a(ab)=(aa)b=a(ab) (A+B) T =A T +B T

A,B,C (matrizes) a,b,k,λ%-T. n%0 D,F,G (matrizes n×n) determinante: det D transposto: DT _{E (matriz elementar n×n)}

A matriz D é uma matriz elementar se pode ser obtida a partir da matriz identidade de dimensões n×n através de uma única operação elementar de linhas.

O=

[

0 0 0  0 0 0 0  0 0 0 0  0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0  0

]

I=

[

1 0 0  0 0 1 0  0 0 0 1  0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0  1

]

A+B=B+A (A+B)+C=A+(B+C) A+O=A A-A=O (AB)C=A(BC) a(bA)=(ab)A a(AB)=(aA)B=A(aB) AO=O A(B+C)=AB+AC a(A+B)=aA+aB AIn=InA=A A-1A=AA-1=In ((A)T )T =A (A+B)T =AT +BT (A-B)T =AT -BT (kA)T =kAT (AB)T =BT AT

Definição: Uma matriz é uma tabela rectangular ordenada de números. Os números na tabela são chamados os elementos da matriz.

Definição: Duas matrizes são iguais se tiverem o mesmo tamanho e os seus elementos correspondentes são iguais.

Operações com matrizes:

Seja (A)ij o elemento pertencente á linha i e coluna j da matriz A.

Definição: A+B é matriz resultante da soma de A com B, a soma de matrizes é feita de acordo com a seguinte regra (A+B)ij=(A)ij+(B)ij.

Definição: A−B é matriz resultante da subtracção de A com B, a subtracção de matrizes é feita de acordo com a seguinte regra (A−B)ij=(A)ij−(B)ij.

Definição: cA é a matriz resultante da multiplicação do numero c pela matriz A, a multiplicação por um numero é feita de acordo com a seguinte regra (cA)ij=c(A)ij.

Definição: AB é a matriz resultante do produto de A com B, onde A é uma matriz com r colunas e B uma matriz com r linhas, a multiplicação de matrizes é feita de acordo com a seguinte regra (AB)ij=(A)i1(B)1j+(A)i2(B)2i+...+(A)ir(B)rj.

Definição: A é uma matriz m×n, a transposta de A, denotada por AT

é uma matriz n×m, que é obtida de acordo com a seguinte regra (AT

)ij=(A)ji.

Definição: Seja o sistema de equações lineares Ax=b, onde x e b são vectores coluna, a matriz A é chamada de matriz coeficiente.

Seja Ax=b um sistema de equações lineares, este sistema pode ser representado numa única matriz omitindo as várias incógnitas, isto consiste na colocação dos elementos do vector b à direita dos

elementos da matriz A, tudo numa só matriz. Por exemplo:

[

a₁₁ a₂₂  a_1n b₁ a21 a22  a2n b2

⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮

Definição(Operações elementares de linhas): As operações elementares de linhas são operações realizadas com as linhas de uma matriz que não alteram as soluções do sistema de equações lineares que a matriz representa. As operações elementares de linha são:

i) multiplicação de uma linha por uma constante diferente de zero ii) troca de posição de duas linhas da matrizes

iii) soma de uma linha multiplicada por uma constante a outra linha i)

[

a11 a22  a1j a21 a22  a2j ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a_i1 a_i2  a_ij

]



[

k a11 k a22  k a1j a21 a22  a2j ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a_i1 a_i2  a_ij

]

ii)

[

a11 a22  a1j a21 a22  a2j ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a_i1 a_i2  a_ij

]



[

a21 a22  a2j a11 a22  a1j ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a_i1 a_i2  a_ij

]

iii)

[

a11 a22  a1j a21 a22  a2j ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a_i1 a_i2  a_ij

]



[

a11 a22  a1j a21k a11 a22k a12  a2jk a1j ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a_i1 a_i2  a_ij

]

Definição(escada de linhas): Uma matriz em escada de linhas(row-echelon form) é uma matriz com as seguintes três propriedades:

1) Se uma linha não é constituída apenas por zeros, então o primeiro numero diferente de zero nessa linha é 1. Esse um é chamado de pivot.

2) Se existem linhas que são constituídas apenas por zeros, então estão todas juntas na parte inferior da matriz.

3) Em quaisquer duas linhas sucessivas que não sejam constituídas apenas por zeros, o pivot da linha inferior encontra-se mais à direita do que o pivot da linha superior.

