Modelo de Volatilidade Estocástica via Processo Gaussiano

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Lucas Marques Oliveira

Modelo de Volatilidade Estocástica via

Processo Gaussiano

RJ, Brasil

2018

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Lucas Marques Oliveira

Modelo de Volatilidade Estocástica via Processo

Gaussiano

Dissertação de Mestrado submetida ao Pro-grama de Pós-Graduação em Estatística do Instituto de Matemática da Universidade Fe-deral do Rio de Janeiro, como parte dos re-quisitos necessários para a obtenção do grau de Mestre em Estatística.

Universidade Federal do Rio de Janeiro – UFRJ Instituto de Matemática

Departamento de Métodos Estatísticos

Orientadores: Ralph dos Santos Silva

Fabio Antonio Tavares Ramos

RJ, Brasil

2018

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Lucas Marques Oliveira

Modelo de Volatilidade Estocástica via Processo Gaussiano/ Lucas Marques Oliveira. – RJ, Brasil,

2018-65p. : il. (algumas color.) ; 30 cm. Orientadores: Ralph dos Santos Silva Fabio Antonio Tavares Ramos

Dissertação (Mestrado) – Universidade Federal do Rio de Janeiro – UFRJ Instituto de Matemática

Departamento de Métodos Estatísticos, 2018.

1. Econometria. 2. Filtro de Partículas. I. Silva, Ralph dos Santos; Ramos, Fabio II. Universidade Federal do Rio de Janeiro. III. Instituto de Matemática. IV. Modelo de volatilidade estocástica via processo gaussiano

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Lucas Marques Oliveira

Modelo de Volatilidade Estocástica via Processo

Gaussiano

Dissertação de Mestrado submetida ao Pro-grama de Pós-Graduação em Estatística do Instituto de Matemática da Universidade Fe-deral do Rio de Janeiro, como parte dos re-quisitos necessários para a obtenção do grau de Mestre em Estatística.

Trabalho aprovado. RJ, Brasil, setembro de 2018:

Prof. Ralph dos Santos Silva

D.Sc., UFRJ

Prof. Carlos Antonio Abanto Valle

D.Sc., UFRJ

Prof. Rodrigo dos Santos Targino

D.Sc., FGV

RJ, Brasil

2018

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Agradecimentos

Agradeço primeiramente a Deus, pela força, resistência e alegria de ter me propor-cionado a conclusão desse trabalho.

A meus pais, José Evandro Oliveira e Claudia Marques por apoiarem a minha educação com muito esforço e carinho, por serem meus parceiros de todas as horas e por sempre confiarem na minha capacidade. A toda minha família pelos valores e amizade.

A meus irmãos em Cristo Fábio, Rafael, Vanessa, Viviane, Luana e Thiago pela amizade e conselhos.

Ao Programa de Pós-Graduação do Departamento de Métodos Estatísticos, por me dar o suporte necessário para poder concluir essa dissertação. Aos professores do programa, em especial meus orientadores Ralph e Fabio. Obrigado por seu apoio, ideias e paciência. A minha vida profissional foi potencializada enormemente pelo aprendizado que tive com os senhores. A meus companheiros Marcos, Daniela, Angel, Jocely, Widemberg, Pamela, Mariana, Ericka entre tantos outros por suas amizades e companheirismo.

A todas as pessoas que de alguma forma contribuíram para eu chegar até aqui. Muito obrigado!

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“Os quais pela fé venceram reinos, praticaram a justiça, alcançaram promessas, fecharam as bocas dos leões, Apagaram a força do fogo, escaparam do fio da espada, da fraqueza tiraram forças, na batalha se esforçaram, puseram em fuga os exércitos dos estranhos. (Bíblia Sagrada, Hebreus 11: 33,34)

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Resumo

Nesta dissertação considera-se a modelagem de retornos de um ativo fi-nanceiro com as volatilidades expressas através de um processo gaussiano. Nesta abordagem evita-se uma estrutura rígida - como nos modelos da família ARCH (ARCH, GARCH, EGARCH, etc) e modelos de volatilidade estocástica - para a forma funcional (ao longo do tempo) da volatilidade. A inferência sobre as quanti-dades desconhecidas dos modelos é feita sob abordagem bayesiana com a aplicação de métodos numéricos como amostragem de Gibbs e filtro de partículas. Apesar de o modelo ser definido como um modelo markoviano, com a introdução do processo gaussiano passa a existir depêndencia entre os estados na distribuição incondicio-nal de 𝑓 . A priori dos estados é complicada, então para aproximá-la e acelerar o processo de estimação propõe-se uma janela de dados. Nas aplicações é apresentado um estudo de Monte Carlo para avaliar o processo de estimação e compara-se a performance com outros modelos, e também a dados reais.

Palavras-chaves: Filtro de partículas; PGAS; PMCMC; Econometria; Função de

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Abstract

In this master thesis it is considered the modeling of returns of a financial asset with the volatility expressed through a Gaussian process. This approach avoids a rigid structure - as in the ARCH family models (ARCH, GARCH, EGARCH, etc.) and stochastic volatility models - for the functional (over time) form of volatility. The inference about the unknowns of the models is done under Bayesian approach with the application of numerical methods such as Gibbs sampling and particle filter. Although the model is defined as a Markovian model, with the introduction of the Gaussian process, there exists a dependency among states in the unconditional distribution of 𝑓 . The prior of the states is complicated, so to approximate it and to accelerate the estimation process a data window is proposed. In the last part of this master thesis it is presented a Monte Carlo study to evaluate the estimation process and compare the performance with other models, and an application with real data.

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Lista de ilustrações

Figura 1 – Índice Dow Jones . . . 3

Figura 2 – Log Retorno e Log Retorno quadrático do índice Dow Jones . . . 3

Figura 3 – Gráfico de qqnorm das ações da Petrobras . . . 8

Figura 4 – Amostras a priori e a posteriori de um processo gaussiano. . . 12

Figura 5 – Prioris de processo gaussiano: exponencial quadrática. . . 13

Figura 6 – Prioris de processo gaussiano: periódico. . . 14

Figura 7 – Prioris de processo gaussiano: racional quadrático.. . . 14

Figura 8 – Inferência para a posteriori do processo gaussiano. . . 16

Figura 9 – Histograma dos parâmetros do processo gaussiano. . . 17

Figura 10 – Cadeias de Markov e gráfico de autocorrelação. . . 18

Figura 11 – Estudo de Monte Carlo: janela de dados. . . 31

Figura 12 – Retorno e log volatilidade para os dois conjuntos de parâmetros. . . . 34

Figura 13 – Estudo de Monte Carlo, traço das duas cadeias para os 5 parâmetros do modelo GP-Vol. Réplica 13a. . . . 35

Figura 14 – Estudo de Monte Carlo, traço da cadeia, ACF e histograma da primeira cadeia para os 5 parâmetros do modelo GP-Vol. Réplica 13a. . . . 35

Figura 15 – Estudo de Monte Carlo, traço da cadeia, ACF e histograma da segunda cadeia para os 5 parâmetros do modelo GP-Vol. Réplica 13a. . . . 36

Figura 16 – Histograma das médias a posteriori para as 20 réplicas. Conjunto 1 de parâmetros. . . 39

Figura 17 – Histograma das médias a posteriori para as 20 réplicas. Conjunto 2 de parâmetros. . . 39

Figura 18 – As 20 réplicas para o primeiro conjunto de parâmetros . . . 40

Figura 19 – As 20 réplicas para o primeiro conjunto de parâmetros . . . 41

Figura 20 – Índice Dow Jones . . . 45

Figura 21 – Log Retorno e Log Retorno quadrático do índice Dow Jones. . . 46

Figura 22 – Dow Jones - Cadeia utilizando 200 dados . . . 47

Figura 23 – Dow Jones - Cadeia utilizando 1000 dados . . . 47

Figura 24 – Dow Jones - Estimativa da volatilidade . . . 48

Figura 25 – Preço Eletrobras . . . 49

Figura 26 – Log Retorno e Log Retorno quadrático das ações da Petrobras. . . 49

Figura 27 – Eletrobras - Cadeia utilizando 200 dados . . . 50

Figura 28 – Eletrobras - Cadeia utilizando 1000 dados . . . 50

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Lista de ilustrações ix

Figura 30 – Preço das ações da Petrobras na BOVESPA . . . 52

Figura 31 – Log Retorno e Log Retorno quadrático das ações da Petrobras. . . 52

Figura 32 – Petrobras - Cadeia utilizando 200 dados . . . 53

Figura 33 – Petrobras - Cadeia utilizando 1000 dados . . . 54

Figura 34 – Petrobras - Estimativa da volatilidade . . . 54

Figura 35 – Série artificial 1 gerada a partir do algoritmo GP-Vol . . . 60

Figura 40 – Série 1 gerada pelo modelo GARCH(1,1) . . . 63

Figura 43 – Série 1 gerada pelo modelo de volatilidade estocástica . . . 64

Figura 44 – Série 2 gerada pelo modelo de volatilidade estocástica . . . 65

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Lista de tabelas

Tabela 1 – Resultado da inferência de uma regressão via processo gaussiano. . . . 16

