Lista de aplicação semelhança de triângulos

(1)

Exercícios de aplicação

1. (Eewb 2011) Na figura,

é um triângulo e é um quadrado. A medida do lado deste quadrado é:

a) 2,4 cm b) 2,0 cm c) 1,6 cm d) 1,4 cm

2. (G1 - ifce 2019) O triângulo é retângulo em e tem catetos medindo e Os pontos e são tomados em e respectivamente, de tal forma que é um quadrado. A área desse quadrado, em vale a)

b) c) d) e)

3. (Eear 2019) Se é um triângulo retângulo em o valor de é

a)

b) c) d)

4. (G1 - cftmg 2018) Analise a figura a seguir.

Sobre essa figura, são feitas as seguintes considerações:

I. e são retas paralelas e distam em uma da outra.

II. é um segmento de contido em

III. O segmento mede

IV. é perpendicular a

A medida do segmento em é a)

b)

c)

d)

5. (Uefs 2018) Os pontos e pertencem aos lados de um triângulo retângulo determinando o retângulo

com conforme mostra a figura.

Dadas as medidas e o comprimento

do segmento é

a)

b)

c)

d)

e)

6. (G1 - ifal 2018) A hipotenusa de um triângulo retângulo mede Determine o valor da medida do cateto maior sabendo que o cateto menor mede

a) b)

c)

d)

ANM ABCD

AM 4cm NA 6cm

=

ABC A

12 cm 24 cm. D, E F AB, BC AC,

ADEF cm ,²

25.

49.

36.

64.

81.

ABC A,

n

22 3 16

3 22 16

r s 3 cm

AB 1,5 cm s.

AC 4 cm.

BP AC.

BP, cm, 8.

9 9. 8 8. 5 9. 5

D, E F

ABC, BFDE,

BF 6 cm,=

AB 8 cm= BC 10 cm,= BE

2,4 cm.

2,7 cm.

3 cm.

3,2 cm.

3,5 cm.

13 cm.

5 cm.

6 cm.

8 cm.

10 cm.

11cm.

(2)

e)

7. (Epcar (Afa) 2017) Considere, no triângulo abaixo, os

pontos e os segmentos e

paralelos, respectivamente, a e

Sabendo que e que a área do triângulo

é então a área do paralelogramo hachurado, em é igual a

a) b) c) d)

8. (Unisinos 2017) Na figura abaixo, temos que e os ângulos e são retos.

Com base nessas informações, podemos dizer que as medidas dos segmentos e são, respectivamente:

a) e b) e c) e d) e e) e

9. (Eear 2017) Seja um triângulo conforme a figura. Se e são pontos, respectivamente, de e de forma que

e se então

a)

b)

c)

d)

10. (Fmp 2017) Os lados de um triângulo medem

e e sua área mede Considere um segundo triângulo, semelhante ao primeiro, cuja área mede A medida do perímetro do segundo triângulo, em centímetros, é a)

b) c) d) e)

11. (G1 - ifal 2017) Determine a altura relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo, cujos catetos medem e

a)

b)

c)

d)

e)

12. (G1 - ifce 2016)

No triângulo Os

pontos e estão sobre os lados e respectivamente,

e o ângulo Se então mede

a) b) c) d)

e) 12 cm.

ABC

P AB,Î Q BC,Î R ACÎ PQ QR AC AB.

BQ 3 cm,= QC 1cm= ABC 8 cm ,²

cm ,2 2 3 4 5

AC 6,= BC 8= ACBˆ CDBˆ

AB CD 10 4,8

10 4,2 10 4

8 5 8 4

ABC, D

E AB AC,

AD 4,= DB 8,= DE=x,BC y,= DE BC,!

y= +x 8 y= +x 4

y 3x= y 2x=

13 cm, 14 cm

15 cm, 84 cm .²

336 cm .2

42 84 126 168 336

6 cm 8 cm.

3,6 cm.

4,8 cm.

6,0 cm.

6,4 cm.

8,0 cm.

ABC, C 90 ,!= °

AC 6 cm, = BC 8 cm. =

D E AB BC,

BED 90 .! = °

DE 4 cm, =

^BD 5.