Exemplo:

[

1 0 0 1 0 1 0 2 0 0 1 3 0 0 0 0

]

A resolução de um sistema de equações lineares pode ser feita numa matriz que represente o sistema de equações. Um dos métodos para o fazer é o método de eliminação de Gauss, que se baseia no uso de operações elementares de linhas para colocar a matriz em escada de linhas, de onde se pode voltar a escrever o sistema de equações numa forma mais fácil de obter a solução do sistema.

Definição(matriz inversa): Seja A uma matriz n×n, A−1 _{é a matriz inversa de A, A}−1 _{é tal que}

AA−1₌

I e A−1

A=I(onde I é a matriz identidade). A matriz A−1

pode ser obtida da seguinte forma: Escrever a seguinte matriz [A|I], fazer operações elementares de linhas até obter a matriz identidade do lado esquerdo, isto é obter a matriz identidade no local onde no inicio estava a matriz A, depois de isto feito a matriz obtida é [I|A−1_].

Exemplo:

[

1 2 3 1 0 0 2 5 3 0 1 0 1 0 8 0 0 1

]



[

1 0 0 −40 16 9 0 1 0 13 −5 3 0 0 1 5 −2 1

]

Determinantes:

● Uma matriz A é invertível se e só se det(A)≠0

● Se D e F tem a mesma dimensão, então: det(DF)=det(D) det(F)

● Se D tem uma fila de zeros ou uma coluna de zeros, então det(D)=0

● Se D é uma matriz diagonal, triangular superior ou inferior, então det(D)=d11d22...dnn

● Se E resulta da multiplicação de uma linha de In por k, então det(E)=k

● Se E resulta da troca de duas linhas de In, então det(E)=-1

detkD=kn

detD detDF=detDdetF

SeDé invertivel, então: detD−1= 1

detD detD=detD

T_ det

[

a₁₁ a₁₂ a₁₃  a_1j a₂₁b₂₁ a₂₂b₂₂ a₂₃b₂₃  a_2jb_2j a₃₁ a₃₂ a₃₃  a_3j ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a_i1 a_i2 a_i3  a_ij

]

=det

[

a₁₁ a₁₂ a₁₃  a_1j a₂₁ a₂₂ a₂₃  a_2j a₃₁ a₃₂ a₃₃  a_3j ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a_i1 a_i2 a_i3  a_ij

]

det

[

a₁₁ a₁₂ a₁₃  a_1j b₂₁ b₂₂ b₂₃  b_2j a₃₁ a₃₂ a₃₃  a_3j ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a_i1 a_i2 a_i3  a_ij

]

det

[

a₁₁ a₁₂ a₁₃  a_1j ba₁₁ ba₁₂ ba₁₃  ba_1j a₃₁ a₃₂ a₃₃  a_3j ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a_i1 a_i2 a_i3  a_ij

]

=0 det

[

ka₁₁ ka₁₂ ka₁₃  ka_1j a₂₁ a₂₂ a₂₃  a_2j a₃₁ a₃₂ a₃₃  a_3j ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a_i1 a_i2 a_i3  a_ij

]

=k det

[

a₁₁ a₁₂ a₁₃  a_1j a₂₁ a₂₂ a₂₃  a_2j a₃₁ a₃₂ a₃₃  a_3j ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a_i1 a_i2 a_i3  a_ij

]

det

[

a₁₁ a₁₂ a₁₃  a_1j a₂₁ a₂₂ a₂₃  a_2j a₃₁ a₃₂ a₃₃  a_3j ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a_i1 a_i2 a_i3  a_ij

]

=−det

[

a₂₁ a₂₂ a₂₃  a_2j a₁₁ a₁₂ a₁₃  a_1j a₃₁ a₃₂ a₃₃  a_3j ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a_i1 a_i2 a_i3  a_ij

]

det

[

a₁₁ a₁₂ a₁₃  a_1j a21 a22 a23  a2j a31 a32 a33  a3j ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ai1 ai2 ai3  aij

]

=det

[

a₁₁ a₁₂ a₁₃  a_1j

a21ka11 a22ka12 a23ka13  a2jka1j

a31 a32 a33  a3j

⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮

ai1 ai2 ai3  aij

]

Definição: Uma permutação de um conjunto de inteiros {1,2,...,n} é uma ordenação desses números de uma determinada forma, tal que a ordenação seja feita sem omissões nem repetições. Exemplo: Existem seis permutações diferentes para o conjunto de inteiros {1,2,3}. Estas são (1,2,3), (2,1,3), (3,1,2), (1,3,2), (2,3,1), (3,2,1)

Definição: Uma permutação é chamada par se o numero total de inversões é um numero inteiro par, e é chamada ímpar se o numero total de inversões é um numero inteiro ímpar.

