Formas Normais para Lógicas Modais

(1)

(2)

Formas Normais para Lógicas Modais

Cláudia Nalon

http://www.cic.unb.br/docentes/nalon

nalon@{cic.unb.br, unb.br}

Universidade de Brasília

Instituto de Ciências Exatas

(3)

●Formas Normais Modais Motivação ●Motivação – I ●Motivação – II ●Motivação – III Roteiro Lógica Proposicional Lógica de Conhecimento Conclusões

Motivação – I

■

_{Linguagens lógicas estão intrinsicamente ligadas ao}

conceito de computação (e.g. circuitos implementando um

computador digital podem ser descritos através de

linguagem proposicional).

■

_{A utilização de linguagens lógicas para descrever problemas}

computacionais data da época em que os primeiros

computadores digitais foram construídos.

■

_{Datam da mesma época também, os esforços para se}

(4)

Motivação – II

■

_{Desenvolvimentos teóricos, datando desta mesma época,}

fizeram com que as linguagens modais deixassem o

contexto da discussão filosófica e fossem adotadas na

descrição de problemas matemáticos e computacionais.

■

_{Linguagens modais expressam tais problemas de modo}

natural, através, por exemplo, do uso das noções de

necessidade, conhecimento, crença e tempo.

■

_{Linguagens modais possuem}

_boas

_{características, ou seja,}

os problemas de decisão relativos a tais linguagens são

computacionalmente tratáveis.

(5)

Motivação – III

■

_{Embora exista algum desenvolvimento de sistemas de prova}

para lógicas modais, estes sistemas não apresentam caráter

homogêneo.

■

_{Nosso esforço é no sentido de prover um}

_{conjunto de sistemas}

de provas

para lógicas modais normais que seja homogêneo

em vários aspectos.

■

_{Além da homogeneidade, deseja-se que os sistemas de}

provas apresentem características que permitam o

desempenho

eficiente

de provadores de teoremas.

■

_{Nós consideraremos aqui apenas um aspecto relativo à}

homogeneidade e eficiência destes sistemas: a

(6)

●Formas Normais Modais Motivação Roteiro ●Roteiro Lógica Proposicional Lógica de Conhecimento Conclusões

Roteiro

1. Lógica Proposicional;

2. Lógica de Primeira Ordem;

(7)

●Formas Normais Modais Motivação Roteiro Lógica Proposicional ●Introdução e Sintaxe ●Semântica ●Propriedades Semânticas ●Métodos de Prova – I ●Semântica e Prova ●Resolução ●CNF ●Exemplo I ●Eficiência ●Exemplo II ●Eficiência II ●Renomeação ●Exemplo II ●Eficiência II ●Duplicação ●Exemplo III

●Exemplo III Revisitado

●Comparação

Introdução e Sintaxe

■

_{A mais simples das lógicas;}

■

_{Proposições – fatos – são representados através de}

símbolos proposicionais;

■

_{Sentenças complexas são construídas a partir destes}

símbolos e de conectivos:

◆ _{Símbolos Proposicionais:}

P = {p, q, r, p

0 _{, q}

0 _{, r}

0 , . . .}

_;

◆ _Constantes:

true

_,

false

_;

◆ _{Operadores Clássicos:}

¬ϕ

(negação),

(ϕ ∧ ψ)

(conjunção),

(8)

●Comparação

●Otter

Semântica

■

_Uma

_{valorac¸ ˜ao}

_{é uma função}

_π

₀

_{a qual atribui um valor de}

verdade a cada um dos símbolos proposicionais:

π

₀

: P → {

true

,

false

}

■

_{A função de valoração é estendida para lidar com fórmulas}

complexas, e.g.:

π(¬ϕ) =

true

se, e somente se,

π

₀

(ϕ) =

false

(9)

●Comparação

Propriedades Semânticas

■

_{Uma valoração}

_π

_satisfaz

_{uma fórmula}

_ϕ

_{se, e somente se,}

π(ϕ) =

true

.

■

_{Uma fórmula}

_ϕ

_é

_{v ´alida}

_{se, e somente se,}

π(ϕ) =

_true

_para

toda valoração

π

.

■

_{Uma fórmula}

_ϕ

_{é uma}

_{contradic¸ ˜ao}

_{se, e somente se,}

π(ϕ) =

false

para toda valoração

π

.

