Álgebra
Matrizes
1) Dada a matriz − = 5 3 2 3 0 1 2 1 2 3 4 5 A . Dê oseu tipo e os elementos a22, a23 e a13.
2) Escreva a matriz A, do tipo 2 x 2, on-de aij= i + j.
3) Escreva a matriz A4x1, onde aij = i2+j.
4) Escreva a matriz A = (aij)3x2 , onde aij
= i + 2j.
5) Escreva as matrizes A4x2, B4x3 e C4x2,
onde aij = i + j, bij = 2i - j e cij = aij + bij
6) Qual a matriz A3x2, sabendo-se que
aij= (2k j.) i 1 k
∑
= +7) A matriz A do tipo 2 x 3, definida por aij = i.j, é dada por:
8) Se A é uma matriz 2 x 3 definida pela relação aij = ≠ + jsei j 2 j = i se 2 , então A é: 9) A matriz A = (aij)3x3 é definida de tal
modo que aij = − ≠ j = i se 0 j i se ) 1 ( i+j . Então, A é igual a: 10) Dada a matriz: A = 0 1 3 0 . Esta pode ser definida por:
a) aij = ≠ − jsei j i j = i se j + i b) aij = − ≥ j < i se j i j i se j + i c) aij = + ≥ j < i se j i j i se j -i d) aij = ≠ j i se i -j j = i se 0
11) A matriz B = (bij)2x3 é definida por:
bij = ≠ j i se 2j -i j = i se i2 . Então B é igual a: 12) Qual a matriz A de ordem três onde aij = i + j, se i ≠ j e aij = i - j, se i = j?
Verifique se a matriz A é simétrica. 13) Determine o produto dos elementos da diagonal principal da matriz B3x3
de-finida por: bij = ≤ j > i se j + i j i se j + i 2 2 . 14) Dada a matriz: A = + − − + 7 y x 3 1 y 5 3 x 2 . Determine os elementos da diagonal principal se a matriz for diagonal. 15) Determine uma matriz simétrica de ordem 3 na qual os elementos da diago-nal principal são todos nulos e as linhas somam respectivamente 5, 4 e 3.
16) Determine x para que a matriz − + 7 3 x 2 1 x 2 seja simétrica.
17) Determine x e y para que a matriz + − 2 x 3 12 x 4 2 1 x y 5 2 seja simétrica.
18) Determine a e b para que a matriz − − − + a 2 3 b a 1 5 a 2 3 1 a 2 seja simétrica. 19) Dada a matriz A = − − 7 1 3 1 4 1 3 1 2
po-demos dizer que se trata de uma matriz: a) diagonal b) coluna
c) linha d) simétrica 20) Assinale a alternativa falsa:
a) Uma matriz-coluna apresenta uma única coluna.
b) Uma matriz-linha apresenta uma única linha.
c) Uma matriz-diagonal apresenta to-dos os elementos da diagonal se-cundária nulos.
d) Uma matriz-quadrada possui o nú-mero de colunas igual ao núnú-mero de linhas.
21) É dada a matriz A de ordem 3, defi-nida por: aij = ≤ + > j i se j i 2 j i se 2j -i . Os elementos da dia-gonal principal são:
22) O valor de x para que a matriz defi-nida por + − 9 1 x 4 1 x 2 5 seja simétrica é: 23) Dada a matriz + − − + 4 2 5 b 2 c 2 3 1 8 2 a 2 .
Os valores de a, b e c para que ela seja simétrica são respectivamente:
24) Determine x, y, t e w para que as ma-trizes seguintes sejam iguais:
A = 4 2 y x e B = w t 6 5 25) Determine x e y de modo que: x y 4 y y x 5 x 2 2 2 − + = − − − x 3 3 y 6 2 26) As matrizes
[
1 3 5]
e 5 3 1 são i-guais? Justifique.27) O valor de x para que as matrizes 8 1 x 2 5 1 x 2 − + e 8 1 5 3 sejam iguais é: 28) Dadas as matrizes 2 x 3 1 y 4 y 2 3 x + − − e 3 y 7 x 3 4 − − −
, o valor de x e y para que sejam iguais é, respectivamente:
29) Seja A = 2 1 4 1 3 2 e B = 0 1 2 3 1 1 . Determine: a) A+B b) B-A c) A-B
30) Seja as matrizes A = − − − 4 2 3 7 5 2 1 0 1 , B = 3 -5 1 4 2 -3 2 1 -2 e C = 5 -0 2 1 2 -3 3 2 1 -, de-termine: a) A + B b) A + C c) B + C d) A - B e) A - C f) C - B g) B - A h) B - C i) C - A
31) Dadas as matrizes A2x2 com aij = i +
j, e B2x2, com bij = j - i, determine os
elementos das matrizes A + B e A - B. 32) Dadas as matrizes A3x2 (aij = 2i - j), e
B = (bij)3x2 (bij = i2), determine as
matri-zes A + B e B - A, nomeando seus ele-mentos.
