PO 35: Hiperbolóide: sua história e definição
Stephany Glaucia de Oliveira Paulo1 Universidade Federal do Pará
tettyglaucia@hotmail.com José dos Santos Guimarães Filho2
Universidade Federal do Pará js_guima@hotmail.com
Resumo
O presente artigo apresenta os resultados de uma pesquisa bibliográfica sobre a história do hiperbolóide. O objetivo de estudo foi construir um texto sobre o histórico de uma das superfícies quádricas a partir do surgimento das seções cônicas. A pesquisa foi desenvolvida por meio do estudo de obras sobre a história das seções cônicas. Este trabalho foi dividido em três momentos: A abordagem história das seções cônicas até as superfícies quádricas, Definição do hiperbolóide, de uma folha e de duas folhas, e a aplicação do mesmo em obras de Engenharia e Arquitetura. Os resultados apontam que o hiperbolóide não contribuiu apenas para a história da matemática, mas também abrangeu a Engenharia e Arquitetura, em obras como a Central Nuclear de Grafenrheinfeld, Torre de treliça em aço, Catedral Metropolitana de Brasília, entre outros. Este trabalho pode servir como ponto de partida para novas pesquisas nesta área.
Palavras-Chave: História da Matemática, Seções cônicas, Superfície quádrica e Hiperbolóide.
INTRODUÇÃO
O estudo dos hiperbolóides não é tão difundido como outros assuntos que estão inseridos no mesmo (cônicas).“O ente mais conhecido dos estudantes é a parábola com eixo focal nos x, graças à equação de grau dois. Em relação à elipse e à hipérbole, o ensino médio limita-se à sua equação canônica. Apenas a circunferência tem um tratamento
1Mestranda do Programa de Pós-Graduação em Educação em Ciências e Matemáticas (IEMCI/UFPA). Orientanda do Prof. Dr. João Claudio Brandemberg.Integrante do Grupo de Estudos e Pesquisa em História e Ensino da Matemática (GEHEM – IEMCI/UFPA).
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Graduado em Licenciatura Plena em Matemática pela Universidade do Estado do Pará. Integrante do Grupo de Estudos e Pesquisa em História e Ensino da Matemática (GEHEM – IEMCI/UFPA).
2 maior, e, ainda assim, não como um ente cônico” (ESQUINCALHA, ROBAINA e RODRIGUES, 2010, p. 3).Desta forma, os estudantes não percebem que os hiperbolóides estão presentes em inúmeros lugares, ressaltando que a maior parte nem sabem da existência dos mesmos.
Silva (2013) destaca a importância do hiperbolóide em diversas áreas como na astronomia com criações de telescópios refletores iniciando com Galileu Galilei posteriormente melhorando a ideia Isaac Newton, porém, só em 1672 o astrônomo francês Cassegrais propôs a utilização de um espelho hiperbólico. Ainda na astronomia temos orbitas de cometas que se comportam de maneira hiperbólica. O autor destaca também aplicações nas navegações e na engenharia civil.
Autores como Sommerfeld (2013) destaca aplicações para a odontologia. Relatamos sua importância histórica nos resultados teóricos sobre o centro de gravidade obtido por Arquimedes, como Assis (2008) traz em um dos capítulos de seu livro.
ABORDAGEM HISTÓRICA
Na antiguidade já se estudavam problemas que desencadearam descoberta de grande valia para a matemática. Um desses problemas foi o das seções cônicas, que desencadeou as superfícies quádricas.
As seções cônicas foram descobertas por Menaecmus (cerca de 350 a.C.) que se deu a partir da duplicação do cubo, ou seja, encontrando o valor das arestas cujo volume fosse o dobro do volume de um cubo dado (AFONSO, 2007). Segundo o mesmo autor, Menaecmus elaborou duas soluções para a questão: uma envolvendo a intersecção de duas parábolas, e a outra, a intersecção de uma hipérbole e uma parábola.
As curvas obtidas por Menaecmus foram a partir das secções de um cone circular reto com planos perpendiculares a uma seção meridiana, obtendo 3 tipos distintos de curva conforme o ângulo, era agudo, reto ou obtuso.
3 Figura 01: Secções do Cone
Fonte: Site (Adaptado)3.
Segundo Correia (2013, p. 7) “Ele chamou a essas secções de ‘a secção de um cone de ângulo agudo’ (elipse), ‘a secção de um cone de ângulo reto’ (parábola) e ‘a secção de um cone de ângulo obtuso’ (hipérbole)”.
Mais tarde surgem as obras de Apolônio de Perga (262 a 192 a.C.), nasceu em Perga e considerado um dos três matemáticos mais importantes do período, ao lado de Euclides e Arquimedes. Foi o escritor de 8 livros sobre as seções cônicas.