■

_{Γ |= ϕ}

_:

_ϕ

_{é conseqüência lógica de}

_Γ

_.

(10)

●Comparação

●Otter

Métodos de Prova – I

■

_Um

_{c ´alculo}

_{para uma determinada linguagem lógica consiste}

de um conjunto de

axiomas

e um conjunto de

regras de

infer ˆencia

.

■

_A

_{prova de}

_ϕ

_{a partir de um conjunto de f ´}

_ormulas

_Γ

_{é uma}

seqüência de fórmulas

ϕ

₀

, . . . , ϕ

n

, onde

ϕ

n

= ϕ

e cada

ϕ

i

é

◆ _{um axioma;}

◆ _{um membro de}

Γ

_{; ou}

◆ _{foi obtido a partir da aplicação das regras de inferência às}

fórmulas anteriores na seqüência.

■

Γ ` ϕ

_{: existe uma prova de}

_ϕ

_{a partir de}

Γ

_;

(11)

●Comparação

Relação entre Semântica e Prova

■

_{Um cálculo é}

_consistente

_{se todo teorema é uma fórmula}

válida.

` ϕ =⇒ |= ϕ

■

_{Um cálculo é}

_completo

_{se toda fórmula válida é um teorema.}

|= ϕ =⇒ ` ϕ

■

_{Uma lógica é}

_decid´ıvel

_{se existe um procedimento, cuja}

terminação seja garantida, que determine se uma

(12)

●Comparação ●Otter

Resolução

[MRES1]

(D

∨

m

i

)

(D

0 ∨ ¬m

i

)

(D

∨

D

0 ))

■

_{Fórmulas são primeiramente transformadas em uma forma}

normal.

(l

₁

∨ . . . ∨ l

n

) ∧ (l

n+1

∨ . . . ∨ l

m

) ∧ . . . ∧ (l

r

∨ . . . ∨ l

s

)

■

_Literal:

_p

_ou

¬p

_{, onde}

_p

_{é um símbolo proposicional.}

(13)

●Comparação

Forma Normal Conjuntiva

1. ϕ

→ ψ

e

ϕ

↔ ψ

são substituídos por

(¬ϕ ∨ ψ)

e

(¬ϕ ∨ ψ) ∧ (ϕ ∨ ¬ψ)

2. negações são reescritas (De Morgan’s):

¬(ϕ ∧ ψ) −→ (¬ϕ ∨ ¬ψ)

¬(ϕ ∨ ψ) −→ (¬ϕ ∧ ¬ψ)

3. duplas negações são eliminadas, i.e.

¬¬ϕ −→ ϕ

4. leis distribuitivas são aplicadas:

ϕ

∨ (ψ ∧ χ) −→ (ϕ ∨ ψ) ∧ (ϕ ∨ ψ)

ϕ

∧ (ψ ∨ χ) −→ (ϕ ∧ ψ) ∨ (ϕ ∧ χ)

(14)

●Comparação

●Otter

Exemplo I

(p ↔ q) ∨ (r ↔ s)

(15)

●Comparação

Exemplo I

(p ↔ q) ∨ (r ↔ s)

1. ((p → q) ∧ (q → p)) ∨ ((r → s) ∧ (s → r))

(16)

Exemplo I

(p ↔ q) ∨ (r ↔ s)

1. ((p → q) ∧ (q → p)) ∨ ((r → s) ∧ (s → r))

2. ((¬p ∨ q) ∧ (¬q ∨ p)) ∨ ((¬r ∨ s) ∧ (¬s ∨ r))

3. (((¬p ∨ q) ∨ (¬r ∨ s)) ∧ ((¬p ∨ q) ∨ (¬s ∨ r)) ∧ ((¬q ∨ p) ∨

(¬r ∨ s)) ∧ ((¬q ∨ p) ∨ (¬s ∨ r)))

(17)

●Comparação

Exemplo I

(p ↔ q) ∨ (r ↔ s)

1. ((p → q) ∧ (q → p)) ∨ ((r → s) ∧ (s → r))

2. ((¬p ∨ q) ∧ (¬q ∨ p)) ∨ ((¬r ∨ s) ∧ (¬s ∨ r))