33) Dadas as matrizes A3x4 (aij = 2i + j),
B3x4, onde bij = i2+ j e C3x4 (cij = 3i - j2),
então as matrizes A + C, B - C e B - A são.
34) Dada a matriz M2x4 onde mij = i - j, e
a matriz N2x4, (nij = 0), determine a
ma-triz M + N, nomeando seus elementos. 35) Determine x e y para que:
−1 2 3 x 2 4 2 + − − 2 y 0 6 3 1 = − −1 1 5 8 1 3
36) Determine a e b para que:
− + b a a b 2 b a - −2 1 7 4 = − − 0 4 5 1 37) Dadas as matrizes A = − 7 4 1 3 2 2 e B = − − 2 8 0 3 2 1 , a matriz A + B é: 38) O valor de x para que:
+ −1 2x 7 4 2 + −3 x 3 2 5 = −8 2 6 7 é: 39) Os valores de x e y para que
− 21 4 y 2 1 x 3 + − + − + 7 9 2 y 3 x 2 = 14 13 5 12 , são respectivamente:
40) Qual o valor de x para que:
+ − 8 2 3 7 x 2 - − − 6 1 2 2 x = − 2 3 5 6 . 41) Sendo A2x2 e aij = 2i + 3j temos: a) A = 10 8 7 5 b) A = 8 7 10 5 c) A = − − − − 10 7 8 5 d) A = 5 4 3 2 e) A = 10 7 8 5
42) Sendo A = 3 0 1 2 5 4 1 3 2 determine At. 43) Sabendo-se que A= 1 4 3 2 , B= 2 3 3 1 e C= 5 -1 -0 2 , calcule x em: 2x - A - B + 3C = 0 44) Sendo A = −4 0 2 3 1 2 e B = − 1 2 3 3 2 1 , o valor de 2A - B é:
45) A matriz quadrada A = aij de ordem
2 tal que: aij = ≥ j < i para , j 3 j i para j, + i é:
46) Se M = aij é uma matriz de ordem
3x2 tal que para i = j, aij = 2(i - j) e para
i ≠ j, aij = 2 i + j. A matriz M é: 47) Se A = 1 5 2 4 3 1 , B = − − − 3 2 0 1 1 2 e C = 1 0 2 1 3 1 . Determine X2x3 sabendo que A + X = B + C. 48) Resolva a equação 1 6 4 + X = 3 2 1 49) Resolva 3 -5 2 4 + X = 02x2. 50) Sabendo que A= 7 0 1 2 , B= − − 1 2 3 1 e C= − − 3 1 2 3 determine: a) B + A - C b) A - B + C c) X tal que A + X = B - C d) X tal que B - X = A - C e) X tal que C - A = B + X
51) Sendo A=(aij)2x3, com aijb= 2i + j, e
B = (bij)2x3, onde bij = i - 2j, matrizes,
52) Dadas as matrizes A = (aij)3x3 onde
aij = i + 2j, B = (bij)3x3, onde bij = i2 - j, e C = (cij)3x3, onde cij = 2i - j2, resolva a equação C - X = B + A. 53) Resolva a equação 1 -6 2 + X = 4 9 3 . 54) Dada a equação: 7 0 2 1 + X = − 3 1 2 2 + 2 1 0 3 , a matriz X é igual a:
55) Determine as matrizes X, Y e Z que satisfazem ao sistema + = − + = − − = + + B A Z Y X 2 B Z Y X A Z Y X , onde A = − 0 1 1 2 e B = − 8 2 2 4 .
56) Determine as matrizes X e Y, solu-ções do sistema = + = + 0 Y 2 X A Y 3 X 2 , sabendo que A = −1 1 0 2 e 0 = 0 0 0 0 . 57) Se k. −1 3 5 2 = − − − 6 2 10 4 , o valor de k é igual a: 58) Se A = −2 0 3 1 e B = − 7 4 3 2 , a ma-triz X tal que X = 2A - B é igual a:
59) Considerando as matrizes A e B da questão anterior, a solução da equação 3A + X = 2B é: 60) Se a. 3 -2 -1 + b. 1 -3 2 + c. 1 2 3 = 0 0 0 ,
en-tão os valores de a, b e c são respectiva-mente: 61) Sendo a. 1 -1 2 2 +b. 0 2 -3 4 = 1 -3 1 -2 -, então os valores de a e b são respectiva-mente:
62) Se A = 3 1 2 2 1 3 1 2 1 e B = 2 1 3 1 0 0 0 1 2 ,
de-termine AxB e BxA.
