TERMODINÂMICA E ESTRUTURA DA

(1)

TERMODIN ˆ

AMICA E ESTRUTURA DA

MAT´

ERIA

Transporte de Energia

Existem trˆes formas de realizar o transporte de energia (muitas vezes referido como transporte de calor :

• Condu¸cão • Conveçcão • Radia¸cão

Trataremos aqui o transporte de energia por condu¸cão e conveçcão, seguindo uma via fenomenológica. O transporte de energia por radia¸cão será estudado adoptando uma abordagem microscópica, na qual se utilizarão vários resultados da F´ısica Estat´ıstica.

(2)

CONDUC¸ ˜AO

O transporte de energia por condu¸cão decorre da transferência de ener-gia associada às colisões entre as part´ıculas constitutivas de um material (ou vários materiais em contacto) um (ou mais) gradiente(s) de temperatura. A este fenómeno dão-se também as designa¸cões de condu¸cão térmica ou difusão térmica.

Apresentaremos aqui um tratamento fenomenológico da condu¸cão. Por questões de simplicidade matemática, estudaremos o transporte unidimensional de ener-gia por condu¸cão, num material homogéneo de seçcão constante A, cujas ex-tremidades se encontram a temperaturas diferentes T1 e T2 < T1.

Esquemati-camente:

Corrente T´ermica de Condu¸c˜ao

Designa-se por corrente térmica de condu¸cão a quantidade de energia interna que, devido às colisões entre as part´ıculas constituintes de um material, passa na unidade de tempo através de uma seçcão desse material.

Icond=

dU dt |cond

[Icond] = J s−1= W (SI)

A corrente de condu¸cão Icondcorresponde ao integral, sobre a seçcão do material,

da componente do vector densidade de corrente de condu¸c˜ao−→Jcondque ´e normal

a essa seçcão, isto é,

Icond= Z Z A Jcond⊥dA = Z Z A − → Jcond.−→n dA [Jcond] = W m−2

A defini¸c˜ao anterior mostra que Icondcorresponde ao fluxo de

− →

Jcondatrav´es

da seçcão A. No caso simples do sistema atrás esquematizado, tem-se Icond= JxcondA

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Equa¸c˜ao de Balan¸co de Energia

O transporte de energia por condu¸cão obedece necessariamente a uma equa¸cão de conserva¸cão de energia, a qual se pode estabelecer a partir dos resultados do cap´ıtulo ”Termodinâmica dos sistemas abertos” (seçcão ”Caracteriza¸cão de um Flu´ıdo em Escoamento”). Nesse cap´ıtulo, escreveu-se a equa¸cão geral de con-serva¸cão de uma quantidade extensiva B como

DB Dt = ∂B ∂t + ∆ dB dmρ dx dtA ,

onde o termo ∆X é a representa¸cão simbólica de ∆X ≡ X2− X1

Na equa¸c˜ao anterior: • DB

Dt ... derivada temporal total de B

• ∂B

∂t ... taxa de varia¸c˜ao temporal intr´ınseca de B, no interior de um volume

V, entre t e t + dt • ∆dB dmρ dx dtA = ∆ dB dm dm dV dV dt = ∆ dB

dt ... diferen¸ca entre as quantidades

elementares de B que saem e entram num volume V , entre t e t + dt, por unidade de tempo.

Seja B ≡ V e V o volume do material no interior do qual circula uma corrente t´ermica de condu¸c˜ao.

Icond= dU dt |cond= uρdV dt (dU = uρdV ) onde

- u ≡ _dmdU .. energia interna m´assica das part´ıculas constitutivas do material - ρ ≡ dm_dV ... massa vol´umica do material

onde se eliminou o ´ındice ”cond” a fim de simplificar a nota¸c˜ao. Pode escrever-se: DU Dt = ∂U ∂t + ∆ dU dt

tendo-se DU_Dt =R R R_V σdV , em que σ ´e a taxa de produ¸c˜ao de energia interna no interior de V, por unidade de tempo e por unidade de volume.

∂U ∂t = ∂ ∂t Z Z Z V ρudV U = Z Z Z V dU = Z Z Z V ρudV

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∆ dU dt = ∆I = I2− I1= Z 2 1 ∂I ∂xdx = Z Z Z V ∂ ∂x I AdV = Z Z Z V ∂Jx ∂xdV Tem-se pois, Z Z Z V σdV = ∂ ∂t Z Z Z V ρudV + Z Z Z V ∂Jx ∂xdV

e atendendo a que o volume V pode ser qualquer, obtemos a Equa¸cão de Balan¸co de Energia, devido à condu¸cão

∂(ρu)

∂t +

∂Jx

∂x = σ Em regime estacion´ario:

∂(ρu)

∂t = 0 ⇒

∂Jx

∂x = σ Se h´a conserva¸c˜ao de energia interna em V :

σ = 0 ⇒∂(ρu)

∂t +

∂Jx

(5)

Lei de Fourier

A rela¸cão fenomenológica entre a densidade de corrente de condu¸cão Jxe a

varia¸cão da temperatura segundo a direçcão Ox, ∂T_∂x, expressa-se como Jx= −k

∂T ∂x ´

E a Lei de Fourier (1815), onde k é a condutividade térmica ([k] = W m−1k−1) A lei de Fourier é bem verificada experimentalmente, desde que as varia¸cões de temperatura não sejam muito elevadas, nem muito reduzidas. O sinal menos nesta lei, mostra bem que a corrente de condu¸cão se encontra orientada no sentido das temperaturas decrescentes.

