RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES POR MEIO DE DETERMINANTES

RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES POR MEIO DE DETERMINANTES Determinante de uma matriz de segunda ordem

Seja a matriz: = d c b a M

O determinante desta matriz é:

bc ad d c b a − = = ∆ Exemplo: = 4 1 2 3 M 10 1 2 4 3 4 1 2 3 _{= × − × =} = ∆

Vamos supor o sistema de duas equações com duas incógnitas x e y:

f dy cx e by ax = + = +

Este sistema de equações pode ser escrito na forma matricial:

= f e y x d c b a

Esta equação gera três matrizes:

1a. Matriz formada pelos coeficientes das incógnitas, ou seja:

= d c b a M Seu determinante é:

∆=ad −bc

2a. Matriz em que se modifica a matriz M, substituindo-se a primeira coluna pela coluna de resultados das equações:

= d f b e M_X Seu determinante é: ∆x=ed−bf

3a_{. Matriz em que se modifica a matriz M, substituindo-se a segunda coluna pela coluna de} resultados das equações:

= f c e a M_Y Seu determinante é: ∆y=af −ce A teoria dos determinantes demonstra que:

∆ ∆ = x x e ∆ ∆ = y y Ou seja: d c b a d f b e x= e d c b a f b e a y = --- Exercício 1

Resolver o sistema de equação:

11 3 7 2 = + = + y x y x = 3 1 1 2 M = 3 11 1 7 X M = 11 1 7 2 Y M

5 1 1 3 2× − × = = ∆ ∆x=7×3−1×11=10 ∆y =2×11−7×1=15 2 5 10 = = ∆ ∆ = x x 3 5 15 = = ∆ ∆ = y y --- Generalização

Seja o sistema de n equações com n incógnitas: x₁, x₂, ... x _n

1 1 2 12 1 11x a x a x b a + +⋅ ⋅⋅ ⋅⋅+ _{n n} = 2 2 2 22 1 21x a x a x b a + + ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅+ _{n n} = ... ... ... n n nn n n x a x a x b a _{1 1}+ _{2 2}+ ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅+ =

Este sistema pode ser escrito na forma matricial:

⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ × ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ n n nn n n n n b b b x x x a a a a a a a a a 2 1 2 1 2 1 2 22 21 1 12 11

Este sistema de equações gera n + 1 matrizes. A primeira matriz, que chamamos de M, é formada pelos coeficientes das incógnitas:

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = nn n n n n a a a a a a a a a M 2 1 2 22 21 1 12 11

As n matrizes seguintes, que chamaremos deMx para i = 1, 2, ...n, são construídas, i partindo da matriz M e substituindo-se a coluna i pela coluna de resultados b1,b2⋅ ⋅⋅ ⋅⋅bn.

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = nn n n n n a a b a a b a a b Mx 2 2 22 2 1 12 1 1 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = nn n n n n a b a a b a a b a Mx 1 2 2 21 1 1 11 2 ... ... ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = nn n n n n n b a a b a a b a a Mx 2 1 2 22 21 1 12 11

A teoria de matrizes demonstra que:

∆ ∆ = 1 1 x x , ∆ ∆ = 2 2 x x ... ∆ ∆ = n n x x

onde ∆ é o determinante da matriz M e ∆ é o determinante da matriz x_i Mx _i para i = 1, 2, 3, ...,n

Determinante de uma matriz de ordem 3 Seja a matriz: i h g f e d c b a Seu determinante é: bdi afh ceg cdh bfg aei i h g f e d c b a − − − + + =

Seria muito difícil decorar este resultado. Entretanto pode-se usar um arranjo através do qual se calcula este determinante usando uma maneira sistemática conhecida como regra de Cramer, em homenagem ao seu criador , o matemático Gabriel Cramer:

Parte-se da matriz original e acrescenta-se, à direita, duas colunas. Estas colunas adicionais são a repetição das duas primeiras colunas dessa matriz:

h g i h g e d f e d b a c b a

Assinala-se três diagonais como indicado abaixo:

h g i h g e d f e d b a c b a

Multiplica-se os três elementos de cada diagonal assinalada, e soma-se esses produtos: Resulta:

cdh bfg aei

P1 = + +

Assinala-se outras três diagonais com inclinação invertida: h g i h g e d f e d b a c b a

Multiplica-se os três elementos de cada diagonal assinalada, e soma-se esses produtos: Resulta: bdi afh ceg P₂ = + + O determinante resulta: bdi afh ceg cdh bfg aei P P i h g f e d c b a − − − + + = − = _{1 2} --- Exercício 2

Resolver o sistema de equações:

12 3 3 13 2 3 8 2 = + + = + + = + + z y x z y x z y x

1 3 3 1 3 3 1 2 3 1 1 2 1 1 2 3 1 3 2 3 1 1 1 2 = ∆ 3 1 1 1 2 2 3 3 1 1 1 1 3 2 1 3 3 2× × + × × + × × − × × − × × − × × = ∆ = 9 Semelhantemente: 3 1 12 2 3 13 1 1 8 = ∆x = 18 3 12 3 2 13 1 1 8 2 = ∆y = 27 12 1 3 13 3 1 8 1 2 = ∆z = 9 2 9 18 = = ∆ ∆ = x x 3 9 27 = = ∆ ∆ = y y 1 9 9 = = ∆ ∆ = z z --- QUATRO PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES

Vamos tomar por base a matriz abaixo que chamaremos Mp

= p M 3 2 4 6

Seu determinante fica:

3 2 4 6 = 6×3−4×2=10 Propriedade 1

Pode-se substituir qualquer linha ou coluna por outra linha que seja a soma de quaisquer duas linhas ou colunas. O valor do determinante não se altera.

