Aspectos fractais em sistemas complexos

Aspectos Fractais em Sistemas Complexos

Allbens Atman Picardi Faria

Aspectos Fractais em Sistemas Complexos

ALLBENS ATMAN PICARDI FARIA

Orientador: Prof. JOS

EGUILHERMEMOREIRA Co-orientador: Prof. RONALDDICKMAN

Outubro de 2002

Sumario

RESUMO

v

ABSTRACT

vi

INTRODUC~AO

1

I Conceitos Basicos 5

1 Aut^omatos Celulares

7

1.1 Aut^omatos Celulares Determinsticos . . . 7

1.2 Aut^omatos Celulares Probabilsticos . . . 10

1.2.1 Regras de Atualizac~ao . . . 12

1.3 Percolac~ao . . . 15

1.3.1 Percolac~ao Direcionada . . . 18

2 Modelos de Crescimento de Interfaces

21

2.1.1 Numeros Aleatorios . . . 23

2.1.2 Leis de Escala e Leis de Pot^encia . . . 26

2.2 Equac~oes de Crescimento . . . 31

2.2.2 Modelo N~ao-Linear . . . 34

2.2.3 Rudos Correlacionados . . . 36

II Aplicac~oes 40

3 O Modelo de Domany-Kinzel

44

3.1.1 Representac~ao de Interfaces . . . 47

3.1.2 Espalhamento de Danos . . . 51

3.2 Expoentes de Escala . . . 53

3.2.1 Esquemas de Atualizac~ao . . . 54

3.2.2 Prescric~oes Teoricas . . . 57

3.2.3 Resultados . . . 61

3.3 Aproximac~ao de Campo Medio Din^amico . . . 65

3.4 Distribuic~oes Quase-Estacionarias de Probabilidades . . . 68

3.4.1 Aproximac~ao de Um Stio . . . 69

3.4.2 Aproximac~ao de Pares . . . 75

4 PCA com Interac~oes de Tr^es Stios

81

4.2 Teoria de Campo Medio . . . 83

4.2.1 Aproximac~ao de Um Stio . . . 83

4.2.2 Aproximac~ao de Pares . . . 87

4.2.3 Espalhamento de Danos . . . 89

5 Modelo discreto gerador de pers auto-ans de solos

96

5.1 O Modelo . . . 97

5.2 Resultados . . . 101

6 Conclus~oes e Perspectivas

105

Ap^endices

108

A Historico: o Nascimento de uma Nova Ci^encia

109

A.2 Da Termodin^amica a Fsica Estatstica: os Primordios de uma Teoria Pro-babilstica sob a Egide do Determinismo. . . 124

A.3 O Apogeu da Mec^anica Estatstica e o Limiar da Teoria do Crescimento Fractal . . . 132

B Transic~oes de Fase e Fen^omenos Crticos

142

B.2 Expoentes Crticos . . . 148

B.3 Teorias Classicas . . . 151

B.3.1 Teoria Fenomenologica de Landau . . . 151

B.3.2 Teoria de Campo Medio para Sistemas Magneticos . . . 155

B.3.3 A Func~ao Correlac~ao de Pares e a Teoria de Ornstein-Zernike . . . 158

B.4 Modelo de Ising . . . 162

B.5 Escala, Universalidade e o Grupo de Renormalizac~ao . . . 165

B.5.1 Hipotese de Escala para os Potenciais Termodin^amicos . . . 166

B.5.2 Hipotese de Escala para a Func~ao Correlac~ao . . . 168

C.1 Geometria Fractal . . . 173

C.1.1 Dimens~ao Fractal . . . 174

C.1.2 Autosimilaridade e Autoanidade . . . 176

C.1.3 A Geometria de Superfcies Rugosas Auto-ans . . . 180

D Ap^endice D 183 REFER^ENCIAS BIBLIOGRAFICAS . . . 185

Resumo

A teoria do crescimento fractal e um dos mais fascinantes temas que surgiu na Fsica durante a segunda metade do seculo XX, tanto pela interdisciplinaridade das suas apli-cac~oes quanto pelo sucesso da teoria em descrever uma gama diversa de fen^omenos apresentados por sistemas complexos. Neste trabalho, propomos uma sntese do tema a partir do estudo de sistemas simples e de modelos discretos, de modo a constituir um arcabouco teorico suciente para a analise detalhada de problemas aplicados, utilizan-do calculos analticos e simulac~oes. A principal contribuic~ao deste trabalho consiste em utilizar conceitos fractais para analisar o crescimento de superfcies rugosas geradas por sistemas fora do equilbrio. Nesse contexto, introduzimos um metodo alternativo para a identicac~ao de transic~oes de fase a partir da medida de expoentes crticos, possibilitando de maneira natural a vericac~ao de classes de universalidade e classicac~ao de varios tipos de transic~oes. Outra contribuic~ao original e a introduc~ao de um modelo de deposic~ao no qual pode-se escolher tanto a distribuic~ao de tamanhos para as partculas (agregados) quanto a morfologia das mesmas. Inicialmente projetado para simular pers de solos, esse modelo representa uma generalizac~ao para o crescimento de superfcies fractais, o que lhe atribui versatilidade suciente para sua aplicac~ao em varios processos de deposic~ao.

The fractal growth theory is one of the most attractive subjects that arose in the Physics during the second half of the 20th century, as much for the interdisciplinarity of its

applications how much for the success of the theory in describing a wide range of phe-nomena present in complex systems. In this work, we propose a synthesis of the subject from the study of simple systems and discrete models, in order to constitute a theoretic background sucient for a detailed analysis of applied problems, using analytic calcu-lations and simucalcu-lations. The main contribution of this work consists of using fractal concepts to analyze the growth of rough surfaces generated by nonequilibrium systems. In this context, we introduce an alternative method to identify phase transitions using the measure of critical exponents, making possible in natural way the verication of univer-sality classes in these transitions. Another original contribution is the introduction of a deposition model which allows the choice as of the particle (agregate) size distribution as the agregate morfologies. Initially designed for simulate soil proles, this model represents a generalization of the fractal surface growth, what ascribe to it enough versatility to its application in several deposition processes.

Desde sua origem, em meados do seculo XIX, a Fsica Estatstica tem desempenhado um papel fundamental na descric~ao, compreens~ao e concepc~ao dos fen^omenos naturais. Originalmente criada para tratar sistemas onde o numero de variaveis era proibitivamente grande, a disciplina experimentou um notavel desenvolvimento a partir da segunda metade do seculo XX, devido em grande parte ao advento dos computadores. Desde ent~ao, a Mec^anica Estatstica tornou-se a principal ferramenta para lidar com a complexidade em diversos sistemas, e a Simulac~ao computacional se rmou como uma nova ^enfase na Fsica, ao lado da Teoria e do Experimento. Entre os varios conceitos oriundos dos desdobramentos da teoria, alguns causaram um impacto profundo na Fsica e na ci^encia em geral, caso da Geometria Fractal, da Teoria de Escala e do Caos, a ponto de podermos falar de uma verdadeira mudanca de paradigma em curso.

Am de enriquecer esta discuss~ao, apresentamos no Ap^endice A deste trabalho um his-torico da Fsica Estatstica a partir das suas origens, na Termodin^amica e na Teoria Cinetica dos Gases, ate o orescimento dos fractais no nal do seculo XX, apos o apogeu experimentado pela Mec^anica Estatstica com as tecnicas do Grupo de Renormalizac~ao e a Hipotese de Escala e Universalidade. Dessa forma, esperamos deixar claro quais as principais motivac~oes que nos levaram a trabalhar com o tema desta Tese e tornar explcita sua relev^ancia para as demais areas do conhecimento humano, ja que o intuito central desse ap^endice e mostrar o papel historico da Fsica Estatstica na mudanca em nossa concepc~ao da realidade.

Em particular, estaremos interessados na Teoria do Crescimento Fractal, tema que tem despertado um interesse enorme nos ultimos anos, principalmente devido a aplicabilidade desta teoria na descric~ao e analise de fen^omenos fora do equilbrio termodin^amico. Neste trabalho, oferecemos uma sntese do assunto explorando aspectos fractais no crescimento de superfcies rugosas, em processos de deposic~ao de partculas e no estudo de transic~oes de fase em aut^omatos celulares probabilsticos, onde apresentamos os artigos publicados pelo autor, em colaborac~ao com os orientadores, nos ultimos dois anos.

Como e praxe em trabalhos dessa natureza, abordaremos no corpo da Tese apenas as contribuic~oes originais do presente trabalho, deixando para os ap^endices o arcabouco teorico necessario para a plena compreens~ao das aplicac~oes, mas cuja leitura pode ser dispensada pelo leitor ja familiarizado com os topicos abordados. Dessa forma,

tamos nos ap^endices e na primeira parte (Conceitos Basicos) alguns sistemas simples, modelos discretos e equac~oes contnuas, onde o nvel de complexidade permite o apare-cimento de uma diversa gama de comportamentos, como transic~oes de fase de 1a e 2a

ordens, criticalidade auto-organizada e transic~oes de enrugamento. Antes de fazermos a apresentac~ao do corpo da Tese, introduziremos os assuntos abordados pelos ap^endices, am de que o leitor possa avaliar a necessidade ou n~ao da leitura dos mesmos.