A tabela que se segue apresenta valores da condutividade térmica de vários materiais. Material k (W m−1K−1) Prata 418 Cobre 290 A¸co Inox 16 Vidro 1.2 Betão 0.92 Tijolo 0.84 ´ Agua (293K) 0.6 Corpo Humano 0.5 Cimento 0.3 Madeira 0.23

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Equa¸c˜ao de Condu¸c˜ao

A equa¸cão de condu¸cão obtém-se utilizando a lei de Fourier na equa¸cão de balan¸co de energia, devido à condu¸cão.

∂(ρu) ∂t + ∂ ∂x −k∂T ∂x = σ

ou, para um material homog´eneo de condutividade t´ermica constante, ∂(ρu)

∂t = k ∂2_T

∂x2 + σ

A equa¸c˜ao anterior pode ser escrita, fazendo intervir o calor espec´ıfico m´assico a volume constante, do material,

Cmv = 1 m ∂U ∂T V = ∂U ∂T V ⇒ du = CmvdT

Se admitirmos ρ = constante e Cmv = constante (no tempo), pode

escrever-se ∂(ρu) ∂t ∼ ρ ∂u ∂t ∼ ρCmv ∂T ∂t Finalmente, ρCmv ∂T ∂t = k ∂2T ∂x2 + σ ou ∂T ∂t − Dth ∂2_T ∂x2 = σ ρCmv

Equa¸cão da Condu¸cão (ou da difusão térmica) Dth≡

k ρCmv

Coeficiente de difusão térmico (ou difusibilidade térmica)

A equa¸cão de condu¸cão é uma equa¸cão diferencial de 2a _{ordem em T (x, t),}

a qual permite calcular o perfil espacio-temporal de temperatura num material condutor, conhecidas as condi¸c˜oes fronteira apropriadas.

Na tabela seguinte apresentam-se valores do coeficiente de difusão térmico de vários materiais. Note-se que

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Material Dth(W m−1K−1) Cobre 114 Lat˜ao 33 A¸co Inox 4 Vidro 0.58 Madeira 0.45 ´ Agua (293K) 0.14 Corpo Humano 0.1

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CONVECC¸ ˜AO

O transporte de energia por conveçcão decorre da transferência de energia associada ao transporte das part´ıculas constitutivas de um material (ou vários materiais onde existe(m) um (ou mais) gradiente(s) de temperatura.

Apresentaremos aqui um tratamento fenomenológico da conveçcão. Por questões de simplicidade matemática, estudaremos o transporte unidimensional de energia por conveçcão, num meio homogéneo à temperatura T1, o qual se

encontra em contacto com um outro meio homog´eneo `a temperatura T2 < T1,

atrav´es de uma superf´ıcie A. Esquematicamente:

Adoptaremos um tratamento matemático do transporte de energia por con-veçcão em tudo semelhante ao seguido no estudo do transporte de energia por condu¸cão.

Lei da Convec¸c˜ao

• Corrente de conveçcão e densidade de corrente de conveçcão: Iconv=

dU dt|conv

= JxcondA

• Equa¸cão de balan¸co da energia, devido à conveçcão ∂(ρu)

∂t |conv

+∂Jxconv

∂x = σconv • Lei da conveçcão (análoga à lei de Fourier)

Jconvx = −h(x)(T2− T1) = h(x)∆T (∆T ≡ T1− T2> 0)

onde h(x) é o coeficiente de conveçcão ([h] = W m−2K−1)

O coeficiente de convec¸c˜ao depende:

– do meio onde ocorre convec¸c˜ao (geralmente l´ıquido ou gasoso) – da geometria

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RESIST ˆENCIAS T ´ERMICAS

Os fenómenos de condu¸cão térmica e de conveçcão podem ser considerados em simultâneo, utilizando o conceito global de Resistência Térmica. Este trata-mento reveste-se de um interesse prático evidente, uma vez que este fenómenos ocorrem frequentemente associados um ao outro.

Considere-se um sistema onde existem correntes de condu¸cão e conveçcão, em regime estacionário. Se nesse sistema se verificar um conserva¸cão de energia interna, pode escrever-se:

∂(ρu)

∂u |cond,conv

= 0 (regime estacionario) σcond,conv= 0 (cons. energia interna)

⇒ ∂Jx

∂x |cond,conv

= 0 isto ´e,

Jxcond,conv = constante

Integrando a lei de fourier para a condu¸c˜ao obt´em-se Z x2 x1 Jxconddx = −k Z x2 x1 ∂T ∂xdx (Jxcond = Icond A = constante) Icond A l = k∆T onde l ≡ x2− x1 ∆T ≡ T1− T2> 0

A partir da lei de conserva¸c˜ao obt´em-se Iconv

A = h∆T

Estas duas ´ultimas equa¸c˜oes podem escrever-se: ∆T = RthI

onde Rthrepresenta a resistência térmica (de condu¸cão ou de conveçcão).

