SIMETRIA DE FIGURAS, PLANIFICAÇÃO DE SÓLIDOS E PERSPECTIVAS

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SIMETRIA DE FIGURAS, PLANIFICAÇÃO DE

SÓLIDOS E PERSPECTIVAS

SIMETRIA DE FIGURAS PLANAS E ESPACIAIS

A maioria das pessoas acreditam que a simetria está ligada mais a pensamentos sobre Arte e Natureza do que sobre Matemática. De fato, nossas ideias de beleza estão intimamente relacionadas a princípios de simetrias, que são encontradas por toda a parte no mundo que nos rodeia.

Na natureza podemos observar vários exemplos

de simetria.

O homem também utiliza a simetria.

EIXO DE SIMETRIA EIXO DE SIMETRIA

SIMETRIA

A simetria é definida como a correspondência em grandeza, forma e posição, relativa de partes situadas em lados opostos de uma linha ou plano médio, ou ainda, que se acham distribuídas em volta de um centro ou eixo.

Para Simetria no plano: uma figura no plano é simétrica se podemos dividi-la em partes de alguma maneira, de tal modo que as partes resultantes desta divisão coincidam perfeitamente, quando sobrepostas.

Transformações

Em matemática, são regras especiais que transformam pontos do plano em outros pontos do plano. Há uma transformação geométrica que descreve o movimento da antiga posição para a nova.

Em matemática, tais transformações ou movimentos são chamados de isometrias (do grego, mesma medida).

Movimentos rígidos ou isometrias devem ser as transformações que preservam o comprimento dos segmentos e, consequentemente a distância entre dois pontos quaisquer do plano e da realidade.

Simetrias Axiais ou em Relação a Retas (reflexão)

Reflexão ocorre quando uma imagem é a espelhada da outra, em

relação à reta considerada chamada eixo de simetria. O eixo de simetria é a mediatriz de quaisquer seguimentos de um ponto original e o ponto simétrico.

Exemplo:

Simetrias Centrais (rotação)

São aquelas em que um ponto, objeto ou parte de um objeto pode ser girado em relação a um ponto fixo, central, chamado centro da simetria, de tal maneira que essas partes ou objetos coincidam um com o outro um determinado número de vezes.

Esse tipo de isometria é obtido quando fixamos um ponto do plano e giramos a figura de um ângulo qualquer, ao redor deste ponto.

Translação

Uma figura sofre uma translação quando se desloca, sem se deformar, paralelamente a uma direção fixada. É a movimentação da figura no plano, de modo que ela não sofra reflexão nem rotação (a figura permanece na mesma posição).

Simetrias Especiais:

As simetrias cujos eixos são os eixos coordenados ou o centro, a origem do sistema de coordenadas. Nestes casos especiais, conhecidas as coordenadas de um ponto é possível determinar, sem grandes dificuldades, as coordenadas de seu simétrico.

Atenção: Translações, reflexões e rotações são isometrias, isto é,

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plano. Por isso, figuras obtidas a partir de isometrias são ditas congruentes.

HOMOTETIA

Homotetias são transformações que, mantendo um ponto fixo O, chamado centro da homotetia, multiplicam a medida de qualquer segmento de reta que passe por este ponto, por um fator constante

a, chamado razão da homotetia.

Esta propriedade das homotetias é usada para "ampliar" ou "diminuir" o tamanho das figuras.

DEFORMAÇÕES

Além dessas transformações, existem outras que deformam a figura original. Com isso tem-se uma desproporcionalidade de toda figura.

PLANIFICAÇÕES DE FORMAS GEOMÉTRICAS ESPACIAIS (OU SÓLIDOS GEOMÉTRICOS)

Todos os sólidos geométricos são formados pela união de figuras planas, as quais podem ser identificadas através da planificação. Quando fazemos uma planificação, é como se estivéssemos “abrindo” o sólido geométrico.

É possível planificar os sólidos geométricos através, inicialmente, da observação. Em seguida, cada face do sólido é desenhada, observando as medidas de cada face, a quantidade de arestas e vértices, para que não fiquem desproporcionais ao sólido original. Exemplos de planificações:

Algumas Representações de Sólidos Geométricos no Plano

Para facilitar a representação de figuras tridimensionais no plano (sólidos geométricos), podemos utilizar tipos de malhas, como a pontilhada, a quadriculada e a triangular. Vejamos cada uma:

Malha pontilhada

Observe a sequência de procedimentos e a representação final desses sólidos.

Malha quadriculada

Vistas de um sólido geométrico

Podemos observar um sólido geométrico de várias posições. O desenho que registra (apresenta) o que vemos é conhecida como

vista do sólido geométrico.

Observe algumas vistas do sólido a seguir:

PERSPECTIVA

É a representação dos objetos como eles são vistos. É uma representação tridimensional, como por exemplo, uma foto, que dá a ideia de profundidade.

É um tipo de desenho projetivo, que mostra em um plano, objetos que ocupam lugar no espaço, ou seja, possuem três dimensões (largura, altura e profundidade).

Um plano possui duas dimensões, largura e “altura”. Para representar a terceira dimensão, passamos para o plano, de maneira aproximada, a percepção visual, ou seja, desenhamos os objetos como visualizamos de uma posição que permita enxergar as três dimensões.

Os princípios da visão aplicam-se exatamente à operação geométrica de projeção, cujo centro é o olho do observador, os raios projetados correspondem aos raios visuais e a projeção no quadro entre observador e objeto é a perspectiva do objeto.

Desenho em Perspectiva

Para o desenho em perspectiva, devemos considerar:

 Linha do horizonte: linha imaginária. É sempre considerada ao

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 Ponto de fuga: ponto sobre a linha do horizonte. Os segmentos

que formam a figura a ser desenhada, convergem para esse ponto.

Representar o bloco retangular abaixo em perspectiva:

1- Traçar a linha do horizonte e marcar sobre ela um ponto de fuga. Desenhar a face frontal do bloco.

2- A partir dos vértices da face frontal, traçar os segmentos que convergem para o ponto de fuga.

3- Traçar os segmentos paralelos às arestas da face frontal de maneira conveniente.

PROJEÇÕES ORTOGONAIS Projeções de um ponto

Chamamos a projeção ortogonal de um ponto num plano de “pé da perpendicular” ao plano pelo ponto.

P é o ponto considerando a projeção ortogonal de P em α. Assim,

denominamos o plano α de plano de projeção e a reta

perpendicular r de reta projetante.

Projeção de uma Reta

A projeção ortogonal de uma reta num plano é a união das projeções ortogonais dos pontos da reta neste plano.

I) Uma vez que a reta for perpendicular ao plano, a sua projeção ortogonal será um ponto.

Na imagem, P forma a projeção ortogonal de r em α.

II) Caso a reta não seja perpendicular ao plano, a sua projeção ortogonal será outra reta.

Na imagem, r’ forma a projeção ortogonal de r em  .