No Ap^endice B, apresentaremos um resumo da teoria das Transic~oes de Fase no contexto da Fsica Estatstica do Equilbrio, onde fazemos uma revis~ao dos principais conceitos termodin^amicos envolvidos, com atenc~ao especial para sistemas magneticos. Nesse nte-rim, apresentamos a teoria de Curie-Weiss para o magnetismo e a teoria de Landau para as transic~oes de fase, onde mostramos como o comportamento dos sistemas na criticalidade pode ser descrito por um conjunto de expoentes crticos. Em seguida, apresentamos o modelo de Ising, o primeiro a ser resolvido exatamente em um caso n~ao-trivial e fornecer expoentes crticos compatveis com os valores encontrados em experimentos em sistemas reais. O modelo de Ising se tornou o principal modelo estudado pela Mec^anica Estatstica e o estudo detalhado de suas propriedades na criticalidade levou ao desenvolvimento das leis de escala e do grupo de renormalizac~ao. Dessa forma, ao nal da decada de 1970, a Mec^anica Estatstica foi capaz de fornecer um panorama de classes de universalidade para as transic~oes de fase, alem de um formalismo rigoroso que poderia ser aplicado tanto a problemas no equilbrio quanto fora dele, tal como detalhado na ultima sec~ao desse ap^endice.

Entretanto, este n~ao foi o unico desdobramento da teoria; as estruturas encontradas nos sistemas em seus pontos crticos levou a descoberta de uma nova geometria na natureza, a Geometria Fractal, capaz de descrever com alto grau de delidade tanto as estruturas formadas na criticalidade quanto uma diversidade de formas encontradas na natureza. No Ap^endice C, fazemos um breve apanhado desta geometria, com atenc~ao especial ao estudo de superfcies auto-ans, o tema central das aplicac~oes desta Tese. Esta geometria e intrinsecamente associada a criticalidade e fornece ferramentas essenciais para quanticac~ao e plena compreens~ao dos fen^omenos crticos

Separamos o corpo da Tese em duas partes: na primeira parte apresentamos os conceitos basicos indispensaveis para a total compreens~ao das aplicac~oes, mostradas na segunda parte. No primeiro captulo, apresentamos os aut^omatos celulares, uma classe de modelos intrinsecamente computacionais que possuem um amplo espectro de aplicac~oes, e nos quais se concentra a maior parte das contribuic~oes deste trabalho. Em particular, estaremos interessados no estudo de dois aut^omatos celulares probabilsticos, cuja classe de univer-salidade e a mesma apresentada pela percolac~ao direcionada, tema abordado na ultima sec~ao desse captulo.

No segundo captulo, fazemos um breve estudo dos modelos de crescimento de superfcies, abordando tanto modelos discretos quanto equac~oes contnuas de crescimento, bem como o problema de gerac~ao de numeros aleatorios. Mostraremos que a rugosidade das superfcies

geradas possuem propriedades de escala universais, as quais podem ser associadas a expoentes crticos que governam o comportamento do sistema e caracterizam as diferentes classes de universalidade associadas ao crescimento de superfcies.

Na segunda parte, apresentamos tr^es problemas aplicados onde utilizamos os conceitos e as ferramentas apresentadas nos ap^endices e na primeira parte: o estudo de pers rugosos gerados por aut^omatos celulares probabilsticos, as propriedades quase-estacionarias das transic~oes para o estado absorvente presente nesses modelos e um modelo discreto para simular pers de solos. Como ja dissemos, estes topicos relacionam-se diretamente com os artigos cientcos publicados pelo autor durante o perodo de doutoramento.

No terceiro captulo, fazemos um estudo detalhado do aut^omato celular probabilstico de Domany-Kinzel em uma dimens~ao (DKCA), um dos pricipais modelos da Mec^anica Estatstica Fora do Equilbrio. Em cada uma das tr^es sec~oes desse captulo, exporemos o conteudo de um artigo diferente, iniciando pelo estudo do diagrama de fases do DKCA. Atraves do metodo do expoente de crescimento para identicac~ao de transic~oes de fase, proposto pelo autor em colaborac~ao com o orientador, levantamos o diagrama de fases do DKCA. O metodo consiste em medir o expoente de crescimento associado a representac~ao de interfaces do DKCA que, na criticalidade, possui um maximo cujo valor esta associado a classe de universalidade da percolac~ao direcionada. Alem do expoente de crescimento, pode-se utilizar a representac~ao de interfaces para se determinar os outros expoentes crticos associado ao crescimento de superfcies rugosas auto-ans, que e o objetivo da sec~ao seguinte. Na ultima sec~ao do captulo, mostramos um estudo analtico do DKCA, feito pelo autor em colaborac~ao com o coorientador, onde e apresentado um formalismo para se estudar transic~oes de fase para um estado absorvente em sistemas discretos que apresentam um regime quase-estacionario (caso do DKCA).

No captulo seguinte, estudamos outro aut^omato celular probabilstico unidimensional que pode ser considerado a extens~ao natural do DKCA pois, apesar de apresentar um par^ametro a mais no diagrama de fases, encontra-se na mesma classe de universalidade. Este modelo foi proposto originalmente considerando-se apenas um plano do espaco tri-dimensional de par^ametros; neste trabalho estendemos a analise, esbocando o comporta-mento do rico diagrama de fases do modelo em tr^es dimens~oes, que apresenta transic~oes contnuas e descontnuas, uma linha de pontos tricrticos com um ponto bicrtico terminal e uma transic~ao reentrante para o espalhamento de danos. Algumas das caractersticas descritas foram observadas pela primeira vez em diagramas de fase de aut^omatos celulares e encontram-se em um artigo recentemente submetido para publicac~ao.

No quinto captulo, apresentaremos um modelo de deposic~ao de que considera partculas (agregados) com diferentes tamanhos e morfologias, cuja motivac~ao inicial foi a simulac~ao de pers de solos. Esse trabalho foi publicado apos um curto interc^ambio cientco do autor no Instituto de Geologia da Universidade da Coru~na, Espanha, onde varios projetos experimentais relacionados a esse tema t^em sido desenvolvidos.

Finalmente, apresentamos nossas conclus~oes e perspectivas no captulo nal, onde inclu-mos um eplogo apontando alguns provaveis e outros desejaveis desdobramentos desta

Tese.

Conceitos Basicos

Pre^ambulo

Uma denic~ao simplista, mas bastante disseminada, considera que sistemas complexos s~ao redutveis a subsistemas simples que, quando concatenados, desencadeam um com-portamento coletivo n~ao trivial. Tais subsistemas podem ser id^enticos ou diferentes, frequetemente s~ao conectados de maneira n~ao trivial, podendo se diferenciar em partes, componentes ou estruturas. Exemplos de sistemas complexos s~ao inumeros, e frequete-mente envolvem disciplinas diversas como fsica, biologia, computac~ao, qumica, ci^encias sociais, etc. Utilizando esta denic~ao, faremos nesta primeira parte uma descric~ao sucinta de diferentes topicos dentro da Fsica Estatstica Fora do Equilbrio que,ao lado dos A-p^endices B e C, constituem o arcabouco teorico suciente para a total compreens~ao das aplicac~oes do trabalho.

Os dois captulos seguintes s~ao breves introduc~oes para os assuntos mais intimamente ligados as aplicac~oes da tese; inicialmente, apresentamos os aut^omatos celulares (CA), que se tornaram um dos principais modelos da Fsica Estatstica Fora do Equilbrio, apresentando uma vasta gama de aplicac~oes [183], e que corroborou para a incorporac~ao dos conceitos fractais pelo meio cientco. Em particular, estaremos interessados no estudo dos aut^omatos celulares probabilsticos (PCA's). Finalizamos com uma pequena sec~ao onde apresentamos alguns dos principais conceitos em percolac~ao, sobretudo aqueles relacionados a percolac~ao direcionada.

De fato, pode-se observar que a geometria fractal emerge naturalmente tanto nas imedia-c~oes dos pontos crticos, nos padr~oes formados pelos CA e no aglomerado innito no limiar de percolac~ao, quanto no crescimento de superfcies fora do equilbrio, tema do segundo captulo desta parte. Para abranger os principais conceitos na analise do crescimento de superfcies, apresentaremos os principais modelos discretos, as leis de escala e pot^encia associadas ao comportamento da rugosidade, o limite contnuo descrito pelas equac~oes de crescimento e casos especiais de rudos correlacionados, que fornecer~ao um panorama de classes de universalidade para o crescimento de superfcies rugosas fora do equilbrio.

Captulo 1

Aut^omatos Celulares

Aut^omatos Celulares (CA's) s~ao modelos matematicos simples totalmente discretizados - espacialmente, temporalmente e no numero de estados de cada stio. Os CA's foram propostos por John Von Neummann [175] na decada de 1960, mas se considerarmos o algoritmo utilizado para se obter os coecientes de uma expans~ao binomial, o conhecido \tri^angulo de Pascal", este pode ser considerado o CA pioneiro (vide Figura C.6). Estes modelos apresentam diversas aplicac~oes em diferentes ramos da ci^encia e tecnologia, tais como na Fsica Fora do Equilbrio [184, 166, 46, 167], reac~oes qumicas [91], din^amica de populac~oes [123], computac~ao [135], biologia [165, 183], geologia [147], medicina [190], etc.