3. (((¬p ∨ q) ∨ (¬r ∨ s)) ∧ ((¬p ∨ q) ∨ (¬s ∨ r)) ∧ ((¬q ∨ p) ∨

(¬r ∨ s)) ∧ ((¬q ∨ p) ∨ (¬s ∨ r)))

((¬p ∨ q ∨ ¬r ∨ s)∧

(¬p ∨ q ∨ r ∨ ¬s)∧

(p ∨ ¬q ∨ ¬r ∨ s)∧

(p ∨ ¬q ∨ r ∨ ¬s))

(18)

Eficiência

(¬R ∨ R ∨ ¬P ∨ P )

∧ (¬S ∨ R ∨ ¬P ∨ P ) ∧

(¬R ∨ S ∨ ¬P ∨ P )

∧

(¬S ∨ S ∨ ¬P ∨ P )

∧

(¬R ∨ R ∨ ¬Q ∨ P ) ∧

(¬S ∨ R ∨ ¬Q ∨ P )

∧

(¬R ∨ S ∨ ¬Q ∨ P )

∧

(¬S ∨ S ∨ ¬Q ∨ P )

∧

(¬R ∨ R ∨ ¬P ∨ Q)

∧ (¬S ∨ R ∨ ¬P ∨ Q) ∧

(¬R ∨ S ∨ ¬P ∨ Q)

∧

(¬S ∨ S ∨ ¬P ∨ Q)

∧

(¬R ∨ R ∨ ¬Q ∨ Q) ∧ (¬S ∨ R ∨ ¬Q ∨ Q)

∧

(¬R ∨ S ∨ ¬Q ∨ Q)

∧

(¬S ∨ S ∨ ¬Q ∨ Q)

(19)

●Comparação

Eficiência

(¬R ∨ R ∨ ¬P ∨ P )

∧

(¬S ∨ R ∨ ¬P ∨ P )

∧

(¬R ∨ S ∨ ¬P ∨ P )

∧

(¬S ∨ S ∨ ¬P ∨ P )

∧

(¬R ∨ R ∨ ¬Q ∨ P )

∧ (¬S ∨ R ∨ ¬Q ∨ P ) ∧

(¬R ∨ S ∨ ¬Q ∨ P )

∧

(¬S ∨ S ∨ ¬Q ∨ P )

∧

(¬R ∨ R ∨ ¬P ∨ Q)

∧ (¬S ∨ R ∨ ¬P ∨ Q) ∧

(¬R ∨ S ∨ ¬P ∨ Q)

∧

(¬S ∨ S ∨ ¬P ∨ Q)

∧

(¬R ∨ R ∨ ¬Q ∨ Q)

∧

(¬S ∨ R ∨ ¬Q ∨ Q)

∧

(¬R ∨ S ∨ ¬Q ∨ Q)

∧

(¬S ∨ S ∨ ¬Q ∨ Q)

(20)

●Comparação

●Otter

Exemplo II

(a ∧ b) ∨ (c ∧ d)

(21)

●Comparação

Exemplo II

(a ∧ b) ∨ (c ∧ d)

⇒ ((a ∨ c) ∧ (a ∨ d) ∧ (b ∨ c) ∧ (b ∨ d))

(a ∧ b) ∨ (c ∧ d ∧ e)

⇒ ((a ∨ c) ∧ (a ∨ d) ∧ (a ∨ e) ∧ (b ∨ c) ∧ (b ∨ d) ∧ (b ∨ e))

(22)

Exemplo II

(a ∧ b) ∨ (c ∧ d)

⇒ ((a ∨ c) ∧ (a ∨ d) ∧ (b ∨ c) ∧ (b ∨ d))

(a ∧ b) ∨ (c ∧ d ∧ e)

⇒ ((a ∨ c) ∧ (a ∨ d) ∧ (a ∨ e) ∧ (b ∨ c) ∧ (b ∨ d) ∧ (b ∨ e))

(a ∧ b ∧ f ) ∨ (c ∧ d ∧ e)

(23)

●Comparação

Eficiência II

■

_{Explosão combinatorial:}

(l

1 ∧ . . . ∧ l

m

) ∨ (k

1 ∧ . . . ∧ k

n

) ⇒ O(m × n)

■

_{Em geral:}

ψ

p(ψ)

ϕ

1 ∧

. . . ∧ ϕ

n

P

n

_i=1

p(ϕ

i

)

