O mistério dos números!

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Professor

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O mistério

dos números!

Dinâmica 3

3º Série | 3º Bimestre

DISCIPLINA SérIe CAMPO CONCeITO

Matemática Ensino Médio 3ª Algébrico Simbólico Números Complexos

DINÂMICA O Mistério dos números!

HABILIDADe BáSICA H51 – Efetuar cálculos com polinômios

HABILIDADe PrINCIPAL H73 – Efetuar cálculo envolvendo operações com números comple�_{xos na forma algébrica}

CUrrÍCULO MÍNIMO Identificar o conjunto dos números complexos e representar um _{número complexo na forma algébrica}

2

Professor

eTAPAS ATIVIDADe TeMPO OrGANIZA-_ÇÃO reGISTrO

1 Compartilhar _Ideias Ganhe um _Picolé! de 20 a 25 min _{6 grupos}Em 3 ou Individual

2 Um novo _olhar... Descubra o _mistério! de 15 a 20 min Coletiva Individual

3 Fique por _dentro! A desconfiança é a sentinela

da segurança

de 20 a 30 min _{primeira etapa}Nos grupos da Individual

4 Quiz Quiz 10 min Individual Individual

5 respostas ao Análise das

Quiz

Análise das respostas ao

Quiz

15 min Individual Individual

FLex

Para Saber +

Esta é uma seção de aprofundamento, para depois da dinâmica. O aluno pode realizar, quando desejar, mas o professor precisa ler antes da aula.

Agora, é com você!

Para o aluno resolver em casa ou noutra ocasião e consultar o pro� fessor se tiver dúvidas.

A

presentAção

Esta dinâmica explora a introdução dos números complexos, a partir da im� possibilidade de calcular raízes quadradas de números negativos no campo real. Essa exploração é feita no ambiente das equações do 2º grau, com a ajuda de uma vovó desafiadora. A dinâmica prossegue com alguns cálculos com números complexos escri� tos em sua forma algébrica. As operações tratadas no corpo da dinâmica são a adição, subtração e multiplicação. A primeira etapa prepara o estudante para a multiplicação de complexos, com a revisão da multiplicação de binômios.

A divisão está desenvolvida somente na Etapa Flex, a fim de não sobrecarregar o aluno que não tenha chegado a esse ponto no curso regular.

A distribuição do tempo entre as diversas etapas deixa uma certa margem para melhor adaptação à sua turma.

Matemática

3

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rimeirA

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ompArtilhAr

ideiAs

AtividAde · GAnhe um piColé!

Objetivo

Fazer uma revisão do produto de binômios. Descrição da atividade

Esta atividade consiste em calcular o produto de dois binômios por três ma� neiras distintas e permitir que o aluno possa escolher o processo que lhe seja mais interessante.

O problema é o seguinte:

Uma avó, muito brincalhona, disse a seus três netos, Hugo, Zé e Luísa: Ganha um picolé aquele que calcular o resultado da seguinte multiplicação e chegar a um tri� nômio pelo processo mais eficiente:

(4 + 5x) × (3 + 2x)

Seu professor vai indicar ao seu grupo qual o neto que vocês vão ajudar nessa tarefa. Antes, porém, responda: Você sabe o que é trinômio?

Resposta

É uma expressão algébrica que envolve a soma de três termos (lembrando que a soma algébrica inclui a soma com termos negativos, ou seja, inclui a subtração).

Veja como cada um dos netos resolveu a questão da avó e complete aquele que seu professor indicar para o seu grupo:

Hugo: Ele gosta de figuras e sabe que o produto de dois números pode ser a área de um retângulo com essas medidas. Desenhou, então, o seguinte retângulo e chegou ao resultado certo. Qual terá sido a sua resolução?

4

Professor

2x

3

4 5x

FIGUrA COMPrIMeNTO LArGUrA Área

4 3 12

4 2x 8x

5x 3 15x

5x 2x 10x2

Total destas áreas 12 + 8x + 15x + 10x

2 ₌

= 12 + 23x + 10x2_.