Resistência Térmica de Condu¸cão: Rcond=

l kA

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Resistência Térmica de Conveçcão: Rconv= 1 hA [Rth] = KW−1 Em geral, verifica-se: • em meios sólidos: Rcond Rconv

dom´ınio da condu¸c˜ao t´ermica. • em meios l´ıquidos ou gasosos

Rconv Rcond

dom´ınio da convec¸c˜ao.

A analogia evidente entre a equa¸c˜ao ∆T = RthI e a Lei de Ohm para

a condu¸cão eléctrica permite a utiliza¸cão de vários resultados relativos a re-sistências e circuitos eléctricos no estudo de resistências e circuitos térmicos.

Um exemplo óbvio refere-se às leis de associa¸cão de resistências. • Associa¸cão de Resistências Térmicas em Série:

I =∆T RT = T1− T2 RT =T1− Ti R1 =Ti− T2 R2 T1− T2= RTI T1− T2= (T1− Ti) + (Ti− T2) = R1I + R2I ⇒ RT = R1+ R2

• Associa¸cão de Resistências térmicas em paralelo ∆T = Ti− Tf= RTI = R1I1+ R2I2 I =∆T RT I = I1+ I2= ∆T R1 +∆T R2 ⇒ 1 RT = 1 R1 + 1 R2

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Aplica¸c˜ao - Aquecimento de um quarto com janela

Um quarto é aquecido por forma a ter uma temperatura constante e igual a 20oC. No exterior, a temperatura ambiente é de 10oC. O quarto tem uma janela, com uma àrea de 1m2, cujo vidro tem uma espessura de 2mm.

A condutividade t´ermica do vidro ´e kv = 0.8 W m−1K−1, o coeficiente de

conveçcão na face interior da janela é hint= 9 W m−2K−1e na sua face exterior

´e hext= 17 W m−2K−1

Calcular:

a) A potˆencia do radiador que mant´em a temperatura do quarto

b) A diferen¸ca de temperatura entre as faces do interior e exterior da janela Os resultados antes apresentados sobre resistências térmicas podem ser uti-lizados para resolver esta aplica¸cão. Esquematicamente tem-se:

sendo, Rint= 1 hintA = 1 9 × 1 = 0.11 W −1_K _{(resistencia conveccao)} RV = l kvA = 2 × 10 −3 0.8 × 1 = 2.5 × 10 −3 _W−1_K _{(resistencia conducao)}

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Rext= 1 hextA = 1 17 × 1= 0.06 W −1_K _{(resistencia conveccao)}

A resistência térmica total é dada por:

Rt= Rint+ Rv+ Rext= 0.11 + 2.5 × 10−3+ 0.06 = 0.17 W−1K

a) A potência do radiador que mantém a temperatura do quarto é dada por: Prad= I = ∆T RT =Tint− Text RT =20 − 10 0.17 = 58.8 W

b) A diferen¸ca de temperatura entre as faces interior e exterior da janela calcula-se como

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RADIAC¸ ˜AO

O transporte de energia por radia¸cão decorre da transmissão de energia através da propaga¸cão de ondas electromagnéticas. A interpreta¸cão das leis ex-perimentais da radia¸cão foi realizada por Planck em 1898, através da introdu¸cão da famosa hipótese de Planck :

”As trocas de energia entre matéria e radia¸cão fazem-se através de quanta de energia, chamados fotões.”

O transporte de energia por radia¸cão será aqui estudado adoptando uma abordagem microscópica, na qual se utilizarão vários resultados da F´ısica Es-tat´ıstica.

A emissão e absor¸cão de radia¸cão pela matéria realiza-se através da in-teraçcão de ondas electromagnéticas com os osciladores eléctricos (dipolos eléctricos oscilantes) que constituem os materiais, sendo dependente das temperaturas do corpo emissor, Te, do meio de propaga¸cão, T0, e do corpor receptor, Tr.

Os fenómenos de emissão e absor¸cão desempenham um papel muito impor-tante no estabelecimento do equil´ıbrio entre radia¸cão e matéria, situa¸cão na qual se deve ter Te= T0= Tr.

A forma mais simples de caracterizar um campo de radia¸cão à temper-atura T, consiste em estudar as propriedades de um corpo totalmente absorve-dor/emissor de radia¸cão (corpo negro), em equil´ıbrio a essa temperatura.

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O Problema da Radia¸c˜ao do Corpo Negro

Consideremos um corpo sólido, em equil´ıbrio térmico com o exterior a uma dada temperatura T, no interior do qual existe uma cavidade cúbica onde se fez vácuo.

Dentro desta cavidade existirá um campo de radia¸cão, devido aos fenómenos de emissão que ocorrem ao n´ıvel das part´ıculas elementares que constituem o corpo. Além desses fenómenos de emissão (perfeita), deverão igualmente ocor-rer fenómenos de absor¸cão (perfeita), de tal forma que em equil´ıbrio as carac-ter´ısticas da radia¸cão no interior da cavidade se deverão manter estacionárias, não havendo em média quaisquer trocas de energia entre as diversas partes do corpo, todas à mesma temperatura T.

O nosso objectivo aqui consiste em determinar a energia existente no interior da cavidade, analisando a sua distribui¸cão em fun¸cão da frequência ν (ou do comprimento de onda λ) das ondas electromagnéticas presentes na cavidade.