O interesse nestas estruturas tem crescido enormemente nos ultimos anos [135], principal-mente devido ao enorme sucesso dos CA's em descrever uma vasta gama de fen^omenos nos mais variados sistemas, pertencentes a diferentes areas do conhecimento [183]. As regras que determinam a evoluc~ao temporal dos CA's s~ao locais, dependendo apenas do estado da vizinhanca de um dado stio e do seu proprio estado. Tais regras podem ser determinsticas ou probabilsticas. Na primeira sec~ao, faremos uma breve analise dos CA's determinsticos que, alem de produzirem estruturas fractais, apresentam os elementos essenciais para a ocorr^encia de um regime caotico. Na sec~ao seguinte e na segunda parte, tratamos dos aut^omatos celulares probabilsticos (PCA's), o tema principal desta Tese. Finalmente, apresentamos na ultima sec~ao um breve estudo sobre percolac~ao, em especial da percolac~ao direcionada, cuja classe de universalidade e a mesma das transic~oes de fase em um dos principais PCA's: o aut^omato de Domany-Kinzel.

1.1 Aut^omatos Celulares Determinsticos

Depois de propostos por von Neumann na decada de 1960, os CA's determinsticos so vieram a ser profundamente estudados por Wolfram [182] em 1983, que classicou os

padr~oes obtidos nesses modelos basicamente em quatro tipos: 1 Evoluc~ao para estado homog^eneo;

2 Evoluc~ao para estados simples separados ou estruturas periodicas; 3 Evoluc~ao para padr~ao caotico;

4 Evoluc~ao para estruturas complexas localizadas.

Wolfram teve o merito de ser o primeiro a demonstrar que um CA pode exibir compor-tamento complexo mesmo com regras locais. Sua classicac~ao demonstra que tais regras podem levar a uma especie de auto-organizac~ao, o que contribuiu inicialmente para uma maior compreens~ao do fen^omeno de formac~ao espont^anea de padr~oes.

De um modo geral, um CA unidimensional consiste em um anel de N stios, onde cada

um deles pode estar em k estados possveis: S = 0

;1;2;3;:::;k 1. Portanto, temos k

N congurac~oes possveis para uma cadeia. Cada congurac~ao ( S

1 ;S

2 ;:::;S

N) pode ser

indexada por um inteiroi. A probabilidade de uma dada congurac~aoievoluir no tempo

e dada por P i(

t), onde t e discreto. A taxa de transic~ao, T

ij, para o sistema estar na

congurac~ao i no tempo t, se no tempo anterior ele estava na congurac~ao j, e denida

por

P i(

t) = k N 1 X j=0 T ij P j(

t 1): (1.1)

A matriz T

ij e denida a partir das regras locais de transic~ao do CA que, em geral,

dependem do estado do stio, S

, e de seus vizinhos.

Nos aut^omatos estudados por Wolfram, esta depend^encia se restringe aos primeiros vizi-nhos T ij = N Y =1

p(S i jS j 1 ;S j ;S j +1) ; (1.2)

onde p(S i jS j 1 ;S j ;S j

+1) e a probabilidade local do stio

estar no estado i dado que

sua vizinhanca estava na congurac~ao j no passo de tempo anterior. Como os CA's s~ao

determinsticos,p= 0 ou 1, de modo tal que cada regra pode ser identicada a um inteiro,

n= k 3 1 X =0 S 0( )k ; (1.3)

onde = S 1

k 2 +

S

k +S

+1 denota a vizinhanca da variavel S

no tempo t e S

0( )

e o valor que a variavel S

toma no tempo

t + 1, se o sistema esta na congurac~ao

(S 1

;S

;S

+1) no tempo t.

Portanto, teremos k k

z

regras possveis para k estados e z vizinhos considerados. Se

con-sideramos somente o estado dos primeiros vizinhos e do proprio stio, em d = 1 e k = 2

existem 22 3

= 256 regras e em cada uma delas o estado estacionario do sistema corresponde a um dos comportamentos enumerados acima. Geralmente, estaremos interessados em regras de transic~ao que obedecam duas propriedades: um estado vazio, (0;0;0), n~ao pode

levar a um estado ocupado, ou seja,p(1j0;0;0) = 0, e as probabilidades de transic~ao devem

ser totalsticas (dependem somente do numero de stios ativos), o que resulta nas simetrias,

p(S 0

j1;0;0) = p(S 0

j0;0;1) = p(S 0

j0;1;0) e p(S 0

j1;1;0) = p(S 0

j0;1;1) = p(S 0

j1;0;1). No

caso de uma regra obedecer estas duas propriedades, dizemos que a regra e legal. Para

k = 2 e z= 3 existem 32 regras legais [183].

Figura 1.1: Classes de CA's determinsticos. Mostramos em cada coluna dois exemplos de CA's na

mesma classe. Em A, temos a evoluc~ao para um estado homg^eneo; em B, evoluc~ao para estados simples ou congurac~oes periodicas; em C formac~ao de pad~oes caoticos e em D, estruturas complexas localizadas. (Retirada de [183].)

Espalhamento de Danos

De maior interesse fsico s~ao os padr~oes que apresentam evoluc~ao para padr~oes caoticos. Para identicarmos se uma dada regra apresenta um regime caotico e preciso considerar a evoluc~ao conjunta de um par de aut^omatos aos quais se aplica o metodo de propagac~ao de danos. Esse metodo consiste em considerar duas replicas de um CA, onde em uma delas e feita uma alterac~ao (dano), uma mudanca nos estados em um certo numero dos stios; a seguir, ambas s~ao colocadas para evoluir no tempo sujeitas a mesma regra e a dist^ancia de Hamming entre os CA's e medida ao longo do tempo,

D H =

N X

i

( i(

t) 0 i(

t)) ; (1.4)

onde

i e o estado do stio i, e

0

i e o estado do mesmo stio na replica. O comportamento

deste par^ametro determina se uma determinada regra leva a um comportamento caotico quando, para tempos longos e N !1, a dist^ancia de Hamming diverge, D

H

!1.

Esse comportamento divergente entre duas replicas id^enticas, onde em uma delas foi feito um pequeno dano, demonstra a sensibilidade do sistema em relac~ao a pequenas utuac~oes nas condic~oes iniciais e e uma das caractersticas mais marcantes apresentada por sistemas caoticos [64, 135]. Nas Figuras 1.1 e 1.2 mostramos exemplos das diferentes classes de aut^omatos e ilustramos o metodo de espalhamento de danos aplicado a duas classes diferentes de aut^omatos.

Figura 1.2: Espalhamento de danos em cada uma das classes mostradas na Figura 1.1. O dano e

provocado alterando-se o estado de um unico stio. Observe que na classe C o dano espalha por todo o sistema, indicando a diverg^encia da dist^ancia de Hamming, o que e esperado em um regime caotico. (Retirada de [183]).

1.2 Aut^omatos Celulares Probabilsticos

Os aut^omatos celulares probabilsticos (PCA's) s~ao processos markovianos discretos, des-critos por um conjunto de variaveis discretas que s~ao denidas em uma rede - um problema completamente discretizado! Dessa forma, os PCA's se adequam perfeitamente para serem estudados por simulac~ao computacional. Antes de denirmos precisamente esta classe de aut^omatos, e necessario que facamos uma breve introduc~ao ao estudo de processos estocasticos markovianos.

A teoria dos fen^omenos estocasticos markovianos e mais um tema extremamente vasto, cujo estudo pormenorizado estaria muito alem do escopo deste trabalho. Recentemente, Tome e Oliveira [167] publicaram um otimo trabalho abordando criteriosamente este tema, e que sera a principal refer^encia utilizada nas sec~oes seguintes. Um processo markoviano e aquele onde a probabilidade de que um dado sistema esteja em um estado (y

n ;t

n) depende

apenas do estado do sistema no instante anterior, (y n 1

;t

n 1). Dessa forma, um processo

markoviano corresponde ao limite de um processo estocastico, como mostrado a seguir. Um processo estocastico ca completamente determinado pela distribuic~ao de probabi-lidades conjunta, P

l( n

0 ;n

1 ;:::;n

l), onde y

t = n

0 para

t = 0, n 1 para

t = 1, e assim

sucessivamente. Uma variavel aleatoria que depende de um par^ametro t e chamada de

estocastica se t corresponde ao tempo. No caso do tempo ser tomado como discreto, a

variavel estocastica correspondente tambem sera discreta. A probabilidade condicional,

P l +1(

n l +1

jn 0

;n 1

;:::;n

l), indica a probabilidade de que a variavel estocastica y

nassuma o

valorn

l +1 em

t=l+ 1 dado que, nos instantes anteriores t 0

;:::;t

l, ela tenha assumido os

valoresn 0

;::;n

l. No caso em que esta probabilidade se reduzir a probabilidade condicional P

l +1( n

l +1 jn

l), ent~ao o processo estocastico e denominado markoviano.

Os PCA's tambem podem ser classicados como sistemas irreversveis com estados ab-sorventes. Em sistemas irreversveis, o estado estacionario do sistema n~ao possui re-versibilidade microscopica, e portanto, n~ao obedece ao princpio do balanco detalhado, encontrando-se fora do equilbrio termodin^amico. Ha pelo menos duas especies de sistemas irreversveis estudados na literatura, aqueles que possuem simetria de invers~ao e os com um estado absorvente. No primeiro caso, os sistemas s~ao invariantes a invers~ao dos estados

i

!

i, aplicada a todos os stios da rede; esse e o caso do modelo de Glauber-Ising e,

segundo o princpio da universalidade do ponto crtico, irreversveis ou n~ao, modelos com uma mesma simetria devem pertencer a mesma classe de universalidade e apresentar o mesmo comportamento na criticalidade. Entre os sistemas irreversveis com simetria de invers~ao mais estudados [166] est~ao o modelo do votante, o modelo do votante majoritario e o modelo de Glauber irreversvel, que apresentam as mesmas propriedades universais independentemente dos detalhes microscopicos, desde que as regras sejam locais e de curto alcance.

