O Teorema Fundamental do Cálculo e Integrais Indefinidas

(1)

O Teorema Fundamental do C´

alculo e

Integrais Indefinidas

22.1 Introdu¸

c˜

ao

Calcular integrais usando somas de Riemann, tal qual vimos no cap´ıtulo anterior, é um trabalho penoso e por vezes muito dif´ıcil (ou quase imposs´ıvel). Felizmente, existe um método muito eficiente e poderoso que permite calcular integrais de uma maneira muito mais simples. Este método, desenvolvido separadamente por Newton e Leibniz, mostra que se uma determinada quantidade pode ser calculada por exaustão (somas de Riemann, por exemplo), então pode ser calculada muito mais facilmente com o uso de antideriva¸cão, entendida como o processo de achar uma fun¸cão conhecendo-se a sua derivada. Este importante resultado ´e denominado teorema fundamental do cálculo e ´e um dos mais importantes de toda a matemática. Este teorema relaciona derivadas e integrais e mostra que elas são, de uma certa maneira, “opera¸cões inversas”.

Este fato ´e evidenciado pela seguinte situa¸c˜ao f´ısica. Considere uma part´ıcula deslocando-se em linha reta, com velocidade conhecida v(t)≥ 0, em cada instante t, com t variando em um intervalo de tempo [a, b]. Se s(t) fornece a posi¸c˜ao da part´ıcula em cada instante t, o espa¸co total percorrido pela part´ıcula em um intervalo de tempo [a, b] ´e dado por s(b)− s(a).

Considere agora uma parti¸c˜ao P do intervalo [a, b] em n subintervalos iguais. O espa¸co percorrido pela part´ıcula, em cada subintervalo de tempo [ ti−1, ti], de comprimento ∆ t, da parti¸c˜ao P , pode ser aproximado por v(ci) ∆ t, onde

ci´e um ponto do subintervalo considerado. Assim, o espa¸co total percorrido pela part´ıcula no intervalo de tempo [a,

b], pode ser aproximado pela soma

n

∑

i=1

v(ci) ∆ t. Esta aproxima¸c˜ao ser´a cada vez melhor `a medida que ∆ t for cada

vez menor. Assim, temos que o valor exato do espa¸co percorrido ser´a dado pelo limite da soma acima, ou seja,

s(b)− s(a) = lim n_→∞ n ∑ i=1 v(ci) ∆ t = ∫ b a v(t) dt = ∫ b a s′(t) dt . Este resultado ´e o chamado teorema fundamental do c´alculo .

22.2 O teorema fundamental do c´

alculo

A abordagem de Newton do problema do cálculo de áreas parece, à primeira vista, paradoxal e consiste em substituir o problema do cálculo da área de uma região fixa (figura à esquerda) pelo cálculo da área de uma região variável, produzida quando a extremidade direita do intervalo é considerada móvel, de modo que a área seja uma fun¸c˜ao de x, como é ilustrado no diagrama da figura à direita.

0 2 4 6 8 0.20.40.60.8 1 1.21.41.61.8 2 2.22.42.62.8 3 x 4. 2. 2. 1. 0 4. 2. 2. 1. 0 4. 2. 2. 1. 0 4. 2. 2. 1. 0 4. 2. 2. 1. 0 4. 2. 2. 1. 0 301

(2)

´

E fácil descobrir qual é a fun¸cão que nos dá a área da região variável, como mostra a primeira parte da demonstra¸cão do teorema fundamental do cálculo enunciado a seguir.

Teorema fundamental do c´alculo:

Seja f uma fun¸c˜ao cont´ınua definida no intervalo fechado [a, b].

1. Se a fun¸c˜ao A ´e definida em [a, b] por

A(x) =

∫ x a

f (t) dt ,

então, A′(x) = f (x) para todo x em [a, b]. Uma fun¸cão com tal propriedade é chamada de primitiva ou an-tiderivada de f.

2. Se F ´e uma primitiva de f em [a, b], ent˜ao

∫ b a

f (x) dx = F (b)− F (a) .

Antes de demonstrarmos o teorema, vamos salientar alguns aspectos geométricos da f´ormula do item 2. Se f ´e positiva em [a, b], ent˜ao a fun¸c˜ao A definida em 1, representa a ´area sob o gr´afico de f desde t = a até t = x (figura seguinte `a esquerda).

´

E claro que A cresce com x. Se ∆ x > 0, a diferen¸ca ∆ A = A(x + ∆ x)− A(x) é a área sob o gráfico de f de x até

x + ∆ x, que corresponde a ´area da faixa mostrada na ﬁgura seguinte `a direita.

x b

a a x x+∆x b

Mostraremos que

A(x + ∆ x)− A(x)

∆ x = f (c) ,

onde c está entre x e x + ∆ x. Intuitivamente percebemos que se ∆ x tende a zero, então c→ x e f(c) → f(x), que é o resultado que queremos provar. Este resultado nos diz, simplesmente, que a taxa de varia¸cão da ´area A em rela¸c˜ao a x ´e igual ao comprimento do lado esquerdo da região.

Demonstra¸c˜ao

1. Seja ∆ x > 0. Se x e x + ∆ x pertencem a [a, b] ent˜ao, pela defini¸cão da fun¸c˜ao A(x) e pelas propriedades das integrais definidas, temos que

A(x + ∆ x)− A(x) = ∫ x+∆ x a f (t) dt− ∫ x a f (t) dt = ∫ x a f (t) dt + ∫ x+∆ x x f (t) dt− ∫ x a f (t) dt = ∫ x+∆ x x f (t) dt

Assim, podemos escrever

A(x + ∆ x)− A(x) ∆ x = ( 1 ∆ x)( ∫ x+∆ x x f (t) dt) .

Como f é cont´ınua, pelo teorema do valor médio para integrais, sabemos que existe um número c (que depende de ∆ x) no intervalo (x, x + ∆ x), tal que

∫ x+∆ x x f (t) dt = f (c) ∆ x e, portanto, A(x + ∆ x)− A(x) ∆ x = f (c) .

