Função Real

(1)

Hewlett-Packard

Ano: 2019

DE UMA

VARIÁVEL REAL

Aulas 01 a 06

(2)

Sumário

INTRODUÇÃO AO PLANO CARTESIANO ... 1

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS ... 1

FUNÇÃO REAL DE UMA VARIÁVEL REAL ... 1

NOÇÃO INTUITIVA DE FUNÇÃO ... 2

ELEMENTOS ESSENCIAIS ... 2

FUNÇÕES CUJAS LEIS SÃO EXPRESSÕES ALGÉBRICAS ... 2

DOMÍNIO DE FUNÇÕES CUJAS LEIS SÃO EXPRESSÕES ALGÉBRICAS ... 3

RAIZ OU ZERO DE UMA FUNÇÃO REAL DE UMA VARIÁVEL REAL ... 3

REFORÇANDO A NOÇÃO DE GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO ... 4

CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO ... 4

CURIOSIDADES: GRÁFICOS EM 3D ... 5

NOÇÃO DE COMPOSIÇÃO DE FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL REAL ... 5

QUESTÕES EXTRAS... 6

GABARITO ... 7

(3)

Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 1

AULA 01

INTRODUÇÃO AO PLANO

CARTESIANO

Você deve se lembrar, do 9° ano, que em um plano cartesiano ortogonal, no qual temos um sistema de eixos perpendiculares 𝑂𝑥⃗⃗⃗⃗⃗ e 𝑂𝑦⃗⃗⃗⃗⃗ (denotado por 𝑥𝑂𝑦), um ponto P de abscissa 𝑥𝑃 e ordenada 𝑦𝑃, denotado por 𝑃(𝑥𝑃; 𝑦𝑃), pode ser representado conforme a figura a seguir.

Em geral, os eixos coordenados 𝑂𝑥⃗⃗⃗⃗⃗ e 𝑂𝑦⃗⃗⃗⃗⃗ são graduados em uma mesma escala.

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS

1.1. Identifique, na figura acima os 4 quadrantes em que um plano cartesiano é dividido.

FUNÇÃO REAL DE UMA VARIÁVEL REAL

Considere 𝐴 e 𝐵, subconjuntos não vazios do conjunto dos números reais ℝ, e todas as relações de 𝐴 em 𝐵 possíveis de serem realizadas.

Dentre essas relações, chamaremos de função

𝑓 de 𝐴 em 𝐵, denotada por 𝑓: 𝐴 → 𝐵, aquelas em que

para cada 𝑥 ∈ 𝐴 existe um único 𝑦 ∈ 𝐵, tal que

(𝑥; 𝑦) ∈ 𝑓.

Obs.1: O conjunto 𝑨 é denominado domínio da função

𝑓 e será denominado por 𝑫(𝒇).

Obs.2: O conjunto 𝑩 é denominado contradomínio da

função 𝑓 e será denominado por 𝑪𝑫(𝒇).

Obs.3: Se (𝑥; 𝑦) ∈ 𝑓, então 𝒚 é a imagem de 𝒙 por 𝒇

o qual denotamos por 𝑦 = 𝑓(𝑥).

Obs.4: O conjunto formado pelos elementos 𝑦 de 𝐵

para os quais existe pelo menos um elemento 𝑥 de 𝐴 tal que 𝑦 = 𝑓(𝑥) é denominada conjunto-imagem de

𝑓 e será denotado por 𝑰𝒎(𝒇).

Note que 𝐼𝑚(𝑓) ⊂ 𝐶𝐷(𝑓)

Obs.5: Em 𝑓: 𝐴 → 𝐵, com 𝑦 = 𝑓(𝑥), 𝒙 é denominado variável independente e 𝒚 é denominado variável dependente.

TAREFA 1 – Unid. 4, Cap. 13: Ler nas p. 2 e 3, a Observação 1 e FAZER os PSA 1 e 2.

EM SALA – Unid. 4, Cap. 13: Ler, na p. 16, o Ex. Res.

1(a, d, e). E, na p. 22, o exercício resolvido 11.

Verifique se cada elemento do domínio 𝑨, sem exceção, está associado a exatamente um elemento do contradomínio 𝐵.