Em consequência das múltiplas reflexões nas paredes da cavidade, essas on-das electromagnéticas, em equil´ıbrio com os osciladores electromagnéticos que constituem o corpo, são ondas estacionárias.

Deste modo, a situa¸c˜ao para o campo el´ectrico destas ondas: − → E (−→r , t) =−→E0ej( − → k .−→r −wt)₌−→_E 0ej(kxx+kyy+kzz−wt)

tem que verificar as seguintes condi¸c˜oes de periodicidade:    ejkxx_{= e}jkx(x+L) ejkyy_{= e}jky(y+L) ejkzz_{= e}jkz(z+L) isto ´e,    kx(x + L) = kxx + 2πnx ky(y + L) = kyy + 2πny kz(z + L) = kzz + 2πnz ⇔    nx=_2πLkx ny= _2πLky nz= _2πLkz com nx, ny, nz= 0, ±1, ±2, . . .

Cada conjunto de trˆes valores (nx, ny, nz) define aquilo que se chama um

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Consideremos agora o cont´ınuo dos vectores de onda (kx, ky, kz) e

deter-minemos o n´umero de elementos de modos em cada elemento de volume d3k desse espa¸co: dnxdnydnz= L3 (2π)3dkxdkydkz= V (2π)3d 3_k

sendo V = L3 _{o volume da cavidade c´}_ubica.

A grandeza ρ ≡ _(2π)V 3 × 2 corresponde `a densidade de modos do campo

electromagn´etico, no ”espa¸co−→k ”.

O factor ”2” surge porque para cada vector de onda−→k existem duas direçcões de polariza¸cão independentes (perpendiculares) do campo eléctrico, no plano perpendicular a −→k . O número de modos do campo electromagnético é, pois, duplo do número de modos do vector de onda−→k .

Designando por ρkdk o n´umero de modos do campo, cujo vector de onda

tem o m´odulo compreendido entre k e k + dk, vem: ρkdk = 2V 8π34πk 2_{dk =} V π2k 2_dk

Tem igualmente interesse definir expressões para o número de modos do campo num intervalo dν de frequência, ρνdν, ou um intervalo dλ de comprimento

de onda, ρλdλ. Obviamente, ρkdk = ρνdν = ρλdλ e como k = 2π λ ⇒ dk = 2π λ2dλ (em modulo) k = 2πν c ⇒ dk = 2π c dν obt´em-se finalmente

ρνdν = 8πV ν2_dν c3 ρλdλ = 8πV dλ λ4

Ora, o número de modos do campo deve corresponder, no equil´ıbrio, ao número de osciladores electromagnéticos associados à matéria da parede.

Note-se que o n´umero de osciladores dNosc−→_{r ,−}→_p, em cada elemento de volume

d3_rd3_{p do espa¸}_{co de fases, corresponde ao n´}_{umero de estados quˆ}_{anticos do}

sistema nesse elemento de volume, isto ´e, dNosc−→_{r ,−}→_p =

d3rd3p h3 × 2

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Deste modo, o número de osciladores, no intervalo de momento dp, corre-sponde ao número de estados quânticos do sistema em cada elemento de volume d3rd3p do espa¸co de fases, para um dado módulo do momento do sistema entre p e p + dp. dNp≡ ρpdp = Z − →_r Z ˆ angulos p d3_rd3_p h3 × 2 = 2V 4πp2_dp h3

onde se teve em conta a simetria esf´erica do espa¸co dos momentos.

O momento linear p de cada oscilador confunde-se com o momento de cada fotão, emitido ou absorvido. Analogamente, a frequência de vibra¸cão ν de cada oscilador confunde-se com a frequência de cada fotão, emitido ou absorvido.

A rela¸cão entre o momento p e a frequência ν de cada fotão pode ser encon-trada a partir da expressão relativistica da energia ε de uma part´ıcula de massa m:

ε2= p2c2+ m2c4

Utilizando a hip´otese de Planck sobre o quantum de energia εf ot= hν ,

e o facto do fot˜ao ter massa nula, conclui-se que hν = pc ⇒ p = hν c

conhecida como a rela¸cão de De Broglie. Esta rela¸cão pode ser substitu´ıda na expressão de ρpdp, a fim de obter o número de osciladores no intervalo de

frequˆencia dν

dNν ≡ ρνdν = V

8πν2 c3 dν .

Como, numa perspectiva clássica, a energia média de cada oscilador é dada pelo Teorema da Equiparti¸cão da Energia (ε = kbT ), podemos escrever:

• Densidade espectral da energia, no intervalo de frequˆencia dν Wνdν =

8πν2

c3 kbT dν

• Densidade espectral da energia, no intervalo de comprimento de onda dλ (Lei de Rayleigh-Jeans)

Wλdλ =

8π λ4kbT dλ

A lei clássica do radiamento de Rayleigh-Jeans não concorda, porém, com a experiência quando λ → 0. É a conhecida Catástrofe do Ultravioleta

Com efeito,

lim

λ→0Wλ(λ) = ∞

o que se encontra em clara contradi¸c˜ao com o valor finito experimentalmente observado para Wλ(0).

