Cálculo fracionário para o sistema de Lotka-Volterra

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C´

alculo fracion´

ario para o sistema de Lotka-Volterra

Arianne Vellasco Gomes, Najla Varalta, Paulo F. A. Mancera,

UNESP - Programa de mestrado em Biometria, Botucatu, SP

E-mail: ariannevellasco@ibb.unesp.br, najla@ibb.unesp.br, pmancera@ibb.unesp.br,

Rubens de Figueiredo Camargo

UNESP - Departamento de Matem´atica, Bauru, SP

E-mail: rubens@fc.unesp.br.

Resumo: _{No presente trabalho estudamos o sistema de Lotka-Volterra em sua vers˜}_ao fra-cionária, isto é, substitu´ımos a derivadas ordinárias do sistema clássico por derivadas de ordem não inteira, segundo a defini¸cão de Caputo.

Palavras-chave: _{Modelagem matem´}_{atica, c´}_{alculo fracion´}_{ario, Sistema de Lotka-Volterra,} De-rivada Fracion´aria de Caputo

1 Introdu¸

c˜

ao

A motiva¸cão para estudar equa¸cões diferenciais é buscar compreender o processo f´ısico que se acredita ser inerente à equa¸cão estudada. Estudar de forma detalhada equa¸cões diferenciais simples muitas vezes nos leva a desenvolver e compreender processos complexos e detalhistas.[5] De maneira geral, quanto mais próximos estamos de descrever um fenômeno, mais complexas são as equa¸cões relativas a ele. Neste contexto, o cálculo de ordem não inteira, tradicionalmente conhecido como fracionário, isto é, o estudo de integrais e derivadas de ordem não inteira, desempenha um papel de enorme destaque. São inúmeros os problemas que quando descritos em termo de equa¸cão diferencial de ordem não inteira, fornecem uma descri¸cão mais precisa que a da equa¸cão usual, tais como, probabilidade, biomatemática, psicologia, fun¸cões especiais, mecânica dos fluidos, fenômenos de transporte e redes elétricas [2, 4, 5, 9]

Um problema clássico e simples é o crescimento bacteriano onde se tem uma popula¸cão de bactérias em um determinado instante t, P (t), com uma taxa de crescimento ou decrescimento proporcional a sua popula¸cão. A causa de serem muito numerosas é por se multiplicarem muito rápido por processos assexuais em condi¸cões ambientais favoráveis, tais como, alimento (os mais importantes são: o carbono, o hidrogênio, o azoto, o oxigênio e o fósforo, a temperatura (as bactérias psicrófilas entre 20 - 35oC;as mesófilas entre 30 - 45oC; as termófilas entre 45 -70oC), a umidade (entre 0,999 e 0,998), o pH (a maioria das bactérias têm um pH próximo da neutralidade ou ligeiramente alcalino (6,8 - 7,5)) e o oxigênio, e ainda pode ser comprometido se haverem outras bactérias ou fungos competindo por alimentos ou espa¸co [8].

Entretanto, para tornar o problema mais real, se considerarmos que as condi¸cões não são to-talmente ideais e supondo que o crescimento não seja tão acentuado, podemos supor que a ordem da taxa de crescimento seja um número entre zero e um e assim recorremos ao cálculo fracionário para descrever a equa¸cão diferencial. Esta é a maneira usual de se utilizar o cálculo fracionário, isto é, substituir derivadas de ordem inteira, em um modelo, por derivadas fracionárias.

Num processo mais complexo, estudamos o modelo de Lotka-Volterra que pode descrever uma série de aplica¸cões em biologia, como por exemplo, os modelos parasita-hospedeiro, cres-cimento de plantas e as intera¸cões planta-herb´ıvoro, genética de popula¸cões e teoria dos jogos evolucionários, evolu¸cões dinâmicas de mutualismo, controle biológico de pragas, de maneira

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geral equa¸cões ecológicas tanto para o sistema de árvore quanto para sistemas de ciclo [5]. Este modelo possui algumas restri¸cões apresentadas nas se¸cões seguintes, e a fim de amenizar os efeitos destas propomos resolver a versão fracionária do sistema, utilizando a defini¸cão de Ca-puto para a derivada fracionária, e com isso ter uma descri¸cão mais precisa dos eventos por ele modelados.