Dica: Uma relação será uma função de A em B se a

comparação a seguir valer para todos os elementos de A:

Cada filho(em A) deve ter uma única mãe (em B). Dica prática para relações envolvendo intervalos: • No diagrama cartesiano: trace retas verticais por

toda a extensão do domínio da suposta função. Se pelo menos uma das retas não intersectar, ou intersectar mais de uma vez, a curva apresentada, então não se trata de uma função de A em B.

Como verificar se uma relação de A em B é uma função de A em B?

(4)

AULA 02

NOÇÃO INTUITIVA DE FUNÇÃO

A noção intuitiva de função é aquela que nos permite reconhecer as situações em que os valores de duas grandezas estão relacionados de tal forma que a cada valor de uma delas está associado um único valor da outra.

Exemplo 1: Ao “pesarmos” nosso prato em um self-service, temos a certeza de que para cada quantidade de comida servida existirá um valor associado a ser pago e este será único.

Exemplo 2: Ao analisar, durante um intervalo de tempo, a altura atingida por uma bola ao ser chutada para cima, tem-se a certeza de que, para cada instante analisado a altura atingida pela bola existirá e será única. Mesmo que o contrário não seja verdadeiro (isto é, em dois instantes distintos a bola pode estar a uma mesma altura).

ELEMENTOS ESSENCIAIS

Para definirmos uma função 𝑓, precisamos de três elementos essenciais:

• 𝐷(𝑓) • 𝐶𝐷(𝑓)

• 𝐿𝑒𝑖 que associa a cada 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓) um único elemento 𝑓(𝑥) = 𝑦 ∈ 𝐶𝐷(𝑓).

FUNÇÕES CUJAS LEIS SÃO EXPRESSÕES

ALGÉBRICAS

Quando 𝑓 é uma função real de variável real, o valor 𝑓(𝑥) é, geralmente, dado por uma expressão algébrica em termos de 𝑥.

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS

2.1 Responda à situação descrita no quadro verde acima.

TAREFA 2 – Unid. 4, Cap. 13: Ler, nas p. 20 e 21, o

Ex. Res. 2 e, na pág 25 a 30, os exercícios resolvidos 12, 13, 15 e 17. Após a leitura, FAZER os PSA 5, 8, 11, 13, 15(c,d,e), 17 e 24.

A seguir tem-se a mesma situação descrita em duas linguagens:

I) EM LÍNGUA PORTUGUESA

Seja f uma função com domínio em um conjunto A e contradomínio em um conjunto B, tal que a imagem de cada elemento do domínio é associada ao quadrado deste acrescido de 1. Dado que os elementos de A são todos os números inteiros entre -2 e 2 e os elementos de B são os números naturais não nulos menores que 4, determine o que se pede:

a) o domínio de 𝑓; b) o contradomínio de 𝑓;

c) a imagem de -1 pela função 𝑓; d) o conjunto-imagem de 𝑓;

e) o elemento do domínio de 𝑓 tal que sua imagem pela função f é igual a 2;

f) o elemento do contradomínio de 𝑓 tal que ele é a imagem de 0 pela função f.

II) EM LINGUAGEM SIMBÓLICA

Seja 𝑓: 𝐴 → 𝐵, uma função tal que 𝑓(𝑥) = 𝑥² + 1. Dados 𝐴 = {𝑥 ∈ ℤ| − 2 < 𝑥 < 2} e 𝐵 = {𝑦 ∈ ℕ∗|𝑦 < 4} , determine o que se pede:

a) 𝐷(𝑓); b) 𝐶𝐷(𝑓); c) 𝑓(−1); d) 𝐼𝑚(𝑓); e) 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓) tal que 𝑓(𝑥) = 2 ; f) 𝑦 ∈ 𝐶𝐷(𝑓) tal que 𝑓(0) = 𝑦.

Esperamos que, com essa comparação, você entenda o significado e as facilidades que a linguagem simbólica nos traz.

(5)

AULA 03

AULA 04

DOMÍNIO DE FUNÇÕES CUJAS LEIS SÃO

EXPRESSÕES ALGÉBRICAS

Suponha, nas expressões a seguir, que 𝑎 e 𝑏 representam polinômios na variável 𝑥, que assume todos os valores reais para os quais 𝑓(𝑥) seja um número real.

• 𝑎

𝑏 existe em ℝ se, e somente se, 𝑏 ≠ 0.