Apolônio demonstrou que a elipse, a hipérbole e a parábola podem ser alcançadas a partir das secções de um mesmo cone, não necessariamente o próprio deve ser reto. A definição de cone de Apolônio, que é diferente da de Euclides, segundo Correia (2013, p. 9-10):
Uma reta g de comprimento indefinido e passando por um ponto fixo V, move-se ao longo da circunferência de um círculo não complanar com o ponto V. Desse movimento resultam duas superfícies verticalmente opostas, uma em relação à outra. O ponto fixo V representa o vértice do cone, a reta traçada do vértice para o centro O (centro da circunferência) o eixo, a reta VP uma geratriz e a círculo de centro O e raio OP a base do cone (figura 02). (CORREIA, 2013, p. 9-10)
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Figura 02: Cone de acordo com Apolônio Fonte: Correia (2013, p.10)
A partir dessa definição, Apolônio estabelece uma superfície cônica que é análoga ao que atualmente é conhecido como um duplo cone (CORREIA, 2013, p. 10).
As superfícies quádricas são derivadas das secções cônicas. É representado pela equação do 2ºgrau, cuja forma geral é a x 2 + b y 2 + c z 2 + d x y + e x z + f y z + g x + h y + i z + j = 0, na qualo gráfico da equação que as representas é em R³. As mais conhecidas
são: Elipsóide, parabolóides, hiperbolóide, esfera, cilindro e cone.
HIPERBOLÓIDE
Os hiperboloides são superfícies quádricas que se caracterizam por apresentar três dimensões planas: hipérboles, elipses (ou círculos) e retas. Sendo que as hipérboles aparecem quando realizamos dois dos três modos de obtermos seções paralelas aos planos coordenados. Isso sugere o nome hiperbolóide, embora exista outro tipo de seção. Há dois tipos de hiperbolóides: de uma folha e de duas folhas.
5 HIPERBOLÓIDE DE UMAFOLHA
Admitindo a forma canônica da equação das quádricas cêntricas, A definição segundo Sommerfeld (2013) e outros materiais4 que, dados valores reais positivos a, b e c denominamoshiperbolóide de uma folha ao conjunto de pontos do plano que satisfaz equações do tipo:
+ − = 1 (1)
− + + = 1 (2)
− + = 1 (3)
Esboço de suas superfícies:
Superfície 1: com o eixo de simetria o eixo Z.
Figura 3: hiperbolóide de duas folhas com o Z como eixo de simetria.
Superfície 2:com o eixo de simetria o eixo X.
4Aula de superfícies quádricas – hiperboloide. Disponível em:
http://www.professores.uff.br/kowada/ga/ead/ga2V1aula16.pdf e http://www.basica2.ufba.br/apostilas/aula_de_quadricas_07-1.pdf
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Figura 4: Hiperbolóide de uma folha com o X como eixo de simetria.
Superfície 3: com o eixo de simetria o eixo Y.
Figura 5: Hiperbolóide de uma folha com o Y como eixo de simetria.
HIPERBOLÓIDE DE DUAS FOLHAS
Deacordo com Sergio (2012) e outo material de hiperbolóide5, podemos afimar que um hiperbolóide de duas folhas pode ser obtido através da rotação de uma hipérbole ao redor de seu eixo focal.
A expressão chamada de forma canônica ou padrão de uma superfície quádrica centrada, dada: ±x2 a2± y2 b2± z2 c2
= 1
(1) 57 Se apenas um dos sinais da expressao (1) for positivo, significa que o hiperbolóide é de duas folhas. Segue:
- - = 1
(2)- + - = 1
(3)- - + = 1
(4)Figura 6: Hiperbolóide de duas folhas
O eixo de simetria de um hiperbolóide de duas folhas é um dos eixos coordenados e é dado pelo eixo cuja variável esteja no termo positivo. Por exemplo, na expressão (4), o
termo positivo é , de modo que o eixo de simetria é o eixo zconforme a figura abaixo.
8 Sendo assim, podemos dizer que o hiperbolóide dado pela expressão (3)estende-se na direção do eixo y, como mostra a figura abaixo:
Figura 8: Hiperbolóide de duas folhas com y o eixo de simetria
E o hiperbolóide dado por (2)estende-se na direção do eixo x. Como mostra a figura abaixo:
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Figura 9: Hiperbolóide de duas folhas com x o eixo de simetria
CURIOSIDADE
De maneira geral, as cônicas são utilizadas na Engenharia e Arquitetura, como em pórticos, pontes, cúpulas, torres, arcos entre outros, devido às suas propriedades físicas eestéticas (SILVA, 2013, p. 59). Á exemplos, nos formatos de centrais de energia atômicas (são hiperbolóides), que segundo Sato (2005), possui barras de aço retilíneas que se cruzam para obter estruturas extremamentes fortes (figura 10).