Para finalizar o nosso trabalho, analisamos as aplica¸cões do sistema de Lotka-Volterra fra-cionário em problemas reais do câncer, com satura¸cão de crescimento tumoral com enfoque em tratamento quimioterápico, onde verifica-se qual a ordem da derivada que torna a descri¸cão do problema mais precisa. [6]

2 Modelo de Lotka-Volterra

O modelo conhecido como ‘equa¸cões presa-predador’ ou ‘equa¸cões de Lotka-Volterra’ engloba duas popula¸cões em um mesmo ambiente, onde uma é considerada a presa e a outra a predadora, foi desenvolvido pelos matemáticos Vito Volterra e Alfred Lotka, em meados de 1925, indepen-dentemente, quando tentavam explicar o fenômeno que ocorria com as popula¸cões de tubarões e peixes do mar Adriático nos per´ıodos de pesca seguidos de sua paralisa¸cão devido a I Guerra Mundial e por fim a retomada das atividades pesqueiras. [1, 5]

Neste considera-se que as chances de encontro entre presas e predadores são iguais, entretanto estes encontros eventuais se devem a proporcionalidade do tamanho das popula¸cões, dessa forma a popula¸cão de predadores se beneficia com fartura de presas e, de mesma forma, com o aumento da popula¸cão de predadores a popula¸cão de presas é prejudicada.

No sistema supõe-se que estando os predadores ausentes, a popula¸cão de presas x(t), num determinado tempo, crescerá de forma exponencial; e, se supormos falta de alimento, ou seja que há ausência de presas, teremos que a popula¸cão de predadores y(t) decrescerá de forma exponencial num determinado tempo.

O sistema de Lotka-Volterra ´e dado por:      dx dt = ax − bxy, dy dt = −cy + dxy; (1)

Em que a representa a taxa de natalidade de x(t) na ausência dos predadores; b a taxa de sucesso dos ataques de y(t); c a taxa de mortalidade de y(t) na ausência de presas, e d a taxa de mortalidade de x(t) que auxiliarão na ‘produ¸cão’ de y(t).

Este sistema possui dois pontos cr´ıticos, o ponto Q(c/d, a/b) que representa o equil´ıbrio de predadores e presas, que é o ideal para o sistema e o ponto P (0, 0), que não será discutido pois é ponto de sela, onde, dado que a popula¸cão de predadores é zero se tem que a popula¸cão de presas cresce de forma exponencial, de mesma forma, quando a popula¸cão de presas é zero se tem que a popula¸cão de predadores decrescerá de forma exponencial chegando a extin¸cão, e esta defini¸cão não gera um ciclo que é caracter´ıstica do sistema.[5]

Fazendo as mudan¸cas u = x − c/d, v = y − a/b, isto é, transladando o sistema para o ponto cr´ıtico obtem-se que a interferência dos termos não lineares (uv) é praticamente o zero, temos:

     dx dt = − b d(vc + uvd), dy dt = d b(ua + uvb); Tem-se que o sistema linearizado ´e:

     dx dt = − bc dv, dy dt = ad b u

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e, verificou-se que a solu¸cão do sistema linearizado representa elipses centradas no ponto cr´ıtico como trajetórias, ou seja, as trajetórias definidas pelo sistema são as curvas de n´ıvel da fun¸cão f (x, y).

Ao resolver 1 dividindo a segunda equa¸cão pela primeira, nas variáveis x and y, com K constante, encontra-se as trajetórias do sistema original [5]: f (x, y) = clnx−xd+alny −by = K.