Retângulo maior 4 + 5x 3 + 2x (4 + 5x) × (3 _{+ 2x)}

E levou para a avó a resposta: (4 + 5x) × (3 + 2x) = 12 + 23x + 10x²

Zé gosta de fazer contas e preferiu montar uma parecida com o que ele faz para multiplicar números:

Matemática

5

Luísa prefere fazer os cálculos diretamente, lembrando que ela precisa multi� plicar cada termo do 1º fator por todos os termos do 2º fator. Veja como ela faz isso:

(4 + 5x) (3 + 2x) = 12 + 8x + 15x + 10x² = 12 + 23x + 10x². E, então, na sua opinião, qual o neto que merece o picolé?

Resposta

A resposta é pessoal, mas cabe uma observação: o processo geométrico pode servir para justificar a distributividade (necessidade de multiplicar cada termo do 1º fator por todos os termos do 2º fator), mas, além de demorado, ele fica bem mais complicado quando aparecem sinais negativos. Mesmo neste caso, Hugo agiu como se x fosse positivo, o que não está garantido no problema. Esse processo geométrico é interessante para que o aluno veja uma só vez de cada caso, para entender melhor as regras. Para “uso diário”, os procedimentos algébricos são mais indicados.

Recursos necessários:

ƒ Encarte do aluno.

ƒ Em anexo, fichas para sorteio entre os grupos do “neto” que deve ser

acompanhado na resolução.

Procedimentos operacionais

ƒ Como sempre, as fichas precisam ser recortadas antes da aula a fim

de poupar tempo.

ƒ A ideia é que os grupos trabalhem um só procedimento, mas que ao

final haja uma exposição das 3 maneiras de resolução e todos os alu-nos possam fazer as suas anotações. Um representante de cada gru-po gru-pode ser indicado para apresentar estas resoluções na lousa.

6

Professor

Intervenção pedagógica

Professor:

• Hoje em dia, os estudantes estão acostumados a lidar com coman-dos em videogames. Esse fato pode auxiliar o entendimento coman-dos termos algébricos: monômio, binômio, trinômio e polinômio. Os prefixos indicam a quantidade: 1, 2, 3 e vários e nômio, vem de nomos, do grego que tem um significado ligado a conjunto de leis.

O monômio 3x5_{, por exemplo, pode ser considerado como o}

“co-mando” que, aplicado a um número, eleva esse número à quinta potência e multiplica o resultado por 3. As operações algébricas permitidas são aquelas que podem modificar o comando, mas mantêm os resultados quando aplicados aos mesmos valores das letras. Por exemplo: os comandos 8x + 15x e 23x levam os mesmos valores de x ao mesmo resultado.

• A revisão do produto de dois binômios nesta dinâmica tem o

ob-jetivo imediato de preparar o aluno para o produto de números complexos. Daí, a escolha de binômios em que x ocupa a posição da unidade imaginária no número complexo. Daí também a vanta-gem dos processos algébricos sobre o geométrico.

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...

AtividAde · desCubrA o mistério

Introduzir números complexos. Descrição da atividade

Esta atividade consiste em levar os alunos a problemas sem solução aparente, fazendo com que reflitam sobre esses problemas.

Acompanhe a continuação da história:

Hugo, Zé e Luísa haviam participado de uma dinâmica do Reforço Escolar em que ficaram conhecendo uma equação do 2º grau que não tinha soluções reais. Eles viram que, com a introdução da unidade imaginária i, ela teria 2 raízes complexas. Fize� ram então a seguinte proposta à avó:

Matemática

7

ƒ Você ganha um bombom se nos apresentar 2 soluções da seguinte equação:

x2 + 20x + 125 = 0.

A avó, que já se esquecera da fórmula que dá essas soluções, foi ao Google e encontrou:

− ± −

= b b2 4ac

x

2a

Verificou que a = 1, b = 20 e c = 125, e, ao calcular b2 – 4ac, encontrou o valor negativo – 100. A essa altura, reclamou:

ƒ Vocês me devem o bombom assim mesmo, pois essa equação não tem

soluções. Não há número real que, multiplicado por ele mesmo, dê um resultado negativo!

