UNIFEI - UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ PROVA DE CÁLCULO 1

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UNIFEI - UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUB ´

A

PROVA DE C ´

ALCULO 1

PROVA DE TRANSFERˆ

ENCIA INTERNA, EXTERNA E PARA

PORTADOR DE DIPLOMA DE CURSO SUPERIOR - 16/10/2016

CANDIDATO:

CURSO PRETENDIDO:

OBSERVAC

¸ ˜

OES:

1. Prova SEM consulta;

2. A prova PODE ser feita a l´apis;

3. PROIBIDO o uso de calculadoras e similares; 4. Dura¸c˜ao: 2 HORAS.

5. Nas quest˜oes discursivas EXPLICITAR os c´alculos.

Quest˜ao 1 (10 pontos). Avalie: lim x→0+ 3 x2_{− x} a) 0 b) +∞ c) −∞ d) 3 Resposta: c)

O numerador tem limite igual a 3 enquanto o denominador tem limite 0 por valores negativos, logo o resultado ´e −∞.

Quest˜ao 2 (10 pontos). Considere g : R → R e h : R → R deriv´aveis, supondo que f(x) = g(x cos(h(x))) encontre f′(x).

a) g′(−xsen(h′(x)) b) g′(x cos(h(x))) (cos(h(x) − xh′(x)sen(h(x))))

c) g′(xsen(h(x))) (cos(h(x) − xh′(x)sen(h(x)))) d) g′(xsen(h(x))) (xh′(x) cos(h(x))))

Resposta: b)

Utilizando a regra do produto e a regra da cadeia obtemos

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Quest˜ao 3 (10 pontos). Considere a curva y3_{+ 2xy + x}2 _{= 1, encontre o coeficiente} angular da reta tangente para x n˜ao nulo, quando y = 1.

a) 1 b) −1 c) −2 d) 2

Resposta: c)

Caculando a derivada impl´ıcita obtemos,

y′ = −2x + 2y 3y2_{+ 2x}. Fazendo y = 1 na curva temos

x2+ 2x = 0

resolvendo para x e substituindo a raiz n˜ao nula, x = −2, temos: y′ = −2.

Quest˜ao 4 (10 pontos). Para x∈ [0, π], determine o ponto de m´ınimo da fun¸c˜ao f(x) = sen(x) + cos(x).

a) π₄ b) 0 c) π₆ d) π

Resposta: d)

A derivada ´e dada por

f′(x) = cos(x) − sen(x)

e está definida para todo valor de x, se anulando, no intervalo do enunciado, quando x = π₄, logo este valor de x é ponto cr´ıtico de f. Avaliando, a fun¸cão no ponto cr´ıtico e nas extremidades do intervalo temos

f(0) = 1, f (_π

4 )

=√2, f(π) = −1. Logo, o ponto de m´ınimo ´e x = π.

Quest˜ao 5 (10 pontos). Qual o valor de ∫√ π 0 2x3cos(x2)dx. a) −π2 _{b) −2} _{c) 2} _{d) π} Resposta: b) 2

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Resolvendo a integral indefinida obtemos, ∫

2x3cos(x2)dx = cos(x2) + x2sen(x2) + C, logo,

∫√

π 0

2x3cos(x2)dx = −2

Quest˜ao 6 (10 pontos). Estude a concavidade da fun¸c˜ao f(x) = 4x

x2_{+ 1}

Resposta:

Calculando a derivada segunda temos

f′′(x) = 8x(x 2_{− 3)} (x2_{+ 1)}3

O denominador acima é sempre positivo. O numerador troca de sinal nos pontos −√3, 0 e √3, logo estes pontos são os pontos de inflexão. Avaliando o sinal temos concavidade para baixo em (−∞, −√3)∪ (0,√3) e concavidade para cima em (−√3, 0)∪ (√3, +∞)

Quest˜ao 7 (10 pontos). Avalie lim x→0 f(x) − f(0) x onde f(x) = { xsen(1_x), se x̸= 0 0, se x = 0. Resposta:

Escrevendo a express˜ao temos

lim x→0sen ( 1 x ) o qual n˜ao existe.

Questão 8 (10 pontos). Sejam x1 e x2 as ra´ızes da fun¸cão f(x) = ax2− x e sejam r1 e r2 as retas tangentes ao gráfico de f nos pontos x = x1 e x = x2, respectivamente. Para quais valores de a∈ R as retas r1 e r2 são normais?