No caso de sistemas irreversveis com um estado absorvente, as taxas de transic~ao violam o princpio do balanco detalhado, uma vez que a transic~ao do estado absorvente para qualquer estado e proibida. Portanto, a irreversibilidade e a natureza fora do equilbrio s~ao caractersticas intrnsecas a estes modelos, que tampouco podem ser descritos por hamiltonianos. De um modo geral, os sistemas considerados s~ao denidos em uma rede onde cada stio esta associado uma variavel estocastica

i, que pode assumir

k valores.

Uma congurac~ao do sistema e denotada por = ( 1

; 2

;:::;

L), considerando-se uma

rede comLstios. Existem dois tipos de din^amica para a atualizac~ao dos estados em cada

stio: a atualizac~ao sequecial, ou assncrona, onde a cada intervalo curto de tempo no maximo um stio da rede tem seu estado atualizado, e a atualizac~ao paralela, ou sncrona, onde a cada passo de tempo todos os stios da rede possuem seus valores atualizados. Entre os modelos de atualizac~ao assncrona mais estudados est~ao o processo de contato [77], o modelo de Schogl [151], associado a reac~oes qumicas com um estado absorvente. modelos de din^amica de populac~oes [167] e modelos com multiplos estados absorventes, como o processo de contato por pares [40]. No caso da atualizac~ao sncrona, os principais modelos estudados s~ao os aut^omatos celulares probabilsticos (PCA's).

Os PCA's t^em sido amplamente utilizados para simular os mais variados sistemas, abran-gendo disciplinas diversas como biologia, computac~ao, fsica, qumica, ci^encias sociais, etc. [46, 183, 190]. De um modo geral, os PCA's apresentam um grande sucesso em descrever fen^omenos em todas estas areas, caracterizando-se como um dos modelos fundamentais para descrever sistemas complexos. Na subsec~ao seguinte apresentaremos os modelos que

estudaremos em detalhes nas aplicac~oes da IIa parte.

1.2.1 Regras de Atualizac~ao

Ja vimos que aut^omatos celulares s~ao modelos denidos na rede, onde cada stio pode estar emk estados. No caso mais simples, k = 2 e

i = 0(1). Os estados de cada stio s~ao

atualizados de forma sncrona e obedece regras determinsticas, conforme ja apresentamos. No caso dos aut^omatos celulares probabilstico (PCA's), as regras de atualizac~ao s~ao probabilsticas, e o estado de cada stio depende apenas do estado de seus vizinhos no passo de tempo anterior (processo markoviano).

A atualizac~ao sncrona do sistema impossibilita-nos escrever uma equac~ao mestra para um PCA, mas podemos descrever a evoluc~ao temporal do sistema atraves da distribuic~ao de probabilidadesP() de uma dada congurac~ao . No passo de tempo `, teremos

P `+1( ) = X 0

W( j 0) P `( 0) ; (1.5)

onde W(j

0) e a probabilidade condicional de ocorrer a transic~ao

0

! entre duas

congurac~oes do sistema e possui as propriedades, W(j 0)

0 e P

W(j 0) = 1.

Para uma rede com N stios, considerando que a atualizac~ao sncrona e simult^anea e

independente para todos os stios, teremos

W(j 0) =

N Y i=1 ! i( i j

0) (1.6)

onde ! i(

i

j

0) e a probabilidade condicional de transic~ao para o estado

i dado que

o sistema se encontrava na congurac~ao

0 no passo anterior. Desse modo, determinar !

i(

i j

0) e condic~ao necessaria e suciente para se denir um PCA.

Neste trabalho, estaremos interessados em estudar dois diferentes PCA's: no aut^omato celular de Domany-Kinzel (DKCA), o estado

i depende apenas dos estados de seus

primeiros vizinhos no instante imediatamente anterior, ! i(

i

j 0) =

! DK( i j 0 i 1 ; 0 i+1).

Ja no caso do PCA com interac~oes de tr^es stios, o proprio nome revela a natureza das taxas: !

i(

i j

0) = ! 3s( i j 0 i 1 ; 0 i ; 0 i+1). DKCA

Domany e Kinzel [46] introduziram os aut^omatos celulares probabilsticos em 1984, con-siderando que as variaveis aleatorias discretas

i poderiam assumir dois valores, tal como

nos aut^omatos estudados por Wolfram [183]. Os autores introduziram taxas de transic~ao probabilsticas,!

i(

i j

0) = !

DK(

i j

0 i 1

; 0

i+1) e que assumem uma forma totalstica, p

0

!(1j00) = 0; p

1

!(1j10) =!(1j01); (1.7)

p 2

!(1j11) :

Obviamente, ! DK(0

j 0 i 1

; 0

i+1) = 1 !

DK(1 j

0 i 1

; 0 i+1).

Dependendo dos valores de p 1 e

p

2, o DKCA pode apresentar no regime estacionario

tanto um estado absorvente, onde todos os stios est~ao \congelados" no estado 0, quanto pode permanecer indenidamente com uma densidade de stios ativos no estado 1. Desse modo, o DKCA apresenta uma transic~ao de fase contnua, mesmo para d = 1, entre as

fases congelada e ativa. Ao lado do processo de contato, o DKCA e um dos modelos

mais estudados na Mec^anica Estatstica Fora do Equilbrio, possuindo todos os elementos basicos para irreversibilidade. O modelo possui regras locais de curto alcance, tal como o modelo de Ising, mas diferencia-se exatamente por possuir uma transic~ao de fases em

d= 1.

O par^ametro de ordem do modelo e a densidade de stios ativos que, na criticalidade, apresenta um comportamento do tipo lei de pot^encia,

(p c

p)

; p!p + c

; (1.8)

onde '0:273 e o mesmo valor encontrado na classe de universalidade da percolac~ao

direcionada (DP), que apresentaremos na sec~ao 1.3. Esse valor e encontrado ao longo de toda a linha de transic~ao para o estado absorvente no DKCA, exceto no ponto terminal (p

2 = 1 ;p

1 = 1

=2) [46, 43]. Nesse ponto, o sistema pertence a classe de percolac~ao

direcionada compacta (CDP) e = 0, indicando uma transic~ao descontnua. Os expoentes

crticos da classe DP n~ao s~ao conhecidos exatamente, enquanto a classe CDP possui resultados exatos [93].

Inicialmente, a caracterizac~ao do DKCA era feita estudando-se o espalhamento de ati-vidade a partir de uma unica fonte, que e associado a tr^es expoentes crticos; o numero medio de stios ativos, n, comporta-se com

nt

; (1.9)

onde ' 0:314 para a DP e 0 para a CDP. A probabilidade de sobreviv^encia, P(t),

comporta-se com

P(t)t

; (1.10)

onde '0:159 para a DP e = 1=2 para a CPD. Finalmente, o espalhamento de stios

ocupados em torno da origem e descrito por

R 2

t

; (1.11)

onde = 1:279 para a DP e = 1 para a CDP. Dessa forma, para a CDP, a evoluc~ao

dos aut^omatos na criticalidade leva a formac~ao de domnios compactos, cujas fronteiras executam caminhadas aleatorias sem tende^encia [46, 93, 43]. Na Figura 1.3 mostramos algumas realizac~oes do DKCA no ponto crtico (p

2 = 1 ;p

1 = 1 =2).

Figura 1.3: Espalhamento a partir de uma unica fonte para o DKCA, p 2=1 e

p

1=1/2. Mostramos

quatro realizac~oes diferentes, considerando diferentes sementes para a gerac~ao da sequ^encia de numeros aleatorios para a mesma condic~ao inicial. Note que a terceira amostra revela o comportamento da fronteira entre os domnios como uma caminhada aleatoria, que eventualmente, pode se colapsar como nas outras amostras.

O DKCA tambem apresenta uma fase caotica, associada ao espalhamento de danos envolvendo um par de aut^omatos. Essa e outras particularidades desse modelo ser~ao estudadas na proxima parte, onde abordaremos o DKCA bem mais detalhadamente utilizando uma abordagem alternativa.

PCA com interac~oes de 3 stios

Outro PCA que tem despertado interesse recente, e pode ser considerado como a extens~ao natural do DKCA, e o modelo proposto originalmente por Bagnoli et al. [15]. Neste

modelo, ! i(

i

j 0) =

! 3s(

i

j 0 i 1

; 0 i

; 0

i+1), e novamente !

3s assume a forma totalstica, p

0

!(1j000) = 0;

p 1

!(1j100) =!(1j010) =!(1j100); (1.12)

p 2

!(1j110) =!(1j101) =!(1j011); p

3

!(1j111):

Como no DKCA, a densidade de stios ativos desempenha o papel do par^ametro de ordem, porem neste caso o sistema apresenta um grau consideravelmente maior de complexidade, ja que o diagrama de fases depende de tr^es par^ametros. Para p

3 = 1, Bagnoli et al.

[15] demonstraram que o aut^omato apresenta transic~oes de primeira e segunda ordens, dois estados absorventes e um ponto bicrtico. No presente trabalho, apresentamos um estudo mais detalhado deste PCA, onde abordamos tambem o caso p

3 = 0, que

apresenta uma transic~ao caotica reentrante, e demonstramos a exist^encia de uma linha de pontos tricrticos no espaco de par^ametros tridimensional (p

1 ;p

2 ;p

3). Esses resultados

se encontram em um artigo recentemente submetido para publicac~ao [11].