Projeção de uma Figura

O agrupamento das projeções ortogonais dos pontos da figura é a projeção ortogonal da mesma num plano.

Vejamos o modelo:

Na figura, o retângulo é a projeção ortogonal do cilindro num plano paralelo ao eixo. Já o círculo é a projeção do mesmo cilindro num plano paralelo a base. Assim:

SEMELHANÇA

Na linguagem usual, duas coisas são semelhantes quando são “parecidas”, ou quando têm características (propriedades) comuns. Em Matemática, o termo semelhante é utilizado em um sentido mais específico, pois é aplicado no estudo dos objetos ou nas figuras, que têm a mesma forma, podendo ou não ter o mesmo tamanho. Quando reproduzimos, aumentamos ou reduzimos uma figura, as medidas dos seus ângulos correspondentes não mudam, e as medidas dos seus lados mantêm proporcionalidade, dizemos que as figuras obtidas são semelhantes à figura original.

Reconhecer os principais sólidos geométricos e suas respectivas planificações.

Identificar a projeção de figuras geométricas em três dimensões num plano. http://bit.ly/2jmJY0I http://migre.me/vWJhsc https://goo.gl/7qEMbi http://bit.ly/2jiTqpZ http://migre.me/vWJGB

LINKS COM OUTRAS DISCIPLINAS:

Ver: Os movimentos da terra no caderno de Geografia. Ver: A arte e a Matemática no caderno de Artes.

Ver: Fenômenos Ópticos, reflexão e refração espelhos planos no caderno de Física.

LINKS COM O CADERNO THÉTIS:

Texto 39 - Mobilidade urbana - o direito e a cidade no caderno Thétis

Texto 91 - Copa do Mundo – De qual legado se está falando? No caderno Thétis

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01. (PREUNI-SEED/SE-2016) Para que duas figuras sejam

simétricas, elas devem apresentar correspondência, em grandeza, forma e posição, em relação a um ponto (simetria de rotação), ou uma reta (simetria de reflexão). Sendo assim, em qual das figuras abaixo, os triângulos apresentam simetria de reflexão?

A) B)

C)

D)

E)

02. (PREUNI-SEED-SE-2016) Em sua aula de Geometria, o

professor explicou a classe que “a projeção ortogonal de uma figura plana ou não plana, sobre um plano é a figura formada pelas projeções ortogonais dos pontos dessa figura sobre esse plano”. Depois dessa explicação, fez a seguinte pergunta à turma:

“Considerando o bloco retangular a seguir, qual é a projeção ortogonal do segmento de reta 𝐸𝐵̅̅̅̅, sobre o plano que contém a face (ABCD)?”

A resposta correta foi dada pelo aluno que respondeu:

A) O ponto B; B) O seguimento de reta 𝐷𝐵̅̅̅̅; C) O seguimento de reta 𝐴𝐵̅̅̅̅; D) O ponto A; E) O seguimento de reta 𝐴𝐶̅̅̅̅. 03. (PREUNI/SEED-SE/2016)

Com a atual situação econômica, negócios de todos os tipos enfrentam dias desafiadores. Em todos os casos, a palavra chave para superar a crise é criatividade! E, no universo dos doces, isso não é diferente. Ao longo das décadas, o setor se reinventou diversas vezes para se manter sempre aquecido. Saídas inteligentes como apostar em novos segmentos, fortalecer estratégias de marketing alinhadas com a produção e a distribuição dos produtos e observar as demandas reais dos clientes, são alguns dos caminhos possíveis para inovar nesse setor.

Disponível em: http://www.foodmagazine.com.br/. Acesso em 12/11/2015 (Adaptado) Uma certa empresa de doces resolveu tomar algumas medidas para melhorar as vendas, dentre essas, se destaca a modificação das embalagens. As opções disponíveis estão na sequência abaixo:

EMBALAGEM 1 EMBALAGEM 2

EMBALAGEM 3 EMBALAGEM 4

As embalagens 1, 2, 3 e 4 disponíveis, quando montadas, formarão respectivamente, os sólidos geométricos:

A) Pirâmide, cone, prisma e cilindro;

B) Prisma, cilindro, pirâmide e tronco de cone; C) Cilindro, esfera, prisma e tronco de cone; D) Cilindro, cone, prisma e esfera;

E) Prisma, tronco de cone, pirâmide e cilindro.

04. (PREUNI-SEED/SE-2016) Dependendo do local onde estamos a

observar um objeto, vamos ter uma determinada vista do mesmo. Se um sólido geométrico estiver representado de forma a nos dar ideia de profundidade diz-se que está em perspectiva.

O sólido abaixo representa a miniatura de um brinquedo que será construído para a área de lazer de um condomínio.

As faces desse sólido são compostas por polígonos.

A projeção da vista lateral direita desse sólido corresponde à figura

A) B) C)

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05. (ETEC-2015) A arte e a arquitetura islâmica apresentam os mais

variados e complexos padrões geométricos.

Na Mesquita de Córdoba, na Espanha, podemos encontrar um dos mais belos exemplos dessa arte. O esquema geométrico da figura 1 é um dos muitos detalhes dessa magnífica obra.

Figura 1 (fonte das figuras desta questão: BROUG, Eric. Islamic: Geometric Patterns.

Londres. Thames & Hudson, 2008. Adaptado)

Assinale a alternativa que apresenta o padrão geométrico cuja repetição compõe a figura 1.

A) B) C)

D) E)

06. (ENEM-2016) É comum os artistas plásticos se apropriarem de

entes matemáticos para produzirem, por exemplo, formas e imagens por meio de manipulações. Um artista plástico, em uma de suas obras, pretende retratar os diversos polígonos obtidos pelas intersecções de um plano com uma pirâmide regular de base quadrada.

Segundo a classificação dos polígonos, quais deles são possíveis de serem obtidos pelo artista plástico?

A) Quadrados, apenas.

B) Triângulos e quadrados, apenas.

C) Triângulos, quadrados e trapézios, apenas.

D) Triângulos, quadrados, trapézios e quadriláteros irregulares,

apenas.

E) Triângulos, quadrados, trapézios, quadriláteros irregulares e

pentágonos, apenas.

07. (ENEM-2016) A figura representa o globo terrestre e nela estão

marcados os pontos A, B e C. Os pontos A e B estão localizados sobre um mesmo paralelo, e os pontos B e C, sobre um mesmo meridiano.

É traçado um caminho do ponto A até C, pela superfície do globo, passando por B, de forma que o trecho de A até B se dê sobre o paralelo que passa por A e B e, o trecho de B até C se dê sobre o

meridiano que passa por B e C. Considere que o plano a é paralelo à linha do equador na figura.

A projeção ortogonal, no plano α, do caminho traçado no globo pode ser representada por

A)

B)

C) D)

E)

08. (ENEM-2016) Os alunos de uma escola utilizaram cadeiras iguais

às da figura para uma aula ao ar livre. A professora, ao final da aula, solicitou que os alunos fechassem as cadeiras para guardá-las. Depois de guardadas, os alunos fizeram um esboço da vista lateral da cadeira fechada.