Tabela 2 – Valores dos parâmetros usados para as séries artificiais. . . 33

Tabela 3 – Estudo de Monte Carlo, com as estatísticas das 20 réplicas para os 2 conjuntos de parâmetros. O tamanho de amostra utilizado foi de 100 dados. . . 37

Tabela 4 – Estudo de Monte Carlo, com as estatísticas das 20 réplicas para os 2 conjuntos de parâmetros. O tamanho de amostra utilizado foi de 200 dados. . . 38

Tabela 5 – Comparação de modelos com dados gerados pelo GP-Vol. Os números apresentados correspodem a perda L1 e depois da barra ("/") a perda

L2. . . 42

Tabela 6 – Comparação de modelos com dados gerados pelo GARCH(1,1). Os nú-meros apresentados correspodem a perda L1 e depois da barra ("/") a perda L2. . . 43

Tabela 7 – Comparação de modelos com dados gerados pelo SVM. Os números apresentados correspodem a perda L1 e depois da barra ("/") a perda

L2. . . 43

Tabela 8 – Valores dos parâmetros usados para as séries artificiais. . . 43

Tabela 9 – Estatísticas descritivas do log retorno do índice Dow Jones. . . 46

Tabela 10 – Comparação de modelos com dados do índice Dow Jones. Perda L1/L2. 48

Tabela 11 – Estatísticas descritivas do log retorno das ações da Eletrobras. . . 49

Tabela 12 – Comparação de modelos com dados da Eletrobras. Perda L1/L2. . . . 51

Tabela 13 – Estatísticas descritivas do log retorno das ações da Petrobras. . . 53

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Sumário

1 Introdução. . . . 1 1.1 Objetivo . . . 5 2 Conceitos fundamentais . . . . 7 2.1 Log retorno . . . 7 2.2 Modelos ARCH . . . 9 2.2.1 ARCH . . . 9 2.2.2 GARCH . . . 9 2.2.3 EGARCH . . . 10 2.3 Processo gaussiano . . . 10 2.3.1 Relações . . . 11 2.3.2 Função de covariância . . . 11

2.3.3 Predição no processo gaussiano . . . 13

2.3.4 Inferência sobre os parâmetros . . . 15

2.4 Modelos em espaço de estados . . . 18

3 Volatilidade estocástica . . . 20

3.1 Modelos de volatilidade estocástica . . . 20

3.1.1 Modelo de volatilidade estocástica . . . 20

3.1.2 Modelo de volatilidade estocástica via processo gaussiano . . . 21

3.1.3 Inferência bayesiana para o modelo de volatilidade estocástica via processo gaussiano . . . 22

3.1.4 Amostragem de Gibbs . . . 24

3.2 Filtro de Gibbs com amostragem de antecessor . . . 25

3.2.1 Filtro de Gordon . . . 28

3.2.2 Utilizando janelas de dados . . . 30

4 Aplicação . . . 32

4.1 Um estudo de Monte Carlo . . . 32

4.2 Comparação com o modelo GARCH e com o modelo de volatilidade esto-cástica padrão . . . 42

4.3 Aplicação em dados reais . . . 44

4.3.1 Aplicação dados Dow Jones . . . 45

4.3.2 Aplicação dados Eletrobras . . . 48

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SUMÁRIO xii

5 Considerações finais . . . 56

Referências . . . 57

APPENDIX A Séries artificiais geradas a partir do modelo GP-Vol, GARCH(1,1)

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1 Introdução

No universo financeiro a importância da quantificação da volatilidade tem crescido

progressivamente desde o trabalho deEngle(1982). A primeira pergunta que alguém deve

se fazer é, qual a definição de volatilidade? O termo volatilidade é aplicado em diversas situações no mercado financeiro, mas uma das suas definições mais gerais é aquela provida

no texto de Stanley et al.(1999):

"Volatilidade é uma medida genérica da magnitude das flutuações do mercado." Na literatura de finanças o termo volatilidade é utilizado em quatro contextos diferentes: volatilidade atual, volatilidade histórica ou realizada, volatilidade implícita e volatilidade futura. A primeira é uma estimativa para a volatilidade no momento presente,

levando-se em consideração todo o histórico de preços (WILMOTT, 2007). Volatilidade

histórica ou realizada é definida em Cañizares et al. (2007) como o desvio padrão do

logaritmo do retorno de um ativo em uma determinada janela de tempo 𝑇 . Essa estimativa é muitas vezes comparada com a volatilidade implícita para verificar possíveis distorções no preço de opções. Volatilidade implícita é uma variável desconhecida em um modelo

matemático, um caso especial é no modelo descrito por Black e Scholes (1973) onde essa

variável é a única desconhecida do modelo, sendo esse modelo amplamente conhecido em finanças para a precificação de opções. Por fim, a volatilidade futura é uma estimativa para valores futuros da volatilidade. Essa variável é muitas vezes estimada a partir de

valores da volatilidade implícita e da volatilidade histórica, como feito em Koopman et

al. (2004).

A estimação da volatilidade histórica é o foco dessa dissertação. Essa variável é muitas vezes confundida com a probabilidade de perda de dinheiro, o que não é ver-dade. Na realidade, muitos lucros de grande magnitude são feitos em períodos de alta volatilidade. Acontece que grandes prejuízos também ocorrem no mesmo período.

A diferença da volatilidade para outras variáveis, como o preço de um ativo ou a inflação de um país, é que essa variável em geral não é observada. Portanto, nesta dissertação a sua estimação é feita através de modelos estatísticos, explorando a sua relação com outras variáveis, no caso o preço do ativo.

Engle (1982) explora a relação da volatilidade com o preço através de uma forma autoregressiva, em que o retorno tem a variância da sua distribuição (Normal) variando ao longo do tempo e a variância depende de termos defasados do próprio retorno. Esse texto foi de tamanha importância para a estatística, economia e finanças que rendeu o Nobel em Economia ao seu autor, no ano de 2003. A partir desse momento foram

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CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 2

desenvolvidos outros modelos, como o clássico GARCH descrito em Bollerslev(1986), que

usa um formato ARMA para a volatilidade, em que a volatilidade depende de valores do retorno e dos próprios valores da volatilidade defasados. Posteriormente, foi pesquisado o uso de distribuições de probabilidade para modelar a volatilidade, o que resultou nos modelos de volatilidade estocástica. Esses modelos são casos especiais dos modelos em espaço de estado. Neles existe uma variável estocástica latente (não observada) que muda ao longo do tempo e que influencia a variável observada. Uma abordagem comum na utilização da volatilidade estocástica é quando o log da variância tem uma forma AR(p),

como em Jacquier, Polson e Rossi (2002). Estes modelos serão revisados na Seção3.1.

A existência de uma relação temporal entre valores da volatilidade se deve muito ao fenômeno empiricamente observado denominado de conglomerados de volatilidade. Esse

termo foi primeiramente comentado por Mandelbrot (1963). Porém, uma das definicões

mais abrangentes é a provida emThomas e Michele(2000): "Conglomerados de volatilidade

são períodos de quietude e turbulência que tendem a se agrupar conjuntamente." O uso da dependência de valores da volatilidade presente com a volatilidade passada e com o log retorno quadrático passado se deve em grande parte a esse fenômeno.

Outro fenômeno amplamente comentado na literatura de finanças quantitativa é o

chamado efeito de alavancagem primeiramente comentado emBlack(1976). EmBouchaud

et al. (2001) o autor define efeito de alavancagem como a correlação negativa entre os valores passados do retorno e os valores futuros da volatilidade. Dessa forma, quando existe uma crise não está claro no momento subsequente qual o preço justo do ativo. Por exemplo, pode se saber que uma empresa teve prejuízo, mas ainda não se sabe todos os detalhes contábeis desse resultado, o que gera incerteza. Portanto, logo após uma notícia

ruim e uma queda no preço a volatilidade aumenta. Como comentaLagger(2012), apesar

desse efeito ser bem observado para índices como o Dow Jones (Figura 1), ele é polêmico

para ações isoladas.