Figura 10: Central Nuclear de Grafenrheinfeld
De acordo comSilva (2013), a primeira estrutura hiperbolóide erguida no mundo foi uma torre de treliça em aço, de beleza surpreendente, localizada na localidade de Polibino, região de Lipetsk. A torre hiperbolóide foi construída e patenteada em 1896 pelo grande engenheiro e cientista russo Vladimir Shukhov. As estruturas hiperbolóides foram construídas posteriormente por muitos arquitetos famosos, como Antoni Gaudí, Le Corbusier e Oscar Niemeyer.
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Figura 11:Torre de treliça em aço.
Outo exemplo aqui no Brasil, de acordo com Reis e Pinto (2010), é acatedral Metropolitana de Nossa Senhora Aparecida, constuida em 1958, que é a catedral metropolitana da cidade de Brasília, capital do Brasil, tambem é uma estrutura hiperbolóide.
Figura 12:Catedral Metropolitana de Brasília.
Estruturas hiperbolóide são estruturas arquitetônicas projetadas com a geometria hiperbolóide. As mesmas são encontradas em torres e em coberturas, onde a resistência estrutural da geometria hiperbolóide é usada para economia estrutural, pois é possível criarestruturas mais resistentes utilizando menos materias. Ainda, a geometria hiperbolóide também é frequentemente utilizada para efeito decorativo.
11 CONSIDERAÇÕES FINAIS
Os hiperbolóides, de uma folha e duas folhas, são superfícies quádricas que surgiu a partir do nascimento das seções cônicas. Que contou com a participação principal de Menaecmus e Apolônio.
O resultado desta pesquisa aponta que os hiperbolóides contribuiram para a História da Matemática assim como para obras de Engenharia e Arquiterura, por exemplo, a torre de treliça em aço, Central Nuclear de Grafenrheinfeld, Catedral Metropolitana de Brasília, entre outros.
Incentivar estudos como este é de grande importância para somar conhecimentos e aprimorar novos profissionais. Estudos futuros que poderão surgir são sobre parabolóide e elipsóide.
REFERÊNCIAS
AFONSO, F. F. Estudando Elipse com Auxílio do Software Wingeom. 2007. In: ESQUINCALHA, A. C., ROBAINA, D. T. e RODRIGUES, M. G. Ensino Das Cônicas Mediado Por Sua História e Pelo Uso da Geometria Dinâmica. Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática. Salvador – BA, 2010. (Minicurso). P. 3 - 4. Disponível em: http://www.gente.eti.br/lematec/CDS/ENEM10/artigos/MC/T15_MC1757.pdf. Acessado em: 07 de novembro de 2014.
ASSIS, A. K. T. Arquimedes, o Centro de Gravidade e a Lei da Alavanca.Apeiron
Montreal, primeira edição, 2008. Disponível em:
http://www.ifi.unicamp.br/~assis/Arquimedes.pdf. Acessado em: 10 de novembro de 2014
CORREIA, M. C. L. F. Diferentes Abordagens ao Estudo das Cônicas. 130f.Dissertação (mestrado em Matemática para professores) - Universidade do Porto em Matemática – Departamento de Matemática, 2013.
ESQUINCALHA,A. C., ROBAINA, D. T. e RODRIGUES, M. G. Ensino Das Cônicas Mediado Por Sua História e Pelo Uso da Geometria Dinâmica.Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática. Salvador – BA, 2010.(Minicurso). Disponível em: http://www.gente.eti.br/lematec/CDS/ENEM10/artigos/MC/T15_MC1757.pdf. Acessado em: 07 de novembro de 2014.
REIS, F. H. E.,PINTO, J. M. A. As Seções Cônicas Na Engenharia Civil. Construindo, Belo Horizonte, v.2, n.2, p.38-44, jul./dez. 2010.
12 SOMMERFELD, G. F. F. Cônicas, Quádricas e Suas Aplicações. – Universidade Federal De Minas Gerais. Belo horizonte, 2013. Disponível em: http://www.mat.ufmg.br/~espec/monografiasPdf/Monografia_GuilhermeFreire.pdf.
Acessado em: 10 de novembro de 2014
SATO, J. As Cônicas e Suas Aplicações:Retas tangentes à uma
cônica.ArtigoUberlândia:UFU, 2005.Disponível em:
http://www.sato.prof.ufu.br/Conicas/node19.html. Acessado em: 07 de Novembro de 2014.
SERGIO, P. Superfícies Quádricas: O Hiperbolóide de Duas Folhas.2012. Disponível em: http://fatosmatematicos.blogspot.com.br/2012/03/superficies-quadricas-o-
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SILVA, D. M. F. A hiperbolóide e Suas Aplicações. 150f. Dissertação (mestrado em Matemática) - Universidade Federal de Goiás - Instituto de Matemática e Estatística, 2013.