(6)

Qual é o esboço obtido pelos alunos?

A) B)

C) D)

E)

09. (ENEM/PPL-2015) Uma empresa necessita colorir parte de suas

embalagens, com formato de caixas cúbicas, para que possa colocar produtos diferentes em caixas distintas pela cor, utilizando para isso um recipiente com tinta, conforme Figura 1. Nesse recipiente, mergulhou-se um cubo branco, tal como se ilustra na Figura 2. Desta forma, a parte do cubo que ficou submersa adquiriu a cor da tinta.

Qual é a planificação desse cubo após submerso?

A) B)

C) D)

E)

10. (ENEM/PPL-2015) Uma empresa que embala seus produtos em

caixas de papelão, na forma de hexaedro regular, deseja que seu logotipo seja impresso nas faces opostas pintadas de cinza, conforme a figura:

A gráfica que fará as impressões dos logotipos apresentou as seguintes sugestões planificadas:

Que opção sugerida pela gráfica atende ao desejo da empresa?

A) I B) II C) III D) IV E) V 11. (ENEM-2015) Uma família fez uma festa de aniversário e enfeitou

o local da festa com bandeirinhas de papel. Essas bandeirinhas foram feitas da seguinte maneira: inicialmente, recortaram as folhas de papel em forma de quadrado, como mostra a Figura 1. Em seguida, dobraram as folhas quadradas ao meio sobrepondo os lados BC e

AD, de modo que O e D coincidam, e o mesmo ocorra com A e B, conforme ilustrado na Figura 2. Marcaram os pontos médios O e N, dos lados FG e AF, respectivamente, e o ponto M do lado AD, de

modo que AM seja igual a um quarto de AD. A seguir, fizeram cortes sobre as linhas pontilhadas ao longo da folha dobrada.

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Após os cortes, a folha é aberta e a bandeirinha está pronta. A figura que representa a forma da bandeirinha pronta é

A) B) C)

D) E)

12. (ENEM-2014 - 3ª Aplicação) Um jogo entre dois jogadores tem

as seguintes regras: (a) o primeiro jogador pensa em uma forma geométrica, desenha apenas uma parte da forma e fornece uma dica para que o segundo jogador termine o desenho; (b) se o segundo jogador conseguir concluir o desenho, ganha um ponto; caso contrário, quem ganha um ponto é o primeiro jogador. Dois amigos, Alberto e Dora, estão jogando o referido jogo. Alberto desenhou a figura a seguir e deu a seguinte dica a Dora: “a forma em que pensei é a planificação de um prisma reto”.

Dora completou o desenho com

A) um pentágono e um retângulo. B) um pentágono e quatro retângulos. C) um pentágono e cinco retângulos. D) dois pentágonos e quatro retângulos. E) dois pentágonos e cinco retângulos.

13. (ENEM/PPL-2014) A figura é uma representação tridimensional

da molécula do hexafluoreto de enxofre, que tem a forma bipiramidal quadrada, na qual o átomo central de enxofre está cercado por seis átomos de flúor, situados nos seis vértices de um octaedro. O ângulo entre qualquer par de ligações enxofre-flúor adjacentes mede 90°.

A vista superior da molécula, como representada na figura, é:

A) B) C)

D) E)

14. (ENEM/PPL-2014) Corta-se um cubo ABCDEFGH por um plano

ortogonal às faces ABCD e EFGH que contém os pontos médios I e J das arestas CD e BC e elimina-se, em seguida, o prisma IJCLKG, obtendo-se o prisma ABJIDEFKLH.

A planificação da superfície do prisma resultante ABJIDEFKLH corresponde à figura:

A) B)

C) D)

E)

15. (ENEM/PPL-2014) Um lojista adquiriu novas embalagens para

presentes que serão distribuídas aos seus clientes. As embalagens foram entregues para serem montadas e têm forma dada pela figura.

Após montadas, as embalagens formarão um sólido com quantas arestas?

A) 10 B) 12 C) 14 D) 15 E) 16

SEQUÊNCIAS, PA E PG

SEQUÊNCIAS

1. Conceito

É uma sucessão de termos que ocupam uma ordem fixa. Exemplos:

EX. 1: (1; 2; 2; 3; 2; 4; 2; 4; 3; 4; 2; 6; ...) Ex. 2: (1; 3; 6; 10; 15; ...) Ex.3: (2; 5; 8; 11; 14; 17;...) Ex.4: (2; 6; 18. 54; 162; ...)

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Ex.5: (domingo; segunda; terça; quarta; quinta; sexta; sábado) Chamaremos o termo que ocupa a posição n de uma sequência por

n

a

(lê-se

a

índice

n

), com

n





*

.

2. Termo Geral de uma Sequência

É uma expressão matemática que relaciona o termo

a

_n com a posição n que ele ocupa na sequência.

Ex:

a

_n



3 n

2



2 n

3. Fórmula de Recorrência

É uma expressão matemática que relaciona cada termo

n

a com

outros termos da sequência.

4. Soma dos Termos

Sendo a sequência dada por



a₁;a₂;a₃;...;a_n



, a soma dos n primeiros termos dessa sequência é dada por

n

a

S



₁



₂



₃



...



.

PROGRESSÃO ARITMÉTICA (PA) 1. Definição

É uma sequência numérica na qual cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior somado com uma razão constante r. Por exemplo:

Sequência Razão Classificação



1; 4; 7; 10; ...



_r



₃

Crescente (

r



0

)



8; 6; 4; 2; ...



_r





₂

Decrescente (

r



0

)



2; 2; 2; 2; ...



r



0

Constante (

r



0

) 2. Fórmula do termo geral

r

n

a

_n



₁



(



1 )



(1; 4; 7; 10; ...) a11

r



3

(7; 3; – 1; – 5; ...) a17

r





4

(– 1; – 1; – 1; ...) a₁1

r



0

Interpolação Aritmética

Consiste em inserir meios aritméticos entre dois extremos

(

a

e

b

)

de tal modo que todos os números formem uma PA.

1 meios

)

;

s

aritmético

meios

;

(















b

r

b

a

3. Propriedades

a) Uma PA de três termos pode ser escrita como:

;





x

r

x

r

b) Uma PA de quatro termos pode ser escrita como:

3 ;

;

3 x



r

x



r

x



r

x



r

c) Em qualquer PA todo termo, a partir do 2°, é a média aritmética dos vizinhos. n n n n n n n n n n

a

_₁ _₁





1



ou



_₁



_₁



2 )

(

)

...

;

(...;

d) Numa PA finita a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos.

... ) ; ; ...; ; ; ; (a₁ a₂ a₃ a_n_₂ a_n_₁a_n a₁a_na₂a_n_₁a₃a_n_₂

4. Soma dos n primeiros termos de uma PA

2 )

(

a

1

a

n

S

_n





n



PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (PG) 1. Definição

É toda sequência numérica onde cada termo a partir do segundo é igual ao anterior multiplicado por uma constante (razão).