Exemplo: A tabela seguinte classifica as várias permutações de {1,2,3} Permutação Numero de inversões Classificação (1,2,3) 0 par (1,3,2) 1 ímpar (2,1,3) 1 ímpar (2,3,1) 2 par (3,1,2) 2 par (3,2,1) 3 ímpar

Definição(Produto elementar): Por produto elementar de uma matriz A n×n pretende-se referir qualquer produto de n elementos da matriz A, tal que nenhum dos elementos venha da mesma coluna ou linha. Uma produto elementar é um produto da forma a1 j1a2 j2... an jn, onde (j1,j2,...,jn) é

uma permutação do conjunto {1,2,...,n}.

Definição(produto elementar com sinal): Por produto elementar com sinal de uma matriz A n×n pretende-se referir um produto elementar multiplicado por +1 ou −1, é multiplicado por +1 se (j1,j2,...,jn) é uma permutação par e multiplicado por −1 se (j1,j2,...,jn) é uma permutação ímpar.

Definição(determinante de uma matriz): Seja A uma matriz quadrada. A função determinante é denotada por det, e é definido por det(A) a soma de todos os produtos elementares com sinal. O numero det(A) é chamado de determinante de A.

O determinante de A pode ser escrito simbolicamente como det  A =

∑

±a1 j1a2 j2... an jn,

onde 3 indica que os termos são para ser somados segundo todas as permutações (j1,j2,...,jn) e o

+ ou − é escolhido em cada parcela de acordo com a permutação ser ímpar ou par.

Definição: Se A é uma matriz quadrada, então o menor do elemento aij é denotado por Mij e é

definido como sendo o determinante da sub-matriz que resta após a remoção da linha numero i e da coluna numero j da matriz A. O numero (−1)i+j_M

ij é denotado por Cij e é chamado por cofactor

da entrada aij.

Teorema(expansão por cofactores): O determinante de uma matriz A n×n pode ser calculado através da multiplicação dos elementos em qualquer linha(ou coluna) pelos seus cofactores e somando os produtos resultantes; isto é, para cada 1AiAn e 1AjAn,

det(A)=a1jC1j+a2jC2j+...+anjCnj (expansão por cofactores ao longo da coluna numero j)

det(A)=ai1Ci1+ai2Ci2+...+ainCin (expansão por cofactores ao longo da linha numero i)

Teorema(regra de Cramer): Se ax=b é um sistema de n equações lineares com n incógnitas tal que det(A)@0, então o sistema tem uma solução única. Esta solução é

x1= detA₁ det A, x2= detA₂ detA, ... , xn= detA_n detA b =

[

b1 b2 ⋮ b_n

]

onde Aj é a matriz obtida pela substituição dos elementos da

coluna numero j da matriz A pelos elementos da matriz b. Classificação de sistemas de equações lineares(SEL): Impossíveis ou inconsistentes, se não tem soluções. Possíveis ou consistentes:

-Determinado, se tem uma solução. -Indeterminado, se tem infinitas soluções.

Definição: Traço de uma matriz A qualquer é a soma dos elementos da diagonal principal de A e designa-se por tr(A).

Definição: Característica de uma matriz é o numero de linhas não nulas depois de aplicar o método de eliminação de Gauss(MEG), denota-se por car(...).

Teorema(teorema que cresce): Seja A uma matriz n×n. Então são equivalentes as afirmações: (a) A é invertível.

(b) O SEL Ax=0 tem apenas solução trivial.

(c) Para qualquer b, o SEL Ax=b tem sempre solução única. (d) A pode ser expressa como produto de matrizes elementares. (e) Car(A)=n.

(f) det(A)≠0. Subespaços:

Teorema: U é um subespaço linear de IEn _{se e só se:}

(i) 0∈U (ii) uv∈U ∀ u, v ∈U (iii) ⋅u∈U ∀ u∈U,∈IE

Definição: Um vector w é chamado de combinação linear dos vectores v1, v2, ..., vn se pode ser

expresso na forma w=k1v1+k2v2+...+knvn ,onde k1, k2, ..., kn são escalares.

Definição: Seja v1, v2,... , vm∈ F n

. Então o conjunto constituído por todas as combinações lineares g1v1g2v2...gmvm, onde g1, g2, ..., gm∈ F , é um subespaço de F

n

. Este subespaço é chamado de subespaço gerado por v1, v2,... , vm .

Definição: Se S={v1, v2, ..., vn} é um conjunto não-vazio de vectores, então a equação vectorial

k1v1+k2v2+...+knvn=0 tem pelo menos uma solução, nomeadamente k1=0, k2=0, ..., kn=0. Se esta é

a única solução, então S é um conjunto linearmente independente. Se existem outras soluções S é um conjunto linearmente dependente.