63) Se 3 4 1 2 . y x = 25 7 , calcule x e y. 64) Se 3 2 1 -1 . y x = 10 6 , determine x e y.
65) Determine a, b e c para que:
− − 5 4 0 1 2 1 2 3 2 . − c 2 2 0 b 1 3 1 a = − − 10 18 1 1 7 4 2 0 1 66) Dada a matriz P = 1 3 2 0 , calcule: P2 = P x P e P3 = P2 x P. 67) Dada a matriz P = 1 0 1 1 , calcule P2, P3 e generalize esse resultado para Pn, n
∈
N*, onde Pn = Pn-1 x P. 68) Dada a matriz A = 3 -4 -2 3 , calcule o valor de A2, A3, A4, A5, A18 e A25. 69) Se A= 2 4 1 -5 e I2= 1 0 0 1 determine A2-7A+14I2. 70) Se A = 0 1 -3 2 e B = 2 5 1 -5 deter-mine a matriz X tal que AX = B.71) Se A = 2 3 5 1 e B = 5 1 -0 4 determi-ne a matriz X tal que AX = B.
72) Calcule a e b reais de modo que a matriz não nula A =
0 b b a verifique a condição A2 = A. 73) Se A = 2 1 -3 1 e B = 1 -3 0 4 o pro-duto BA é a matriz: 74) Se A = 1 0 3 1 então A2 + 2A vale: 75) Se A = − 1 1 0 1 2 3 e B = 2 1 , calcule A x 2B. 76) Se 4 1 2 3 . −2 b 1 a = −5 9 7 5 deter-mine a + b. 77) A igualdade − 1 2 2 1 . y x = 5 0 é verdadeira para que valores de x e y?
78) Se − 5 1 3 2 . b a = − 11 4 então a ma-triz b a é:
79) Considere as matrizes dadas por:
A = (aij)4x7, onde aij = i - j; B = (bij)7x9, onde bij = i; C = (cij) e C = AB. O elemento c63 é: 80) Sendo A = 5 1 3 1 e B = 4 1 3 0 , cal-cular 2AxB.
81) Quais os valores de x e y que satisfa-zem a equação matricial:
− 2 3 2 1 . y x = 2. − + 2 x 1 y
82) Determine o produto dos valores x e y que satisfaçam a equação matricial:
− − 4 5 3 4 . 2 y 1 x = − − 3 7 2 4 83) A inversa da matriz A = 2 5 1 3 é: 84) Determine a inversa de A = 2 1 3 2 . 85) Dê a inversa de A = 6 4 3 2 . 86) Dê a inversa da matriz A = 10 2 5 1 .
87) Qual a inversa da matriz B = 8 2 3 1 . 88) Dê a inversa da matriz C = − − 4 15 1 4 . 89) Calcule a inversa de D = −1 0 0 0 1 2 1 2 1 .
90) Calcule x e y para que A.B = B.A,
onde A = 7 5 2 5 e B = y x 4 1 . 91) Dada a matriz A = 0 1 1 -0 , calcule A41. 92) Sendo A = 1 2 2 5 determine uma matriz B tal que A.B = I, onde I é a ma-triz-identidade.
93) Ache a inversa da matriz A = 5 2 3 1 . 94) Dadas as matrizes A= 2 1 0 1 , X= y x e B= 0 1
resolva a equação matricial A.X = B.
95) Determine os valores de x e y que satisfaçam a equação matricial:
− − 4 5 3 4 . 2 y 1 x = − − 3 7 2 4 96) Seja A= 2 5 1 3 , B= 1 1 1 2 , I= 1 0 0 1 e 0= 0 0 0 0
resolva o sistema (onde X e Y são matrizes quadradas de ordem 2):
= + = + I Y X . B 0 Y X . A 97) Se A= 1 1 2 1 , B= 1 0 0 1 e C= − 0 2 1 1 , determine a matriz X de ordem 2 tal que A.X = (B+C)-1.
98) Resolva a equação (A.X).B = B.A, se
A = 2 1 3 2 e B = 3 2 1 4 .
99) Resolva a equação (A.X)t = B, onde A admite inversa. 100) Dadas as matrizes: A = − − 2 1 4 3 1 0 2 0 1 , B = 1 2 4 0 3 0 1 1 -2 e C = 1 0 0 0 1 0 0 0 1
e seja P = (2A - C).B.
De-termine a soma dos elementos da diago-nal principal da matriz P.
101) Sendo A = 3 1 4 2 e C = 1 2 , calcu-le X tal que A.X=C.