Foi, então, que Hugo respondeu:

ƒ Ora, vovó, você não gosta de mistérios? Descubra esse: essa equação

tem sim duas soluções. Quais são elas? Zé correu em socorro da avó:

ƒ Vovó, você está atrasada por mais que 2 séculos, pois esse problema já

foi resolvido quando os matemáticos criaram a unidade imaginária i, tal que i2 = – 1 e todos os números negativos passaram a ter raiz quadrada. É bem verdade que são números imaginários, mas são números!

E Luísa completou:

ƒ Aplicando a fórmula que você encontrou no Google e do fato que

100

− = 10 i, você acha as soluções complexas desta equação:

− ± − = 2 4 2 b b ac x a − ± − × = × 2 20 20 4 1 125 2 1 x ₌− ±20 400 500− 2 − ± − = 20 100 2 ₌ − ± = 20 10 2 i_{= – 10 ±5i}

As soluções, vovó, são, portanto, os números complexos – 10 + 5 i e – 10 – 5i. Estes são números complexos. Eles são a soma de dois termos: um deles é um número real e o outro é um número real multiplicado pela unidade imaginária i. Esses termos se chamam respectivamente parte real e parte imaginária do número complexo.

A vovó ganhou o bombom, mesmo sem conhecer os números complexos, mas ficou muito desconfiada se esses números eram mesmo, ou não, soluções da equação. Será que são?

8

Professor

Recursos Necessários:

ƒ Encarte do Aluno.

ƒ Fichas para eventual sorteio da leitura dos diálogos, disponíveis em anexo.

Procedimentos operacionais

ƒ Esta etapa tem um caráter diferente de outras atividades. De certa

forma, ela é uma retrospectiva de dinâmica anterior, em que foi intro-duzida a unidade imaginária e foram apresentados os números com-plexos nessa resolução que os netos propuseram à avó. A apresenta-ção aqui, porém, é autocontida.

ƒ Uma ideia para tornar esta etapa mais interessante será escolher ou

sortear alunos que façam os papéis do narrador, dos netos e da avó, enquanto um outro, o escriba, copia os cálculos na lousa.

ƒ Embora esta atividade seja melhor desenvolvida coletivamente, é

bom que os grupos permaneçam próximos, pois trabalharão em con-junto novamente na terceira etapa.

Intervenção pedagógica

Professor:

ƒ Estas primeiras etapas são uma preparação para a introdução das

operações algébricas com os números complexos escritos como a + bi, em que a e b são números reais. Esta se diz forma algébrica do número complexo.

ƒ O número complexo pode ser escrito também na forma polar ou

tri-gonométrica por meio do seu módulo e um ângulo chamado argu-mento, mas essa forma não faz parte dos temas do currículo mínimo.

Matemática

9

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AtividAde · A desConFiAnçA é A

sentinelA dA seGurAnçA

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Objetivo

Operar com números complexos na forma algébrica. Descrição da atividade

Nesta atividade, os alunos realizarão algumas operações entre números com� plexos na forma algébrica, a partir da informação de que as propriedades básicas das operações com os complexos são as mesmas das operações com os reais, acrescida do

fato de que i2 _{= – 1. Como os números complexos se escrevem como a + bi, com a e b}

reais, na prática, as operações são muito parecidas com aquelas entre os binômios.

questão:

A avó de Hugo, Zé e Luísa não acreditou que os números – 10 + 5 i e – 10 – 5i fossem mesmo soluções da equação x² + 20x + 125 = 0.

Foi aí que Hugo disse:

ƒ Ora vovó, as propriedades básicas das operações com os complexos são

as mesmas das operações com os reais. Como os números complexos se escrevem como a + bi, com a e b reais, na prática, as operações são mui� to parecidas com aquelas entre os binômios, acrescidas do fato de que i² = – 1. Como você se lembra dessas operações, você pode testar para ver quanto dá x² + 20x + 125 quando x = – 10 + 5 i ou quando x = – 10 – 5 i. Ajude a vovó a fazer esses cálculos:

