Sumário. Cálculo dos juros compostos. Juros compostos conceitos. Exemplos. Cálculo dos juros compostos. Engenharia Econômica e Finanças

(1)

Engenharia Econômica e Finanças

Unidade 3

Capitalização Composta

Professor:

Fábio de Oliveira Alves

Contatos: fabiooalves@yahoo.de fabioa@pitagoras.com.br

EEF 2

Sumário

Conceito de capitalização composta

Fórmulas de cálculo

Exemplos

Comparativo Juros Simples x Juros

Compostos

Equivalência de Capitais

Equivalência de Taxas

Desconto Composto

Engenharia Econômica e Finanças Prof. Fábio Alves

EEF 3

Juros compostos – conceitos

Capitalização Composta: ocorre quando a

taxa de juros incide sobre todo o valor

acumulado até o período anterior. Conhecido como “Juros sobre juros”!

O valor dos juros em cada período aumenta

com o tempo.

EEF 4

Cálculo dos juros compostos

Exemplo 1: Se uma pessoa pegar R$ 800,00

emprestados para pagar depois de 3 meses à taxa de juros compostos de 5% ao mês, quanto ela deverá pagar ao final do prazo?

Tempo (n)

Dívida no inicio do mês

Juro do mês Dívida no fim do mês 1o_mês _800,00 _{0,05 x 800,00 =} 40,00 800,00 + 40,00 = 840,00 2o_mês _840,00 _{0,05 x 840,00 =} 42,00 840,00 + 42,00 = 882,00 3o_mês _882,00 _{0,05 x 882,00 =} 44,10 882,00 + 44,10 = 926,10

EEF 5

Cálculo dos juros compostos

O valor final (Montante) será assim obtido: C = 800,00 1º mês: M1= 800,00 + 0,05 x 800,00 = 800 x (1+0,05)1 2º mês: M2= 800 x (1+0,05)1+ 0,05 x 800 x (1+0,05)1= 800 x 1,05 x 1,05 = 800 x (1,05)2 3º mês: M3= 800 x (1+0,05)2+ 0,05 x 800 x (1+0,05)2= 800 x (1,05)2_{x 1,05 = 800 x (1,05)}3 O Montante ao final do 3o_{mês é: M = C x (1 + i)}3 Então:

₍

₎

n

i

C

M

=

×

1 +

EEF 6

Exemplos

2) Se eu aplicar hoje, R$ 4.500,00 em um fundo de investimento de renda fixa, que retorna, em média, 0,57% ao mês, quanto terei ao final de 7 meses? Solução: Dados: C = 4.500,00 n = 7 meses i = 0,57% a.m. M = ? M = C. (1 + i)n_{M = 4500 x (1,0057)}7 M = R$ 4.682,65

(2)

EEF 7

Exemplos

3) Considere que você receberá, com certeza, daqui a 1 ano, R$ 5.000,00, e deseja utilizar esta quantia para quitar uma dívida contraída hoje. Quanto poderá tomar emprestado hoje, a uma taxa de 3,5% ao mês, em capitalização composta, para pagar após 1 ano?

Dados: M = 5.000,00; n = 1 ano; i = 3,5% a.m.

(

)

(

1 0,035

)

$3.308,92 000 . 5 1 i C 12 C R M C _n ⇒ = + = ⇒ + = EEF 8

Exemplos

4) Por quanto tempo devo aplicar R$ 15.000,00, à taxa de 1,08% ao mês, se desejo obter R$ 20.000,00 ao final do período?

Dados: C = 15.000,00; M = 20.000,00; i = 1,08%; n = ?

M = C x (1 + i)n_{20.000 = 15.000 x (1+0,0108)}n Para resolver esta equação, devemos utilizar logaritmo!