(3)

Como x < c < x + ∆ x, segue que lim

∆ x_→0+f (c) = lim_c_→x+ f (c) = f (x) e da´ı, pela igualdade anterior,

lim ∆ x→0+

A(x + ∆ x)− A(x)

∆ x = f (x) . Se ∆ x < 0, demonstra-se, analogamente, que lim

∆ x→0−

A(x + ∆ x)− A(x)

∆ x = f (x) . Os limites laterais acima implicam que

dA

dx = lim∆ x→0

A(x + ∆ x)− A(x)

∆ x = f (x) , o que quer´ıamos demonstrar.

2. Seja A(x) = ∫ x

a

f (t) dt como deﬁnida em 1. Ent˜ao, A(a) = 0 e A(b) = ∫ b

a

f (t) dt.

Pela parte 1, A′(x) = f (x). Por hip´otese, temos tamb´em que F′(x) = f (x). Logo, pelo corolário 2 do teorema do valor médio, as fun¸cões A e F diferem por uma constante, isto ´e,

A(x) = F (x) + C .

Para x = a, temos 0 = A(a) = F (a) + C, isto ´e, C =−F (a). Assim, A(x) = F (x)− F (a). Logo, para x = b,

A(b) =

∫ b a

f (t) dt = F (b)− F (a)

e o teorema est´a demonstrado.

Observa¸c˜oes

1. A igualdade A′(x) = f (x) que aparece na parte 1 do teorema fundamental do c´alculo pode ser reescrita como d

dx

∫ x a

f (t) dt = f (x)

e nos mostra que a derivada desta fun¸cão é, simplesmente, o valor do integrando calculado no limite superior da integral. Temos também que _∫

x a f (t) dt = ∫ x a d dtF (t) dt

e por sua vez _∫

x a

d

dtF (t) dt = F (x)− F (a)

Neste sentido, diz-se que as opera¸cões de deriva¸cão e integra¸cão são inversas uma da outra. 2. Usa-se a nota¸c˜ao F (x)|b_a para representar a diferen¸ca F (b)− F (a). Assim, escrevemos

∫ b a

f (x) dx = F (x)|b_a= F (b)− F (a) .

3. Qualquer primitiva de f (x) servir´a para o cálculo da ∫_abf (x) dx. A veracidade desta afirma¸c˜ao é facilmente comprovada se lembrarmos que quaisquer duas primitivas de f diferem por uma constante. Assim, se F ´e uma primitiva de f , ent˜ao qualquer outra primitiva desta fun¸cão é obtida adicionando-se uma conveniente constante

C `a fun¸c˜ao F para obter F + C. Deste modo, como

(F (x) + C)|b_a = (F (b) + C)− (F (a) + C) = F (b) − F (a) ,

a constante arbitr´aria C não tem efeito sobre o resultado, portanto, podemos sempre escolher C = 0, quando estamos achando primitivas com o propósito de calcular integrais definidas.

(4)

4. Este teorema torna o dif´ıcil problema de calcular integrais definidas por meio do cálculo do limite de somas num problema muito mais fácil de encontrar primitivas. Portanto, para achar o valor de∫_abf (x) dx n˜ao precisamos mais calcular limites de somas de Riemann; simplesmente achamos, da maneira que for poss´ıvel (por inspe¸cão, por algum cálculo inteligente, por inspira¸cão divina, procurando numa tabela, usando o Maple), uma primitiva

F da fun¸c˜ao que queremos integrar e calculamos o n´umero F (b)− F (a).

5. A tarefa de encontrar primitivas de fun¸cões não é trivial e, em alguns casos, é imposs´ıvel determinar primitivas em termos de fun¸cões elementares – polinômios, senos e cossenos, logaritmos e exponenciais, ou combina¸cões e composi¸cões destas fun¸cões. No entanto, a fun¸c˜ao A(x) definida no teorema fundamental do c´alculo, existe sempre que o integrando for uma fun¸c˜ao cont´ınua no intervalo [a, x], mesmo que n˜ao saibamos calculá-la explicitamente, e é cont´ınua, pois é derivável. Neste sentido, por exemplo, o problema de se achar uma fórmula expl´ıcita para a integral

∫ x a

sen(x2) dx

está fora do nosso alcance. Entretanto, se em vez de procurarmos uma fórmula expl´ıcita para esta integral quisermos apenas uma fun¸cão bem definida, a express˜ao F (x) =∫_axsen(x2_{) dx servir´}_{a como uma boa defini¸c˜}_ao para a fun¸c˜ao procurada. (Veja o Exemplo 5.)

Exemplo 1

Se n ´e um inteiro positivo, calcule uma primitiva de xn e use este resultado para calcular∫₋₁2 x5dx.

Solu¸c˜ao Como d dx ( x(n+1) n + 1 ) = xn, temos que x 6

6 ´e a primitiva procurada. Assim, pelo teorema fundamental do

c´alculo obtemos: ∫ 2 −1 x5dx = x 6 6 2 −1 = 2 6 6 − (−1)6 6 = 63 6 . Exemplo 2 Calcule ∫ 2 −1 x2− xdx .

Solu¸c˜ao: Como x2_{− x ≤ 0 em (0, 1) e x}2_{− x ≥ 0 em (−1, 0) e (1, 2), usando as propriedades da integral deﬁnida,} temos ∫ 2 −1 x2− xdx = ∫ 0 −1 x2− x dx + ∫ 1 0 x− x2dx + ∫ 2 1 x2− x dx = [ x3 3 − x2 2 ]0 −1 + [ x2 2 − x3 3 ]1 0 + [ x3 3 − x2 2 ]2 1 = −((−1) 3 3 − (−1)2 2 ) + ( 1 2− 1 3) + [ 23 3 − 22 2 − ( 1 3 − 1 2)] = 11 6 .

Exemplo 3 Considere a fun¸c˜ao f (x) = 2 x3_{+ 2 x}2_{− 4 x .} (a) Calcule∫₋₂1 f (x) dx.

(b) Ache a área da região limitada pelo gr´afico de f e o eixo x.