Assim, sendo 𝑓, tal que 𝑓(𝑥) =𝑎_𝑏 ,tem-se 𝑫(𝒇) = ℝ − {𝒓𝒂í𝒛𝒆𝒔 𝒅𝒂 𝒆𝒒𝒖𝒂çã𝒐 𝒃 = 𝟎} • 𝑃𝐴𝑅√𝑎 existe em ℝ se, e somente se, 𝑎 ≥ 0.

Assim, sendo 𝑓, tal que 𝑓(𝑥) = 𝑃𝐴𝑅√𝑎 , tem-se 𝑫(𝒇) = {𝒙 ∈ ℝ|𝒔𝒐𝒍𝒖çã𝒐 𝒅𝒆 𝒂 ≥ 𝟎}

• Í𝑀𝑃𝐴𝑅√𝑎 existe, em ℝ, para todo 𝑎 ∈ ℝ.

Assim, sendo 𝑓, tal que 𝑓(𝑥) = Í𝑀𝑃𝐴𝑅√𝑎 , tem-se 𝑫(𝒇) = ℝ

• 𝑎 √𝑏

𝑃𝐴𝑅 existe em ℝ se, e somente se, 𝑏 > 0.

Assim, sendo 𝑓, tal que 𝑓(𝑥) = 𝑎 √𝑏

𝑃𝐴𝑅 ,tem-se

𝑫(𝒇) = {𝒙 ∈ ℝ|𝒔𝒐𝒍𝒖çã𝒐 𝒅𝒆 𝒃 > 0}

Obs. 1: Algumas funções podem ter suas leis dadas

por expressões que “misturam” os casos acima. Nesses casos, você deve analisar cada expressão.

RAIZ OU ZERO DE UMA FUNÇÃO REAL DE

UMA VARIÁVEL REAL

Seja 𝑓: 𝐴 → 𝐵 uma função real de uma variável real, com 𝑦 = 𝑓(𝑥). Diz-se que 𝛼 é uma raiz de f se:

• 𝛼 ∈ 𝐴 e • 𝛼 é solução de 𝑓(𝑥) = 0

Obs. 2: Se 𝛼 é zero de uma função 𝑓, então é correto

afirmar que o par ordenado (𝛼 ; 0) ∈ 𝑓. E, desse modo, a representação cartesiana de f intersectará o eixo 𝑂𝑥⃗⃗⃗⃗⃗ exatamente no ponto (𝛼 ; 0). Portanto, pode-se dizer que o zero de uma função é igual à abscissa do ponto de intercessão do gráfico de f com o eixo das abscissas.

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS

3.1. Sejam 𝐴 = {𝑥 ∈ ℝ| − 2 ≤ 𝑥 ≤ 13 𝑒 𝑥 ≠ 11}, 𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ| − 3 < 𝑥 < 3} e 𝑓: 𝐴 → 𝐵 uma função tal que sua representação cartesiana está ilustrada a seguir.

Determine os zeros de 𝑓.

3.2. Determine, se existir, a raiz de cada uma das funções a seguir.

a) 𝑓: ℕ → ℝ, tal que 𝑓(𝑥) = √(2𝑥 − 18)(𝑥 + 5)3 b) 𝑓: ℝ → ℝ, tal que 𝑓(𝑥) = 2𝑥³ + 𝑥² − 4𝑥 − 2

TAREFA 3 – Unid. 4, Cap. 13: Fazer os PSA 6, 10, 12,

14, 16(a,d,e), 18, 22(a,b), 26 e 32.

TAREFA 4 – Unid. 4, Cap. 13: Ler, na p. 32, o Ex. Res.

19(b, c, d, e, g, i)

TAREFA 5 – Unid. 4, Cap. 13: Ler, na p. 35, o exemplo

4 e, na p. 36, o Ex. Res. 21.

TAREFA 6 – Unid. 4, Cap. 13: Fazer os PSA 35, 36(b,c),

(6)

AULA 05

REFORÇANDO A NOÇÃO DE GRÁFICO DE

UMA FUNÇÃO

DESFAZENDO MITOS

Normalmente, quando falamos de gráfico de uma função, a um aluno do 1° ano do Ensino Médio, percebemos que alguns acreditam em alguns mitos.