10

Professor

(se o aluno conhece o produto notável que dá o quadrado de um binômio) (– 10 + 5 i)² = (– 10)² + 2 × (– 10) × 5 i + (5i)² = 100 – 100 i + 25(i)² = 100 – 100 i – 25 = 75 – 100 i (– 10 – 5 i)x( – 10 – 5 i) = = (– 10)² + (– 10) × (– 5 i) + (– 5 i) × (– 10) + (– 5i)² = 100 + 50 i + 50 i + 25 (i)² = 100 + 100 i – 25 = = 75 + 100 i Ou:

(se o aluno conhece o produto notável que dá o quadrado de um binômio)

(– 10 – 5 i)² = [– (10 + 5 i)]² = = (–1)2 × (10 + 5 i )² = 100 +100 i + 25(i)² = 100 + 100 i – 25 = = 75 + 100 i 20x 20 × (– 10 + 5 i) = – 200 + 100 i 20 × (– 10 – 5 i) = – 200 – 100 i x² + 20x + 125 (75 – 100 i)+(– 200 + 100 i) + 125 = = (75 – 200 + 125) + (100 i – 100 i) = 0 (75 + 100 i)+(– 200 – 100 i) + 125 = = (75 – 200 + 125) + (100 i – 100 i) = 0 Recursos necessários: Encarte do aluno.

Procedimentos operacionais

ƒ Os alunos podem voltar a trabalhar nos mesmos grupos e fazer os

cálculos no formato escolhido por eles.

ƒ A correção poderá ser feita nos próprios grupos ou coletivamente.

Intervenção pedagógica

ƒ Os números complexos têm aplicações em várias áreas, como, por

exemplo, na Eletricidade. Essas aplicações, porém estão fora do âm-bito do estudo no nível básico. Daí, a escolha da verificação de que esses números satisfazem à equação dada como motivação para a realização de cálculos com números complexos.

Matemática

11

ƒ Essa abordagem tem a vantagem de destacar o significado de raiz de

uma equação.

ƒ O estudo dos números complexos neste nível escolar está mesmo

inti-mamente ligado às equações algébricas.

ƒ De acordo com o que os alunos estiverem estudando no curso regular,

talvez seja o caso de mostrar a eles as expressões gerais para adição, subtração e multiplicação de números complexos, que se obtêm sepa-rando as partes real e imaginária dos resultados:

(a + b i) + (c + d i) = (a + c) + (b + d) i (a + b i) – (c + d i) = (a – c) + (b – d) i (a + b i) × (c + d i) = (ac – bd) + (ad + bc) i

q

uArtA

e

tApA

q

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questão: (sAerjinho, 3º bimestre de 2012,

3ª s

e

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, q

49 )

1. Qual é o resultado da multiplicação (2 – 3 i) × (4 + 2 i)?

a. 2 – 8 i b. 2 + 16 i c. 8 – 6 i d. 8 – 14 i e. 14 – 8 i

q

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Resposta

Efetuando o cálculo:

12

Professor

e a resposta correta é a opção (e).

O aluno que souber de cor a parte real e imaginária do produto (o que não é mui-to difícil de deduzir, levando em conta que i2 _{= – 1) pode usar diretamente a expressão:}

(2 – 3 i) × (4 + 2 i) = [2 × 4 – (– 3) × 2] + [2 × 2 + (– 3) × 4] i = (8 + 6) + (4 – 12) i = 14 – 8 i

Erros possíveis:

ƒ A opção (a) é uma escolha errada que pode ocorrer quando os alunos

consideram o valor 1 para o quadrado da unidade imaginária ou se es-quecem do sinal em – 3.

ƒ A opção (b) é uma escolha errada também muito provável, por ser

resul-tado da troca de 2 – 3 i por 2 + 3 i, pois:

(2 + 3 i) × (4 + 2 i) = 8 + 4 i + 12 i + 6 i2 _{= 8 – 6 + 16 i = 2 + 16 i.}

ƒ O item (c) _{é uma escolha errada muito provável, que ocorre quando o}

aluno considera a parte real do produto como sendo o produto das par-tes reais e o mesmo com as parpar-tes imaginárias, a exemplo do que acon-tece com numeradores e denominadores de frações.

ƒ Por fim, o item (d) é um erro menos provável, que pode ocorrer quando

o aluno tenta decorar a fórmula, mas troca os sinais e a parte real com a parte imaginária.