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Resposta:

Calculando as ra´ızes temos,

x1= 0, x2 = 1 a Avaliando a derivada de f, nestes pontos, temos

f′(0) = −1, f′ ( 1 a ) = 1

Logo, a equa¸cão de r1 é da forma y = −x e a equa¸cão de r2 é da forma y = x − 1/a, logo para todo valor real de a ̸= 0, estas retas são normais. No caso a = 0 não temos duas retas tangentes.

Questão 9 (10 pontos). Encontre o volume do sólido gerado pela rota¸cão em torno do eixo x da região x2≤ y ≤ x com x ∈ [0, 2].

Resposta:

Note que as fun¸c˜oes x2 _{e x se cruzam em x = 1, assim o volume ´e dado pelas integrais}

V = π ∫1 0 (x2− x4)dx + π ∫2 1 (x4− x2)dx = 4π.

Quest˜ao 10 (10 pontos). Encontre uma primitiva da fun¸c˜ao f(x) = sen(3x) cos(2x).

Resposta:

Temos que Calcular _∫

2sen(3x) cos(2x)dx usando, senos da diferen¸ca e soma temos

∫ 2sen(3x) cos(2x)dx = ∫ (sen(5x) + sen(x)) dx = −1 5cos(5x) − cos(x) + C 4

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ

QUIMICA BACHARELADO – PROVA DE TRANSFERÊNCIA INTERNA, EXTERNA E PARA PORTADOR DE DIPLOMA DE CURSO SUPERIOR – 16/10/2016

CANDIDATO: _______________________________________________________ CURSO PRETENDIDO: _______________________________________________

OBSERVAÇÕES: 01 – Prova sem consulta.

02 – Duração: 2 HORAS

1) Os elementos químicos podem ser encontrados na natureza com diferentes massas atômicas. Para representar um determinado nuclídeo devemos apresentar o símbolo acompanhado de seu número de atômico no índice inferior e seu número de massa no índice superior. Um nuclídeo que contém 82 prótons e 126 neutrons, pode ser representado como:

a)20882𝑋

b)12682𝑋

c)16482𝑋

d)29082𝑋

e)20882𝑋

2) Íons são formados quando um ou mais elétrons se transfere de um átomo neutro para outro. Partículas com cargas opostas se atraem formando os compostos iônicos. Compostos iônicos são aqueles nos quais a ligação química do tipo iônica prevalece. Assim, dos compostos: N2O, Na2O, CaCl2, SF4 quais poderiam ser

classificados como iônicos? a) Na2O e SF4

b) Na2O e CaCl2

c) N2O e SF4

d) N2O e Na2O

e) CaCl2, SF4

3) A reação CaCO3 (s)  CaO (s) + CO(2) (g) pode ser classificada como:

a) combustão b) oxi-redução c) decomposição d) dupla troca

4) A cinética da reação entre iodeto de potássio (KIO3) e tiossulfato de sódio (NaHSO3) pode ser acompanhada

facilmente dado a mudança de cor da solução após a formação de iodo (I2): a solução que é translúcida e

incolor torna-se cor palha após a formação do iodo. A reação química é representada pela equação: 2KIO3 (aq) + 5NaHSO3 (aq)  I2 (s) + 5SO42- + H2O (l) + 2K+ (aq) + 5Na+(aq) + 3H+ (aq)

Os seguintes dados experimentais foram obtidos:

Experimento [KIO3]/mol.L-1 [NaHSO3]/mol.L-1 Velocidade inicial/

mol.L-1_.s-1

1 0,01 0,01 0,003

2 0,02 0,01 0,012

3 0,01 0,02 0,003

A ordem da reação para KIO3 e NaHSO3 são respectivamente:

a) 2 e 5 b) 2 e 1 c) 1 e 0 d) 2 e 0

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5) O enxofre é um elemento muito importante para a humanidade. É usado em vários setores como na medicina e na agricultura. Na natureza pode ser encontrado em seu estado livre, como um sólido formado por anéis octatômicos. Pode ainda ser encontrado ligado a outros átomos formando diferentes compostos. Um dos compostos mais nocivos a humanidade que o enxofre forma é o gás sulfídrico, também conhecido como sulfeto de hidrogênio. Esse gás é formado pela decomposição de matéria orgânica na ausência de oxigênio. Em relação ao estado químico do enxofre, podemos afirmar que o número de oxidação do enxofre nos compostos S8 e H2S é, respectivamente:

a) 0 e 6 b) 0 e -2 c) -2 e 0 d) 6 e -2 e) 0 e 2

RESOLUÇÃO

S8 é a forma elementar do enxofre, por regra o número de oxidação é igual a 0.