Solu¸c˜ao (a) Como a fun¸c˜ao F (x) = x₂4 +2 x₃3 − 2 x2´e uma primitiva de

f (x) = 2 x3+ 2 x2− 4 x, tem-se que ∫ 1 −2 2 x3+ 2 x2− 4 x dx = x 4 2 + 2 x3 3 − 2 x 2 1 −2 = 1 2+ 2 3 − 2 − ( (−2)4 2 + 2 (−2)3 3 − 2 (−2) 2_{) =} 9 2 (b) Observe o o seguinte gr´aﬁco da fun¸c˜ao f :

(5)

R2 R1 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 y –3 –2 –1 1 x 2 3

A região limitada pelo gr´afico de f e o eixo x ´e composta de duas regiões R1 e R2. A área de R1 é dada por ∫ 0 −2 2 x3+ 2 x2− 4 x dx = x 4 2 + 2 x3 3 − 2 x 2 0 −2 =− ( (−2)4 2 + 2 (−2)3 3 − 2 (−2) 2 ) = 16 3

No intervalo (0, 1) a fun¸c˜ao é negativa, de modo que, para obter a área (positiva) da região R2, devemos mudar o sinal da integral de f neste intervalo. Assim, a ´area de R2 será dada por

− ∫ 1 0 2 x3+ 2 x2− 4 x dx = − [ x4 2 + 2 x3 3 − 2 x 2 ]1 0 =−(1 2+ 2 3 − 2) = 5 6. Logo, a área R da região pedida será

R = R1 + R2 =16 3 + 5 6 = 37 6 .

Este racioc´ınio ´e equivalente a integrarmos o valor absoluto de f no intervalo considerado, pois ∫ 1 −2| f(x) | dx = ∫ 0 −2 f (x) dx− ∫ 1 0 f (x) dx ,

e esta soma fornece a área que queremos calcular. Esta conclusão é ilustrada pelo gr´afico de y =| f(x) |, mostrado a seguir. Compare este gr´afico com o de y = f (x) tra¸cado anteriormente.

–3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 y –3 –2 –1 1 x 2 3 Exemplo 4 Calcule dy dx, se (a) y = f (x) = ∫ x 0 t3sen(t) dt _{(b) y = h(x) =} ∫ x2 0 t3sin(t) dt

Solu¸c˜ao (a) A primeira parte do teorema fundamental do c´alculo aﬁrma que a derivada de uma integral em rela¸c˜ao ao seu limite superior ´e igual ao valor do integrando naquele limite. Assim, se y(x) =∫₀xt3sen(t) dt, temos, imediatamente, que dy_dx = x3sen(x).

(b) Este caso é um pouco mais complicado, pois o limite superior da integral é uma fun¸cão da variável em rela¸cão a qual desejamos derivar a fun¸c˜ao dada. Neste caso, seja u = g(x) = x2_{. Assim, se}

F (u) =

∫ u

0

t3sen(t) dt

ent˜ao, h(x) = (F ◦ g)(x). Pela regra da cadeia,

dh dx = dF du du dx = u

3_{sen(u)2x = x}6_sen(x2_{) 2x = 2x}7_sen(x2₎

Exemplo 5 A integral S(x) =∫₀x sen ( π t2 2 )

dt ´e chamada fun¸c˜ao de Fresnel e apareceu pela primeira vez no trabalho do f´ısico

(6)

(a) Para que valores de x esta fun¸c˜ao tem máximos locais. (b) Em que intervalos esta fun¸cão é côncava para cima?

Solu¸c˜ao (a) A primeira parte do teorema fundamental do C´alculo nos mostra que

S′(x) = sen ( π x2 2 ) .

A partir desta informa¸cão, podemos aplicar os métodos do cálculo diferencial para analisar esta fun¸c˜ao. Como S′ é cont´ınua em toda a reta, os pontos cr´ıticos de S s´o poder˜ao ocorrer onde S′(x) = 0, ou seja, onde sen

(

π x2

2 )

= 0. Da´ı, decorre que x =±√2 k, para k = 0, 1, 2 . . ..

Para decidir quais destes pontos s˜ao m´aximos locais, vamos aplicar o teste da derivada segunda. Assim, como

S′′(x) = π x cos (

π x2

2 )

, temos que, para valores ´ımpares de k, S′′(√2 k) ser´a negativa e, portanto, os pontos x =√2 k (k ´ımpar ) ser˜ao m´aximos locais da fun¸c˜ao S.

A análise é an´aloga para o caso em que x =−√2 k. O ponto (0, 0) ´e um ponto de inflexão da fun¸c˜ao S. (Confira!) O item (b) é deixado como exerc´ıcio para o leitor.

Veja abaixo, à esquerda o gráfico desta fun¸cão tra¸cado com a ajuda do Maple e abaixo à direita um detalhe do mesmo (para x variando de 0 at´e 2,5) tra¸cado em conjunto com a sua derivada. Observe que as conclusões obtidas acima coincidem com os gráficos apresentados.

–0.6 –0.4 –0.2 0 0.2 0.4 0.6 –4 –3 –2 –1 1 2_x 3 4 –1 –0.8 –0.6 –0.4 –0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4_x

22.3 Integrais indefinidas

Uma integral como ∫ b

a

f (x) dx ´e chamada integral definida de f. Uma fun¸c˜ao F , tal que F′(x) = f (x) ´e uma primitiva de f (x), assim como F (x) + C, onde C ´e uma constante real qualquer. `A medida que variamos C, obtemos o conjunto de todas as primitivas de f . Podemos representar este conjunto por

∫

f (x) dx = F (x) + C.

A integral que aparece nesta express˜ao ´e chamada integral indefinida de f e ´e usada para especiﬁcar a primitiva mais geral de f . Assim, _∫

f (x) dx = F (x) + C se e somente se F′(x) = f (x) e podemos escrever que

d dx ∫ f (x) dx = d dx(F (x) + C) = f (x) e ∫ f (x) dx = ∫ d dxF (x) dx = F (x) + C .