MITO 1) Existem apenas dois “tipos” de gráfico: parábola ou reta.

Veja como podemos definir o que é um gráfico de uma função:

O gráfico de uma função 𝑓: 𝐴 → 𝐵 é o conjunto dos pares ordenados (𝑥 ; 𝑦) ∈ 𝐴 × 𝐵, em

que 𝑥 ∈ 𝐴 e 𝑦 = 𝑓(𝑥) ∈ 𝐵.

Ou seja, se supormos 𝐴 = [𝑎1, 𝑎2] 𝑒 𝐵 = [𝑏1, 𝑏2], temos a seguinte representação cartesiana de 𝐴 × 𝐵:

E, desse modo, qualquer “seleção” de pontos da região vermelha (qualquer “desenho”), que atenda à definição de função, pode ser o gráfico de uma função 𝑓: 𝐴 → 𝐵 e não apenas uma reta ou uma parábola.

MITO 2) Para se construir o gráfico de uma função é obrigatório “ligar os pontinhos”.

Observando o que vimos no MITO 1), podemos perceber que, no caso de 𝐴 ser um subconjunto de ℚ ou de (ℝ − ℚ), teremos como representação cartesiana de 𝐴 × 𝐵 um conjunto de pontos “isolados”. Desse modo, qualquer subconjunto de 𝐴 × 𝐵 não terá pontos “ligados”, nem por segmentos de reta, nem por outra curva qualquer.

CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO

Sejam 𝑓: 𝐴 → 𝐵 uma função real de uma variável real tal que 𝑦 = 𝑓(𝑥) e 𝑋, um subconjunto não-vazio de 𝐴. Nesse contexto, podemos dizer que, em 𝑿, uma função pode receber apenas uma das seguintes três classificações:

• 𝑓 é dita CRESCENTE em 𝑿 se sendo, 𝑥1 e 𝑥2

elementos de 𝑋, tivermos que 𝑥1 < 𝑥2⇔ 𝑓(𝑥1) < 𝑓(𝑥2)

Note que, no sentido de leitura (da esquerda para a direita), o gráfico de 𝑓 sobe, quando 𝑓 é crescente.

• 𝑓 é dita DECRESCENTE em 𝑿 se sendo, 𝑥1 e 𝑥2

elementos de 𝑋, tivermos que 𝑥1< 𝑥2⟺ 𝑓(𝑥1) > 𝑓(𝑥2)

Note que, no sentido de leitura (da esquerda para a direita), o gráfico de 𝑓 desce, quando 𝑓 é decrescente.

• 𝑓 é dita CONSTANTE em 𝑿 se sendo, 𝑥1 e 𝑥2

elementos de 𝑋, tivermos que

∀ 𝑥1≠ 𝑥2⟹ 𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2)

Note que o gráfico de 𝑓 fica contido em uma reta horizontal, quando 𝑓 é constante.

𝑏2

𝑎1

𝑏1

𝑎2

𝐴 × 𝐵

TAREFA 7 – Unid. 4, Cap. 13: Ler, da p. 37 à p. 39, os

exercícios resolvidos 22 e 23.

TAREFA 8 – Unid. 4, Cap. 13: Ler, na p. 40, a

Observação 10 e o Exemplo 6. E, da p. 41 à p. 43, o Ex. Res. 25.

Uma função pode ser crescente e decrescente?

Note que em todos os casos acima, a definição foi feita sobre um subconjunto 𝑋 do domínio da função, ou seja, quando falamos de crescimento ou decrescimento, estamos estudando cada “pedacinho” da função. Desse modo, como um todo, uma função pode ser crescente em um momento e decrescente em outro. Porém, é claro, em um mesmo subconjunto 𝑋 a função é crescente ou decrescente ou constante (apenas um).

Tente citar algum exemplo de função que seja crescente em um intervalo e decrescente em outro.

(7)

CURIOSIDADES: GRÁFICOS EM 3D

Sela do cavalo

Sela do Macaco

AULA 06

NOÇÃO DE COMPOSIÇÃO DE FUNÇÕES

REAIS DE UMA VARIÁVEL REAL

MOTIVAÇÃO

Um preparador físico acompanhou o desenvolvimento de um atleta desde o início da adolescência do rapaz até ele atingir a idade adulta.