Sequência Razão Classificação



2; 6; 18; 54; 162



termos positivos

q 3





q 1



crescente



120; 60; 30; 15;...  



termos negativos 1 q 2 



0 q 1

 

crescente

1 8;4;2;1; ;...

2 











termos positivos 1 q 2 



0 q 1

 

decrescente



   1; 3; 9; 27;...



termos negativos

q 3





q 1



decrescente



5;5;5;5;...



q 1



constante



5; 10;20; 40;... 



q 0



oscilante ou _alternante



7;0;0;0;...



_{q 0}



singular

 OBSERVAÇÃO

Uma PG é chamada de convergente quando seus termos se aproximam cada vez mais de zero (0). Uma PG convergente tem a razão 1q1.

2. Fórmula do termo geral de uma PG

Seja a sequência



a1;a2;a3;...;a_n



, com

*

N

n



1 1







n n

a

q

a

3. Interpolação Geométrica

Consiste em inserir meios geométricos entre dois extremos (aeb)

de tal modo que todos os números formem uma PG. ) ; geométicos meios ; (a   b 4. Propriedades da P.G.

1ª) Uma progressão geométrica de três termos pode ser escrita na forma: _      q x x q x ; ;

2ª) Na progressão geométrica



a₁;a₂;a₃;...;an;an₁



temos

que: n n n n a a a a ₁ 1   

5. Soma dos “n” primeiros termos de uma PG

A soma dos n primeiros termos da P.G. é dada por:





1 ; 1 1 1 _    q q q a S n n

6. Soma infinita dos termos de uma PG convergente

A soma de todos os infinitos termos de uma

P.G.



a1;a2;a3;...;an



de razão

q

,

1q1 é dada por: q a S    1 1

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A sequência mais explorada nas provas do ENEM é a progressão aritmética (PA), apesar de nos últimos anos a progressão geométrica ter sido explorada. Muitas questões podem ser resolvidas sem a utilização de fórmulas.

http://zip.net/bwtCxn https://goo.gl/DUwNzL http://migre.me/vX8Qm http://bit.ly/2kFy07P

LINK COM O CADERNO THÉTIS:

Texto 6 - O crescimento da população e os meios de produção no

caderno Thétis.

01. (PREUNI-SEED/SE-2016) Um atleta que participou da prova mais

tradicional do atletismo sergipano, a corrida Cidade de Aracaju, resolveu começar sua preparação antecipadamente e, na fase final, iniciou um treinamento intensivo de 3 dias por semana percorrendo distâncias iguais em cada dia de uma mesma semana e aumentado a distância de forma linear a cada nova semana de treino. Sabe-se que no 1º dia ele correu 24 km e no último dia de treino correu 30 km somando ao final 729 km de treino intensivo.

A cada nova semana esse atleta aumentava o seu treino diário em

A) 250 metros; B) 900 metros; C) 750 metros; D) 600 metros; E) 400 metros.

02. (PREUNI-SEED/SE-2016) Uma estudante conseguiu ser

aprovada no concurso vestibular, em uma instituição privada. Com isso, ela foi em um determinado banco e solicitou um crédito para o financiamento de seus estudos. Ela terá que pagar essa dívida em cinco anos, porém iniciará o pagamento um ano depois que concluir seu curso.

No período de um ano, a estudante irá pagar prestações mensais iguais, aumentando progressivamente o valor a cada ano.

No 1º ano o valor será R$ 80,00, no 2º ano R$ 120,00, no 3º ano R$ 160,00, e assim sucessivamente.

Sendo assim, no último ano de pagamento a estudante desembolsará

A) R$ 1.260; B) R$ 1.440,00; C) R$ 2.160,00; D) R$ 3.240,00 E) R$ 2.880,00

03. (PREUNI-SEED/SE-2016) Uma das ferramentas mais utilizadas,

atualmente, para divulgar notícias, é a internet. O número de visualizações de um anúncio publicado em determinado site, aumenta diariamente, de maneira constante.

Uma empresa publicou um anúncio nesse site e, logo no primeiro dia, foi visualizado por 120 pessoas, no segundo dia já constavam 360 visualizações, no terceiro dia 1080 visualizações, e continuou dessa maneira, durante 30 dias.

Sendo assim, ao final dos 10 primeiros dias, quantas pessoas já haviam visualizado esse anúncio? ( dado: 35 243 e

049 .

59

3

10



) A) 2.361.960; B) 1.180.980; C) 29.160; D) 14.580; D) 7.085.880.

04. (UNCISAL-2015 – Adaptada) [...] Os pitagóricos chamavam de

triangulares todos os números que podem ser escritos como a soma de uma sequência de inteiros consecutivos começando pelo 1.[...]. Por que chamar estes números de triangulares? Porque eles podem ser representados como triângulos de pontos. Por exemplo:

Disponível em: <http://quentecalculista.blogspot.com.br/2012/01/numeros-triangulares-quadrados-e.html>.Acesso em: 08 out. 2014 (adaptado).

Considerando o estabelecido acima, qual é o nonagésimo termo da sequência de números triangulares (3, 6, 10, 15, 21, ...)?

A) 4 186; B) 24 390; C) 4 095; D) 24 090; E) 8 400. 05. (UNINORTE-2016) Sobre a bactéria Escherichia coli sabe-se que

cada uma pesa, aproximadamente, ₆₇_₁₀14_{g e que pode se dividir} – pelo processo de fissão binária – em duas, a cada vinte minutos. Considerando-se uma bactéria e mantida essa razão de divisão, pode-se estimar o peso do total de bactérias, ao fim de 12 horas desse processo, em 67 P gramas, sendo P igual a

A)

5

13



2

23; B)

5

14



2

21; C)

5

14



2

22;

D)

10

15



2

36; E)

10

15



2

37.

06. (ENEM-2016) Sob a orientação de um mestre de obras, João e

Pedro trabalharam na reforma de um edifício. João efetuou reparos na parte hidráulica nos andares 1, 3, 5, 7, e assim sucessivamente, de dois em dois andares. Pedro trabalhou na parte elétrica nos andares 1, 4, 7, 10, e assim sucessivamente, de três em três andares. Coincidentemente, terminaram seus trabalhos no último andar. Na conclusão da reforma, o mestre de obras informou, em seu relatório, o número de andares do edifício. Sabe-se que, ao longo da execução da obra, em exatamente 20 andares, foram realizados reparos nas partes hidráulica e elétrica por João e Pedro.

Qual é o número de andares desse edifício?

A) 40; B) 60; C) 100; D) 115; E) 120. 07. (ENEM-2015) O acréscimo de tecnologias no sistema produtivo

industrial tem por objetivo reduzir custos e aumentar a produtividade. No primeiro ano de funcionamento, uma indústria fabricou 8.000 unidades de um determinado produto. No ano seguinte, investiu em

(10)

tecnologia adquirindo novas máquinas e aumentou a produção em 50%. Estima-se que esse aumento percentual se repita nos próximos anos, garantindo um crescimento anual de 50%. Considere P a quantidade anual de produtos fabricados no ano t de funcionamento da indústria.