Usualmente se utiliza os valores quadráticos do log retorno como uma variável para se comparar com a estimação da volatidade. Essa variável tem uma propriedade

interessante, que é empiricamente observada no mercado e exemplificado na Figura 2, ela

tem uma autocorrelação significativa com valores defasados dela mesma, diferentemente

do log retorno. Na Figura2o comportamento da função de autocorrelação amostral (ACF)

- conceito definido em Tsay (2002) pp. 24 - mostra que existe um decaimento suave dos

valores da função de autocorrelação para o log retorno quadrático, o que indica uma depêndencia de valores defasados.

No mercado o que importa é o quanto um ativo rende, ou seja, seu retorno. Além disso, só existe juros compostos, e juros compostos tem um comportamento exponencial. Por isso, para se obter uma relação linear é utilizado o log retorno. Existe uma série de

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CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 3 Dias Índice Do w Jones 0 200 400 600 800 1000 13000 14000 15000 16000 17000 18000

Figura 1 – Valores do índice Dow Jones. O período é entre 04/09/2012 e 24/08/2016.

Dias Log Retor no Do w Jones 0 200 400 600 800 1000 −0.02 0.00 0.02 0.04 0 5 10 15 20 25 30 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Defasagem ACF Dias Log Retor no² Do w Jones 0 200 400 600 800 1000 0.0000 0.0005 0.0010 0.0015 0 5 10 15 20 25 30 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Defasagem ACF

Figura 2 – Log Retorno e Log Retorno quadrático do índice Dow Jones, e seus respectivos gráficos de ACF. O período é entre 04/09/2012 e 24/08/2016.

Um fato estilizado em modelos estocásticos é que em geral os log retornos apresen-tam uma distribuição de cauda pesada. Mesmo assim, muitos modelos utilizam a distribui-ção normal como parte da sua especificadistribui-ção. Entretanto, isso não empobrece a estimadistribui-ção, porque essa distribuição normalmente é combinada com outras estruturas que leva o efeito

da cauda pesada para o log retorno Carmona (2014).

A volatilidade estocástica é uma variável latente e uma medida de variabilidade, o que faz sua estimação ser mais complexa. Se fosse o caso de uma variável latente que atuasse na média a estimação seria mais simples. Para vencer essa complexidade e

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melho-CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 4

rar a estimação, cientistas de todo o mundo trabalham em novas ideias tanto do ponto de vista da modelagem estatística, quanto do ponto de vista dos algoritmos de amostragem.

Nesse contexto Wu, Lobato e Ghahramani (2014) propõem uma estrutura mais flexível,

na qual a distribuição da forma funcional da volatilidade é um processo gaussiano.

O processo gaussiano é definido por Rasmussen e Williams (2006) como: "Uma

coleção de variáveis aleatórias, onde qualquer número finito desta coleção tem uma distri-buição conjunta Normal multivariada." Na Normal multivariada a matriz de covariância é calculada a partir de uma função de covariância conhecida também como kernel. Essa função determina qual a covariância entre o conjunto de dados de entrada. Esses dados de entrada podem ser o tempo entre dois pontos de uma série temporal, ou o valor de dois elementos da amostra. Uma das grandes vantagens da função de covariância é que a influência de um valor passado da volatilidade nos novos valores da volatilidade decai

de forma contínua. Isso evita o problema comentado por Wilmott (2007), em que ao se

usar valores defasados na estimação da volatilidade, um valor alto da volatilidade terá influência até ele ser o elemento mais defasado, perdendo sua influência em seguida de forma repentina. Essa transição abrupta gera platôs na série temporal o que prejudica a estimação dessa variável.

Dessa forma essa dissertação foca no desenvolvimento do modelo proposto emWu,

Lobato e Ghahramani (2014), em que o principal avanço está no uso de uma distribuição no espaço das funções para a volatilidade. Isto traz uma grande flexibilidade para a estimação dessa variável.

Ao se trabalhar com modelos em espaço de estado, a inferência e os algoritmos são diferentes dos usados quando não se tem uma variável de estado. A introdução de uma variável latente e dinâmica faz com que o uso de um método de Monte Carlo via cadeias de Markov (MCMC) convencional não seja o mais adequado. Para lidar com esse tipo de problema foram desenvolvidos uma classe de algoritmos chamados de Particle Markov

Chain Monte Carlo (PMCMC) descritos em Andrieu, Doucet e Holenstein(2010). Esses

algoritmos lidam com a distribuição dos parâmetros estáticos através de um MCMC usual, e lidam com a variável latente através de um Monte Carlo sequencial, também conhecido como filtro de partículas. O filtro de partículas tem esse nome porque são simuladas uma determinada quantidade 𝑁 de amostras para cada tempo 𝑡 da variável de estado, essas

amostras são chamadas de partículas. Como comenta Pitt et al. (2012), quanto mais

partículas maior a taxa de aceitação da amostragem PMCMC, entretanto isso gera um aumento no custo computacional.

Nessa dissertação será usado um algoritmo de PMCMC chamado de Particle Gibbs

with Ancestor Sampling (PGAS). Esse algoritmo foi proposto em Lindsten et al. (2012),

cujo esquema de amostragem se assemelha a um esquema de Gibbs, em que um bloco de variáveis é amostrado condicionalmente aos outros. No caso, os parâmetros são amostrados

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através de um Metropolis-Hasting e posteriormente as variáveis de estado são amostradas através de um filtro de partículas. Dessa forma, a cada iteração o filtro de partículas é rodado estimando todos os estados, o que faz com que o custo computacional de cada

iteração seja alto. Para reduzir esse custo foi usado uma técnica descrita em Doucet et

al. (2006), em que se usa uma janela de dados para reduzir o tempo de cada iteração do

algoritmo. Um trabalho semelhante está sendo desenvolvido por Awaya e Omori (2017),

em que os autores também usam essa técnica dentro de um PMCMC para a estimação da volatilidade.

No segundo capítulo, todas as ferramentas usadas para fundamentar o modelo serão apresentadas. Inicialmente, serão descritos os modelos da família ARCH, e depois o processo gaussiano que traz uma evolução em relação aos modelos convencionais. No terceiro capítulo buscou-se apresentar os modelos em espaço de estado, que é a categoria em que se encaixa o modelo de volatilidade estocástica via processo gaussiano (GP-Vol), que também é apresentado nesse capítulo. Nesse capítulo também são apresentados o algoritmo de Gibbs e o filtro de partículas. No quarto capítulo aponta-se um estudo de Monte Carlo e uma aplicação em dados financeiros reais. Por fim, no quinto capítulo foram apresentadas as considerações finais da pesquisa bem como algumas propostas para possíveis melhorias.

1.1 Objetivo

O objetivo dessa dissertação é propor uma abordagem mais flexível para a modela-gem da volatilidade. Acredita-se que desta maneira, a estrutura da variável será capturada de forma mais acurada. O conceito aqui é demonstrar que a restrição do espaço das funções para a volatilidade pode fazer a estimação perder algum fator não postulado. Entretanto se fosse proposto uma combinação de diversas funções, poderia ocorrer um problema de sobreajuste.

Pensando nisso foi introduzido no modelo uma distribuição processo gaussiano para 𝑓 , a forma funcional da variável de estado. Nesse modelo, ao se isolar a função 𝑓 , a priori dos estados passa a ter uma forte dependência. Dessa forma, foi feito um esforço para conseguir um algoritmo eficiente para a estimação do modelo proposto. No artigo

Wu, Lobato e Ghahramani (2014) o autor trabalha principalmente com o RAPF, porque o PGAS tem um custo computacional bastante elevado. Porém, os artigos que trabalham com estimação online via RAPF tem detalhes obscuros, e ou os códigos não estão liberados ou os códigos chamam pacotes que escondem como o algoritmo realmente funciona. Isso impossibilitou a reprodução desse algoritmo. Portanto, foi seguido um caminho factível, onde foi utilizada uma abordagem bayesiana com o algoritmo PGAS. Por causa do alto custo computacional desse algoritmo, foi introduzido o uso da janela de dados, o que

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melhora a eficiência desse algoritmo.