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

n meses n n n n 78 , 26 0108 , 1 log 15 / 20 log 0108 , 1 log 15 / 20 log 0108 , 1 log 15 / 20 log 0108 , 1 000 . 15 000 . 20 = ⇒ = ⇒ × = ⇒ = ⇒ =

EEF 9

Exercícios

5) Se desejo obter R$ 25.000,00 após 1 ano, a que taxa mensal de juro composto devo aplicar R$ 18.000,00 hoje?(R: 2,775% a.m.)

6) Uma loja financia a venda de uma mercadoria que custa a vista R$ 4.000,00, para pagamento em uma única prestação de R$ 4.900,00, após 4 meses. Qual a taxa mensal de juros compostos cobrada pela loja?(R: 5,20% a.m.)

7) Determine o prazo em que duplica um capital aplicado à taxa de juros compostos de 2,35% a.m. (R: 29,84 meses)

EEF 10

Exercícios

8) Se desejo obter R$ 20.000,00 ao final de certo período, aplicando R$ 15.000,00 hoje à taxa de 1,95% ao mês, qual o tempo de aplicação? (R: 14,896 meses)

9) A que taxa de juros compostos um capital deve ser aplicado de forma que se receba um juro correspondente a 25% do valor do capital inicial após 12 meses de aplicação?(R: 1,877% a.m.)

10) Determinar a taxa mensal de juros compostos que faz com que um capital duplique de valor após 1,5 anos.(R: 3,925% a.m.)

EEF 11

Capitalização Simples X Composta

11) Calcular o valor futuro de R$ 1.000,00

aplicado a 2,5% a.m., tanto em juros

simples, como em juros compostos ao

longo de um período de 60 meses.

VP = 1.000,00 i = 2,5% a.m.

EEF 12

Capitalização Simples X Composta

Período Diferença mês Juros SIMPLES M = C * (1+i.n) Juros COMPOSTOS M = C*(1 + i)n Juros Compostos - Simples 1 1025 1025 0 2 1050 1051 1 3 1075 1077 2 4 1100 1104 4 5 1125 1131 6 10 1250 1280 30 15 1375 1448 73 20 1500 1639 139 25 1625 1854 229 30 1750 2098 348 40 2000 2685 685 50 2250 3437 1187 60 2500 4400 1900 MONTANTE VP = 1.000,00 i = 2,5% a.m.

(3)

EEF 13

Capitalização Simples X Composta

Montante com Juros Simples e Compostos

1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 0 10 20 30 40 50 60 Número de meses V a lo r d o M o n ta n te

Montante Juros SIMPLES Montante Juros COMPOSTOS

EEF 14

Exemplos

12) Fernando aplicou certa quantia a juros compostos de 20% ao ano. Aline aplicou a mesma quantia, porém a juros simples. Ao final de 2 anos, eles tinham exatamente o mesmo valor final. Qual a taxa anual da aplicação da Aline? (R: 22% a.a.)

13) Uma aplicação de R$ 5.000,00 é mantida pelo prazo de 6 meses à taxa de juros simples de 30% ao ano. Que outra quantia deve ser aplicada por 4 meses a juros compostos de 1,8% ao mês para se obter o mesmo valor final? (R: R$ 5.353,98)

EEF 15

Exercícios

14) Uma mercadoria é oferecida em uma loja por R$ 580,00 a vista ou para pagamento de 20% de entrada e um pagamento de R$ 500,00 após 60 dias. Qual a taxa mensal de juros compostos cobrada pela loja?(R: 3,80685%)

15) Um agiota cobra uma taxa de juros de 10% a.m. Tomando-se R$ 7.000,00 emprestados com ele, qual é o total de juros pagos, se a dívida for quitada 3 meses após o empréstimo? (R: R$ 2.317,00)

Eng. Econômica e Finanças 16

Dois ou mais capitais C1, C2, C3, ..., Cn, com

vencimentos em diferentes datas t1, t2, t3, ..., tn,

a partir da data de referência t0, são ditos

equivalentes se os seus respectivos valores na data de referência, para determinada taxa de juros i, forem iguais. Se isto ocorrer, tem-se:

onde i é a taxa periódica de juros.