Q

n

_i=1

p(ϕ

i

)

ϕ

1 ∨

. . . ∨ ϕ

n

Q

n

_i=1

p(ϕ

i

)

P

n

i=1

p(ϕ

i

)

ϕ

1 →

ϕ

2 p(ϕ

1 )p(ϕ

2 )

p(ϕ

1 ) + p(ϕ

2 )

ϕ

1 ↔

ϕ

2 p(ϕ

1 )p(ϕ

2 ) + p(ϕ

1 )p(ϕ

2 )

p(ϕ

1 )p(ϕ

2 ) + p(ϕ

1 )p(ϕ

2 )

¬

ϕ

p(ϕ)

atômico

1

(24)

●Comparação

●Otter

Renomeação

■

_{Técnica baseada na introdução de novos literais;}

■

_{Literais substituem subfórmulas;}

■

_{Introduz também cláusulas que dão significado a estes}

novos literais, dependendo da polaridade:

Seja

ϕ

a fórmula a ser substituída, então:

P ol(ϕ) > 0 ⇒ new

ϕ

→ ϕ

P ol(ϕ) < 0 ⇒ ϕ → new

ϕ

(25)

●Comparação

Exemplo II

(26)

●Comparação

●Otter

Exemplo II

(a ∧ b ∧ f ) ∨ (c ∧ d ∧ e)

new

_{(a∧b∧f )}

∨ new

_(c∧d∧e)

(27)

●Comparação

Exemplo II

(a ∧ b ∧ f ) ∨ (c ∧ d ∧ e)

new

_{(a∧b∧f )}

∨ new

_(c∧d∧e)

new

_{(a∧b∧f )}

→ (a ∧ b ∧ f ) new

_(c∧d∧e)

→ (c ∧ d ∧ e)

¬new

_{(a∧b∧f )}

∨ a

¬new

_(c∧d∧e)

∨ c

¬new

_{(a∧b∧f )}

∨ b

¬new

_(c∧d∧e)

∨ d

¬new

_{(a∧b∧f )}

∨ f

¬new

_(c∧d∧e)

∨ e

(28)

●Comparação

●Otter

Eficiência II

■

_Renomeação

_pode

_{evitar explosão combinatorial:}

O(m + n) × O(m × n)

;

■

_{Pode-se computar, em tempo linear, se renomear uma}

subfórmula é mais vantajoso do que utilizar o procedimento

padrão de transformação na forma clausal:

[Nonnengart at all, On Generating Small Clause Normal

Forms]

■

_{Esta verificação é feita através de um cálculo baseado em}

coeficientes, os quais determinam o quão frequentemente

uma determinada subfórmula e sua negação serão

duplicadas no decorrer da transformação padrão;

(29)

●Comparação

Duplicação

ϕ

↔ ψ

Linearização dependente da polaridade:

P ol(ϕ ↔ ψ) < 0

(ϕ ∧ ψ) ∨ (¬ψ ∧ ¬ϕ)

P ol(ϕ ↔ ψ) > 0

(ϕ → ψ) ∧ (ψ → ϕ)

Exemplo:

((a ∨ b) ↔ (c ∨ d))

(30)

Exemplo III

¬(((c ∧ d) → ¬b) → (((c ∧ d) → b) → ¬(c ∧ d))

1. ¬t

1 ∨ t

2 ∨ ¬b

2. ¬t

2 ∨ ¬c ∨ ¬d

3. ¬t

1 ∨ t

3 ∨ b

4. ¬t

₃

∨ ¬c ∨ ¬d

5. ¬t

1 ∨ c

6. ¬t

₁

∨ d

(31)

●Comparação

Exemplo III Revisitado

¬(((c ∧ d) → ¬b) → (((c ∧ d) → b) → ¬(c ∧ d))

1. ¬t

4 ∨ c

2. ¬t

4 ∨ d

3. t

₄

∨ ¬c ∨ ¬d

4. ¬t

1 ∨ ¬t

4 ∨ ¬b

5. ¬t

₁

∨ ¬t

₄

∨ b

6. ¬t

1 ∨ t

4

(32)

Comparação

¬(((c ∧ d) → ¬b) → (((c ∧ d) → b) → ¬(c ∧ d))