Tal modelo terá sua eficiência avaliada em comparação com o GARCH, e com um modelo de volatilidade estocástica convencional. Esse modelo também será usado para uma aplicação a dados reais, ao final da dissertação.

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2 Conceitos fundamentais

Na primeira seção deste capítulo apresenta-se os motivos para se usar o log retorno do preço e sua distribuição. Os modelos da família ARCH são apresentados formalmente na segunda seção. A terceira parte deste capítulo fala sobre o processo gaussiano, as diferentes formas de função de covariância que são utilizadas, e um exemplo para série temporal. No final deste capítulo será falado sobre os modelos em espaço de estado.

2.1 Log retorno

Nesta seção se aborda os motivos que levam a utilização do log retorno e sobre a escolha de sua distribuição de probabilidade.

De forma geral, quando se lida com um investimento de qualquer tipo é melhor se pensar em termos percentuais do que no valor absoluto da variação de preço. Portanto, ao invés de se falar no preço ativo se movendo R$10 para mais ou para menos, se falaria que o preço do ativo se moveu 2% para mais ou para menos. Um caminho mais fácil para fazer

esse trabalho seria usar o log da razão de preços, assim como descrito em Joshi (2003),

sendo o log retorno calculado pela fórmula

𝑟𝑡= log (𝑃𝑡/𝑃𝑡−1),

em que 𝑃𝑡 é o preço do ativo no tempo 𝑡.

Como o log do produto é a soma dos logs, é possível modelar mudanças percentuais adicionando termos no log. Além disso, apesar de nessa dissertação se trabalhar apenas com dados diários, na prática não se quer ter restrições na escala de tempo. Logo, o tempo pode ser tão pequeno quanto necessário, fazendo os incrementos serem tão grandes quanto

se quiser. Dessa forma, seja 𝑟 o retorno percentual do ativo, tem se que lim𝑡→∞

(︁

1 + 𝑟_𝑡)︁𝑡 =

𝑒𝑟.

Em muitas aplicações existem evidências empíricas de que o log retorno possui um comportamento simétrico em torno da média. O log suaviza valores extremos de retorno do mercado, porém ainda assim são observados outliers que formam uma cauda pesada

na distribuição incondicional do log retorno. Na Figura3é evidenciado a cauda pesada do

log retorno de um ativo do mercado. Entretanto esse problema é minimizado na medida em que é utilizado um modelo de volatilidade estocástica, no qual o condicionamento a variável de estado para cada tempo 𝑡, torna a distribuição do log retorno uma distribuição

com excesso de curtose positiva. Como comenta Carmona(2014) isso é uma característica

(21)

CAPÍTULO 2. CONCEITOS FUNDAMENTAIS 8 ● ● ●● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ●●●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ●● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●●● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ●●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ●● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ●●● ●●●● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●●● ● ●● ●● ● ● ●● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●●● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● −3 −2 −1 0 1 2 3 −0.1 0.0 0.1 0.2 Quantis Teóricos Quantis da amostr a

Figura 3 – Gráfico de Q-Q-Norm das ações da Petrobras. O período dos dados dessa

amostra é: 04/09/2012 e 24/08/2016. O conceito de Q-Q-Norm é descrito em Carmona

(2014).

Dessa forma, seja 𝑟𝑡|𝜎2𝑡 ∼ 𝑁 (0, 𝜎2𝑡), se quer calcular a curtose de 𝑟𝑡, definida como

Kurt[𝑟𝑡] =

𝐸[(𝑟𝑡− 𝐸[𝑟𝑡])4]

𝐸[(𝑟𝑡− 𝐸[𝑟𝑡])2]2

.

Para demonstrar o excesso de curtose são necessárias algumas propriedades obtidas

a partir da distribuição condicional de 𝑟𝑡|𝜎𝑡2 :

∙ 𝐸[𝑟𝑡] = 𝐸[𝐸[𝑟𝑡|𝜎𝑡2]] = 𝐸[0] = 0; ∙ 𝐸[𝑟2 𝑡] = 𝐸[𝐸[𝑟𝑡2|𝜎𝑡2]] = 𝐸[𝜎𝑡2]; ∙ 𝐸[𝑟4 𝑡] = 𝐸[𝐸[𝑟𝑡4|𝜎𝑡2]] = 𝐸[3𝜎4𝑡] = 3𝐸[𝜎4𝑡]; ∙ 𝑉 𝑎𝑟[𝑟𝑡] = 𝐸[𝑟2𝑡] − 𝐸[𝑟𝑡]2 = 𝐸[𝑟2𝑡] = 𝐸[𝜎𝑡2]; e ∙ 𝑉 𝑎𝑟[𝜎2 𝑡] = 𝐸[𝜎𝑡4] − 𝐸[𝜎2𝑡]2 = 1 3𝐸[𝑟 4 𝑡] − 𝑉 𝑎𝑟[𝑟𝑡2]2.

(22)

CAPÍTULO 2. CONCEITOS FUNDAMENTAIS 9

A partir dessas propriedades é possível derivar a seguinte relação

Kurt[𝑟𝑡] = 𝐸[𝑟4 𝑡] 𝑉 𝑎𝑟[𝑟𝑡]2 = 3𝑉 𝑎𝑟[𝑟𝑡]2+ 3 (︂ 1 3𝐸[𝑟 4 𝑡] − 𝑉 𝑎𝑟[𝑟𝑡]2 )︂ 𝑉 𝑎𝑟[𝑟𝑡]2 = 3𝐸[𝜎 2 𝑡]2+ 3𝑉 𝑎𝑟[𝜎𝑡2] 𝐸[𝜎2 𝑡]2 = 3 [︃ 1 + 𝑉 𝑎𝑟[𝜎 2_] 𝐸[𝜎2_]2 ]︃ > 3.

Por conseguinte, o modelo de volatilidade estocástica possui curtose maior que a curtose da Normal, portanto, tem cauda pesada.

2.2 Modelos ARCH

Nesta seção serão descritos alguns modelos da família ARCH, com suas caracte-rísticas, seus pontos fracos e fortes.

2.2.1 ARCH

O modelo ARCH considera a volatilidade uma variável dinâmica. Ela varia ao longo do tempo dependendo de termos defasados do log retorno quadrático.

O modelo ARCH significa modelo auto-regressivo condicionalmente heterocedás-tico. Ele é descrito da seguinte forma:

𝑟𝑡|𝜎2𝑡 ∼ 𝑁 (0, 𝜎 2 𝑡) 𝜎_𝑡2 = 𝛼0+ 𝑞 ∑︁ 𝑖=1 𝛼𝑖𝑟𝑡−𝑖2 , em que 𝛼𝑗 > 0, ∀𝑗 ∈ {0, 1, . . . , 𝑞}. Dessa forma 𝜎2

𝑡 depende de 𝑞 valores defasados do log retorno quadrático. Os parâmetros

𝛼𝑖 dão o peso que cada retorno 𝑟2𝑡−𝑖 terá sobre o valor presente da volatilidade, medindo

assim, o quanto cada retorno influencia na volatilidade atual.

Este modelo foi introduzido por Robert F. Engle no início da década de 1980 e gerou uma grande mudança na modelagem financeira. Esse trabalho gerou ao seu autor o Nobel em Economia anos mais tarde.

2.2.2 GARCH

Posteriormente em Bollerslev (1986) o resultado de Engle foi generalizado,

adici-onando a dependência com termos defasados da própria volatilidade. O que resultou no modelo ARCH-Generalizado cuja sigla em inglês é GARCH.

(23)

Essa mudança é similar a variação do modelo AR para o modelo ARMA no caso de séries temporais. Dessa forma o modelo fica

𝜎2_𝑡 = 𝛼0+ 𝑞 ∑︁ 𝑗=1 𝛼𝑗𝑟2𝑡−𝑗+ 𝑝 ∑︁ 𝑖=1 𝛽𝑖𝜎2𝑡−𝑖2, em que 𝛼𝑗 > 0, 𝛽𝑖 > 0, ∀𝑗 ∈ {0, 1, . . . , 𝑞} e ∀𝑖 ∈ {0, 1, . . . , 𝑝}.

Aparentemente, mais parâmetros estão sendo introduzindo no modelo. Entretanto,

assim como comenta Tsay(2002), no GARCH usualmente não existe mais a dependência

de termos de defasagem grande. Logo, pelo princípio da parcimônia ele é um modelo melhor que o ARCH.

