Sistemas Complexos

(1)

Sistemas Complexos

Luiz Renato Fontes

(2)

Percola¸c˜ ao em Z

^d

(Broadbent e Hammersley)

Parad ≥1, sejaL^d = (Z^d,E^d) o grafo cujos s´ıtios são os elementos deZ^d e os elos são dados pelos pares de vizinhos mais próximos de Z^d: E^d ={hx,yi: x,y∈Z^d ekx−yk1 = 1} (hx,yi ehy,xi representam o mesmo elo).

Omodelo de percola¸cão de elos independentes é o grafo aleatório L^d(p) = (Z^d,E^d(p)), ondeE^d(p) ={e ∈ E^d : ωe = 1}, e

B={ω_e;e ∈ E^d} s˜ao va’s iid com distr de Bernoulli(p) Seω_e= 1: e est´aabertooupresente;

do contr´ario, fechadoouausente.

(3)

Simula¸c˜ ao em d = 2

(4)

Conectividade

Umcaminho (autoevitante) ´e qquer cj de `+ 1 s´ıtios

γ= (x0, . . . ,x`) deZ^d,`≥0, todos distintos e tq, se`≥1, então hx_i−1,x_ii ∈ E^d,i = 1, . . . , `; neste caso, dizemos queγ liga x0 a x_`, ou que x₀ e x_` sãoextremidades de γ, e que|γ|=`é o comprimento deγ. Se x for uma das extremidades deγ, diremos quex come¸ca em γ.

A no¸cão de conectividade no modelo de percola¸cão é a natural (e usual): dois s´ıtiosx e y deZ^d estão conectados sex =y ou se x6=y e houver um caminho (de elos) aberto(s) ligando x a y; em outras palavras, se houver um caminhoγ ligandox ay, e todos os elos deγ estão emE^d(p). Not: x ↔y.

Parax∈Z^d, sejaCx o aglomerado de x: Cx ={y ∈Z^d : x ↔y}. Dizemos o s´ıtiox percola se |Cx|=∞, e que percola¸c˜ao ocorre no modelo sex percolar para algumx ∈Z^d.

Sejaθ=θ(p) =P(|C|=∞), onde C=C0 ´e o aglom da origem.

(5)

Obs.

1) Claramenteθ(0) = 0 eθ(1) = 1.

2) Inv p/transl: θ=P(|Cx|=∞) ∀x.

3) Seja o eventoA= o modelo percola =∪x∈Z^d{|Cx|=∞}; a) seθ= 0, ent˜ao por subadtvdd P(A) = 0;

b) comoAé caudal (não depende de {ωe,e ∈ F} p/qquer F ⊂ E^d finito), segue da Lei 0-1 de Kolmogorov que, seθ >0, então P(A) = 1.

(6)

Proposi¸c˜ ao 1

θ=θ(p,d) : [0,1]× {1,2, . . .} →[0,1] é não decrescente emp ed. Dem.Vamos construir modelos de percnão homogêneos de forma acoplada, usando a fam´ıla de va’s iidU ={U_e;e∈ E^d}c/distr Uniforme([0,1]), em vez deB.

DadoP={p_e,e∈ E^d} ∈[0,1]Ê^d, declaramos o eloe P-abertose U_e<p_e; do contrário,e será dito P-fechado.

x,y ∈Z^d s˜aoP-conectadosse (x =y ou) houver um caminho de elos P-abertos ligandox ay;not: x ↔^P y

SejaC^x(P) ={y∈Z^d: x↔^P y}. Modelo original: P=P_d:={p}^E^d. SejamE0^d+1 ={hx,yi ∈ E^d+1: x,y∈Z^d× {0}}e

P_d+1^d :={p}^E⁰^d+1× {0}^E^d+1^\E^d+1⁰ .

(7)

Dem. Prop 1 (cont)

ParaP,P⁰ ∈[0,1]^E^d escreveremosP≤P⁰ sep_e ≤p⁰_e ∀e ∈ E^d. Agora note que

1) seP≤P⁰, ent˜ao Cx(P)⊂ Cx(P⁰), x∈Z^d;

2)∴θ(P) =P(|C⁰(P)|<∞)≤P(|C⁰(P⁰)|<∞) =θ(P⁰).