1. ¬t

₁

∨ t

₂

∨ ¬b

2. ¬t

2 ∨ ¬c ∨ ¬d

3. ¬t

1 ∨ t

3 ∨ b

4. ¬t

₃

∨ ¬c ∨ ¬d

5. ¬t

1 ∨ c

6. ¬t

1 ∨ d

CPUTime: 0.62

Inferences: 93.099

Local Stack: 331.432

1. ¬t

₄

∨ c

2. ¬t

4 ∨ d

3. t

₄

∨ ¬c ∨ ¬d

4. ¬t

₁

∨ ¬t

₄

∨ ¬b

5. ¬t

1 ∨ ¬t

4 ∨ b

6. ¬t

1 ∨ t

4 CPUTime: 0.11

Inferences: 14.617

Local Stack: 80.212

(33)

●Comparação

Otter

¬(((c ∧ d) → ¬b) → (((c ∧ d) → b) → ¬(c ∧ d))

Exemplo III

Revisitado

clauses given

10

8 clauses generated

8

5 - binary-res generated

8

5 clauses forward subsumed

1

1 - (subsumed by sos)

1

1 unit deletions

16

7

(34)

(35)

●Formas Normais Modais Motivação Roteiro Lógica Proposicional Lógica de Conhecimento ●Introdução ●Sintaxe ●Semântica ●Regras de Inferência

●Forma Normal Clausal

●Transformação

●Exemplo

●Exemplo Acabado Conclusões

Introdução

■

_{Úteis na especificação de sistemas multi-agentes, sistemas}

distribuídos, protocolos, bases de conhecimento, etc.

■

_{Introduz uma nova modalidade para cada agente: K}

_i

_ϕ

_.

K

Alice

segredo

K

Alice

K

Charlie

chave

K

Alice

K

Charlie

(chave

∧

send(

Alice, Charlie, msg

)

→

K

Charlie

segredo)

send(

Alice, Charlie, msg

)

→

K

_Alice

K

_Charlie

segredo

(36)

●Transformação ●Exemplo ●Exemplo Acabado Conclusões

Sintaxe

Axiomatização:

KL

_(n)

= K, T, D, 4, 5.

K:

`

K

i

(ϕ → ψ) → (

K

i

ϕ

→

K

i

ψ)

T:

`

K

i

ϕ

→ ϕ

D:

`

K

i

ϕ

→ ¬

K

i

¬ ϕ

4:

`

K

i

ϕ

→

K

i

K

i

ϕ

5:

` ¬

K

i

¬ ϕ →

K

i

¬

K

i

¬ ϕ

Sintaxe:

■

_{Símbolos Proposicionais:}

P = {p, q, r, p

0 _{, q}

0 _{, r}

0 , . . .}

_;

■

_Constantes:

true

_,

false

_;

(37)

●Transformação

●Exemplo

Semântica

Semântica baseada em estruturas de Kripke

M

= hW, K

₁

, . . . ,

K

n

, π

i

onde

W

é um conjunto de mundos;

K

i

são relações de

equivalência; e

π

: W × P → {

true

,

false

}

é uma função.

¬

a, b

K

a,

¬

K

b

(38)

Regras de Inferência

[MRES1]

true

_{→ (D ∨ m}

_i

₎

true

→ (D

0 ∨ ¬m

_i

₎

true

→ (D ∨ D

0 ₎

[MRES2]

true

_{→ (D ∨}

_K

_i

_l)

true

_{→ (D}

0 _∨

_K

_i

_¬l)

true

→ (D ∨ D

0 ₎

(39)

Regras de Inferência

[MRES3]

true

_{→ (D ∨}

_K

_i

_l)

true

→ (D

0 ∨ ¬l)

true

→ (D ∨ D

0 ₎

[MRES4]

true

_{→ (D ∨ ¬}

_K

_i

_l)

true

_{→ (D}

0 _{∨ l)}

true

→ (D ∨ ¬

_K

_i

¬ D

0 ₎

[MRES5]

true

_{→ (L ∨}

_K

_i

_l

₁

_∨

_K

_i

_l

₂

_{∨ . . .)}

true

_{→ (L ∨ l}

₁

_{∨ l}

₂

_{∨ . . .)}

(40)

●Transformação

●Exemplo

Forma Normal Clausal

Clausal: transformação elimina o aninhamento de operadores

modais.