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Lei de Planck para a Radia¸c˜ao do Corpo Negro

O problema da catástrofe do ultravioleta foi resolvido por Max Planck, através da introdu¸cão da famosa ”hipótese de Planck” relativa à distribui¸cão de osciladores harmónicos electromagnéticos, de diferentes frequências ν

1) A energia dos osciladores encontra-se quantificada, sendo proporcional `a frequˆencia ν de cada oscilador (no n´ıvel n = 0, 1, 2, . . .).

εn= nhν

Nesta express˜ao, introduziu-se a constante de Planck: h = 6.63 × 10−34Js

2) As trocas de energia entre matéria e radia¸cão fazem-se através do quantum de energia hν, chamado fotão:

∆ε = εn+1− εn = hν = εf otao

3) Num sistema em equil´ıbrio `a temperatura T , os osciladores distribuem-se de acordo com a sua energia εm, segundo uma estat´ıstica de

Maxwell-Boltzmann

A probabilidade de encontrar um oscilador, de frequˆencia ν, no n´ıvel de energia m:

Pm=

e−kbTεm

z

Sendo que a fun¸c˜ao de parti¸c˜ao de um oscilador:

z =X

n

e−kbTεn

Estas hip´oteses ”ad-hoc” resolvem a singularidade da lei de Rayleigh-Jeans para λ → 0(ν → ∞), mantendo o seu comportamento correcto para λ → ∞(ν → 0)

(18)

Na figura acima, representou-se do lado esquerdo a situa¸cão relativa ao Lim-ite Quântico (espectro discreto), e do lado direito aquela relativa ao Limite Clássico (espectro cont´ınuo).

Ao ligar a energia à frequência, Planck torna mais improvável a existência de osciladores excitados de frequência elevada, já que estes exigem ao meio en-ergias cada vez mais elevadas e superiores mesmo à energia térmica kbT . Se, na

abordagem clássica, há que considerar uma infinidade de osciladores excitados, no modelo de Planck há cada vez menos osciladores excitados a considerar, à medida que cresce a frequência, o que faz diminuir a sua energia média e elimina a singularidade.

As hipóteses anteriores podem-se utilizar no cálculo da energia média ε de um oscilador de frequência ν. Esta define-se como

ε ≡ U

N ,

onde N é o número total de osciladores e U é a sua energia interna dada por

U =

∞

X

n=0

Nnεn .

Nesta expressão, Nn representa a ocupa¸cão média do n´ıvel de energia εn, dada

pela distribui¸c˜ao de Maxwell-Boltzmann (com β ≡ 1/kbT )

Nn= N e−βεn z , pelo que U = N P∞ n=0εne−βεn P∞ m=0e−βεm = −N z ∂z ∂β , ou seja ε = −1 z ∂z ∂β .

(19)

A fun¸cão de parti¸cão de um oscilador é dada pela expressão: z =X n e−kbTεn ₌X n e−nhνβ = ∞ X n=0 (e−βhν)n isto é, z = 1 1 − e−βhν Tem-se finalmente ε = −(1 − e−βhν) −hνe −βhν (1 − e−βhν₎2 = hνe−βhν 1 − e−βhν ou seja, ε = hν eβhν_{− 1}

A energia média de um oscilador pode ser calculada nos seus limites clássico e quântico • Limite Clássico: hν kbT ⇒ e hν kbT _{∼ 1 +} hν kbT ε ' hν 1 + hν kbT − 1

= kbT (Teorema da equiparti¸c˜ao da energia)

• Limite Quˆantico: hν kbT ⇒ e

hν kbT ₁

ε ' hν ekbThν

→ 0

Finalmente, a expressão da energia média de um oscilador, de frequência ν, pode ser utilizada para recalcular as expressões da densidade espectral de energia

• Densidade espectral da energia, no intervalo de frequˆencia dν Wνdν = ρνdν ε V Wνdν = 8π c3 hν ekbThν _{− 1} ν2dν

• Densidade espectral de energia, no intervalo de comprimento de onda dλ Wλdλ = 8π hc λ eλkbThc _{− 1} dλ λ4

(20)

Estas express˜oes correspondem `a Lei de Planck, cujas principais caracter´ısticas se podem sintetizar nos pontos seguintes:

1) Não diverge no limite λ → 0, resolvendo a catástrofe dos ultravioleta. Está em perfeito acordo com o espectro experimental de radia¸cão dos corpos a uma dada temperatura.

Permite recuperar a lei de Rayleigh-Jeans, no limite cl´assico.

2) O comprimento de onda, λmax, para o qual a energia radiada ´e m´axima

obtém-se pela condi¸cão de estacionaridade: ∂Wλ(λ) ∂λ |λ=λmax = 0 isto é, ∂ ∂λ h λ5eλkbThc _{− 1} i λ=λmax = 0 ou ainda ∂ ∂yy −5_(ey_{− 1)} |y=y∗ = 0 (y = hc λkbT ) A solu¸cão numérica desta equa¸cão é:

y∗= hc λmaxkbT

' 4.96511 ou seja, obtemos a Lei de Wien

λmax=

B T com B = 2.898 × 10−3mK

(Lei de Wien)

(21)

(Lei de Stefan)

⇒ W (T1) > W (T2) > W (T3)