15. 8.2

20. 3 16.

3

(3)

13. (Acafe 2016) Na figura, e

Em relação (aproximada) entre a área do trapézio e a área do triângulo é correto afirmar:

a) A área do trapézio é o quádruplo da área do triângulo.

b) Diferem entre si em

c) O trapézio é maior que o triângulo.

d) A razão entre as áreas é

14. (Uem 2016) Com base em conhecimentos de Geometria Plana, assinale o que for correto.

01) Quaisquer dois triângulos que possuem a mesma área são congruentes.

02) Quaisquer dois triângulos congruentes possuem a mesma área.

04) Quaisquer dois triângulos semelhantes são congruentes.

08) Quaisquer dois triângulos congruentes são semelhantes.

16) Se os triângulos e são tais que o comprimento de é igual ao comprimento de o comprimento de é igual ao comprimento de e o ângulo interno é congruente ao ângulo interno então os segmentos e possuem o mesmo comprimento.

15. (G1 - col. naval 2015) Qual a medida da maior altura de um triângulo de lados 3, 4 e 5?

a) b) c) d) e)

16. (G1 - cftmg 2015) Na figura, os triângulos e são

triângulos retângulos, onde e

Desenhando o triângulo a medida do segmento é

igual a a) b) c) d)

17. (G1 - cftmg 2014) A figura a seguir apresenta um quadrado DEFG e um triângulo ABC cujo lado BC mede 40 cm e a altura AH, 24 cm.

A medida do lado desse quadrado é um número a) par.

b) primo.

c) divisível por 4.

d) múltiplo de 5.

18. (G1 - ifal 2014) Dois quadrados estão apoiados. O lado do quadrado maior mede e o lado do menor

Quanto mede

a)

b)

c)

d)

e) AM 8 cm,= BM 10 cm,=

BC 54 cm,= AH 45 2 cm= MN / /BC

BCMN AMN

360 cm .2

200%

13 5.

ABC DEF

AB DE, BC

EF ABC!

DEF, !

AC

DF

12 5 3 4 5 20

3

ABC BDE AC=2, AB=2 3

AD 2DE. =

ACD, CD

2 3 5 7

2 1.

MN?

1 2 1 3 1 4 2 3 2 5

(4)

Gabarito:

Resposta da questão 1:

[A]

Portanto, x = 2,4.

[D]

Portanto, a área do quadrado, será:

[B]

Da figura, temos:

[B]

Considere a situação:

Nesse sentido, podemos aplicar a semelhança de triângulos nos seguintes triângulos:

Logo:

[D]

Do enunciado e da figura, temos:

é um ângulo comum aos triângulos e

Dessa forma, os triângulos e são semelhantes.

Daí,

[E]

MBC MAN

4 x x 12

4x 24 6x 10x 24 x

4 6 5

-

- = Û = - Û = Û =

Δ Δ

12 x x BMP ~ BAC

12 24 x 24 2x 3x 24 x 8

Δ Δ Þ - = Þ

= - Þ = Þ =

A

2 2

A 8= =64 cm

( )

52 3 3 n 25 9 3n 16 3n n 16

3

= × +

= +

=

4 1,5 4,5 9

3= x Þx= 4 =8

EADˆ AED ABC.

ˆ ˆ

AED ABC 90= = °

AED ABC

( )

8 x 6 8 10 8 x 3

8 5

5 8 x 3 8 40 5x 24 5x 16 x 16

5 x 3,2 cm

- =

× - = ×

- =

=

(5)

Aplicando o Teorema de Pitágoras temos:

[B]

Calculando:

[A]

É fácil ver que o triângulo é semelhante ao triângulo retângulo pitagórico de lados e Logo, sua hipotenusa mede

e sua altura mede

[C]

Sendo tem-se que os triângulos e são

semelhantes por AA. Portanto, segue que

[B]

Seja o perímetro desejado. Como os triângulos são semelhantes e o perímetro do primeiro triângulo é igual a

temos

[B]

Observe primeiramente que:

Obtendo a hipotenusa temos:

Analisando a altura relativa temos:

Segundo as propriedades referentes a altura relativa a hipotenusa podemos afirmar que:

E que:

Por fim, basta aplicar a relação sobre o triangulo. Logo:

[D]

No triângulo temos:

Os triângulos e são semelhantes, logo:

2 2 2

2 2

hip cat cat 13 5 cat cat 169 25 cat 144 cat 144 cat 12 cm

= +

= -

=

RQC 2 RQC

ABC RQC

PBQ 2 PBQ

RQC PBQ

hachurado ABC PBQ RQC hachurado

S S

CQCB 14 S 14 161 161 8 S 12

S 3 9 9 S1 S 92

S 1 1 1

2

9 1

S S S S 8 2 2 S 3

= ® =æ öç ÷è ø = ® = ® =

=æ öç ÷è ø = ® = ® =

= - - = - - ® =

ABC

3, 4 5. AB

5 2 10× = CD 2,4 2 4,8.× =

DE BC,! ABC ADE

AD DE 4 x y 3x.

12 y AB =BC Û = Û =

2p

13 14 15 42cm,+ + =

2 2

2p 336 2p

42 84 42 4 2p 84cm.

æ ö = Ûæ ö =

ç ÷ ç ÷

è ø è ø

Þ =

2 2 2

hip cat cat

hip 8 6

hip 100 10

= +

= =

(h),

62 m 10 36 10m m 3,6

= × Þ =

=

82 n 10 10n 64 n 6,4

= × Þ =

=

h m n= × 2

2

h m n h 3,6 6,4 h 23,04 4,8

= ×

= ´

= =

ABC,

2 2 2

AB =6 +8 ÞAB 10= BDE BAC BD 4 BD 40 20

10 6 6 3

BD 20cm 3

= Þ = =

=

(6)

[A]

Considerando que:

a área do triângulo a área do triângulo

a área do trapézio

e que os triângulos e são semelhantes, podemos escrever:

Portanto, a razão entre a área do trapézio e a área do triângulo é:

(aproximadamente 4).

02 + 08 + 16 = 26.

[01] Falso. É preciso que tenha lados/ângulos congruentes (dois lados e um ângulo, por exemplo).

[02] Verdadeiro. Triângulos congruentes têm a mesma área.

[04] Falso. Triângulos semelhantes podem, por exemplo, tem áreas diferentes – logo, não serão sempre congruentes.

[08] Verdadeiro. Todos os triângulos congruentes são também semelhantes.

[16] Verdadeiro. Se dois triângulos possuem dois lados e um ângulo congruentes (lado, ângulo, lado) então são congruentes e o terceiro lado também será igual.

[C]

O triângulo com lados 3, 4 e 5 é retângulo, pois A altura, relativa ao lado de medida 4, mede 3.

A altura, relativa ao lado de medida 3, mede 4.

A altura, relativa ao lado de medida 5, mede h, que será calculado abaixo:

Portanto, a maior altura do triângulo mede 4.

[D]

Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo CAD, temos:

[D]

Seja a medida do lado do quadrado

Os triângulos e são semelhantes por AA.

Portanto,

que é um múltiplo de Resposta da questão 18:

[B]

Aplicando semelhança de triângulos temos a seguinte proporção:

Como o valor procurado é temos:

S : ABC

S :1 AMN

S :2 BCNM

AMN ABC

2 2

1 1

1

2 1

S 8 S 4 S 16 S

S 18 S 9 81

S S S 65 S

81

æ ö æ ö ×

=ç ÷ Þ =ç ÷ Þ =

è ø è ø

= - = ×

BCNM AMN

2 1

65 S

S 81 4,0625 S 16 S

81

×

= =

×

2 2 2

3 +4 =5 .

5 h 3 4× = × Þh 2,4=

( )

²

2 2

BC =2 + 2 3 ÞBC 4.= x 2 3 2x

BED ~ BAC 2x 3

2 4

Δ Δ Þ = - Þ =

( )

²

2 2

CD =2 + 3 ÞCD= 7.

! DEFG.

ABC AEF

24 120 5 3 40 24

15cm,

= - Û - =

Û =

! ! ! !

! 5.

AB BE 2 3 2

ND=DEÞND=1ÞND=3

MN 1 ND= - 2 1

MN 1 ND 1 3 3

= - = - =