3)P_d ≤P_d⁰ :={p⁰}^E^d, sep ≤p⁰;P_d+1^d ≤P_d+1; 4)∴θ(p,d) =θ(P_d)≤θ(P_d⁰) =θ(p⁰,d);

θ(p,d) =θ(P_d+1^d )≤θ(P_d+1) =θ(p,d + 1).

(8)

Parˆ ametro cr´ıtico

Sejapc = sup{θ(p) = 0}. Prop 1⇒ θ(p)

(= 0, sep<pc;

>0, sep>pc. Diremos que o modelo exibetransi¸cão de fase não trivialse pc ∈(0,1); do contrário, diremos que o modelo é trivial.

Proposi¸c˜ao 2

Emd = 1, o modelo ´e trivial.

Dem.SejamX⁺= sup{x ≥0 : (x,x+ 1) est´a fechado, e X⁻= inf{x ≤0 : (x−1,x) est´a fechado.

𝑋^! 0 𝑋^"

p<1: |X⁻|,X⁺ iid∼ Geom´etrica(1−p) ∴ |X⁻|,X⁺<∞ qc;

logoθ(p) =P(|X⁻|+X⁺+ 1

| {z }

|C|

=∞) = 0.

(9)

Teorema 1

Emd ≥2, o modelo exibe transi¸c˜ao de fase n˜ao trivial.

Dem.O resultado segue combinando-se os seguintes dois lemas

com a Prop 1.

Lema 1. Se p < _2d−1¹ , ent˜aoθ(p) = 0.

Lema 2. Em d = 2, se p>2/3, ent˜aoθ(p)>0.

Obs. Os dois lemas mostram que _2d−1¹ ≤pc =pc(d)≤ ²₃. Kesten (1990): p_c(d)∼ _2d¹ .

(10)

Dem. Lema 1

Basta mostrar queE(|C|)<∞ sep< _2d−1¹ . Note que

|C|=P

x∈Z^d1{0↔x}=P

x∈Z^d1

∪^γ∈Λx {γ est´a aberto}

≤P

x∈Z^d

P

γ∈Λx1{γ est´a aberto}

=P

n≥0

P

γ∈Λ⁰_n1{γ est´a aberto}, (1) onde Λx ={caminhos ligando 0 ax} e

Λ⁰_n={caminhos de compr n come¸cando na origem}. Note agora que∀ γ ∈Λ⁰_n

P(γ est´a aberto)=pⁿ, e que |Λ⁰_n| ≤2d(2d −1)ⁿ⁻¹,n ≥1.

Disto e de (1) segue que E(|C|)≤1 + 2dpP

n≥0[(2d−1)p]ⁿ<∞, sep< _2d−1¹ .

(11)

Dem. Lema 2

Vamos explorar a autodualidade deL² = (Z²,E²).

SejaL²∗= (Z²∗,E∗²) o grafo dual deL² = (Z²,E²), ie, Z²∗ =Z²+ ¹₂,¹₂

=

x₁+¹₂,x₂+¹₂

: (x₁,x₂)∈Z² E∗²={hx,yi: x,y ∈Z²∗ ekx−yk1 = 1}

Note queL² e L²∗ s˜ao isomorfos.

0∗

0

Para e ∈ E², seja e∗ o (´unico) elo deE∗² secante ae.

𝑒∗ 𝑒

A rela¸c˜aoe:e∗ ´e 1:1.

(12)

Dem. Lema 2 (cont) — Fato geom´ etrico sobre L

²

SejaC ⊂Z² finito e conexo(ie, para cada par de s´ıtiosx,y de C, existe um caminho ligandox ay totalmente contido emC) contendo 0. Seja∂_E⁺C a fronteira exterior de elosde C, ie

∂_E⁺C ={hx,yi ∈ E² : x∈C,y ∈/ C,∃ um caminho infinito come¸cando emy sem intersecc¸c˜ao com C}.

Ent˜ao{e∗: e ∈∂_E⁺C} formam umcircuito^∗ em L²∗ em torno de 0.

···: elos de∂_E⁺C

——– : elos deC – – – – : elos deE∗²

∗{x0, . . . ,xn}: x0=xne{x1, . . . ,xn}e{x0, . . . ,xn−1}s˜ao caminhos

(13)

Dem. Lema 2 (cont)

Se declararmose∗ ∈ E∗² abertosse e estiver fechado, temos em L²∗

um modelo de percola¸c˜ao com par 1−p.