1.3 Percolac~ao

Percolac~ao signica, literalmente, passagem de agua atraves de um meio poroso. Do mesmo modo que a difus~ao, a percolac~ao pode ser descrita por modelos estocasticos [167], porem ha uma diferenca essencial quanto a localizac~ao da aleatoriedade: enquanto na difus~ao um udo aleatorio propaga-se em um meio determinstico, na percolac~ao um udo determinstico escoa em um meio aleatorio.

No contexto de meios binarios desordenados, a percolac~ao esta associada a varios proces-sos. Em todos eles, observamos a presenca de microestruturas formadas por aglomerados de stios em um dado estado, cercados por aglomerados em outros estados, distribudos aparentemente de maneira aleatoria para um observador macroscopico. Como exemplos de tais sistemas podemos citar sistemas compostos por duas especies [162] (misturas binarias, reac~oes qumicas), superfcies catalticas adsorventes, misturas de materiais isolantes e condutores (onde ha uma transic~ao entre um comportamento global isolante ou condutor), sistemas lacunares modelando sistemas porosos ou superfcies rugosas [128], geis polimericos [117], din^amica de populac~oes [20], propagac~ao de doencas [165], fraturas [120, 75], propagac~ao de inc^endios em orestas [19], etc.

Uma congurac~ao do sistema e denida pelo conjunto de stios ocupados em uma rede com N stios. Chamando de = (

1 ;:::;

N) uma dada congurac~ao, cada stio tem uma

probabilidadepde estar no estado

j = 1, e

q 1 pde estar no estado

j = 0. Portanto,

a probabilidade de uma dada congurac~ao ocorrer e dada por,

P() =p n

q N n

; (1.13)

onde n, o numero de stios ocupados.

Supondo uma sequ^encia de congurac~oes para um p xo, no limite N ! 1 a lei (forte)

dos grandes numeros arma que a concentrac~ao de stios,

n N

=X

j

j ;

coincide quase com certeza com a probabilidade de ocupac~aop. Por outro lado, o teorema

do limite central garante que as utuac~oes s~ao da ordem N

1=2. A media de uma func~ao

de estado f e dada por,

hfi= X

f()P(): (1.14)

Denominamos por limite de percolac~ao o limiar que separa dois comportamentos distintos do sistema; acima deste limite uma fase percola por todo o sistema enquanto abaixo dele n~ao ha percolac~ao. Considerando-se sistemas discretos, podemos classicar em quatro os tipos de percolac~ao:

Percolac~ao de stios - neste caso, cada stio possui uma probabilidadep de estar

ocupado, e 1 pde estar vazio. Cada stio e estatisticamente independente dos outros

e existe um valor crtico, p

c, acima do qual uma fase percola por todo o sistema,

correspondendo ao \aglomerado innito" formado pela uni~ao de stios ocupados primeiros vizinhos entre si.

Percolac~ao de ligac~oes - neste caso, a ligac~ao entre dois stios estara presente

com probabilidade p

b e ausente com probabilidade 1 p

b; as ligac~oes s~ao id^enticas

entre si e estatisticamente independentes. Acima de p c

b, ha um caminho de ligac~oes

presentes conectando stios primeiros vizinhos que estende-se por todo o sistema.

Percolac~ao de stios e ligac~oes - este caso e a combinac~ao dos dois casos

consi-derados acima.

Percolac~ao direcionada - pode ser denida do mesmo modo que a percolac~ao

de stios, ligac~oes, ou de stios e ligac~oes, porem as conex~oes so s~ao permitidas se possurem uma orientac~ao pre-denida.

Enquanto a percolac~ao de stios e adequada ao estudo de processos de contagio ou para modelar sistemas adsorventes, os outros tipos de percolac~ao s~ao mais adequados para a descric~ao de fen^omenos de transporte [102]. O modelo de percolac~ao direcionada e largamente utilizado, e suas aplicac~oes se estendem desde fen^omenos de invas~ao de um udo em meio poroso ate redes neurais [81]. A diferenca entre a percolac~ao direcionada e

a percolac~ao de ligac~oes pode ser facilmente compreendida se considerarmos uma rede de resistores aleatoriamente distribudos em uma malha quadrada; nesse caso, podemos ter a percolac~ao de ligac~oes; se substituirmos os resistores por diodos, teremos a percolac~ao direcionada [102].

Aglomerados e o limite de percolac~ao

Um aglomerado e denido como um conjunto conexo de stios ativos, formado exclu-sivamente por conex~oes entre primeiros vizinhos. (Note que uma conex~ao e denida diferentemente para cada um dos tipos de percolac~ao). Por denic~ao, um stio ocupado isolado e considerado um aglomerado de tamanho unitario.

Considerando uma rede innita, o limite de percolac~ao e associado ao valor crtico da concentrac~ao, p

c, acima do qual um aglomerado de tamanho innito percola no sistema.

O valor de p

c depende do tipo de percolac~ao que estamos considerando, da dimens~ao de

imers~ao do sistema e da geometria utilizada para se construir a rede.

Desse modo, e facil concluir que o par^ametro de ordem do sistema e a probabilidade de um stio pertencer ao aglomerado innito, P. Chamando de

s a probabilidade de um

stio pertencer a um aglomerado de tamanho s, exceto o aglomerado innito, teremos X

s

s+

q+P = 1 : (1.15)

Obviamente, P 1 s=1

s +

P = p. Portanto, para p < p

c, o par^ametro de ordem e nulo, P = 0, enquanto para p > p

c,

P > 0. Na criticalidade, o par^ametro de ordem diverge

como esperado,

P(p)(p p c)

:

No caso unidimensional, um pouco de abstrac~ao permite-nos concluir que p

c = 1, ou

seja, basta que exista um stio vazio para destruir o aglomerado innito! Outro caso onde podemos obter o ponto crtico exatamente e na arvore de Cayley. Essa construc~ao equivale a um sistema com dimensionalidade innita e esta soluc~ao e conhecida como a aproximac~ao de campo medio para a percolac~ao [162]. Na tabela 1.1 apresentamos os valores obtidos para os expoentes crticos nesta aproximac~ao (limite Classico), bem como os resultados simulacionais para redes com dimens~oes menores. Os valores classicos para os expoentes s~ao validos para sistemas com dimens~oes superiores a dimens~ao crtica da percolac~ao,d

c= 6 [162]).

Na Tabela 1.1, alem do expoente associado ao par^ametro de ordem, mostramos o

expoente , associado a diverg^encia do comprimento de correlac~ao. Na percolac~ao, o

Tabela 1.1: Expoentes crticos para a percolac~ao em diferentes dimens~oes (Retirada de [167]).

Expoente d= 2 d= 3 Classico

0.139 0.41 1

1.333 0.88 0.5

comprimento de correlac~ao e proporcional a extens~ao linear dos aglomerados do sistema. Obviamente, a medida que nos aproximamos do limiar de percolac~ao o comprimento de correlac~ao aumenta ate atingir o tamanho do sistema (aglomerado innito).

Estrutura fractal e universalidade da percolac~ao

O aglomerado crtico no limite de percolac~ao e uma estrutura na qual todas as noc~oes introduzidas pela geometria fractal podem ser explicitamente observadas, como a lacuna-ridade em todas as escalas, a autosimilalacuna-ridade e estrutura ramicada. A dimens~ao fractal do aglomerado pode ser relacionada aos expoentes crticos a partir da relac~ao [1]

D=d

(1.16)

onde D e a dimens~ao fractal e d a dimens~ao de imers~ao. Esta relac~ao revela uma

hiper-universalidade para a percolac~ao, uma vez que ela e valida para qualquer classe de universalidade dos expoentes.

Desse modo, tr^es diferentes nveis de universalidade est~ao presentes na percolac~ao [102], (i) o limite de percolac~ao e independente da interpretac~ao fsica dada para ele, mas

depende da geometria da rede, da dimensionalidade e do tipo de percolac~ao; (ii) os expoentes crticos dependem apenas da dimens~ao da rede;

(iii) as relac~oes entre os expoentes crticos podem ser utilizadas sempre que lidamos

com um sistema de percolac~ao (isto e, estados discretos, binarios e n~ao acoplados), e em qualquer dimens~ao.

1.3.1 Percolac~ao Direcionada

A classe de universalidade da percolac~ao direcionada aplica-se a uma vasta gama de sistemas, como inc^endios em orestas [19], propagac~ao de doencas, quebra da rigidez dieletrica, impurezas em solidos, ate mesmo a formac~ao de galaxias [117], e conjectura-se que varias transic~oes de fase est~ao dentro desta classe, como as transic~oes de espalhamento de danos [68] e transic~oes para um estado absorvente, como o modelo de Domany-Kinzel [46].

Nesta subsec~ao, iremos considerar um modelo de percolac~ao direcionada construdo a partir da percolac~ao de stios e ligac~oes, tal como o descrito por Tome e Oliveira [167]. Cada stio pode estar ocupado com uma probabilidadep, e possui probabilidade 1 p de

estar vazio, enquanto uma ligac~ao entre dois stios tem probabilidadeq de estar presente,

e 1 q de estar ausente. O nome percolac~ao direcionada (ouorientada) deve-se ao fato de

somente considerarmos conex~oes que obedecam uma determinada orientac~ao pre-denida. Segundo esta orientac~ao, podemos dividir uma rede em \camadas" de modo que uma ligac~ao somente estara aberta se conectar stios em camadas diferentes; no caso de stios

situados em uma mesma camada, a ligac~ao estara sempre fechada.