3 Integral fracion´

aria

Nesta se¸cão utiliza-se o conceito da fun¸cão gama, feito através da fun¸cão de Gel’fand-Shilov, para apresentar que uma sequência infinita de integrais coincide com defini¸cão da integral fracionária de Riemann-Liouville [3].

3.1 Defini¸c˜ao do Operador Integral

Define-se a integral de ordens um, I, e n, In_{, com n ∈ IN, por [3]:}

If (t) = Z t 0 f (t1) dt1 e Inf (t) = Z t 0 Z t₁ 0 Z t₂ 0 · · · Z t_n−1 0 f (tn) dtndtn1. . . dt2dt1.

3.2 Teorema da Integral de ordem n

A Integral de ordem n pode ser reescrita através da convolu¸cão de Laplace, representada por ∗, e pela fun¸cão de Gel’fand-Shilov1_.

Inf (t) = Φn(t) ∗ f (t) = Z t 0 φn(t − τ )f (τ ) dτ = Z t 0 (t − τ )n−1 (n − 1)! f (τ ) dτ, (2)

3.3 Defini¸c˜ao da Integral de ordem arbitr´aria de Riemann-Liouville

A integral de ordem ν de f (t), Jν_{f (t) =, reescreve-se atrav´es da convolu¸c˜}_{ao de Laplace, com}

nǫZ e com a defini¸c˜ao de fatorial [3]: Jν_{f (t) = Φ} ν(t) ∗ f (t) = Z t 0 f (τ )(t − τ ) (ν−1) Γ(ν) dτ (3)

4 Derivada Fracion´

aria de Caputo

Sejam f(t) uma fun¸c˜ao diferenci´avel, βǫ IC com Re(β) > 0, e n o menor inteiro maior que Re(β) e ν = n − β, ou seja, 0 < Re(ν) ≤ 1 Assim, definimos a derivada, segundo Caputo, de ordem β de f (x), com x > 0, por [3]:

Dβ∗f (t) =0J ν

t[Dnf (t)] = Φν(t) ∗ Dnf (t) (4)

Os subscritos 0 e t representam os limites de integra¸c˜ao; o s´ımbolo Dβ∗ ´e a derivada de ordem

β segundo Caputo.

4.1 Transformada de Laplace

A transformada de Laplace aplicada na derivada de Caputo, consideremos n − 1 < β ≤ n ´e [3]: L_[Dβ_{f (t)] = L[Φ}_n−β∗Dnf (t)] = L[Φn−β]L[Dnf (t)] = sβ−nL[Dnf (t)]. (5)

1_{Definida, para n ∈ IN e ν 6∈ IN, como φ} n(t) :=    tn−1 (n − 1)! se t ≥ 0 0 se t < 0 e φν(t) :=    tν −1 Γ(ν) se t ≥ 0 0 se t < 0.

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5 Fun¸

c˜

ao de Mittag-Leffler

As fun¸cões de Mittag-Leffler são complexas2_{, a mais simples depende apenas de um parâmetro}

α, e a outra depende de dois parâmetros, α e β, que são definidas, respectivamente, como [3]: Eα(z) = ∞ X k=0 zk Γ(kα + 1) e Eα,β(z) = ∞ X n=0 zn Γ(αn + β) z ∈ IC e Re(α), Re(β) > 0 (6) Se substituirmos α por 1 certamente encontraremos a fun¸cão exponencial E1(z) = ex e se

substituirmos β por 1 voltamos a fun¸c˜ao de Mittag-Leffler de um parˆametro Eα,1(z) = Eα(z).

5.1 Transformada de Laplace

A transformada de Laplace da fun¸cão de Mittag-Leffler com dois parâmetros e sua transformada inversa são, respectivamente [3]:

L_[tβ−1_E_α,β_(±atα_{)] =} s α−β sα_∓_a e L −1 sα−β sα_∓_a = tβ−1Eα,β(±atα). (7)

Se tomar β = 1 encontra-se a transformada de Laplace da fun¸c˜ao de Mittag-Leffler cl´assica.