Equivalência de capitais

(

)

(

)

(

)

(

)

tn n t t t i C i C i C i C + = = + = + = + 1 1 ... 1 1 1 2 3 3 2 1

Eng. Econômica e Finanças 17

Exemplo: Verificar se os capitais R$ 1.229,87 e R$ 1.425,76, vencíveis de hoje a 7 e 12 meses, respectivamente, são equivalentes, na data de hoje, considerada a taxa de juros de 3% ao mês.

Para que eles sejam equivalentes, devemos ter:

Efetuando as contas, comprova-se que são equivalentes:

Equivalência de capitais

( ) 1,229873865 1000,00 87 , 1229 03 , 1 87 , 1229 7 = = ₍ ₎ ₁_,_425760887 1000,00 76 , 1425 03 , 1 76 , 1425 12 = =

(

)

7

(

)

12 03 , 1 76 , 1425 03 , 1 87 , 1229 =

EEF 18

Equivalência de taxas

Para entendermos a necessidade deste estudo, veremos um exemplo:

Um investidor aplicou hoje, a quantia de R$

38.000,00 à taxa composta de 12% ao ano. Após 11 meses, quanto ele possuirá?

Neste caso, o período de aplicação é mensal, enquanto a taxa conhecida é anual. Deve-se fazer uma conversão da taxa anual para mensal ou do prazo de aplicação.

(4)

EEF 19

Equivalência de taxas

Duas ou mais taxas referentes a períodos unitários distintos são equivalentes quando produzem o mesmo montante pela aplicação do mesmo capital.

Exemplo:

Consideremos i_a= taxa anual e i_m= taxa mensal

A taxa i_a será equivalente a taxa i_m se, e

somente se: C x (1 + ia) = C x (1 + im)12 (1 + ia) = (1 + im)12 EEF 20

Equivalência de taxas

Portanto, como: (1 + ia) = (1 + im)12

determinação da taxa anual, conhecida a taxa mensal, ou:

para determinar a taxa mensal a partir da taxa anual equivalente.

(

1 +

)

12

−

1 =

_m a

i

(

1 )

1 (

1 )

1/12

1

12

₊

₋

_⇒

₌

₊

₋

=

_a _m _a m

i

EEF 21

Equivalência de taxas

Generalizando,

sendo:

i_q: taxa para o prazo que eu quero it: taxa para o prazo que eu tenho

q: prazo que eu quero t: prazo que eu tenho

(

1 +

)

−

1 =

t q t q

i

EEF 22

Exemplos – Taxas Equivalentes

Determinar a taxa Mensal equivalente a 40% ao ano

Encontre a taxa diária equivalente a 78% ao ano:

Determinar a taxa ANUAL equivalente a 5,70% a.m.

(

1+

)

1/12−1=

(

1,40

)

1/12−1=0,028436=2,8436% = a m i i

(

1

)

1

(

1,78

)

360 1 0,001603 0,1603% . . 1 360 1 d a i i_d = + _a − = − = =

(

1 i

)

12 1

(

1,057

)

12 1 0,944912 94,49%a.a. ia= + m − = − = =

EEF 23

Exemplos – Taxas Equivalentes

Determinar a taxa para 156 dias equivalente a 65%

ao ano

Encontre a taxa para 435 dias equivalente a 8% ao mês

(

1

)

1

(

1,65

)

360 1 0,24234736 24,2347% 156 360 156 156= +ia − = − = = i

(

1

)

1

(

1,08

)

30 1 2,052421 205,2421% 435 30 435 435= +im − = − = = i

EEF 24

Exemplos – Taxas Equivalentes

Calcule a taxa ANUAL equivalente a:

1,9% ao mês (R: ia= 25,340%)

3,2% ao bimestre (R: i_a= 20,803%) 4,5% ao trimestre (R: ia= 19,25%)

Calcule a taxa MENSAL equivalente a:

17% ao ano (R: i_m= 1,317%) 4,3% ao trimestre (R: im= 1,413%)

(5)

EEF 25

Exemplos

Voltando ao nosso exemplo:

Um investidor aplicou hoje, a quantia de R$ 38.000,00 à taxa composta de 12% a.a. Após 11 meses, quanto ele possuirá? Sabemos que: Então:

(

)

n i C M = ×1+

Dica:Transformar o PRAZO é geralmente mais fácil!