Desse modo, dois stios s~ao conexos se est~ao ativos, a ligac~ao entre eles esta presente e pertencerem a camadas diferentes do sistema. Deniremos uma variavel,

l i, que indica a

probabilidade do stioina camadal esteja conectado com a camada 0 por um caminho de

ligac~oes abertas:

l i = 1 no caso do stio pertencer ao aglomerado, e

l i = 0 caso contrario.

Denominando porP l(

) a distribuic~ao de probabilidades para uma congurac~aoocorrer,

podemos determinar as probabilidades marginaisP l(

i) atraves da seguinte relac~ao, (onde

consideramos apenas os dois primeiros vizinhos),

P l +1(

i) =

X 0 i X 0 i+1 !( i j 0 i 1 ; 0 i+1) P l( 0 i 1 ; 0 i+1) : (1.17)

Dessa maneira, !(1j11) e interpretada como a probabilidade condicional de um stio

da camada l estar conectado com a origem por um caminho de ligac~oes abertas entre

primeiros vizinhos. Evidentemente, !(1 j 11) esta associada ao par^ametro de ordem.

Podemos escrever,

!(1j11) = 2pq(1 q) +pq 2 =

pq(2 q): (1.18)

Do mesmo modo, !(1j10) = !(1j01) = pq. Obviamente, !(1j00) = 0, pois um stio

so esta conectado a um stio da camada 0 se pelo menos um de seus primeiros vizinhos tambem estiver. No limitel!1, a grandezaP

l(

) representa a probabilidade de ocorrer

o aglomerado innito: se P

l = 1, ha percolac~ao; caso P

l = 0, n~ao ha percolac~ao.

Notamos que a percolac~ao direcionada pode ser exatamente mapeada no DKCA se zer-mos as seguintes associac~oes,

p 1 =

pq ; p

2 =

pq(2 q): (1.19)

As transformac~oes inversas s~ao q = (2p 1

p 2)

=p 1 e

p = p 2 1

=(2p 1

p

2), e n~ao ha uma

correspond^encia biunvoca entre elas, ja que o aut^omato de Domany-Kinzel e mais a-brangente. Dois casos particulares de interesse s~ao a percolac~ao de stios, q = 1, que

corresponde a linhap 2 =

p

1 do DKCA, e a percolac~ao de ligac~oes,

p= 1, que corresponde

a linhap 2 = 2

p 1

p 2 1.

Devido a orientac~ao preferencial das ligac~oes, os aglomerados formados na percolac~ao direcionada apresentam dois comprimentos de correlac~ao caractersticos, um paralelo a orientac~ao das ligac~oes,

k, e outro perpendicular,

?. Como na percolac~ao tradicional,

esses comprimentos de correlac~ao divergem a medida que se aproximam do limite de percolac~ao, sendo governados por dois expoentes crticos,

?

jp p c

j

?

; (1.20)

k

jp p c

j

k

; (1.21)

onde os expoentes ?e

kreferem-se as direc~oes perpendicular e paralela, respectivamente.

Novamente, n~ao ha soluc~ao exata para este modelo, e os resultados numericos de expans~oes em serie fornecem [85],

k = 1

:73383(3) e ? = 1

:09684(2). Pode-se demonstrar que

o aglomerado innito no limite da percolac~ao direcionada e um fractal auto-am cujo expoente de Hurst e dado por H =

? =

k

0:63261(3) [146, 4].

Captulo 2

Modelos de Crescimento de Interfaces

De um modo geral, os modelos de crescimento de superfcies podem ser classicados em quatro tipos [170], todos eles considerando o crescimento de estruturas formadas por partculas id^enticas:

A) Modelos de Crescimento Local - correspondem aos modelos de percolac~ao invasiva

[33], gelac~ao [74] e caminhadas aleatorias [170]. Nestes modelos as regras s~ao locais, dependendo apenas da vizinhanca onde sera depositada a partcula, e geralmente formam estruturas fractais autosimilares com grande lacunaridade;

B) Modelos Limitados por Difus~ao - nestes modelos as regras de deposic~ao s~ao n~ao locais

e apresentam depend^encias espaciais de longo alcance. Nessa classe de modelos a equac~ao de Laplace e obedecida e as estruturas fractais formadas apresentam grande complexidade e muitas ramicac~oes, sendo apropriados para descric~ao de processos fora do equilbrio tais como agregac~ao [170, 117], crescimento de tumores [58], rompimento dieletrico [130], etc.

C) Estruturas Auto-Ans - correspondem aos crescimento de interfaces apresentados neste

captulo, onde veremos em detalhe os principais modelos de crescimento e uma abordagem analtica usando equac~oes de crescimento [13];

D) Agregac~ao de Aglomerados - nesse caso, os modelos consideram partculas que podem

se difundir na rede; a medida que as partculas se encontram formam-se aglomerados que crescem continuamente. O principal exemplo nesta classe e a agregac~ao coloidal [170, 117]. Neste captulo apresentaremos os conceitos fundamentais para analisar o comportamento de uma interface durante seu crescimento. Inicialmente, consideraremos modelos discretos simples, que nos permitir~ao introduzir os principais conceitos para se analisar o cresci-mento de superfcies do ponto de vista simulacional, como o comportacresci-mento do tipo lei de pot^encia e de escala e o problema de se gerar uma sequ^encia de numeros aleatorios sucientemente grande em simulac~oes. A seguir, apresentaremos uma analise analtica do problema considerando equac~oes contnuas de crescimento. Finalmente, veremos modelos de crescimento com rudos correlacionados, que resultam em outras classes de universali-dade.

De fato, veremos que as equac~oes de crescimento nada mais s~ao do que equac~oes de Langevin, e poderemos usar argumentos de escala e calculos analticos para obter os expoentes crticos. Desse modo, ao nal do captulo teremos um panorama de classes de universalidade, que nos sera util para a analise dos proximos captulos.

2.1 Modelos Discretos

O primeiro modelo que iremos considerar, e o mais simples de todos, e a Deposic~ao Aleatoria (DA); a partir de uma rede unidimensional nita, com L stios indexados por i = 1;2;:::;L, faremos uma deposic~ao de partculas escolhendo aleatoriamente a posic~ao

em que cada uma delas sera depositada. Suporemos ainda que as partculas possuem baixa energia, isto e, uma partcula se xa exatamente no stio sorteado, independente daquela posic~ao corresponder a um maximo ou mnimo local de energia. Considerando este modelo de deposic~ao, queremos saber como se comporta a interface a medida que aumentamos o numero de partculas depositadas.

No Ap^endice C apresentamos os principais par^ametros utilizados para caracterizar uma interface, denidos pelas relac~oes (C.9) a (C.11). A rugosidade e o principal par^ametro utilizado para avaliar o comportamento temporal das correlac~oes espaciais dentro do sistema. No modelo de deposic~ao aleatoria, como as partculas s~ao depositadas em stios escolhidos aleatoriamente, n~ao existem correlac~oes espaciais ou temporais durante a deposic~ao. Desse modo, devido a aus^encia de tend^encias na deposic~ao, esperamos que a rugosidade creca indenidamente obedecendo uma lei de pot^encia em relac~ao ao tempo da formaw

2

t, ondewe a rugosidade eto tempo, indicando que a vari^ancia na distribuic~ao

de alturas cresce linearmente com o tempo. Na Figura 2.1 mostramos a evoluc~ao dos pers gerados, exemplicando claramente o aumento da rugosidade com o tempo.

Outros dois par^ametros importantes para a caracterizac~ao de interfaces s~ao o coeciente de assimetria (skewness- S) e a curtose (kurtosis - K), denidos pelas relac~oes,

S(L;t) = W

3( L;t) W

3=2 2 (

L;t)

; (2.1)

K(L;t) = W

4( L;t) W

2 2(

L;t)

; (2.2)

onde os momentos W n(

L;t) s~ao denidos pela relac~ao C.10.

Para uma distribuic~ao gaussiana, tanto o coeciente de assimetria como a curtose s~ao nulos. Para o coeciente de assimetria este valor e o esperado, ja que e notoriamente conhecido que a distribuic~ao gaussiana e simetrica em relac~ao a sua media, portanto, todos

0 50 100 150 200 250 i

0 1000 2000 3000 4000 5000

h(i)

Figura 2.1: Pers gerados pela deposic~ao aleatoria em um substrato comL=256. A cada 100 passos

a cor das partculas e trocada.

seus momentos mpares s~ao nulos. Ja a curtose esta relacionada a forma do decaimento da distribuic~ao em relac~ao a media e e facil mostrar que e nula para uma distribuic~ao gaussiana [167]; de fato, na distribuic~ao gaussiana todos os cumulantes s~ao nulos para

n>2.

Voltemos agora ao problema original; considerando um tamanho de rede xo, digamos

L = 1024, podemos fazer um algoritmo e simular a deposic~ao aleatoria de um grande

numero de partculas, digamos 1010partculas, e vericar o comportamento da rugosidade,

do coeciente de assimetria e da curtose. Esse sera o objetivo da proxima sec~ao.