S é uma base para V se e só se S é linearmente independente e S gera V.

Teorema: Se S={v1, v2, ..., vn} é uma base para o espaço V, então qualquer vector v em V pode

ser expresso na forma v=c1v1+c2v2+...+cnvn de apenas uma forma.

Definição: Um espaço V diferente de zero é dimensionalmente finito se contem um conjunto de vectores finito {v1, v2, ..., vn} que formam a base. Se tal conjunto não existir, V é dimensionalmente

infinito. O espaço zero é dimensionalmente finito.

Definição: A dimensão de um espaço dimensionalmente finito V, denotado de dim(V), é o numero de vectores de uma base para V. O espaço zero tem dimensão zero.

Espaço de soluções: O conjunto de vectores que satisfazem o sistema homogéneo Ax=0 formam um espaço chamado de espaço de soluções.

Definição: Se A é uma matriz m×n, então o subespaço de IRn _{gerado pelos vectores linha de A é}

chamado de espaço das linhas de A, e o subespaço IRm _{gerado pelos vectores coluna é chamado}

de espaço das colunas de A. O espaço de soluções do sistema de equações homogéneo Ax=0,que é um subespaço de IRn_{, é chamado de espaço nulo de A (que é equivalente a núcleo}

de A, denotado por Nuc(A)).

Teorema: Operações elementares de linhas não mudam o espaço nulo da matriz. Teorema: Operações elementares de linhas não mudam o espaço das linhas da matriz.

Teorema: Seja A uma matriz qualquer, o espaço das linhas e o espaço das colunas de A tem a mesma dimensão.

Definição: A dimensão comum ao espaço das linhas e ao espaço das colunas de uma matriz A é chamado característica de A, e denotado por car(A). A dimensão do espaço nulo da A é chamado de nulidade de A e é denotado por Nul(A).

Teorema: Seja A uma matriz qualquer, então car(A)=car(AT

).

Teorema: Seja A uma matriz com n colunas, então car(A)+Nul(A)=n.

Definição: Uma função é uma regra que associa a cada elemento do domínio, um elemento do conjunto de chegada.

Definição: Se T:V→W é uma função de um espaço vectorial V para um espaço vectorial W, então T é chamado uma transformação linear de V para W se para todos os vectores u e v em V e todos os escalares c

(a) T(u+v)=T(u)+T(v) (b) T(cu)=cT(u)

No caso de V=W, a transformação linear T:V→V é chamado operador linear em V. Definição: T:U→V é uma transformação linear, então:

Núcleo: N T={u∈U : Tu=0}⊂U Imagem: Im T={Tu :u∈U}⊂V Teorema: Sejam WœIRp

e S={v1,v2,...vn}œIRm bases para um espaço vectorial, u um vector

pertencente a IRm_,T:IRm _→IRp _{uma transformação linear então}

(T(u))W=[(T(v1))W (T(v2))W ... (T(vn))W].(u)S

Definição: Uma transformação linear T:U→V diz-se injectiva se e só se T(x)=T(y)8x=y !x,yœU Teorema: Uma transformação linear T é injectiva se e só se Nuc(T)={0}.

Definição: Uma transformação linear T:U→V diz-se sobrejectiva se Im(T)=V.

Definição: Uma transformação linear T:U→V é bijectiva(ñisomorfismo entre U e V) se for injectiva e sobrejectiva.

Teorema: Se T é uma transformação linear bijectiva então T-1

também é uma transformação linear.

Definição: Seja a transformação linear T:U→U, os vectores uœU que têm a propriedade T(u)=λu se u≠0 são chamados vectores próprios de T, os valores λ são chamados valores próprios de T e E(λ)={uœU:T(u)=λu} o espaço próprio associado a λ.

Definição: Seja A uma matriz n×n det(A-λI) é o polinómio característico, det(A-λI)=0 a equação característica.

Definição: A matriz quadrada A é chamada diagonalizável se existe uma matriz invertível P tal que P-1

AP é uma matriz diagonal, a matriz P é diagonalizante.

Teorema: Se A é uma matriz n×n, então as afirmações seguintes são equivalentes: (a)A é diagonalizável, (b)A tem n vectores próprios linearmente independentes. Teorema:Se D é uma matriz diagonal e D=P-1_{AP, então A}k_=PDk_P-1_.

Procedimentos para diagonalizar uma matriz:

O teorema anterior garante que se A é uma matriz n×n com n vectores própios linearmente independentes então é diagonalizavel.

(i) Encontrar n vectores próprios de A linearmente independentes, nomeadamente p1,p2,...,pn.