T(K) λmax obs

2.72 1.06 mm Radi¸cão de fundo do Universo (micro-ondas) 300 9.66 µm Defini¸cão de corpo negro (infravermelho) 5800 0.5 µm Radia¸cão emitida pelo sol (amarela)

3) A energia total, por unidade de volume, obtém-se somando as contribui¸cões em todas as frequências ou comprimentos de onda, isto é, integrando a Lei de Planck. W (T ) = Z ∞ 0 Wλdλ = Z ∞ 0 8π hc λ5 eλkbThc _{− 1} dλ = = 4 c 2πk4 b h3_c2 Z ∞ 0 y3 ey_{− 1}dy T4 Como Z ∞ 0 y3 ey_{− 1}dy = π4 15 Vem, Lei de Stefan W (T ) = 4σ c T 4 Constante de Stefan-Boltzmann σ = 2π 5_k4 b 15h3_c2 = 5.667 × 10 −8_{W m}−2_K−4

(22)

Potência espectral radiada por um corpo negro, no vácuo Na seçcão anterior encontrámos a expressão da energia espectral total, por unidade de volume, associada ao campo de radia¸cão gerado por um corpo negro, em equil´ıbrio térmico à temperatura T , no vácuo.

Os resultados obtidos podem agora utilizar-se para obter a expressão da energia espectral radiada por unidade de tempo (potência espectral radiada), através de um elemento de superf´ıcie dS do corpo negro, segundo um ângulo sólido dΩ, rodado em torno da direçcão que faz um ângulo θ com a normal à superf´ıcie.

Se continuarmos a considerar que o corpo negro se encontra no vácuo (isto é, na ausência de outros campos de radia¸cão para além daquele criado pelo próprio corpo), teremos que, numa situa¸cão de equil´ıbrio, a potência espectral realizada pelo corpo entre ν e ν + dν é dada por

(dPν)c.negro_rad =

Wνdν(−→c .−→n )dtdSdΩ_4π

dt = Wνc cos θdνdS

dΩ 4π,

onde c representa a velocidade da radia¸cão electromagnética no vácuo, e dΩ_4π é o peso associado à contribui¸cão da potência no interior do cilindro de base dS e altura c cos θdt

(23)

Emissividade de um corpo

A expressão anteriormente obtida para a potência espectral radiada aplica-se a um corpo negro (em equil´ıbrio à temperatura T), isto é, um corpo totalmente emissor/absorvedor de radia¸cão.

No caso dum corpo em geral, apenas uma parte da potência que incide na sua superf´ıcie (interior/exterior) é emitida/absorvida, observando-se uma reflexão nessa superf´ıcie da restante potência incidente.

Define-se emissividade espectral, eν, de um corpo como a raz˜ao entre as

potências espectrais radiadas, segundo a mesma direçcão, por esse corpo e por um corpo negro equivalente, à mesma temperatura:

eν =

(dPν)rad

(dPν)c.negro_rad

(0 ≤ eν ≤ 1)

A emissividade espectral dum corpo é uma propriedade desse corpo, depen-dendo do material que o constitui e da sua geometria. Além disso, para um dado corpo, eν depende da frequência da radia¸cão, da sua direçcão de incidência e da

temperatura do corpo. Conclui-se assim que existem corpos que reflectem ou absorvem a radia¸c˜ao que sobre eles incide de forma selectiva, de acordo com a sua frequˆencia (ou o seu comprimento de onda).

Para se entender totalmente a no¸cão de emissividade espectral de um corpo em equil´ıbrio, imaginemos que esse corpo se encontra no interior de uma cavi-dade onde se fez vácuo, não havendo quaisquer trocas de energia com o exterior.

Nestas condicões, o sistema atingirá um estado de equil´ıbrio a uma dada temperatura T , existindo na cavidade um campo de radia¸cão que obedece à distribui¸cão de Planck. Devido a este campo de radia¸cão, estará constantemente a incidir, no elemento de superf´ıcie dS do corpo, uma potência espectral

(dPν)inc= Wν0c cos θdνdS

dΩ 4π

onde Wν0dν representa a densidade espectral de energia do campo de radia¸c˜ao,

no interior da cavidade em v´acuo, em equil´ıbrio `a temperatura T .

A fraçcão de potência incidente que é absorvida pelo corpo é dada por (dPν)abs= aν(dPν)inc

(24)

onde aν representa o factor de absor¸c˜ao espectral do corpo.

Naturalmente que o corpo evacua uma determinada quantidade de energia, através da sua fronteira. A potência espectral radiada pelo corpo é, como se viu anteriormente:

(dPν)rad= eν(dPν) c.negro rad

No equil´ıbrio deve verificar-se Z S Z Ω Z ν [(dPν)rad− (dPν)abs] = 0

isto é, a potência total absorvida pelo corpo deve ser igual à potência total por ele radiado através da superf´ıcie.