A constante C ´e chamada de constante de integra¸c˜ao. Para cada valor de C temos uma primitiva de f . Veja a figura a seguir, onde tra¸camos o gráfico de várias primitivas da fun¸c˜ao f (x) = (x− 2)2_{, obtidas pela varia¸}_c˜_{ao do valor} da constante C. c =3 c = 2 c = 1 c = 0 c = –1 c = –2 –4 –2 0 2 4 y 1 2_x 3 4

(7)

Em geral, n˜ao se explicita o dom´ınio de F . Supõe-se sempre escolhido um intervalo em que f seja integr´avel. Tal como no caso de integrais definidas, aqui também é irrelevante o s´ımbolo adotado para a variável de integra¸cão, por exemplo,∫f (t) dt,∫f (u) du, etc. originam sempre a mesma fun¸cão F . Como a integral indefinida de f ´e uma primitiva desta fun¸c˜ao, o teorema fundamental do cálculo nos d´a a seguinte rela¸cão entre integrais definidas e indefinidas:

∫ b a f (x) dx = [∫ f (x) dx ]b a

Assim, conhecida a integral indefinida de uma fun¸c˜ao f , podemos calcular qualquer integral definida desta mesma fun¸cão. Além disso, a partir das propriedades operatórias de deriva¸cão, podemos estabelecer algumas regras básicas para as integrais indefinidas. Por exemplo, a propriedade operatória para derivar somas de fun¸cões pode ser traduzida em termos de integrais indefinidas como

∫ (f (x) + g(x)) dx = ∫ f (x) dx + ∫ g(x) dx

Da mesma forma, se C ´e uma constante arbitr´aria, ∫

C f (x) dx = C

∫

f (x) dx

Assim, tal como no caso de integrais definidas, toda regra de deriva¸cão pode ser transformada em uma regra de integra¸cão. Por exemplo, como

d dx (√ x2_{+ 5})₌ √ x x2_{+ 5} ⇒ ∫ x √ x2_{+ 5}dx = √ x2_{+ 5 + C}

Esta observa¸c˜ao nos permite construir uma tabela de integrais “invertendo” uma tabela de derivadas, como ´e feito nos exemplos a seguir.

Exemplo 1 A regra da potˆencia para integrais deﬁnidas ´e dada por ∫

xndx = x

(n+1)

n + 1 + C, para todo racional n̸= −1.

Exemplo 2 Da mesma maneira, valem as regras

∫ sen(x) dx =−cos(x) + C ∫ cos(x) dx = sen(x) + C ∫ sec2_{(x) dx = tg(x) + C} ∫ cossec2_{(x) dx =}_{−cotg(x) + C} ∫ 1 1 + x2dx = arctg(x) + C ∫ 1 √ 1− x2dx = arcsen(x) + C

Como já dissemos, a tarefa de encontrar primitivas e, portanto, de calcular integrais indefinidas, não é trivial. Nos próximos cap´ıtulos, desenvolveremos métodos que serão úteis no cálculo de integrais indefinidas.

22.4 Exerc´ıcios

1. Calcule as integrais abaixo usando o teorema fundamental do c´alculo: (a) ∫ 3 1 x2dx (b) ∫ π 0 sen(x) dx (c) ∫ π 0 cos(x) dx (d) ∫ 1 0 5 x3− 4 x2+ 2 dx (e) ∫ π 4 0 sec2x dx

2. Use o teorema fundamental do c´alculo e as propriedades de integral para calcular as integrais abaixo: (a) ∫ 1 −1 5 x5+ 3 x3+ sen(2 x) dx (b) ∫ π 0 sen(x) cos(x) dx (c) ∫ 9 1 √ 3 x− 2 dx (d) ∫ 4 2 √ 3 x−√1 xdx (e) ∫ π 0 cos(5 x) dx (f) ∫ 3 1 5 x4 − 2 x3dx (g) ∫ 2 1 x3_{+ x}4 x dx (h) ∫ π 0 2 x cos(x2) dx

(8)

3. Usando as propriedades das integrais deﬁnidas e o teorema fundamental do c´alculo, prove que a integral de um polinˆomio de grau n ´e dada por:

∫ b a n ∑ i=0 cixidx = n ∑ i=0 ( ci i + 1 ) x(i+1) b a 4. Seja f (x) = { x + 1 x < 0 cos(x) x≥ 0. Calcule ∫ 1 −1 f (x) dx.

5. Em cada um dos itens abaixo, determine um n´umero c que satisfa¸ca a conclus˜ao do teorema do valor m´edio para integrais deﬁnidas: (a) ∫ 4 0 √ x + 1 dx (b) ∫ 1 −1 (2 x + 1)2dx (c) ∫ 2 −1 3 x3+ 2 dx (d) ∫ 9 1 3 x2dx

6. (a) Se f (x) = x2_{+ 1, determine a ´}_{area da regi˜}_{ao sob o gr´}_{afico de f de}_{−1 a 2.} (b) Se f (x) = x3, determine a área da região sob o gr´afico de f de 1 a 3.

7. Use integra¸cão para calcular a área do triˆangulo delimitado pela reta y = 2 x, pelo eixo x e pela reta x = 3. Confira sua resposta usando geometria.

8. Use uma integral definida para provar que a área de um triângulo retˆangulo de base b e altura a ´e dada por ab_2.. 9. Cada uma das curvas a seguir tem um arco acima do eixo x. Calcule a ´area da região sob o arco.

(a) y =−x3+ 4 x (b) y = x3_{− 9 x}

(c) y = 2 x2− x3 (d) y = x4_{− 6 x}2_{+ 8 .} 10. Ache a f´ormula geral para F (x) =∫₀xt2_{+ 2 t + 5 dt. Idem para}∫x

a t

5_{− 2 t}3_{+ 1 dt.}

11. Ache a primeira e a segunda derivada de cada uma das fun¸c˜oes dadas abaixo (a) f(x) = ∫ x 5 t2dt (b) g(x) = ∫ x π t3+ 1 dt (c) h(x) = ∫ x −4 √ 1 + t8_dt (d) g(x) = ∫ 3 x (1 + t3)100dt (e) f(x) = ∫ 5 x 1 t dt, para x > 0.