2.2.3 EGARCH

Uma grande limitação do modelo GARCH é que ele não captura efeitos assimétri-cos. Desta maneira, um retorno positivo ou negativo tem o mesmo efeito na volatilidade, o que quase sempre não é verdade. Tendo em vista corrigir essa deficiência foi criado o modelo GARCH-Exponencial cuja sigla em inglês é EGARCH. Agora a equação para

log 𝜎2 𝑡 é dada por log 𝜎2_𝑡 = 𝛼0+ 𝑞 ∑︁ 𝑖=1 𝛼𝑖𝑔(𝑟𝑡−𝑖) + 𝑝 ∑︁ 𝑖=1 𝛽𝑖𝜎𝑡−𝑖2 2, com 𝑔(𝑟𝑡−𝑖) = 𝜃𝑟𝑡−𝑖+ 𝜁(|𝑟𝑡−𝑖| − 𝐸(|𝑟𝑡−𝑖|)).

Os parâmetros 𝛼 = (𝛼0, 𝛼1, . . . , 𝛼𝑞), 𝛽 = (𝛽1, 𝛽2, . . . , 𝛽𝑞) e 𝜁 são constantes que

podem assumir qualquer valor em ℜ. A assimetria nos efeitos de retornos positivos e

negativos é introduzido através da função 𝑔(𝑟𝑡−𝑖). Nessa função a parte 𝜁(|𝑟𝑡−𝑖|−𝐸(|𝑟𝑡−𝑖|))

terá o mesmo valor independente do sinal de 𝑟𝑡−𝑖. Portanto, a mesma assume o valor

𝜁(|𝑟𝑡−𝑖| − 𝐸(|𝑟𝑡−𝑖|)) − 𝜃|𝑟𝑡−𝑖| se 𝑟𝑡−𝑖 for negativo, e o valor 𝜁(|𝑟𝑡−𝑖| − 𝐸(|𝑟𝑡−𝑖|)) + 𝜃|𝑟𝑡−𝑖|

caso 𝑟𝑡−𝑖 seja positivo.

2.3 Processo gaussiano

Processo gaussiano é uma generalização da distribuição de probabilidade gaussi-ana. Enquanto uma distribuição de probabilidade está associada a uma variável aleatória, podendo ser um escalar ou um vetor, o processo gaussiano está associado a um objeto

que está no espaço das funções. Em Rasmussen e Williams (2006) o autor define:

Definição 1 Processo gaussiano é uma coleção de variáveis aleatórias, em que qualquer

(24)

Um processo gaussiano é completamente determinado por sua função de média e sua função de covariância. Se 𝑓 (𝑥) segue um processo gaussiano (GP, sigla do inglês), então

𝑓 (𝑥) ∼ GP(𝑚(𝑥), 𝑘(𝑥, 𝑥′)),

sendo 𝑚(𝑥) a função de média, e 𝑘(𝑥, 𝑥′) a função de covariância, na qual 𝑥 e 𝑥′ são dados

de entrada.

Nesta dissertação, trabalha-se com a entrada 𝑥 sendo o tempo. Contudo, não existe restrição para os dados de entrada serem unidimensionais. No processo gaussiano pode se

ter o conjunto 𝒳 de possíveis dados de entrada, em que 𝒳 ∈ ℜ𝐷_.

2.3.1 Relações

O processo gaussiano tem uma forte relação com redes neurais. Na verdade, Neal

(1996) revelou que no limite, uma grande rede neural acaba se tornando um processo

gaussiano. As observações de Neal motivaram a ideia de descartar redes parametrizadas e trabalhar diretamente com o processo gaussiano, por isso, não é necessário se preocupar com a grande quantidade de parâmetros das redes neurais, mas apenas olhar para as características da matriz de covariância.

Apesar da aplicação do processo gaussiano em aprendizagem automática1 _não

ser tão antiga, vários modelos estatísticos conhecidos são casos especiais do mesmo. Por exemplo, o movimento browniano, o processo de Langevin e o processo de Wiener são derivados do processo gaussiano quando sob um conjunto de parâmetros específico.

Vale lembrar que a simplificação de uma rede neural em um processo gaussiano, faz com que se percam algumas propriedades interessantes. Não obstante, a maior facilidade de interpretação dos parâmetros faz com que o uso do processo gaussiano seja vantajoso em diversas circunstâncias.

2.3.2 Função de covariância

A função de covariância é uma função que retorna a covariância entre dois pontos definidos. Ela também é comumente chamada pelo nome em inglês kernel.

A função de covariância, codifica as propriedades da função que se quer aprender

determinando qual a influência que um dado de entrada 𝑥′ terá sobre outro dado de

entrada 𝑥 (RASMUSSEN; WILLIAMS, 2006).

Na Figura 4a são observadas amostras de uma priori de processo gaussiano, em

que é exibido o comportamento do processo gaussiano sem a presença de dados observa-dos. Percebe-se que apesar de serem curvas diferentes elas possuem suavidade semelhante.

(25)

Pode-se perceber na Figura 4b que a incerteza cai na medida em que a função se

apro-xima dos pontos conhecidos. Entretanto, as características das funções, como a suavidade,

permanece similar as prioris da figura 4a. Isso ocorre porque a função de covariância é a

mesma.

(a) Priori. (b) Posteriori.

Figura 4 – A Figura (a) indica três amostras da distribuição a priori do processo gaus-siano. A Figura (b) mostra 3 amostras da posteriori do processo gaussiano após alguns pontos serem observados. Em ambos os casos a região preenchida denota o intervalo de credibilidade de 95%. Foi utilizada a função de covariância exponencial quadrática.

Uma propriedade das prioris mostradas é que suas características são invariantes ao longo do tempo. Isso é chamado de estacionaridade e acontece para algumas funções de covariância. Uma função de covariância é dita ser estacionária se a mesma é invariante a translações no espaço de entrada 𝑥. A função de covariância exponencial quadrática que será vista mais à frente é um exemplo de função estacionária.

Outra propriedade interessante é que como produtos e somas de matrizes positivas definidas geram uma matriz positiva definida. Os produtos e somas de funções de cova-riância também geram uma função de covacova-riância. Isso ocorre para qualquer função de covariância válida.

Apesar de existir um grande espectro de funções que podem ser usadas como função de covariância, não é toda função que atende os requisitos para isso. Para ser uma função de covariância válida ela deve gerar uma matriz de covariância Σ positiva definida. Isso ocorre quando

∫︁

𝑘(𝑥, 𝑥′)𝑓 (𝑥)𝑓 (𝑥′)𝑑𝜇(𝑥)𝑑𝜇(𝑥′) ≥ 0,

para toda 𝑓 ∈ 𝐿2_{(𝜒, 𝜇), em que 𝜒 é o espaço de entrada e 𝜇 é a medida utilizada.}

O exemplo mais comum de função de covariância utilizado é a função exponencial quadrática, em inglês Squared Exponential. Essa função é descrita pela fórmula

𝑘(𝑥, 𝑥′) = ℎ2exp (︃ −(𝑥 − 𝑥′₎2 2ℓ2 )︃ , para ℓ, ℎ > 0,

(26)

em que ℎ e ℓ medem a escala e a rugosidade da função, respectivamente.

Esta função de covariância é infinitamente diferenciável e uma função associada a mesma é bastante suave. O parâmetro ℓ define a escala horizontal de transição da função. Falando de forma simples, este parâmetro determina o quanto que a função varia

por unidade de comprimento horizontal. Pode-se observar que na Figura 5a a taxa de

variação da função é menor que na Figura 5b, isso ocorre porque o parâmetro ℓ maior faz

a autocorrelação entre os pontos de 𝑓 (𝑥) aumentar. Já o parâmetro ℎ diz qual a escala vertical da função.

(a) Parâmetros: ℎ = 3; ℓ = 4 (b) Parâmetros: ℎ = 3; ℓ = 1

Figura 5 – As duas figuras exibem amostras de prioris de um processo gaussiano com função de covariância exponencial quadrática. A diferença entre as figuras está nos parâ-metros da função de covariância.