RESPOSTAS
1. a22 = 2, a23 = -1, a13 = 3. tipo 3x4 2. 4 3 3 2 3. 17 10 5 2 4. 7 5 6 4 5 3 5. A = 6 5 5 4 4 3 3 2 B = 6 7 4 5 2 3 0 1 C = 12 12 9 9 6 6 3 3 6. A = 18 15 10 8 4 3 7. 6 4 2 3 2 1 8. D 9. − − − − 0 1 1 1 0 1 1 1 0 10. C 11. − − − 4 4 0 5 3 1 12. 0 5 4 5 0 3 4 3 0 Simétrica 13. 144 14. a11 = 9 e a22 = 31/5 15. 0 1 2 1 0 3 2 3 0 16. x = 4 17. x = 4 e y = 2 18. a = 6 e b = 4 19. D 20. C 21. 3, 6, 9 22. -1 23. -3, 3, 2 24. x=5, y=6, t=2 e w=4 25. x = -3 e y = 1 26. Não, A1x3 ≠ A3x1 27. 1 28. -1 e 2 29. a) 2 2 6 4 4 3 b) − − − − 2 0 2 2 2 1 c) − 2 0 2 2 2 1 30. a) − − − 1 7 2 3 3 5 1 1 3 b) − − − 1 2 1 6 3 5 2 2 0 c) − − 8 5 3 5 4 6 5 1 1 d) − − − − − − 7 3 4 11 7 1 3 1 1 e) − − − − − 9 2 5 8 7 1 4 2 2 f) − − − − 2 5 1 3 0 0 1 3 3 g) − − − 7 3 4 11 7 1 3 1 1 h) − − − 2 5 1 3 0 0 1 3 3 31. A + B = 4 2 4 2 e A - B = 4 4 2 2 32. A + B = 13 14 6 7 1 2 B - A = 5 4 2 1 1 0 33 . A + C = − − − 3 9 13 15 2 4 8 10 7 1 3 5 B - C = 20 12 6 2 18 10 4 0 18 10 4 0 B - A = − − − − 3 3 3 3 0 0 0 0 1 1 1 1 34. − − − − − 2 1 0 1 3 2 1 0 35. x = 1 e y = 3 36. a = 2 e b = 1 37. 9 12 1 0 0 1 38. -4 39. 2 e 3 40. -3 41. E 42. 3 2 1 0 5 3 1 4 2 43. − 9 5 3 2 3 44. 1 -7 0 10 -3 -3 45. 4 3 6 2 46. 8 7 0 5 4 0 47. 3 4 7 -1 0 2 48. X= − − 2 4 3 49. X = − − − 3 5 2 4 50. A= 11 3 -6 2 -, B= − 3 3 4 6 , C= 3 -3 -4 6 -,D = − −1 9 0 0 E = − − 11 3 6 2 51. X = 18 -15 14 -11 10 -7 -52. X = − − − − − − − − − 18 12 8 14 8 4 12 6 2 53. 5 3 1 54. − − 2 2 4 6 55. X = − 4 2 3 2 3 3 Y = − − − 2 4 1 4 1 2 3 e Z = − 2 4 1 4 1 2 156. X = 2 -0 2 4 e Y = 1 0 1 -2 -57. -2 58. −4 11 9 0 59. − 20 8 15 1 60. 0, 0, 0 61. 1 e -1 62. A x B = 7 5 13 5 5 12 4 2 5 B x A = 11 9 10 3 1 2 4 5 5 63. x = -2 e y = 11 64. x = 5 28 e y = -5 2 65. a = 0, b = 2 e c = 2 66. 13 21 14 6 67. P2 = 1 0 2 1 , P3 = 1 0 3 1 e Pn = 1 0 n 1 68. A2 = A4 = A18 = 1 0 0 1 A3 = A5 = A25 = − −4 3 2 3 69. 0 0 0 0 70. X = − − 1 5 2 5 71. X = − − 13 5 1 13 25 1 72. a = 1 e b = 0 73. 7 4 12 4 74. 3 0 12 3 75. − 6 2 14 76. B 77. D 78. 2 1 79. não existe 80. 46 10 30 6 81. -2 e -1 82. 40 83. − − 3 5 1 2 84. A-1 = − − 2 1 3 2 85. Sistema impossível. Não existe inversa.
86. Não existe inversa. 87. − 2 1 1 2 3 4 88. − − 4 15 1 4 89. − − 2 3 2 1 1 1 0 0 2 1 2 1 0 90. x = 10 e y = 5 91. − −1 1 1 0 92. − − 5 2 2 1 93. − − 1 2 3 5 94. x = 1 e y = -1/2 95. 40 96. X= 1 -4 0 1 e Y= 2 3 -1 1 -97. X = − − 4 1 4 3 4 3 4 5 98. − − 2 7 2 1 10 29 10 7 99. X = A-1.Bt 100. 32 101. X = 0 1