Durante esse período, o preparador concluiu que a massa 𝑚 do atleta, em quilograma, em função da altura ℎ, em metro, era dada pela expressão

𝑚(ℎ) = 22ℎ².

Também constatou que a altura ℎ do rapaz, em metro, em função do tempo 𝑡, em ano, era dada pela expressão

ℎ(𝑡) =

4𝑡+1

2𝑡+2 .

Caso o preparador físico sentisse necessidade, seria possível expressar a massa do rapaz em função do tempo? Como?

Obs.: Para uma avaliação da massa 𝑚 em função do tempo 𝑡, o preparador teve de efetuar uma composição das funções 𝑚 e ℎ.

TAREFA 11 – Unid. 4, Cap. 13: Ler, da p. 47 à p. 53, a

Obs. 11 e os Ex. Res. de 26 a 31. FAZER os PSA 50, 51(b,c), 52(a,d), 53(a,b,e), 54(a,b,e), 56 e 57.

TAREFA 9 – Unid. 4, Cap. 13: Ler, na p. 40, o Ex. Res. 24

e FAZER os PSA 41 a 45.

TAREFA 10 – Unid. 4, Cap. 13: Ler, na p. 46, o Exemplo

(8)

EXTRA

QUESTÕES EXTRAS

1. Seja 𝑓: ℝ∗→ ℝ, uma função com f x

( )

=2x2−  , a x em que 𝑎 é uma constante real. Dado que f − =

( )

3 72 , determine as raízes de 𝑓.

2. O gráfico a seguir é uma representação cartesiana de uma função 𝑓: ℝ → ℝ.

A partir da análise do gráfico, julgue os itens a seguir. Em seguida, justifique, no espaço indicado, apenas um dos itens que você julgou como errado, caso exista.

1. 𝑓(3) + 𝑓(25) + 𝑓 (−1

2) = 1,5 2. 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ

3. Se 𝑓(𝛼) = 0, com 𝛼 ∈ ℝ, então 𝛼 ∈ [1,2] 4. Em [2, ∞), 𝑓 é uma função crescente.

3. Considere que o valor total cobrado por uma conta de telefone seja composto por uma taxa fixa de R$ 35,00, que inclui a cobrança dos 150 primeiros minutos utilizados, mais R$ 0,10 por minuto que exceder os 150 primeiros. Determine a lei que exprime o valor total cobrado 𝑉, em reais, em termos do número de minutos 𝑥.

4. Estabeleça o domínio da função real 𝑓, em que 𝑓(𝑥) =_{𝑥²−8𝑥+12}√2−𝑥 .

5. Dadas as funções 𝑓: ℝ → ℝ, com f x

(

+ =1

)

3x+ , 2 e 𝑔: ℝ → ℝ, comg x

( )

=2x+ , determine 3 g f x .

( )

6. Considere os conjuntos 𝐴 = {𝑥 ∈ ℕ|0 ≤ 𝑥 ≤ 5} e 𝐵 = {𝑥 ∈ ℕ∗_{|𝑥 ≤ 6} e a função 𝑓: 𝐴 → 𝐵, tal que 𝑦 = 𝑓(𝑥).} Nessas condições, é possível

a) 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 3. b) 𝑓(𝑥) = 1 − 𝑥. c) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 4. d) 𝑓(𝑥) = 𝑥. e ) 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1.

7. Um taxista cobra por uma corrida um valor fixo de R$ 4,80 chamado de bandeirada, e R$ 3,50 por quilômetro rodado. Em uma corrida de 𝑥 quilometros, qual o valor pago 𝑦, em reais, por taxista?

a) 𝑦 = 4,8𝑥 + 3,5 b) 𝑦 = 4,8𝑥 c) 𝑦 = 3,5𝑥 + 4,8 d) 𝑦 = 3,5𝑥 e) 𝑦 = 8,3𝑥

8. A função real cuja lei é 𝑓(𝑥) =√2𝑥−6

𝑥2₋₉, tem domínio igual

a a) {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≠ ±3} b) {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 > 3} c) {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≥ 3} d) {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≤ −3 𝑜𝑢 𝑥 ≥ 3} e) {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 < −3 𝑜𝑢 𝑥 > 3}

9. A figura a seguir é uma representação cartesiana de uma função que tem exatamente quatro raízes reais

É correto afirmar que a soma das raízes dessa função pertence ao intervalor a) ] − 1; 0]. b) [−1; 0]. c) [0; 1[. d) [1; 3[. e) [3; 8].