Diferentemente do kernel exponencial quadrático, onde as funções por ele geradas tomam formas complexas, a função de covariância dada por

𝑘𝑃(𝑥, 𝑥′) = exp (︃ −2𝑠𝑒𝑛 2₍𝑥−𝑥′ 2 ) ℓ2 )︃ em que, ℓ > 0,

tem uma forma que se repete a cada período ℓ. Na Figura 6 percebe-se que apesar de as

funções terem formas diferentes, o período cíclico é o mesmo. Já a função de covariância racional quadrática dada por

𝑘𝑅𝑄(𝑥, 𝑥′) = ℎ2 (︃ 1 + (𝑥 − 𝑥 ′₎2 𝛼𝜆2 )︃−𝛼 em que, 𝛼, 𝜆 > 0,

gera prioris com uma forma rugosa para valores de 𝛼 não muito grandes, como se pode ver

na Figura7. Porém, quando 𝛼 −→ ∞ essa função se aproxima da Exponencial Quadrática,

gerando funções suaves.

2.3.3 Predição no processo gaussiano

Normalmente não existe interesse no comportamento da priori do processo gaus-siano, mas o que se quer é incorporar a informação que os dados de treinamento (dados

(27)

Figura 6 – Prioris geradas a partir de uma função de covariância periódica com o mesmo valor de ℓ.

Figura 7 – Prioris geradas a partir de uma função de covariância racional qua-drático com o mesmo valor de 𝛼.

observados) trazem sobre o comportamento de 𝑓 (𝑥) nos pontos não observados.

Suponha que se esteja trabalhando com o caso sem erro de observação, ou seja, sabe-se que a função passa exatamente no valor observado. Desse modo, o modelo é 𝑦 = 𝑓 (𝑥), em que se coloca uma priori processo gaussiano para 𝑓 (𝑥). A matriz gerada pelo kernel de covariância é representada por 𝑘(·, ·), em que os dados de entrada são

vetores. Portanto, seja f* o conjunto de pontos onde se quer prever e f o conjunto de

pontos observados, a distribuição conjunta fica

⎡ ⎣ f f* ⎤ ⎦∼ 𝑁 ⎛ ⎝0, ⎡ ⎣ 𝑘(𝑋, 𝑋) 𝑘(𝑋, 𝑋*) 𝑘(𝑋*, 𝑋) 𝑘(𝑋*, 𝑋*) ⎤ ⎦ ⎞ ⎠,

em que 𝑋* e 𝑋 são os vetores com dados de entrada não observados, e observados

res-pectivamente.

Para obter uma distribuição a posteriori sobre o espaço das funções, deveria se restringir essa priori para conter apenas aquelas funções que estão de acordo com os da-dos observada-dos. Pode-se pensar graficamente que estão sendo geradas amostras da priori e aquelas que estão em desacordo com as observações são rejeitadas. Se isso fosse tentado de forma computacional a eficiência seria baixa. Contudo, pensando de forma probabi-lista essa operação é extremamente simples, basta condicionar a distribuição nos dados

observados (RASMUSSEN; WILLIAMS, 2006).

Pelas propriedades da distribuição Normal a posteriori de f* fica

f*|𝑋*, 𝑋, f ∼ N

(︁

𝑘(𝑋*, 𝑋)𝑘(𝑋, 𝑋)−1f , 𝑘(𝑋*, 𝑋*) − 𝑘(𝑋*, 𝑋)𝑘(𝑋, 𝑋)−1𝑘(𝑋, 𝑋*)

)︁

.

Na prática, usualmente não se tem certeza se o valor observado é o verdadeiro, pois por mais eficiente que um aparelho de medição seja existe um erro associado a medida feita. A primeira vista, isso poderia ser notado como uma desvantagem para o modelo. Todavia, a introdução do erro aumenta a flexibilidade do modelo, podendo melhorar sua capacidade de previsão.

(28)

Quando existe o erro de observação, tem-se que 𝑦 = 𝑓 (𝑥) + 𝜀, em que 𝜀 ∼ 𝑁 (0, 𝜏2_).

Nesse caso a distribuição conjunta é

⎡ ⎣ y f* ⎤ ⎦∼ 𝑁 ⎛ ⎝0, ⎡ ⎣ 𝑘(𝑋, 𝑋) + 𝜏2I 𝑘(𝑋, 𝑋*) 𝑘(𝑋*, 𝑋) 𝑘(𝑋*, 𝑋*) ⎤ ⎦ ⎞ ⎠.

Assim, a posteriori de f* fica

f*|𝑋*, 𝑋, y ∼ N(𝑘(𝑋*, 𝑋)[𝑘(𝑋, 𝑋) + 𝜏2𝐼]−1y,

𝑘(𝑋*, 𝑋*) − 𝑘(𝑋*, 𝑋)[𝑘(𝑋, 𝑋) + 𝜏2𝐼]−1𝑘(𝑋, 𝑋*)). (2.1)

2.3.4 Inferência sobre os parâmetros

Nessa seção será usado uma amostra artificial de um processo gaussiano para se avaliar a recuperação dos parâmetros pelo MCMC, e gerar uma estimativa para os pontos não observados. Essa amostra será chamada de 𝑦 e ela virá de um processo gaussiano com média nula.

A função de covariância utilizada será a exponencial quadrática, por sua capaci-dade de capturar estruturas complexas. Outros kernels conseguem capturar estruturas de longo prazo, mas sua utilização ficará para trabalhos futuros.

Foram gerados pontos artificiais a partir de um processo gaussiano com todos os

parâmetros conhecidos. Os valores são ℎ2 _{= 2, ℓ}2 _{= 4 e 𝜏}2 _{= 0, 03. Uma parte dos pontos}

foram utilizados na amostra e a parte restante foi usada para a verificação do poder de previsão do processo gaussiano.

Como já foi dito, qualquer subconjunto de pontos de um processo gaussiano tem distribuição conjunta normal multivariada. Desta maneira, se existe um conjunto de dados observados 𝑦 a função de verossimilhança é da forma

𝐿(𝑦|ℎ2, ℓ2, 𝜏2) = (2𝜋)−𝑑/2(︁detΣ(ℎ2, ℓ2, 𝜏2))︁−1/2× exp (︂ −1 2𝑦 𝑇_Σ−1_(ℎ2 , ℓ2, 𝜏2)𝑦 )︂ ,

em que Σ(ℎ2, ℓ2, 𝜏2) é a matriz de covariância calculada através da função de covariância

exponencial quadrática somando o valor de 𝜏2 _{a sua diagonal, e 𝑑 é a dimensão dessa}

matriz.

As priores usadas foram

ℎ2 ∼ 𝐺𝑎𝑚𝑚𝑎(16/100, 4/100), (2.2)

ℓ2 ∼ 𝐺𝑎𝑚𝑚𝑎(16/100, 4/100), (2.3)

(29)

A distribuição 𝐺𝑎𝑚𝑚𝑎(𝛼, 𝛽) tem média 𝛼/𝛽 e variância 𝛼/𝛽2_{. Em todas as prioris}

descritas nas Equações 2.2, 2.3 e 2.4 a variância é igual a 100, então são prioris não

informativas. A escolha dessas prioris é bem genérica. As médias não foram centradas em 1 como de costume, mas a variância é grande o que tem pouca influência na posteriori.

Para a estimação dos parâmetros foi utilizado o algoritmo de Metropolis com proposta passeio aleatório. A amostra utilizada são 60 pontos sorteados de um total de

200 pontos da Figura 8. Foi gerada uma cadeia com 50 mil iterações e o tempo de período

de aquecimento utilizado foi de 200 iterações.

● ●●● ●● ● ● ●●● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ●● ● ●● ● ● ● ●● ● ● ● ●●●● ● ●●● ● ● ● ●● ● ● ●● ● ●● ● ● ● ● ● ●● ●●● ● ● ● ● ● ●●●●●_● ● ●● ● ● ●● ●● ●● ● ● ● ● ●●● ●● ● ● ● ●●● ●● ●● ● ● ● ●●● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ●● ● ● ●● ● ● ●_●●● ● ● ● 0 5 10 15 20 −3 −2 −1 0 1 2 3 x f(x) ● ● ● ● ● ● ●●● ● ●●● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ●● ●● ● ● ● ● ●● ● ●

Figura 8 – Todos os pontos foram gerados a partir de um processo gaussiano com ℎ2 _{= 2,}

ℓ2 _{= 4 e 𝜏}2 _{= 0, 03. Os pontos preenchidos são os que foram utilizados pelo algoritmo}

para fazer inferência. A parte vermelha é o intervalo de credibilidade de 95% inferido pelo MCMC.