22.5 Problemas

1. Ache a ´area sob o gr´aﬁco de y = _√x

x2₊₁ desde x = 1 at´e x = 2.

(A menos que vocˆe consiga se lembrar de alguma fun¸c˜ao cuja derivada seja√x

x2₊₁, você não terá como resolver este

problema. O radical no denominador sugere que, de alguma forma, vocˆe deve tentar usar a f´ormula (√f )′ = f′ 2√f. 2. Calcule ∫ 1 −1 t √

t2_{+ 1}dt. Sugestão: Esboce o gr´afico desta fun¸cão e explique por que o valor desta integral pode ser determinado sem ser necessário fazer nenhum cálculo!

3. Calcule ∫ π

2

−π

2

sen(x) (cos(x) + 3 x2− x sen(x)) dx.

(Se você achou este problema dif´ıcil, use o Maple para tra¸car o gráfico do integrando e conclua porque não é necessário nenhum cálculo para resolver esta integral!)

4. (a) Se f (x) ´e uma fun¸c˜ao ´ımpar, isto ´e, f (−x) = −f(x), mostre, geom´etrica e analiticamente, que∫_−aa f (x) dx = 0.

(b) Se f (x) ´e uma fun¸c˜ao par, isto ´e f (−x) = f(x), mostre geometrica e analiticamente, que ∫_−aa f (x) dx =

2 ∫₀af (x) dx

5. O gr´afico de y = x2_{, x}_{≥ 0, pode ser considerado como sendo o gráfico de x = √y, y ≥ 0. Mostre, por geometria,} que isto implica a validade da equa¸cão ∫₀ax2_{dx +}∫a2

0

√_{y dy = a}3_{, a > 0. Conﬁra este resultado calculando as} integrais.

(9)

6. Para calcular a integral ∫₋₁1 _x12dx, um aluno de C´alculo I raciocinou da seguinte maneira:

Seja F (x) =−1_x. Como F′(x) = _x12, temos que

∫ 1 −1 1 x2dx = F (1)− F (−1) = −1 − (− 1 −1) =−2.

O resultado acima representa, geometricamente, a área sob o gr´afico da curva y = _x12, de x =−1 até x = 1 que,

evidentemente, n˜ao pode ser negativa. Qual a falha no racioc´ınio deste aluno?

7. (a) Seja um ponto P que se move com velocidade cont´ınua v numa reta coordenada. Mostre que a velocidade m´edia deste ponto, no intervalo [a, b], ´e igual `a m´edia de v em [a, b].

(b) Se f tem derivada cont´ınua em [a, b], mostre que a taxa m´edia de varia¸c˜ao de f (x) em rela¸c˜ao a x em [a,b], ´

e igual ao valor m´edio de f′ em [a,b].

8. Uma pedra cai de um edif´ıcio de 40 metros de altura. Ache a velocidade m´edia da pedra se ela demora 18 segundos para atingir o solo.

9. A temperatura média da praia de Copacabana em um dia de verão das 8 da manhã às 6 da tarde é dada, aproximadamente, por T (t) = 25 + 16 sen(π t

10). Considerando t = 0 às oito da manhã, calcule a temperatura média da areia no per´ıodo de 10 horas discriminado acima.

10. Os itens abaixo se referem `a fun¸c˜ao F (x) =∫₀x_1+t14dt, qualquer que seja x real.

(a) Ache F (0) e F′(1).

(b) Justiﬁque por que F (3)− F (1) < 1.

(c) Justiﬁque por que F (x) + F (−x) = 0, qualquer que seja o n´umero real x. (d) Mostre que F ´e invert´ıvel em toda a reta e calcule (d F−1

dx )(1).

11. (a) Ache a ´area A, como uma fun¸c˜ao de k, da regi˜ao no primeiro quadrante limitada pelo eixo y, pela reta y =

k , k > 0, e pelo gr´aﬁco da fun¸c˜ao y = x3_. (b) Qual o valor de A quando k = 1?

(c) Se a reta y = k est´a se movendo para cima a uma taxa constante de ₁₀1 unidades de comprimento por segundo, qual a taxa de varia¸c˜ao de A quando k = 1?

12. Seja g(x) =∫₄x f (t) dt, onde f ´e a fun¸cão cujo gráfico é mostrado a seguir. (a) Calcule g(4), g(−4), g(−3), g(0) e g(2).

(b) Em que intervalos g ´e crescente?

(c) Em que ponto g atinge o seu valor m´aximo? (d) Esboce o gr´aﬁco de g.

(e) Use o gráfico obtido no item anterior para esbo¸car o gr´afico de g′. Compare o gráfico assim obtido com o gr´afico de g. –1 –0.8 –0.6 –0.4 –0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 –4 –2 2 4

13. Suponha que g′(x) < 0 para todo x≥ 0 e seja F (x) =∫₀xt g′(t) dt, para todo x≥ 0. Justifique a veracidade ou a falsidade das afirma¸cões:

(a) F ´e negativa para todo x≥ 0. (b) F ´e cont´ınua para todo x≥ 0.

(c) F′(x) existe para todo x > 0. (d) F ´e uma fun¸c˜ao crescente.

(10)

14. Seja f (x) uma fun¸c˜ao duas vezes diferenci´avel tal que f′′ ´e cont´ınua em toda a reta. Sabendo que f (0) =−4, f (1) = 3, f′(0) = 5, f′(1) = 2, f′′(0) = 3 e f′′(1) = 1, calcule∫₀1 f′′(x) dx e∫₀1 f′(x) dx. 15. Mostre que d dx (∫ u2(x) u1(x) f (t) dt ) = f (u2(x)) ( d u2 dx ) − f(u1(x)) ( d u1 dx )

. Use este resultado para calcular

d dx (∫ x3 x2 1 t dt )

22.6 Um pouco de hist´

oria: A integral de Lebesgue

O método de calcular áreas e volumes de figuras geométricas complicadas por meio de áreas e volumes de figuras mais simples, já era usado por Arquimedes (287-212 A.C.). Tal idéia foi o germe do que se convencionou chamar de cálculo infinitesimal. Embora esta idéia seja tão antiga, sua formaliza¸cão matemática, denominada teoria da integra¸cão, teve seu apogeu no século atual. Podemos afirmar que o conceito de integral aparece, de fato, em forma embrionária, nos trabalhos de Arquimedes, ao utilizar o Método da Exaustão criado por Eudoxo (408-355 A.C.), no cálculo de comprimento de curvas, de áreas e de volumes de figuras geométricas. Um dos resultados obtidos por Arquimedes com o emprego deste método ´e descrito no projeto Arquimedes e a quadratura da parábola.