Se a estimativa for alcançada, qual é a expressão que determina o número de unidades produzidas P em função de t, para t ≥ 1?

A)

_{P t}

_{( )}



_0,5

_t

1



₈₀₀₀

_;

_B)

_{P t}

_{( )}



₅₀

_t

1



₈₀₀₀

_;

C)

_{P t}

_{( )}

_

₄₀₀₀

_t

1

_

₈₀₀₀

_;

_D)

_{P t}

_{( )}

_

_{8000 (0,5)}

_

t1_;

E)

_{P t}

_{( )}



_{8000 (1,5)}



t1

08. (ENEM-2014 – 3ª Aplicação) Em uma determinada estrada

existem dois telefones instalados no acostamento: um no quilômetro 30 e outro no quilômetro 480. Entre eles serão colocados mais 8 telefones, mantendo-se entre dois telefones consecutivos sempre a mesma distância.

Qual a sequência numérica que corresponde à quilometragem em que os novos telefones serão instalados?

A) 30, 90 150, 210, 270, 330, 390, 450; B) 75,120, 165, 210, 255, 300, 345, 390; C) 78, 126, 174, 222, 270, 318, 366, 414; D) 80, 130, 180, 230, 280, 330, 380, 430; E) 81, 132, 183, 234, 285, 336, 387, 438.

09. (ENEM-2014 – 3ª Aplicação) Ao elaborar um programa de

condicionamento para um atleta, um preparador físico estipula que ele deve correr 1 000 metros no primeiro dia e, nos dias seguintes, 200 metros a mais do que correu no dia anterior. O treinador deseja que, ao final dos dias de treinamento, o atleta tenha percorrido, em média, 1 700 m por dia.

Esse atleta deve participar do programa por

A) 9 dias; B) 8 dias; C) 5 dias; D) 4 dias; E) 2 dias. 10. (ENEM/PPL-2014) Um ciclista participará de uma competição e

treinará alguns dias da seguinte maneira: no primeiro dia, pedalará 60 km no segundo dia, a mesma distância do primeiro mais r km no terceiro dia, a mesma distância do segundo mais r km e, assim, sucessivamente, sempre pedalando a mesma distância do dia anterior mais r km. No último dia, ele deverá percorrer 180 km completando o treinamento com um total de 1560 km.

À distância r que o ciclista deverá pedalar a mais a cada dia, em km é.

A) 3; B) 7; C) 10; D) 13; E) 20. 11. (ENEM/PPL-2014) Pesquisas indicam que o número de bactérias

X

é duplicado a cada quarto de hora. Um aluno resolveu fazer uma observação para verificar a veracidade dessa afirmação. Ele usou uma população inicial de 105 bactérias

X

e encerrou a observação ao final de uma hora.

Suponha que a observação do aluno tenha confirmado que o número de bactérias

X

se duplica a cada quarto de hora.

Após uma hora do início do período de observação desse aluno, o número de bactérias

X

foi de

A) 22105; B) 21105; C) 22105; D) 23105; E) 24105.

12. (ENEM-2013) As projeções para a produção de arroz no período

de 2012 – 2021, em uma determinada região produtora, apontam para uma perspectiva de crescimento constante da produção anual. O quadro apresenta a quantidade de arroz, em toneladas, que será produzida nos primeiros anos desse período, de acordo com essa projeção.

Ano Projeção da produção (t)

2012 50,25

2013 51,50

2014 52,75

2015 54,00

A quantidade total de arroz, em toneladas, que deverá ser produzida no período de 2012 a 2021 será de

A) 497,25; B) 500,85; C) 502,87; D) 558,75; E) 563,25. 13. (ENEM-2013) O ciclo de atividade magnética do Sol tem um

período de 11 anos. O início do primeiro ciclo registrado se deu no começo de 1755 e se estendeu até o final de 1765. Desde então, todos os ciclos de atividade magnética do Sol têm sido registrados.

Disponível em: http://g1.globo.com. Acesso em: 27 fev. 2013.

No ano de 2101, o Sol estará no ciclo de atividade magnética de número

A) 32; B) 34; C) 33; D) 35; E) 31. 14. (ENEM-2011) O número mensal de passagens de uma

determinada empresa aérea aumentou no ano passado nas seguintes condições: em janeiro foram vendidas 33.000 passagens; em fevereiro, 34.500; em março, 36.000. Esse padrão de crescimento se mantém para os meses subsequentes.

Quantas passagens foram vendidas por essa empresa em julho do ano passado?

A) 38 000; B) 40 500; C) 41 000; D) 42 000; E) 48 000. 15. (ENEM-2010) Ronaldo é um garoto que adora brincar com

números. Numa dessas brincadeiras, empilhou caixas numeradas de acordo com a sequência conforme mostrada no esquema a seguir.

Ele percebeu que a soma dos números em cada linha tinha uma propriedade e que, por meio dessa propriedade, era possível prever a soma de qualquer linha posterior às já construídas.

A partir dessa propriedade, qual será a soma da 9ª linha da sequência de caixas empilhadas por Ronaldo?

A) 9; B) 45; C) 64; D) 81; E) 285.

ANÁLISE COMBINATÓRIA

INTRODUÇÃO

A Análise Combinatória é a parte da Matemática que desenvolve técnicas e métodos de contagem, que estuda o número de maneiras que um acontecimento pode ocorrer, sem que haja a necessidade de desenvolvermos todas as possibilidades. As técnicas de contagem permitem resolver problemas de genética, loteria esportiva e em outras áreas da ciência aplicada, como a medicina, a engenharia e a estatística

(11)

PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM

Se um acontecimento ocorrer por várias etapas sucessivas e independentes de tal modo que:

1

p

é o número de possibilidades da 1ª etapa;

2

p

é o número de possibilidades da 2ª etapa; ...

k

p

é o número de possibilidades da k-ésima etapa;

Então

p

₁



p

₂



...



p

_k é o número total de possibilidades de o acontecimento ocorrer.

Exemplo1: Para comprar um lanche na cantina da escola Tâmara,

avalia as seguintes opções: são oferecidos 2 tipos de pães (francês e integral) e 3 tipos de recheio (calabresa, presunto e hambúrguer). Os sanduíches podem ser servidos com ou sem queijo. Quantos tipos de sanduíches Tâmara poderá escolher?

Resolução:

Portanto, Tâmara pode escolher entre 23212 tipos de sanduíches.

Exemplo 2: Com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4 e 5:

a) Quantos números de 3 algarismos podemos formar?

Resolução: para o algarismo da centena, há 5 possibilidades, pois

não podemos iniciar com o 0 (zero).

Para a escolha do algarismo da dezena há 6 opções, podemos utilizar qualquer algarismo.

Para a escolha do algarismo da unidade há 6 opções, podemos utilizar qualquer algarismo.