Variável Valor verdadeiro Média Mediana IC 95%

ℎ2 ₂ _2,160 _1,795 _{[0, 692; 5, 851]}

ℓ2 ₄ _3,262 _3,224 _{[1, 587; 5, 235]}

𝜏2 _0,03 _0,028 _0,027 _{[0, 018; 0, 042]}

Tabela 1 – Valores obtidos a partir de uma amostra artificial proveniente do algoritmo Metropolis-Hastings. Pode-se observar que o valor verdadeiro está dentro do intervalo de credibilidade nos 3 parâmetros.

Na Tabela 1percebe-se que em todas as variáveis o valor verdadeiro ficou dentro

(30)

Figura 9 – Histograma com a amostra da posteriori dos parâmetros ℎ2_{, ℓ}2 _{e 𝜏}2 _usando

modelagem via processo gaussiano.

do valor verdadeiro foi a do parâmetro ℓ2_{. Esse parâmetro se mostrou o mais difícil de ser}

estimado em todas as simulações, precisando de mais dados para se obter uma estimativa melhor.

(31)

Figura 10 – Cadeias de Markov e gráfico de autocorrelação para os parâmetros ℎ2_{, ℓ}2 _e

𝜏2_.

Na Figura9está exposto o histograma de todos os parâmetros do processo

gaussi-ano. A linha vermelha representa o valor verdadeiro dos parâmetros. Já na Figura 10, na

parte de cima, é mostrada a cadeia de Markov gerada pelo algoritmo de Metropolis. Na parte de baixo da figura está o gráfico de ACF expondo a autocorrelação em cada cadeia. No estudo de simulação realizado os intervalos de credibilidade englobam o valor verdadeiro para todos os parâmetros, resultando em uma estimação adequada dos mesmos.

Além de um resultado satisfatório de inferência para os parâmetros, a Figura 8

expressa uma boa estimativa para os pontos não observados. É capaz de se perceber que onde existem menos observações a incerteza aumenta e quando se aproxima dos pontos observados ela diminui. O intervalo de credibilidade é uma estatística obtida de forma natural quando se faz uma estimação via processo gaussiano, o que é uma vantagem em relação a outros métodos para séries temporais.

2.4 Modelos em espaço de estados

Desde o trabalho desenvolvido em Kalman (1960) e o desenvolvimento inicial no

campo da engenharia, os modelos em espaço de estados (SSM - sigla em inglês) tem sido cada vez mais uma importante ferramenta para a pesquisa em finanças e economia. Esses modelos constituem uma classe popular e genérica de modelos no contexto de séries

(32)

temporais e sistemas dinâmicos. Sua principal característica é a presença de uma variável

latente, chamada de estado 𝑥𝑡 ∈ X

.

= ℜ𝑛_{. Essa variável condensa todos os aspectos do}

sistema que podem ter um impacto no seu futuro.

Como comenta Durbin e Koopman (2012) e West e Harrison (1997), um modelo

em espaço de estados genérico consiste de duas equações. Uma descreve como a variável observável se relaciona com a potencialmente não observável variável de estado, e a outra descreve como que a variável de estado evolui ao longo do tempo. As duas variáveis podem ser processos estocásticos temporais discretos ou contínuos.

A seguir um modelo em espaço de estados genérico, 𝑦𝑡=𝑔(𝑥𝑡, 𝜃, 𝜀𝑡),

𝑥𝑡=𝑓 (𝑥𝑡−1, 𝜃, 𝜔𝑡),

(2.5)

em que 𝜃 é um vetor 𝑚 × 1 com os parâmetros do modelo, e 𝜀𝑡 e 𝜔𝑡 são duas variáveis

aleatórias independentes e identicamente distribuídas (i.i.d.). Tanto 𝑓 (·) quanto 𝑔(·) são funções lineares ou não lineares de dimensão 𝑛 × 1 e 𝑘 × 1, respectivamente. Por causa de sua flexibilidade, muitos modelos na economia e finanças podem ser representados na forma de um modelo em espaço de estados. Entre eles está o modelo ARIMA descrito em

Hannan (1970), o modelo de Markov escondido e o modelo de volatilidade estocástica. Nesses modelos o parâmetro 𝜃 é normalmente desconhecido. Assim sendo, uma questão central em várias aplicações é estimar o vetor de parâmetros 𝜃, e usualmente também

estimar a variável de estado 𝑥𝑡.

Na próxima seção será falado sobre o modelo de volatilidade estocástica que é a classe de modelos da qual o modelo central dessa dissertação faz parte.

(33)

3 Volatilidade estocástica

Neste capítulo será apresentado um modelo de volatilidade estocástica genérico. Posteriormente a seção sobre volatilidade estocástica falará do modelo central dessa dis-sertação, o GP-Vol. Em seguida, a seção sobre filtro de partículas apresentará o algoritmo utilizado para resolver esse problema. Por último, uma seção falando sobre o uso de janela de dados para diminuir o custo computacional da inversão de matrizes.

3.1 Modelos de volatilidade estocástica

Nesta seção serão apresentados dois modelos: modelo de volatilidade estocástica e modelo de volatilidade estocástica via processo gaussiano.

3.1.1 Modelo de volatilidade estocástica

Existem os mais variados modelos de volatilidade estocástica, como o de Heston (HESTON,1993), o de Chen (CHEN,1996) e o SABR (HAGAN et al.,2002). Entretanto,

para esse estudo, utiliza-se para via de comparação um modelo apresentado em Tsay

(2002). O modelo está descrito a seguir

𝑟𝑡 = 𝑒𝑥𝑝(ℎ𝑡/2)𝜀𝑡, 𝜀𝑡 ∼ 𝒩 (0, 1),

ℎ𝑡= 𝛼 + 𝜑(ℎ𝑡−1− 𝛼) + 𝜉𝑡, 𝜉𝑡 ∼ 𝒩 (0, 𝜏2), (3.1)

em que 𝑟𝑡 é o log retorno, ℎ𝑡 é a log volatilidade multiplicada por uma constante, e 𝛼 e 𝜑

são parâmetros do modelo. As variáveis aleatórias 𝜉𝑡 e 𝜀𝑡 são independentes entre si e ao

longo do tempo, e tem distribuição Normal.

O que ocorre nesse e nos outros modelos citados é que a forma funcional é um polinômio, onde o que se deseja é estimar seus coeficientes. Podendo ser uma estimação via máxima verossimilhança ou bayesiana.

Ocorre que esse polinômio pode ter uma estrutura que não capture todo com-portamento da volatilidade. Poderia ser escolhida uma função mais sofisticada com mais termos e estruturas, conquanto, isso leva a um problema de sobreajuste.

Por consequência, existe uma relação de ganho e perda entre sobreajuste e

esti-mação. Essa dissertação propõe o uso do processo gaussiano descrito na Seção 2.3, como

uma distribuição no espaço das funções. Dessa forma, os dados vão escolher uma função que se adapte ao seu comportamento.

(34)

CAPÍTULO 3. VOLATILIDADE ESTOCÁSTICA 21

3.1.2 Modelo de volatilidade estocástica via processo gaussiano

O que se quer é achar um modelo que se adapte em termos de complexidade à medida que o número de dados cresce. Além disso, a modelagem deve ser feita adotando o mínimo de restrições possíveis nas hipóteses adotadas. Por isso, foi escolhido um modelo

não paramétrico para a parte dinâmica da Equação 2.5. Dessa forma, diferentemente dos

modelos da família GARCH, não existem limitações no sentido de postular uma forma

específica para a função que modela a volatilidade (FRIGOLA et al.,2013).

Essa abordagem foi escolhida porque é observado empiricamente que a volatilidade tem um comportamento complexo, portanto, restringir a classe de funções limita o poder de estimação dos modelos.

O modelo central dessa dissertação é um modelo de volatilidade estocástica que utiliza um processo gaussiano para a parte funcional do estado. A seguir está descrito

o modelo de volatilidade estocástica via processo gaussiano (GP-Vol) proposto por Wu,

Lobato e Ghahramani (2014). 𝑟𝑡|𝜎𝑡2 ∼ 𝑁 (0, 𝜎 2 𝑡), (3.2) 𝑣𝑡= log(𝜎𝑡2) = 𝑓 (𝑣𝑡−1, 𝑟𝑡−1) + 𝜖𝑡, (3.3) 𝜖𝑡∼ 𝑁 (0, 𝜏2),

em que 𝑟𝑡 = log(𝑃𝑡/𝑃𝑡−1) é o log do retorno do ativo, que quando condicionado a 𝜎2𝑡

segue distribuição Normal. A variável de estado do modelo 𝑣𝑡 é a log volatilidade e não

a volatilidade porque a primeira tem suporte em toda a reta. Nessa variável foi proposto uma distribuição processo gaussiano para 𝑓 (·) flexibilizando sua modelagem:

𝑓 (𝑥) ∼ GP(𝑚(𝑣𝑡), 𝑘(𝑣𝑡, 𝑣𝑡−𝑠)),

em que 𝑚(𝑣𝑡) é a função média e 𝑘(𝑣𝑡, 𝑣𝑡−𝑠) é a função ou kernel de covariância.