Ainda que os conceitos de derivada como coeficiente angular da tangente e da integral definida como área sob uma curva fossem familiares a muitos pensadores desde a Antiguidade, dizemos que Newton e Leibniz lan¸caram as bases do cálculo diferencial e integral porque eles, trabalhando quase ao mesmo tempo e independentemente um do outro, foram os principais descobridores do teorema fundamental do cálculo e aqueles que primeiro compreenderam a sua importância, come¸cando a construir a necessária teoria para o estabelecimento destas no¸cões em bases sólidas, aplicando os seus resultados, com sucesso espetacular, a problemas de mecânica e geometria.

Entretanto, Newton e Leibniz não possu´ıam com clareza a no¸cão de limite, deixando duvidosos e obscuros vários pontos de seus trabalhos, com a introdu¸cão do conceito de infinitésimo.

Posteriormente, com os trabalhos de Cauchy (1789-1857) e Riemann (1826-1866), o conceito de integral foi estab-elecido em bases matemáticas rigorosas, tornando-se para a época um instrumento poderoso na resolu¸cão de inúmeros problemas.

Durante muito tempo foi desenvolvida uma teoria de integra¸cão baseada nas idéias de Riemann. Esta teoria, entre-tanto, contém certos inconvenientes que a tornam inadequada ao estudo de vários problemas da análise matemática. Na se¸c˜ao Para você Meditar, deste cap´ıtulo, focalizamos um desses inconvenientes.

Como a no¸cão de integral de Riemann apresenta certas deficiências que a tornam ineficaz para a resolu¸cão de um grande número de problemas, fez-se necessária a reformula¸cão de tal conceito, com o objetivo de se obter uma integral sem as deficiências da integral de Riemann e a contendo como um caso particular. Dito de outro modo, dever-se-ia obter uma integral tal que a nova classe de fun¸cões integráveis contivesse a classe de fun¸cões integráveis a Riemann (onde as duas integrais deveriam coincidir) e na qual os inconvenientes da integral de Riemann desaparecessem ou, pelo menos, fosse minimizados.

O passo decisivo no sentido de se obter uma defini¸cão de integral que eliminasse as deficiências existentes na integral de Riemann foi dado por Henri Lebesgue (1875-1941), quando em 1902 publicou sua famosa tese de doutoramento, intitulada “Intégrale, longuer, aire”, que atualmente está contida no livro “Le¸cons sur l’Integration et la Recherche des Fonctions Primitives”. O conceito de integral originalmente proposto por Lebesgue baseia-se na no¸cão de medida de conjuntos, e as suas idéias se afastaram tanto dos cânones da época que foram, em princ´ıpio, refutadas e sever-amente criticadas. Todavia, a originalidade de suas idéias encontrou crescente reconhecimento, vindo a completar definitivamente certas lacunas inerentes à integral de Riemann.

A integral de Lebesgue foi a primeira tentativa frut´ıfera de organiza¸cão matemática da no¸cão de integral. Neste sentido, costuma-se dizer que a teoria de integra¸cão foi criada no século XX.

22.7 Para vocˆ

e meditar: Uma conclus˜

ao intuitiva ou um erro te´

orico?

Dizemos que uma fun¸c˜ao u :(a, b)→ R é uma fun¸cão escada quando existe uma parti¸cão do intervalo (a, b) tal que

u ´e constante em cada subintervalo desta parti¸cão. No cap´ıtulo anterior, utilizamos áreas de retângulos inscritos (ou circunscritos) a uma região para obter aproxima¸cões para áreas sob gráficos de fun¸c˜oes f positivas. Observe o gr´afico a seguir e conclua que, se mi é o menor valor da fun¸c˜ao f em cada subintervalo da parti¸cão, a área dos retângulos

(11)

0 1 2 3 4 0.2 0.4 0.6 0.8 _x1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

No cap´ıtulo anterior conclu´ımos, também, que o valor exato da área sob uma curva poderia ser obtido tomando-se o limite das áreas desses retângulos. Seguindo o mesmo racioc´ınio, podemos observar que à medida que o número de intervalos considerados na parti¸cão aumenta, a seqüência de fun¸c˜oes escadas un associadas, da maneira descrita

acima, a cada subintervalo das parti¸c˜oes, converge para a fun¸c˜ao f , isto ´e, lim

n_→∞un= f e desse modo, lim n_→∞ ∫ b a un(x) dx = ∫ b a lim n_→∞un(x) dx = ∫ b a f(x) dx . Estas afirma¸cões são ilustradas no diagrama:

Considere agora a seqüência de fun¸c˜oes gn definidas por

gn(x) =            2 n2x, 0≤ x ≤ _{2 n}1 2 n− 2 n2x, _{2 n}1 ≤ x ≤ _n1 0, 1_n ≤ x ≤ 1 Observe os gr´aﬁcos de g1(x) e g2(x): 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.2 0.4 x 0.6 0.8 1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0.2 0.4 x 0.6 0.8 1 ´

E f´acil ver que, `a medida que n cresce, para cada x ﬁxado, a seq¨uˆencia gn(x) converge para zero. Assim, podemos

dizer que lim

n→∞gn(x) = 0. No entanto, para cada n, temos que

∫1

0 gn(x) dx = 1

2 (por quˆe?) e, portanto

lim n_→∞ ∫ 1 0 gn(x) dx = 1 2 ̸= 0 = ∫ 1 0 lim n_→∞gn(x) dx

• E agora, será que a nossa defini¸cão de área sob uma curva está errada, pois não é verdade que lim_n

→∞ ∫ b a un(x) dx = ∫ b a lim n_→∞un(x) dx?