(ii) Formar a matriz P tendo p1,p2,...,pn como os seus vectores coluna.

(iii) A matriz P-1

AP será então diagonal com λ1,λ2,...,λn como as suas entradas diagonais

sucessivas, onde λi é o valor próprio correspondente a pi, para i=1,2,...,n.

Definição: Chama-se espaço Euclidiano a um espaço linear com um produto interno.

Definição: O produto interno(o produto interno é designado por u•v ou <u,v>) usual designado

por u•v é dado por u•v=u1v1+u2v2+...+unvn.

Definição: Se v é um espaço Euclidiano, então a norma(ou comprimento) de um vector u um V é denotado por ||u|| e é definido por ||u||=<u,u>1/2_{. A distancia entre dois pontos(vectores) u e v é}

denotada por d(u,v) e é definida por d(u,v)=||u-v||.

Definição: Uma matriz quadrada com a propriedade A-1_=AT _{é uma matriz ortogonal.}

Definição: Uma matriz quadrada diz-se ortonormada se as suas colunas formarem um conjunto ortonormado.

Teorema(Desigualdade de Cauchy-Schwarz): Se u e v são vectores de um espaço Euclidiano, então |<u,v>|A||u|| ||v||.

Definição: Dois vectores u e v num espaço Euclidiano são ortogonais se <u,v>=0.

Definição:Seja W um subespaço de um espaço Euclidiano V. Um vector u em V é dito ser ortogonal a W se é ortogonal a cada vector de W, e o conjunto constituído por todos os vectores em V que são ortogonais a W é chamado de complemento ortogonal de W (W┴).

Teorema(Projecção de u sobre v): Pvu= 〈v , u〉

∥v∥2 v .

Método para encontrar uma base ortogonal de vectores(Ortogonalização de Gram-Schmidt): Seja {v1,v2,...,vn}%IRn uma base para IRn.

w1=v1 w2=v2−Pw1v2 w₃=v₃−P_w 1v3−Pw2v3 ⋮ w_m=v_m−

∑

i=1 m−1 P_w ivm

{w1,w2,...,wm} são uma base ortogonal para Irn

(u/||u|| é um vector com norma 1 e com a direcção de u).

Teorema(Melhor aproximação): Seja S um subespaço de V e v%V. Então existe um único vector v'%S mais próximo de v do que qualquer outro vector de S. v' é exactamente a projecção

ortogonal de v sobre S. ||v-PSv||A||v-y|| !y%S (||v-PSv|| distancia de v a S).

Teorema(teorema da dimensão): Sejam U um espaço linear de dimensão finita e T uma transformação linear que tem como espaço de partida U.

Então, o subespaço Im(T) tem dimensão finita e dim(Nuc(T))+dim(Im(T))=dim(U).

Definição: Chama-se forma quadrática(F.Q.) a uma função Q:IRn_{→IR que pode ser escrita na}

forma Q(x)=xT_{Ax sendo A uma matriz simétrica.}

Definição: Diz-se que uma forma quadrática ou uma matriz simétrica que lhe está associada é: 1-Definida positiva se Q(x)>0, !x≠0 8 todos os valores próprios>0.

2-Definida negativa se Q(x)<0, !x≠0 8 todos os valores próprios<0. 3-Semidefinida positiva se Q(x)B0 !x 8 todos os valores própriosB0. 4-Semidefinida negativa se Q(x)A0 !x 8 todos os valores própriosA0.

5-Indefinida se Q(x) assume valores positivos e negativos 8 Uns valores próprios>0 outros<0. Teorema: Se A é uma matiriz m×n, então:

(a)O espaço nulo de A e o espaço das linhas de A são complementos ortogonais em IRn

de acordo com o produto interno Euclidiano.

(b)O espaço nulo de AT

e o espaço das colunas de A são complementos ortogonais em IRm

de acordo com o produto interno Euclidiano.

Teorema: Seja W um subespaço dimensionalmente finito do espaço Euclidiano V. Se {v1,v2,...,vr}

é uma base ortonormada para W, e u é um vector de V, então Pwu=<u,v1>v1+<u,v2>v2+...+<u,vr>vr

---Apontamentos compilados por David Nuno Quelhas. Foram concretizados a partir de várias fontes de informação distintas (Internet, Livros, slides utilizados em aulas, apontamentos pessoais). Sem desvalorizar a informação presente nestes apontamentos, estes devem ser utilizados sempre sujeitos ao discernimento individual. Nas circunstancias em que é necessário garantir a qualidade/exactidão da informação devem ser utilizados Livros de referencia, e/ou fontes que se saiba serem de confiança.