Do fato geom´etrico acima, segue

P(|C|<∞) =P(∃ um circuito aberto em L²∗ em torno de 0)

≤ X

γ∗∈Λ∗

P(γ∗ est´a aberto) ≤X

n≥4

X

γ∗∈Λ∗(n)

P(γ∗ est´a aberto), (2) onde Λ∗ ={circuitos de L²∗ em torno de 0} e

Λ∗(n) ={circuitos de L²∗ em torno de 0 de comprn} Logo

θ(p)≥1−P

n≥4(1−p)ⁿ|Λ∗(n)| ≥1−¹₂P

n≥4n3ⁿ⁻²(1−p)ⁿ

= 1−₁₈¹ P

n≥4n[3(1−p)]ⁿ=: 1−₁₈¹ψ(p). (3)

Ent˜aoψ´e decresc, cont em (²₃,1] eψ(1) = 0: ∃ ²₃ <p^? <1 tq ψ(p^?) = 18 em (p^?,1]; (3)⇒ θ(p)>0 em (p^?,1].

(14)

Dem. Lema 2 (cont) — Refinamento

Note queψ(p)→ ∞ qdop ↓ ²₃:

˜

n h´a como obterθ(p)>0 ∀p > ²₃ de (3) apenas.

SejaQN ={−N, . . . ,N}² e considere os eventos A_N ={todos os elos deQN est˜ao abertos} e

B_N ={existe um circuito aberto emL²∗ em torno deQN}. Obs. A_N eB_N indep e |C|=∞em A_N∩B_N^c.

Logo,θ(p)≥P(AN∩B_N^c) =P(AN)P(B_N^c)∀N.

ComoP(A_N)>0∀N, basta mostrar que P(B_N)<1 para algumN para obterθ(p)>0.

(15)

Refinamento (cont)

Como em (2):

P(B_N) =P(∃ um circuito aberto em L²∗ em torno de QN)

≤P

n≥8N

P

γ∗∈Λ∗(n)P(γ∗ est´a aberto), Como em (3):

P(B_N)≤ ₁₈¹ P

n≥8Nn[3(1−p)]ⁿ=: ₁₈¹ψ_N(p).

Dadop > ²₃,ψ1(p) ´e uma s´erie convergente;

logo,∃N =N(p)≥1 tq ψ_N(p)<18. Lema 2

(16)

Obs.

1) Note queχ(p) =E(|C|) ´e ˜n decrescente e<∞em

0,_2d−1¹ . SejapH= sup{p∈[0,1] :χ(p)<∞}; ent˜aopH≤pc. 2) SejaD= diamC= sup{kxk¹: x∈ C}o diˆametro deC.

Dos args da dem do Lema 1, temos que a cauda da distr deD tem dec exp sep<_2d−1¹ , ie, ∃β=β(p)>0 tq

P(D>n)≤e^−βn ∀ngde.

A ppdd de a distr deD ter dec exp ´e decrescente, ie, se vale parap, ent˜ao vale tb parap⁰ <p.

Sejap_E= sup{p∈[0,1] : a cauda deD tem dec exp}; ent˜ao pE≤pH. Sabe-se que pE =pH=pc (unicidade do pto cr´ıtico^†).

3) O Teo 1 n˜ao diz seθ(pc,d) = 0 ou>0 emd≥2. Acredita-se queθ(pc,d) = 0∀ d≥2; sabemos isto emd= 2 e parad gde (por m´etodos difs).

4)p_c(2) = ¹₂; o valor exato de p_c(d),d≥3, ´e desconhecido.

†temos dec exp p/a distr de|C| ∀p<pc

(17)

Unicidade do aglomerado infinito

Sejaη= #{aglomerados infinitos distintos do modelo de perc}. Entãoη é inv p/transl, ie, ∀z ∈Z^d eω ∈ B: η(ω) =η(ω+z), ondeω+z ∈ B é tq (ω+z)_hx,y_i=ω_hx+z,y+zi.

Lei 0-1 p/va’s inv p/transl em espa¸cos produto⇒η = ´e trivial, ie,∃cte κ=κ_p∈Ntq P(η=κ) = 1; claro: κ= 0, seθ= 0; e κ≥1, seθ >0.