2.1.1 Numeros Aleatorios

Ao considerarmos o problema da deposic~ao aleatoria, passamos pela quest~ao de se escolher aleatoriamente a posic~ao em que cada partcula sera depositada, a cada instante de tempo. Para isso, um algoritmo simples seria o seguinte:

(i) sortear um numero aleatoriamente dentro do intervalo [0;1);

(ii) multiplicar o numero aleatorio pelo tamanho da rede;

(iii) depositar a partcula no stio correspondente.

Esta operac~ao pode ser repetida tantas vezes quanto for o numero desejado de partculas depositadas. Entretanto, n~ao e trivial gerar uma sequ^encia descorrelacionada de numeros aleatorios, t~ao grande quanto se queira.

Existem diversas maneiras de se criar rotinas para gerac~ao de numeros aleatorios e os principais fatores que devem ser levados em considerac~ao para escolher determinada rotina

100 102 104 106 108 1010 particulas depositadas

10-2 10-1 100 101 102 103

w(L,t)

0 2e+09 4e+09 6e+09 8e+09 1e+10

0 200 400 600 800

β=0.5047(9)

Figura 2.2: Evoluc~ao da rugosidade para a deposic~ao aleatoria em um substrato com L=1024 stios

usando a rotina tipo I n+1

= AI n

+B, em escala logartmica. No detalhe, a mesma curva em escala

linear. Note que o perodo do gerador e exatamente2 31

'2:1510 9.

s~ao o custo computacional para gerar uma sequ^encia (o tempo gasto para produzi-la) e o limite de conabilidade do gerador (perodo dentro do qual a sequ^encia produzida e realmente aleatoria). Neste trabalho, optamos por utilizar um gerador bastante rapido (baixo custo computacional), que considera uma rotina do tipo

I n+1=

AI n+

B ; com A= 843314861 e B = 453816693;

onde I

n e um numero inteiro positivo, I

n+1 e o proximo numero da sequ^encia e A e B s~ao chamados de numeros magicos [159]. Esses numeros magicos est~ao

relaciona-dos a quantidade de numeros inteiros que um computador e capaz de fornecer. Nossos computadores disp~oem de 32 bits de memoria para a operac~ao com inteiros e optamos por utilizar a linguagem de programac~ao C; portanto, temos a disposic~ao 231 numeros

inteiros. Com esse par de numeros magicos, a rotina acima sorteia cada um dos 231

numeros disponveis exatamente uma vez antes que a sequ^encia volte a se repetir. Desse modo, se vericarmos o comportamento da rugosidade para a DA com este gerador, obteremos uma curva analoga a mostrada na Figura 2.2.

Na Figura 2.2 observamos que a rugosidade cresce comt

1=2 ate aproximadamente metade

do perodo do gerador. Portanto, uma sequ^encia de numeros aleatorios gerada por esta rotina tem seu limite de conabilidade igual a aproximadamente 10

8 numeros. Para

contornar esta limitac~ao, ha dois caminhos possveis: pode-se escolher uma outra rotina para gerar numeros aleatorios, mais custosa computacionalmente, mas que forneca um limite de conabilidade maior, ou utilizar a mesma rotina trocando-se periodicamente a semente para que a sequ^encia recomece em outro ponto. A decis~ao de escolher um outro caminho dependera da quantidade de numeros a serem gerados e do custo adicional do novo gerador por cada numero gerado.

103 104 105 106 107 108 109 1010 particulas depositadas

10-1 100 101 102 103 104

w(L,t)

simulacao y = t1/2

regressao linear (lei de potencia)

1 2e+09 4e+09 6e+09 8e+09 1e+10

0.0

β=0.48837(15)

Figura 2.3: Evoluc~ao da rugosidade para a deposic~ao aleatoria para uma unica amostra, usando uma

rotina mista, em escala logartmica. Alem dos dados simulacionais (linha cheia) mostramos a regress~ao linear (linha tracejada) e a curva y = t

, onde

=1/2, deslocada para cima para melhor comparac~ao

com os dados. No detalhe, as mesmas curvas em escala normal, sem deslocamento. Note que a inclinac~ao fornecida pela regress~ao e ligeiramente menor que 1/2, indicando que o artifcio de realizar trocas periodicas de semente n~ao impede totalmente o desenvolvimento de correlac~oes para um numero muito grande de partculas(10

9 ).

aleatorios [144, 160], mas, sistematicamente essas rotinas alternativas s~ao muito mais lentas que a ja citada para a gerac~ao de cada numero. Desse modo, optamos pelo segundo caminho, fazendo uma troca de semente na rotina a cada 107numeros sorteados, ou seja, a

cada 107 partculas depositadas a semente I

n usada no algoritmo de gerac~ao de numeros

aleatorios e substituda aleatoriamente por outra, usando um segundo algoritmo. Este novo algoritmo e do tipo I

n+1 = CI

n, onde

C = 65539 e um outro numero magico; este

algoritmo possui um limite de conabilidade cerca de 10 vezes menor que o primeiro. Na Figura 2.3 mostramos o comportamento da rugosidade considerando a mistura de sementes. Logo, utilizando a rotina mista descrita acima, podemos gerar uma sequ^encia muito grande de numeros descorrelacionados entre si e depositar uma enorme quantidade de partculas aleatoriamente (>10

12 partculas).

Na Figura 2.4, vericamos o comportamento da curtose e do coeciente de assimetria para a distribuic~ao de alturas utilizando a rotina mista. Verica-se que esses coecientes tendem a zero, o que signica que a distribuic~ao de alturas aproxima-se de uma distribui-c~ao gaussiana a medida que o numero de partculas aumenta. Esse comportamento e o esperado para uma sequ^encia espacial e temporalmente descorrelacionada - rudo branco.

Portanto, vericamos que para este modelo simples de deposic~ao que a gerac~ao de numeros aleatorios e um problema crtico, porem contornavel. O comportamento da interface produzida indica que ha um crescimento indenido da rugosidade com o tempo, segundo uma lei de pot^encia, e que a distribuic~ao de alturas se aproxima de uma distribuic~ao gaussiana, como esperado para um modelo de deposic~ao sem correlac~oes espaciais ou temporais.

106 107 108 109 particulas depositadas

-0.5 -0.2 0.0 0.2

S

-0.5 0.0 0.5 1.0

K

Figura2.4: Evoluc~ao do coeciente de assimetria e da curtose para a distribuic~ao de alturas na deposic~ao

aleatoria, usando uma rotina mista, em escala semi-logartmica. Note que, mesmo para uma unica amostra, a distribuic~ao de alturas tende para uma distribuic~ao gaussiana.

2.1.2 Leis de Escala e Leis de Pot^encia

Nesta sec~ao, apresentaremos dois comportamentos tpicos observados quando lidamos tanto com o crescimento de superfcies quanto com fractais: leis de escala e leis de pot^encia. Dois exemplos onde a rugosidade se comporta segundo uma lei de pot^encia s~ao no perl da DA (w t

1=2) e na denic~ao do expoente de Hurst, (

w()

H), mostrada no Ap^endice

C. A principal caracterstica de uma grandeza que se comporta com uma lei de pot^encia e sua invari^ancia por escala. Desse modo, a rugosidade cresce com a mesma taxa na DA, independente da escala temporal de observac~ao, e para um perl auto-am mantem-se invariante independente da escala de medida .

Grandezas que se comportam segundo uma lei de escala podem apresentar regimes dis-tintos dependendo do intervalo temporal considerado. Para exemplicar, introduziremos um modelo de deposic~ao com correlac~oes espaciais, onde a rugosidade do perl ira se comportar segundo uma lei de escala. Suponha que na DA as partculas possuam energia suciente para realizarem uma relaxac~ao supercial antes que sejam xadas, ou seja, elas podem encontrar o mnimo local de energia na vizinhaca do stio escolhido para a deposic~ao (a posic~ao com a menor altura). Este modelo e conhecido como deposic~ao aleatoria com relaxac~ao supercial - DARS [13]. A presenca de tais correlac~oes suaviza a interface, n~ao permitindo o crescimento ilimitado da rugosidade; esse comportamento e conrmado por simulac~oes, como observado nas Figuras 2.5 e 2.6; na Figura 2.5, onde vericamos que pers obtidos para a DARS s~ao muito mais suaves que as interfaces produzidas pela DA (vide Figura 2.1), e, alem disso, o crescimento da rugosidade e bem mais lento.

Se denirmos um passo de tempo como a deposic~ao de uma camada L de partculas,

podemos estudar a evoluc~ao temporal da rugosidade. Como mostrado na Figura 2.6, a rugosidade cresce com uma lei de pot^encia para escalas temporais curtas e atinge a

0 64 128 192 256 i

0 50 100 150

Figura 2.5: Pers gerados pela DARS. A cada 10 camadas depositadas a cor das partculas e trocada.

Note que os pers s~ao bem mais suaves que na DA e novamente ocorre a conservac~ao da altura media.

saturac~ao apos um certo tempo, denominado tempo de saturac~ao (ou de crossover), t .

Portanto, o comportamento da rugosidade para este modelo depende da escala temporal de observac~ao. E importante notar que logo no incio da deposic~ao, a inclinac~ao da curva

w t, e maior que nos tempos seguintes. Esse comportamento denota a propagac~ao

das correlac~oes no sistema: inicialmente, com o substrato liso e aus^encia de correlac~oes a deposic~ao se da id^enticamente como na DA (w t

1=2); a medida que o numero de

partculas depositadas aumenta, as correlac~oes comecam a crescer, diminuindo o ritmo de crescimento da rugosidade (w t

1=4); nalmente, as correlac~oes atingem o tamanho do

sistema fazendo com que a rugosidade entre em um regime estacionario.