(

1 0,12

)

38.000 1,109472 42.159,95 000 . 38 12 11 = × = + × = M EEF 26

Exemplos

Uma pessoa aplicou R$ 9.000,00 em um

título de renda fixa com vencimento ao final de 97 dias, a uma taxa de 19% ao ano. Quanto ela irá receber ao final do prazo? (R: R$ 9.431,88)

Em 178 dias uma aplicação rendeu 11,26%.

Calcular as taxas mensal e anual equivalentes.(R: 1,8146% a.m. e 24,085% a.a.)

EEF 27

Desconto Composto

No desconto COMPOSTO a taxa de

desconto incide sobre o Valor Futuro menos os descontos acumulados até o período anterior.

O valor líquido ou presente de um título com

prazo de n períodos será:

(

)

n

i

VF

VP

=

⋅

1 −

EEF 28

Desconto Composto – Exemplo

Uma duplicata no valor de R$ 57.600,00, é

descontada 130 dias antes de seu vencimento a uma taxa de 3,95% ao mês, no sistema de desconto composto. Calcular o valor líquido creditado na conta e o valor do desconto. Dados: VF = 57.600,00; n = 130 dias; i = 3,95% ao mês Então: D = VF – VP D = 57600 – 48370,19 D = R$ 9.229,81

(

1 0,0395

)

48.370,19 57600 30 130 = − × = VP

EEF 29

Desconto Composto – Exemplo

Uma pessoa obteve um crédito em conta no

valor de R$ 11.302,56, correspondente ao desconto antecipado de um título de R$ 13.000,00. Sabendo que o banco cobra 5,3% ao mês no sistema de desconto composto, quanto tempo antes do vencimento foi solicitado o resgate?(R: 2,57 meses)

EEF 30

Resumo de Fórmulas

1. Capitalização Composta 2. Equivalência de Taxas: ou 3. Desconto Composto:

(

1 +

)

−

1 =

t q t q

i

(

)

n

i

VF

VP

=

⋅

1 −

(

)

n

i

VP

VF

=

⋅

1 +

(

)

n

i

C

M

=

⋅

1 +

(6)

EEF 31

Exercícios extras

1) Determinar o montante correspondente a uma aplicação de R$ 9.000,00 por 287 dias, à taxa de juros compostos de 1,15% ao mês.(R: R$ 10.040,36)

2) Qual o valor a ser pago no final de 3 meses e 12 dias, correspondente a um empréstimo de R$ 5.000,00, sabendo que a taxa de juros compostos cobrada é de 80% ao ano? (R: R$ 5.906,05)

EEF 32

Exercícios extras

3) Uma pessoa abriu uma caderneta de poupança e depositou R$ 1.500,00. Os rendimentos dos seis primeiros meses foram, respectivamente: 0,61%, 0,58%, 0,60%, 0,56%, 0,59% e 0,55%. Que valor ela possuirá nesta conta após estes seis meses se não houve retiradas nem novos depósitos?(R: R$ 1.553,12)

EEF 33

Exercícios extras

4) Um capital aplicado à taxa de juros compostos de 0,58% a.m. rendeu R$ 5.786,39 de juros após três anos de aplicação. Qual foi o capital aplicado? (R: R$ 25.000,00)

EEF - Fábio Alves 34

Bibliografia indicada

VIEIRA SOBRINHO, José Dutra. Matemática

financeira.São Paulo: Atlas, 2000. Capítulo 2

(todo) e Cap. 3: itens 3.1, 3.3, 3.4 e 3.5.2.

ASSAF NETO, Alexandre. Matemática

Financeira e suas aplicações. 11. ed. São