Esta equa¸c˜ao pode reescrever-se utilizando resultados anteriores: Z S Z Ω Z ν eνWν− aνWν0 c cos θdν dΩ 4πdS = 0

Esta rela¸c˜ao tem que se verificar, qualquer que seja o corpo, quaisquer que sejam as suas propriedades f´ısicas e qu´ımicas e qualquer que seja a sua geometria. Assim,

eνWνdν = aνWν0dν

e como em equil´ıbrio Wνdν = Wν0dν, vem finalmente,

eν= aν

A igualdade entre a emissividade espectral de um corpo e o seu factor de absor¸cão espectral confirma o que atrás se disse acerca de um corpo negro: um bom absorvedor de radia¸cão é também um bom emissor de radia¸cão (eν =

aν = 1). Inversamente, conclui-se tamb´em que se um corpo em equil´ıbrio n˜ao

absorver radia¸cão de uma determinada frequência, então tão pouco a poderá emitir (eν = aν= 0)

Esquematicamente:

• Corpo Negro

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– N˜ao reflecte – N˜ao difunde

– N˜ao transmite radia¸c˜ao1

– Absorve toda a radia¸c˜ao incidente – Emite toda a radia¸c˜ao gerada. • Corpo Branco

eν = 0 , ∀ν,θϕ

– Reflecte – Difunde

– Transmite toda a radia¸c˜ao

– Não absorve nenhuma radia¸cão incidente – Não emite nenhuma radia¸cão gerada • Corpo Cinzento

0 < eν< 1

1_{Por isso n˜}_{ao pode ser ”visto” pela ”luz” que difunde. Talvez por isso se lhe chame ”corpo}

negro”. A designa¸cão presta-se, no entanto, a confusão, já que ele é um emissor perfeito de luz.

(26)

Emitância de um corpo (potência total radiada por unidade de área) A equa¸cão para a potência espectral radiada por um corpo, depois de sub-stitu´ıda na equa¸cão relativa ao corpo negro, pode ser integrada em todas as direçcões de meio espa¸co (−→c .−→n > 0) vindo

EνdνdS =≡

Z

meio espa¸co(dPν)rad= Z π₂ θ=0 Z 2π ϕ=0 eνWνc cos θ dΩ 4πdνdS onde se introduiu a Emitˆancia Espectral, Eν, do corpo.

Se a radia¸cão emitida for isotrópica, o que sucederá se a emissividade espec-tral do corpo não depender dos ângulos, tem-se (dΩ = sin θdθdϕ)

EνdνdS = eνWνc 4π Z π₂ θ=0 cos θ sin θdθ Z 2π ϕ=0 dϕdνdS = eνWνc 4π 1 22πdνdS ou seja, EνWνdS = eν Wνdνc 4 dS

Integremos agora a equa¸c˜ao anterior sobre todo o espectro de frequˆencias Z ∞ 0 EνdνdS = Z ∞ 0 eν Wνdνc 4 dS

O membro esquerdo desta equa¸c˜ao permite introduzir a Emitˆancia Total, E do corpo E ≡ Z ∞ 0 Eνdν ≡ dPrad dS

a qual corresponde à potência total radiada pelo corpo, por unidade de área. O membro direito da mesma equa¸cão pode ser calculado para um corpo negro (eν = 1), utilizando a Lei de Stefan

Z ∞ 0 Wνdνc 4 = c 4W = c 4 4σ c T 4_{= σT}4

Introduzindo a Emissividade Total, e, do corpo como uma m´edia ponderada de eν: e ≡ R∞ 0 eνWνdν c 4 R∞ 0 Wνdν c 4 = R∞ 0 eνEνdν R∞ 0 Eνdν

Pode finalmente escrever-se, a partir destas equa¸c˜oes dPrad

dS ≡ E = eσT

(27)

Factores de Forma (no transporte de energia por radia¸c˜ao, entre dois corpos)

Consideremos dois corpos, `as temperaturas T1e T2, com emissividades totais

e1e e2 e com ´areas S1e S2, entre os quais ocorre um transporte de energia por

radia¸cão. Admita-se que cada um dos corpos radia energia de forma isotópica, o que significa que a potência radiada através da superf´ıcie é independente das coordenadas da superf´ıcie.

A ”corrente de radia¸cão” entre os corpos 1 e 2 (correspondente às trocas de potência entre eles) é expressa, na perspectiva do corpo 1 por

Irad= Prad1 + (1 − e1)Pinc1 − P 1 inc ,

e na perspectiva do corpo 2 por

Irad= −Prad2 − (1 − e2)Pinc2 + P 2 inc .

Conclui-se assim que

Irad= Prad1 − e1Pinc1 ⇒ P 1 inc=

P_rad1 − Irad

e1

ou alternativamente

Irad= −Prad2 + e2Pinc2 ⇒ P 2 inc=

Irad+ Prad2

e2

.

Como é fácil de entender, constrangimentos de natureza geométrica levam a que apenas uma parte da potência radiada por um corpo incida no outro corpo. Designaremos por P_inci,j a fraçcão de potência que incide em i emitida pelo corpo

(28)

j (ap´os ter sido radiada ou reflectida por j). A corrente de radia¸c˜ao entre 1 e 2 pode-se escrever

Irad= Pinc2,1− P 1,2 inc .

Designa-se por Factor de Forma, Fi,j, à fraçcão de potência emitida pelo

corpo i que incide no corpo j, isto ´e

Fi,j = P_inci,j P_emitidai = P_inci,j P_radi + (1 − ei)Pinci .

Os factores de forma são quantidades puramente geométricas, que estão para a radia¸cão como os coeficientes de capacidade estão para a electricidade.