Inicial

start

→

r

_

b=1

l

b

K

i

true

→

r

_

b=1

m

i

b

Literais

true

→

r

_

l

_b

(41)

Transformação

É baseada em três operações:

■

_{remoção de operadores;}

■

_{renomeação de fórmulas;}

■

_reescrita.

(42)

Exemplo

K

1 K

2 (a → b) →

K

1 (

K

2 a →

K

2 b)

(43)

Exemplo

K

1 K

2 (a → b) →

K

1 (

K

2 a →

K

2 b)

1. start →

_t

1

2. t

1 → ¬

K

1 K

2 (a → b) ∨

K

1 (

K

2 a →

K

2 b)

(44)

Exemplo

K

1 K

2 (a → b) →

K

1 (

K

2 a →

K

2 b)

1. start →

_t

1

2. _{t1 → ¬}

K

₁

K

_{2 (}

a → b

_{) ∨}

_K

_{1 (}

_K

₂

a →

_K

₂

b

₎

3. t

1 → ¬

K

1 ¬

t

2 ∨

K

1 t

3

4. t

2 → ¬

K

2 (a → b)

5. t

3 →

(

K

2 a →

K

2 b)

(45)

Exemplo

K

1 K

2 (a → b) →

K

1 (

K

2 a →

K

2 b)

1. start →

_t

1

2. _{t1 → ¬}

K

₁

K

_{2 (}

a → b

_{) ∨}

_K

_{1 (}

_K

₂

a →

_K

₂

b

₎

3. _{t1 → ¬}

K

₁

_{¬ t2 ∨}

K

₁

_t3

4. _{t2 → ¬}

K

_{2 (}

a → b

₎

5. t

3 →

(

K

2 a →

K

2 b)

6. ¬

t

1 ∨ ¬

K

1 ¬

t

2 ∨

K

1 t

3

7. t

2 → ¬

K

2 ¬

t

4

8. t

4 → ¬

(a → b)

(46)

Exemplo

K

1 K

2 (a → b) →

K

1 (

K

2 a →

K

2 b)

1. start →

_t

1

2. _{t1 → ¬}

K

₁

K

_{2 (}

a → b

_{) ∨}

_K

_{1 (}

_K

₂

a →

_K

₂

b

₎

3. _{t1 → ¬}

K

₁

_{¬ t2 ∨}

K

₁

_t3

4. _{t2 → ¬}

K

_{2 (}

a → b

₎

5. t

3 →

(

K

2 a →

K

2 b)

6. ¬

t

1 ∨ ¬

K

1 ¬

t

2 ∨

K

1 t

3

7. _{t2 → ¬}

K

₂

_{¬ t4}

8. _{t4 → ¬(a → b)}

9. ¬

t

2 ∨ ¬

K

2 ¬

t

4

10. ¬

t

∨

a

(47)

Exemplo

K

1 K

2 (a → b) →

K

1 (

K

2 a →

K

2 b)

1. start →

_t

1

2. _{t1 → ¬}

K

₁

K

_{2 (}

a → b

_{) ∨}

_K

_{1 (}

_K

₂

a →

_K

₂

b

₎

3. _{t1 → ¬}

K

_{1¬ t2 ∨}

K

₁

_t3

4. _{t2 → ¬}

K

_{2 (}

a → b

₎

5. t

3 →

(

K

2 a →

K

2 b)

6. ¬

t

1 ∨ ¬

K

1 ¬

t

2 ∨

K

1 t

3

7. _{t2 → ¬}

K

_{2¬ t4}

8. _{t4 → ¬(a → b)}

9. ¬

t

2 ∨ ¬

K

2 ¬

t

4

(48)

Exemplo Acabado

K

₁

K

₂

(a → b) →

K

₁

(

K

₂

a

→

K

₂

b)

1. start

_{→ t}

₁

2. ¬t

1 ∨ ¬

K

1 ¬ t

2 ∨

K

1 t

3

3. ¬t

₂

∨ ¬

K

₂

¬ t

₄

4. ¬t

4 ∨ a

5. ¬t

4 ∨ ¬b

6. ¬t

3 ∨ ¬

K

2 a

∨

K

2 b

(49)

●Formas Normais Modais Motivação Roteiro Lógica Proposicional Lógica de Conhecimento Conclusões ●Resultados