Teorema 2. Se θ >0, ent˜aoκ= 1.

Obs. Compare com

(i)G_n(p), p=λ/n,λ >1: unicidade do aglomerado gigante, e (ii) perc independente na ´arvore regular de grau d ≥3:

∞’s agloms∞’s sep >1/d.

Dem.Resultado segue das duas proposi¸c˜oes a seguir.

(18)

Proposi¸c˜ oes

Proposi¸cão 2. Seθ >0, entãoκ= 1 ou ∞. Proposi¸cão 3. Seθ >0, entãoκ≤2.

Dem Prop 1. Vamos mostrar que seP(η=k)>0 para algum 2≤k <∞, ent˜aoP(η= 1)>0. O resultado segue disto e da trivialidade deη.

Sejak como acima, eQⁿ como na dem do Lema 2, slide 14, e sejam os eventos

An={todos os agloms∞⁰s tocamQⁿ};

Bn={elos deQⁿtodos abertos}.

(19)

Dem Prop 1 (cont)

Note queAn%emn, e queAn∩ {η=k} → {η=k} qdon→ ∞. Disto e da hip de queP(η=k)>0: ∃ n tq P(An)>0.

Note: P(B_n)>0 ∀n. Logo, comoA_n e B_n indep∀n:

P(A_n∩B_n) =P(A_n)P(B_n)>0.

ComoAn∩Bn⊂ {η= 1}, segue queP(η= 1)>0.

Obs. Note que o argumento n˜ao funciona p/k =∞. Dem Prop 2.

Vamos supor queP(η≥3)>0 e obter uma contradi¸c˜ao.

Para isto, precisaremos da seguinte no¸c˜ao e resultado sobre grafos.

(20)

Pontos triplos

SejaG = (S,E) um grafo conexo.

x∈S ser´a dito umponto triplopara G se i) existirem apenas 3 elos deE tocandox e

ii) o grafo G\{x}, em que x ´e removido deS e os 3 elos tocando em x s˜ao removidos deE, tem exatamente 3 componentes conexos, denotados E1(x),E2(x),E3(x), e chamados de ramos.

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•x

(21)

Exerc´ıcio sobre pontos triplos

(a) Suponha queG seja um grafo conexo e quex1,x2, . . . ,xn sejam pontos triplos distintos paraG. Mostre que, p/algumi, 2 dos 3 ramos emx_i, digamosE₂(x_i) eE₃(x_i), n˜ao contˆem nenhum dos outros pontos triplos ({x1, . . . ,xn}\{xi}).

Sugest˜ao: indu¸c˜ao emn.

(b) SejaG⁰ o grafo obtido deG ex₁, . . . ,x_n de (a) removendo-se todos os s´ıtios de E3(xi) e todos os elos tocando estes s´ıtios.

Mostre que {x1, . . . ,xn}\{xi} s˜ao pontos triplos paraG⁰. (c) Suponha queG seja um grafo conexo e quex₁, . . . ,x_n sejam

pontos triplos distintos deG. Entre os 3n ramos, E₁(x₁),E₂(x₁),E₃(x₁),E₁(x₂), . . . ,E₃(x_n),

mostre que podemos achar pelo menos n+ 2 ramosdisjuntos.

(22)

Dem Prop 2 (cont)

SejaFn={pelo menos 3 agloms∞⁰s6=⁰s tocamQⁿ⁻¹}. ComoF_n↑ {η≥3}qdon↑ ∞: ∃ ntqP(F_n)>0.

Dadosy1,y2,y3ptos 6=⁰s no int das faces de ∂Qⁿ, seja

Fn(y1,y2,y3) ={y1,y2,y3∈aglo∞⁰s6=⁰s usando s´o elos ext aQⁿ} ComoF_n⊂S

y₁,y₂,y₃F_n(y₁,y₂,y₃):

P(F_n(y₁,y₂,y₃))>0 para algunsy₁,y₂,y₃.