H2S: O hidrogênio tem número de oxidação +1 quando ligado a um não metal; como a molécula é neutra, o

enxofre só pode assumir número de oxidação igual a -2.

6) Sabendo-se que o número de Avogadro fornece o fator de conversão entre a quantidade de matéria e a quantidade de objetos químicos (átomos, íons, moléculas, etc) que desejamos determinar, calcule o número de mol de íons cálcio presente em 0,25 mol de CaCO3. Dados: Ca= 40 g mol-1; C = 12 g mol-1; O= 16 g mol-1.

RESOLUÇÃO

Se 1 mol de CaCO3 contém 1 mol de Ca2+, logo 0,25 mol de CaCO3 contém 0,25 mol de Ca2+

7) Um aluno de iniciação científica está preparando padrões de íons sódio para calibração de um fotômetro de chamas. Ao inserir no equipamento uma solução, foi obtido a concentração de 0,010 mol L-1_{de NaNO}

3.

Expresse esta concentração em partes por milhão (ppm) de sódio. Mostre os cálculos. Dados: Na = 23 g mol-1_{; N = 14 g mol}-1_{; O= 16 g mol}-1

RESOLUÇÃO

1 Mol de NaNO3 tem 1 mol de Na Logo:

0,010 mol L-1_{de NaNO}

3 tem 0,010 mol L-1 de Na

1 mol de Na = 23 g <=> 0,010 = 0,23g Se 1 ppm = 1 mg L-1

Então 0,23g de Na estão em 1L de solução = 0,23g/L = 230mg/L = 230 ppm de sódio

8) Um estudante está se preparando a atividade pré laboratório da aula sobre medida de pH. Em uma das atividades será feita a medida do valor do pH de uma solução de KOH 0,010 mol L-1_{. Nesta atividade, o}

estudante tem que estimar o valor lido no pHgâmetro. Sabendo que pH é igual a –log [H+_{], qual o pH da}

solução? Mostre os cálculos. Dados: pkw= 1x10-14_{; pkw= pka + pkb}

RESOLUÇÃO

KOH  K+_{+ OH} -Forma em mols: 0,010  0,010 0,010 pOH = -log 0,010 pOH= 2 pKw= pka + pkb  pKw = pH +pOH então –log1x10-14_{= pH + pOH}

logo 14= pH + 2 pH = 12

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9) Um técnico de laboratório precisa preparar 250 mL de uma solução de hidróxido de amônio 0,250 mol L-1_.

No almoxarifado do laboratório ele encontrou um frasco de NH4OH 28% m/m. Mas para facilitar as contas

ele precisa saber a concentração em mol L-1_{desse reagente. No frasco ele encontrou que a massa específica}

era 0,900 g ml-1_{e que a massa molar é 35,0 g mol}-1_{. Com base nesses dados, calcule a concentração do}

NH4OH, em mol L-1 encontrado no almoxarifado.

RESOLUÇÃO

É informado no frasco que para cada 100 g de solução 28 g são de NH4OH.

Pela massa específica sabemos que 1L de solução equivalem a 900 g de solução. determina-se a massa de NH4OH presente em 1L de solução:

100 g ----28g 900g ---x

X= 252 g de NH4OH

Usando a massa molar, transforma-se essa quantidade de massa em mol: 252/35,0 = 7,2 mol como essa massa equivalia a 1L, temos que esse valor de quantidade de matéria é para 1 L. Portanto a concentração da solução encontrada no almoxarifado é 7,2 mol L-1_.

10) A ingestão em excesso de bebidas alcoólicas pode causar mal-estar principalmente devido a oxidação do etanol (C2H5OH) em aldeído acético (C2H4O) pela ação da enzima desidrogenase alcoólica (ADH) no fígado.

Em laboratório o aldeído acético pode ser sintetizado pela deidrogenação do etanol conforme reação abaixo: C2H5OH (l)  C2H4O (l) + H2 (g)

Calcule a entalpia da reação acima (Ho

r), nas condições padrão, considerando as entalpias de formação

padrão: Ho

f C2H5OH (l) = -278 kJ.mol-1;Hof C2H4(l) = -192 kJ.mol-1

RESOLUÇÃO

Aplicando a lei de Hess, com base nas entalpias padrão de formação, temos que: C2H5OH (l)  2C (s, gr) + 3H2 (g) + ½O2 (g) Ho = 278 kJ.mol-1

2C (s, gr) + 2H2 (g) + ½O2 (g)  C2H4O (l) Ho = -192 kJ.mol-1