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F

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+

1. Esta dinâmica optou por motivar a álgebra dos complexos, explorando es�

ses números como soluções de equações algébricas, mesmo que estas te�

nham todos os coeficientes reais. Uma outra aplicação que é acessível a esse nível de ensino seria a “tradução” de operações algébricas entre os

complexos em movimentos no plano. Essas aplicações decorrem da repre� repre�

sentação geométrica dos números complexos.

Os números reais já ocupam toda uma reta numérica. Os números imagi� nários puros (aqueles com parte real nula) são o produto de um número real pela unidade imaginária i. Ocupam, portanto, uma outra reta, dita reta imaginária.

Tomadas essas duas retas (a dos números reais e a dos imaginários puros) como eixos num plano, cada número complexo passa a corresponder a um ponto desse plano e, reciprocamente, cada ponto desse plano tem um nú� mero complexo que o representa. A representação geométrica dos núme� ros complexos é feita, portanto, num plano em que um dos eixos é a reta

Matemática

13

real e outro eixo é a reta “imaginária”. Esse plano recebe o nome de plano complexo ou plano de Argand – Gauss.

Uma pergunta que pode surgir diante dessa conclusão é a seguinte: Já se tem o plano cartesiano, onde são considerados pontos (x, y), são tra� çados gráficos de funções, curvas são definidas por equações, regiões são definidas por inequações, entre outras possibilidades. Têm�se também os vetores planos, que podem ser somados, multiplicados por escalares ou multiplicados para dar um resultado escalar.

O que de novo podem trazer a esse plano os números complexos? O plano não é o mesmo?

A resposta vem exatamente da estrutura algébrica de cada um desses es� paços. O conjunto suporte é o mesmo: os pontos do plano. As operações entre seus elementos é que variam.

No caso dos números complexos, por exemplo, uma operação simples como a multiplicação por um número fixado pode definir uma rotação composta com uma homotetia (redução ou ampliação). Como esse tema não foi desen� volvido nestas dinâmicas, vamos ficar num exemplo bem simples. A multipli� cação de um número complexo pela unidade imaginária i leva o número z = a + b i no número w = – b + a i. Ou seja, leva o ponto de coordenadas cartesia� nas (a, b) no ponto de coordenadas cartesianas (– b, a), o que significa uma rotação de 90º em torno da origem, no sentido anti�horário.

z = a+ bi ⟹ w = i × (a + bi) = ai + bi2 _{= – b + ai}

Você pode executar movimentos com triângulos no plano de Argand – Gauss em:

ƒ http://m3.ime.unicamp.br/portal/Midias/Softwares/SoftwaresM3Ma�

tematica/movimentos_complexos/movimentos_complexos/introdu� cao.html

14

Professor

2. Para seus alunos, você pode sugerir os sonhos de Hans que explicam bem

os números complexos, embora o Hans precise ainda aprender a conjugar os verbos quando usa o tratamento de tu e o verbo na terceira pessoa. O vídeo se encontra em:

ƒ http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1187

Sinopse: O Jovem Hans se depara com as palavras complexo e imaginário e fica muito incomodado, pois, para ele , Matemática deveria ser real, con� creta e exata. Resolve dormir e sonha com um personagem estranho, que tem meia barba, usa bermudas e fraque e é uma mistura dos dois perso� nagens do livro O Médico e o monstro o qual representa uma dualidade do mundo. Ao acordar entende que o sonho mostrou um pouco da magia dos números complexos.

3. Em:

ƒ http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1142,

Você encontra um segundo vídeo sobre os números complexos com o mes� mo personagem Hans, um jovem estudante. Hans vai dormir e sonha com outro jovem. Agora é o Morfeu, o deus dos sonhos. Morfeu explica direiti� nho ao jovem sobre a história dos números complexos, chegando à fórmu� la de De Moivre.