• Se a conclus˜ao no primeiro exemplo apresentado acima ´e correta, qual a diferen¸ca entre os dois exemplos dados?

Por que no primeiro caso vale a igualdade lim n_→∞ ∫ b a un(x) dx = ∫ b a lim n_→∞un(x) dx

(12)

e no segundo este resultado n˜ao se aplica?

(Sugestão: O cerne deste problema est´a na defini¸cão de convergência para seqüência de fun¸cões. O modo como as seqüências acima convergem para a fun¸cão limite é diferente nos dois casos apresentados. Tente entender onde está esta diferen¸ca!)

22.8 Projetos

22.8.1 Arquimedes e a quadratura da par´

abola

Vamos examinar o procedimento utilizado por Arquimedes para calcular a área de um segmento parabólico, isto é, a ´

area da região limitada por uma parábola e pela reta AB como mostra a figura à esquerda.

Para calcular a área desta região, Arquimedes utilizou triângulos da maneira descrita a seguir. Sua primeira aproxima¸cão foi o triângulo ABC, onde o vértice C é escolhido como o ponto em que a tangente à parábola é paralela `

a reta AB. (Veja ﬁgura `a direita).

B A 0 2 4 6 8 –3 –2 –1 1 x 2 3 C B A 0 2 4 6 8 –3 –2 –1 1 x 2 3

Sua segunda aproxima¸cão foi obtida juntando-se ao triângulo ABC os dois triângulos ACD e BCE, onde o vértice D é o ponto em que a tangente é paralela à reta AC e o vértice E é o ponto em que a tangente é paralela à reta BC, continuando com este processo, até “exaurir” a área do segmento parabólico.

Desta maneira, Arquimedes calculou a área do segmento parabólico e mostrou que existe uma rela¸cão entre esta ´

area e a área do primeiro triângulo utilizado para este cálculo.

O objetivo deste projeto é utilizar conhecimentos de cálculo, para descobrir no procedimento descrito acima a rela¸cão existente entre as áreas do segmento parabólico e do primeiro triângulo utilizado por Arquimedes em um caso particular.

1. Considere a reta y = m x + b e a parábola y = x2_{. Determine o ponto P no arco AOB da par´}_{abola que maximize} a área do triângulo APB, onde A e B são os pontos de interse¸cão da reta e da parábola e O é a origem do sistema de coordenadas.

2. Relacione a área deste triângulo ótimo com a área da região delimitada pela reta e pela parábola.

3. Usando o teorema do valor médio, mostre que no ponto P a reta tangente à parábola é paralela à reta AB. 4. Use os itens anteriores para concluir qual a rela¸cão estabelecida por Arquimedes no seu trabalho sobre a

quadratura da par´abola.

22.8.2 Separa¸

c˜

ao de vari´

aveis, velocidade de escape e buracos negros

Grande parte da inspira¸cão original para o desenvolvimento do Cálculo veio da F´ısica, mais especificamente, da Mecânica e estas ciências continuam ligadas até hoje. A Mecânica é baseada em certos princ´ıpios básicos que foram formulados por Newton. O enunciado destes princ´ıpios requer o conceito de derivada, e suas inúmeras aplica¸cões dependem do conceito de integral aplicado à resolu¸cão de equa¸cões diferenciais: equa¸cões que envolvem uma fun¸cão e suas derivadas.

Resolver uma equa¸cão diferencial significa encontrar uma fun¸cão incógnita a partir de informa¸cões dadas a respeito de sua taxa de varia¸cão. Essas equa¸cões aparecem tão freqüentemente em problemas f´ısicos, biológicos e qu´ımicos que seu estudo, hoje, constitui-se num dos principais ramos da matemática.

No projeto Estudando a queda dos corpos - Movimento uniformemente acelerado, vimos, como a partir de leis f´ısicas (no caso a segunda Lei de Newton), foi poss´ıvel obter uma equa¸cão diferencial que modela a queda livre de corpos e então deduzir várias fórmulas para este movimento que usamos desde o segundo grau, sem uma justificativa mais profunda.

Nos exemplos estudados naquele projeto, tratamos a acelera¸cão da gravidade como se fora uma constante e vimos que esta hipótese é razoável para corpos que se movem próximos à superf´ıcie da Terra. No entanto, para estudar o

(13)

movimento de um corpo que se move para fora da Terra, no espa¸co, devemos levar em conta que a for¸ca da gravidade varia inversamente com o quadrado da distˆancia do corpo `a Terra.

Esta lei, conhecida como lei da gravita¸cão de Newton, em homenagem ao grande matemático e f´ısico que a estabeleceu, afirma que duas part´ıculas quaisquer de matéria no universo se atraem com uma for¸ca proporcional a suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre elas. O objetivo deste projeto é utilizar esta lei e nossos conhecimentos sobre integrais para estabelecer a velocidade necessária para que um foguete escape da atra¸cão gravitacional da Terra.

Equa¸cões diferenciais e separa¸cão de variáveis

Vimos que a equa¸cão ∫f (x) dx = F (x) é equivalente a F′(x) = f (x). Esta afirma¸c˜ao pode ser interpretada de duas maneiras.

(a) Podemos pensar no s´ımbolo∫ . dx operando sobre a fun¸cão f (x) para produzir sua primitiva. Dessa maneira, o sinal de integral e o s´ımbolo dx s˜ao, juntos, parte de um mesmo s´ımbolo. O sinal de integral especifica a opera¸cão, e o ´unico papel de dx ´e assinalar qual é a variável de integra¸cão.

