( )

2 2 2 2

100

100

707

,

0

C 

 X 

+

=

_∴

₀

_,

₅

2

₊

₅₀₀₀

₌

₁₀

_×

₁₀

3 C 

 X 

[ ]

Ω

±

=

100

C 

 X 

_(positiva)

C

f 

2

1

X

_C

⋅

⋅

=

π 

∴

C 

π 

 f 

 X 

_C 

2

π 

20

100

795

,

77

μ 

F 

1

2

1

₌

⋅

⋅

=

⋅

⋅

=

A freqüência de 20 Hz do circuito é denominada de freqüência de corte.

4. Para o filtro RC mostrado na Figura 1, calcular:

Figura 9. Filtro RC.

a) A constante de tempo para o filtro.

 b) A freqüência de corte do filtro.

c) Qual seria o resultado se a entrada fosse de 5V CC? Qual a tensão através do

resistor?

d) Qual seria o resultado se fosse 5V CA em uma freqüência muito alta? Neste

caso, qual a tensão através do resistor?

A constante de tempo para o filtro é dada por:

(

_{10 10}

3

)

(

_{0,01 10}

6

)

_{0,1 10}

3

[ ]

 RC

s

τ 

= = × ⋅

×

−

= ×

−

A freqüência de corte de um filtro RC é obtida para a condição em que:

 R C   f _C 

⋅

=

⋅

π 

2

1

RC

2

1

f 

_C

⋅

=

π 

1

c

ω 

τ 

=

Portanto,

[ ]

3

1

1

1591,55

2

2 0,1 10

c  f Hz π τ π  −

=

=

=

⋅

⋅ ×

Se a tensão da fonte fosse contínua e igual a 5V, a reatância capacitiva seria

infinita e a tensão de saída seria igual à entrada, i.é., 5V. A tensão no resistor seria

nula uma vez que a corrente é zero.

Se a tensão da fonte fosse alternada de 5V a uma freqüência muito alta, a reatância

capacitiva seria pequena e a tensão de saída seria dada por:

(

)

[ ]

2 2 3 2 3 2

10 10

5 5

10 10

0

 R F  c  R V V   R X  V 

⎛

⎞

⎜

⎟

=

⋅

⎜

₊

⎟

⎝

⎠

⎛

⎞

×

⎜

⎟

=

_⎜

_⎟

⋅ =

⎜

×

+

⎟

⎝

⎠

4. Em que valor deve ser ajustado o reostato do circuito abaixo de modo que a

corrente total seja de 10 mA? Qual o ângulo da corrente?

Figura 10.

Ω

=

×

=

=

₋

1000

10

10

10

3

 I 

V 

 Z 

F  2 C 2 2

X

R 

Z

=

+

(

×

)

⋅

(

×

)

=

Ω

⋅

=

⋅

⋅

=

₋

589

10

027

,

0

10

10

2

1

2

1

6 3

π 

π 

 f 

C 

 X 

_C 

∴

 R

=

 Z 

2

−

 X 

C 2

=

( ) ( )

1000

2

−

589

2

=

808

,

13

[ ]

Ω

O ângulo da corrente e dado por 

(

)

1 3 6 1

1 2

10 10

0,027 10

_36,11

808,13

C   X  tg  R tg θ  π  − − −

⎛

⎞

=

_⎜

_⎟

⎝

⎠

⎛

_{× × ×}

_×

⎞

=

⎜

_⎜

⎟

_⎟

=

⎝

⎠

D

ou

[ ]

3

10 0

10 10

36,11

808,13

589, 46

F  V   I A  Z j −

∠

=

=

=

×

∠

−

D D R  C 0,027μF

~

10 mA VF=10∠0oV f=10kHz