Assim, pelo P.F.C., a quantidade de números é: 566180. b) Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar?

Resolução: Com 3 algarismos distintos.

Para o algarismo da centena há 5 opções.

Para o algarismo da dezena há 5 opções, pois não podemos repetir o algarismo já utilizado.

Para o algarismo da unidade há 5 opções, pois não podemos repetir o algarismo já utilizado.

Assim, pelo P.F.C., a quantidade de números é: 554100.

FATORIAL

É um produto de números naturais consecutivos em ordem decrescente de n a 1. 1 2 3 ... ) 2 ( ) 1 ( !n n n     n , sendo

n



N

e

n



1

. Exemplo: 120 ! 5 1 2 3 4 5 ! 5        Simplificar as expressões: a)

380 !

18 !

18

19

20 !

18 !

20 _



_

b)

!

50 !

49 !

48 

49

1

49

50

50 !

48

49

50 )

1

49 (

!

48 !

48

49

50 !

48

49 !

48 !

50 !

49 !

48 _



















c)

1

1 !

)

1 (

!

)

1 (

!













n

ARRANJOS SIMPLES

O arranjo é a forma de arrumar p elementos escolhidos casualmente entre n elementos possíveis. A ordem em que a escolha é feita é

importante. Utilizando-se de fórmula podemos dizer que o arranjo de n elementos tomados p a p será dado por:

!

)

(

!

,

p

n

A

_n_p





Exemplo: Um estudante tem 5 lápis de cores diferentes. De quantas

maneiras deferentes ele poderá pintar os estados da região sul do Brasil, cada um de uma cor?

Resolução: São três estados. Logo, teremos:

60 !

2 !

5 !

)

3

5 (

!

5

3 , 5



_



A

COMBINAÇÃO SIMPLES

A combinação é a forma de arrumar p elementos escolhidos casualmente entre n elementos possíveis. A ordem em que a

escolha é feita NÃO é importante. Utilizando-se de fórmula

podemos dizer que a combinação de n elementos tomados p a p será dada por:

!

)

(

!

,

p

n

p

n

C

np



_

Obs.: ! ) ( ! ! , p n p n p n Cnp  _      

Exemplo 1: Ane, Elisa, Roberta, Felipe e Antônio formam uma

equipe. Dois deles precisam representar a equipe em uma apresentação. Quantas são as possibilidades de escolha destes dois representantes?

Resolução: Como a ordem em que os elementos aparecem na dupla

não importa, temos que o número de possibilidades de escolha é dado por

10 !

3 !

2 !

5 !

)

2

5 (

!

2 !

5

2 , 5



_



C

Exemplo 2: No primeiro dia de aula do 2º ano, 30 alunos estavam

presentes na sala de aula. Para se conhecerem melhor, o professor sugeriu que cada aluno cumprimentasse o outro com um aperto de mão e uma breve apresentação. Qual foi o total de apertos de mão?

(12)

Resolução: São 30 alunos que vão se cumprimentar. Sabemos que

não importa a ordem no cumprimento, ou seja, quando A cumprimenta B, B já cumprimentou A (não conta duas vezes, conta uma vez só). Assim, estamos combinando 30 alunos, dois a dois. Então:

435 !

28 !

2 !

28

29

30 !

28 !

2 !

30 !

)

2

30 (

!

2 !

30

2 , 30











C

PERMUTAÇÃO

É o tipo de agrupamento ordenado em que entram todos os elementos em cada grupo. Se não existirem elementos repetidos na permutação teremos que a permutação de n elementos será:

!

n

P

n



Exemplo 1: De quantas maneiras uma família de 4 pessoas pode

sentar-se num banco de 4 lugares para tirar uma foto?

Resolução: Como haverá apenas uma troca (permuta) de lugares

para cada foto, teremos:

24 !

4



P

Exemplo 2: Quantos são os anagramas da palavra ALUNO. Resolução: Devemos permutar 5 letras. Então:

120 !

5



P

Permutação com elementos repetidos: Caso existam elementos

repetidos entre aqueles a serem permutados, devemos excluir aquelas permutas iguais dividindo pelo número de vezes fatorial de cada elemento repetido. Assim teremos:

!

, ,







  

n

P

_n



Exemplo: Com relação à palavra ARACAJU:

a) Quantos são os anagramas?

Resolução:

840 !

3 !

3

4

5

6

7 !

3 !

7

3 7







P

b) Quantos anagramas começam com a letra A?

Resolução: Fixamos a letra A como 1ª letra e permutamos as demais.

Então,

360 !

2 !

2

3

4

5

6 !

2 !

6

2 6







P

Casos notáveis 1 0_     n ;

n_  n      1 ; _ 1      n n Propriedades a) p q n p q q n p n                  ou b) _                       1 1 1 p n p n p n Relação de Stiffel

A análise combinatória esteve presente em quase todas as últimas provas do ENEM, tendo uma questão por prova. É imprescindível assimilar o esquema acima com as respectivas fórmulas das diversas possibilidades de contagem. http://bit.ly/2kp3lKz http://migre.me/w0Uvx https://goo.gl/Ebi5BP http://zip.net/bbtDqt http://zip.net/bxtFpy

LINK COM O CADERNO THÉTIS:

Texto 93 - Doping Genético no caderno Thétis

01. (PUC/RIO-2016) Uma escola quer fazer um sorteio com as

crianças. Então, distribui cartelas que têm cada uma 3 números distintos de 1 a 20. No dia da festa, trarão uma urna com 20 bolas numeradas de 1 a 20 e serão retiradas (simultaneamente) três bolas. A criança que tiver a cartela com os três números ganhará uma viagem.

Quantas cartelas diferentes são possíveis?

A) 1140 B) 2000 C) 6840 D) 8000 E) 4400 02. (IFMG-2016) Pollyanna deseja construir polígonos de k lados,

com k múltiplo de 4, com vértices em pontos distintos marcados na circunferência na figura a seguir.

Qual a quantidade máxima de polígonos distintos que Pollyanna poderá construir?

A) 991 B) 990 C) 496 D) 495 E) 560 03. (IFSUDESTEMG-2016) Num grupo de 12 estudantes, 4 gostam

de estudar Matemática, 4 gostam de estudar História e 4 gostam de estudar Química. Deseja-se formar uma fila com esses estudantes de

(13)

forma que os três primeiros gostem de estudar áreas diferentes e que os seguintes mantenham a sequência de afinidade dada pelos três primeiros. Nessa situação, de quantas maneiras distintas se pode fazer tal fila?

A) 3

4!

B)

_{4! 3!}



C) 3

4!



3!

D) 3

3!



4!

E) 4

3!



4!