Dados estesy₁,y₂,y₃, sejax =x(y₁,y₂,y₃) um pto int deQⁿ tq h´a 3 caminhos de elos disjs no intQⁿ ligandox ay₁,y₂,y₃resp.

x y1

y2

y3

(23)

Dem Prop 2 (cont)

Seja agora

F_n⁰(y1,y2,y3) ={os 3 caminhos mencionados acima est˜ao abertos, todos os demais elos do interior deQⁿ est˜ao fechados}. Logo,

P(Fn0(y1,y2,y3)∩F_n⁰(y1,y2,y3))^ind=P(Fn0(y1,y2,y3))P(F_n⁰(y1,y2,y3))>0.

Um ponto triplo (segundo a defini¸cão no exerc´ıcio acima) será dito um ponto triplo especial (pte)se seus ramos são infinitos.

Note que

{x(y1,y2,y3) ´e um pte}⊃Fn₀(y1,y2,y3)∩F_n⁰(y1,y2,y3).

Segue que, seP(η≥3)>0, ent˜aoP(x ´e um pte)>0.

Inv p/transl: prob acima n˜ao depende dex. Vamos denot´a-la porρ.

(24)

Dem Prop 2 (cont)

Segue que

E(#{pontos triplos especiais emQⁿ⁻¹})= (2n−1)^dρ, e logo

P #(pte’s em Qn−1)≥(2n−1)^dρ

>0 ∀n (4)

(pois∀va integr´avelX: P(X ≥E(X))>0)).

Agora, segue do exerc´ıcio acima que o número de pte’s emQⁿ⁻¹ é sempre inferior a 2d(2n−1)^d−1 ∀n, o que contradiz (4) paran gde, concluindo a demonstra¸cão da Prop 2.

Falta então apenas justificar a afirma¸cão no come¸co do parágrafo anterior. Faremos isto a seguir.

(25)

Dem Prop 2 (cont)

Cada ramo de cada ponto triplo especial (pte) toca um (ou mais) s´ıtios em alguma face de∂Qn.

Obs. 2d(2n−1)^d−1 ´e o n´umero total de s´ıtios em∂Qⁿ.

Considere os componentes conexos dos pte’s usando apenas elos no interior deQn.

Digamos que tais componentes contenhamn1,n2, . . .pte’s cada (isto ´e, o i-´esimo componente contemn_i pte’s).

Logon1+n2+. . . d´a o total de pte’s emQⁿ⁻¹.

Da conclus˜ao do ex acima: no componente i podemos achar pelo menosn_i+ 2 ramos disjuntos dentre as 3n_i possibilidades.

Logo, temos (n1+ 2) + (n2+ 2) +. . .ramos disjuntos de todos os pontos triplos.

Como cada um toca pelo menos um ponto das faces deQn, ser´a necess´ario que

n1+n2+. . .≤(n1+ 2) + (n2+ 2) +. . .≤2d(2n−1)^d−1.Prop 2

(26)

Ferramenta ´ util — Desigualdade de FKG

Monotonicidade

Ordem parcial emΩ :={0,1}^E^d: p/ω, ω⁰ ∈Ω, diremos que ω≤ω⁰ ⇔ ω_e≤ω_e⁰ para todoe ∈ E^d.

X : Ω→R´e dita crescente se for crescente na ordem parcial acima, ie,X(ω)≤X(ω⁰) sempre que ω≤ω⁰.

A⊂Ω ´e dito crescente se1A for crescente.

Em palavras, com o modelo de percola¸cão em mente, um evento A do modelo é crescente sempre que para cada configura¸cão de Ω em queA ocorre, ao abrirmos mais elos nesta configura¸cão, o evento Acontinua ocorrendo.

Exemplos de eventos crescentes:{x ↔y},x,y ∈Z^d, e{|C|=∞}.

(27)

Parˆ enteses

Formula¸cão equivalente/expl´ıcita do modelo de percola¸cão Podemos formular o modelo de percola¸cão definido no in´ıcio como a tripla (Ω,F,P), Ω como acima e

I F ´e aσ-´algebra produto (gerada pelos cilindros de Ω), e

I P=Pp ´e a medida produto com marginaisP(ωe = 1) =p.

(28)

Desigualdade de (Harris-)FKG

Proposi¸c˜ao 4. SejamX e Y va’s crescentes e limitadas em (Ω,F,P). Ent˜ao

E(XY)≥E(X)E(Y).