Para escalas temporais longas, a rugosidade apresenta depend^encia com o tamanho do sistema, como observamos na Figura 2.7-A. A medida que o tamanho do sistema cresce, o tempo de saturac~ao aumenta e, tambem, o valor da rugosidade de saturac~ao. Portanto, podemos sintetizar o comportamento da rugosidade neste modelo atraves de tr^es expoen-tes crticos:

Inicialmente a rugosidade cresce com uma lei de pot^encia, w(L;t)t

w

; para t<< t

; (2.3)

onde

w e denominado o expoente de crescimento, que caracteriza a din^amica

tem-poral da rugosidade e t

e o tempo de

crossover .

Para tempos longos a rugosidade de saturac~ao, w(L;1), cresce com o tamanho do

sistema segundo uma lei de pot^encia,

w(L;1)L

; para t>> t

; (2.4)

10-4 10-2 100 102 104 106 t

10-2 10-1 100 101

w(L,t)

t X t1/2

t1/4

Figura 2.6: Evoluc~ao da rugosidade para a DARS. O tamanho do sistema e L =1024 e o resultado

representa a media sobre 100 amostras. Note que ocorre a saturac~ao da rugosidade para tempos acima do tempo de crossover, indicado por t

; este comportamento da rugosidade evidencia sua lei de escala.

(Mostramos a curva da rugosidade para valores de tempo menores que 1 am de realcar a propagac~ao das correlac~oes no sistema).

onde e o expoente de rugosidade, o segundo expoente crtico.

O tempo de saturac~ao tambem comporta-se segundo uma lei de pot^encia em relac~ao

ao tamanho do sistema,

t

L z

; (2.5)

onde z e o expoente din^amico.

Family e Vicsek [53] propuseram uma lei de escala capaz de colapsar as varias curvas obtidas em 2.7-A em uma unica func~ao. O metodo proposto baseia-se na observac~ao de que a rugosidade normalizada pela rugosidade de saturac~ao e uma func~ao do tempo normalizado pelo tempo decrossover, portanto

w(L;t) w(L;1)

f

t t

; (2.6)

onde f(u) e uma func~ao de escala; substituindo as relac~oes 2.4 e 2.5 em 2.6, teremos a

relac~ao de escala de Family-Vicsek:

w(L;t)L

f

t L z

: (2.7)

Como esperado, a forma da func~ao de escalaf(u) depende do regime de escala observado: f(u) u

w, para

u << 1, e f(u) = const:, para u >> 1. A validade desta func~ao de

10-6

10-4

10-2

100

t / L2

10-2 10-1

w(L,t) / L

0.5

L = 128 L = 512 L = 1024

100

102

104

t

10-2.0 10-1.0

w(l,t) / L

0.5

100 102 104

t

100.0

w(L,t)

A

B

C

Figura 2.7: Colapso das curvas w(L;t) t para a DARS. Em A observamos varias curvas para

diferentes tamanhos de sistema; em B, realizamos a normalizac~ao das rugosidades de saturac~ao; em C, normalizamos o tempo, obtendo uma unica curva colapsada. (Baseado na ref. [13]).

escala pode ser observada na Figura 2.7-B e 2.7-C. Nota-se que, com as denic~oes acima, os tr^es expoentes crticos n~ao s~ao independentes entre si, ja que no limite de u ! 1

deveremos ter a concord^ancia dos dois comportamentos: t

L

. Portanto, utilizando

2.5 conclumos que

z =

w

: (2.8)

Esta relac~ao envolvendo os tr^es expoentes crticos e valida em qualquer processo que obedeca a lei de escala (2.7).

Os expoentes da classe de universalidade do modelo DARS concordam com os obtidos analiticamente atraves da abordagem de equac~oes de crescimento, tratada da proxima sec~ao, e que fornece os seguintes valores (em d=1): = 1=2, =1=4 ez =2. Podemos

notar pelas Figuras 2.6 e 2.7, que as simulac~oes conrmam estes valores, mesmo em um sistema n~ao t~ao grande (L = 1024). A evoluc~ao do coeciente de assimetria e da

curtose est~ao mostrados na Figura 2.8; notamos que a distribuic~ao de alturas se aproxima rapidamente de uma distribuic~ao gaussiana. Esse e o comportamento esperado para a distribuic~ao de alturas no estado estacionario, onde o perl obtido pode ser mapeado em uma caminhada aleatoria, cujo perl possuiH = 1=2, indicando a aus^encia de correlac~oes

espaciais. A evoluc~ao do expoente de Hurst e mostrada na Figura 2.8; nota-se que o valor do expoente de Hurst se aproxima do valor esperado, H = 1=2, somente apos o sistema

entrar no estado estacionario. Essa observac~ao e valida para a maioria dos modelos de crescimento fora de equilbrio e o valor do expoente de Hurst so se iguala ao expoente da rugosidade no estado estacionario. No proximo captulo, veremos modelos que possuem

103 104 105 106 107 108 particulas depositadas

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80

H

101 102 103 104 105 106 107 108

-10 0 10 20 30 40 50

S, K

S K

Figura 2.8: Acima: evoluc~ao do coeciente de assimetria e curtose no modelo DARS em func~ao do

tempo, para um sistema com L = 1024 stios. Note como a distribuic~ao de alturas tende rapidamente

para uma distribuic~ao gaussiana apos o primeiro passo de tempo. Abaixo: evoluc~ao do expoente de Hurst em func~ao do tempo; o expoente de Hurst so assume o valor esperado (H =1=2), no estado estacionario.

6=H, mesmo no estado estacionario.

Deniremos agora dois outros modelos onde a rugosidade possui o mesmo comportamento de escala observado na DARS, porem com expoentes crticos pertencentes a outra classe de universalidade. Na

deposic~ao balstica

i(

t+1) = max[h i 1(

t);h i(

t)+1;h

i+1(t)]. Esse modelo introduz

correlac~oes n~ao lineares no sistema, produzindo reentr^ancias na superfcie. Os expoentes crticos desse modelo em 1+1 dimens~oes (rede unidimensional + evoluc~ao temporal) s~ao:

= 1=2, = 1=3 ez = 3=2. No modelo de Kim e Kosterlitz (

KK

para a deposic~ao da partcula for um maximo local, a deposic~ao e rejeitada, equivalendo-se a um modelo de deposic~ao com desorc~ao; apesar de n~ao apreequivalendo-sentar rentr^ancias, este modelo esta na mesma classe da DB.

Outro modelo que aparenta estar na mesma classe de universalidade da DB e o

modelo de

Eden

Esta periferia corresponde aos primeiros vizinhos dos stios localizados na fronteira da superfcie que n~ao est~ao ocupados. Existem tr^es variac~oes do modelo de acordo com a probabilidade de ocupac~ao dos stios da periferia; na vers~ao A, cada stio da periferia tem a mesma probabilidade de ser ocupado; na vers~ao B, a probabilidade de ocupac~ao de um stio da periferia sera proporcional ao numero de primeiros vizinhos ocupados; ja na vers~ao C, um vizinho da fronteira e sorteado aleatoriamente e em seguida escolhe-se um dos escolhe-seus primeiros vizinhos desocupados para escolhe-se fazer a deposic~ao. Resultados simulacionais mostram que as tr^es vers~oes do modelo fornecem os mesmos valores para os expoentes crticos, porem o tempo de relaxac~ao para o estado estacionario e diferente para cada um deles; a vers~ao C e a mais rapida.

Passaremos agora para uma descric~ao analtica dos modelos apresentados, onde utiliza-remos uma abordagem de equac~oes diferenciais estocasticas, conhecidas como equac~oes de Langevin, que fornecer~ao os diferentes expoentes crticos de cada modelo, denindo diferentes classes de universalidade, alem de permitirem o estudo de outros modelos de crescimento.

2.2 Equac~oes de Crescimento

Inicialmente, queremos escrever uma equac~ao estocastica de crescimento que incorpore utuac~oes da interface [13]; consideremos ent~ao a seguinte equac~ao contnua para o caso geral,

@h(~x ;t) @t

= (~x ;t) ; (2.9)

onde (~x ;t) e o numero de partculas por unidade de tempo chegando a posic~ao x.

Considerando a DA, podemos desmembrar (~x ;t) em duas partes:

@h(~x ;t) @t

=F +(~x;t) ; (2.10)

onde F representa um uxo medio de partculas e (~x;t) e um rudo branco, responsavel

pelas utuac~oes nas alturas dos stios, e com as seguintes propriedades,

h(~x;t)i = 0 ; (2.11)

h(~x;t)( ~ x 0

;t 0)

i = 2D d(

~x ~x 0)

(t t 0)

; (2.12)

onde h:::i representa o valor esperado da variavel e De uma constante. Como esperado,

o rudo possui valor medio nulo e aus^encia de correlac~oes espaciais ou temporais, expressa pelas func~oes delta de Dirac. E importante notar que o rudo denido acima, que normalmente e uma variavel gaussiana, possui exatamente as mesmas propriedades da sequ^encia de numeros aleatorios gerada anteriormente.

Para obter as propriedades estatsticas das interfaces geradas, basta integrar (2.10)

h(~x ;t) = Ft+ Z

t 0

(~x;t)dt ; (2.13)

a altura media e, portanto,

h(t) =Ft ; (2.14)