6 Modelo de Lotka- Volterra fracion´

ario

Conforme vimos na se¸cão anterior, o modelo tem sérias restri¸cões, do ponto de vista da modela-gem: a popula¸cão de presas cresce exponencialmente na ausência do predador; a popula¸cão de predadores morre na ausência da presa (ao invés de buscar uma nova espécie de presa); preda-dores podem comer uma quantidade infinita de presas e não há complexidade ambiental (isto é, ambas as popula¸cões estão se movendo aleatoriamente em um meio homogêneo). A fim de diminuir o efeito destas simplifica¸cões, e com isso resolver a versão fracionária do sistema de Lotka-Volterra, utilizando o procedimento descrito na introdu¸cão para obtermos a solu¸cão da equa¸cão diferencial fracionária e da ‘lineariza¸cão’ [5].

No sistema de Lotka-volterra, de ordem inteira, substitu´ımos as derivadas ordinárias presen-tes na equa¸cão por derivadas de ordem α e β, onde α e β são número reais entre zero e um, ou seja, 0 < α ≤ 1, 0 < β ≤ 1,com a,b, c e d constantes positivas e as derivadas fracionárias são tomadas no sentido de Caputo. Logo o sistema não linear fracionário é [5]:

     Dα tx(t) ≡ ∂α ∂tαx(t) = ax(t) − bx(t)y(t), Dβ_ty(t) ≡ ∂ β

∂tβy(t) = −cy(t) + dx(t)y(t)

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Neste sistema percebe-se que as derivadas são de ordem distintas e foi definido desta forma para diminuir o efeito da restri¸cão ‘não há complexidade ambiental’. A dimensão do sistema é obtida somando as duas ordens da derivada do sistema, ou seja, D = α + β. De maneira análoga `

a feita anteriormente introduziu-se variáveis para equilibrar o sistema, substitui-se u = x − c/d, v = y − a/b. Com isso optou-se trabalhar com o cálculo fracionário no sistema linearizado, pois precisa-se descobrir o comportamento do sistema em torno do ponto de equil´ıbrio e avaliar tal ponto. Vamos utilizar a derivada fracionária no sentido de Caputo [5].

     Dα tx(t) = − bc dv, Dβ_ty(t) = ad b u (9)

2_{Caso a fun¸c˜}_{ao seja real utilizaremos E}

(5)

Para resolver este sistema utiliza-se da transformada de Laplace, lembrando que u(0) = u0 e

v(0) = v0 são, respectivamente, as popula¸cões inciais de presa e predador. Então,

F (s) = u(0) s α+β−1 sα+β_{+ ac} −v(0) bc d sβ−1 sα+β_{+ ac}, G(s) = v(0) sα+β−1 sα+β_{+ ac} + u(0) ad b sα−1 sα+β_{+ ac} (10)

Sabe-se que F (s) = L[u(t)] e G(s) = L[v(t)], assim para recuperar a solu¸c˜ao do sistema utiliza-se a transformada de Laplace inversa.

u(t) = u0Eα+β(−actα+β) − v0 bc dt α_E α+β,α+1(−actα+β), (11) v(t) = v0Eα+β(−actα+β) + u0 ad b t β_E α+β,β+1(−actα+β). (12)

7 An´

alise dos Resultados

Para esclarecer o modelo apresentado observou-se o sistema 8 substituindo a = 2, b = 3/2, c = 2 e d = 1/2 e consideramos que x(0) = 1000 e y(0) = 150.

Para encontrar as curvas utilizamos 11 e 12. Cada curva é uma combina¸cão dos parâmetros α e β, que enunciam a derivada fracionária de x(t) e y(t). Com isso pode-se verificar, nos gráficos, que os valores de α e β interferem no quão rápido a curva se aproxima do ponto cr´ıtico Q(4, 4/3). Nos gráficos 1 e 2 observa-se que para α = β = 1 voltamos a solu¸cão do sistema de Lotka-Volterra de ordem inteira, ou seja, que a curva é uma elipse centrada no ponto de equil´ıbrio Q; e que quando reduz-se a dimensão do sistema, D = α + β, há uma acelera¸cão na convergência para o ponto Q [5].