Dem.Vamos tomar inicialmenteX e Y cil´ındricas, ie, dependem apenas de um conjunto finito de elos{e1,e2, . . . ,en}.

Provaremos a prop neste caso por indu¸c˜ao em n.

n= 1: X =f(ω_e₁) e Y =g(ω_e₁), ondef eg s˜ao crescentes.

Sejaω⁰ uma c´opia independente de ωe1 (ie, ω⁰ e ωe1 s˜ao iid).

Ent˜ao [f(ωe1)−f(ω⁰)][g(ωe1)−g(ω⁰)]≥0,pois f,g crescentes.

LogoE

[f(ω_e₁)−f(ω⁰)][g(ω_e₁)−g(ω⁰)] ≥0.

(29)

6 = FKG (cont)

Expandindo o termo `a esquerda, temos E[f(ωe1)g(ωe1)] +E[f(ω⁰)g(ω⁰)]

≥E[f(ωe1)g(ω⁰)] +E[f(ω⁰)g(ωe1)]. (5) ωe1,ω⁰ indep: lado dir =

E[f(ωe1)]E[g(ω⁰)] +E[f(ω⁰)]E[g(ωe1)].

ωe1,ω⁰ id distr: (5) fica

E[f(ω_e₁)g(ω_e₁)] +E[f(ω_e₁)g(ω_e₁)]

≥E[f(ω_e₁)]E[g(ω_e₁)] +E[f(ω_e₁)]E[g(ω_e₁)], ie,

2E[f(ω_e₁)g(ω_e₁)]≥2E[f(ω_e₁)]E[g(ω_e₁)]

e o resultado paran= 1 ´e imediato.

(30)

6 = FKG (cont)

Supondo-o v´alido paran =k, seja n=k+ 1. Ent˜ao X =f(ωe1, . . . , ωe_k, ωe_k+1) eY =g(ωe1, . . . , ωe_k, ωe_k+1), f,g crescentes. Agora,

E(XY) =E[f(ωe1, . . . , ωe_k, ωe_k+1)g(ωe1, . . . , ωe_k, ωe_k+1)]

=E E

f(ω_e₁, . . . , ω_e_k, ω_e_k+1)g(ω_e₁, . . . , ω_e_k, ω_e_k+1)

ω_e_k+1 .

Na esp condicional acima,ω_e_k+1 fixo: f,g podem ser vistas como f¸cs deωe1, . . . , ωek; pela hip ind, lado dir ≥

E E

f(ω_e₁, . . . , ω_e_k, ω_e_k+1) ω_e_k+1

×

×E

g(ωe1, . . . , ωe_k, ωe_k+1)

ωe_k+1 . Agora é claro que as esperan¸cas condicionais acima são fun¸cões crescentes deω_e_k+1. Novo uso da hipótese de indu¸cão produz o resultado paran=k+ 1, completando o passo de indu¸cão.

(31)

6 = FKG (cont)

Para o caso geral, sejamX e Y n˜ao necess/te cil´ındricas, e sejae1,e2, . . . uma enumera¸c˜ao de E^d.

Pelo Teorema da Convergˆencia de Martingais, X = limn→∞E

X|ωe1, . . . , ωen

, e similarmente paraY.

Pelo passo anterior,6= FKG vale qdo X e Y s˜ao subst por E

X|ω_e₁, . . . , ω_e_n eE

Y|ω_e₁, . . . , ω_e_n .

Passagem ao lim emn e o Teo Conv Dom d˜ao o caso geral.

6=FKG

Corol´ario. SeA e B forem eventos crescentes, ent˜ao P(A∩B)≥P(A)P(B).

Dem.Basta aplicar a Prop 4 a X =1A e Y =1B.

(32)

Modelo em Z

²

Proposi¸c˜ao 5. θ(¹₂,2) = 0

Dem.Usaremos o seguinte coro da 6= FKG.

Truque da raiz quadrada

SeA1, . . . ,A` crescentes e de probs iguais, então 1−P(∪^ì=1A_i) =P(∩^ì=1A^c_i)^FKG≥ [1−P(A₁)]^`. LogoP(A1)≥1−[1−P(∪^`_i₌₁Ai)]^1/`.

SejamTn = [0,n]² e

A^e_n:={aglom ∞de L² toca face esq de Tn sem usarelos deTn}. Similar/e: A^d_n,A^c_n e A^b_n, subst esq por dir, sup e inf, resp.