04. (UDESC-2016) A Câmara de Vereadores de uma cidade é

composta por 13 vereadores, sendo que 6 destes, são de partidos políticos da situação (aliados ao governo municipal) e os 7 restantes são de partidos da oposição (contrários ao governo municipal). É necessário compor uma comissão especial a ser formada por exatamente 5 vereadores, de forma que haja pelo menos dois representantes de cada um destes blocos políticos. Além disso, foi definido que o líder da situação e o líder da oposição não poderão fazer parte da mesma comissão. Sob essas condições, a quantidade de comissões distintas que pode ser constituída é igual a:

A) 945 B) 500 C) 620 D) 810 E) 310 05. (IFTO-2016) Implementação do nono dígito

Por que os números dos telefones celulares terão nove dígitos? A inclusão do nono dígito nos telefones celulares em todo o Brasil teve por objetivo: Aumentar a disponibilidade de números na telefonia celular dar continuidade ao processo de padronização da marcação das chamadas. A decisão da Anatel foi tomada por meio da Resolução nº 553/2010, e a medida já foi implementada no Espírito Santo, Rio de Janeiro e São Paulo.

http://www.anatel.gov.br/Portal/exibirPortalPaginaEspecial.do?org.apache.stru ts.taglib.html. TOKEN=9594e1d11fbc996d52bda44e608bb744&acao=carregaPasta&codItC

anal=1794&pastaSelecionada=2984. Acesso em 08/11/2015.

Considere apenas o “segundo dígito” não assuma valor nulo e que não se permita variação do novo dígito nove. A nova disponibilidade de números de telefonia móvel é de:

A)

₁



₁₀

10_B)

_{1,5 10}



10_C)

_{8,1 10}



3

D) 5

8,1 10



E) 8

8,1 10



06. (ENEM-2016) O tênis é um esporte em que a estratégia de jogo

a ser adotada depende, entre outros fatores, de o adversário ser canhoto ou destro.

Um clube tem um grupo de 10 tenistas, sendo que 4 são canhotos e 6 são destros. O técnico do clube deseja realizar uma partida de exibição entre dois desses jogadores, porém, não poderão ser ambos canhotos.

Qual o número de possibilidades de escolha dos tenistas para a partida de exibição? A)

!

2 !

4 !

8 !

2 !

10 





B)

2 !

!

4 !

8 !

10 _

C)

2 !

8 !

2 !

10 _



D)

4

4 !

6 _

_

E)

6

4 !

6 _

_

07. (ENEM-2016) Para cadastrar-se em um site, uma pessoa precisa

escolher uma senha composta por quatro caracteres, sendo dois algarismos e duas letras (maiúsculas ou minúsculas). As letras e os algarismos podem estar em qualquer posição. Essa pessoa sabe que

o alfabeto é composto por vinte e seis letras e que uma letra maiúscula difere da minúscula em uma senha.

www.infowester.com. 14/12/2012

O número total de senhas possíveis para o cadastramento nesse site é dado por A)

₁₀

2



₂₆

2 B)

₁₀

2



₅₂

2 C)

!

2 !

4

52

10

2



2



D)

!

2 !

4

26

10

2 2





E)

!

2 !

4

52

10

2 2





08. (ENEM/PPL-2015) A bandeira de um estado é formada por cinco

faixas, A, B, C, D e E, dispostas conforme a figura.

Deseja-se pintar cada faixa com uma das cores verde, azul ou amarelo, de tal forma que faixas adjacentes não sejam pintadas com a mesma cor.

O cálculo do número de possibilidades distintas de se pintar essa bandeira, com a exigência acima, é

A)

1 

2 

1 

2

B)

₃



₂



₁



₁



₂

C)

₃



₂



₁



₁



₃

D)

3 

2 

1 

2 

2

E)

3 

2 

2

09. (ENEM-2015) Numa cidade, cinco escolas de samba (I, II, III, IV

e V) participaram do desfile de Carnaval. Quatro quesitos são julgados, cada um por dois jurados, que podem atribuir somente uma dentre as notas 6, 7, 8, 9 ou 10. A campeã será a escola que obtiver mais pontuação na soma de todas as notas emitidas. Em caso de empate, a campeã será a que alcançar a maior soma das notas atribuídas pelos jurados no quesito Enredo e Harmonia. A tabela mostra as notas do desfile desse ano no momento em que faltava somente a divulgação das notas do jurado B no quesito Bateria.

Quantas configurações distintas das notas a serem atribuídas pelo jurado B no quesito Bateria tornariam campeã a Escola II?

A) 21 B) 90 C) 750 D) 1250 E) 3125 10. (ENEM-2015) Uma família composta por sete pessoas adultas,

após decidir o itinerário de sua viagem, consultou o site de uma empresa aérea e constatou que o voo para a data escolhida estava quase lotado. Na figura, disponibilizada pelo site, as poltronas ocupadas estão marcadas com X e as únicas poltronas disponíveis são as mostradas em branco.

(14)

O número de formas distintas de se acomodar a família nesse voo é calculado por A)

!

2 !

9

B)

!

2 !

7 !

9 

C)

7 !

D)

2 !

4 !

!

5 _

E)

!

3 !

4 !

5 _

11. (ENEM/PPL-2014) Um procedimento padrão para aumentar a

capacidade do número de senhas de banco é acrescentar mais caracteres a essa senha. Essa prática, além de aumentar as possibilidades de senha, gera um aumento na segurança. Deseja-se colocar dois novos caracteres na senha de um banco, um no início e outro no final. Decidiu-se que esses novos caracteres devem ser vogais e o sistema conseguirá diferenciar maiúsculas de minúsculas. Com essa prática, o número de senhas possíveis ficará multiplicado por

A) 100. B) 90. C) 80. D) 25. E) 20. 12. (ENEM-2014) Um cliente de uma videolocadora tem o hábito de

lugar dois filmes por vez. Quando os devolve, sempre pega outros dois filmes e assim sucessivamente. Ele soube que a videolocadora recebeu alguns lançamentos, sendo 8 filmes de ação, 5 de comédia e 3 de drama e, por isso, estabeleceu uma estratégia para ver todos esses 16 lançamentos. Inicialmente alugará, em cada vez, um filme de ação e um de comédia. Quando se esgotarem as possibilidades de comédia, o cliente alugará um filme de ação e um de drama, até que todos os lançamentos sejam vistos e sem que nenhum filme seja repetido.

De quantas formas distintas a estratégia desse cliente poderá ser posta em prática? A)

20 

8 !



 

3 !

2 B)

8 !



5 !



3 !

C) 8

2 !

3 !

5 !

8 



D) 2

2 !

3 !

5 !

8 



E) 8

2 !

16

13. (ENEM-2013) Um banco solicitou aos seus clientes a criação de

uma senha pessoal de seis dígitos, formada somente por algarismos de 0 a 9, para acesso à conta corrente pela Internet. Entretanto, um especialista em sistemas de segurança eletrônica recomendou à direção do banco recadastrar seus usuários, solicitando, para cada um deles, a criação de uma nova senha com seis dígitos, permitindo agora o uso das 26 letras do alfabeto, além dos algarismos de 0 a 9. Nesse novo sistema, cada letra maiúscula era considerada distinta de sua versão minúscula. Além disso, era proibido o uso de outros tipos de caracteres.