Com esta defini¸c˜ao, a corrente de radia¸c˜ao entre 1 e 2 pode-se escrever na forma

Irad= F2,1Prad1 + (1 − e1)Pinc1 − F1,2Prad2 + (1 − e2)Pinc2

. Finalmente, as potˆencias radiadas pelos corpos 1 e 2 podem relacionar-se com as suas temperaturas, as suas emissividades e as suas ´areas, de acordo com

dP1 rad dS = e1σT 4 1 ⇒ P 1 rad= e1S1σT14 dP2 rad dS = e2σT 4 2 ⇒ P 2 rad= e2S2σT24 .

As 5 equa¸c˜oes anteriormente obtidas para Pi

inc (i = 1, 2), Irad e Pradi (i =

1, 2) podem ser resolvidas em ordem `a corrente de radia¸c˜ao entre 1 e 2, obtendo-se Irad= F1,2σT14S1− F1,2σT24S2 1 + F1,2 1 − e1 e1 + F2,1 1 − e2 e2 .

Se for T1 = T2, ent˜ao os corpos 1 e 2 encontram-se em equil´ıbrio t´ermico

verificando-se Irad= 0. Nessas condi¸c˜oes, a express˜ao anterior conduz a

F1,2S1= F2,1S2

que ´e o chamado Teorema da Reciprocidade.

A express˜ao da corrente de radia¸c˜ao entre os corpos 1 e 2 resulta simplificada se utilizarmos o Teorema da Reciprocidade

Irad= S1σ(T14− T 4 2) 1 F1,2 +1 − e1 e1 +S1 S2 1 − e2 e2 .

Em geral, os factores de forma não são simples de calcular, encontrando-se tabelados apenas para as geometrias mais simples. Nesse sentido, o teorema da reciprocidade pode ser de grande utilidade, já que permite encontrar a expressão

(29)

dum factor de forma (dif´ıcil de calcular), em fun¸c˜ao de outro (que pode ser de c´alculo mais simples).

Um exemplo t´ıpico refere-se à situa¸cão em que um dos corpos radiantes é negro e envolve totalmente o outro (ver figura junta).

Neste exemplo, toda a potˆencia radiada pelo corpo 2 atinge o corpo 1 (F2,1 =

1), mas nem toda a potência radiada pelo corpo 1 atinge o corpo 2. Como se supõe, além disso, que 1 é corpo negro (e1= 1) tem-se

Irad= e2S2σ(T14− T 4 2) .

(30)

Aplica¸c˜oes

Transporte de energia por radia¸c˜ao para o sistema Sol-Terra Consideremos o sistema Sol-Terra.

O Sol tem uma temperatura de superf´ıcie TS e raio RS.

A Terra tem uma temperatura de superf´ıcie TT e raio RT.

Seja d a distˆancia Sol-Terra, e admita-se que estes dois corpos se podem considerar como corpos negros (eSol= eT erra= 1).

- Potˆencia total radiada pelo Sol

P_radS = σT_S44πR2_S - Factor de forma Sol-Terra

FS,T =

πR_T2 4πd2 - Potˆencia incidente (e absorvida) na Terra

P_incT = P_radS FS,T = σTS44πR 2 S πR2_T 4πd2 = σ RS d 2 πR2_TT_S4

- Potˆencia total radiada pela Terra

PradT = σT 4 T4πR

2 T

- Equil´ıbrio t´ermico de radia¸c˜ao para a Terra (Irad= 0)

P_incT = P_radT ⇒ σ RS d

2

πR2_TT_S4= σT_T44πR2_T

Conclui-se portanto que

T_T4= 1 4 RS d 2 T_S4 . Como se tem RS = 6, 96 × 108m d = 1, 49 × 1011m

TS ' 6000 K ⇒ λS ' 483 nm (lei de Wien, zona amarelo)

vem

(31)

O efeito estufa

- A radia¸c˜ao emitida pelo Sol corresponde aproximadamente `a de um corpo negro a 6000 K.

- O máximo de intensidade de radia¸cão do espectro solar ocorre para um com-primento de onda na banda do vis´ıvel (amarelo), correspondente a 483 nm. - Os comprimentos de onda que transportam mais energia na radia¸cão solar

passam atrav´es da atmosfera terrestre.

- No interior da atmosfera, a radia¸c˜ao emitida pela Terra corresponde aproxi-madamente `a de um corpo negro a 300 K.

- A radia¸cão terrestre tem um máximo de intensidade espectral para um com-primento de onda na banda do infravermelho, correspondendo a 10000 nm. - A atmosfera terrestre é opaca à radia¸cão infravermelha, devido à presen¸ca de gases como o CO, CO2 e CFC’s, que absorvem e reemitem radia¸cão nesta

banda.

- Na passagem pela atmosfera, o espectro da radia¸c˜ao terrestre surge desfalcado do seu m´aximo de intensidade.

- O bloqueamento dos infravermelhos é um fenómeno natural benéfico, na me-dida em que impede um arrefecimento nocturno excessivo. É a intensi-fica¸cão deste fenómeno, devido à polui¸cão atmosférica, que constitui uma amea¸ca ao balan¸co térmico da atmosfera, levando ao seu sobreaqueci-mento: EFEITO DE ESTUFA.