Vamos verificar, esta propriedade, utilizando a matriz M_p exemplificada.

Vamos substituir a segunda linha por outra que seja a soma das duas linhas originais e calcular o determinante: 7 8 4 6 = 6×7−4×8=10

Vemos que o valor do determinante não se alterou.

Vamos substituir, nesta última matriz, a segunda coluna por outra que seja a soma das suas duas colunas originais e calcular novamente o determinante:

15 8

10 6

= 6×15−10×8=10

Mais uma vez constatamos que o valor do determinante não foi alterado. Portanto, podemos dizer, por exemplo, que:

d b c a b a d c b a + + = Propriedade 2

Se tomarmos duas linhas, la e lb e substituirmos lb por outra linha de valor la − , o valor lb do determinante muda de sinal algébrico, isto é, o valor do novo determinante é igual ao valor original multiplicado por –1.

Vamos partir, novamente, da matriz M_p exemplificada:

3 2

4 6

Vamos substituir a segunda linha por outra que seja a diferença entre a primeira e a segunda, e calcular o determinante.

1 4

4 6

= 6×1−4×4=−10

Vemos que houve, apenas, a mudança do sinal algébrico.

Vamos partir, novamente, da matriz M_pe substituir a primeira linha por outra que seja a diferença entre a segunda e a primeira, e calcular o determinante:

3 2 1 4 − − =

( )

( )

Portanto, podemos dizer, por exemplo, que: d b c a b a d c b a − − − = Propriedade 3

Quando se divide todos os elementos de uma linha por um mesmo número, o determinante fica dividido por esse número.

Vamos partir da matriz Mp e dividir a primeira linha por 2, e calcular novamente o determinante. 3 2 2 3 = 2 10 5 2 2 3 3× − × = =

Portanto, podemos dizer, por exemplo, que:

= d c b a d c n b n a n× e = d c b a m d m c n b n a m n× × Propriedade 4

Vamos considerar o determinante da seguinte matriz de terceira ordem:

h g f e c b a 0 0

Note-se que, com exceção da primeira linha, as demais linhas têm o primeiro elemento igual a zero. Neste caso, tem-se a propriedade:

h g f e c b a 0 0 h g f e a× =

Exemplo: Seja o determinante: 6 3 0 2 4 0 1 2 3 = ∆

Resolução pela regra de Cramer:

3 0 6 3 0 4 0 2 4 0 2 3 1 2 3 ∆ = 3×4×6+2×2×0+1×0×3−1×4×0−3×2×3−2×0×6= 0 3 2 3 0 0 0 6 4 3× × + + − − × × − = = = 3×4×6−3×2×3 = 3×

(

)

Este resultado confirma a validade da igualdade:

6 3 0 2 4 0 1 2 3 = 6 3 2 4 3×

Redução de um determinante de ordem 3 para ordem 2. Seja o determinante: 8 4 2 8 9 3 6 4 2 = ∆p

O cálculo deste determinante, pela regra de Cramer, resulta o valor 12.

Vamos dividir cada linha pelo valor do primeiro elemento da mesma linha. Pela propriedade 3, resulta a igualdade:

8 4 2 6 9 3 6 4 2 = ∆p = 4 2 1 2 3 1 3 2 1 12 4 2 1 2 3 1 3 2 1 2 3 2× × = ×

Vamos substituir a segunda linha por outra igual a diferença l1−l2 e a terceira por l1 − . l3 Pela propriedade 2, resulta a igualdade:

( ) ( )

Pela propriedade 4, teremos como resultado:

p∆ = 1 0 1 1 12 1 − − × × = 1×12×1=12 Conclusão:

O método descrito permitiu reduzir um determinante de ordem 3 para um determinante de ordem 2, multiplicado por um coeficiente específico.

Generalização: redução de um determinante de ordem n para um determinante de ordem n-1.

Seja um determinante de ordem n, contendo as linhas l1 , l2, l3,...ln Vamos supor que os primeiros elementos de cada linha sejam respectivamente

11

a , a21, a ,...31 an1.

a) Divide-se os elementos de linha l₁ por a₁₁, os elementos de l₂ por a₂₁, e assim sucessivamente.

b) Substitui-se a linha resultante l2 pela linha l1 −l2, a linha l pela linha 3 l1 − , e assim l3 sucessivamente.

Resulta a equivalência

Para os determinantes de ordem n>3, faz-se reduções sucessivas da ordem até resultar um determinante de terceira ordem. Nesta situação calcula-se o determinante, de terceira ordem resultante, utilizando-se a regra de Cramer.

--- Exercício 3: Calcular o determinante: determinante × =

( )

(

) (

)

6 2 2 1 8 14 2 2 12 6 6 3 4 4 8 2 − − − − − − = ∆q Solução:

1) Dividimos cada linha pelo seu primeiro elemento:

6 2 2 1 4 7 1 1 4 2 2 1 2 2 4 1 1 2 3 2 − − − − − − × × × × = ∆q = 6 2 2 1 4 7 1 1 4 2 2 1 2 2 4 1 12 − − − − − − ×

2) Subtraímos cada linha da primeira linha:

( )

Utilizando a propriedade 4, resulta:

8 4 2 6 9 3 6 4 2 12× − = ∆q

Pela regra de Cramer tem-se: q

∆ =−12×

(

)