(33)

Dem. Prop 5 (cont)

Suponha queθ(¹₂)>0. Obs 3b, slide 5:

P(existir um aglomerado aberto infinito)= 1.

Segue queP(A^e_n∪A^d_n∪A^c_n∪A^b_n)→1 qdo n→ ∞. Truque da√: P(A^u_n)→1 qdon→ ∞,u =e,d,c,b.

SejaN tq P(A^u_N)>7/8 e P(A^u_N−1)>7/8, u=e,d,c,b.

Seja agoraT_n^∗= [0,n−1] + (1/2,1/2) e

A^e_∗(n) ={aglo∞ deL²∗ toca face esq de T_n^∗ sem usarelos deT_n^∗}. Similar/e: A^d_∗(n),A^c_∗(n) eA^b_∗(n), subst esq p/ dir, sup e inf, resp.

Temos então P(Aû_∗(N)) =P(Aû_N−1)>7/8.

(34)

Dem. Prop 5 (cont)

SejaA=A^e_N ∩A^d_n∩A^c_∗(N)∩A^b_∗(N).

Note que, emA, se houver apenas um aglo∞ em L² e apenas um aglo∞ em L²∗, então os caminhos abertos infinitos à esquerda e à direita deT_N devem se ligar por elos abertos por dentro de T_N^∗ pois por fora os caminhos infinitos abertos acima e abaixo deT_N^∗ bloqueiam a passagem.

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a

b

y π x

(35)

Dem. Prop 5 (cont)

Similarmente, os caminhos infinitos abertos emL²∗ acima e abaixo deT_N^∗ devem se ligar por elos abertos por dentro de T_N. Mas neste caso, as liga¸c˜oes por dentro de T_N e T_N^∗ devem se cruzar, o que ´e imposs´ıvel.

Logo, emAh´a 2 aglos ∞⁰s disj em L² ou 2 aglos∞⁰s disjuntos emL²∗; Teo 2 (unici// do aglo∞): P(A) = 0.

Para o pr´ox result, sejam os seguintes conjs de s´ıtios Λn={x ∈Z² : 0≤x1 ≤n+ 1,0≤x2≤n}

Λ^∗_n={x+ (1/2,1/2),x ∈Z² : 0≤x₁ ≤n,−1≤x₂ ≤n}, e os subgrafos

S_n= Λ_n∪ {elos deE² em Λ_n exc hx,yi com x₁ =y₁= 0 ou x1=y1 =n+ 1} S_n^∗ = Λ^∗_n∪ {elos deE∗² em Λ^∗_n exchx,yi com x2 =y2=−1 ou

x2=y2 =n}

(36)

Cruzamentos horizontais e verticais

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S5 e seu dualS₅^∗

SejaAn={∃caminho aberto emSnligando faces esq e dir}. Proposi¸c˜ao 6. P(An) =¹₂ ∀n

(37)

Dem Prop 6

SejaA^∗_n ={∃ caminho aberto emS_n^∗ ligando faces sup e inf}.

Temos queAn∩A^∗_n=∅, (6)

senão haverá cruzamento entre caminho aberto emSn e caminho aberto deS_n^∗, o que é imposs´ıvel.

Por outro ladoAn∪A^∗_n= Ω. (7)

De fato, suponha queA_n n˜ao ocorra. SejaD o conjunto de s´ıtios deSn alcan¸cados por caminhos abertos a partir da face esq, junto com os elos ligando tais s´ıtios.

Por um fato geom similar ao do slide 12, existe um caminho emL²∗

cruzandoS_n^∗ de cima a baixo, secante apenas a elos de S_n contidos na fronteira deD. Logo este caminho ser´a aberto e A^∗_n ocorre.

(38)

Dem Prop 6 (cont)

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(6) e (7): P(A_n) +P(A^∗_n) = 1.

Mas P(A^∗_n) =P1−p(An):

P(A_n) = 1/2

Obs. A Prop 5⇒ p_c(2)≥ ¹₂. O dec exp da cauda da distr d(o diam d)eC, discutido na 2^a obs do slide 16, junto `a Prop 6

⇒p_c(2)≤ ¹₂, e logop_c(2) = ¹₂.