Uma forma de avaliar uma alteração no sistema de senhas é a verificação do coeficiente de melhora, que é a razão do novo número de possibilidades de senhas em relação ao antigo.

O coeficiente de melhora da alteração recomendada é

A) 6 6 10 62 B)

!

10 !

62

C)

!

56 !

10 !

4 !

62

D)

62 !



10 !

E)

₆₂

6



₁₀

6

14. (ENEM-2013) Um artesão de joias tem à sua disposição pedras

brasileiras de três cores: vermelhas, azuis e verdes. Ele pretende produzir joias constituídas por uma liga metálica, a partir de um molde no formato de um losango não quadrado com pedras nos seus vértices, de modo que dois vértices consecutivos tenham sempre pedras de cores diferentes.

A figura ilustra uma joia, produzida por esse artesão, cujos vértices A, B, C e D correspondem às posições ocupadas pelas pedras.

Com base nas informações fornecidas, quantas joias diferentes, nesse formato, o artesão poderá obter?

A) 6 B) 12 C) 18 D) 24 E) 36 15. (ENEM-2012) O designer português Miguel Neiva criou um

sistema de símbolos que permite que pessoas daltônicas identifiquem cores. O sistema consiste na utilização de símbolos que identificam as cores primárias (azul, amarelo e vermelho), Além disso, a justaposição de dois desses símbolos permite identificar cores secundárias (como o verde, que é o amarelo combinado com o azul). O preto e o branco são identificados por pequenos quadrados: o que simboliza o preto é cheio, enquanto o que simboliza o branco é vazio. Os símbolos que representam preto e branco também podem ser associados aos símbolos que identificam cores, significando se estas são claras ou escuras.

Folha de São Paulo. Disponível em: www1.folha.uol.com.br. Acesso em: 18 fev. 2012 (adaptado)

De acordo com o texto, quantas cores podem ser representadas pelo sistema proposto?

A) 14 B) 18 C) 20 D) 21 E) 23

PROBABILIDADE

INTRODUÇÃO

Experimentos que ao serem realizados repetidas vezes nas mesmas condições apresentarem resultados variados, não sendo possível, portanto a previsão lógica dos resultados, são denominados

experimentos aleatórios.

 Espaço amostral – é o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório.

 Evento – é qualquer subconjunto do espaço amostral.

DEFINIÇÃO

Seja



um espaço amostral finito. Consideremos

E

um evento de



.

(15)

Denomina-se probabilidade do evento

E

o número

P(E)

tal que:

 

)

(

)

(

de

elementos

de

número

de

elementos

de

número











n

E

n

E

P

E

P

Exemplo 1: No lançamento de um dado, qual é a probabilidade de a

face superior apresentar: a) o número 3

b) um número menor que 7 c) um número menor que 1

Resolução: O espaço amostral é 



1;2;3;4;5;6



e n

 

 6.

 



_{ }

 

_

n

E

n

E

P

a) Enúmero 3; 1 possibilidade de ocorrer; logo:

 

6 1  a

P ;

b) E número menor que 7; 6 possibilidades de ocorrência; logo

 

1

6

6 



b

P

(evento certo);

c) Enúmero menor que 1, nenhuma possibilidade; logo

 

0

6

0 _



c

P

(evento impossível).

Exemplo 2: Dois irmãos são colocados aleatoriamente em uma fila.

Se há 6 pessoas na fila, qual é a probabilidade de os irmãos ficarem juntos?

Resolução: O espaço amostral



é formado por todas as possibilidades de fila. Então:

720 ! 6 ) ( P₆  n .

Para o cálculo do nº de elementos do evento E, devemos considerar a posição dos 2 irmãos juntos como sendo apenas uma, e permutar com as outras 4 pessoas da fila. Assim, obtemos

120 !

5



P

.

Como os irmãos podem trocar de lugar entre si, de duas maneiras, temos:

240

120

2

2 )

(

E





P

5







n

. Então,

3

1

720

240 )

(

E



P

.

Exemplo 3: Uma equipe de doze pessoas é formada por nove

homens e três mulheres. Dessas pessoas, duas serão sorteadas para compor uma comissão. Qual é a probabilidade de a comissão ser formada por:

a) duas mulheres? b) dois homens? c) Um homem e uma mulher?

Resolução: Para calcular o número de elementos do espaço

amostral, devemos considerar um grupo de doze pessoas, do qual serão retirados dois elementos, não importando a ordem, o que corresponde:

66 !

10 !

2 !

12 )!

2

12 (

!

2 !

12 )

(

₁₂_,₂









C

n

a) Ecomissão formada por duas mulheres; logo:

22

1

66

3 )

(

3 )

(

E



C

₃_,₂





P

E



n

b) E comissão formada por dois homens; logo:

11

6

66

36 )

(

36 )

(

E



C

₉_,₂





P

E



n

c) E comissão formada por um homem e uma mulher; logo:

22

9

66

27 )

(

27

3

9 )

(

E



C

₉_,₁



C

₃_,₁









P

E



n

PROBABILIDADE DE UNIÃO DE DOIS EVENTOS

Dados dois eventos A e B, subconjuntos do espaço amostral



, podemos dizer que a probabilidade da união destes dois eventos é dada por:

)

(

)

(

)

(

)

(

A

B

P

A

P

B

P

A

B

P











)

(

)

(

)

(

A

B

P

A

P

B

P







, quando

A



B





(eventos mutuamente exclusivos).

Exemplo: Uma urna contém bolas numeradas de 1 a 50. Calcular:

a) a probabilidade de ser sorteada uma bola cujo número seja par ou múltiplo de 5;

Resolução: Sejam:



 bolas de 1 a 50, 50 possibilidades;



A

número par, 25 possibilidades,

n

(

A

)



25

;

50

25 )

(

A



P



B

número múltiplo de 5, 10 possibilidades

n

(

B

)



10

;

50

10 )

(

B



P





B

A

par e múltiplo de 5, 5 possibilidades

n

(

A



B

)



5

;

50

5 )

(

A



B



P

Então,

P

(

A



B

)



P

(

A

)



P

(

B

)



P

(

A



B

)

0,6 60% 50 30 50 5 50 10 50 25 ) (AB       P

b) a probabilidade de ser sorteada uma bola cujo número seja par e maior que 10 ou o menor número primo.

Resolução: Sejam:

A



número par maior que 10, 20 possibilidades;

n

(

A

)



20

;

50

20 )

(

A



P



B

menor número primo, 1 possibilidade;

n

(

B

)



1

;

50

1 )

(

B



P





B

A

não há número par maior que 10 e igual a 2, logo

0 )

(

A



B



n

Então,

P

(

A



B

)



P

(

A

)



P

(

B

)

0 ,

42

42 %

50

21

50

1

50

20 )

(

A



B







P

PROBABILIDADE DA INTERSECÇÃO DE DOIS EVENTOS

Se A e B são eventos quaisquer, a probabilidade da intersecção de A e B, representada por