10. Considere uma função 𝑓: 𝐴 → 𝐵 tal que 𝑓(2𝑥 + 1) = 4𝑥2_{− 1. Nessas condições, tem-se}

a) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1.

𝒚 = 𝒇(𝒙)

EXTRA: TSC 1,2, 5, 8, 9, 11, 12, 14, 16, 19, 20, 21,

22, 23, 24, 31, 33,

EXTRA (Composição de Funções): TSC 34; 35; 36;

(9)

b) 𝑓(𝑥) = 4𝑥2_{− 1.} c) 𝑓(𝑥) = 𝑥2− 2𝑥. d) 𝑓(𝑥) = 𝑥2+ 1. e) 𝑓(𝑥) = 𝑥2.

11. Sejam, 𝑓: ℝ → ℝ e 𝑔: ℝ → ℝ, tais que 𝑓(𝑥) = 8𝑥2+ 3𝑥 −1 2 e 𝑔(𝑥) = 𝛽 ⋅ 𝑥 − 1, 𝛽 ∈ ℝ. Dado que 𝑓 ( 1 2) = 𝛽, tem-se 𝑔(−2) igual a a) −5. b) −7. c) −3. d) 3. e) 1.

12. Nos itens a seguir têm-se representadas relações entre os conjuntos A e B. Assinale a opção que indica uma função 𝑓: 𝐴 → 𝐵.

13. Considere a função 𝑓: 𝐴 → ℝ tal que 𝑓(𝑥) = √−𝑥 + 5 + 2

√𝑥−2. O conjunto A pode ser igual a a) {𝑥 ∈ ℝ|2 < 𝑥 ≤ 5}.

b) {𝑥 ∈ ℝ|2 ≤ 𝑥 < 5}. c) {𝑥 ∈ ℝ|2 ≤ 𝑥 ≤ 5}. d) ∅.

e) ℝ.

14. Considere uma função 𝐹: 𝐴 → 𝐵 tal que 𝑓(3𝑥 − 5) = 5𝑥 − 7. Nessas condições, tem-se que

a) 𝑓(𝑥0 =5𝑥₃ − 2. b) 𝑓(𝑥) =5𝑥+46₃ . c) 𝑓(𝑥) =5𝑥+4 3 . d) 𝑓(𝑥) = 15𝑥 − 32. e) 𝑓(𝑥) = 15𝑥 + 18.

15. Durante certo período, um automóvel deslocou-se com velocidade 𝑣, em metro por segundo, que variou em função do tempo 𝑡, em segundos, de acordo com a expressão 𝑣(𝑡) = 3𝑡 + 2. A distância 𝑑, em metro, entre esse automóvel e um ponto fixo 𝐴, durante o período considerado, pode ser expressa em função de 𝑣 por 𝑑(𝑣) = 2𝑣2_{+ 5𝑣 + 10. Determine 𝑑(𝑣(5)) e (𝑑 ∘ 𝑣)(𝑡).}

GABARITO

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS

1.1. a) 6 b.1)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )



1, 3 , 1, 4 , 1, 5 , 2, 3 , 2, 4 , 2, 5



A B =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )



3, 1 , 3, 2 , 4, 1 , 4, 2 , 5, 1 , 5, 2



B A = b.2) A B B A b.3) A B

(10)

Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 8 B A 1.2. 2.1. a) A = −



1, 0, 1



; b) B =



1, 2, 3



; c) 2; d)

 

1, 2 ; e) x=1 ou x= −1; f) 1. 3.1. 0, 3, 6 3.2. a)9 b) 2, 2, 1 2 − −

QUESTÕES EXTRAS

1. 0, 9 2. C E E E 3. 35, se 0 x 150 20 0,1 , se 150 V x x    =  ₊ _ _  4. D f

( ) 

= x |x2



5. g f x

( )

=6x+1 6. E 7. C 8. B 9. C 10. C 11. B 12. C 13. A 14. C 15. d v

(

( )

5

)

=613 e

(

d v t

)( )

=18t2+27t+28