(b) Uma segunda interpreta¸cão para a equivalência acima é baseada na nota¸cão e no conceito de diferencial de uma fun¸c˜ao introduzido no Cap. 20. Usando diferenciais, a igualdade F′(x) = f (x) pode ser escrita como

dF (x) = f (x) dx , onde f (x) dx ´e encarada como a diferencial da fun¸c˜ao F (x). Segundo este ponto de vista, o sinal de integral pode ser entendido como um operador que age sobre a diferencial de uma fun¸c˜ao, ou seja, sobre

f (x) dx , retornando, como resultado, a pr´opria fun¸cão. Assim, o s´ımbolo de integral significa a opera¸cão que é a inversa da diferencia¸cão.

Esta segunda interpreta¸cão é particularmente conveniente para a resolu¸cão de certas equa¸cões diferenciais simples. Como dissemos na introdu¸cão, uma equa¸cão diferencial é uma equa¸cão que envolve uma fun¸cão (a incógnita do problema) e suas derivadas. A ordem de uma equa¸cão diferencial é a ordem da maior derivada que ocorre na equa¸cão. Ao integrarmos uma fun¸cão qualquer, estamos resolvendo uma equa¸cão diferencial de primeira ordem. Assim, usando nota¸cão diferencial, a equa¸cão dy_dx = 3 x2 _´_{e equivalente a dy = 3 x}2_{dx . Para resolver esta equa¸}_c˜_{ao diferencial, basta}

integrarmos _∫

dy =

∫

3 x2dx⇒ y = x3+ C

Esta solu¸cão é chamada solu¸cão geral da equa¸cão diferencial dada, e escolhas diferentes para a constante de integra¸c˜ao C fornecem solu¸c˜oes particulares.

De um modo geral, se uma equa¸c˜ao diferencial pode ser escrita na forma

g(y) dy = f (x) dx

com as vari´aveis x e y “separadas” em diferentes membros da igualdade acima, podemos integrar ambos os lados da identidade para obter a solu¸c˜ao da equa¸c˜ao.

Velocidade de escape

Suponha que um foguete seja lan¸cado para cima com velocidade inicial v0 e depois disso se mova sem nenhum gasto posterior de energia. Para valores grandes de v0, este foguete sobe bastante antes de atingir o repouso e iniciar sua queda de volta `a Terra. O problema que propomos ´e o de calcular a menor velocidade v0 para que o foguete jamais atinja o repouso e, por causa disso, escape da atra¸c˜ao gravitacional da Terra.

De acordo com a lei da gravita¸c˜ao de Newton, a for¸ca F que atrai o foguete para a Terra ´e dada por F =−G(M m s2 ),

onde G é uma constante positiva, M e m são as massas da Terra e do foguete, respectivamente, e s ´e a distância do foguete ao centro da Terra (neste caso toda a massa da Terra está concentrada no seu centro). Como pela segunda lei do movimento de Newton, F = m a, temos que

(∗) m(d 2_s dt2) =−G( M m s2 )⇒ d2_s dt2 =− G M s2

Esta equa¸cão nos diz que o movimento do foguete não depende da sua massa. Além disso, podemos determinar o valor da constante G se lembrarmos que, quando s = R (raio da Terra), a acelera¸cão d_dt22s é igual a −g (acelera¸cão a

gravidade).

Ent˜ao, temos que GM = gR2, e como d_dt22s=

dv

dt, podemos escrever (*) como

(∗∗) dv

dt =− gR2

(14)

Como, pela regra da cadeia, dv_dt = (dv_ds)(ds_dt) = (dv_ds)(v), a equa¸c˜ao (**) se transforma em

vdv ds =−

gR2 s2 .

1. Separe as variáveis e integre para obter a solu¸cão geral desta equa¸cão diferencial.

2. Use a condi¸c˜ao inicial v = v0, quando s = R, para determinar, dentre todas as solu¸cões poss´ıveis da equa¸cão, a solu¸cão particular que nos interessa, isto é, determine o valor da constante de integra¸cão a fim de que a solu¸cão encontrada satisfa¸ca os dados iniciais do problema em estudo.

3. Examinando a solu¸cão encontrada, determine a velocidade de escape da Terra. (Lembre-se de que a velocidade do foguete deve ser sempre positiva, pois se a velocidade se anular, o foguete pára e, então, cai de volta à Terra.) 4. Estime o valor da velocidade de escape usando para g o valor de 9,8 m/s2 _{e para R, 6, 37}_{× 10}6 _m.

5. Como vimos na discussão acima, a lei da gravita¸cão de Newton implica que a gravidade na superf´ıcie de um plan-eta ou qualquer outro corpo celeste é diretamente proporcional à massa do planeta e inversamente proporcional ao quadrado do seu raio.

(a) Se gL denota a acelera¸c˜ao devido `a gravidade da Lua, use o fato de que a Lua tem, aproximadamente, ₁₁3

do raio e ₈₁1 da massa da Terra para mostrar que gL´e aproximadamente igual a g₆.

(b) Calcule a velocidade de escape para a Lua.

(c) Explique por que se o raio de um corpo diminui e sua massa se mant´em constante a velocidade de escape para este corpo cresce.

Buracos negros

A maioria das estrelas normais é mantida em seu estado gasoso em virtude da pressão de radia¸cão de dentro, que é gerada pela queima de combust´ıvel nuclear. Quando o combust´ıvel nuclear se distribui, a estrela sofre um colapso gravitacional, transformando-se numa esfera muito menor com, essencialmente, a mesma massa.

A matéria comprimida e degenerada dessas estrelas que ca´ıram em colapso podem alcan¸car dois tipos de equil´ıbrio, dependendo da massa da estrela. As estrelas anãs brancas são as que se formam quando a massa é menor que cerca de 1,3 massas solares, e estrelas de nêutrons aparecem quando a massa está entre 1,3 e 2 massas solares. Para estrelas mais pesadas, o equil´ıbrio não é poss´ıvel e o colapso continua até que a velocidade de escape na superf´ıcie atinja a velocidade da luz. Estrelas em colapso deste tipo são completamente invis´ıveis, pois não emitem nenhuma radia¸cão. Estes são os chamados buracos negros.

• Se o sol pudesse ser concentrado numa esfera menor com a mesma massa, qual seria um valor aproximado do seu raio