Devemos interpretar que estando os predadores ausentes, toda vez que a curva toca o eixo x, a popula¸cão de presas x(t), num determinado tempo, crescerá de forma exponencial; e, se supormos falta de alimento, toda vez que a curva toca o eixo y, ou seja que há ausência de presas, teremos que a popula¸cão de predadores y(t) decrescerá de forma exponencial num determinado tempo. E, a solu¸cão numérica nos conduz a acreditar que se a dimensão do sistema for menor que 1.8 se tem uma vantagem comparando com a solu¸cão de ordem inteira, pois observa-se que as popula¸cões não se extinguem.

-2 2 4 6 8 10x -1 1 2 3 4 y (a) α = 1, β = 1. -2 2 4 6 8 10x -1 1 2 3 4 y (b) α = 0.9, β = 0.9. -2 2 4 6 8 10x -1 1 2 3 4 y (c) α = 0.8, β = 0.8.

Figura 1: Curvas obtidas para valores de α = β. Os dois eixos est˜ao em escala de 1 para 1000.

-2 2 4 6 8 10x -1 1 2 3 4 y (a) α = 1, β = 0.9. -2 2 4 6 8 10x -1 1 2 3 4 y (b) α = 1, β = 0.8. -2 2 4 6 8 10x -1 1 2 3 4 y (c) α = 1, β = 0.6.

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8 Conclus˜

ao e trabalho futuro

No presente trabalho apresentamos o sistema de Lotka-Volterra de ordem inteira e resolvemos sua versão fracionária, onde se obteve a solu¸cão do sistema linear generalizado e não do sistema generalizado. No exemplo numérico verificou-se que em alguns casos o sistema de Lotka-Volterra prevê a extin¸cão das espécies (ordem inteira) e que este tipo de problema pode ser contornado com a ordem das derivadas α e β, assim, podemos concluir que a solu¸cão fracionaria nos fornece uma descri¸cão do fenômeno melhor que ou igual à de ordem inteira [5].

Podemos citar como exemplo a popula¸cão de filhotes da foca-caranguejeira (presa) e a po-pula¸cão de adultos da foca-leopardo (predador), que do ponto de vista ecológico é de extrema importância para regular a popula¸cão da foca caranguejeira que é numerosa devido sua alta reprodu¸cão. Sabe-se que a popula¸cão de adultos de foca-leopardo ataca principalmente durante o primeiro ano de vida das focas-caranguejeiras e que seus ataques não levarão a extin¸cão da presa, apenas uma redu¸cão de 80 % na espécie. Dessa forma, pode-se afirmar que o que o número de presas e predadores é mais ou menos constante, ou seja, a partir de um determinado tempo as popula¸cões entrarão em equil´ıbrio. Com isso, pode-se concluir que os valores da ordem das derivadas influenciam no tempo de convergência para um ponto de equil´ıbrio [7].

Como trabalho futuro consideramos um modelo matemático de câncer com tratamento qui-mioterápico [6], em que o crescimento das popula¸cões é log´ıstico.

9 Agradecimentos

Agradecemos `a CAPES por ter financiado parte deste projeto e aos colegas do programa de mestrado em Biometria, IBB-Unesp-Botucatu e do Departamento de Matem´atica, Unesp-Bauru.

Referˆ

encias

[1] Barros, Laécio Carvalho de; Bassanezi, Rodney Carlos Tópicos de Lógica Fuzzy e Bioma-temática 2. ed., Editora IMECC, ISBN 8587185055, 2010.

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[8] Murray, Patrick R. Microbiologia M´edica, 4. ed. [S.l.]: Elsevier, 2004.

[9] Podlubny, I, Fractional Differential Equations, Mathematics in Scienc and Engineering, Vol.198, Academic Press, San Diego, 1999.