Além disso, foi adicionado o termo 𝜖𝑡 com variância 𝜏2, o que torna a volatilidade uma

variável estocástica. As Equações 3.2 e3.3 formam conjuntamente um modelo em espaço

de estados via processo gaussiano, comentado em Ko e Fox (2009).

De forma genérica, se nenhum conhecimento a priori está disponível, pode-se

con-siderar como função média 𝑚(𝑣𝑡) = 𝑣𝑡−1 (FRIGOLA et al., 2013). Entretanto,

semelhan-temente ao modelo EGARCH, será usada uma função média que depende do retorno e da log volatilidade no passo anterior. À vista disso, a função média será da forma

𝑚(𝑣𝑡) = 𝑎𝑣𝑡−1+ 𝑏𝑟𝑡−1, com 𝑎 e 𝑏 parâmetros (definidos em ℜ) a serem estimados. Note

que apesar da estrutura rígida da função média, a função de covariância possivelmente capturará estruturas complexas de acordo com os dados observados. O parâmetro 𝑏 cap-tura o efeito de alavancagem da série temporal.

(35)

A função de covariância emWu, Lobato e Ghahramani(2014) utiliza os valores da

própria log volatilidade e do retorno quadrático como dado de entrada. Nessa dissertação a função de covariância usará apenas a distância temporal entre as volatilidades. Nesse texto se trabalha na escala diária, mas não existe restrição na escala de tempo. Assim

sendo, seja 𝑘(𝑣𝑡, 𝑣𝑡−𝑠), em que 𝑡 > 𝑠, a função de covariância avaliada entre as variáveis

𝑣𝑡 e 𝑣𝑡−𝑠. Essa função é da forma

𝑘(𝑣𝑡, 𝑣𝑡−𝑠) = ℎ2exp (︃ (𝑡 − (𝑡 − 𝑠))2 ℓ2 )︃ , (3.4)

em que ℎ2 _{é o parâmetro que determina a escala da log volatilidade, e ℓ}2 _{determina o}

quanto um ponto influencia no outro. Dessa forma, quanto maior for ℓ2 _mais

correlacio-nados serão os valores da log volatilidade.

Portanto, o modelo possui um conjunto de parâmetros 𝜃 = (𝑎, 𝑏, ℎ2_{, ℓ}2_{, 𝜏}2_{). Esses}

valores em conjunto com os valores da log volatilidade 𝑣𝑡 formam o conjunto de variáveis

sob as quais será desenvolvida a inferência.

Nas seções seguintes será mostrado o desenvolvimento da inferência e o algoritmo que lidam com o GP-Vol.

3.1.3 Inferência bayesiana para o modelo de volatilidade estocástica via

pro-cesso gaussiano

A inferência bayesiana diz que toda a conclusão sobre os dados não observados

̃︀

𝑦, trazidos pelos dados observados 𝑦 deve ser feita através da teoria de probabilidade. Normalmente é introduzido um parâmetro 𝜃 que facilita a inferência. Esse parâmetro que pode ser um escalar, um vetor ou uma matriz, sintetiza as características da distribuição de probabilidade. Isto posto, o objetivo é aprender sobre 𝜃 a partir dos dados observados 𝑦 (GELMAN et al., 2004).

O nome bayesiano deriva do matemático Thomas Bayes que teve seu trabalho publicado dois anos após sua morte em 1763. Nele está contido o famoso teorema de Bayes que trata da atualização da probabilidade quando se obtém uma nova informação.

A seguir está descrita a equação do teorema de Bayes

𝑝(𝜃|𝑦) = 𝑝(𝑦|𝜃)𝑝(𝜃)

𝑝(𝑦) ∝ 𝑝(𝑦|𝜃)𝑝(𝜃),

em que 𝑝(𝑦|𝜃) é a distribuição dos dados observados parametrizados por 𝜃, 𝑝(𝜃) é a distribuição a priori de 𝜃, e 𝑝(𝑦) é a distribuição marginal dos dados.

A distribuição a priori exerce um papel importante na teoria bayesiana. Ela é uma das causas de controvérsias com os não bayesianos. Essa função codifica todo o conhecimento que se tem ou se postula antes de observar-se os dados.

(36)

Na prática, a distribuição a priori é uma hipótese para o modelo e os dados julgarão se essa hipótese é correta ou errada, à medida que os dados chegarem através da função de verossimilhança.

Uma das vantagens da abordagem bayesiana é que ao se usar a teoria de pro-babilidade tem-se toda uma estrutura matemática bem fundamentada a disposição. Por exemplo, fazer previsão sobre dados ainda não observados se torna simples através de alguns passos, 𝑝(𝑦|𝑦) =̃︀ ∫︁ 𝜃 𝑝(𝑦, 𝜃|𝑦)𝑑𝜃 =̃︀ ∫︁ 𝜃 𝑝(𝑦|𝜃, 𝑦)𝑝(𝜃|𝑦)𝑑𝜃,̃︀

em que 𝑝(𝑦|𝑦) é a distribuição preditiva dos dados não observados̃︀ 𝑦 condicional aos dados̃︀

observados 𝑦, 𝑝(𝑦|𝜃, 𝑦) é a distribuição dos dados não observados̃︀ 𝑦 condicional aos dados̃︀

observados 𝑦 e ao parâmetro 𝜃, e 𝑝(𝜃|𝑦) é a distribuição a posteriori de 𝜃 que é obtida através do teorema de Bayes.

Como a teoria bayesiana está fundamentada na probabilidade, o ideal é ter acesso a distribuição de probabilidade a posteriori dos parâmetros 𝑝(𝜃|𝑦). Muitas vezes isso não é fácil, e às vezes é impossível saber a forma analítica de 𝑝(𝜃|𝑦). Quando isso ocorre são usados algoritmos para estimar essa distribuição. Uma alternativa são os métodos de Monte Carlo, em particular o algoritmos de Monte Carlo via cadeias de Markov (MCMC),

da qual faz parte o algoritmo de Gibbs descrito na Seção 3.1.4.

No modelo apresentado na Seção 3.1.2 as variáveis 𝑓 , que é a forma funcional da

volatilidade com distribuição processo gaussiano, 𝑣1:𝑇, que é o vetor de variáveis de estado

(𝑣1, 𝑣2, . . . , 𝑣𝑇), e o vetor de parâmetros 𝜃 = (𝑎, 𝑏, ℎ2, ℓ2, 𝜏2) são desconhecidos, e portanto

é necessário inferir sobre os mesmos. Os dados observados utilizados são os dados do log

retorno do ativo para cada tempo 𝑡, (𝑟1, 𝑟2, . . . , 𝑟𝑇). Isso representa um grande desafio,

porque no processo gaussiano convencional os dados de entrada e os dados sob os quais se quer aprender são observados, logo a função 𝑓 pode ser aprendida usando inferência exata. Porém, no caso do GP-Vol, alguns dados de entrada e todos os dados sob os quais

se quer aprender 𝑣𝑡 são não observados. Dessa forma, aprender diretamente a posteriori

de todas as variáveis desconhecidas (𝑓, 𝑣1:𝑇, 𝜃), é uma tarefa de alta complexidade.

Como cita Frigola et al. (2013), a maioria das abordagens trata esse problema

revertendo 𝑓 em uma representação paramétrica. Entretanto, assim como emWu, Lobato

e Ghahramani (2014), esse problema, nesta dissertação, será tratado de forma diferente, marginalizando a função 𝑓 . Assim, será respeitada a natureza não paramétrica do modelo. Na literatura de MCMC essa técnica é chamada de colapsar.

O objetivo passa a ser obter uma amostra de 𝑝(𝜃, 𝑣1:𝑇|𝑟1:𝑇). Em que 𝑓 foi

margi-nalizada, retirando a característica markoviana dos estados.

Para lidar com esse problema será utilizado o algoritmo PGAS descrito na Seção