A

GorA

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Com

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1. Efetue as seguintes operações entre números complexos, escrevendo o re�

sultado na forma algébrica (parte real e parte imaginária):

a. (2 + 3 i) + (3 + 2 i) = (2 + 3) + (3 + 2) i = 5 + 5 i

b. (2 + 3 i) – (3 + 2 i) = (2 – 3) + (3 – 2) i = – 1 + i

c. (– 4 – 2 i) + (3 + 2 i) = (– 4 + 3) + (–2 + 2) i = – 1

d. (1 + i) × (1 – i) = (1 + 1) – (1 – 1) i = 2

e. (a + b i) × (a – b i) = a² + b² + ( ab – ab) i = a² + b²

2. Calcule (3 + 2 i) × ( x + y i).

Resposta

Matemática

15

3. Determine os valores de x e de y para os quais (3 + 2 i) × ( x + y i) = 2 + 3 i.

Resposta

Pelo exercício anterior, os valores de x e de y que satisfazem a essa condição são as soluções do sistema:

`3x 2y 2 2x 3y 3 − =   + =  .

Resolvendo este sistema pelo método de Cramer, tem-se:

D = 3 2 2 3 − = 3 × 3 – (– 2) × 2 = 32 _{+ 2}2 _{= 9 + 4 = 13} D_x = 2 2 3 3 − = 6 + 6 = 12, donde x = 12 13 D_y = 3 2 2 3 = 9 – 4 = 5, donde y = 5 13

Donde se conclui que (3 + 2 i) × (12

13 + 5

13i) = 2 + 3 i

O aluno poderá resolver esse problema também por adição, multiplicando a 1ª equação por 3 e a 2ª equação por 2 para eliminar a incógnita y:

`9x 6y 6 4x 6y 6

− =



 _{+ =}

 .que, somadas dão: 13x = 12, donde x =

12 13.

e, multiplicando a 1ª equação por – 2 e a 2ª equação por 3, dá para eliminar a incógnita x: 6x 4y 4 6x 9y 9 − + = −   _{+ =}

 .que, somadas dão: 13y = 5, donde y =

5 13.

O que confirma que: (3 + 2 i) × (12

13 + 5

13i) = 2 + 3 i.

Observe que, então, conclui-se que: 2 3i

3 2i + + = 12 13 + 5 13i.

16

Professor

4. Calcule: (2 3i) (3 2i)

(3 2i) (3 2i) + × −

+ × − , efetuando as multiplicações em primeiro lugar.

Resposta

(2 + 3 i) × (3 – 2 i) = 6 + 6 + (– 4 + 9) i = 12 + 5 i (3 + 2 i) × (3 – 2 i) = 9 + 4 + (– 6 + 6) i = 13. Prosseguindo: (2 3i) (3 2i)

(3 2i) (3 2i) + × − + × − = 12 5i 13 + = 12 13 + 5 13i.

Como as quatro operações entre os números complexos satisfazem às mesmas condições que nos números reais, comparando este resultado com o obtido no exercício anterior, tem-se, novamente:

2 3i 3 2i + + = (2 3i) (3 2i) (3 2i) (3 2i) + × − + × − = 12 13 + 5 13i.

Observação: Este é um procedimento que pode ser usado em geral. Para

en-contrar o quociente a bi c di

+

+ , com c + d i ≠ 0. Calcula-se: (a bi) (c di)

(c di) (c di) + × − + × − = 2 2 (a bi) (c di) c d + × −

+ e, como o denominador é real e

diferente de 0 (pois, pelo menos, c ou d deve ser diferente de 0), basta dividir a parte real e a parte imaginária do numerador pelo denominador que se encontram as partes real e imaginária do quociente.

Se z = c + d i, o número obtido pela troca de sinal da parte imaginária de z se chama conjugado de z e se indica porz: z = c – d i. Note que, então: z × z = c2 _{+ d}2 _é sempre um número real e só é 0 quando c = d = 0, isto é, zz só é igual a 0 se z = 0.

5. Calcule: 3 4i

1 2i +

+ e tire a prova real, fazendo a multiplicação.

Resposta

Matemática

17

19

Anexo

Acompanhar

Hugo

Acompanhar

Zé

Acompanhar

Luísa

Acompanhar

Hugo

Acompanhar

Zé

Acompanhar

Luísa

Avó

Hugo

Zé